Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Доколку учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучително и административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Содржина на лекцијатаЛинеарни равенки во две променливи
Ученик има 200 рубли за ручек на училиште. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе можете да купите за 200 рубли?
Дозволете ни да го означиме бројот на колачи со x, и бројот на шолји кафе преку y. Тогаш цената на колачите ќе биде означена со изразот 25 x, а цената на шолјите кафе во 10 y .
25x -цена xколачи
10y -цена yшолји кафе
Вкупниот износ треба да биде 200 рубли. Потоа добиваме равенка со две променливи xИ y
25x+ 10y= 200
Колку корени има оваа равенка?
Сè зависи од апетитот на ученикот. Ако купи 6 колачи и 5 шолји кафе, тогаш корените на равенката ќе бидат броевите 6 и 5.
Парот на вредности 6 и 5 се вели дека се корените на равенката 25 x+ 10y= 200 . Напишано како (6; 5), при што првиот број е вредноста на променливата x, а вториот - вредноста на променливата y .
6 и 5 не се единствените корени што ја менуваат равенката 25 x+ 10y= 200 до идентитетот. Ако сакате, за истите 200 рубли студентот може да купи 4 колачи и 10 шолји кафе:
Во овој случај, корените на равенката 25 x+ 10y= 200 е пар вредности (4; 10).
Згора на тоа, ученик може воопшто да не купува кафе, туку да купи колачи за цели 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 ќе бидат вредностите 8 и 0
Или обратно, не купувајте колачи, туку купувајте кафе за сите 200 рубли. Потоа корените на равенката 25 x+ 10y= 200 вредностите ќе бидат 0 и 20
Ајде да се обидеме да ги наведеме сите можни корени на равенката 25 x+ 10y= 200 . Да се согласиме дека вредностите xИ yприпаѓаат на множеството цели броеви. И нека овие вредности се поголеми или еднакви на нула:
x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0
Ова ќе биде погодно за самиот ученик. Попогодно е да се купат цели колачи отколку, на пример, неколку цели колачи и половина торта. Исто така, попогодно е да се пие кафе во цели шолји отколку, на пример, неколку цели шолји и половина шолја.
Забележете дека за непарни xпод никакви околности е невозможно да се постигне еднаквост y. Потоа вредностите xследните броеви ќе бидат 0, 2, 4, 6, 8. И знаејќи xможе лесно да се одреди y
Така, ги добивме следните парови на вредности (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Овие парови се решенија или корени на равенката 25 x+ 10y= 200. Тие ја претвораат оваа равенка во идентитет.
Равенка на формата секира + од = вповикани линеарна равенка со две променливи. Решението или корените на оваа равенка се пар вредности ( x; y), што го претвора во идентитет.
Забележете исто така дека ако линеарна равенка со две променливи е напишана во форма секира + b y = c,тогаш велат дека е напишано во канонски(нормална) форма.
Некои линеарни равенки во две променливи може да се сведат на канонска форма.
На пример, равенката 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) може да се донесе на ум секира + од = в. Ајде да ги отвориме заградите од двете страни на оваа равенка и да добиеме 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Ги групираме поимите што содржат непознати на левата страна од равенката, а термините без непознати на десната. Потоа добиваме 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Прикажуваме слични поими од двете страни, ја добиваме равенката 16 x+ 8y= 32. Оваа равенка се сведува на формата секира + од = ви е канонски.
Равенката 25 дискутирана претходно x+ 10y= 200 е исто така линеарна равенка со две променливи во канонска форма. Во оваа равенка параметрите а , бИ все еднакви на вредностите 25, 10 и 200, соодветно.
Всушност равенката секира + од = вима безброј решенија. Решавање на равенката 25x+ 10y= 200, ги баравме неговите корени само на множеството цели броеви. Како резултат на тоа, добивме неколку пара вредности кои ја претворија оваа равенка во идентитет. Но, за множеството рационални броеви, равенката 25 x+ 10y= 200 ќе има бесконечно многу решенија.
За да добиете нови парови на вредности, треба да земете произволна вредност за x, потоа изрази y. На пример, да ја земеме променливата xвредност 7. Тогаш добиваме равенка со една променлива 25×7 + 10y= 200 во која може да се изрази y
Нека x= 15. Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × 15 + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −17,5
Нека x= −3. Потоа равенката 25x+ 10y= 200 станува 25 × (−3) + 10y= 200. Од тука го откриваме тоа y = −27,5
Систем од две линеарни равенки со две променливи
За равенката секира + од = вможете да земате произволни вредности онолку пати колку што сакате xи најдете вредности за y. Земено посебно, ваквата равенка ќе има безброј решенија.
Но, се случува и променливите xИ yповрзани не со една, туку со две равенки. Во овој случај тие формираат т.н систем на линеарни равенки во две променливи. Таквиот систем на равенки може да има еден пар вредности (или со други зборови: „едно решение“).
Може да се случи и системот да нема никакви решенија. Систем од линеарни равенки може да има безброј решенија во ретки и исклучителни случаи.
Две линеарни равенки формираат систем кога вредностите xИ yвнесете во секоја од овие равенки.
Да се вратиме на првата равенка 25 x+ 10y= 200 . Еден од паровите вредности за оваа равенка беше парот (6; 5). Ова е случај кога за 200 рубли можете да купите 6 колачи и 5 шолји кафе.
Да го формулираме проблемот така што парот (6; 5) ќе стане единствено решение за равенката 25 x+ 10y= 200 . За да го направите ова, ајде да создадеме друга равенка што ќе го поврзе истото xколачи и yшолји кафе.
Да го искажеме текстот на проблемот на следниов начин:
„Студентот купи неколку колачи и неколку шолји кафе за 200 рубли. Колачот чини 25 рубли, а шолја кафе чини 10 рубли. Колку колачи и шолји кафе купил ученикот ако се знае дека бројот на колачи е за единица поголем од бројот на шолји кафе?
Веќе ја имаме првата равенка. Ова е равенката 25 x+ 10y= 200 . Сега да создадеме равенка за условот „Бројот на колачи е една единица поголем од бројот на шолји кафе“ .
