Сложени деривати. Логаритамски дериват.
Извод на моќно-експоненцијална функција

Продолжуваме да ја подобруваме нашата техника на диференцијација. Во оваа лекција ќе го консолидираме материјалот што го опфативме, ќе разгледаме посложени деривати, а исто така ќе се запознаеме со нови техники и трикови за наоѓање извод, особено со логаритамскиот извод.

На оние читатели кои имаат ниско нивоподготовка, треба да се повикате на статијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија, што ќе ви овозможи да ги подигнете своите вештини речиси од нула. Следно, треба внимателно да ја проучите страницата Извод на сложена функција, разбере и реши Ситепримерите што ги наведов. Оваа лекција логично е трета по ред, а откако ќе ја совладате самоуверено ќе разликувате прилично сложени функции. Непожелно е да се заземе ставот „Каде на друго место? Да, доволно е!“, бидејќи сите примери и решенија се земени од реално тестовиа често се среќаваат во пракса.

Да почнеме со повторување. На лекцијата Извод на сложена функцијаРазгледавме голем број примери со детални коментари. Во текот на изучувањето на диференцијални пресметки и други делови математичка анализа– ќе морате многу често да разликувате, а не е секогаш погодно (и не секогаш е потребно) да се опишуваат примери детално. Затоа, ќе вежбаме усно да наоѓаме деривати. Најпогодни „кандидати“ за ова се деривати на наједноставните сложени функции, на пример:

Според правилото за диференцијација комплексна функција :

При проучување на други матни теми во иднина, најчесто не е потребен таков детален запис, се претпоставува дека студентот знае како да најде такви деривати на автопилот. Да замислиме дека во 3 часот наутро имало а телефонски повик, И пријатен гласпрашал: „Кој е изводот на тангентата на две X? Ова треба да биде проследено со речиси моментален и љубезен одговор: .

Првиот пример ќе биде веднаш наменет за независна одлука.

Пример 1

Најди ги следните изводи усно, во едно дејство, на пример: . За да ја завршите задачата, треба само да ја користите табела на деривати на елементарни функции(ако сè уште не сте се сетиле). Ако имате какви било тешкотии, препорачувам повторно да ја прочитате лекцијата Извод на сложена функција.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Одговори на крајот од лекцијата

Сложени деривати

По прелиминарната артилериска подготовка, примерите со 3-4-5 гнезда на функции ќе бидат помалку страшни. Можеби следните два примера ќе изгледаат комплицирани за некого, но ако ги разберете (некој ќе страда), тогаш речиси сè друго во диференцијална пресметкаЌе изгледа како детска шега.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Како што веќе беше забележано, при наоѓање на изводот на сложена функција, пред сè, потребно е Во правоРАЗБЕРЕТЕ ги вашите инвестиции. Во случаи кога има сомнежи, ве потсетувам корисен трик: ја земаме експерименталната вредност на „x“, на пример, и се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја замениме дадена вредноство „страшен израз“.

1) Прво треба да го пресметаме изразот, што значи дека збирот е најдлабокото вградување.

2) Потоа треба да го пресметате логаритамот:

4) Потоа коцкај го косинусот:

5) На петтиот чекор разликата е:

6) И конечно, најоддалечената функција е квадратниот корен:

Формула за диференцијација на сложена функција ќе се користи во обратен редослед, од најнадворешната функција до највнатрешната. Ние одлучуваме:

Се чини дека нема грешки...

(1) Земете го дериватот на квадратниот корен.

(2) Го земаме изводот на разликата користејќи го правилото

(3) Изводот на тројка е нула. Во вториот член го земаме изводот на степенот (коцка).

(4) Земете го изводот на косинус.

(5) Земете го изводот на логаритамот.

(6) И конечно, го земаме дериватот на најдлабокото вградување.

Можеби изгледа премногу тешко, но ова не е најбруталниот пример. Земете ја, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе ја цените сета убавина и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека сакаат да даваат слично нешто на испит за да проверат дали студентот разбира како да најде извод на сложена функција или не разбира.

Следниот пример е за вас да го решите сами.

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Совет: Прво ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производот

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Време е да преминете на нешто помало и поубаво.
Не е невообичаено примерот да го прикаже производот не на два, туку три функции. Како да се најде дериватот на производи од тримножители?

