Три дефиниции за континуитет на функција во точка. Својства на функциите континуирани на интервал

Континуирана функција е функција без „скокови“, односно онаа за која условот е задоволен: малите промени во аргументот се проследени со мали промени во соодветните вредности на функцијата. Графикот на таква функција е мазна или континуирана крива.

Континуитетот во граничната точка за одредено множество може да се дефинира со користење на концептот на граница, имено: функцијата мора да има граница во оваа точка која е еднаква на нејзината вредност во граничната точка.

Доколку во одреден момент се нарушат овие услови, велат дека функцијата во овој момент трпи дисконтинуитет, односно се нарушува нејзиниот континуитет. Во јазикот на границите, точката на прекин може да се опише како несовпаѓање помеѓу вредноста на функцијата на точката на прекин и границата на функцијата (ако постои).

Точката на прекин може да биде отстранлива, за ова е неопходно постоење на граница на функцијата, но таа не се совпаѓа со нејзината вредност во дадена точка. Во овој случај, може да се „поправи“ во овој момент, односно може дополнително да се дефинира на континуитет.
Сосема поинаква слика се појавува ако има ограничување на дадената функција. Постојат две можни опции за точка на прекин:

од првиот вид - двете еднострани граници се достапни и конечни, а вредноста на едната од нив или двете не се совпаѓа со вредноста на функцијата во дадена точка;
од вториот вид, кога едната или двете еднострани граници не постојат или нивните вредности се бесконечни.

Својства на континуирани функции

Функцијата добиена како резултат на аритметички операции, како и суперпозиција на непрекинати функции на нивниот домен на дефиниција, исто така е континуирана.
Ако ви е дадена континуирана функција која е позитивна во одреден момент, тогаш секогаш можете да најдете доволно мала населба од неа каде што ќе го задржи својот знак.
Слично на тоа, ако неговите вредности во две точки A и B се еднакви на a и b, соодветно, а a се разликува од b, тогаш за средни точки ќе ги земе сите вредности од интервалот (a ; b). Од ова можеме да извлечеме интересен заклучок: ако оставите истегната еластична лента да се компресира за да не попушта (останува исправена), тогаш една од нејзините точки ќе остане неподвижна. И геометриски, тоа значи дека има права линија што минува низ која било средна точка помеѓу А и Б што го пресекува графикот на функцијата.

Да забележиме некои од континуираните (во доменот на нивната дефиниција) елементарни функции:

константна;
рационално;
тригонометриски.

Постои нераскинлива врска помеѓу два фундаментални поими во математиката - континуитет и диференцијабилност. Доволно е само да се запамети дека за една функција да биде диференцијабилна потребно е таа да биде континуирана функција.

Ако функцијата е диференцијабилна во одреден момент, тогаш таа е континуирана таму. Меѓутоа, воопшто не е неопходно неговиот дериват да биде континуиран.

Функција која има континуиран извод на одредено множество припаѓа на посебна класа на мазни функции. Со други зборови, тоа е континуирано диференцијабилна функција. Ако изводот има ограничен број на точки на дисконтинуитет (само од првиот вид), тогаш таквата функција се нарекува парче мазна.

Друг важен концепт е еднообразниот континуитет на функцијата, односно нејзината способност да биде подеднакво континуирана во која било точка од нејзиниот домен на дефиниција. Така, ова е својство што се разгледува во многу точки, а не во една точка.

Ако поправаме точка, тогаш не добиваме ништо повеќе од дефиниција за континуитет, односно од присуството на еднообразен континуитет произлегува дека имаме континуирана функција. Општо земено, обратното не е точно. Меѓутоа, според теоремата на Кантор, ако функцијата е континуирана на компактно множество, односно на затворен интервал, тогаш таа е рамномерно континуирана на неа.

Одредување на континуитет на функција во точка
Функција f (x)повикани континуирано во точката x 0 населба У (x0)оваа точка, и ако границата како x се стреми кон x 0 постои и е еднаква на вредноста на функцијата на x 0 :
.

Ова имплицира дека x 0 - ова е крајната точка. Вредноста на функцијата во неа може да биде само конечен број.

Дефиниција за континуитет десно (лево)
Функција f (x)повикани континуирано десно (лево) во точката x 0 , ако е дефинирано на некое десно (лево) соседство на оваа точка, и ако десната (левата) граница во точката x 0 еднаква на вредноста на функцијата на x 0 :
.

Примери

Пример 1

Користејќи ги дефинициите Хајне и Коши, докажете дека функцијата е континуирана за сите x.

Нека има произволен број. Да докажеме дека дадената функција е континуирана во точката. Функцијата е дефинирана за сите x. Затоа, таа е дефинирана во точка и во која било нејзина населба.

Ја користиме дефиницијата на Хајне

Ајде да користиме. Нека има произволна низа што се конвергира во : . Применувајќи го својството на границата на производ од низи, имаме:
.
Бидејќи постои произволна низа што конвергира во , тогаш
.
Континуитетот е докажан.

Ја користиме дефиницијата Коши

Ајде да користиме.
Да го разгледаме случајот. Имаме право да ја разгледаме функцијата на кое било соседство на точката. Затоа ќе претпоставиме дека
(А1.1) .

Да ја примениме формулата:
.
Земајќи ја предвид (А1.1), ја правиме следната проценка:

;
(A1.2) .

Применувајќи го (А1.2), ја проценуваме апсолутната вредност на разликата:
;
(A1.3) .
.
Според својствата на неравенките, ако (А1.3) е задоволено, ако и ако , тогаш .

Сега да ја погледнеме поентата. Во овој случај
.
.