Бројот на колачи е x, а бројот на шолји кафе е y. Можете да ја напишете оваа фраза користејќи ја равенката x−y= 1. Оваа равенка ќе значи дека разликата помеѓу колачите и кафето е 1.
x = y+ 1 . Оваа равенка значи дека бројот на колачи е еден повеќе од бројот на шолји кафе. Затоа, за да се добие еднаквост, една се додава на бројот на шолји кафе. Ова може лесно да се разбере ако го користиме моделот на скали што го разгледавме кога ги проучувавме наједноставните проблеми:
Добивме две равенки: 25 x+ 10y= 200 и x = y+ 1. Бидејќи вредностите xИ y, имено 6 и 5 се вклучени во секоја од овие равенки, потоа заедно формираат систем. Ајде да го запишеме овој систем. Ако равенките формираат систем, тогаш тие се врамени со знакот на системот. Симболот на системот е кадрава заграда:
Ајде да го решиме овој систем. Ова ќе ни овозможи да видиме како доаѓаме до вредностите 6 и 5. Постојат многу методи за решавање на такви системи. Да ги погледнеме најпопуларните од нив.
Метод на замена
Името на овој метод зборува сам за себе. Нејзината суштина е да се замени една равенка во друга, откако претходно изрази една од променливите.
Во нашиот систем нема потреба ништо да се изразува. Во втората равенка x = y+ 1 променлива xвеќе изразена. Оваа променлива е еднаква на изразот y+ 1 . Потоа можете да го замените овој израз во првата равенка наместо променливата x
По замена на изразот yНаместо тоа, + 1 во првата равенка x, ја добиваме равенката 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ова е линеарна равенка со една променлива. Оваа равенка е прилично лесно да се реши:
Ја најдовме вредноста на променливата y. Сега да ја замениме оваа вредност во една од равенките и да ја најдеме вредноста x. За ова е погодно да се користи втората равенка x = y+ 1 . Ајде да ја замениме вредноста во неа y
Ова значи дека парот (6; 5) е решение на системот на равенки, како што сакавме. Проверуваме и се уверуваме дека парот (6; 5) го задоволува системот:
Пример 2
Да ја замениме првата равенка x= 2 + yво втората равенка 3 x− 2y= 9. Во првата равенка променливата xеднакво на изразот 2 + y. Ајде да го замениме овој израз во втората равенка наместо x
Сега да ја најдеме вредноста x. За да го направите ова, ајде да ја замениме вредноста yво првата равенка x= 2 + y
Ова значи дека решението за системот е вредноста на парот (5; 3)
Пример 3. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Овде, за разлика од претходните примери, една од променливите не е експлицитно изразена.
За да замените една равенка со друга, прво ви треба .
Препорачливо е да се изрази променливата која има коефициент еден. Променливата има коефициент еден x, која е содржана во првата равенка x+ 2y= 11. Да ја изразиме оваа променлива.
По изразот на променливата x, нашиот систем ќе ја има следната форма:
Сега да ја замениме првата равенка во втората и да ја најдеме вредноста y
Ајде да замениме y x
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (3; 4)
Се разбира, можете да изразите и променлива y. Корените нема да се променат. Но, ако изразите y,Резултатот не е многу едноставна равенка, за која ќе биде потребно повеќе време да се реши. Ќе изгледа вака:
Гледаме дека во овој пример изразуваме xмногу поудобно отколку да се изразува y .
Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Да се изразиме во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
y
Ајде да замениме yво првата равенка и пронајдете x. Можете да ја користите оригиналната равенка 7 x+ 9y= 8, или користете ја равенката во која е изразена променливата x. Ќе ја користиме оваа равенка затоа што е погодно:
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (5; -3)
Метод на додавање
Методот на собирање се состои од собирање на равенките вклучени во системот член по член. Ова собирање резултира со нова равенка со една променлива. И решавањето на таква равенка е прилично едноставно.
Да го решиме следниов систем на равенки:
Да ја додадеме левата страна од првата равенка со левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Ја добиваме следната еднаквост:
Ајде да погледнеме слични термини:
Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 3 x= 27 чиј корен е 9. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Ајде да ја замениме вредноста xво втората равенка x−y= 3. Добиваме 9 − y= 3. Од тука y= 6 .
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (9; 6)
Пример 2
Да ја додадеме левата страна од првата равенка со левата страна од втората равенка. И десната страна од првата равенка со десната страна од втората равенка. Во добиената еднаквост прикажуваме слични термини:
Како резултат на тоа, ја добивме наједноставната равенка 5 x= 20, чиј корен е 4. Знаејќи ја вредноста xможете да ја најдете вредноста y. Ајде да ја замениме вредноста xво првата равенка 2 x+y= 11. Ајде да добиеме 8+ y= 11. Од тука y= 3 .
Ова значи дека решението на системот е пар вредности (4;3)
Процесот на додавање не е детално опишан. Тоа мора да се направи ментално. Кога се собираат, двете равенки мора да се сведат на канонска форма. Тоа е, патем ac + од = в .
Од разгледаните примери, јасно е дека главната цел на додавање равенки е да се ослободиме од една од променливите. Но, не е секогаш можно веднаш да се реши систем на равенки користејќи го методот на собирање. Најчесто, системот прво се доведува до форма во која може да се додадат равенките вклучени во овој систем.
На пример, системот 
може да се реши веднаш со додавање. При собирање на двете равенки, поимите yИ −yќе исчезнат бидејќи нивниот збир е нула. Како резултат на тоа, се формира наједноставната равенка 11 x= 22, чиј корен е 2. Тогаш ќе може да се одреди yеднакво на 5.
И системот на равенки 
Методот на додавање не може да се реши веднаш, бидејќи тоа нема да доведе до исчезнување на една од променливите. Собирањето ќе резултира во равенката 8 x+ y= 28, кој има бесконечен број решенија.
Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број, не еднаков на нула, се добива равенка еквивалентна на дадената. Ова правило важи и за систем на линеарни равенки со две променливи. Една од равенките (или двете равенки) може да се помножи со кој било број. Резултатот ќе биде еквивалентен систем, чии корени ќе се совпаднат со претходниот.
Да се вратиме на првиот систем, кој опишуваше колку колачи и шолји кафе купил еден ученик. Решението за овој систем беше пар вредности (6; 5).
