Нека се дадени две корисни функции
U(x) и U* (x) = h + y U(x) со d > 0.
Носителот на одлуката доаѓа до резултатот A i h A2 врз основа на втората полезна функција при проучување на две алтернативи. Што би се променило ако наместо тоа се фокусира на првата корисна функција?
Како би изгледал вашиот одговор кога втората корисна функција би ја имала формата U*(x) = h - y и (i) со y > 0?
Како се подредени алтернативите кога U*(x) = h?
* *
"До
1. Две корисни функции водат до прифаќање идентични решенијакога тие можат меѓусебно да се „преведат“ една во друга преку позитивна линеарна трансформација (види и стр. 74 на оваа тема). Ако можеме да покажеме дека U(x) е позитивна линеарна трансформација на функцијата U*(x), тогаш изборот на корисност нема да има ефект врз подредувањето на алтернативите. Бараме два броја a и b за b > 0, за да е точно
a + bU*(x) = U(x).
Ако ја замениме втората корисна функција, тогаш имаме
a + b (h + gU(x)) = U(x).
Во првата фаза, го дефинираме 6 на таков начин што факторот со кој се множи U(x) добива вредност од еден. Очигледно, мора да означиме b = 1 /d. Така излегува
a + - + U (x) = U (.g). 9
По ова, мора да избереме a така што само U(x) останува на двете страни од равенката. Ова ќе се случи кога a = -h/g.
Сега бараме трансформација на обликот
a + b(h-gU(x)) = U(x).
За да се добие посакуваниот резултат, мора да означиме b = - - l/h. Ова би била негативна линеарна трансформација и би го променила редоследот на рангирањето.
Донесувачот на одлуки со оглед на оваа корисна функција ги проценува сите алтернативи со иста вредност. Затоа, кога се прави избор помеѓу алтернативите A\ и A.2, треба да дојде до резултат A i ~
Повеќе на тема 2.1.5. Уникатност на комуналната функција:
- 1. Преференци на потрошувачите и маргинална корисност. Корисна функција.
- 2.3.2. Квадратна полезна функција и очекувана корисност
- Комуналните услуги и рационалниот потрошувач. Вкупна и маргинална корисност. Закон за намалена маргинална корисност. Принципот на максимизирање на корисноста
- Квантитативна теорија на корисност. Концепти на корисност, избор на потрошувачот, вкупна и маргинална корисност.
Ако е наведено правило според кое одреден број u е поврзан со секоја точка М на рамнината (или некој дел од рамнината), тогаш се вели дека на рамнината (или на дел од рамнината, „точка функција е дадена“; дефиницијата на функцијата симболично се изразува со еднаквост на формата u - Бројот u поврзан со точка М се нарекува вредност на оваа функција во точката M. На пример, ако A е фиксна точка во авион, М е произволна точка, тогаш растојанието од А до М е функција од точката М. Б во овој случај f(M) = AM.
Нека е дадена некоја функција u = f(M) и во исто време се воведува координатен систем. Тогаш произволна точка М се одредува со координатите x, y. Според тоа, вредноста на оваа функција во точката M се определува со координатите x, y, или, како што исто така велат, u = f(M) е функција од две променливи x и y. Функција од две променливи x, y се означува со симболот f(x, y); ако f(M) = f(x, y) тогаш формулата u = f(x, y) се нарекува израз на оваа функција во избраниот координатен систем. Значи, во претходниот пример f(M)=AM; ако воведете Декартов правоаголен системкоординира со потеклото во точката А, го добиваме изразот за оваа функција:
u = √(x 2 + y 2)
146. Со оглед на две точки P и Q, растојанието меѓу нив е a, а функцијата f(M) = d 2 1 - d 2 2, каде што d 1 - MP и d 2 - MQ. Определи го изразот на оваа функција ако точката P се земе како почеток на координатите и оската Ox е насочена долж отсечката PQ.
147. Под условите од задачата 146, определи го изразот на функцијата f(M) (директно и со помош на координатна трансформација, користејќи го резултатот од задачата 146), ако:
1) потеклото на координатите е избрано во средината на сегментот PQ, оската Ox е насочена долж сегментот PQ.
2) потеклото на координатите е избрано во точката P, а оската Ox е насочена долж отсечката QP.
148. Дадени се: квадрат ABCD со страна a и функција f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, каде што d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC и d 4 = MD. Определи го изразот на оваа функција ако дијагоналите на квадратот се земени како координатни оски (а оската Ox е насочена по отсечката AC, оската Oy е насочена по отсечката BD).
