За да научите како да решавате равенки со модул, треба да запомните и да ја научите дефиницијата за модул.
Од дефиницијата е јасно дека модулот на кој било број е ненегативен. Дополнително, дефиницијата покажува како тоа е можно ослободете се од знакот на модулво равенка.
Во пракса, ова се прави вака:
1) Најдете ги вредностите на променливата на која изразите под знакот на модул се претвораат во нула.
2) Означете ги сите нули на бројната права. Тие ќе ја поделат оваа линија на зраци и интервали на кои сите субмодуларни изрази имаат постојан знак.
3) Ги одредуваме знаците на субмодуларните изрази на секој интервал и ги прошируваме сите модули (заменувајќи ги со субмодуларни изрази со знак плус или знак минус, во зависност од знакот на субмодуларниот израз).
4) Добиените равенки ги решаваме на секој интервал (колку интервали, исто толку равенки) Имајте предвид дека нужно ги избираме само оние решенија што се во даден интервал (резултираните решенија може да не припаѓаат на интервалот).
Веќе е доволно теорија, време е да погледнеме примери за да видиме како се решаваат равенките со модул. Да почнеме со нешто поедноставно.
Решавање равенки со модули
Пример 1.Решете ја равенката.
Решение.Од тогаш. Ако , тогаш , и равенката ја добива формата .
Од тука добиваме.
Пример 2.Решете ја равенката.
Решение.Од равенката произлегува дека .
Затоа , , , и равенката добива форма или .
Бидејќи , првобитната равенка нема корени.
Одговор: нема корени.
Пример 3.Решете ја равенката.
Решение.Ајде да ја преработиме равенката во еквивалентна форма.
Добиената равенка припаѓа на равенки од типот .
Познато е дека равенката од овој тип е еквивалентна на неравенка. Затоа, тука имаме или .
Одговор: .
Мислам дека веќе сте сфатиле како да го решите овој тип на равенка со модул. Ајде да се обидеме да се справиме со посложена равенка.
Пример 4. Реши ја равенката: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|
Наоѓање нули на субмодуларни изрази:
x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 или x = ‒ 2. Во овој случај, параболата y = x 2 + 2x е позитивна на интервалите (–∞; –2) и (0; +∞ ), а на интервалот (–2; 0) е негативен (види слика).
x 2 ‒ x = 0, x(x – 1) = 0, x = 0 или x = 1. Оваа парабола y = x 2 ‒ x е позитивна на интервалите (–∞; 0) и (1; +∞) , а на интервалот (0; 1) е негативен (види слика).
2 – x = 0, x = 2, модулот е позитивен на интервалот (–∞; 0) и трае негативни вредностина интервалот (2; +∞) (види слика).
Сега ги решаваме равенките во интервали:
1) x ≤ ‒2: x = 1/2
2) –2 ≤ x<0: ‒(x 2 + 2x) – (2 – x) = x 2 ‒ x, ‒x 2 ‒ 2x – 2 + x = x 2 ‒ x, ‒2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, нема решенија.
3) 0 ≤ x<1:
x 2 + 2x ‒ (2 – x) = ‒ (x 2 ‒ x), x 2 + 2x ‒ 2 + x = ‒x 2 + x, 2x 2 + 2x – 2 = 0, x 2 + x – 1 = 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 ‒ √5)/2 и x 2 = (‒1 + √5)/2.
Бидејќи првиот корен е негативен, тој не припаѓа на нашиот интервал, а вториот корен е поголем од нула и помал од еден; ова е нашето решение за овој интервал.
4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x – (2 – x) = x 2 – x, x 2 + 2x – 2 + x = x 2 – x, 4x = 2, x= 1/2(не е вклучено во периодот што се разгледува)
5) x ≥ 2: x 2 + 2x –(‒(2 – x)) = x 2 – x, x 2 + 2x + 2 – x = x 2 – x, 2x = – 2, x = ‒1(не е вклучено во периодот што се разгледува).
Одговор: (‒1 + √5)/2 .
Забележавте дека оваа равенка е решена на ист начин како и претходните, разликата е во бројот на интервали. Бидејќи има квадратни изрази под модулот, има повеќе корени и, соодветно, повеќе празнини.
Но, како да се реши равенката во која модулот е под модулот? Ајде да погледнеме на пример.
Пример 5. Решете ја равенката |3 – |x – 2|| = 1
Субмодуларниот израз може да ја земе вредноста или 1 или – 1. Добиваме две равенки:
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1или 3 ‒ |x ‒ 2|= 1
Секоја равенка ја решаваме посебно.