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Прво гледаме, дали е можно производот од три функции да се претвори во производ на две функции? На пример, ако имаме два полиноми во производот, тогаш би можеле да ги отвориме заградите. Но, во примерот што се разгледува, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.

Во такви случаи тоа е неопходно последователноприменувајте го правилото за диференцијација на производите двапати

Финтата е што со „y“ го означуваме производот на две функции: , а со „ve“ го означуваме логаритамот: . Зошто може да се направи ова? Дали е навистина – ова не е производ на два фактора и правилото не функционира?! Нема ништо комплицирано:

Сега останува да се примени правилото по втор пат во заграда:

Сеуште можете да бидете перверзни и да извадите нешто од загради, но внатре во овој случајПодобро е да го оставите одговорот во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.

Разгледаниот пример може да се реши на вториот начин:

Двете решенија се апсолутно еквивалентни.

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за независно решение, во примерокот се решава со помош на првиот метод.

Ајде да погледнеме слични примери со дропки.

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Постојат неколку начини на кои можете да отидете овде:

Или вака:

Но, решението ќе биде напишано покомпактно ако прво го искористиме правилото за диференцијација на количникот , земајќи го целиот броител:

Во принцип, примерот е решен, и ако се остави како што е, нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да проверите на нацрт за да видите дали одговорот може да се поедностави? Да го намалиме изразот на броителот на заеднички именителИ да се ослободиме од трикатната дропка:

Недостаток на дополнителните поедноставувања е што постои ризик да се направи грешка не при наоѓање на дериватот, туку при банални училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често ја отфрлаат задачата и бараат да го „донесат на ум“ дериватот.

Поедноставен пример за решавање самостојно:

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Продолжуваме да ги совладуваме методите за наоѓање на дериватот, а сега ќе разгледаме типичен случај кога „страшниот“ логаритам е предложен за диференцијација

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да одите на долг пат, користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција:

Но, првиот чекор веднаш ве втурнува во очај - треба да го земете непријатниот дериват на фракциона моќ, а потоа и од дропката.

Затоа предкако да се земе дериватот на „софистицираниот“ логаритам, прво се поедноставува со користење на добро познати училишни својства:

! Ако имате при рака тетратка за вежбање, копирајте ги овие формули директно таму. Ако немате тетратка, препишете ги на парче хартија, бидејќи останатите примери од лекцијата ќе се вртат околу овие формули.

Самото решение може да се напише вака:

Ајде да ја трансформираме функцијата:

Наоѓање на дериватот:

Пред-конвертирањето на самата функција значително го поедностави решението. Така, кога се предлага сличен логаритам за диференцијација, секогаш е препорачливо да се „разложи“.

И сега неколку едноставни примери за да ги решите сами:

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Сите трансформации и одговори се на крајот од лекцијата.

Логаритамски дериват

Ако дериватот на логаритмите е толку слатка музика, тогаш се поставува прашањето: дали е можно во некои случаи вештачки да се организира логаритмот? Може! Па дури и неопходно.

Пример 11

Најдете го изводот на функцијата

Неодамна разгледавме слични примери. Што да се прави? Можете последователно да го примените правилото за диференцијација на количникот, а потоа правилото за диференцијација на производот. Недостаток на овој метод е тоа што на крајот доаѓате со огромна дропка од три ката, со која воопшто не сакате да се справите.

Но, во теоријата и практиката постои таква прекрасна работа како логаритамскиот извод. Логаритмите можат да се организираат вештачки со нивно „закачување“ на двете страни:

Сега треба да го „распаднете“ логаритмот на десната страна што е можно повеќе (формули пред вашите очи?). Ќе го опишам овој процес во многу детали:

Да почнеме со диференцијација.
Двата дела ги заклучуваме под програмот:

Дериватот на десната страна е прилично едноставен, нема да коментирам за него, бидејќи ако го читате овој текст, треба да можете самоуверено да се справите со него.

Што е со левата страна?

На левата страна имаме комплексна функција. Го предвидувам прашањето: „Зошто, има една буква „Y“ под логаритамот?

Факт е дека оваа „игра со една буква“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(ако не е многу јасно, погледнете ја статијата Извод на функција наведен имплицитно). Според тоа, логаритамот е надворешна функција, а „y“ е внатрешна функција. И ние го користиме правилото за диференцијација на сложена функција :

На левата страна, како со магија волшебно стапчеимаме дериват . Следно, според правилото за пропорција, го пренесуваме „y“ од именителот на левата страна на врвот на десната страна:

И сега да се потсетиме за каква функција „играч“ зборувавме за време на диференцијацијата? Да ја погледнеме состојбата:

Конечниот одговор:

Пример 12

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Пример за дизајн пример од овој типна крајот од часот.

