Откако добивте општа идеја за еднаквостите и запознавте со еден од нивните типови - нумерички еднаквости, можете да започнете да зборувате за друг тип на еднаквости што е многу важен од практична гледна точка - равенки. Во оваа статија ќе разгледаме што е равенка, и она што се нарекува корен на равенката. Овде ќе ги дадеме соодветните дефиниции и исто така презентирани разни примериравенки и нивните корени.
Навигација на страницата.
Што е равенка?
Целниот вовед во равенките обично започнува на часовите по математика во второ одделение. Во ова време е дадено следново дефиниција на равенката:
Дефиниција.
Равенкатае еднаквост што содржи непознат број што треба да се најде.
Непознатите броеви во равенките обично се означуваат со мали латински букви, на пример, p, t, u итн., но најчесто се користат буквите x, y и z.
Така, равенката се одредува од гледна точка на формата на пишување. Со други зборови, еднаквоста е равенка кога се покорува одредени правилазаписи – ја содржи буквата чија вредност треба да се најде.
Да дадеме примери за првите и повеќето едноставни равенки. Да почнеме со равенки од формата x=8, y=3 итн. Равенките кои содржат аритметички знаци заедно со бројки и букви изгледаат малку покомплицирани, на пример, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.
Разновидноста на равенките расте откако ќе се запознаеме со - почнуваат да се појавуваат равенки со загради, на пример, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3. Непозната буква во равенката може да се појави неколку пати, на пример, x+3+3·x−2−x=9, исто така буквите може да бидат на левата страна од равенката, на нејзината десна страна или на двете страни на равенката, на пример, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .
Понатаму по студирањето природни броевисе јавува запознавање со цели, рационални, реални броеви, се учат нови математички објекти: моќи, корени, логаритми итн., додека се појавуваат сè повеќе нови видови равенки кои ги содржат овие работи. Примери од нив може да се видат во статијата основни видови равенкиучење на училиште.
Во 7 одделение заедно со буквите што значат некои конкретни бројки, започнете да ги разгледувате буквите што можат да ги земат различни значења, тие се нарекуваат променливи (види статија). Во исто време, зборот „променлива“ се внесува во дефиницијата на равенката и станува вака:
Дефиниција.
Равенканаречена еднаквост која содржи променлива чија вредност треба да се најде.
На пример, равенката x+3=6·x+7 е равенка со променливата x, а 3·z−1+z=0 е равенка со променливата z.
За време на часовите по алгебра во истото VII одделение, наидуваме на равенки кои содржат не една, туку две различни непознати променливи. Тие се нарекуваат равенки во две променливи. Во иднина, дозволено е присуство на три или повеќе променливи во равенките.
Дефиниција.
Равенки со еден, два, три итн. променливи– тоа се равенки кои во своето пишување содржат една, две, три, ... непознати соодветно променливи.
На пример, равенката 3,2 x+0,5=1 е равенка со една променлива x, за возврат, равенка од формата x−y=3 е равенка со две променливи x и y. И уште еден пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Јасно е дека таквата равенка е равенка со три непознати променливи x, y и z.
Кој е коренот на равенката?
Дефиницијата на равенката е директно поврзана со дефиницијата на коренот на оваа равенка. Ајде да спроведеме некое расудување кое ќе ни помогне да разбереме што е коренот на равенката.
Да речеме дека имаме равенка со една буква (променлива). Ако наместо буква вклучена во записот на оваа равенка замениме одреден број, тогаш равенката станува нумеричка еднаквост. Покрај тоа, добиената еднаквост може да биде или вистинита или неточна. На пример, ако го замените бројот 2 наместо буквата a во равенката a+1=5, ќе го добиете неточното нумеричко равенство 2+1=5. Ако го замениме бројот 4 наместо a во оваа равенка, добиваме вистинска еднаквост 4+1=5 .
