Постојат неколку начини за решавање на неравенки кои содржат модул. Ајде да погледнеме некои од нив.
1) Решавање на неравенството со користење на геометриското својство на модулот.
Дозволете ми да ве потсетам кое е геометриското својство на модулот: модулот на бројот x е растојанието од почетокот до точката со координата x.
При решавање на нееднаквости со овој метод, може да се појават два случаи:
1. |x| ≤ б, 
И неравенството со модул очигледно се сведува на систем од две неравенки. Овде знакот може да биде строг, во тој случај точките на сликата ќе бидат „дупнати“.
2. |x| ≥ b,тогаш сликата на решението изгледа вака:
И неравенството со модул очигледно се сведува на комбинација од две неравенки. Овде знакот може да биде строг, во тој случај точките на сликата ќе бидат „дупнати“.
Пример 1.
Решете ја неравенката |4 – |x|| ≥ 3.
Решение.
Оваа нееднаквост е еквивалентна на следното множество:
У [-1;1] У
Пример 2.
Решете ја неравенката ||x+2| – 3| ≤ 2.
Решение.
Оваа нееднаквост е еквивалентна на следниот систем.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| - 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Дозволете ни да ја решиме посебно првата нееднаквост на системот. Тоа е еквивалентно на следново множество:
U[-1; 3].
2) Решавање на неравенки користејќи ја дефиницијата на модулот.
Прво да те потсетам дефиниција на модулот.
|а| = a ако a ≥ 0 и |a| = -а ако а< 0.
На пример, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Пример 1.
Решете ја неравенката 3|x – 1| ≤ x+3.
Решение.
Користејќи ја дефиницијата на модулот, добиваме два системи:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Решавајќи го првиот и вториот систем одделно, добиваме:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(х< 1
(x ≥ 0.
Решението на првобитната нееднаквост ќе бидат сите решенија од првиот систем и сите решенија од вториот систем.
Одговор: x € .
3) Решавање на неравенки со квадрат.
Пример 1.
Решете ја неравенката |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Решение.
Да ги квадратиме двете страни на неравенката. Дозволете ми да забележам дека можете да ги квадратите двете страни на нееднаквоста само ако и двете се позитивни. Во овој случај, имаме модули и на левата и на десната страна, така што можеме да го направиме ова.
(| x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Сега да го искористиме следново својство на модулот: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1) (x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x (x - 2) (2x - 1)< 0.
Решаваме со методот на интервал.
Одговор: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решавање на неравенки со промена на променливи.
Пример.
Решете ја неравенката (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Решение.
Забележете дека (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогаш ја добиваме нееднаквоста
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Да ја направиме промената y = |2x + 3|.
Ајде да ја преработиме нашата нееднаквост земајќи ја предвид замената.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Ајде да го факторизираме квадратниот трином лево.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Ајде да решиме со методот на интервал и да добиеме:
Да се вратиме на замената:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Оваа двојна неравенка е еквивалентна на системот на неравенки:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Да ја решиме секоја од неравенките посебно.
Првиот е еквивалентен на системот
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Ајде да го решиме.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Втората неравенка очигледно важи за сите x, бидејќи модулот е, по дефиниција, позитивен број. Бидејќи решението на системот е сè x што истовремено ги задоволува и првата и втората неравенка на системот, тогаш решението на оригиналниот систем ќе биде решение за неговата прва двојна неравенка (на крајот на краиштата, второто е точно за сите x) .
Одговор: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Овој онлајн математички калкулатор ќе ви помогне реши равенка или неравенка со модули. Програма за решавање равенки и неравенки со модулине само што го дава одговорот на проблемот, туку и води детално решение со објаснувања, т.е. го прикажува процесот на добивање на резултатот.
Оваа програма може да биде корисна за средношколците во општообразовните училишта кога се подготвуваат за тестови и испити, кога го тестираат знаењето пред обединетиот државен испит и за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да ја завршите домашната задача по математика или алгебра што е можно побрзо? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.