Ајде да ги помножиме двете равенки вклучени во овој систем со некои броеви. Да речеме дека ја помножиме првата равенка со 2, а втората со 3
Како резултат, добивме систем 
Решението за овој систем сè уште е парот на вредности (6; 5)
Ова значи дека равенките вклучени во системот може да се сведат на форма погодна за примена на методот на собирање.
Да се вратиме на системот , што не можевме да го решиме со методот на собирање.
Помножете ја првата равенка со 6, а втората со −2
Потоа го добиваме следниот систем:
Ајде да ги собереме равенките вклучени во овој систем. Додавање компоненти 12 xи −12 xќе резултира со 0, додавање 18 yи 4 yќе даде 22 y, и со собирање 108 и −20 се добива 88. Тогаш се добива равенката 22 y= 88, од тука y = 4 .
Ако на почетокот ви е тешко да додадете равенки во вашата глава, тогаш можете да запишете како левата страна од првата равенка се собира со левата страна на втората равенка, а десната страна од првата равенка со десната страна на втора равенка:
Знаејќи дека вредноста на променливата yе еднакво на 4, можете да ја најдете вредноста x. Ајде да замениме yво една од равенките, на пример во првата равенка 2 x+ 3y= 18. Потоа добиваме равенка со една променлива 2 x+ 12 = 18. Ајде да поместиме 12 на десната страна, менувајќи го знакот, добиваме 2 x= 6, од тука x = 3 .
Пример 4. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Ајде да ја помножиме втората равенка со −1. Тогаш системот ќе ја има следната форма:
Да ги додадеме двете равенки. Додавање компоненти xИ −xќе резултира со 0, додавање 5 yи 3 yќе даде 8 y, и со собирање на 7 и 1 се добива 8. Резултатот е равенката 8 y= 8 чиј корен е 1. Знаејќи дека вредноста yе еднакво на 1, можете да ја најдете вредноста x .
Ајде да замениме yво првата равенка, добиваме x+ 5 = 7, оттука x= 2
Пример 5. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Пожелно е термините што ги содржат истите променливи да се наоѓаат еден под друг. Според тоа, во втората равенка членовите 5 yи −2 xАјде да ги замениме местата. Како резултат на тоа, системот ќе ја добие формата:
Ајде да ја помножиме втората равенка со 3. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање ја добиваме равенката 8 y= 16, чиј корен е 2.
Ајде да замениме yво првата равенка, добиваме 6 x− 14 = 40. Да го преместиме поимот −14 на десната страна, менувајќи го знакот и да добиеме 6 x= 54 . Од тука x= 9.
Пример 6. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Ајде да се ослободиме од дропките. Помножете ја првата равенка со 36, а втората со 12
Во добиениот систем 
првата равенка може да се помножи со −5, а втората со 8
Ајде да ги собереме равенките во добиениот систем. Тогаш ја добиваме наједноставната равенка −13 y= −156 . Од тука y= 12. Ајде да замениме yво првата равенка и пронајдете x
Пример 7. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Да ги доведеме двете равенки во нормална форма. Тука е погодно да се примени правилото за пропорција во двете равенки. Ако во првата равенка десната страна е претставена како , а десната страна на втората равенка како , тогаш системот ќе ја добие формата:
Имаме пропорција. Да ги помножиме неговите екстремни и средни поими. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Да ја помножиме првата равенка со −3, а во втората да ги отвориме заградите:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање на овие равенки, добиваме еднаквост со нула од двете страни:
Излегува дека системот има безброј решенија.
Но, не можеме само да земеме произволни вредности од небото xИ y. Можеме да наведеме една од вредностите, а другата ќе се определи во зависност од вредноста што ја одредуваме. На пример, нека x= 2. Ајде да ја замениме оваа вредност во системот:
Како резултат на решавање на една од равенките, вредноста за y, што ќе ги задоволи двете равенки:
Добиениот пар на вредности (2; −2) ќе го задоволи системот:
Ајде да најдеме уште еден пар вредности. Нека x= 4. Ајде да ја замениме оваа вредност во системот:
Со око може да се каже дека вредноста yе еднакво на нула. Потоа добиваме пар вредности (4; 0) што го задоволуваат нашиот систем:
Пример 8. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на собирање:
Помножете ја првата равенка со 6, а втората со 12
Ајде да го преработиме она што остана:
Да ја помножиме првата равенка со −1. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега да ги додадеме двете равенки. Како резултат на собирање, се формира равенката 6 б= 48, чиј корен е 8. Замена бво првата равенка и пронајдете а
Систем на линеарни равенки со три променливи
Линеарната равенка со три променливи вклучува три променливи со коефициенти, како и термин за пресек. Во канонска форма може да се напише на следниов начин:
секира + со + cz = г
Оваа равенка има безброј решенија. Со давање различни вредности на две променливи, може да се најде трета вредност. Решението во овој случај е тројка од вредности ( x; y; z) што ја претвора равенката во идентитет.
Доколку променливите x, y, zмеѓусебно се поврзани со три равенки, тогаш се формира систем од три линеарни равенки со три променливи. За да решите таков систем, можете да ги користите истите методи што важат за линеарни равенки со две променливи: методот на замена и методот на собирање.
Пример 1. Решете го следниов систем на равенки користејќи го методот на замена:
Да се изразиме во третата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Сега ајде да ја направиме замената. Променлива xе еднаков на изразот 3 − 2y − 2z . Ајде да го замениме овој израз во првата и втората равенка:
Да ги отвориме заградите во двете равенки и да претставиме слични поими:
Стигнавме до систем на линеарни равенки со две променливи. Во овој случај, погодно е да се користи методот на додавање. Како резултат на тоа, променливата yќе исчезне и можеме да ја најдеме вредноста на променливата z
Сега да ја најдеме вредноста y. За да го направите ова, погодно е да се користи равенката − y+ z= 4. Заменете ја вредноста во неа z
Сега да ја најдеме вредноста x. За да го направите ова, погодно е да се користи равенката x= 3 − 2y − 2z . Ајде да ги замениме вредностите во него yИ z
Така, тројката на вредности (3; −2; 2) е решение за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:
Пример 2. Решете го системот користејќи го методот на собирање
Да ја додадеме првата равенка со втората, помножена со −2.