1)
3 ‒ |x ‒ 2|= ‒1, ‒|x ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|x ‒ 2|= ‒4, |x ‒ 2|= 4,
x ‒ 2= 4 или x ‒ 2= ‒ 4, од каде добиваме x 1 = 6, x 2 = ‒2.
2)
3 ‒ |x ‒ 2|= 1, ‒|x ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|x – 2|= ‒2, |x – 2|= 2,
x – 2 = 2 или x – 2 = ‒2,
x 3 = 4, x 4 = 0.
Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе можете успешно да ги решите модуло равенките. Ако имате какви било прашања, пријавете се за часови со мене. Тутор Валентина Галиневскаја.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Инструкции
Метод на заменаИзразете една променлива и заменете ја со друга равенка. Можете да изразите која било променлива по ваша дискреција. На пример, изразете y од втората равенка:
x-y=2 => y=x-2 Потоа заменете сè во првата равенка:
2x+(x-2)=10 Преместете сè без „x“ на десната страна и пресметајте:
2x+x=10+2
3x=12 Следно, за да се добие x, поделете ги двете страни на равенката со 3:
x=4. Значи, најдовте „x. Најдете „y. За да го направите ова, заменете го „x“ во равенката од која изразивте „y“:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Направете проверка. За да го направите ова, заменете ги добиените вредности во равенките:
2*4+2=10
4-2=2
Непознатите се точно пронајдени!
Начин за додавање или одземање равенки Веднаш да се ослободите од која било променлива. Во нашиот случај, ова е полесно да се направи со „y.
Бидејќи во „y“ има знак „+“, а во вториот „-“, тогаш можете да ја извршите операцијата за собирање, т.е. преклопете ја левата страна со левата, а десната со десната:
2x+y+(x-y)=10+2Конвертирај:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Заменете го „x“ во која било равенка и најдете „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Со првиот метод може да се види дека се пронајдени правилно.
Ако нема јасно дефинирани променливи, тогаш потребно е малку да се трансформираат равенките.
Во првата равенка имаме „2x“, а во втората едноставно имаме „x“. Со цел x да се намали при собирање, помножете ја втората равенка со 2:
x-y=2
2x-2y=4Потоа од првата равенка одземе ја втората:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Забележете дека ако има минус пред заградата, тогаш по отворањето, сменете го во спротивното:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
најдете y=2x со изразување од која било равенка, т.е.
x=4
Видео на темата
Совет 2: Како да решите линеарна равенка во две променливи
Равенката, напишана во општ облик ax+bу+c=0, се нарекува линеарна равенка со два променливи. Таквата равенка сама по себе содржи бесконечен број решенија, па во проблемите секогаш се надополнува со нешто - друга равенка или ограничувачки услови. Во зависност од условите што ги дава задачата, реши линеарна равенка со два променливиследи на различни начини.
Ќе ви треба
- - линеарна равенка со две променливи;
- - втора равенка или дополнителни услови.
Инструкции
Даден е систем од две линеарни равенки, решете го на следниот начин. Изберете една од равенките во кои се наоѓаат коефициентите променливипомали и изразете една од променливите, на пример, x. Потоа заменете ја оваа вредност што содржи y во втората равенка. Во добиената равенка ќе има само една променлива y, поместете ги сите делови со y на левата страна, а слободните надесно. Најдете y и заменете со која било од оригиналните равенки за да најдете x.
Постои уште еден начин да се реши систем од две равенки. Помножете една од равенките со број така што коефициентот на една од променливите, како што е x, е ист во двете равенки. Потоа одземете една од равенките од другата (ако десната страна не е еднаква на 0, не заборавајте да ги одземете десните страни на ист начин). Ќе видите дека променливата x исчезна и останува само една променлива y. Решете ја добиената равенка и заменете ја пронајдената вредност на y со која било од оригиналните равенства. Најдете x.
Третиот начин за решавање на систем од две линеарни равенки е графички. Нацртајте координатен систем и нацртајте две прави чии равенки се дадени во вашиот систем. За да го направите ова, заменете кои било две x вредности во равенката и пронајдете го соодветниот y - ова ќе бидат координатите на точките што припаѓаат на линијата. Најзгодниот начин да се најде пресекот со координатните оски е едноставно да се заменат вредностите x=0 и y=0. Координатите на пресечната точка на овие две прави ќе бидат задачите.