На овој начин, можете да спроведете сопствена обука и/или обука на вашите помлади браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на решавање проблеми се зголемува.
|x| или abs(x) - модул xВнесете равенка или неравенка со модули
Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.
Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...
Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.
Нашите игри, загатки, емулатори:
Малку теорија.
Равенки и неравенки со модули
Во основниот училишен курс за алгебра, може да наидете на наједноставните равенки и неравенки со модули. За да ги решите, можете да користите геометриски метод заснован на фактот дека \(|x-a| \) е растојанието на бројната права помеѓу точките x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). На пример, за да ја решите равенката \(|x-3|=2\) треба да најдете точки на бројната права што се оддалечени од точката 3 на растојание од 2. Постојат две такви точки: \(x_1=1 \) и \(x_2=5\) .
Решавање на неравенството \(|2x+7| 
Но, главниот начин за решавање равенки и неравенки со модули е поврзан со таканареченото „откривање на модулот по дефиниција“:
ако \(a \geq 0 \), тогаш \(|a|=a \);
ако \(a По правило, равенката (неравенка) со модули се сведува на множество равенки (неравенки) кои не го содржат знакот за модул.
Во прилог на горенаведената дефиниција, се користат следните изјави:
1) Ако \(c > 0\), тогаш равенката \(|f(x)|=c \) е еквивалентна на множеството равенки: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end (низа)\десно. \)
2) Ако \(c > 0 \), тогаш неравенката \(|f(x)| 3) Ако \(c \geq 0 \), тогаш неравенката \(|f(x)| > c \) е еквивалентно на множество неравенки: \(\лево[\почеток(низа)(l) f(x) c \end(низа)\десно. \)
4) Ако двете страни на неравенката \(f(x) ПРИМЕР 1. Решете ја равенката \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
Ако \(x-1 \geq 0\), тогаш \(|x-1| = x-1\) и дадената равенка ја добива формата
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Десна стрелка x^2 +2x -8 = 0 \).
Ако \(x-1 \(x^2 -2 (x-1) -6 = 0 \Десна стрелка x^2 -2x -4 = 0 \).
Така, дадената равенка треба да се разгледува посебно во секој од двата посочени случаи.
1) Нека \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x\geq 1\). Од равенката \(x^2 +2x -8 = 0\) наоѓаме \(x_1=2, \; x_2=-4\). Условот \(x \geq 1 \) е задоволен само со вредноста \(x_1=2\).
2) Нека \(x-1 Одговори: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
ПРИМЕР 2. Решете ја равенката \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
Првиот начин(проширување на модулот по дефиниција).
Расудувајќи како во примерот 1, доаѓаме до заклучок дека дадената равенка треба да се разгледа посебно ако се исполнети два услови: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7
1) Ако \(x^2-6x+7 \geq 0 \), тогаш \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и дадената равенка има форма \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Десна стрелка 3x^2-23x+30=0 \). Откако ја решивме оваа квадратна равенка, добиваме: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Ајде да откриеме дали вредноста \(x_1=6\) го задоволува условот \(x^2-6x+7 \geq 0\). За да го направите ова, заменете ја наведената вредност во квадратната неравенка. Добиваме: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) е вистинска неравенка. Ова значи дека \(x_1=6\) е коренот на дадената равенка.
Ајде да откриеме дали вредноста \(x_2=\frac(5)(3)\) го задоволува условот \(x^2-6x+7 \geq 0\). За да го направите ова, заменете ја наведената вредност во квадратната неравенка. Добиваме: \(\left(\frac(5)(3) \десно)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) е неточна неравенка. Ова значи дека \(x_2=\frac(5)(3)\) не е корен од дадената равенка.
2) Ако \(x^2-6x+7 Вредноста \(x_3=3\) го задоволува условот \(x^2-6x+7 Вредноста \(x_4=\frac(4)(3) \) не го задоволува условот \ (x^2-6x+7 Значи, дадената равенка има два корени: \(x=6, \; x=3 \).