Во пракса, во огромното мнозинство на случаи, интересот е во оние вредности на променливата чија замена во равенката ја дава точната еднаквост; овие вредности се нарекуваат корени или решенија. дадена равенка.
Дефиниција.
Корен на равенката- ова е вредноста на буквата (променлива), по чија замена равенката се претвора во правилна нумеричка еднаквост.
Забележете дека коренот на равенката во една променлива се нарекува и решение на равенката. Со други зборови, решението на равенката и коренот на равенката се иста работа.
Да ја објасниме оваа дефиниција со пример. За да го направите ова, да се вратиме на равенката напишана над a+1=5. Според наведената дефиниција за коренот на равенката, бројот 4 е коренот на оваа равенка, бидејќи при замена на овој број наместо буквата a се добива точно еднаквост 4+1=5, а бројот 2 не е негов корен, бидејќи одговара на неточна еднаквост од формата 2+1= 5 .
Во овој момент, се појавуваат голем број природни прашања: „Дали некоја равенка има корен и колку корени има таа? дадена равенка"? Ние ќе им одговориме.
Има и равенки кои имаат корени и равенки кои немаат корени. На пример, равенката x+1=5 има корен 4, но равенката 0 x=5 нема корени, бидејќи без разлика кој број ќе го замениме во оваа равенка наместо променливата x, ќе ја добиеме неточната еднаквост 0=5. .
Што се однесува до бројот на корените на една равенка, тие постојат како равенки кои имаат некои конечен бројкорени (еден, два, три итн.) и равенки со бесконечно многу корени. На пример, равенката x−2=4 има еден корен 6, корените на равенката x 2 =9 се два броја −3 и 3, равенката x·(x−1)·(x−2)=0 има три корени 0, 1 и 2, а решението на равенката x=x е кој било број, односно има бесконечно множествокорени.
Треба да се кажат неколку зборови за прифатената нотација за корените на равенката. Ако равенката нема корени, тогаш тие обично пишуваат „равенката нема корени“ или го користат знакот празен сет∅. Ако равенката има корени, тогаш тие се пишуваат одделени со запирки или се пишуваат како елементи на комплетотво кадрави загради. На пример, ако корените на равенката се броевите −1, 2 и 4, тогаш напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4). Исто така, дозволено е да се запишат корените на равенката во форма на едноставни еднаквости. На пример, ако равенката ја вклучува буквата x, а корените на оваа равенка се броевите 3 и 5, тогаш можете да напишете x=3, x=5, а често се додаваат подлози x 1 =3, x 2 =5 на променливата, како да ги означува броевите корени на равенката. Бесконечно множество од корени на равенката обично се пишува во форма; ако е можно, се користи и ознаката за множества природни броеви N, цели броеви Z и реални броеви R. На пример, ако коренот на равенката со променлива x е кој било цел број, тогаш напишете , и ако корените на равенката со променлива y се било кои реален бројод 1 до 9 заклучно, па напишете .
За равенки со два, три и голема сумапроменливи, по правило, не се користи терминот „корен на равенката“, во овие случаи велат „решение на равенката“. Што се нарекува решавање равенки со неколку променливи? Да ја дадеме соодветната дефиниција.
Дефиниција.
Решавање на равенка со два, три итн. променливинаречен пар, три итн. вредностите на променливите, претворајќи ја оваа равенка во правилна нумеричка еднаквост.
Дозволете ни да покажеме објаснувачки примери. Размислете за равенка со две променливи x+y=7. Ајде да го замениме бројот 1 наместо x, а бројот 2 наместо y, и ќе ја имаме еднаквоста 1+2=7. Очигледно, тоа е неточно, затоа, парот вредности x=1, y=2 не е решение за напишаната равенка. Ако земеме пар вредности x=4, y=3, тогаш по замена во равенката ќе дојдеме до точната еднаквост 4+3=7, според тоа, овој пар на вредности на променливи, по дефиниција, е решение на равенката x+y=7.
