Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. За време на времето што му е потребно на Ахил да го истрча ова растојание, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката лази уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.
Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Сите тие на овој или оној начин ја разгледувале апоријата на Зенон. Шокот беше толку силен што „ ...дискусиите продолжуваат до ден-денес, за да се дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите научната заедницадосега не беше можно.. бевме вклучени во проучувањето на прашањето математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи; ниту еден од нив не стана општоприфатено решение за проблемот...„[Википедија, „Зенонова апорија“. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира во што се состои измамата.
Од математичка гледна точка, Зенон во својата апорија јасно го демонстрирал преминот од количина во . Оваа транзиција подразбира примена наместо постојани. Колку што разбрав, математички апаратУпотребата на променливи мерни единици или сè уште не е развиена или не е применета на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, поради инертноста на размислувањето, применуваме константни временски единици на реципрочната вредност. СО физичка точкаОд перспектива, изгледа како времето да забавува додека не запре целосно во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја прегази желката.
Ако ја свртиме нашата вообичаена логика, сè си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја достигне желката“.
Како да се избегне оваа логична замка? Остани внатре константни единицимерења на времето и не одат на реципрочни величини. На јазикот на Зенон изгледа вака:
Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. За следниот временски интервал, еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.
Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, тоа не е целосно решениеПроблеми. Изјавата на Ајнштајн за неодоливоста на брзината на светлината е многу слична на Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Сè уште треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.
Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летечка стрела:
Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.
Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечка стрела мирува на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да одредите дали автомобилот се движи, потребни ви се две фотографии направени од иста точка различни моментивреме, но од нив не може да се одреди растојанието. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точкипростор во еден момент во времето, но невозможно е да се одреди фактот на движење од нив (природно, се уште се потребни дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне). Она што сакам да го истакнам Посебно внимание, е тоа што две точки во времето и две точки во просторот се различни работи кои не треба да се мешаат, бидејќи даваат различни можности за истражување.
Среда, 4 јули 2018 година
Разликите помеѓу множеството и мултимножеството се многу добро опишани на Википедија. Ајде да видиме.
Како што можете да видите, „не може да има два идентични елементи во множеството“, но ако има идентични елементи во множеството, таквото множество се нарекува „мултисет“. Разумните суштества никогаш нема да ја разберат таквата апсурдна логика. Ова е нивото зборуваат папагалии обучени мајмуни, кои немаат интелигенција од зборот „целосно“. Математичарите делуваат како обични тренери, проповедајќи ни ги нивните апсурдни идеи.
Некогаш инженерите кои го граделе мостот биле во чамец под мостот додека го тестирале мостот. Ако мостот се урнал, просечниот инженер умрел под урнатините на неговата креација. Ако мостот можеше да го издржи товарот, талентираниот инженер изградил други мостови.
Без разлика колку математичарите се кријат зад фразата „зафркни ме, јас сум во куќата“, поточно „студии по математика апстрактни концепти“, постои една папочна врвца која нераскинливо ги поврзува со реалноста. Оваа папочна врвца е пари. Аплицирајте математичка теоријапоставува на самите математичари.
Многу добро учевме математика и сега седиме на каса и даваме плати. Значи, математичар доаѓа кај нас за неговите пари. Му ја броиме целата сума и ја поставуваме на нашата маса во различни купови, во кои ставаме сметки од иста деноминација. Потоа земаме по една сметка од секој куп и му ја предаваме на математичарот“. математичко множествоплати.“ На математиката им објаснуваме дека преостанатите сметки ќе ги добие само кога ќе докаже дека комплет без идентични елементи не е еднаков на комплет со идентични елементи. Овде започнува забавата.
Како прво, ќе функционира логиката на пратениците: „Ова може да се примени за другите, но не и за мене! Тогаш ќе почнат да нè уверуваат дека сметките од иста деноминација имаат различни броеви на сметки, што значи дека не можат да се сметаат за исти елементи. Добро, ајде да ги броиме платите во монети - нема бројки на монетите. Тука математичарот ќе почне френетично да се сеќава на физиката: на различни монети има различни количиникал, кристална структураа распоредот на атомите во секоја паричка е единствен...
И сега имам најмногу интерес Прашај: каде е линијата по која елементите на повеќемножеството се претвораат во елементи на множество и обратно? Таква линија не постои - сè одлучуваат шаманите, науката не е ни блиску до лажење овде.