Користејќи го логаритамскиот извод беше можно да се реши кој било од примерите бр. 4-7, друга работа е што функциите таму се поедноставни и, можеби, употребата на логаритамскиот извод не е многу оправдана.

Извод на моќно-експоненцијална функција

Сè уште не сме ја разгледале оваа функција. Моќно-експоненцијална функција е функција за која и степенот и основата зависат од „x“. Класичен пример, што ќе ви биде дадено во кој било учебник или на кое било предавање:

Како да се најде изводот на моќно-експоненцијална функција?

Неопходно е да се користи техниката штотуку дискутирана - логаритамскиот дериват. Закачуваме логаритми на двете страни:

Како по правило, на десната страна степенот се вади од под логаритамот:

Како резултат на тоа, на десната страна го имаме производот на две функции, кои ќе се разликуваат со стандардна формула .

Го наоѓаме дериватот; за да го направиме ова, ги ставаме двата дела под потези:

Понатамошните активности се едноставни:

Конечно:

Ако било која конверзија не е целосно јасна, ве молиме внимателно да ги препрочитате објаснувањата од Пример #11.

ВО практични задачиМоќно-експоненцијалната функција секогаш ќе биде посложена од примерот што се дискутираше на предавањето.

Пример 13

Најдете го изводот на функцијата

Го користиме логаритамскиот извод.

На десната страна имаме константа и производ од два фактора - „x“ и „логаритам на логаритам x“ (друг логаритам е вгнезден под логаритамот). Кога се разликуваме, како што се сеќаваме, подобро е веднаш да се помести константата од дериватниот знак за да не се попречи; и, се разбира, го применуваме познатото правило :

Како што можете да видите, алгоритмот за користење на логаритамски извод не содржи никакви посебни трикови или трикови, а наоѓањето на изводот на функцијата експоненцијална моќ обично не се поврзува со „мачење“.

Дадени се примери за пресметување на деривати со помош на формулата за извод на сложена функција.

Овде даваме примери за пресметување на деривати на следните функции:
; ; ; ; .

Ако функцијата може да се претстави како сложена функција во следната форма:
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата:
.
Во примерите подолу, оваа формула ќе ја напишеме на следниов начин:
.
Каде.
Овде, ознаките или , кои се наоѓаат под знакот за извод, ги означуваат променливите со кои се врши диференцијација.

Вообичаено, во табелите на изводи се дадени изводи на функции од променливата x. Сепак, x е формален параметар. Променливата x може да се замени со која било друга променлива. Затоа, при диференцирање на функција од променлива, едноставно ја менуваме, во табелата на изводи, променливата x во променливата u.

Едноставни примери

Пример 1

Најдете го изводот на сложена функција
.

Решение

Ајде да го запишеме дадена функцијаво еквивалентна форма:
.
Во табелата со деривати наоѓаме:
;
.

Според формулата за извод на сложена функција, имаме:
.
Еве .

Одговори

Пример 2

Најдете го изводот
.

Решение

Ја вадиме константата 5 од дериватниот знак и од табелата со деривати наоѓаме:
.

.
Еве .

Одговори

Пример 3

Најдете го изводот
.

Решение

Извадиме константа -1 за знакот на дериватот и од табелата на изводи наоѓаме:
;
Од табелата на деривати наоѓаме:
.

Ја применуваме формулата за извод на сложена функција:
.
Еве .

Одговори

Покомплексни примери

Во повеќе сложени примеринеколку пати го применуваме правилото за диференцирање на сложена функција. Во овој случај, ние го пресметуваме дериватот од крајот. Односно, ја разложуваме функцијата на нејзините составни делови и ги наоѓаме дериватите на наједноставните делови користејќи табела на деривати. Ние исто така користиме правила за разграничување на сумите, производи и фракции. Потоа правиме замени и ја применуваме формулата за извод на сложена функција.

Пример 4

Најдете го изводот
.

Решение

Да истакнеме најмногу едноставен делформула и пронајдете го неговиот дериват. .

.
Овде ја користевме ознаката
.

Го наоѓаме изводот на следниот дел од оригиналната функција користејќи ги добиените резултати. Го применуваме правилото за диференцирање на збирот:
.