Равенките со неколку променливи, како равенките со една променлива, може да немаат корени, може да имаат конечен број корени или може да имаат бесконечен број корени.
Парови, тројки, четворки итн. Вредностите на променливите често се пишуваат накратко, наведувајќи ги нивните вредности одделени со запирки во загради. Во овој случај, броевите напишани во загради одговараат на променливите во азбучен ред. Да ја разјасниме оваа точка со враќање на претходната равенка x+y=7. Решението на оваа равенка x=4, y=3 може накратко да се запише како (4, 3).
Најголемо внимание во училишниот курс по математика, алгебра и почетоците на анализата се посветува на наоѓање на корените на равенките со една променлива. Ние ќе разговараме за правилата на овој процес во многу детали во статијата. решавање равенки.
Библиографија.
- Математика. 2 паралелки Тетратка за општо образование институции со прид. по електрон носител. Во 14 часот Дел 1 / [М. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, итн.] - 3. ed. - М.: Образование, 2012. - 96 стр.: ill. - (Училиште на Русија). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Алгебра:тетратка за 7 одделение општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Откако ќе го проучиме концептот на еднаквости, имено еден од нивните типови - нумерички еднаквости, можеме да преминеме на друг важен поглед– равенки. Во рамките од овој материјалќе објасниме што е равенка и нејзиниот корен, ќе формулираме основни дефиниции и ќе дадеме разни примериравенки и наоѓање на нивните корени.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Поим за равенка
Обично концептот на равенка се изучува на самиот почеток училишен курсалгебра. Тогаш тоа е дефинирано вака:
Дефиниција 1
Равенканаречена еднаквост со непознат број што треба да се најде.
Вообичаено е непознатите да се назначуваат како мали со латински букви, на пример, t, r, m итн., но најчесто се користат x, y, z. Со други зборови, равенката се одредува според формата на нејзиното запишување, односно еднаквоста ќе биде равенка само кога ќе се сведе на одреден тип– мора да содржи буква, значењето што треба да се најде.
Да дадеме неколку примери на наједноставните равенки. Тоа може да бидат еднаквости од формата x = 5, y = 6 итн., како и оние кои вклучуваат аритметички операции, на пример, x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 · t = 4, 6: x = 3.
Откако ќе се научи концептот на загради, се појавува концептот на равенки со загради. Тие вклучуваат 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3, итн. Буквата што треба да се најде може да се појави повеќе од еднаш, но неколку пати, како , на пример, во равенката x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Исто така, непознатите можат да се лоцираат не само лево, туку и десно или во двата дела во исто време, на пример, x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 или 8 x − 9 = 2 (x + 17) .
Понатаму, откако учениците ќе се запознаат со концептите на цели броеви, реални, рационални, природни броеви, како и логаритми, корени и моќи, се појавуваат нови равенки кои ги вклучуваат сите овие објекти. Посветивме посебна статија на примери на такви изрази.
Во наставната програма за VII одделение за прв пат се појавува концептот на променливи. Ова се букви кои можат да ги земат различни значења(за повеќе детали, видете ја статијата за нумерички податоци, буквални изразии изрази со променливи). Врз основа на овој концепт, можеме да ја редефинираме равенката:
Дефиниција 2
Равенкатае еднаквост што вклучува променлива чија вредност треба да се пресмета.
Односно, на пример, изразот x + 3 = 6 x + 7 е равенка со променливата x, а 3 y − 1 + y = 0 е равенка со променливата y.
Една равенка може да има повеќе од една променлива, но две или повеќе. Тие се нарекуваат, соодветно, равенки со две, три променливи итн. Да ја запишеме дефиницијата:
Дефиниција 3
Равенките со две (три, четири или повеќе) променливи се равенки кои вклучуваат соодветен број на непознати.