Ако втората равенка се помножи со −2, таа добива форма −6x+ 6y − 4z = −4 . Сега да го додадеме на првата равенка:
Гледаме дека како резултат на елементарни трансформации, вредноста на променливата е одредена x. Тоа е еднакво на еден.
Да се вратиме на главниот систем. Да ја додадеме втората равенка со третата, помножена со −1. Ако третата равенка се помножи со −1, таа добива форма −4x + 5y − 2z = −1 . Сега да го додадеме на втората равенка:
Ја добивме равенката x− 2y= −1. Ајде да ја замениме вредноста во неа xшто го најдовме претходно. Потоа можеме да ја одредиме вредноста y
Сега ги знаеме значењата xИ y. Ова ви овозможува да ја одредите вредноста z. Ајде да користиме една од равенките вклучени во системот:
Така, тројката на вредности (1; 1; 1) е решение за нашиот систем. Со проверка, се уверуваме дека овие вредности го задоволуваат системот:
Задачи за составување системи на линеарни равенки
Задачата за составување системи на равенки се решава со внесување на неколку променливи. Следно, равенките се составуваат врз основа на условите на проблемот. Од составените равенки формираат систем и го решаваат. Откако ќе го решите системот, неопходно е да се провери дали неговото решение ги задоволува условите на проблемот.
Проблем 1. Автомобил Волга излета од градот до колективната фарма. Таа се вратила по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот. Севкупно, автомобилот помина 35 км повратен пат. Колку километри е должината на секој пат?
Решение
Нека x -должина на првиот пат, y- должина на вториот. Ако автомобилот патувал 35 km кружен пат, тогаш првата равенка може да се запише како x+ y= 35. Оваа равенка го опишува збирот на должините на двата патишта.
Се вели дека автомобилот се вратил по пат кој бил 5 километри пократок од првиот. Тогаш втората равенка може да се запише како x− y= 5. Оваа равенка покажува дека разликата помеѓу должината на патот е 5 km.
Или втората равенка може да се запише како x= y+ 5. Ќе ја користиме оваа равенка.
Бидејќи променливите xИ yво двете равенки означуваат ист број, тогаш можеме да формираме систем од нив:
Ајде да го решиме овој систем користејќи некои од претходно проучуваните методи. Во овој случај, погодно е да се користи методот на замена, бидејќи во втората равенка променливата xвеќе изразена.
Заменете ја втората равенка со првата и пронајдете y
Да ја замениме пронајдената вредност yво втората равенка x= y+ 5 и ќе најдеме x
Должината на првиот пат беше означена преку променливата x. Сега го најдовме неговото значење. Променлива xе еднакво на 20. Тоа значи дека должината на првиот пат е 20 km.
И должината на вториот пат беше означена со y. Вредноста на оваа променлива е 15. Тоа значи дека должината на вториот пат е 15 km.
Ајде да провериме. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:
Сега да провериме дали решението (20; 15) ги задоволува условите на проблемот.
Беше кажано дека автомобилот поминал вкупно 35 километри повратен пат. Ги додаваме должините на двата патишта и се уверуваме дека решението (20; 15) го задоволува овој услов: 20 km + 15 km = 35 km
Следниот услов: автомобилот се вратил по друг пат, кој бил 5 километри пократок од првиот . Гледаме дека решението (20; 15) исто така ја задоволува оваа состојба, бидејќи 15 km е пократко од 20 km на 5 km: 20 km − 15 km = 5 km
Кога се составува систем, важно е променливите да претставуваат исти броеви во сите равенки вклучени во овој систем.
Значи нашиот систем содржи две равенки. Овие равенки за возврат содржат променливи xИ y, кои претставуваат исти бројки во двете равенки, имено должина на патишта од 20 km и 15 km.
Проблем 2. На платформата беа натоварени прагови од даб и бор, вкупно 300 прагови. Познато е дека сите дабови прагови тежеле 1 тон помалку од сите борови прагови. Определете колку дабови и борови прагови имало одделно, ако секој даб праг тежел 46 кг, а секоја борова прагови 28 кг.
Решение
Нека xдаб и yборови прагови беа натоварени на платформата. Ако имало вкупно 300 прагови, тогаш првата равенка може да се запише како x+y = 300 .
Сите дабови прагови тежеа 46 xкг, а боровите тежеле 28 yкилограм. Бидејќи дабовите прагови тежеле 1 тон помалку од боровите прагови, втората равенка може да се запише како 28y − 46x= 1000 . Оваа равенка покажува дека разликата во масата помеѓу дабови и борови прагови е 1000 kg.
Тоните беа претворени во килограми бидејќи масата на дабови и борови прагови беше измерена во килограми.
Како резултат на тоа, добиваме две равенки кои го формираат системот
Ајде да го решиме овој систем. Да се изразиме во првата равенка x. Тогаш системот ќе ја добие формата:
Заменете ја првата равенка со втората и пронајдете y
Ајде да замениме yво равенката x= 300 − yи дознајте што е тоа x
Тоа значи дека на платформата биле натоварени 100 дабови и 200 борови прагови.
Да провериме дали решението (100; 200) ги задоволува условите на проблемот. Прво, да се увериме дека системот е решен правилно:
Се зборуваше дека имало вкупно 300 спијачи. Го собираме бројот на прагови од даб и бор и се уверуваме дека решението (100; 200) го задоволува овој услов: 100 + 200 = 300.
Следниот услов: сите дабови прагови тежеа 1 тон помалку од сите борови прагови . Гледаме дека решението (100; 200) исто така ја задоволува оваа состојба, бидејќи 46 × 100 kg дабови прагови се полесни од 28 × 200 kg борови прагови: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.
Проблем 3. Зедовме три парчиња легура на бакар-никел во сооднос 2: 1, 3: 1 и 5: 1 по тежина. Од нив беше споено парче со тежина од 12 кг со сооднос на содржина на бакар и никел од 4: 1. Најдете ја масата на секое оригинално парче ако масата на првото е двојно поголема од масата на второто.
Да се проучува систем на линеарни старосни равенки (SLAE) за конзистентност значи да се открие дали овој систем има решенија или ги нема. Па, ако има решенија, тогаш наведете колку ги има.