Ако има само една линеарна равенка во проблемските услови, тогаш ви се дадени дополнителни услови преку кои можете да најдете решение. Внимателно прочитајте го проблемот за да ги најдете овие услови. Ако променливи x и y означуваат растојание, брзина, тежина - слободно поставете ја границата x≥0 и y≥0. Сосема е можно x или y да го крие бројот на јаболка итн. – тогаш вредностите можат да бидат само . Ако x е на возраст од синот, јасно е дека тој не може да биде постар од неговиот татко, па наведете го ова во условите на проблемот.
Извори:
- како да се реши равенка со една променлива
Од самиот себе равенкатасо три непознатима многу решенија, па најчесто се надополнува со уште две равенки или услови. Во зависност од тоа какви се првичните податоци, во голема мера ќе зависи текот на одлуката.
Ќе ви треба
- - систем од три равенки со три непознати.
Инструкции
Ако два од трите системи имаат само две од трите непознати, обидете се да изразите некои променливи во однос на другите и заменете ги во равенкатасо три непознат. Вашата цел во овој случај е да ја претворите во нормална равенкатасо непознато лице. Ако е ова, понатамошното решение е прилично едноставно - заменете ја пронајдената вредност со други равенки и пронајдете ги сите други непознати.
Некои системи на равенки може да се одземат од една равенка со друга. Погледнете дали е можно да се помножи едно од или променлива така што две непознати ќе бидат откажани одеднаш. Ако постои таква можност, искористете ја, најверојатно, последователното решение нема да биде тешко. Запомнете дека кога се множите со број, мора да ги помножите и левата и десната страна. Исто така, кога одземате равенки, мора да запомните дека и десната страна мора да се одземе.
Ако претходните методи не помогнаа, користете го општиот метод за решавање на равенките со три непознат. За да го направите ова, препишете ги равенките во форма a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Сега креирајте матрица од коефициенти за x (A), матрица од непознати (X) и матрица на слободни променливи (B). Имајте предвид дека со множење на матрицата на коефициенти со матрицата на непознати, ќе добиете матрица од слободни членови, односно A*X=B.
Најдете ја матрицата А на моќноста (-1) со прво наоѓање , имајте предвид дека таа не треба да биде еднаква на нула. По ова, помножете ја добиената матрица со матрицата Б, како резултат ќе ја добиете саканата матрица X, означувајќи ги сите вредности.
Можете исто така да најдете решение за систем од три равенки користејќи го Крамеровиот метод. За да го направите ова, пронајдете ја детерминантата ∆ од трет ред што одговара на системската матрица. Потоа последователно најдете уште три детерминанти ∆1, ∆2 и ∆3, заменувајќи ги вредностите на слободните термини наместо вредностите на соодветните колони. Сега најдете x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Извори:
- решенија на равенки со три непознати
Решавањето на систем од равенки е предизвикувачко и возбудливо. Колку е покомплексен системот, толку е поинтересно да се реши. Најчесто во математиката во средно училиште има системи на равенки со две непознати, но во вишата математика може да има повеќе променливи. Системите може да се решат со користење на неколку методи.
Инструкции
Најчестиот метод за решавање на систем од равенки е замена. За да го направите ова, треба да изразите една променлива во однос на друга и да ја замените со втората равенкатасистеми, со што води равенкатана една променлива. На пример, дадени се следните равенки: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Од вториот израз е погодно да се изрази една од променливите, поместувајќи го сè друго на десната страна на изразот, не заборавајќи да го промените знакот на коефициентот: x = 3-y.
Отворете ги заградите: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Добиената вредност y ја заменуваме во изразот: x=3-y;x=3-1;x=2 .
Во првиот израз, сите членови се 2, можете да извадите 2 од заградата до дистрибутивното својство на множење: 2*(2x-y-3)=0. Сега двата дела на изразот може да се намалат за овој број, а потоа да се изразат како y, бидејќи коефициентот на модул за него е еднаков на еден: -y = 3-2x или y = 2x-3.
Исто како и во првиот случај, овој израз го заменуваме со вториот равенкатаи добиваме: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Заменете ја добиената вредност во изразот: y=2x -3;y=4-3=1.
Гледаме дека коефициентот за y е ист по вредност, но различен по знак, затоа, ако ги додадеме овие равенки, целосно ќе се ослободиме од y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0 x=2 Заменете ја вредноста на x во која било од двете равенки на системот и добијте y=1.