Втор начин.Ако е дадена равенката \(|f(x)| = h(x) \), тогаш со \(h(x) \(\left[\begin(низа)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end (низа)\десно. \)
И двете од овие равенки беа решени погоре (со користење на првиот метод за решавање на дадената равенка), нивните корени се како што следува: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Условот \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) од овие четири вредности е задоволен со само две: 6 и 3. Тоа значи дека дадената равенка има два корени: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Трет начин(графички).
1) Да изградиме график на функцијата \(y = |x^2-6x+7| \). Прво, да конструираме парабола \(y = x^2-6x+7\). Имаме \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Графикот на функцијата \(y = (x-3)^2-2\) може да се добие од графикот на функцијата \(y = x^2\) со поместување на 3 единици на скала надесно (по должината на x-оска) и 2 единици на скала надолу (по должината на y-оската). Правата x=3 е оската на параболата што нè интересира. Како контролни точки за попрецизно исцртување, погодно е да се земе точката (3; -2) - темето на параболата, точката (0; 7) и точката (6; 7) симетрична на неа во однос на оската на параболата .
За сега да конструирате график на функцијата \(y = |x^2-6x+7| \), треба да ги оставите непроменети оние делови од конструираната парабола што не лежат под оската x и да го пресликате тој дел од парабола која лежи под x-оската во однос на оската x.
2) Да изградиме график на линеарната функција \(y = \frac(5x-9)(3)\). Удобно е да се земат точките (0; -3) и (3; 2) како контролни точки.
Важно е точката x = 1,8 од пресекот на правата линија со оската на апсцисата да се наоѓа десно од левата точка на пресек на параболата со оската на апсцисата - ова е точката \(x=3-\ sqrt(2)\) (бидејќи \(3-\sqrt(2) 3) Судејќи според цртежот, графиците се сечат на две точки - A(3; 2) и B(6; 7). Замена на апсцисите на овие точките x = 3 и x = 6 во дадената равенка, убедени сме дека и двете Во друга вредност се добива точната нумеричка еднаквост.Тоа значи дека нашата хипотеза е потврдена - равенката има два корени: x = 3 и x = 6 Одговор: 3; 6.
Коментар. Графичкиот метод, и покрај сета своја елеганција, не е многу сигурен. Во разгледаниот пример, тоа функционираше само затоа што корените на равенката се цели броеви.
ПРИМЕР 3. Решете ја равенката \(|2x-4|+|x+3| = 8\)
Првиот начин
Изразот 2x–4 станува 0 во точката x = 2, а изразот x + 3 станува 0 во точката x = –3. Овие две точки ја делат бројната права на три интервали: \(x
Размислете за првиот интервал: \((-\infty; \; -3) \).
Ако x Размислете за вториот интервал: \([-3; \; 2) \).
Ако \(-3 \leq x Размислете за третиот интервал: \(
Примерот е решен.
Пример 3 . Решете ја нееднаквоста 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Решение.
Број Xможе да биде позитивен број, негативен број или нула. Затоа, треба да ги земеме предвид сите три околности. Како што знаете, тие се земени предвид во две нееднаквости: X≥ 0 и X < 0. При X≥ 0 едноставно ја препишуваме нашата првобитна неравенка како што е, само без знакот за модул:
6x2 - X - 2 ≤ 0.
Сега за вториот случај: ако X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Проширување на заградите:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
Така, добивме два системи на равенки:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Треба да ги решиме неравенките во системите - а тоа значи дека треба да ги најдеме корените на две квадратни равенки. За да го направите ова, ги изедначуваме левите страни на неравенките на нула.
Да почнеме со првиот:
6X 2 - X - 2 = 0.
Како да решите квадратна равенка - видете го делот „Квадратна равенка“. Одговорот веднаш ќе го именуваме:
X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
Од првиот систем на неравенки добиваме дека решението на првобитната неравенка е целото множество броеви од -1/2 до 2/3. Сојузот на решенија го пишуваме на X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Сега да ја решиме втората квадратна равенка:
6X 2 + X - 2 = 0.