Ќе ни требаат информации од темата „Систем на линеарни алгебарски равенки. Основни поими. Матричен облик на нотирање“. Конкретно, потребни се концепти како системска матрица и проширена системска матрица, бидејќи на нив се заснова формулирањето на теоремата Кронекер-Капели. Како и обично, системската матрица ќе ја означиме со буквата $A$, а проширената матрица на системот со буквата $\widetilde(A)$.
Теорема Кронекер-Капели
Систем на линеарни алгебарски равенки е конзистентен ако и само ако рангот на системската матрица е еднаков на рангот на проширената матрица на системот, т.е. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.
Да ве потсетам дека системот се нарекува спој ако има барем едно решение. Теоремата Кронекер-Капели го вели ова: ако $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогаш постои решение; ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш овој SLAE нема решенија (неконзистентни). Одговорот на прашањето за бројот на овие решенија е даден со последица на теоремата Кронекер-Капели. Во формулацијата на заклучокот се користи буквата $n$ која е еднаква на бројот на променливи на дадениот SLAE.
Последица на теоремата Кронекер-Капели
- Ако $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш SLAE е неконзистентен (нема решенија).
- Ако $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
- Ако $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, тогаш SLAE е дефинитивно (има точно едно решение).
Ве молиме имајте предвид дека формулираната теорема и нејзината последица не покажуваат како да се најде решение за SLAE. Со нивна помош можете само да дознаете дали овие решенија постојат или не, и дали постојат, тогаш колку.
Пример бр. 1
Истражете го SLAE $ \left \(\begin(порамнет) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(порамнет )\right.$ за компатибилност Ако SLAE е компатибилен, наведете го бројот на решенија.
За да дознаеме постоење на решенија за дадена SLAE, ја користиме теоремата Кронекер-Капели. Ќе ни требаат матрицата на системот $A$ и проширената матрица на системот $\widetilde(A)$, ќе ги напишеме:
$$ A=\лево(\почеток(низа) (cccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(низа) \десно);\; \widetilde(A)=\left(\begin(низа) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end (низа) \десно). $$
Треба да ги најдеме $\rang A$ и $\rang\widetilde(A)$. Постојат многу начини да го направите ова, од кои некои се наведени во делот Matrix Rank. Вообичаено, се користат два методи за проучување на таквите системи: „Пресметување на ранг на матрица по дефиниција“ или „Пресметување на ранг на матрица со методот на елементарни трансформации“.
Метод број 1. Пресметување рангира по дефиниција.
Според дефиницијата, ранг е највисокиот ред на минорите на матрицата, меѓу кои има барем еден различен од нула. Обично, студијата започнува со малолетници од прв ред, но тука е попогодно веднаш да се започне со пресметување на минор од трет ред на матрицата $A$. Помалите елементи од трет ред се наоѓаат на пресекот на три реда и три колони од матрицата за која станува збор. Бидејќи матрицата $A$ содржи само 3 редови и 3 колони, минор од трет ред на матрицата $A$ е детерминанта на матрицата $A$, т.е. $\Делта A$. За пресметување на детерминантата ја применуваме формулата бр. 2 од темата „Формули за пресметување детерминанти од втор и трет ред“:
$$ \Делта А=\лево| \почеток(низа) (ццц) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \крај (низа) \десно|=-21. $$
Значи, постои минор од трет ред на матрицата $A$, кој не е еднаков на нула. Невозможно е да се конструира минор од четврти ред, бидејќи бара 4 редови и 4 колони, а матрицата $A$ има само 3 реда и 3 колони. Значи, највисокиот ред на минорите на матрицата $A$, меѓу кои има барем еден што не е еднаков на нула, е еднаков на 3. Според тоа, $\rang A=3$.
Треба да најдеме и $\rang\widetilde(A)$. Да ја погледнеме структурата на матрицата $\widetilde(A)$. До линијата во матрицата $\widetilde(A)$ има елементи од матрицата $A$ и дознавме дека $\Delta A\neq 0$. Следствено, матрицата $\widetilde(A)$ има минор од трет ред, кој не е еднаков на нула. Не можеме да конструираме минори од четврти ред на матрицата $\widetilde(A)$, па заклучуваме: $\rang\widetilde(A)=3$.
Бидејќи $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогаш според теоремата Кронекер-Капели системот е конзистентен, т.е. има решение (барем едно). За да го наведеме бројот на решенија, земаме предвид дека нашиот SLAE содржи 3 непознати: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Бидејќи бројот на непознати е $n=3$, заклучуваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, затоа, според последицата на теоремата Кронекер-Капели, системот е дефинитивен, т.е. има уникатно решение.
Проблемот е решен. Кои недостатоци и предности ги има овој метод? Прво, да разговараме за предностите. Прво, требаше да најдеме само една детерминанта. По ова веднаш донесовме заклучок за бројот на решенија. Вообичаено, стандардните стандардни пресметки даваат системи на равенки кои содржат три непознати и имаат единствено решение. За такви системи, овој метод е многу удобен, бидејќи однапред знаеме дека има решение (во спротивно примерот немаше да биде во стандардната пресметка). Оние. Сè што треба да направиме е на најбрз начин да покажеме постоење на решение. Второ, пресметаната вредност на детерминантата на системската матрица (т.е. $\Delta A$) ќе биде корисна подоцна: кога ќе почнеме да решаваме даден систем користејќи го методот Крамер или користејќи ја инверзната матрица.
Меѓутоа, методот на пресметување на рангот по дефиниција е непожелен за употреба ако матрицата на системот $A$ е правоаголна. Во овој случај, подобро е да се користи вториот метод, за кој ќе се дискутира подолу. Дополнително, ако $\Delta A=0$, тогаш не можеме да кажеме ништо за бројот на решенија на дадена нехомогена SLAE. Можеби SLAE има бесконечен број решенија, или можеби ниту едно. Ако $\Delta A=0$, тогаш е потребно дополнително истражување, кое често е незгодно.
Сумирајќи го она што е кажано, забележувам дека првиот метод е добар за оние SLAE чија системска матрица е квадратна. Покрај тоа, самиот SLAE содржи три или четири непознати и е земен од стандардни стандардни пресметки или тестови.