Уште еднаш го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.

.
Еве .

Одговори

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата
.

Решение

Ајде да го избереме наједноставниот дел од формулата и да го најдеме неговиот дериват од табелата со деривати. .

Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
.
Еве
.

Одлучи физички задачиили примери во математиката е сосема невозможно без знаење за изводот и методите за негово пресметување. Дериватот е еден од најважните концептиматематичка анализа. Ова фундаментална темарешивме да ја посветиме денешната статија. Што е дериват, каков е неговиот физички и геометриско значењекако да се пресмета изводот на функцијата? Сите овие прашања може да се комбинираат во едно: како да се разбере дериватот?

Геометриско и физичко значење на дериватот

Нека има функција f(x) , назначен во одреден интервал (а, б) . Точките x и x0 припаѓаат на овој интервал. Кога x се менува, самата функција се менува. Промена на аргументот - разликата во неговите вредности x-x0 . Оваа разлика е напишана како делта x и се нарекува зголемување на аргументот. Промена или зголемување на функцијата е разликата помеѓу вредностите на функцијата во две точки. Дефиниција на дериват:

Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата во дадена точка до зголемувањето на аргументот кога вториот се стреми кон нула.

Во спротивно може да се напише вака:

Која е поентата да се најде таква граница? А еве што е тоа:

изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската OX и тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.

Физичко значењедериват: дериватот на патеката во однос на времето е еднаков на брзината на праволиниското движење.

Навистина, уште од училишните денови секој знае дека брзината е одредена патека x=f(t) и времето т . просечна брзиназа одреден временски период:

За да ја дознаете брзината на движење во одреден момент во времето t0 треба да ја пресметате границата:

Правило еден: поставете константа

Константата може да се извади од дериватниот знак. Покрај тоа, ова мора да се направи. Кога решавате примери по математика, земете го по правило - Ако можете да поедноставите израз, не заборавајте да го поедноставите .

Пример. Да го пресметаме изводот:

Правило второ: извод од збир на функции

Изводот на збирот на две функции е еднаков на збирот на изводите на овие функции. Истото важи и за изводот на разликата на функциите.

Ние нема да дадеме доказ за оваа теорема, туку ќе разгледаме практичен пример.

Најдете го изводот на функцијата:

Правило трето: извод на производ на функции

Дериватот на производот на две диференцијабилни функции се пресметува со формулата:

Пример: најдете го изводот на функцијата:

Решение:

Овде е важно да се зборува за пресметување на деривати на сложени функции. Изводот на сложената функција е еднаков на производот од изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на независната променлива.

Во горниот пример се среќаваме со изразот:

Во овој случај, средниот аргумент е 8x до петтата сила. За да го пресметаме изводот на таков израз, прво го пресметуваме изводот на надворешната функција во однос на средниот аргумент, а потоа се множиме со изводот на самиот среден аргумент во однос на независната променлива.

Правило четири: извод на количник на две функции

Формула за одредување на изводот на количникот на две функции:

Се обидовме да зборуваме за деривати за кукли од нула. Оваа тема не е толку едноставна како што изгледа, затоа бидете предупредени: често има замки во примерите, па бидете внимателни кога пресметувате деривати.

Со какви било прашања на оваа и на други теми, можете да контактирате со студентската служба. Зад краток терминНие ќе ви помогнеме да ги решите најтешките тестови и да ги решите проблемите, дури и ако никогаш претходно не сте правеле пресметки со изводи.

Дефиниција.Нека функцијата \(y = f(x) \) е дефинирана во одреден интервал кој ја содржи точката \(x_0\) во себе. Да му дадеме на аргументот инкремент \(\Delta x \) така што тој не го напушта овој интервал. Да го најдеме соодветниот прираст на функцијата \(\Delta y \) (кога се движиме од точката \(x_0 \) до точката \(x_0 + \Delta x \)) и да ја составиме релацијата \(\frac(\Delta y) (\Делта x) \). Ако има ограничување на овој сооднос на \(\Delta x \десната стрелка 0\), тогаш одредената граница се нарекува извод на функција\(y=f(x) \) во точката \(x_0 \) и означи \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \до 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Симболот y често се користи за означување на изводот." Забележете дека y" = f(x) е нова карактеристика, но природно поврзана со функцијата y = f(x), дефинирана во сите точки x во кои постои горната граница. Оваа функција се нарекува вака: извод на функцијата y = f(x).