Погледнете тука. Избираме фудбалски стадиони со иста површина на теренот. Областите на полињата се исти - што значи дека имаме мултимножество. Но, ако ги погледнеме имињата на истите овие стадиони, добиваме многу, бидејќи имињата се различни. Како што можете да видите, истиот сет на елементи е и множество и мултимножество. Што е точно? И тука математичарот-шаман-острист вади кец на адути од ракавот и почнува да ни кажува или за сет или за мултисет. Во секој случај ќе не убеди дека е во право.
За да се разбере како модерните шамани работат со теоријата на множества, врзувајќи ја со реалноста, доволно е да се одговори на едно прашање: како елементите на едно множество се разликуваат од елементите на друго множество? Ќе ти покажам, без никакво „замисливо како не една целина“ или „незамисливо како единствена целина“.
Недела, 18 март 2018 година
Збирот на цифрите на еден број е танц на шамани со тамбура, што нема никаква врска со математиката. Да, на часовите по математика нè учат да го најдеме збирот на цифрите на некој број и да го користиме, но затоа тие се шамани, за да ги научат своите потомци на нивните вештини и мудрост, инаку шаманите едноставно ќе изумрат.
Дали ви треба доказ? Отворете ја Википедија и обидете се да ја пронајдете страницата „Збир на цифри на број“. Таа не постои. Не постои формула во математиката што може да се користи за да се најде збирот на цифрите на кој било број. Впрочем, бројките се графички симболи, со чија помош пишуваме броеви и на математички јазик задачата звучи вака: „Најди го збирот на графички симболи што претставуваат кој било број“. Математичарите не можат да го решат овој проблем, но шаманите го можат лесно.
Ајде да откриеме што и како правиме за да го најдеме збирот на броеви даден број. И така, да го имаме бројот 12345. Што треба да се направи за да се најде збирот на цифрите на овој број? Ајде да ги разгледаме сите чекори по ред.
1. Запишете го бројот на лист хартија. Што направивме? Го претворивме бројот во симбол на графички број. Ова не е математичка операција.
2. Една добиена слика ја сечеме на неколку слики кои содржат поединечни броеви. Сечењето слика не е математичка операција.
3. Претворете ги поединечните графички симболи во бројки. Ова не е математичка операција.
4. Додадете ги добиените броеви. Сега ова е математика.
Збирот на цифрите на бројот 12345 е 15. Тоа се „курсевите за сечење и шиење“ што ги учат шаманите што ги користат математичарите. Но, тоа не е се.
Од математичка гледна точка, не е важно во кој броен систем пишуваме број. Значи, во различни системиВо пресметката, збирот на цифрите од истиот број ќе биде различен. Во математиката, нумеричкиот систем е означен како подлога десно од бројот. СО голем број 12345 Не сакам да си ја измамам главата, да го погледнеме бројот 26 од написот за . Ајде да го напишеме овој број во бинарни, октални, децимални и хексадецимални броени системи. Ние нема да го гледаме секој чекор под микроскоп; ние веќе го направивме тоа. Да го погледнеме резултатот.
Како што можете да видите, во различни системи на броеви збирот на цифрите од истиот број е различен. Овој резултат нема никаква врска со математиката. Исто како да ја одредите плоштината на правоаголникот во метри и сантиметри, ќе добиете сосема различни резултати.
Нулата изгледа исто во сите системи со броеви и нема збир на цифри. Ова е уште еден аргумент во прилог на фактот дека. Прашање до математичарите: како нешто што не е број е означено во математиката? Што, за математичарите не постои ништо освен бројките? Можам да го дозволам ова за шамани, но не и за научниците. Реалноста не е само бројки.
Добиениот резултат треба да се смета како доказ дека броевните системи се мерни единици за броевите. На крајот на краиштата, не можеме да споредуваме бројки со различни единицимерења. Ако истите дејства со различни мерни единици на иста количина доведат до различни резултати по нивното споредување, тогаш тоа нема никаква врска со математиката.
Што е вистинска математика? Ова е кога резултатот математичка операцијане зависи од големината на бројот, мерната единица што се користи и кој го врши дејството.
О! Зарем ова не е женски тоалет?
- Млада жена! Ова е лабораторија за проучување на недефилската светост на душите при нивното вознесување на небото! Ореол на врвот и стрелка нагоре. Кој друг тоалет?
Женски... Ореолот одозгора и стрелката надолу се машки.
Ако такво дизајнерско дело ви трепка пред очи неколку пати на ден,
Тогаш не е изненадувачки што одеднаш ќе најдете чудна икона во вашиот автомобил:
Лично, се трудам да видам минус четири степени кај какачот (една слика) (композиција од неколку слики: знак минус, број четири, ознака на степени). И јас не мислам дека оваа девојка е глупава, не познавања по физика. Таа едноставно има лак стереотип на перцепција графички слики. И математичарите нè учат на ова постојано. Еве еден пример.