Метод број 2. Пресметка на ранг со методот на елементарни трансформации.
Овој метод е детално опишан во соодветната тема. Ќе почнеме да го пресметуваме рангот на матрицата $\widetilde(A)$. Зошто матрици $\widetilde(A)$ а не $A$? Факт е дека матрицата $A$ е дел од матрицата $\widetilde(A)$, затоа, со пресметување на рангот на матрицата $\widetilde(A)$ истовремено ќе го најдеме рангот на матрицата $A$ .
\begin(порамнет) &\widetilde(A) =\left(\begin(низа) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end (низа) \десно) \десна стрелка \лево|\текст (заменете ја првата и втората линија)\десно| \десно стрелка \\ &\десно стрелка \лево(\почеток(низа) (кцц|в) -1 и 2 и -4 и 9 \\ -3 и 9 &-7 и 17\\ 4 и -2 и 19 & - 42 \end (низа) \десно) \почеток (низа) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \крај (низа) \десно стрелка \лево(\почеток (низа) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end (низа) \десно) \почеток (низа) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end (низа)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(низа) (ccc|c) -1 & 2 и -4 и 9 \\ 0 и 3 &5 & -10\\ 0 и 0 & -7 и 14 \end (низа) \десно) \крај (порамнет)
Ја намаливме матрицата $\widetilde(A)$ на трапезоидна форма. На главната дијагонала на добиената матрица $\left(\begin(низа) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( низа) \right)$ содржи три елементи кои не се нула: -1, 3 и -7. Заклучок: рангот на матрицата $\widetilde(A)$ е 3, т.е. $\rang\widetilde(A)=3$. Кога правиме трансформации со елементите на матрицата $\widetilde(A)$, истовремено ги трансформиравме елементите на матрицата $A$ лоцирани до линијата. Матрицата $A$ исто така е сведена на трапезоидна форма: $\left(\begin(низа) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(низа) \десно)$. Заклучок: рангот на матрицата $A$ е исто така 3, т.е. $\rang A=3$.
Бидејќи $\rang A=\rang\widetilde(A)$, тогаш според теоремата Кронекер-Капели системот е конзистентен, т.е. има решение. За да го наведеме бројот на решенија, земаме предвид дека нашиот SLAE содржи 3 непознати: $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Бидејќи бројот на непознати е $n=3$, заклучуваме: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, затоа, според последицата на теоремата Кронекер-Капели, системот е дефиниран, т.е. има уникатно решение.
Кои се предностите на вториот метод? Главната предност е неговата разновидност. За нас не е важно дали матрицата на системот е квадрат или не. Покрај тоа, ние всушност извршивме напредни трансформации на Гаусовиот метод. Остануваат само неколку чекори, а ние би можеле да добиеме решение за овој SLAE. Да бидам искрен, вториот метод ми се допаѓа повеќе од првиот, но изборот е прашање на вкус.
Одговори: Дадениот SLAE е конзистентен и дефиниран.
Пример бр. 2
Истражете го SLAE $ \left\( \begin(порамнет) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(порамнет) \десно.$ за компатибилност.
Ранговите на системската матрица и проширената системска матрица ќе ги најдеме користејќи го методот на елементарни трансформации. Проширена системска матрица: $\widetilde(A)=\left(\begin(низа) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(низа) \десно)$. Ајде да ги најдеме потребните рангови со трансформирање на проширената матрица на системот:
Проширената матрица на системот е сведена на чекор напред. Ако матрицата се сведе на ешалонска форма, тогаш нејзиниот ранг е еднаков на бројот на редови кои не се нула. Затоа, $\rang A=3$. Матрицата $A$ (до линијата) е сведена во трапезоидна форма и нејзиниот ранг е 2, $\rang A=2$.
Бидејќи $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, тогаш според теоремата Кронекер-Капели системот е неконзистентен (т.е. нема решенија).
Одговори: Системот е неконзистентен.
Пример бр. 3
Истражете го SLAE $ \left\( \begin(порамнет) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=- ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(порамнет) \десно.$ за компатибилност.
Проширената матрица на системот има форма: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 и 15 и 132 \крај (низа) \десно)$. Ајде да ги замениме првиот и вториот ред од оваа матрица така што првиот елемент од првиот ред ќе стане еден: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 и 0 и 7 и -5 и 11 и 42 \\ -3 и 9 и -11 и 0 и -7 и -64 \\ -5 и 17 и -16 и -5 и -4 и -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(низа) \десно)$.
Ја намаливме проширената матрица на системот и матрицата на самиот систем во трапезоидна форма. Рангот на проширената матрица на системот е еднаков на три, рангот на матрицата на системот е исто така еднаков на три. Бидејќи системот содржи $n=5$ непознати, т.е. $\rang\widetilde(A)=\ранг А< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.
Одговори: Системот е неизвесен.
Во вториот дел, ќе анализираме примери кои често се вклучени во стандардни пресметки или тестови во вишата математика: истражување на конзистентност и решение на SLAE во зависност од вредностите на параметрите вклучени во него.
Во оваа лекција ќе ги разгледаме методите за решавање на систем од линеарни равенки. Во текот на вишата математика, системите на линеарни равенки треба да се решаваат и во форма на посебни задачи, на пример, „Решавање на системот користејќи ги формулите на Крамер“ и во текот на решавање на други проблеми. Системите на линеарни равенки треба да се решаваат во речиси сите гранки на вишата математика.
Прво, малку теорија. Што значи математичкиот збор „линеарно“ во овој случај? Тоа значи дека равенките на системот Ситевклучени променливи во прв степен: без никакви фенси работи како 
итн., од кои се воодушевени само учесниците на математичките олимпијади.
Во вишата математика не се користат само букви познати од детството за означување на променливи.
Прилично популарна опција се променливите со индекси: .