.
Ова значи дека функцијата е континуирана во точката.

На сличен начин, може да се докаже дека функцијата , каде што n е природен број, е континуирана на целата реална оска.

Пример 2

Користење на докажете дека функцијата е континуирана за сите .

Дадената функција е дефинирана на . Да докажеме дека е континуирано во точката.

Да го разгледаме случајот.
Имаме право да ја разгледаме функцијата на кое било соседство на точката. Затоа ќе претпоставиме дека
(A2.1) .

Да ја примениме формулата:
(A2.2) .
Ајде да го ставиме. Потоа
.

Земајќи ја предвид (А2.1), ја правиме следната проценка:

.
Значи,
.

Применувајќи ја оваа нееднаквост и користејќи (А2.2), ја проценуваме разликата:

.
Значи,
(A2.3) .

Воведуваме позитивни броеви и , поврзувајќи ги со следните односи:
.
Според својствата на неравенките, ако (А2.3) е задоволено, ако и ако , тогаш .

Ова значи дека за секое позитивно секогаш постои . Тогаш за сите x кои ја задоволуваат неравенката, следнава неравенка автоматски се задоволува:
.
Ова значи дека функцијата е континуирана во точката.

Сега да ја погледнеме поентата. Треба да покажеме дека дадената функција е континуирана во оваа точка од десната страна. Во овој случај
.
Внесете позитивни броеви и:
.

Ова покажува дека за секое позитивно секогаш постои . Тогаш за сите x така што , важи следнава неравенка:
.
Тоа значи дека. Односно, функцијата е континуирана десно во точката.

На сличен начин, може да се докаже дека функцијата , каде што n е природен број, е континуирана за .

Референци:
О.И. Бешов. Предавања по математичка анализа. Дел 1. Москва, 2004 година.
Л.Д. Кудрјавцев. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.
ЦМ. Николски. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 1983 година.

1. Вовед.

2. Определување на континуитет на функција.

3. Класификација на точките на прекин

4. Својства на континуирани функции.

5. Економското значење на континуитетот.

6. Заклучок.

10.1. Вовед

Секогаш кога ги проценуваме неизбежните промени во светот околу нас со текот на времето, се обидуваме да ги анализираме тековните процеси со цел да ги истакнеме нивните најзначајни карактеристики. Едно од првите прашања што се појавува на оваа патека е: Какосе случуваат промени карактеристични за овој феномен - континуираноили дискретно, т.е. спазматично. Дали девизниот курс поевтинува или рамномерно пропаѓа, има ли постепена еволуција или револуционерен скок? За да се унифицираат квалитативните и квантитативните проценки на она што се случува, треба да се апстрахира од конкретната содржина и да се проучи проблемот во смисла на функционална зависност. Тоа може да го направи теоријата на границите, за која разговаравме на последното предавање.

10.2. Дефиниција на континуитет на функција

Континуитетот на функцијата е интуитивно поврзан со фактот дека нејзиниот график е континуирана крива која не се прекинува никаде. Ние цртаме график на таква функција без да го кренеме пенкалото од хартијата. Ако функцијата е дадена во табела, тогаш, строго кажано, не може да се процени нејзиниот континуитет, бидејќи за даден чекор на табелата однесувањето на функцијата во интервали не е дефинирано.

Во реалноста со континуитет се јавува следната околност: ако параметрите што ја карактеризираат ситуацијата Малкупромени тогаш Малкуситуацијата ќе се промени. Овде не е важно дека ситуацијата ќе се промени, туку дека ќе се промени „малку“.

Дозволете ни да го формулираме концептот на континуитет на јазикот на зголемувањата. Нека некој феномен е опишан со функција и точка аспаѓа во доменот на дефинирање на функцијата. Разликата се нарекува зголемување на аргументотво точката а, разлика - зголемување на функцијатаво точката а.

Дефиниција 10.1.Функција континуирано во една точкаа, ако е дефинирано во оваа точка и бесконечно мало зголемување во аргументот одговара на бесконечно мало зголемување во функцијата:

Пример 10.1.Испитајте го континуитетот на функцијата во точката.

Решение.Ајде да изградиме график на функцијата и да ги означиме зголемувањата D на неа xи Д y(Сл. 10.1).

Графикот покажува дека колку е помал прираст D x, толку помалку Д y. Да го покажеме ова аналитички. Зголемувањето на аргументот е еднакво на , тогаш зголемувањето на функцијата во оваа точка ќе биде еднакво на

Од ова е јасно дека ако , тогаш и:

Да дадеме друга дефиниција за континуитетот на функцијата.

Дефиниција 10.2.Функцијата се нарекува континуираново точка а ако:

1) таа е дефинирана во точката а и дел од неговата околина;

2) постојат еднострани граници и се еднакви една на друга:

;

3) граница на функцијата на x® a е еднаква на вредноста на функцијата во оваа точка:

Ако барем еден од овие услови е прекршен, тогаш се вели дека функцијата е подложена јаз.

Оваа дефиниција е оперативна за воспоставување на континуитет во една точка. Следејќи го неговиот алгоритам и забележувајќи ги совпаѓањата и несовпаѓањата помеѓу барањата на дефиницијата и конкретен пример, можеме да заклучиме дека функцијата е континуирана во точка.

Во Дефиниција 2, идејата за близина јасно се појавува кога го воведовме концептот на ограничување. Со неограничено приближување на аргументот xдо граничната вредност а, континуирано во точка афункција ѓ(x) се приближува до ограничувачката вредност произволно затворање ѓ(а).