1А не е „минус четири степени“ или „еден а“. Ова е „човек што кака“ или бројот „дваесет и шест“ во хексадецимална нотација. Оние луѓе кои постојано работат во овој броен систем автоматски ги перцепираат бројот и буквата како еден графички симбол.
Знаеме дека косинусните вредности се во опсег [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Затоа, ако |a| > 1, тогаш равенката cos x = a нема корени. На пример, равенката cos x = -1,5 нема корени.
Да разгледаме неколку проблеми.
Решете ја равенката cos x = 1/2.
Решение.
Потсетиме дека cos x е апсциса на точка на круг со радиус еднаков на 1, добиена со ротирање на точката P (1; 0) за агол x околу почетокот.
Апсцисата 1/2 е на две точки од кругот M 1 и M 2. Бидејќи 1/2 = cos π/3, можеме да ја добиеме точката M 1 од точката P (1; 0) со ротирање по агол x 1 = π/3, како и со агли x = π/3 + 2πk, каде што k = +/-1, +/-2,…
Точката M 2 се добива од точката P (1; 0) со ротирање за агол x 2 = -π/3, како и со агли -π/3 + 2πk, каде k = +/-1, +/-2 , ...
Значи сите корени cos равенки x = 1/2 може да се најде со помош на формулите
x = π/3 + 2πk
x = -π/3 + 2πk,
Двете презентирани формули може да се комбинираат во една:
x = +/-π/3 + 2πk, k € Z.
Решете ја равенката cos x = -1/2.
Решение.
Две точки од кружницата M 1 и M 2 имаат апсциса еднаква на – 1/2. Бидејќи -1/2 = cos 2π/3, тогаш агол x 1 = 2π/3, а со тоа и агол x 2 = -2π/3.
Следствено, сите корени на равенката cos x = -1/2 може да се најдат со формулата: x = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.
Така, секоја од равенките cos x = 1/2 и cos x = -1/2 има бесконечно множествокорени. На интервалот 0 ≤ x ≤ π, секоја од овие равенки има само еден корен: x 1 = π/3 е коренот на равенката cos x = 1/2 и x 1 = 2π/3 е коренот на равенката cos x = -1/2.
Бројот π/3 се нарекува аркозин на бројот 1/2 и се пишува: arccos 1/2 = π/3, а бројот 2π/3 се нарекува аркозин на бројот (-1/2) и се пишува : arccos (-1/2) = 2π/3 .
Општо земено, равенката cos x = a, каде што -1 ≤ a ≤ 1, има само еден корен на интервалот 0 ≤ x ≤ π. Ако a ≥ 0, тогаш коренот е содржан во интервалот ; ако< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Така, лакот косинус на бројот a € [-1; 1 ] е број a € чиј косинус е еднаков на a:
arccos а = α, ако cos α = а и 0 ≤ а ≤ π (1).
На пример, arccos √3/2 = π/6, бидејќи cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, бидејќи cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.
На ист начин како што беше направено во процесот на решавање на задачите 1 и 2, може да се покаже дека сите корени на равенката cos x = a, каде што |a| ≤ 1, изразено со формулата
x = +/-arccos a + 2 πn, n € Z (2).
Решете ја равенката cos x = -0,75.
Решение.
Користејќи ја формулата (2) наоѓаме x = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.
Вредноста на arcos (-0,75) може приближно да се најде на сликата со мерење на аголот со помош на транспортер. Приближните вредности на косинус на лакот може да се најдат и со помош на специјални табели (табели Брадис) или микрокалкулатор. На пример, вредноста на arccos (-0,75) може да се пресмета на микрокалкулатор, давајќи приближна вредност 2.4188583. Значи, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Затоа, арки (-0,75) ≈ 139°.
Одговор: arccos (-0,75) ≈ 139°.
Решете ја равенката (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Решение.
1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n € Z.
Одговори. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.
Може да се докаже дека за било кој € [-1; 1] важи формулата arccos (-а) = π – arccos а (3).
Оваа формула ви овозможува да ги изразите вредностите на лачните косинуси негативни броевипреку косинусните вредности на лак позитивни бројки. На пример:
arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;
arccos (-√2/2) = π – arccos √2/2 = π – π/4 = 3π/4
од формулата (2) следува дека корените на равенката, cos x = a за a = 0, a = 1 и a = -1 може да се најдат со помош на поедноставни формули:
cos x = 0 x = π/2 + πn, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x = -1 x = π + 2πn, n € Z (6).
