Ова е последната и најважна лекција потребна за решавање на проблемите Б11. Веќе знаеме како да ги претвориме аглите од радијанска мерка во мерка степен (видете ја лекцијата „Радијанска и степенска мерка на агол“), а знаеме и како да го одредиме знакот на тригонометриска функција, фокусирајќи се на координатните четвртини ( видете ја лекцијата „Знаци на тригонометриски функции“).
Останува само да се пресмета вредноста на самата функција - самиот број што е запишан во одговорот. Тука на помош доаѓа основниот тригонометриски идентитет.
Основен тригонометриски идентитет. За кој било агол α е точно следнава изјава:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Оваа формула ги поврзува синусите и косинусите на еден агол. Сега, знаејќи го синусот, лесно можеме да го најдеме косинусот - и обратно. Доволно е да се земе квадратниот корен:
Забележете го знакот „±“ пред корените. Факт е дека од основниот тригонометриски идентитет не е јасно кои биле оригиналниот синус и косинус: позитивен или негативен. На крајот на краиштата, квадратот е рамномерна функција што ги „гори“ сите минуси (ако имало).
Затоа во сите проблеми Б11, кои се наоѓаат во Обединениот државен испит по математика, нужно има дополнителни услови кои помагаат да се ослободиме од неизвесноста со знаци. Обично ова е показател за координатната четвртина, со која може да се одреди знакот.
Внимателен читател веројатно ќе праша: „Што е со тангентата и котангентата? Невозможно е директно да се пресметаат овие функции од горенаведените формули. Сепак, постојат важни последици од основниот тригонометриски идентитет, кои веќе содржат тангенти и котангенти. Имено:
Важна последица: за кој било агол α, основниот тригонометриски идентитет може да се преработи на следниов начин:
Овие равенки лесно се изведуваат од главниот идентитет - доволно е да се поделат двете страни со cos 2 α (за да се добие тангентата) или со sin 2 α (за да се добие котангента).
Ајде да го разгледаме сето ова со конкретни примери. Подолу се прикажани вистинските проблеми Б11, кои се преземени од пробните верзии на Единствениот државен испит по математика 2012 година.
Го знаеме косинусот, но не го знаеме синусот. Главниот тригонометриски идентитет (во неговата „чиста“ форма) ги поврзува токму овие функции, така што ќе работиме со него. Ние имаме:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.
За да се реши проблемот, останува да се најде знакот на синусот. Бидејќи аголот α ∈ (π /2; π ), тогаш во степенска мерка се запишува на следниов начин: α ∈ (90°; 180°).
Следствено, аголот α лежи во II координатна четвртина - сите синуси таму се позитивни. Затоа sin α = 0,1.
Значи, го знаеме синусот, но треба да го најдеме косинусот. И двете од овие функции се во основниот тригонометриски идентитет. Ајде да замениме:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.
Останува да се справиме со знакот пред фракцијата. Што да изберете: плус или минус? По услов, аголот α припаѓа на интервалот (π 3π /2). Да ги претвориме аглите од радијански мерки во степени - добиваме: α ∈ (180°; 270°).
Очигледно, ова е III координатен квартал, каде што сите косинуси се негативни. Затоа cos α = −0,5.
Задача. Најдете tan α ако е познато следново:
Тангентата и косинусот се поврзани со равенката која следи од основниот тригонометриски идентитет:
Добиваме: tan α = ±3. Знакот на тангентата се одредува со аголот α. Познато е дека α ∈ (3π /2; 2π ). Да ги претвориме аглите од радијански мерки во степени - добиваме α ∈ (270°; 360°).
Очигледно, ова е IV координатна четвртина, каде што сите тангенти се негативни. Затоа tan α = −3.
Задача. Најдете cos α ако е познато следново:
Повторно синусот е познат, а косинусот е непознат. Да го запишеме главниот тригонометриски идентитет:
sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.
Знакот се одредува според аголот. Имаме: α ∈ (3π /2; 2π ). Да ги претвориме аглите од степени во радијани: α ∈ (270°; 360°) е IV координатна четвртина, косинусите таму се позитивни. Затоа, cos α = 0,6.
Задача. Најдете го sin α ако е познато следново:
Да запишеме формула која следи од основниот тригонометриски идентитет и директно ги поврзува синусот и котангенсот:
Од тука добиваме дека гревот 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Познато е дека аголот α ∈ (0; π /2). Во мерка на степен, ова е напишано на следниов начин: α ∈ (0°; 90°) - Јас координира четвртина.
Значи, аголот е во I координатниот квадрант - сите тригонометриски функции таму се позитивни, така што sin α = 0,2.