10.3. Класификација на точките на прекин

Се повикуваат точките во кои се нарушени условите за континуитет на функцијата точки на прекиноваа функција. Ако x 0 е точката на прекин на функцијата, барем еден од условите за континуитет на функцијата не е исполнет. Размислете за следниот пример.

1. Функцијата е дефинирана во одредено соседство на точката а, но не е дефинирано во самата точка а. На пример, функцијата не е дефинирана во точка а=2, затоа претрпува дисконтинуитет (види Сл. 10.2).

Ориз. 10.2 Сл. 10.3

2. Функцијата е дефинирана во точка аи во некои од неговите соседства, неговите еднострани граници постојат, но не се еднакви една со друга: , тогаш функцијата претрпува дисконтинуитет. На пример, функцијата

е дефинирана во точката, но во функцијата доживува дисконтинуитет (види Сл. 10.3), бидејќи

И ().

3. Функцијата е дефинирана во точка аи во некое негово соседство, постои граница на функцијата во , но оваа граница не е еднаква на вредноста на функцијата во точката а:

На пример, функцијата (види Сл. 10.4)

Еве ја точката на кршење:

Сите точки на дисконтинуитет се поделени на отстранливи точки на дисконтинуитет, точки на дисконтинуитет од прв и втор вид.

Дефиниција 10.1.Точката на прекин се нарекува точка јаз што може да се поправи , ако во овој момент има конечни граници на функцијата лево и десно, еднакви една на друга:

Границата на функцијата во оваа точка постои, но не е еднаква на вредноста на функцијата на граничната точка (ако функцијата е дефинирана на граничната точка), или функцијата на граничната точка не е дефинирана.

На сл. 10.4 во точката се нарушени условите за континуитет, а функцијата има дисконтинуитет. Точка на графиконот (0; 1) изваден. Сепак, овој јаз може лесно да се елиминира - доволно е да се редефинира оваа функција, поставувајќи ја еднаква на нејзината граница во овој момент, т.е. стави . Затоа, таквите празнини се нарекуваат отстранливи.

Дефиниција 10.2.Точката на прекршување се нарекува точка на дисконтинуитет од 1-виот вид , ако во овој момент има конечни граници на функцијата лево и десно, но тие не се еднакви една со друга:

Во овој момент се вели дека функцијата доживува скок.

На сл. 10.3 Функцијата има дисконтинуитет од првиот вид во точката. Левата и десната граница во овој момент се еднакви:

И .

Скокот на функцијата во точката на дисконтинуитет е еднаков на .

Невозможно е да се дефинира таква функција како континуирана. Графикот се состои од две полуправи одделени со скок.

Дефиниција 10.3.Точката на прекршување се нарекува точка на дисконтинуитет од втор вид , ако барем една од едностраните граници на функцијата (лево или десно) не постои или е еднаква на бесконечност.

На слика 10.3, функцијата во точка има дисконтинуитет од вториот вид. Разгледуваната функција во е бесконечно голема и нема конечна граница ниту десно, ниту лево. Затоа, во таков момент нема потреба да се зборува за континуитет.

Пример 10.2.Конструирај график и одреди ја природата на точките на прекин:

Решение.Ајде да ја нацртаме функцијата ѓ(x) (Слика 10.5).

Сликата покажува дека оригиналната функција има три точки на дисконтинуитет: x 2 = 1,
x 3 = 3. Да ги разгледаме по редослед.

Затоа поентата има руптура од втор вид.

а) Функцијата е дефинирана во оваа точка: ѓ(1) = –1.

б) , ,

тие. во точката x 2 = 1 на располагање јаз што може да се поправи. Со редефинирање на вредноста на функцијата во овој момент: ѓ(1) = 5, дисконтинуитетот е елиминиран и функцијата во овој момент станува континуирана.

а) Функцијата е дефинирана во оваа точка: ѓ(3) = 1.

Значи, во точката x 1 = 3 на располагање руптура од 1. вид. Функцијата во овој момент доживува скок еднаков на D y= –2–1 = –3.

10.4. Својства на континуирани функции

Потсетувајќи ги соодветните својства на границите, заклучуваме дека функциите што се резултат на аритметички операции на функциите непрекинати во истата точка се исто така континуирани. Забелешка:

1) ако функциите и се континуирани во точката а, тогаш функциите и (под услов ) да се исто така континуирани во оваа точка;

2) ако функцијата е континуирана во точката аа функцијата е континуирана во точката , тогаш сложената функција е континуирана во точката аИ

тие. граничниот знак може да се стави под знакот на континуирана функција.

Тие го велат тоа Функцијата е континуирана на некое множество ако е континуирана во секоја точка од ова множество. Графикот на таквата функција е континуирана линија која може да се прецрта со еден потег на пенкалото.

Сите главни елементарните функции се континуирани во сите точки каде што се дефинирани.

Функции, континуирано на сегментот, имаат голем број важни карактеристични својства. Дозволете ни да формулираме теореми кои изразуваат некои од овие својства.

Теорема 10.1 (Вајерштрасова теорема ). Ако функцијата е континуирана на сегмент, тогаш таа ги достигнува своите минимални и максимални вредности на овој сегмент.

Теорема 10.2 (Теорема на Коши ). Ако функцијата е континуирана на интервал, тогаш на овој интервал сите средни вредности помеѓу најмалите и најголемите вредности.

Следното важно својство произлегува од теоремата на Коши.

Теорема 10.3. Ако функцијата е континуирана на сегмент и добива вредности на различни знаци на краевите на сегментот, тогаш помеѓу a и b постои точка c во која функцијата исчезнува:.