На пример, еднаквост од формата 3, 7 · x + 0, 6 = 1 е равенка со една променлива x, а x − z = 5 е равенка со две променливи x и z. Пример за равенка со три променливи би бил x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.
Корен на равенката
Кога зборуваме за равенка, веднаш се наметнува потребата да се дефинира концептот на нејзиниот корен. Ајде да се обидеме да објасниме што значи тоа.
Пример 1
Ни е дадена одредена равенка која вклучува една променлива. Ако замениме број за непознатата буква, равенката станува нумеричка еднаквост - точно или неточно. Значи, ако во равенката a + 1 = 5 ја замениме буквата со бројот 2, тогаш еднаквоста ќе стане неточна, а ако 4, тогаш точната еднаквост ќе биде 4 + 1 = 5.
Повеќе нè интересираат токму оние вредности со кои променливата ќе се претвори во вистинска еднаквост. Тие се нарекуваат корени или решенија. Ајде да ја запишеме дефиницијата.
Дефиниција 4
Корен на равенкатаТие ја нарекуваат вредноста на променливата што ја претвора дадената равенка во вистинска еднаквост.
Коренот може да се нарече и решение, или обратно - двата од овие концепти значат исто.
Пример 2
Да земеме пример за да ја разјасниме оваа дефиниција. Погоре ја дадовме равенката a + 1 = 5. Според дефиницијата, коренот е во овој случајќе биде 4, бидејќи кога ќе се замени наместо буква ја дава точната нумеричка еднаквост, а две нема да бидат решение, бидејќи одговара на неточната еднаквост 2 + 1 = 5.
Колку корени може да има една равенка? Дали секоја равенка има корен? Ајде да одговориме на овие прашања.
Постојат и равенки кои немаат единствен корен. Еден пример би бил 0 x = 5. Можеме да замениме бесконечно многу различни броеви, но ниту еден од нив нема да го претвори во вистинска еднаквост, бидејќи множењето со 0 секогаш дава 0.
Постојат и равенки кои имаат неколку корени. Тие можат да бидат или конечни или бесконечни голем број накорени.
Пример 3
Значи, во равенката x − 2 = 4 има само еден корен - шест, во x 2 = 9 два корени - три и минус три, во x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корени - нула, еден и два, во равенката x=x има бесконечно многу корени.
Сега да објасниме како правилно да ги напишеме корените на равенката. Ако ги нема, тогаш пишуваме: „равенката нема корени“. Во овој случај, можете да го означите и знакот на празното множество ∅. Ако има корени, тогаш ги пишуваме одделени со запирки или ги означуваме како елементи на множество, затворајќи ги во кадрави загради. Значи, ако некоја равенка има три корени - 2, 1 и 5, тогаш пишуваме - 2, 1, 5 или (- 2, 1, 5).
Дозволено е да се пишуваат корени во форма на едноставни еднаквости. Значи, ако непознатата во равенката е означена со буквата y, а корените се 2 и 7, тогаш пишуваме y = 2 и y = 7. Понекогаш претплатите се додаваат на буквите, на пример, x 1 = 3, x 2 = 5. На овој начин укажуваме на броевите на корените. Ако равенката има бесконечно многу решенија, тогаш одговорот го пишуваме како нумерички интервалили користиме општоприфатени ознаки: множеството природни броеви се означува со N, цели броеви со Z, а реалните броеви со R. Да речеме, ако треба да напишеме дека решението на равенката ќе биде кој било цел број, тогаш запишуваме дека x ∈ Z, а ако некој реален број од еден до девет, тогаш y ∈ 1, 9.
Кога равенката има два, три корени или повеќе, тогаш, по правило, не зборуваме за корени, туку за решенија на равенката. Да ја формулираме дефиницијата за решение на равенка со неколку променливи.
Дефиниција 5
Решението на равенка со две, три или повеќе променливи е две, три или повеќе вредности на променливите што ја претвораат дадената равенка во правилна нумеричка еднаквост.