Нејзините корени:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Заклучок: кога X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Ајде да ги споиме двата одговори и да го добиеме конечниот одговор: решението е целото множество броеви од -2/3 до 2/3, вклучувајќи ги и овие екстремни броеви.
Одговори: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Или: X ∈ [-2/3; 2/3].
решение за нееднаквоство режим онлајн решениеречиси секоја дадена нееднаквост онлајн. Математички нееднаквости на интернетда решава математика. Најдете брзо решение за нееднаквоство режим онлајн. Веб-страницата www.site ви овозможува да најдете решениеречиси секој даден алгебарски, тригонометрискиили трансцендентална нееднаквост на интернет. Кога студирате речиси секоја гранка од математиката во различни фази, треба да одлучите нееднаквости на интернет. За да добиете одговор веднаш, и што е најважно точен одговор, потребен ви е ресурс што ви го овозможува тоа. Благодарение на страницата www.site реши нееднаквоста онлајнќе потрае неколку минути. Главната предност на www.site при решавање на математички нееднаквости на интернет- ова е брзината и точноста на дадениот одговор. Веб-страницата може да реши какви било алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, трансцендентални нееднаквости онлајн, и нееднаквостисо непознати параметри во режим онлајн. Нееднаквостислужат како моќен математички апарат решенијапрактични проблеми. Со помош математички неравенкиможно е да се изразат факти и односи кои на прв поглед може да изгледаат збунувачки и сложени. Непознати количини нееднаквостиможе да се најде со формулирање на проблемот во математичкијазик во форма нееднаквостиИ одлучидобиена задача во режим онлајнна веб-страницата www.site. Било кој алгебарска нееднаквост, тригонометриска нееднаквостили нееднаквостикои содржат трансценденталенкарактеристики што можете лесно одлучионлајн и добијте го точниот одговор. Кога студирате природни науки, неминовно наидувате на потреба решенија за нееднаквости. Во овој случај, одговорот мора да биде точен и мора да се добие веднаш во режимот онлајн. Затоа за решаваат математички неравенки онлајнја препорачуваме страницата www.site, која ќе стане ваш неопходен калкулатор решавање на алгебарски неравенки онлајн, тригонометриски неравенки онлајн, и трансцендентални нееднаквости онлајнили нееднаквостисо непознати параметри. За практични проблеми за наоѓање онлајн решенија за различни математички неравенкиресурс www.. Решавање нееднаквости на интернетсами, корисно е да го проверите добиениот одговор користејќи онлајн решение на нееднаквостина веб-страницата www.site. Треба правилно да ја напишете неравенката и веднаш да ја добиете онлајн решение, по што останува само да го споредите одговорот со вашето решение на нееднаквоста. Проверувањето на одговорот ќе потрае не повеќе од една минута, доволно е реши нееднаквоста онлајни споредете ги одговорите. Ова ќе ви помогне да избегнете грешки во одлукаи поправете го одговорот навреме кога решавање на нееднаквости онлајнили алгебарски, тригонометриски, трансценденталенили нееднаквостсо непознати параметри.
Математика е симбол на мудроста на науката,
модел на научна строгост и едноставност,
стандардот на извонредност и убавина во науката.
Рускиот филозоф, професор А.В. Волошинов
Неравенки со модул
Најтешките проблеми за решавање во училишната математика се нееднаквостите, кои содржат променливи под знакот на модул. За успешно решавање на ваквите нееднаквости, мора да имате добро познавање на својствата на модулот и да имате вештини за нивно користење.
Основни концепти и својства
Модул (апсолутна вредност) на реален бројозначено со и се дефинира на следниов начин:
Едноставните својства на модулот ги вклучуваат следните врски:
И .
Забелешка, дека последните две својства важат за кој било парен степен.