149. Под условите на задачата 148, определи го изразот за f(M) (директно и со помош на координатна трансформација, користејќи го резултатот од задачата 148), ако потеклото на координатите е избрано во точката А, а координатните оски се насочени долж неговите страни (оската Ox е долж сегментот AB, оската Oy - долж сегментот AD).
150. Дадена е функцијата f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Определете го изразот на оваа функција во нов координатен систем ако потеклото на координатите е поместено (без промена на насоката на оските) во точката O"(3; -4).
151. Дадена е функцијата f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Определи го изразот на оваа функција во новиот координатен систем ако координатните оски се ротираат под агол од -45°.
152. Дадена е функција f(x, y) = x 2 + y 2 . Да се определи изразот на оваа функција во новиот координатен систем ако координатните оски се ротираат за одреден агол α.
153. Најдете точка таква што кога ќе се пренесе потеклото на координатите, изразот на функцијата f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 по трансформацијата не содржи членови од првата степен во однос на новите променливи.
154. Најдете точка таква што кога ќе се пренесе потеклото на координатите, изразот на функцијата f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 не содржи членови од прв степен. во однос на новите променливи.
155. Под кој агол треба да се ротираат координатните оски така што изразот на функцијата f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 по трансформацијата не содржи член со производ на нови променливи. ?
156. Под кој агол треба да се ротираат координатните оски така што изразот на функцијата f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 по трансформацијата не содржи член со производ на нови променливи?
2. Функции. Наједноставните својства на функциите 21 2.11. Докажете дека ако f (x) е периодична функција со период T, тогаш функцијата f (ax) е исто така периодична со период T /a. Решение. Навистина, f = f (ax + T) = f (секира), т.е. T /a е еден од периодите на функцијата f (ax). 2.12. Најдете го периодот на функцијата f (x) = cos2 x. 1 + cos 2x Решение. Можеме да напишеме: cos2 x = . Го гледаме тој период 2 cos функции 2 x е ист како периодот на функцијата cos 2x. Бидејќи периодот на функцијата cos x е еднаков на 2π, тогаш според задачата 2.11 периодот на функцијата cos 2x е еднаков на π. 2.13. Најдете го периодот на функциите: а) f (x) = sin 2πx; б) f (x) = | cos x|. Одговор: а) Т = 1; б) Т = π. Задачи за независна одлука 2.14. Нека f (x) = x2 и ϕ(x) = 2x. Најдете: а) f [ϕ(x)], б) ϕ. 2.15. Најдете f (x + 1) ако f (x − 1) = x2. 1 2.16. Дадена е функцијата f (x) =. 1−x Најдете ϕ(x) = f (f ). 2.17. Дадена е функција f (x) = 3x2 − 4x − 2. Докажете дека функцијата f (2x + 1) може да се претстави како f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Најдете ги вредностите на константите A, B, C 2.18. Со оглед на две линеарни функции f1 (x) = 5x + 4 и f2 (x) = 3x − 1. Докажете дека функцијата f (x) = f2 е исто така линеарна, односно има форма f (x) = Ax + B. Најдете ја вредности на константите A и B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Дадени се две функции f1 (x) = и f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 наречени дробни линеарни. Докажете дека функцијата f (x) = f1 е исто така дробно линеарна, односно има форма Ax + B f (x) = . Наведете ги вредностите на константите A, B, C, D. Cx + D 22 Вовед во математичка анализа 2.20. За некоја функција f: X ⊂ R → Y ⊂ R, познато е дека f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Докажете дека функцијата f (x) може да се претстави како f (x) = Ax2 + Bx + C. Најдете ги вредностите на константите A, B, C. 2.21. Најдете го доменот на дефиниција следните функции: √ 2+x a) f (x) = x + 1; б) f (x) = lg ; √ 2−x в) f (x) = 2 + x − x2 ; г) f (x) = arcsin (log2 x); 1 + x2 г) f (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x2,22. Најдете го доменот на дефиниција на следните функции: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; б) f (x) = 2; x + 26x + 168 x+2 в) f (x) = log[(1 + x) (12 − x)]; г) f (x) = лаксин; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x − 14); 15 f) f (x) = лаксин; x − 11 −x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + лаксин . 13 2.23. Конструирај го доменот на дефиниција на следните функции: а) f (x, y) = log2 (x + y); √ б) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y 2 в) f (x, y) = лаксин; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24. Најдете го доменот на дефиниција на следните функции: 1 − log x 3 − 2x arcsin a) f (x) = 1 ; б) f (x) = √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Функции. Наједноставните својства на функциите 23 2.25. Најдете и конструирајте го доменот на дефиниција на следните функции: 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 б) f (x, y) = . x2 − 2x + y 2 2.26. Докажи дека функциите 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| дури; 2x − 2−x 3x + 1 б) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x, 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg непарно; 1−x 2 в) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 од општа форма. 