Тригонометриски функции- Барањето „грев“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „сек“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „Sine“ е пренасочено овде; види и други значења... Википедија
Тан
Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Косинусот- Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Котангенс- Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Секант- Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Историја на тригонометријата- Геодетски мерења (XVII век) ... Википедија
Тангента на формулата на половина агол- Во тригонометријата, формулата за тен на половина агол ја поврзува тангентата на половина агол со тригонометриските функции на полн агол: Варијациите на оваа формула се како што следува... Википедија
Тригонометрија- (од грчкиот τρίγονο (триаголник) и грчкиот μετρειν (мерка), односно мерење на триаголници) гранка на математиката во која се изучуваат тригонометриските функции и нивната примена во геометријата. Овој термин првпат се појавил во 1595 година како... ... Википедија
Решавање на триаголници- (лат. solutio triangulorum) историски поим што значи решение на главниот тригонометриски проблем: користејќи познати податоци за триаголник (страни, агли и сл.) најдете ги неговите преостанати карактеристики. Триаголникот може да се наоѓа на... ... Википедија
Книги
- Збир на маси. Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10. 17 табели + методологија, . Табелите се испечатени на дебел печатен картон со димензии 680 x 980 mm. Комплетот вклучува брошура со наставни упатства за наставниците. Едукативен албум од 17 листови... Купи за 3944 RUR
- Табели на интеграли и други математички формули, Dwight G.B.. Десеттото издание на познатата референтна книга содржи многу детални табели на неопределени и определени интеграли, како и голем број други математички формули: сериски проширувања, ...
Во оваа статија ќе разгледаме сеопфатен изглед. Основните тригонометриски идентитети се еднаквости кои воспоставуваат врска помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол и овозможуваат да се најде некоја од овие тригонометриски функции преку позната друга.
Веднаш да ги наведеме главните тригонометриски идентитети што ќе ги анализираме во оваа статија. Ајде да ги запишеме во табела, а подолу ќе го дадеме резултатот од овие формули и ќе ги дадеме потребните објаснувања.
Навигација на страницата.
Врска помеѓу синус и косинус од еден агол
Понекогаш тие не зборуваат за главните тригонометриски идентитети наведени во табелата погоре, туку за еден сингл основен тригонометриски идентитетљубезен 
. Објаснувањето за овој факт е прилично едноставно: еднаквостите се добиваат од главниот тригонометриски идентитет откако ќе се поделат двата негови делови со и, соодветно, и еднаквостите 
И 
следат од дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента. Ќе зборуваме за ова подетално во следните параграфи.
Односно, тоа е еднаквоста што е од особен интерес, на која и беше дадено името на главниот тригонометриски идентитет.
Пред да го докажеме главниот тригонометриски идентитет, ја даваме неговата формулација: збирот на квадратите на синусот и косинусот на еден агол е идентично еднаков на еден. Сега да го докажеме.
Основниот тригонометриски идентитет многу често се користи кога конвертирање на тригонометриски изрази. Овозможува збирот на квадратите на синусот и косинусот од еден агол да се замени со еден. Не поретко, основниот тригонометриски идентитет се користи во обратен редослед: единицата се заменува со збирот на квадратите на синусот и косинусот од кој било агол.
Тангента и котангента преку синус и косинус
Идентитети кои поврзуваат тангента и котангента со синус и косинус од еден агол на гледање и 
веднаш следи од дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента. Навистина, по дефиниција, синус е ордината на y, косинус е апсциса на x, тангента е односот на ординатата со апсцисата, т.е. 
, а котангента е односот на апсцисата со ординатата, т.е. 
.
Благодарение на таквата очигледност на идентитетите и Тангентата и котангентата често се дефинираат не преку односот на апсцисата и ординатата, туку преку односот на синус и косинус. Значи, тангентата на аголот е односот на синусот и косинусот на овој агол, а котангентата е односот на косинусот и синусот.
Во заклучок на овој став треба да се истакне дека идентитетите и се одвиваат за сите агли под кои имаат смисла тригонометриските функции вклучени во нив. Значи формулата важи за која било , освен (инаку именителот ќе има нула, а ние не дефиниравме делење со нула), и формулата - за сите , различно од , каде што z е кое било .
Врска помеѓу тангента и котангента
Уште поочигледен тригонометриски идентитет од претходните два е идентитетот што ги поврзува тангентата и котангентата на еден агол на формата . Јасно е дека важи за други агли освен за , инаку или тангентата или котангентата не се дефинирани.
Доказ за формулата многу едноставно. По дефиниција и од каде 
. Доказот можеше да се спроведе малку поинаку. Бидејќи , Тоа 
.
Значи, тангентата и котангентата на истиот агол под кој имаат смисла се .