Покрај тоа, ако, каде, тогаш и
Покомплексни својства на модулот, што може ефективно да се користи при решавање на равенки и неравенки со модули, се формулирани преку следните теореми:
Теорема 1.За какви било аналитички функцииИ нееднаквоста е вистина.
Теорема 2.Еднаквост еднакво на нееднаквост.
Теорема 3.Еднаквост еднакво на нееднаквост.
Најчести нееднаквости во училишната математика, кои содржат непознати променливи под знакот на модул, се неравенки на форматаи каде некоја позитивна константа.
Теорема 4.Нееднаквост е еквивалентно на двојна нееднаквост, и решението на неравенствотосе сведува на решавање на множество неравенкиИ .
Оваа теорема е посебен случај на теоремите 6 и 7.
Покомплексни нееднаквости, кои содржат модул се неравенки на формата, И.
Методите за решавање такви неравенки може да се формулираат со користење на следните три теореми.
Теорема 5.Нееднаквост е еквивалентно на комбинација од два системи на неравенки
Јас (1)
Доказ.Од тогаш
Ова ја подразбира валидноста на (1).
Теорема 6.Нееднаквост е еквивалентно на системот на неравенки
Доказ.Бидејќи, потоа од нееднаквостследи тоа . Под овој услов, нееднаквостаи во овој случај вториот систем на неравенки (1) ќе испадне дека е неконзистентен.
Теоремата е докажана.
Теорема 7.Нееднаквост е еквивалентно на комбинација од една неравенка и два системи на неравенки
Јас (3)
Доказ.Од , тогаш нееднаквоста секогаш погубен, Ако .
Нека, потоа нееднаквостќе биде еквивалентно на нееднаквост, од кој следува множество од две неравенкиИ .
Теоремата е докажана.
Да погледнеме типични примери за решавање проблеми на тема „Нееднаквости, кои содржат променливи под знакот на модулот“.
Решавање на неравенки со модул
Наједноставниот метод за решавање на неравенки со модул е методот, врз основа на проширување на модулот. Овој метод е универзален, сепак, во општиот случај, неговата употреба може да доведе до многу незгодни пресметки. Затоа, учениците треба да знаат други (поефикасни) методи и техники за решавање на ваквите нееднаквости. Особено, неопходно е да се поседуваат вештини за примена на теореми, дадена во оваа статија.
Пример 1.Решете ја нееднаквоста
. (4)
Решение.Ќе ја решиме нееднаквоста (4) користејќи го „класичниот“ метод - методот на откривање модули. За таа цел, ја делиме бројната оскаточки и во интервали и разгледајте три случаи.
1. Ако , тогаш , , , а неравенството (4) ја зема форматаили .
Бидејќи случајот се разгледува овде, тој е решение за нееднаквоста (4).
2. Ако, тогаш од неравенството (4) добивамеили . Од пресекот на интервалиИ е празно, тогаш на интервалот на решенија што се разгледуваат нема неравенство (4).
3. Ако, тогаш неравенството (4) добива формаили . Очигледно е дека е и решение за нееднаквоста (4).
Одговор: ,.
Пример 2.Решете ја нееднаквоста.
Решение.Да претпоставиме дека. Бидејќи, тогаш дадената неравенка добива формаили . Од тогаш а оттука следуваили .
Меѓутоа, затоа или.
Пример 3.Решете ја нееднаквоста
. (5)
Решение.Бидејќи, тогаш неравенката (5) е еквивалентна на неравенкитеили . Од тука, според теорема 4, имаме збир на нееднаквостиИ .
Одговор: ,.
Пример 4.Решете ја нееднаквоста
. (6)
Решение.Да означиме. Потоа од неравенството (6) ги добиваме неравенките , , или .
Од тука, користејќи го методот на интервал, добиваме . Бидејќи, тогаш тука имаме систем на нееднаквости
Решението на првата неравенка на системот (7) е соединување на два интервалиИ, а решението на втората неравенка е двојната неравенка. Ова имплицира, дека решението на системот на неравенки (7) е заедница на два интервалиИ .