Геометриско значење на дериватоте како што следува. Ако е можно да се нацрта тангента на графикот на функцијата y = f(x) во точката со апсциса x=a, која не е паралелна со y-оската, тогаш f(a) го изразува наклонот на тангентата :
\(k = f"(a)\)

Бидејќи \(k = tg(a) \), тогаш еднаквоста \(f"(a) = tan(a) \) е точно.

Сега да ја протолкуваме дефиницијата за дериват од гледна точка на приближни еднаквости. Нека функцијата \(y = f(x)\) има извод во одредена точка \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ова значи дека во близина на точката x приближната еднаквост \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \приближно f"(x)\), т.е. \(\Delta y \приближно f"(x) \cdot\ Делта x\). Смисленото значење на добиената приближна еднаквост е следново: зголемувањето на функцијата е „речиси пропорционално“ со зголемувањето на аргументот, а коефициентот на пропорционалност е вредноста на изводот во дадена точка X. На пример, за функцијата \(y = x^2\) е валидна приближната еднаквост \(\Delta y \приближно 2x \cdot \Delta x\). Ако внимателно ја анализираме дефиницијата за извод, ќе откриеме дека содржи алгоритам за негово пронаоѓање.

Ајде да го формулираме.

Како да се најде изводот на функцијата y = f(x)?

1. Поправете ја вредноста на \(x\), најдете \(f(x)\)
2. Дајте му на аргументот \(x\) зголемување \(\Delta x\), одете до нова точка\(x+ \Делта x \), најдете \(f(x+ \Делта x) \)
3. Најдете го инкрементот на функцијата: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Направете ја релацијата \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Пресметајте $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Оваа граница е извод на функцијата во точката x.

Ако функцијата y = f(x) има извод во точка x, тогаш таа се нарекува диференцијабилна во точка x. Се вика постапката за наоѓање на изводот на функцијата y = f(x). диференцијацијафункции y = f(x).

Ајде да разговараме за следното прашање: како континуитетот и диференцијабилноста на функцијата во точка се поврзани едни со други?

Нека функцијата y = f(x) е диференцијабилна во точката x. Потоа може да се нацрта тангента на графикот на функцијата во точката M(x; f(x)), а да потсетиме, аголниот коефициент на тангентата е еднаков на f "(x). Таков график не може да се „скрши“ во точката М, односно функцијата мора да биде континуирана во точката x.

Тоа беа „практично“ аргументи. Да дадеме поригорозно резонирање. Ако функцијата y = f(x) е диференцијабилна во точката x, тогаш важи приближната еднаквост \(\Delta y \приближно f"(x) \cdot \Delta x \). Ако во оваа еднаквост \(\Delta x \) се стреми кон нула, тогаш \(\Delta y\) ќе се стреми кон нула, и ова е услов за континуитет на функцијата во точка.

Значи, ако функцијата е диференцијабилна во точка x, тогаш таа е континуирана во таа точка.

Обратна изјава не е точно. На пример: функција y = |x| е континуирано насекаде, особено во точката x = 0, но тангентата на графикот на функцијата на „спојната точка“ (0; 0) не постои. Ако во одреден момент не може да се нацрта тангента на графикот на функцијата, тогаш изводот не постои во таа точка.

Уште еден пример. Функцијата \(y=\sqrt(x)\) е континуирана на целата бројна права, вклучително и во точката x = 0. А тангентата на графикот на функцијата постои во која било точка, вклучително и во точката x = 0 Но, во овој момент тангентата се совпаѓа со y-оската, т.е. е нормална на оската на апсцисата, нејзината равенка има форма x = 0. Коефициент на наклонтаква линија нема, што значи дека не постои ниту \(f"(0) \).

Значи, се запознавме со новото својство на функцијата - диференцијабилност. Како може да се заклучи од графикот на функцијата дека таа е диференцијабилна?

Одговорот всушност е даден погоре. Ако во одреден момент е можно да се нацрта тангента на графикот на функција која не е нормална на оската на апсцисата, тогаш во овој момент функцијата е диференцијабилна. Ако во одреден момент тангентата на графикот на функцијата не постои или таа е нормална на оската на апсцисата, тогаш во овој момент функцијата не е диференцијабилна.