Видео на темата
Биквадратски равенкатапретставува равенкатачетврти степен чија општа форма е претставена со изразот ax^4 + bx^2 + c = 0. Неговото решение се заснова на употреба на методот на замена на непознати. Во овој случај, x^2 се заменува со друга променлива. Така, резултатот е обичен квадрат равенката, што треба да се реши.
Инструкции
Решете го квадратот равенката, што произлегува од замената. За да го направите ова, прво пресметајте ја вредноста во согласност со формулата: D = b^2? 4ac. Во овој случај, променливите a, b, c се коефициентите на нашата равенка.
Најдете ги корените на двоквадратната равенка. За да го направите ова, земете го квадратниот корен од добиените решенија. Ако имаше едно решение, тогаш ќе има две - позитивна и негативна вредност на квадратниот корен. Ако имало две решенија, биквадратната равенка ќе има четири корени.
Видео на темата
Еден од класичните методи за решавање системи на линеарни равенки е Гаусовиот метод. Се состои во секвенцијална елиминација на променливите, кога систем на равенки со едноставни трансформации се трансформира во чекорен систем, од кој секвенцијално се наоѓаат сите променливи, почнувајќи од последните.
Инструкции
Прво, доведете го системот на равенки во форма каде што сите непознати се во строго дефиниран редослед. На пример, сите непознати X ќе се појават прво на секоја линија, сите Y ќе доаѓаат по X, сите Z ќе доаѓаат по Y и така натаму. Не треба да има непознати на десната страна на секоја равенка. Ментално определи ги коефициентите пред секоја непозната, како и коефициентите од десната страна на секоја равенка.
Решавање равенки и неравенки со модулчесто предизвикува потешкотии. Меѓутоа, ако добро разбирате што е тоа апсолутната вредност на некој број, И како правилно да се прошират изразите што содржат знак за модул, тогаш присуството во равенката израз под знакот на модул, престанува да биде пречка за негово решавање.
Малку теорија. Секој број има две карактеристики: апсолутната вредност на бројот и неговиот знак.
На пример, бројот +5, или едноставно 5, има знак „+“ и апсолутна вредност 5.
Бројот -5 има знак „-“ и апсолутна вредност 5.
Апсолутните вредности на броевите 5 и -5 се 5.
Апсолутната вредност на бројот x се нарекува модул на бројот и се означува со |x|.
Како што гледаме, модулот на еден број е еднаков на самиот број ако овој број е поголем или еднаков на нула, и на овој број со спротивен знак ако овој број е негативен.
Истото важи и за сите изрази што се појавуваат под знакот за модул.
Правилото за проширување на модулот изгледа вака:
|f(x)|= f(x) ако f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), ако f(x)< 0
На пример |x-3|=x-3, ако x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, ако x-3<0.
За да решите равенка која содржи израз под знакот на модул, прво мора прошири модул според правилото за проширување на модулот.
Тогаш нашата равенка или нееднаквост станува во две различни равенки кои постојат на два различни нумерички интервали.
Една равенка постои на нумерички интервал на кој изразот под знакот на модулот е ненегативен.
И втората равенка постои на интервалот на кој изразот под знакот на модул е негативен.
Ајде да погледнеме едноставен пример.
Да ја решиме равенката:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Ајде да го отвориме модулот.
|x-3|=x-3, ако x-3≥0, т.е. ако x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x ако x-3<0, т.е. если х<3
2. Добивме два нумерички интервали: x≥3 и x<3.
Да разгледаме во кои равенки се трансформира оригиналната равенка на секој интервал:
А) За x≥3 |x-3|=x-3, а нашето ранување има форма:
Внимание! Оваа равенка постои само на интервалот x≥3!
Да ги отвориме заградите и да претставиме слични термини:
и решете ја оваа равенка.
Оваа равенка има корени:
x 1 =0, x 2 =3
Внимание! бидејќи равенката x-3=-x 2 +4x-3 постои само на интервалот x≥3, нас не интересираат само оние корени кои припаѓаат на овој интервал. Овој услов е задоволен само со x 2 =3.
Б) На x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Оваа равенка постои само на интервалот x<3!
Да ги отвориме заградите и да претставиме слични термини. Ја добиваме равенката:
x 1 =2, x 2 =3
Внимание! бидејќи равенката 3-x=-x 2 +4x-3 постои само на интервалот x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Значи: од првиот интервал го земаме само коренот x=3, од вториот - коренот x=2.