Да ја објасниме дефиницијата со примери.
Пример 4
Да речеме дека го имаме изразот x + y = 7, што е равенка со две променливи. Ајде да замениме еден наместо првиот, а два наместо вториот. Ќе добиеме неточна еднаквост, што значи дека овој пар на вредности нема да биде решение за оваа равенка. Ако ги земеме парот 3 и 4, тогаш еднаквоста станува вистинита, што значи дека најдовме решение.
Таквите равенки исто така може да немаат корени или бесконечен број од нив. Ако треба да запишеме две, три, четири или повеќе вредности, тогаш ги запишуваме одделени со запирки во загради. Тоа е, во примерот погоре, одговорот ќе изгледа како (3, 4).
Во пракса, најчесто треба да се справите со равенки кои содржат една променлива. Алгоритмот за нивно решавање детално ќе го разгледаме во написот посветен на решавање равенки.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во алгебрата постои концепт на два вида еднаквости - идентитети и равенки. Идентитетите се еднаквости што важат за сите вредности на буквите вклучени во нив. Равенките се исто така еднаквости, но тие се остварливи само за одредени вредности на буквите вклучени во нив.
Според условите на проблемот, буквите обично се нееднакви. Ова значи дека некои од нив можат да преземат какви било прифатливи вредности, наречени коефициенти (или параметри), додека други - тие се нарекуваат непознати - земаат вредности што треба да се најдат во процесот на решавање. По правило, непознатите количини се означуваат во равенките со последните букви во (x.y.z, итн.), или со истите букви, но со индекс (x 1, x 2, итн.), а познатите коефициенти - со првиот букви од истата азбука.
Врз основа на бројот на непознати, се разликуваат равенки со една, две и неколку непознати. Така, сите вредности на непознатите за кои равенката што се решава се претвора во идентитет се нарекуваат решенија на равенките. Равенката може да се смета за решена ако се пронајдени сите нејзини решенија или се докаже дека нема. Задачата „реши равенка“ е вообичаена во пракса и значи дека треба да го пронајдете коренот на равенката.
Дефиниција: корените на равенката се оние вредности на непознатите од дозволената област на која равенката што се решава се претвора во идентитет.
Алгоритмот за решавање на апсолутно сите равенки е ист, а неговото значење е да се користат математички трансформации овој израздоведе до повеќе едноставен поглед.
Равенки кои имаат идентични корени, во алгебра се нарекуваат еквивалентни.
Наједноставен пример: 7x-49=0, корен на равенката x=7;
x-7=0, слично, коренот x=7, значи, равенките се еквивалентни. (Во посебни случаи еквивалентни равенкиможе да нема корени).
Ако коренот на равенката е истовремено корен на друга, поедноставна равенка добиена од првобитната преку трансформации, тогаш втората се вика последица на претходната равенка.
Ако една од двете равенки е последица на другата, тогаш тие се сметаат за еквивалентни. Тие се нарекуваат и еквивалентни. Примерот погоре го илустрира ова.
Решавањето дури и на наједноставните равенки во пракса често предизвикува потешкотии. Како резултат на решението, можете да добиете еден корен од равенката, два или повеќе, дури бесконечен број- зависи од видот на равенките. Има и такви кои немаат корен, се нарекуваат нерешливи.
Примери:
1) 15x -20=10; x=2. Ова е единствениот корен на равенката.
2) 7x - y=0. Равенката има бесконечен број корени бидејќи секоја променлива може да има бесконечен број вредности.
3) x 2 = - 16. Бројот подигнат до втор степен секогаш дава позитивен резултат, така што е невозможно да се најде коренот на равенката. Ова е една од нерешливите равенки дискутирани погоре.
Точноста на решението се проверува со замена на пронајдените корени наместо буквите и решавање на добиениот пример. Ако идентитетот е задоволен, решението е точно.