Правила на диференцијација

Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација. Кога ја извршувате оваа операција, честопати треба да работите со количници, збирови, производи на функции, како и „функции на функции“, односно сложени функции. Врз основа на дефиницијата за извод, можеме да изведеме правила за диференцијација кои ја олеснуваат оваа работа. Ако C - постојан броји f=f(x), g=g(x) се некои диференцијабилни функции, тогаш следниве се вистинити правила за диференцијација:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \десно) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Извод на сложена функција:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Табела на деривати на некои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \десно) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \десно) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \десно) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \лево(e^x \десно) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Даден е доказ за формулата за извод на сложена функција. Детално се разгледуваат случаите кога сложената функција зависи од една или две променливи. Се прави генерализација на случајот кој било бројпроменливи.

Овде го пренесуваме заклучокот следните формулиза извод на сложена функција.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.

Извод на сложена функција од една променлива

Нека функцијата од променливата x е претставена како сложена функција во следнава форма:
,
каде што има некои функции. Функцијата е диференцијабилна за некоја вредност на променливата x. Функцијата е диференцијабилна по вредноста на променливата.
Тогаш сложената (композитна) функција е диференцијабилна во точката x и нејзиниот дериват се одредува со формулата:
(1) .

Формулата (1) може да се запише и на следниов начин:
;
.

Доказ

Да ја воведеме следната нотација.
;
.
Овде постои функција на променливите и , постои функција на променливите и . Но, ќе ги испуштиме аргументите на овие функции за да не ги натрупуваме пресметките.

Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точките x и , соодветно, тогаш во овие точки постојат изводи на овие функции, кои се следните граници:
;
.

Размислете за следнава функција:
.
За фиксна вредност на променливата u, е функција од . Очигледно е дека
.
Потоа
.

Бидејќи функцијата е диференцијабилна функција во точката, таа е континуирана во таа точка. Затоа
.
Потоа
.

Сега го наоѓаме дериватот.

.

Формулата е докажана.

Последица

Ако функција од променлива x може да се претстави како сложена функција од сложена функција
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата
.
Еве , и има некои диференцијабилни функции.

За да ја докажеме оваа формула, последователно го пресметуваме изводот користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција.
Размислете за сложената функција
.
Неговиот дериват
.
Размислете за оригиналната функција
.
Неговиот дериват
.

Извод на сложена функција од две променливи

Сега нека комплексната функција зависи од неколку променливи. Прво да погледнеме случај на сложена функција од две променливи.

Нека функцијата во зависност од променливата x биде претставена како сложена функција од две променливи во следнава форма:
,
Каде
и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- функција од две променливи, диференцијабилни во точката , . Тогаш комплексната функција е дефинирана во одредено соседство на точката и има извод, кој се одредува со формулата:
(2) .

Доказ

Бидејќи функциите и се диференцијабилни во точката, тие се дефинирани во одредено соседство на оваа точка, се континуирани во точката, а нивните изводи постојат во точката, што се следните граници:
;
.
Еве
;
.
Поради континуитетот на овие функции во една точка, имаме:
;
.

Бидејќи функцијата е диференцијабилна во точката, таа е дефинирана во одредено соседство на оваа точка, во оваа точка е континуирана, а нејзиното зголемување може да се запише во следната форма:
(3) .
Еве

- зголемување на функцијата кога нејзините аргументи се зголемуваат со вредности и ;
;

- парцијални изводи на функцијата во однос на променливите и .
За фиксни вредности на и и се функции на променливите и . Тие имаат тенденција на нула на и:
;
.
Оттогаш и тогаш
;
.

Зголемување на функцијата:

. :
.
Да го замениме (3):



.

Формулата е докажана.

Извод на сложена функција од неколку променливи

Горенаведениот заклучок лесно може да се генерализира во случај кога бројот на променливи на сложена функција е повеќе од две.

На пример, ако f е функција од три променливи, Тоа
,
Каде
, и има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција од три променливи во точка , , .
Тогаш, од дефиницијата за диференцијабилност на функцијата, имаме:
(4)
.
Бидејќи, поради континуитет,
; ; ,
Тоа
;
;
.

Поделувајќи го (4) со и преминувајќи до границата, добиваме:
.

И, конечно, да размислиме повеќето општ случај .
Нека функција од променлива x е претставена како сложена функција од n променливи во следнава форма:
,
Каде
има диференцијабилни функции за некоја вредност на променливата x;
- диференцијабилна функција на n променливи во точка
, , ... , .
Потоа
.