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Примери:
\(\cos(30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos2=-0,416…\)
Аргумент и значење
Косинусот со остар агол
Косинусот со остар аголможе да се одреди со помош на правоаголен триаголник - тој е еднаков на односот на соседната катета со хипотенузата.
Пример :
1) Нека е даден агол и треба да го одредиме косинусот на овој агол.
2) Да го пополниме кој било правоаголен триаголник на овој агол.
3) Откако ги измеривме потребните страни, можеме да го пресметаме косинусот.
Косинусот на број
Кругот со броеви ви овозможува да го одредите косинусот на кој било број, но обично го наоѓате косинусот на броевите некако поврзан со: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).
На пример, за бројот \(\frac(π)(6)\) - косинусот ќе биде еднаков на \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . И за бројот \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ќе биде еднаков на \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (приближно \ (-0 ,71\)).
За косинус за други броеви кои често се среќаваат во пракса, види.
Косинусот секогаш лежи во опсегот од \(-1\) до \(1\). Во овој случај, косинусот може да се пресмета за апсолутно секој агол и број.
Косинусот од кој било агол
Благодарение на број кругможете да дефинирате косинус не само остар агол, но исто така тапи, негативни, па дури и поголеми од \(360°\) ( целосен пресврт). Како да го направите ова е полесно да се види еднаш отколку да се слушне \(100\) пати, затоа погледнете ја сликата.
Сега објаснување: да претпоставиме дека треба да го одредиме косинусот на аголот КОАСо степен меркаво \(150°\). Комбинирање на поентата ЗАсо центарот на кругот и страната добро– со оската \(x\). После ова, тргнете го \(150°\) спротивно од стрелките на часовникот. Потоа ординатата на точката Аќе ни го покаже косинусот на овој агол.
Ако нè интересира агол со степен мерка, на пример, во \(-60°\) (агол КОВ), го правиме истото, но поставуваме \(60°\) во насока на стрелките на часовникот.
И конечно, аголот е поголем од \(360°\) (агол CBS) - сè е слично на глупаво, само откако ќе одиме во насока на стрелките на часовникот целосен пресврт, одиме во вториот круг и „добиваме недостаток на степени“. Поточно, во нашиот случај, аголот \(405°\) е нацртан како \(360° + 45°\).
Лесно е да се погоди дека за да нацртате агол, на пример, во \(960°\), треба да направите два вртења (\(360°+360°+240°\)), а за агол во \(2640 °\) - цели седум.
Како што можете да замените, и косинус на број и косинус на произволен агол се дефинирани речиси идентично. Се менува само начинот на кој се наоѓа точката на кругот.
Косинусни знаци по четвртини
Користејќи ја косинусната оска (односно, оската на апсцисата, означена со црвено на сликата), лесно е да се одредат знаците на косинусите долж нумеричкиот (тригонометриски) круг:
Кога вредностите на оската се од \(0\) до \(1\), косинусот ќе има знак плус (I и IV четвртини - зелена површина),
- каде што вредностите на оската се од \(0\) до \(-1\), косинусот ќе има знак минус (II и III четвртини - виолетова површина).
Поврзаност со други тригонометриски функции:
- истиот агол (или број): главен тригонометриски идентитет\(\sin^2x+\cos^2x=1\)- истиот агол (или број): со формулата \(1+tg^2x=\)\(\frac(1)(\cos^2x)\)
- и синус од истиот агол (или број): формулата \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sinx)\)
За други најчесто користени формули, видете.
Решение на равенката \(\cosx=a\)
Решението на равенката \(\cosx=a\), каде што \(a\) е број не поголем од \(1\) и не помал од \(-1\), т.е. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Ако \(a>1\) или \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\).Решение:
Ајде да ја решиме равенката со помош на кругот со броеви. За ова:
1) Ајде да ги изградиме оските.
2) Ајде да конструираме круг.
3) На косинусната оска (оска \(y\)) означете ја точката \(\frac(1)(2)\) .
4) Нацртајте нормална на косинусната оска низ оваа точка.
5) Означете ги пресечните точки на нормалната и кружницата.
