Диференцијалната равенка од втор ред има форма:
Општото решение на равенката е фамилија на функции во зависност од две произволни константи и: (или - општиот интеграл на диференцијална равенка од втор ред). Проблемот на Коши за диференцијална равенка од втор ред (1.1) се состои од изнаоѓање на одредено решение за равенката што ги задоволува почетните услови: за: , . Треба да се забележи дека графиците на решенија на равенка од втор ред можат да се сечат, за разлика од графиконите на решенија на равенка од 1-ви ред. Сепак, решението на проблемот на Коши за равенките од втор ред (1.1) под прилично широки претпоставки за функциите вклучени во равенката е единствено, т.е. кои било две решенија со заедничка почетна состојба се совпаѓаат на пресекот на интервалите за дефиниција.
Не е секогаш можно да се добие општо решение или да се реши проблемот на Коши за диференцијална равенка од втор ред аналитички. Меѓутоа, во некои случаи можно е да се намали редоследот на равенката со воведување на различни замени. Ајде да ги погледнеме овие случаи.
1. Равенки кои експлицитно не содржат независна променлива.
Нека диференцијалната равенка од 2 ред има форма: , т.е. јасно е дека нема независна променлива во равенката (1.1). Ова ни овозможува да го земеме како нов аргумент и да го земеме изводот од 1-ви ред како нова функција. Потоа.
Така, равенката од втор ред за функција која не е експлицитно содржана е сведена на равенка од 1-ви ред за функција. Интегрирајќи ја оваа равенка, го добиваме општиот интеграл или, и ова е диференцијална равенка од 1-ви ред за функцијата. Решавајќи го, го добиваме општиот интеграл на првобитната диференцијална равенка, во зависност од две произволни константи: .
Пример 1. Решете диференцијална равенка за дадени почетни услови: , .
Бидејќи нема експлицитен аргумент во оригиналната равенка, ќе земеме a како нова независна променлива и - како. Тогаш равенката ја добива следната форма за функцијата: .
Ова е диференцијална равенка со раздвојливи променливи: . Каде следи, т.е. .
Бидејќи за и, потоа заменувајќи ги почетните услови во последната еднаквост, го добиваме тоа и, што е еквивалентно. Како резултат на тоа, за функцијата имаме равенка со раздвојливи променливи, решавајќи ги добиваме. Користејќи ги почетните услови, го добиваме тоа. Следствено, парцијалниот интеграл на равенката што ги задоволува почетните услови има форма: .
2. Равенки кои експлицитно не ја содржат саканата функција.
Нека диференцијалната равенка од 2 ред има форма: , т.е. равенката очигледно не ја вклучува саканата функција. Во овој случај, се воведува изјава. Тогаш равенката од втор ред за функцијата се претвора во равенка од 1-ви ред за функцијата. Откако го интегриравме, добиваме диференцијална равенка од 1-ви ред за функцијата: . Решавајќи ја последната равенка, го добиваме општиот интеграл на дадената диференцијална равенка, во зависност од две произволни константи: .
Затоа, постои природна желба да се намали равенката од ред повисока од првата на равенка од понизок ред. Во некои случаи тоа може да се направи. Ајде да ги погледнеме.
1. Равенките од формата y (n) =f(x) се решаваат со секвенцијална интеграција n пати
, 
,… .
Пример. Решете ја равенката xy""=1. Затоа, можеме да напишеме y"=ln|x| + C 1 и, интегрирајќи повторно, конечно добиваме y=∫ln|x| + C 1 x + C 2
2. Во равенките од формата F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (т.е. не содржи експлицитно непозната функција и некои нејзини изводи), редоследот се намалува со промена на променливата y (k) = z(x). Тогаш y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) и ја добиваме равенката F(x,z,z",..,z (n - k)) од редот n-k. Нејзиното решение е функцијата z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, сеќавајќи се што е z, ја добиваме равенката y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k) земени во предвид во случајот со тип 1.
Пример 1. Решете ја равенката x 2 y"" = (y") 2. Направете ја замената y"=z(x) . Потоа y""=z"(x). Заменувајќи се во првобитната равенка, добиваме x 2 z"=z 2. Одвојувајќи ги променливите, добиваме . Интегрирање, имаме 
, или, што е исто, . Последната релација се пишува во формата од каде . Интегрирајќи, конечно добиваме 
Пример 2. Решете ја равенката x 3 y"" +x 2 y"=1. Правиме промена на променливите: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Правиме промена на променливите: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. Од: u"=1/x 2 или du/ dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Бидејќи z=u/x, тогаш z = -1/x 2 +c 1 /x. Бидејќи y"=z, тогаш dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Одговор: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2
3. Следната равенка што може да се намали по ред е равенка од формата F(y,y",y"",…,y (n))=0, која експлицитно не содржи независна променлива. равенката се намалува со замена на променливата y" =p(y) , каде што p е новата посакувана функција во зависност од y. Потоа 
= и така натаму. Со индукција имаме y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)).Со замена во првобитната равенка, го намалуваме нејзиниот ред за еден.