Или почетните букви од латинската азбука, мали и големи:
Не е толку ретко да се најдат грчки букви: – на многумина познати како „алфа, бета, гама“. И, исто така, збир со индекси, да речеме, со буквата „му“:
Употребата на еден или друг сет на букви зависи од делот на вишата математика во кој се соочуваме со систем на линеарни равенки. Така, на пример, во системите на линеарни равенки што се среќаваат при решавање на интеграли и диференцијални равенки, традиционално е да се користи ознаката
Но, без разлика како се означени променливите, принципите, методите и методите за решавање на систем на линеарни равенки не се менуваат. Така, ако наидете на нешто страшно како , не брзајте да ја затворите проблематичната книга во страв, на крајот на краиштата, наместо тоа можете да нацртате сонце, наместо птица и наместо тоа лице (наставникот). И, колку и да изгледа смешно, може да се реши и систем на линеарни равенки со овие ознаки.
Имам чувство дека статијата ќе испадне доста долга, па мала содржина. Значи, последователниот „дебрифинг“ ќе биде вака:
– Решавање на систем од линеарни равенки со методот на замена („училишен метод“);
– Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки;
– Решение на системот користејќи ги формулите на Крамер;
– Решавање на системот со помош на инверзна матрица;
– Решавање на системот со помош на Гаусовиот метод.
Сите се запознаени со системите на линеарни равенки од училишните курсеви по математика. Во суштина, започнуваме со повторување.
Решавање на систем од линеарни равенки со помош на методот на замена
Овој метод може да се нарече и „училишен метод“ или метод за елиминирање на непознатите. Фигуративно кажано, може да се нарече и „незавршен Гаусовиот метод“.
Пример 1
Овде ни е даден систем од две равенки со две непознати. Забележете дека слободните членови (броеви 5 и 7) се наоѓаат на левата страна од равенката. Општо земено, не е важно каде се, лево или десно, едноставно во проблемите во вишата математика тие често се наоѓаат на тој начин. И таквото снимање не треба да доведе до забуна доколку е потребно, системот секогаш може да се напише „како и обично“: . Не заборавајте дека кога се преместува поим од дел во дел, тој треба да го промени својот знак.
Што значи да се реши систем од линеарни равенки? Решавањето на систем од равенки значи наоѓање на многу негови решенија. Решението на системот е збир на вредности на сите променливи вклучени во него, што ја претвора СЕКОЈА равенка на системот во правилна еднаквост. Покрај тоа, системот може да биде некомпатибилни (нема решенија).Не биди срамежлив, ова е општа дефиниција =) Ќе имаме само една вредност „x“ и една вредност „y“, кои ја задоволуваат секоја равенка c-we.
Постои графички метод за решавање на системот, со кој можете да се запознаете на час. Наједноставните проблеми со линија. Таму зборував за геометриска смисласистеми од две линеарни равенки со две непознати. Но, сега ова е ера на алгебра, и броеви-броеви, дејства-дејства.
Ајде да одлучиме: од првата равенка изразуваме:
Добиениот израз го заменуваме во втората равенка:
Ги отвораме заградите, додаваме слични термини и ја наоѓаме вредноста: 
Следно, се сеќаваме за што танцувавме:
Веќе ја знаеме вредноста, останува само да најдеме:
Одговори:
Откако СЕКОЈ систем на равенки е решен на БИЛО КОЈ начин, силно препорачувам да проверите (усно, на нацрт или на калкулатор). За среќа, ова се прави лесно и брзо.
1) Заменете го пронајдениот одговор во првата равенка:
– се добива правилна еднаквост.
2) Заменете го пронајдениот одговор во втората равенка: 
– се добива правилна еднаквост.
Или, поедноставно кажано, „сè се собра“
Разгледуваниот метод на решение не е единствениот од првата равенка што беше можно да се изрази, а не.
Можете да го направите спротивното - изразете нешто од втората равенка и заменете го во првата равенка. Патем, забележете дека најнеповолниот од четирите методи е да се изрази од втората равенка:
Резултатот е дропки, но зошто? Има порационално решение.
Сепак, во некои случаи сè уште не можете без фракции. Во врска со ова, би сакал да го свртам вашето внимание на КАКО го запишав изразот. Не вака: и во никој случај вака: 
.
Ако во вишата математика се занимавате со дробни броеви, тогаш обидете се да ги извршите сите пресметки во обични неправилни дропки.
Точно, а не или!
Запирка може да се користи само понекогаш, особено ако е конечен одговор на некој проблем и не треба да се вршат дополнителни дејства со овој број.
Многу читатели веројатно мислеа „зошто толку детално објаснување како за час за поправка, сè е јасно“. Ништо од ваков вид, изгледа како толку едноставен училишен пример, но има толку многу МНОГУ важни заклучоци! Еве уште еден:
Треба да се стремите да ја завршите секоја задача на најрационален начин. Ако само затоа што заштедува време и нерви, а исто така ја намалува веројатноста за правење грешка.
Ако во некоја задача во вишата математика наидете на систем од две линеарни равенки со две непознати, тогаш секогаш можете да го користите методот на замена (освен ако не е наведено дека системот треба да се реши со друг метод). мислиш дека си цицач и ќе ти ја намали оценката за користење на „училишниот метод“
Покрај тоа, во некои случаи се препорачува да се користи методот на замена со поголем број на променливи.
Пример 2
Решете систем на линеарни равенки со три непознати
Сличен систем на равенки често се појавува кога се користи таканаречениот метод на неопределени коефициенти, кога го наоѓаме интегралот на фракциона рационална функција. Дотичниот систем е земен од таму од мене.
При пронаоѓањето на интегралот, целта е брзонајдете ги вредностите на коефициентите, наместо да ги користите формулите на Крамер, методот на инверзна матрица итн. Затоа, во овој случај, методот на замена е соодветен.
Кога е даден кој било систем на равенки, најпрво е пожелно да се открие дали е можно некако да се поедностави ВЕДНАШ? Анализирајќи ги равенките на системот, забележуваме дека втората равенка на системот може да се подели со 2, што е она што го правиме:
Референца:математичкиот знак значи „од ова следува тоа“ и често се користи при решавање проблеми.
Сега да ги анализираме равенките што треба да ги изразиме во однос на другите; Која равенка да изберам? Веројатно веќе погодивте дека најлесниот начин за оваа цел е да ја земете првата равенка на системот:
Овде, без разлика која променлива да се изрази, исто толку лесно може да се изрази или .