6) Да ги потпишеме вредностите на овие точки: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Да ги запишеме сите вредности што одговараат на овие точки користејќи ја формулата \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);
Одговор: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)
Функција \(y=\cos(x)\)
Ако ги нацртаме аглите во радијани долж оската \(x\) и вредностите на косинус што одговараат на овие агли долж оската \(y\), го добиваме следниот график:
Овој графикон се нарекува и ги има следните својства:
Доменот на дефиниција е која било вредност на x: \(D(\cos(x))=R\)
- опсег на вредности - од \(-1\) до \(1\) вклучувајќи: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- дури: \(\cos(-x)=\cos(x)\)
- периодичен со период \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos(x)\)
- точки на вкрстување со координатни оски:
оска на апсциса: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), каде \(n ϵ Z\)
Оска Y: \((0;1)\)
- интервали на постојаност на знакот:
функцијата е позитивна на интервалите: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), каде \(n ϵ Z\)
функцијата е негативна на интервалите: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), каде \(n ϵ Z\)
- интервали на зголемување и намалување:
функцијата се зголемува во интервалите: \((π+2πn;2π+2πn)\), каде што \(n ϵ Z\)
функцијата се намалува во интервалите: \((2πn;π+2πn)\), каде што \(n ϵ Z\)
- максимум и минимум на функцијата:
функцијата има максимална вредност \(y=1\) во точките \(x=2πn\), каде што \(n ϵ Z\)
функцијата има минимална вредност \(y=-1\) во точките \(x=π+2πn\), каде што \(n ϵ Z\).
Примери:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Како да се решат тригонометриски равенки:
Секоја тригонометриска равенка треба да се сведе на еден од следниве типови:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
каде \(t\) е израз со x, \(a\) е број. Таквите тригонометриски равенки се нарекуваат наједноставниот. Тие можат лесно да се решат користејќи () или специјални формули:
Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:
Одговор: \(\лево[ \почеток(собрано)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(собрано)\десно.\) \(k,n∈Z\)
Што значи секој симбол во формулата за корените на тригонометриските равенки, видете.
Внимание!Равенките \(\sinx=a\) и \(\cosx=a\) немаат решенија ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Бидејќи синусот и косинусот за кој било x се поголеми или еднакви на \(-1\) и помали или еднакви на \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Пример
. Решете ја равенката \(\cosx=-1,1\).
Решение:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Одговори
: нема решенија.
Пример . Решете ја тригонометриската равенка tg\(x=1\).
Решение:
|
|
Ајде да ја решиме равенката со помош на кругот со броеви. За ова: |
Пример
. Решете ја тригонометриската равенка \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:
|
|
Ајде повторно да го користиме кругот со броеви. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Како и обично, ќе го изразиме \(x\) во равенки. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Намалувањето на тригонометриските равенки на наједноставно е креативна задача; тука треба да ги користите и двете и специјални методи за решавање равенки:
- Метод (најпопуларен во обединетиот државен испит).
- Метод.
- Метод на помошни аргументи.
Да разгледаме пример за решавање на квадратната тригонометриска равенка
Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Решение:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Ајде да ја направиме замената \(t=\cosx\). |
|
Нашата равенка стана типична. Можете да го решите користејќи. |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Ние правиме обратна замена. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
Првата равенка ја решаваме со помош на кругот со броеви. |
 |
Ајде да ги запишеме сите броеви што лежат на овие точки. |
Пример за решавање на тригонометриска равенка со проучување на ОДЗ:
Пример (КОРИСТЕЊЕ) . Решете ја тригонометриската равенка \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Има дропка и има котангента - тоа значи дека треба да го запишеме. Дозволете ми да ве потсетам дека котангенсот е всушност дропка: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Затоа, ODZ за ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Да ги означиме „нерешенијата“ на кругот со броеви. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Ајде да се ослободиме од именителот во равенката со множење со ctg\(x\). Можеме да го направиме ова, бидејќи погоре напишавме дека ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Да ја примениме формулата за двоен агол за синус: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Ако вашите раце посегнат да се делат со косинус, повлечете ги назад! Може да се подели со израз со променлива ако дефинитивно не е еднаква на нула (на пример, овие: \(x^2+1,5^x\)). Наместо тоа, да го извадиме \(\cosx\) од загради. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Ајде да ја „поделиме“ равенката на два дела. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Да ја решиме првата равенка користејќи го кругот со броеви. Поделете ја втората равенка со \(2\) и поместете го \(\sinx\) на десната страна. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Добиените корени не се вклучени во ОДЗ. Затоа, нема да ги запишеме како одговор. |
|
Повторно користиме круг. |
|
|
|
Овие корени не се исклучени од ОДЗ, па можете да ги напишете во одговорот. |
Тригонометриските равенки не се лесна тема. Тие се премногу разновидни.) На пример, овие:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x+π /4) = креветче (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
итн...