Одговор:,
Пример 5.Решете ја нееднаквоста
. (8)
Решение. Да ја трансформираме неравенката (8) на следниов начин:
Или .
Користење на методот интервал, добиваме решение за неравенство (8).
Одговор:.
Забелешка. Ако ставиме и во услови на теорема 5, добиваме .
Пример 6.Решете ја нееднаквоста
. (9)
Решение. Од неравенството (9) следува. Да ја трансформираме неравенката (9) на следниов начин:
Или
Оттогаш или .
Одговор:.
Пример 7.Решете ја нееднаквоста
. (10)
Решение.Од и , тогаш или .
Во таа смисла а неравенството (10) ја зема формата
Или
. (11)
Следи дека или . Бидејќи , тогаш неравенството (11) исто така имплицира или .
Одговор:.
Забелешка. Ако ја примениме теоремата 1 на левата страна на неравенството (10), тогаш добиваме . Од ова и нееднаквоста (10) следува, што или . Бидејќи, тогаш неравенството (10) добива формаили .
Пример 8.Решете ја нееднаквоста
. (12)
Решение.Од тогаш а од неравенството (12) следуваили . Меѓутоа, затоа или. Од тука добиваме или .
Одговор:.
Пример 9.Решете ја нееднаквоста
. (13)
Решение.Според теорема 7, решението на неравенството (13) е или .
Нека биде сега. Во овој случај а неравенството (13) добива формаили .
Ако ги комбинирате интервалитеИ, тогаш добиваме решение за неравенство (13) од формата.
Пример 10.Решете ја нееднаквоста
. (14)
Решение.Да ја преработиме неравенката (14) во еквивалентна форма: . Ако ја примениме теоремата 1 на левата страна на оваа неравенка, ќе ја добиеме неравенката .
Од тука и од теорема 1 следува, таа нееднаквост (14) е задоволна за која било вредност.
Одговор: кој било број.
Пример 11.Решете ја нееднаквоста
. (15)
Решение. Примена на теорема 1 на левата страна на неравенството (15), добиваме . Ова и неравенството (15) ја даваат равенката, која ја има формата.
Според теорема 3, равенката еднакво на нееднаквост. Од тука добиваме.
Пример 12.Решете ја нееднаквоста
. (16)
Решение. Од неравенството (16), според теорема 4, добиваме систем на неравенки
При решавање на неравенствотоДа ја искористиме теоремата 6 и да добиеме систем на неравенкиод што следува.
Размислете за нееднаквоста. Според теорема 7, добиваме множество неравенкиИ . Втората популациска нееднаквост важи за секоја реална.
Оттука, решението на неравенството (16) е.
Пример 13.Решете ја нееднаквоста
. (17)
Решение.Според теорема 1, можеме да пишуваме
(18)
Земајќи ја предвид нееднаквоста (17), заклучуваме дека и двете неравенки (18) преминуваат во еднаквости, т.е. постои систем на равенки
Според теорема 3, овој систем на равенки е еквивалентен на системот на неравенки
или
Пример 14.Решете ја нееднаквоста
. (19)
Решение.Од тогаш. Да ги помножиме двете страни на нееднаквоста (19) со изразот , кој зема само позитивни вредности за која било вредност. Потоа добиваме неравенство што е еквивалентно на неравенката (19), од формата
Од тука добиваме или, каде. Бидејќи и тогаш решението на неравенството (19) еИ .
Одговор: ,.
За подлабоко проучување на методите за решавање на неравенки со модул, препорачуваме да се свртиме кон учебниците, дадена во листата на препорачана литература.
1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.
2. Супрун В.П. Математика за средношколци: методи на решавање и докажување неравенки. – М.: Ленанд / УРСС, 2018. – 264 стр.
3. Супрун В.П. Математика за средношколци: нестандардни методи за решавање проблеми. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 296 стр.
Сè уште имате прашања?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.