Пример. Решете ја равенката (y") 2 +2yy""=0. Ја правиме стандардната замена y"=p(y), потоа y″=p′·p. Заменувајќи се во равенката, добиваме 
Одвојувајќи ги променливите, за p≠0 имаме.Интегрирајќи, добиваме 
или, што е истото, . Потоа или. Интегрирајќи ја последната еднаквост, конечно ја добиваме 
При раздвојување на променливите, би можеле да го изгубиме решението y=C кое се добива за p=0 или, што е исто, за y"=0, но тоа е содржано во горе добиеното.
4. Понекогаш е можно да забележите карактеристика што ви овозможува да го намалите редоследот на равенката на начини различни од оние што се дискутирани погоре. Да го покажеме ова со примери.
Примери.
1. Ако двете страни на равенката yy"""=y′y″ се поделат со yy″, се добива равенка која може да се препише како (lny″)′=(lny)′. Од последната релација следува дека lny″=lny +lnC, или, што е исто, y″=Cy... Резултатот е равенка за ред на големина помала и од типот што беше дискутиран претходно.
2. Слично, за равенката yy″=y′(y′+1) имаме, или (ln(y"+1))" = (lny)". Од последната релација следува дека ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, или y"=C 1 y-1. Одвојувајќи ги променливите и интегрирајќи, добиваме ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Одлучи равенки кои можат да се намалат по редоследможно со користење на специјална услуга
Еден од методите за интегрирање на DE од повисок ред е методот на намалување на редот. Суштината на методот е дека, со замена на променлива (замена), оваа DE се сведува на равенка од понизок ред.
Да разгледаме три типа равенки кои овозможуваат намалување по редослед.
I. Нека е дадена равенката
Редоследот може да се намали со воведување на нова функција p(x), поставување y " =p(x). Потоа y """ =p " (x) и добиваме прв ред DE: p " =ƒ(x). Откако ќе го решиме, односно ја најдовме функцијата p = p (x), ја решаваме равенката y " = p (x). Да добиеме општо решение за дадената равенка (3.6).
Во пракса, тие дејствуваат поинаку: редоследот се намалува директно со секвенцијална интеграција на равенката.
Бидејќи 
равенката (3.6) може да се запише во форма dy " =ƒ(x) dx. Потоа, интегрирајќи ја равенката y "" =ƒ(x), се добива: y " = или y " =j1 (x) + с 1 Понатаму, интегрирајќи ја добиената равенка во x, наоѓаме: - општото решение на оваа равенка.Ако е дадена равенката 
тогаш, откако го интегриравме последователно n пати, го наоѓаме општото решение на равенката:
Пример 3.1. Решете ја равенката 
Решение: Доследно интегрирајќи ја оваа равенка четири пати, добиваме
Нека е дадена равенката
Да го означиме y " =р, каде што р=р(х) е нова непозната функција. Тогаш y "" =p " и равенката (3.7) ја зема формата p " =ƒ(х;р). Нека р=j (х;с 1) е општото решение на добиената DE од прв ред. Заменувајќи ја функцијата p со y ", ја добиваме DE: y " = j(x;c 1). Таа има форма (3.6). За да се најде y, доволно е да се интегрира последната равенка.Општото решение на равенката ( 3.7) ќе има форма
Посебен случај на равенката (3.7) е равенката
која исто така не ја содржи експлицитно саканата функција, тогаш нејзиниот редослед може да се намали за k единици со поставување y (k) = p (x). Тогаш y (k+1) =p "; ...; y (n) = p (n-k) и равенката (3.9) ја зема формата F(x;p;p ";... ;p (n-κ ) )=0. Посебен случај на равенката (3.9) е равенката
Користејќи ја замената y (n-1) =p(x), y (n) =p" оваа равенка се сведува на DE од прв ред.
Пример 3.2. Решете ја равенката 
Решение: Претпоставуваме y"=p, каде 
Потоа 
Ова е раздвојлива равенка: 
Интегрирајќи, добиваме Враќање на оригиналната променлива, добиваме y"=c 1 x,
- општо решение на равенката.
III. Размислете за равенката
која експлицитно не ја содржи независната променлива x.
За да се намали редоследот на равенката, воведуваме нова функција p=p(y), во зависност од променливата y, поставувајќи y"=p. Оваа еднаквост ја разликуваме во однос на x, земајќи предвид дека p =p(y (x)):
т.е. 
Сега равенката (3.10) ќе биде напишана во форма 
Нека p=j(y;c 1) е општо решение од овој прв ред DE. Заменувајќи ја функцијата p(y) со y“, добиваме y"=j(y;c 1) - DE со раздвојливи променливи. Интегрирајќи го, го наоѓаме општиот интеграл на равенката (3.10): 
Посебен случај на равенката (3.10) е диференцијалната равенка
Оваа равенка може да се реши со слична замена: y " = p(y),
Истото го правиме и кога ја решаваме равенката F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Неговиот редослед може да се намали за еден со поставување y"=p, каде што p=p(y ). Користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција, наоѓаме Потоа наоѓаме
p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y, или p=c 1 ey+y. Заменувајќи го p со y ", добиваме: y"=c 1 -e y +y. Заменувајќи ги y"=2 и y=2 во оваа еднаквост, наоѓаме со 1:
2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.
Имаме y"=y. Оттука y=c 2 e x. Го наоѓаме c 2 од почетните услови: 2=c 2 e°, c 2 =2. Така, y=2e x е одредено решение за ова