За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com
Наслов на слајд:
Дури и ако англискиот некому му е драг, на некого му е важна хемијата, за сите нас без математика Но ни овде ни таму Равенките ни се како песни и синусите ни го поддржуваат духот Косинусите се како песни за нас, И формулите за тригонометрија галете ни ги ушите!
Тема на часот: „Основни тригонометриски идентитети. Решавање на проблем." Знај: Да знаеш: Цел на часот:
ЗНАМ! ЈАС МОЖАМ! ЈАС ЌЕ ОДЛУЧАМ! Јас
Како се нарекува единечниот круг? x y α R
Кои насоки на ротација на единица радиус се познати? x y α R
Во кои единици се мери аголот на ротација на единица радиус? x y α R
Колку е агол од еден радијан? Приближно колку степени содржи агол од 1 радијан? x y α R
Формулирајте ги правилата за претворање од степенска мерка на агол во радијанска мерка и обратно.
Формулирајте ги правилата за претворање од степенска мерка на агол во радијанска мерка и обратно. 30 0 π 45 0 π 2 2 π
Кои тригонометриски функции ги знаете?
Кои тригонометриски функции ги знаете? Што го одредува значењето на тригонометриските функции?
Која четвртина агол е аголот α ако: α =15° α =190° α =100°
Која четвртина агол е аголот α ако: α =-20° α =-110° α =289°
Работа во групи Правила за работа во група: Групата заедно дискутира и одлучува, изнесува идеи или ги побива. Секој член на групата мора да работи најдобро што може. Додека работите, третирајте ги колегите со почит: прифаќајќи или отфрлајќи идеја, направете го тоа учтиво. Запомнете дека секој има право да прави грешки. Запомнете дека успехот на групата зависи од тоа колку добро секој ги покажува своите силни страни.
Групна работа
0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Табела со вредности на тригонометриски функции
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 преку K 8 L 9 through и M 10 through и N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критериуми за оценување: 10 задачи - оценка „5“. 8-9 задачи – бод „4“. 5-7 задачи – бод „3“. 1-4 задачи – бод „2“. Воспоставете кореспонденција помеѓу левата и десната страна на идентитетот.
1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 преку A 8 K 9 до и H 10 преку и D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критериуми за оценување: 10 задачи - оценка „5“. 8-9 задачи – бод „4“. 5-7 задачи – бод „3“. 1-4 задачи – бод „2“. Воспоставете кореспонденција помеѓу левата и десната страна на идентитетот.
Основен тригонометриски идентитет „тригонометриска единица“
Основен тригонометриски идентитет „тригонометриска единица“ Косинусен квадрат Многу мило. Брат Сине плоштадот доаѓа да го види! Кога ќе се сретнат, кругот ќе се изненади: Ќе излезе цело семејство, Односно, единица!
1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α) (1 + cos α) на α =90° 3. 1- грев 2 40 0 4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1) (1 – sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α и s t P до 1 cos 2 40° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Добијте го името на математичарот во чија книга првпат се појавува терминот „тригонометрија“. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i c k u s 2-2 cos(-60 0)
Питискус
Ал-Батуни Ал-Хваризми
Баскара Насиредин Туси
Леонард Ојлер
Со оглед на вредноста на тригонометриската функција најди ја вредноста на друга функција Четвртина Дадено: Најди: Решение: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα
Со оглед на вредноста на тригонометриската функција најди ја вредноста на друга функција Четвртина Дадено: Најди: Решение: I sinα= 0,6
Со оглед на вредноста на тригонометриската функција најди ја вредноста на друга функција Четврт Дадено: Најди: Решение: II cosα= sinα = =
Со оглед на вредноста на тригонометриската функција, најди ја вредноста на друга функција Четвртина Дадено: Најди: Решение: III tgα= ctgα ctgα = = =
Со оглед на вредноста на тригонометриската функција, најди ја вредноста на друга функција Четвртина Дадено: Најди: Решение: IV cosα = tgα tgα = = = = = =
Примена на тригонометријата во животот на човекот.
Порака за домашна задача: „Тригонометријата во животот на човекот“ бр.304 стр.111
y=sinx Благодарам за лекцијата!
1 грев 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 грев 70° 10 грев 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 грев (- 140°) 13 грев 7 cos (- 300 °) 14 tg Определи го знакот на изразот - - - - - - + + + + + + + + +
На тема: методолошки случувања, презентации и белешки
Во презентацијата се претставени решенија за клучните проблеми на училишниот курс по математика за пронаоѓање на сите видови растојанија и агли во просторот со помош на алгоритам, кој овозможува да се користи и при изучување...
Презентација за часот: „Агол меѓу рамнините. Решавање на проблемот со користење на различни методи“
Оваа презентација може да се користи за јасност во лекциите за ревизија, за подготовка за обединет државен испит при решавање на проблеми од типот C-2.