Но, овие (и сите други) тригонометриски чудовишта имаат две заеднички и задолжителни карактеристики. Прво - нема да верувате - има тригонометриски функции во равенките.) Второ: се пронајдени сите изрази со x во рамките на истите овие функции.И само таму! Ако X се појави некаде надвор,На пример, sin2x + 3x = 3,ова веќе ќе биде равенка од мешан тип. Ваквите равенки бараат индивидуален пристап. Ние нема да ги разгледаме овде.
Ниту во оваа лекција нема да решаваме зли равенки.) Овде ќе се занимаваме наједноставните тригонометриски равенки.Зошто? Да затоа што решението било којтригонометриските равенки се состојат од две фази. Во првата фаза, злата равенка се сведува на едноставна преку различни трансформации. На втората, оваа наједноставна равенка е решена. Нема друг начин.
Значи, ако имате проблеми во втората фаза, првата фаза нема многу смисла.)
Како изгледаат елементарните тригонометриски равенки?
sinx = а
cosx = а
tgx = a
ctgx = a
Еве А се залага за кој било број. Било кој.
Патем, внатре во функцијата можеби нема чист X, туку некој вид израз, како:
cos(3x+π /3) = 1/2
итн. Ова го комплицира животот, но не влијае на методот на решавање на тригонометриска равенка.
Како да се решат тригонометриски равенки?
Тригонометриските равенки може да се решат на два начина. Првиот начин: користење на логиката и тригонометрискиот круг. Ќе ја разгледаме оваа патека овде. Вториот начин - користење на меморија и формули - ќе се дискутира во следната лекција.
Првиот начин е јасен, сигурен и тешко се заборава.) Добар е за решавање на тригонометриски равенки, неравенки и секакви незгодни нестандардни примери. Логиката е посилна од меморијата!)
Решавање равенки со помош на тригонометриски круг.
Вклучуваме елементарна логика и способност за користење на тригонометрискиот круг. Не знаеш како? Сепак... Ќе ви биде тешко во тригонометријата...) Но, не е важно. Погледнете ги лекциите „Тригонометриски круг...... Што е тоа? и „Мерење агли на тригонометриски круг“. Сè е едноставно таму. За разлика од учебниците...)
О, знаеш!? Па дури и ја совлада „Практична работа со тригонометрискиот круг“!? Секоја чест. Оваа тема ќе ви биде блиска и разбирлива.) Она што е особено пријатно е што тригонометрискиот круг не се грижи каква равенка ќе решите. Синус, косинус, тангента, котангента - за него сè е исто. Постои само еден принцип на решение.
Значи, земаме која било елементарна тригонометриска равенка. Барем ова:
cosx = 0,5
Треба да го најдеме Х. Зборувајќи на човечки јазик, треба Најдете го аголот (x) чиј косинус е 0,5.
Како претходно го користевме кругот? Нацртавме агол на неа. Во степени или радијани. И веднаш видов тригонометриски функции на овој агол. Сега да го направиме спротивното. Ајде да нацртаме косинус на кругот еднаков на 0,5 и веднаш ќе видиме агол. Останува само да се запише одговорот.) Да, да!
Нацртајте круг и означете го косинусот еднаков на 0,5. На косинусната оска, се разбира. Како ова:
Сега да го нацртаме аголот што ни го дава овој косинус. Поставете го глувчето над сликата (или допрете ја сликата на таблетот) и ќе видитетокму овој агол X.
Косинусот на кој агол е 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Некои луѓе скептично ќе се насмеат, да... Како, дали вредеше да се направи круг кога веќе се е јасно... Може, се разбира, да се насмееш...) Но факт е дека ова е погрешен одговор. Или подобро кажано, недоволно. Познавачите на кругови разбираат дека тука има цел куп други агли кои исто така даваат косинус од 0,5.
Ако ја свртите подвижната страна ОА целосен пресврт, точката А ќе се врати во првобитната положба. Со истиот косинус еднаков на 0,5. Оние. аголот ќе се промениза 360° или 2π радијани, и косинус - бр.Новиот агол 60° + 360° = 420° исто така ќе биде решение за нашата равенка, бидејќи
Може да се направат бесконечен број такви целосни вртежи... И сите овие нови агли ќе бидат решенија за нашата тригонометриска равенка. И сите тие треба некако да се запишат како одговор. Сите.Во спротивно, одлуката не се брои, да...)