Геометриското значење на оваа теорема е очигледно: ако графикот на континуирана функција оди од долната полурамнина до горната полурамнина (или обратно), тогаш барем во една точка ќе ја пресече оската Вол(Сл. 10.6).

Пример 10.3.Приближно пресметајте го коренот на равенката

, (т.е. приближно замени) полином од соодветен степен.

Ова е многу важно својство на континуираните функции за вежбање. На пример, многу често континуираните функции се специфицирани со табели (набљудувачки или експериментални податоци). Потоа, користејќи некој метод, можете да ја замените табеларната функција со полином. Во согласност со теоремата 10.3, ова секогаш може да се направи со доволно висока точност. Работата со аналитички дефинирана функција (особено полином) е многу полесна.

10.5. Економско значење на континуитет

Повеќето од функциите што се користат во економијата се континуирани, а тоа овозможува да се направат доста значајни изјави за економската содржина.

За илустрација, разгледајте го следниов пример.

Даночна стапка Нима приближно ист график како на сл. 10.7а.

На краевите на интервалите е дисконтинуирано и овие дисконтинуитети се од 1-виот вид. Сепак, износот на самиот данок на доход П(Сл. 10.7б) е континуирана функција на годишниот приход П. Оттука, особено, произлегува дека ако годишните примања на две лица незначително се разликуваат, тогаш незначително треба да се разликува и разликата во износите на данокот на доход што тие треба да ги платат. Интересно е што околноста огромното мнозинство луѓе ја доживуваат како сосема природна, на што не ни помислуваат.

10.6. Заклучок

Кон крајот, да си дозволиме мало повлекување.

Еве како графички да се изрази тажното набљудување на древните:

Како транзит Глорија може...

(Така поминува земната слава …)

Крај на работа -

Оваа тема припаѓа на делот:

Концепт на функција

Концептот на функција.. сè тече и сè се менува Хераклит.. табела x x x x y y y y y..

Ако ви треба дополнителен материјал на оваа тема, или не го најдовте она што го барате, препорачуваме да го користите пребарувањето во нашата база на податоци за дела:

Што ќе правиме со добиениот материјал:

Ако овој материјал ви беше корисен, можете да го зачувате на вашата страница на социјалните мрежи:

Проучувањето на функцијата за континуитет во точка се врши според веќе воспоставена рутинска шема, која се состои од проверка на три услови на континуитет:

Пример 1

Испитајте ја функцијата за континуитет. Да се определи природата на функционалните дисконтинуитети, доколку постојат. Извршете го цртежот.

Решение:

1) Единствената точка во опсегот е местото каде што функцијата не е дефинирана.

Едностраните граници се конечни и еднакви.

Така, во точката функцијата претрпува отстранлив дисконтинуитет.

Како изгледа графикот на оваа функција?

Би сакал да поедноставам , и се чини дека е добиена обична парабола. НОоригиналната функција не е дефинирана во точката, па затоа е потребна следната клаузула:

Ајде да го направиме цртежот:

Одговори: функцијата е континуирана на целата бројна права освен точката во која претрпува отстранлив дисконтинуитет.

Функцијата може дополнително да се дефинира на добар или не толку добар начин, но според условот тоа не е потребно.

Велиш дека ова е пресилен пример? Воопшто не. Ова се случило десетици пати во пракса. Речиси сите задачи на страницата доаѓаат од вистинска независна работа и тестови.

Ајде да се ослободиме од нашите омилени модули:

Пример 2

Функција за истражување за континуитет. Да се определи природата на функционалните дисконтинуитети, доколку постојат. Извршете го цртежот.

Решение: Поради некоја причина, студентите се плашат и не ги сакаат функциите со модул, иако нема ништо комплицирано во нив. Веќе малку допревме такви работи во лекцијата. Геометриски трансформации на графикони. Бидејќи модулот не е негативен, тој се проширува на следниов начин: , каде што „алфа“ е некој израз. Во овој случај, и нашата функција треба да се напише на парче:

Но, фракциите на двете парчиња мора да се намалат за . Намалувањето, како и во претходниот пример, нема да се одвива без последици. Оригиналната функција не е дефинирана во точката бидејќи именителот оди на нула. Затоа, системот треба дополнително да го специфицира условот и да ја направи првата нееднаквост строга:

Сега за една МНОГУ КОРИСНА техника за одлучување: пред да се финализира задачата на нацрт, поволно е да се направи цртеж (без разлика дали тоа го бараат условите или не). Ова ќе помогне, прво, веднаш да ги видите точките на континуитет и точките на дисконтинуитет, и, второ, 100% ќе ве заштити од грешки при наоѓање еднострани граници.

Ајде да го направиме цртежот. Во согласност со нашите пресметки, лево од точката потребно е да се нацрта фрагмент од парабола (сина боја), а десно - парче парабола (црвена боја), додека функцијата не е дефинирана на самата точка:

Ако се сомневате, земете неколку x вредности и приклучете ги во функцијата (сеќавајќи се дека модулот го уништува можниот знак минус) и проверете го графикот.

Да ја испитаме функцијата за континуитет аналитички:

1) Функцијата не е дефинирана во точката, така што веднаш можеме да кажеме дека во неа не е континуирана.

2) Да ја утврдиме природата на дисконтинуитетот; за да го направиме ова, пресметуваме еднострани граници:

Едностраните граници се конечни и различни, што значи дека функцијата претрпува дисконтинуитет од 1-виот вид со скок во точката. Забележете дека не е важно дали функцијата во точката на прекин е дефинирана или не.