2.27. Дадени се функциите: 1 а) y = sin2 x; б) y = sin x2 ; в) y = 1 + tan x; г) y = грев. x Кои од нив се периодични? 2x2,28. Докажи дека функцијата y = има инверзна, 1 + 2x, и најди ја. 2.29. Докажи дека функцијата y = x2 − 2x има две инверзни: y1 = 1 + x + 1 и y2 = 1 − x + 1. 2.30. Докажи дека следните функции се ограничени од долу: а) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; б) f2 (x) = x4 − 8x3 + 22x2. 2.31. Докажи дека следните функции се ограничени одозгора: 1 5 a) f1 (x) = √ ; б) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Вовед во Калкулус 2.32. Најдете го најмалиот и највисока вредностследните функции: а) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; б) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2.33. Опиши ја формата на графикот на следните функции: а) z = 1 − x2 − y 2 ; б) z = x2 + y2; в) z = x2 + y2; г) z = x2 − y 2 . 2.34. Нацртајте линии за нивоа за овие функции, давајќи z вредности од -3 до +3 до 1: а) z = xy; б) z = y(x2 + 1). 2.35. Графикувајте ја функцијата y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ со трансформирање на графикот на функцијата y = x. 2.36. Нацртај го графикот на функцијата y = 3 sin(2x − 4) со трансформирање на графикот на функцијата y = sin x. 2.37. Користејќи го основното истражување на функциите (без употреба на изводи), нацртајте графикони на следните функции: 1 x a) y = 2 ; б) y = 2; x +1 x +1 1 в) y = x4 − 2x2 + 5; г) y = 2; x + 4x + 5 2x − 5 г) y = ; д) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2.38. Нацртај графикони на следните функции: x, ако − ∞< x < 1;
1 1
а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;
2
2
4, если 3 < x < +∞;
б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|;
в) f (x) = |x2 − 2x + 1|;
г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π;
д) f (x) = arccos(cos x);
t+5 t+1
е) f (t) = ; ж) f (t) = .
t−7 t2 + 2t + 2
3. Предел функции 25
3. Предел функции
Рекомендуется по тетраткапроучувајте ги потсекциите 1.4 и 1.5. Треба да се плати Посебно вниманиедо потточка 1.4 и ги знае сите видови маала, нивните ознаки и форми на пишување во форма на неравенки. Исказот lim f (x) = A значи: за кое било соседство x→x0 на елементот A (особено, произволно мало) на елементот A постои пробиено соседство V (x0) на елементот x0 така што од условот x ∈ V˙ (x0) ∩ X следи, f (x) ∈ U (A), каде што X е доменот на дефиниција на функцијата f (x), а x0 е граничната точка на множеството X. Често, наместо на произволно соседство U (A), се смета симетричното соседство Uε (A). Во овој случај, соседството ˙ V (x0) може да испадне или симетрично или асиметрично, но од кое било асиметрично соседство е можно да се избере симетрично соседство Vδ (x0). Бидејќи маалото V (x0) е дупнато, т.е. не ја содржи точката x0, тогаш x = x0, а во точката x0 функцијата f (x) може да не е дефинирана. За да се докаже дека lim f (x) = A, доволно е да се најде x→x0 множеството (x) од оние вредности на x за кои важи вклучувањето f (x) ⊂ U (A) за кое било соседство U ( А). Ако пронајденото множество (x) е соседство на x0, тогаш исказот lim f (x) = A е точно, во во спротивнотоа x→x0 е неточно. Особено, ако функцијата f (x) во точката x0 е дефинирана и lim f (x) = f (x0), тогаш множеството (x) исто така ќе ја содржи x→x0 точката x0. Дадената дефиниција за ограничување е применлива за која било класа на функции. Во овој дел главно ќе се занимаваме со нумерички функцииеден нумерички аргумент. 3.1. Врз основа на дефиницијата на границата, докажи: 1 1 а) lim x = x0 ; б) lim = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 в) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Вовед во математичка анализа 1 1 г) lim = +∞; д) lim = −∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; е) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Решение: а) тврдењето lim x = x0 директно x→x0 произлегува од дефиницијата на границата. Ако соседството Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно
принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε;
1 1
б) докажем, что lim = . По определению предела
x→2 x 2
мы должны доказать, что для любой заданной окрестности
1 ˙
Uε , ε >0 постои соседство V (2) така што ако 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), тогаш −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле-
x 2 x 2
дующим двум неравенствам:
1 1
−ε < − < +ε
или x 2
1 1 1
− ε < < + ε.
2 x 2
Так как при достаточ-
но малом ε все части
этого неравенства по-
ложительны, то
2 2