Математиката може да го направи тоа едноставно и елегантно. Запишете во еден краток одговор бесконечно множествоодлуки. Еве како изгледа за нашата равенка:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ќе го дешифрирам. Сепак пишувај значајноПопријатно е од глупаво цртање некои мистериозни букви, нели?)
π /3 - ова е истото катче како ние видовна кругот и одлученспоред косинусната табела.
2π е една целосна револуција во радијани.
n - ова е бројот на целосни, т.е. целинавртежи во минута Јасно е дека n може да биде еднаква на 0, ±1, ±2, ±3.... и така натаму. Како што е наведено во краткиот запис:
n ∈ Z
n припаѓа ( ∈ ) множество од цели броеви ( З ). Патем, наместо писмото n добро може да се користат букви к, м, т итн.
Оваа нотација значи дека можете да земете кој било цел број n . Најмалку -3, најмалку 0, најмалку +55. Се што сакаш. Ако го замените овој број во одговорот, ќе добиете специфичен агол, што дефинитивно ќе биде решение за нашата сурова равенка.)
Или, со други зборови, x = π /3 е единствениот корен на бесконечно множество. За да ги добиете сите други корени, доволно е да додадете кој било број на целосни вртежи на π /3 ( n ) во радијани. Оние. 2π n радијан.
Сите? бр. Намерно го продолжувам задоволството. За подобро да се запамети.) Добивме само дел од одговорите на нашата равенка. Овој прв дел од решението ќе го напишам вака:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - не само еден корен, туку цела низа корени, запишани во кратка форма.
Но, има и агли кои даваат и косинус од 0,5!
Да се вратиме на нашата слика од која го запишавме одговорот. Еве ја таа:
Поставете го глувчето над сликата и ние гледамедруг агол што дава и косинус од 0,5.Што мислите дека е еднакво? Триаголниците се исти... Да! Тоа е еднакво на аголот X , само одложено во негативна насока. Ова е аголот -Х. Но, ние веќе го пресметавме x. π /3 или 60°. Затоа, можеме безбедно да напишеме:
x 2 = - π /3
Па, се разбира, ги додаваме сите агли што се добиваат со целосни вртежи:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Тоа е се сега.) На тригонометрискиот круг ние видов(кој разбира, се разбира)) Ситеагли кои даваат косинус од 0,5. И ги запишавме овие агли во кратка математичка форма. Одговорот резултираше со две бесконечни серии на корени:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ова е точниот одговор.
Надеж, општ принцип за решавање на тригонометриски равенкикористењето на кругот е јасно. Косинусот (синус, тангента, котангента) од дадената равенка го означуваме на круг, ги цртаме аглите што одговараат на него и го запишуваме одговорот.Се разбира, треба да сфатиме во какви агли сме видовна кругот. Понекогаш тоа не е толку очигледно. Па, реков дека тука е потребна логика.)
На пример, да погледнеме друга тригонометриска равенка:
Ве молиме имајте предвид дека бројот 0,5 не е единствениот можен број во равенките!) Поудобно ми е да го напишам отколку корените и дропките.
Работиме според општиот принцип. Цртаме круг, обележуваме (на синусната оска, се разбира!) 0,5. Ги цртаме сите агли кои одговараат на овој синус одеднаш. Ја добиваме оваа слика:
Ајде прво да се справиме со аголот X во првиот квартал. Се сеќаваме на табелата со синуси и ја одредуваме вредноста на овој агол. Тоа е едноставна работа:
x = π /6
Се сеќаваме на целосните вртења и, со чиста совест, ја запишуваме првата серија одговори:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половина работа е завршена. Но, сега треба да утврдиме вториот агол...Послободно е од користењето косинуси, да... Но логиката ќе не спаси! Како да се одреди вториот агол преку x? Да Лесно! Триаголниците на сликата се исти, а црвениот агол X еднаков на аголот X . Само тој се брои од аголот π во негативна насока. Затоа е црвено.) А за одговорот ни треба агол, правилно измерен, од позитивната полуоска OX, т.е. од агол од 0 степени.
Го движиме курсорот над цртежот и гледаме сè. Го отстранив првиот агол за да не ја комплицирам сликата. Аголот што нè интересира (нацртан со зелено) ќе биде еднаков на:
π - x
X го знаеме ова π /6 . Според тоа, вториот агол ќе биде:
π - π /6 = 5π /6
Повторно се сеќаваме на додавањето целосни вртежи и ја запишуваме втората серија одговори:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тоа е се. Целосниот одговор се состои од две серии корени:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Тангентите и котангентите равенки можат лесно да се решат користејќи го истиот општ принцип за решавање на тригонометриски равенки. Ако, се разбира, знаете како да нацртате тангента и котангента на тригонометриски круг.