Сега останува само да се пренесе цртежот од нацртот (тој е направен како со помош на истражување ;-)) и да се заврши задачата:

Одговори: функцијата е континуирана на целата бројна права, освен точката во која претрпува дисконтинуитет од првиот вид со скок.

Понекогаш тие бараат дополнителна индикација за скокот на дисконтинуитет. Се пресметува едноставно - од десната граница треба да ја одземете левата граница: , односно во точката на прекин нашата функција скокна 2 единици надолу (како што ни кажува знакот минус).

Пример 3

Функција за истражување за континуитет. Да се определи природата на функционалните дисконтинуитети, доколку постојат. Направете цртеж.

Ова е пример за да го решите сами, примерок од решението на крајот од часот.

Ајде да преминеме на најпопуларната и најраспространета верзија на задачата, кога функцијата се состои од три дела:

Пример 4

Испитајте ја функцијата за континуитет и нацртајте график на функцијата

Решение: очигледно е дека сите три дела од функцијата се континуирани на соодветните интервали, па останува да се проверат само две точки на „спој“ меѓу парчињата. Прво, ајде да направиме нацрт-цртеж; јас ја коментирав техниката на градење доволно детално во првиот дел од статијата. Единственото нешто е што треба внимателно да ги следиме нашите еднини точки: поради нееднаквоста, вредноста и припаѓа на правата линија (зелена точка), а поради нееднаквоста, вредноста припаѓа на параболата (црвена точка):

Па, во принцип, сè е јасно =) Останува само да се формализира одлуката. За секоја од двете точки на „спојување“, стандардно проверуваме 3 услови за континуитет:

јас)

Едностраните граници се конечни и различни, што значи дека функцијата претрпува дисконтинуитет од 1-виот вид со скок во точката.

Дозволете ни да го пресметаме скокот на дисконтинуитет како разлика помеѓу десната и левата граница:
, односно, графикот отскокна една единица.

II)Ја испитуваме точката за континуитет

1) - функцијата е дефинирана во дадена точка.

2) Најдете еднострани граници:

- едностраните граници се конечни и еднакви, што значи дека постои општа граница.

Во последната фаза, го пренесуваме цртежот во финалната верзија, по што го ставаме последниот акорд:

Одговори: функцијата е непрекината на целата бројна права, освен точката во која претрпува дисконтинуитет од првиот вид со скок.

Пример 5

Испитајте ја функцијата за континуитет и конструирајте го нејзиниот график .

Ова е пример за независно решение, кратко решение и приближен примерок на проблемот на крајот од часот.

Може да добиете впечаток дека во еден момент функцијата мора да биде континуирана, а во друга да има дисконтинуитет. Во пракса, тоа не е секогаш случај. Обидете се да не ги занемарите преостанатите примери - ќе има неколку интересни и важни карактеристики:

Пример 6

Дадена функција . Истражете ја функцијата за континуитет во точките. Изградете графикон.

Решение: и повторно веднаш извршете го цртежот на нацртот:

Особеноста на овој график е што функцијата на парчиња е дадена со равенката на оската на апсцисата. Овде оваа област е нацртана со зелена боја, но во тетратка обично се истакнува со задебелени букви со едноставен молив. И, се разбира, не заборавајте за нашите овни: вредноста припаѓа на тангентата гранка (црвена точка), а вредноста припаѓа на права линија.

Сè е јасно од цртежот - функцијата е континуирана по целата нумеричка линија, останува само да се формализира решението, кое е доведено до целосна автоматизација буквално по 3-4 слични примери:

јас)Ја испитуваме точката за континуитет

2) Ајде да пресметаме еднострани граници:

, што значи дека постои општа граница.

Овде се случи малку смешна работа. Факт е дека создадов многу материјали за границите на функцијата, и неколку пати сакав, но неколку пати заборавив на едно едноставно прашање. И така, со неверојатен напор на волја, се принудив да не ја изгубам мислата =) Најверојатно, некои читатели на „думи“ се сомневаат: која е границата на константата?Границата на константата е еднаква на самата константа. Во овој случај, границата на нула е еднаква на самата нула (ограничување на левата страна).

3) - границата на функцијата во точка е еднаква на вредноста на оваа функција во дадена точка.

Така, функцијата е континуирана во точка со дефиниција за континуитет на функција во точка.

II)Ја испитуваме точката за континуитет

1) - функцијата е дефинирана во дадена точка.

2) Најдете еднострани граници:

И овде, во десната граница, границата на единството е еднаква на самото единство.

- постои општа граница.

3) - границата на функцијата во точка е еднаква на вредноста на оваа функција во дадена точка.

Така, функцијата е континуирана во точка со дефиниција за континуитет на функција во точка.

Како и обично, по истражувањето го пренесуваме нашиот цртеж во финалната верзија.

Одговори: функцијата е континуирана во точките.

Ве молиме имајте предвид дека во состојбата не ни беше побарано ништо за проучување на целата функција за континуитет и се смета дека е добра математичка форма за формулирање прецизни и јасниодговорот на поставеното прашање. Патем, ако условите не бараат да изградите график, тогаш имате целосно право да не го изградите (иако подоцна наставникот може да ве принуди да го направите ова).

Мал математички „превртувач на јазици“ за сами да го решите:

Пример 7

Дадена функција .

Истражете ја функцијата за континуитет во точките. Класифицирајте ги точките на прекин, доколку ги има. Извршете го цртежот.