Следно, изразот го заменуваме во втората и третата равенка на системот: 
Ги отвораме заградите и презентираме слични термини: 
Поделете ја третата равенка со 2: 
Од втората равенка изразуваме и заменуваме во третата равенка:
Речиси сè е подготвено, од третата равенка наоѓаме:
Од втората равенка: 
Од првата равенка:
Проверете: Заменете ги пронајдените вредности на променливите во левата страна на секоја равенка на системот:
1)
2)
3)
Добиени се соодветните десни страни на равенките, со што решението е правилно најдено.
Пример 3
Решете систем на линеарни равенки со 4 непознати
Ова е пример за да го решите сами (одговорете на крајот од лекцијата).
Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки
Кога решавате системи на линеарни равенки, треба да се обидете да го користите не „училишниот метод“, туку методот на собирање (одземање) по член на равенките на системот. Зошто? Ова заштедува време и ги поедноставува пресметките, меѓутоа, сега сè ќе стане појасно.
Пример 4
Решете систем од линеарни равенки: 
Го зедов истиот систем како во првиот пример.
Анализирајќи го системот на равенки, забележуваме дека коефициентите на променливата се идентични по големина и спротивни по знакот (–1 и 1). Во таква ситуација, равенките може да се додаваат по член: 
Дејствата заокружени со црвено се вршат МЕНТАЛНО.
Како што можете да видите, како резултат на собирање термин по термин, ја изгубивме променливата. Ова, всушност, е она што суштината на методот е да се ослободи од една од променливите.
Користејќи ја оваа математичка програма, можете да решите систем од две линеарни равенки со две променливи користејќи го методот на замена и методот на собирање.
Програмата не само што го дава одговорот на проблемот, туку дава и детално решение со објаснувања за чекорите на решението на два начина: методот на замена и методот на собирање.
Оваа програма може да биде корисна за средношколците во општообразовните училишта кога се подготвуваат за тестови и испити, кога го тестираат знаењето пред обединетиот државен испит и за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да ја завршите домашната задача по математика или алгебра што е можно побрзо? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.
На овој начин, можете да спроведете сопствена обука и/или обука на вашите помлади браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на решавање проблеми се зголемува.
Правила за внесување равенки
Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.
При внесување равенки можете да користите загради. Во овој случај, равенките прво се поедноставуваат. Равенките по упростувањата мора да бидат линеарни, т.е. од формата ax+by+c=0 со точност на редот на елементите.
На пример: 6x+1 = 5(x+y)+2
Во равенките, можете да користите не само цели броеви, туку и дропки во форма на децимали и обични дропки.
Правила за внесување децимални дропки.
Целобројните и дробните делови во децималните дропки можат да се одделат или со точка или со запирка.
На пример: 2,1n + 3,5m = 55
Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.
Именителот не може да биде негативен.
При внесување на нумеричка дропка, броителот се одвојува од именителот со знак за делење: /
Целиот дел е одделен од дропот со знакот за амперсенд: &
Примери.
-1&2/3г + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Решава систем на равенки
Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.
Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...
Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.
Нашите игри, загатки, емулатори:
Малку теорија.
Решавање системи на линеарни равенки. Метод на замена
Редоследот на дејства при решавање на систем на линеарни равенки со помош на методот на замена:
1) изрази една променлива од некоја равенка на системот во однос на друга;
2) заменете го добиениот израз со друга равенка на системот наместо оваа променлива;
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \крај (низа) \десно. $$
Да го изразиме y во однос на x од првата равенка: y = 7-3x. Заменувајќи го изразот 7-3x во втората равенка наместо y, го добиваме системот:
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end (низа) \десно. $$
Лесно е да се покаже дека првиот и вториот систем имаат исти решенија. Во вториот систем, втората равенка содржи само една променлива. Да ја решиме оваа равенка:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Десна стрелка -5x+14-6x=3 \Десна стрелка -11x=-11 \Десна стрелка x=1 $$
Заменувајќи го бројот 1 наместо x во еднаквоста y=7-3x, ја наоѓаме соодветната вредност на y:
$$ y=7-3 \cточка 1 \Десна стрелка y=4 $$
Пар (1;4) - решение на системот
Се нарекуваат системи на равенки во две променливи кои имаат исти решенија еквивалент. Системите кои немаат решенија исто така се сметаат за еквивалентни.
Решавање системи на линеарни равенки со собирање
Ајде да разгледаме уште еден начин за решавање системи на линеарни равенки - методот на собирање. При решавање на системи на овој начин, како и при решавање со замена, се префрламе од овој систем во друг, еквивалентен систем, во кој една од равенките содржи само една променлива.
Редоследот на дејства при решавање на систем на линеарни равенки со помош на методот на собирање:
1) помножете ги равенките на системот член по член, избирајќи фактори така што коефициентите на една од променливите стануваат спротивни броеви;
2) левата и десната страна на системските равенки да се додадат член по член;
3) решете ја добиената равенка со една променлива;
4) најдете ја соодветната вредност на втората променлива.
Пример. Да го решиме системот на равенки:
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end (низа) \десно. $$
Во равенките на овој систем, коефициентите на y се спротивни броеви. Со собирање на левата и десната страна на равенките член по член, се добива равенка со една променлива 3x=33. Да замениме една од равенките на системот, на пример првата, со равенката 3x=33. Ајде да го добиеме системот
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end (низа) \десно. $$
Од равенката 3x=33 наоѓаме дека x=11. Заменувајќи ја оваа x вредност во равенката \(x-3y=38\) добиваме равенка со променливата y: \(11-3y=38\). Да ја решиме оваа равенка:
\(-3y=27 \Десна стрелка y=-9 \)
Така, го најдовме решението на системот равенки со собирање: \(x=11; y=-9\) или \((11;-9)\)
Искористувајќи го фактот што во равенките на системот коефициентите за y се спротивни броеви, неговото решение го сведовме на решение на еквивалентен систем (со собирање на двете страни на секоја од равенките на првобитниот систем), во кој еден од равенките содржи само една променлива.
Книги (учебници) Апстракти од обединетиот државен испит и тестовите за обединет државен испит онлајн Игри, загатки Изготвување графикони на функции Правописен речник на руски јазик Речник на младински сленг Каталог на руски училишта Каталог на средни образовни институции на Русија Каталог на руски универзитети Список на задачите