Во горните примери, ја користев вредноста на табелата на синус и косинус: 0,5. Оние. едно од оние значења што ги знае ученикот мора.Сега да ги прошириме нашите можности на сите други вредности.Одлучете, затоа одлучете!)
Значи, да речеме дека треба да ја решиме оваа тригонометриска равенка:
Нема таква косинус вредност во кратките табели. Ладно го игнорираме овој ужасен факт. Нацртајте круг, означете 2/3 на косинусната оска и нацртајте ги соодветните агли. Ја добиваме оваа слика.
Да го погледнеме, прво, аголот во првата четвртина. Само да знаевме на што е x, веднаш ќе го запишевме одговорот! Не знаеме... Неуспех!? Смирен! Математиката не ги остава сопствените луѓе во неволја! Таа излезе со лачни косинуси за овој случај. Незнам? Залудно. Дознајте, многу е полесно отколку што мислите. На овој линк нема ниту една незгодна магија за „инверзни тригонометриски функции“... Ова е излишно во оваа тема.
Ако знаете, само кажете си: „X е агол чиј косинус е еднаков на 2/3“. И веднаш, чисто според дефиницијата за лак косинус, можеме да напишеме:
Се сеќаваме на дополнителните вртежи и мирно ја запишуваме првата серија корени на нашата тригонометриска равенка:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Втората серија на корени за вториот агол речиси автоматски се запишува. Сè е исто, само X (arccos 2/3) ќе биде со минус:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И тоа е тоа! Ова е точниот одговор. Уште полесно отколку со вредностите на табелата. Нема потреба ништо да запомнуваме.) Патем, највнимателните ќе забележат дека оваа слика го прикажува решението преку лак косинус во суштина, не се разликува од сликата за равенката cosx = 0,5.
Точно! Општиот принцип е токму тоа! Намерно нацртав две речиси идентични слики. Кругот ни го покажува аголот X по својот косинус. Дали е табеларен косинус или не е непознато за секого. Каков агол е ова, π /3 или каков косинус на лак - тоа зависи од нас да одлучиме.
Истата песна со синус. На пример:
Повторно нацртајте круг, означете го синусот еднаков на 1/3, нацртајте ги аглите. Ова е сликата што ја добиваме:
И повторно сликата е речиси иста како и за равенката sinx = 0,5.Повторно тргнуваме од корнер во првата четвртина. На што е X еднакво ако неговиот синус е 1/3? Нема проблем!
Сега првиот пакет корени е подготвен:
x 1 = лаксин 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ајде да се справиме со вториот агол. Во примерот со вредност на табелата од 0,5, тоа беше еднакво на:
π - x
Сосема исто ќе биде и овде! Само x е различен, arcsin 1/3. Па што!? Можете безбедно да го запишете вториот пакет корени:
x 2 = π - лаксин 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ова е сосема точен одговор. Иако не изгледа многу познато. Но, јасно е, се надевам.)
Така се решаваат тригонометриските равенки со помош на круг. Овој пат е јасен и разбирлив. Тој е тој што заштедува во тригонометриски равенки со избор на корени на даден интервал, во тригонометриски неравенки - тие генерално се решаваат скоро секогаш во круг. Накратко, во сите задачи што се малку потешки од стандардните.
Ајде да го примениме знаењето во пракса?)
Решавање на тригонометриски равенки:
Прво, поедноставно, директно од оваа лекција.
Сега е покомплицирано.
Совет: тука ќе треба да размислите за кругот. Лично.)
И сега тие се надворешно едноставни... Тие се нарекуваат и посебни случаи.
синкс = 0
синкс = 1
cosx = 0
cosx = -1
Совет: овде треба во круг да сфатите каде има две серии одговори, а каде еден... И како да напишете еден наместо две серии одговори. Да, за да не се изгуби ниту еден корен од бесконечен број!)
Па, многу едноставно):
синкс = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Совет: овде треба да знаете што се арксин и аркозин? Што е арктангенс, аркотангенс? Наједноставните дефиниции. Но, не треба да запомните никакви вредности на табелата!)
Одговорите се, се разбира, неред):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Не функционира сè? Се случува. Прочитајте ја лекцијата повторно. Само смислено(има толку застарен збор...) И следете ги линковите. Главните врски се за кругот. Без него, тригонометријата е како да го поминувате патот со врзани очи. Понекогаш тоа функционира.)
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.