Обидете се правилно да ги „изговорите“ сите „зборови“ =) И попрецизно нацртајте го графикот, точност, нема да биде излишно насекаде;-)

Како што се сеќавате, препорачав веднаш да го комплетирате цртежот како нацрт, но од време на време наидувате на примери каде што не можете веднаш да сфатите како изгледа графикот. Затоа, во некои случаи, поволно е прво да се најдат еднострани граници и дури потоа, врз основа на студијата, да се прикажат гранките. Во последните два примери ќе научиме и техника за пресметување на некои еднострани граници:

Пример 8

Испитајте ја функцијата за континуитет и конструирајте го нејзиниот шематски график.

Решение: лошите точки се очигледни: (го намалува именителот на експонентот на нула) и (го намалува именителот на целата дропка на нула). Не е јасно како изгледа графикот на оваа функција, што значи дека е подобро прво да се направи истражување:

јас)Ја испитуваме точката за континуитет

2) Најдете еднострани граници:

Обрни внимание на типичен метод за пресметување на еднострана граница: наместо „x“ заменуваме . Нема криминал во именителот: „дополнувањето“ „минус нула“ не игра улога, а резултатот е „четири“. Но, во броителот се случува мал трилер: прво ги убиваме -1 и 1 во именителот на индикаторот, што резултира со . Единица поделена со , е еднакво на „минус бесконечност“, значи: . И конечно, „двајцата“ во бескрајно голем негативен степенеднакво на нула: . Или, да бидам уште поконкретен: .

Ајде да ја пресметаме границата од десната страна:

И тука - наместо „Х“ го заменуваме . Во именителот „додатокот“ повторно не игра улога: . Во броителот се вршат дејства слични на претходната граница: уништуваме спротивни броеви и делиме еден со :

Границата од десната страна е бесконечна, што значи дека функцијата претрпува дисконтинуитет од вториот вид во точката.

II)Ја испитуваме точката за континуитет

1) Функцијата не е дефинирана во овој момент.

2) Да ја пресметаме границата од левата страна:

Методот е ист: го заменуваме „X“ во функцијата. Нема ништо интересно во броителот - излегува дека е конечен позитивен број. И во именителот ги отвораме заградите, ги отстрануваме „трите“, а „додатокот“ игра одлучувачка улога.

Како резултат на тоа, конечниот позитивен број поделен со бесконечно мал позитивен број, дава „плус бесконечност“: .

Границата од десната рака е како брат близнак, со единствен исклучок што се појавува во именителот бесконечно мал негативен број:

Едностраните граници се бесконечни, што значи дека функцијата претрпува дисконтинуитет од вториот вид во точката.

Така, имаме две точки на прекин и, очигледно, три гранки на графикот. За секоја гранка, препорачливо е да се изврши конструкција точка-по-точка, т.е. земете неколку вредности „x“ и заменете ги во . Ве молиме имајте предвид дека состојбата овозможува изградба на шематски цртеж, а таквото опуштање е природно за рачна работа. Јас градам графикони користејќи програма, така што немам такви тешкотии, еве прилично точна слика:

Директни се вертикални асимптотиза графикот на оваа функција.

Одговори: функцијата е непрекината на целата бројна права, освен точките во кои има дисконтинуитети од втор вид.

Поедноставна функција за решавање самостојно:

Пример 9

Испитајте ја функцијата за континуитет и направете шематски цртеж.

Приближен пример за решение на крајот што се вовлече незабележано.

Се гледаме наскоро!

Решенија и одговори:

Пример 3:Решение : трансформирање на функцијата: . Со оглед на правилото за откривање на модулот и фактот дека , ја препишуваме функцијата на парче:

Ајде да ја испитаме функцијата за континуитет.

1) Функцијата не е дефинирана во точката .

Едностраните граници се конечни и различни, што значи дека функцијата претрпува дисконтинуитет од првиот вид со скок во точката . Ајде да го направиме цртежот:

Одговори: функцијата е континуирана на целата бројна права освен точката , во која претрпува дисконтинуитет од првиот вид со скок. Јаз за скок: (две единици нагоре).

Пример 5:Решение : Секој од трите дела на функцијата е континуиран на свој интервал.
јас)
1)

2) Ајде да пресметаме еднострани граници:

, што значи дека постои општа граница.
3) - границата на функцијата во точка е еднаква на вредноста на оваа функција во дадена точка.
Значи функцијата континуирано во една точка со дефинирање на континуитет на функција во точка.
II) Ја испитуваме точката за континуитет

1) - функцијата е дефинирана во дадена точка. функцијата претрпува дисконтинуитет од вториот вид во точката

Како да се најде доменот на функцијата?

Примери на решенија

Ако нешто недостасува некаде, тоа значи дека некаде има нешто

Продолжуваме да го проучуваме делот „Функции и графикони“, а следната станица на нашето патување е Функциски домен. Активна дискусија за овој концепт започна во првата лекција. за графиконите на функциите, каде што ги разгледав елементарните функции и, особено, нивните домени на дефиниција. Затоа, препорачувам куклите да започнат со основите на темата, бидејќи повеќе нема да се задржувам на некои основни точки.

Се претпоставува дека читателот ги знае домените на дефинирање на основните функции: линеарни, квадратни, кубни функции, полиноми, експоненцијални, логаритам, синус, косинус. Тие се дефинирани на. За тангенти, лаксини, нека биде, ти простувам =) Поретките графици не се паметат веднаш.

Обемот на дефиницијата се чини дека е едноставна работа и се поставува логично прашање: за што ќе биде статијата? Во оваа лекција ќе ги разгледам вообичаените проблеми за наоѓање на доменот на функцијата. Покрај тоа, ќе повториме неравенки со една променливачии вештини за решавање ќе бидат потребни и во други проблеми од вишата математика. Материјалот, инаку, е целиот училишен материјал, така што ќе биде корисен не само за учениците, туку и за учениците. Информациите, се разбира, не се преправаат дека се енциклопедиски, но тука не се пресилни „мртви“ примери, туку печени костени, преземени од вистински практични дела.

Да почнеме со брзо нурнување во темата. Накратко за главната работа: зборуваме за функција од една променлива. Нејзиниот домен на дефиниција е многу значења на „x“, за што постојатзначења на „играчи“. Ајде да погледнеме хипотетички пример:

Доменот на дефиниција на оваа функција е сојуз од интервали:
(за оние кои заборавиле: - икона за обединување). Со други зборови, ако земете која било вредност на „x“ од интервалот , или од , или од , тогаш за секое такво „x“ ќе има вредност „y“.

Грубо кажано, каде што е доменот на дефиниција, постои график на функцијата. Но, полу-интервалот и точката „tse“ не се вклучени во областа за дефиниција, така што таму нема график.

Да, патем, ако нешто не е јасно од терминологијата и/или содржината на првите параграфи, подобро е да се вратиме на статијата Графикони и својства на елементарните функции.

Дефиниција
Функција f (x)повикани континуирано во точката x 0 соседството на оваа точка, и ако границата како x се стреми кон x 0 еднаква на вредноста на функцијата на x 0 :
.

Користејќи ги дефинициите на Коши и Хајн за границата на функцијата, можеме да дадеме проширени дефиниции за континуитет на функција во точка .

Можеме да го формулираме концептот на континуитет во во однос на зголемувањата. За да го направите ова, воведуваме нова променлива, која се нарекува зголемување на променливата x во точката. Тогаш функцијата е континуирана во точката ако
.
Ајде да воведеме нова функција:
.
Ја викаат зголемување на функцијатаво точка. Тогаш функцијата е континуирана во точката ако
.

Теорема за ограниченоста на континуирана функција
Нека функцијата f (x)е континуиран во точката x 0 . Потоа има населба У (x0), на кој функцијата е ограничена.

Теорема за зачувување на знакот на континуирана функција
Нека функцијата е континуирана во точката. И нека има позитивна (негативна) вредност во овој момент:
.
Потоа, постои соседство на точката каде што функцијата има позитивна (негативна) вредност:
во .

Аритметички својства на непрекинати функции
Оставете ги функциите и да бидат континуирани во точката.
Потоа функциите и се континуирани во точката.
Ако, тогаш функцијата е континуирана во точката.

Својство на континуитет лево-десно
Функцијата е континуирана во точка ако и само ако е непрекината десно и лево.

Доказите за својствата се дадени на страницата „Својства на функциите континуирани во точка“.

Континуитет на сложена функција

Теорема за континуитет за сложена функција
Нека функцијата е континуирана во точката. И нека функцијата е континуирана во точката.
Тогаш комплексната функција е континуирана во точката.

Граница на сложена функција

Теорема за граница на континуирана функција на функција
Нека постои граница на функцијата во , и таа е еднаква на:
.
Еве ја точката т 0 може да биде конечна или бесконечно далечна: .
И нека функцијата е континуирана во точката.
Тогаш постои граница на сложена функција и таа е еднаква на:
.

Теорема за граница на сложена функција
Нека функцијата има граница и мапира пробиено соседство на точка на пробиено соседство на точка. Нека функцијата е дефинирана на оваа населба и нека има ограничување на неа.
Еве ги конечните или бескрајно оддалечените точки: . Населбите и нивните соодветни граници можат да бидат или двострани или еднострани.
Тогаш постои граница на сложена функција и таа е еднаква на:
.

Точки на прекин

Одредување на точката на прекин
Нека функцијата е дефинирана на некое пробиено соседство на точката. Точката се нарекува точка на прекин на функцијата, ако е исполнет еден од двата услови:
1) не е дефинирано во ;
2) е дефинирано во , но не е во овој момент.

Определување на точката на дисконтинуитет од 1-виот вид
Точката се нарекува точка на дисконтинуитет од прв вид, ако е точка на прекин и има конечни еднострани граници лево и десно:
.

Дефиниција на функциски скок
Скок Δ функцијаво една точка е разликата помеѓу границите десно и лево
.

Одредување на точката на прекин
Точката се нарекува отстранлива точка на прекин, ако има ограничување
,
но функцијата во точката или не е дефинирана или не е еднаква на граничната вредност: .

Така, точката на отстранлив дисконтинуитет е точката на дисконтинуитет од 1-виот вид, на која скокот на функцијата е еднаков на нула.

Определување на точката на дисконтинуитет од втор вид
Точката се нарекува точка на дисконтинуитет од втор вид, ако не е дисконтинуитетна точка од 1-виот вид. Односно, ако нема барем една еднострана граница, или барем една еднострана граница во точка е еднаква на бесконечност.

Својства на функциите континуирани на интервал

Дефиниција на функција континуирана на интервал
Функцијата се нарекува континуирана на интервал (at) ако е континуирана во сите точки од отворениот интервал (at) и во точките a и b, соодветно.

Првата теорема на Вајерштрас за ограниченоста на функцијата континуирана на интервал
Ако функцијата е континуирана на интервал, тогаш таа е ограничена на овој интервал.

Утврдување на достижливоста на максимумот (минимумот)
Функцијата го достигнува својот максимум (минимум) во множеството доколку постои аргумент за кој
за сите .

Одредување на достапноста на горното (долното) лице
Функцијата ја достигнува својата горна (долна) граница на множеството ако има аргумент за кој
.

Втората теорема на Вајерштрас за максимумот и минимумот на континуирана функција
Непрекината функција на отсечка ги достигнува горните и долните граници на неа или, што е исто, го достигнува својот максимум и минимум на отсечката.

Теорема за средна вредност Болзано-Коши
Нека функцијата е континуирана на сегментот. И нека C е произволен број сместен помеѓу вредностите на функцијата на краевите на сегментот: и . Потоа, постои точка за која
.

Заклучок 1
Нека функцијата е континуирана на сегментот. И нека вредностите на функциите на краевите на сегментот имаат различни знаци: или . Потоа, постои точка во која вредноста на функцијата е еднаква на нула:
.

Заклучок 2
Нека функцијата е континуирана на сегментот. Пушти го . Тогаш функцијата ги зема во интервалот сите вредности од и само овие вредности:
во .

Инверзни функции

Дефиниција на инверзна функција
Нека функцијата има домен на дефиниција X и збир на вредности Y. И нека го има имотот:
за сите .
Тогаш за кој било елемент од множеството Y може да се поврзе само еден елемент од множеството X за кој . Оваа кореспонденција дефинира функција наречена инверзна функцијаДо . Инверзната функција е означена на следниов начин:
.

Од дефиницијата произлегува дека
;
за сите ;
за сите .

Лема за меѓусебната монотоност на директните и инверзните функции
Ако функцијата строго се зголемува (опаѓа), тогаш постои инверзна функција која исто така строго се зголемува (опаѓа).

Својство на симетрија на графикони на директни и инверзни функции
Графиконите на директните и инверзните функции се симетрични во однос на правата линија.

Теорема за постоење и континуитет на инверзна функција на интервал
Нека функцијата е континуирана и строго се зголемува (намалува) на сегментот. Тогаш инверзната функција е дефинирана и континуирана на отсечката, која строго се зголемува (намалува).

За зголемена функција. За намалување - .

Теорема за постоење и континуитет на инверзна функција на интервал
Нека функцијата е континуирана и строго се зголемува (намалува) на отворен конечен или бесконечен интервал. Тогаш инверзната функција е дефинирана и континуирана на интервалот, кој строго се зголемува (намалува).

За зголемена функција.
За намалување на:.

На сличен начин, можеме да ја формулираме теоремата за постоење и континуитет на инверзната функција на полуинтервал.

Својства и континуитет на елементарните функции

Елементарните функции и нивните инверзи се континуирани во нивниот домен на дефиниција. Подолу ги презентираме формулациите на соодветните теореми и обезбедуваме врски до нивните докази.

Експоненцијална функција

Експоненцијална функција f (x) = a x, со основа а > 0 е граница на низата
,
каде што е произволна низа од рационални броеви со тенденција кон x:
.

Теорема. Својства на експоненцијалната функција
Експоненцијалната функција ги има следните својства:
(стр.0)дефинирано, за, за сите;
(стр.1)за ≠ 1 има многу значења;
(стр.2)строго се зголемува во, строго се намалува во, е константна во;
(стр.3) ;
(стр.3*) ;
(стр.4) ;
(стр.5) ;
(стр.6) ;
(стр.7) ;
(стр.8)континуирано за сите;
(стр.9)во ;
во .

Логаритам

Логаритамска функција, или логаритам, y = трупна секира, со основа ае инверзна на експоненцијалната функција со основа a.

Теорема. Својства на логаритмот
Логаритамска функција со основа a, y = логирајте x, ги има следните својства:
(Л.1)дефинирани и континуирани, за и , за позитивни вредности на аргументот;
(Л.2)има многу значења;
(Л.3)строго се зголемува како , строго се намалува како ;
(Л.4)во ;
во ;
(Л.5) ;
(Л.6)во ;
(Л.7)во ;
(L.8)во ;
(L.9)во .

Експонент и природен логаритам

Во дефинициите на експоненцијалната функција и логаритамот се јавува константа која се нарекува основа на моќноста или основа на логаритамот. Во математичката анализа, во огромното мнозинство на случаи, се добиваат поедноставни пресметки ако како основа се користи бројот e:
.
Експоненцијална функција со основа e се нарекува експонент: , а логаритам со основа e се нарекува природен логаритам: .

На страниците се претставени својствата на експонентот и природниот логаритам
„Експонент, e до моќта на x“,
„Природен логаритам, ln x функција“

Функција за напојување

Функција на моќност со експонент стре функцијата f (x) = x стр, чија вредност во точката x е еднаква на вредноста на експоненцијалната функција со основа x во точката p.
Покрај тоа, ѓ (0) = 0 p = 0за стр > 0 .

Овде ќе ги разгледаме својствата на функцијата моќност y = x p за ненегативни вредности на аргументот. За рационални, за непарен m, функцијата на моќност е дефинирана и за негативен x. Во овој случај, неговите својства може да се добијат со употреба на парни или непарни.
Овие случаи се детално дискутирани и илустрирани на страницата „Функција за напојување, нејзините својства и графикони“.

Теорема. Својства на функцијата моќност (x ≥ 0)
Функција на моќност, y = x p, со експонент p ги има следните својства:
(C.1)дефинирана и континуирана на сетот
во,
во ".

Тригонометриски функции

Теорема за континуитет на тригонометриските функции
Тригонометриски функции: синус ( грев х), косинус ( cos x), тангента ( tg x) и котангента ( ctg x

Теорема за континуитет на инверзни тригонометриски функции
Инверзни тригонометриски функции: лаксин ( arcsin x), лак косинус ( arccos x), арктангент ( арктан x) и лак тангента ( arcctg x), се континуирани во нивните домени на дефиниција.