Граници и изводи на граница на функција. Првата прекрасна граница

Теоријата на граници е една од гранките на математичката анализа. Прашањето за решавање на границите е доста опширно, бидејќи постојат десетици методи за решавање на граници од различни типови. Постојат десетици нијанси и трикови кои ви дозволуваат да ја решите оваа или онаа граница. Сепак, ние сепак ќе се обидеме да ги разбереме главните типови на граници кои најчесто се среќаваат во пракса.

Да почнеме со самиот концепт на граница. Но, прво, кратка историска позадина. Во 19 век живеел Французин, Аугустин Луј Коши, кој дал строги дефиниции за многу концепти на матан и ги поставил неговите основи. Мора да се каже дека овој почитуван математичар бил, е и ќе биде во кошмарите на сите студенти на катедрите по физика и математика, бидејќи докажал огромен број теореми за математичка анализа, а едната теорема е посмртоносна од другата. Во овој поглед, сè уште нема да разгледаме определување на границата на Коши, но ајде да се обидеме да направиме две работи:

1. Разберете што е ограничување.
2. Научете да ги решавате главните типови на граници.

Се извинувам за некои ненаучни објаснувања, важно е материјалот да биде разбирлив дури и за чајник, што, всушност, е задача на проектот.

Значи, која е границата?

И само пример зошто да бушава баба....

Секое ограничување се состои од три дела:

1) Добро познатата икона за ограничување.
2) Записи под иконата за ограничување, во овој случај. Влезот гласи „Х се стреми кон едно“. Најчесто - точно, иако наместо „Х“ во пракса има други променливи. Во практични задачи, местото на еден може да биде апсолутно секој број, како и бесконечност ().
3) Функционира под знакот за граница, во овој случај.

Самата снимка гласи вака: „границата на функцијата како x се стреми кон единство“.

Ајде да го разгледаме следното важно прашање - што значи изразот „x“? се стремина еден“? И што воопшто значи „стремиме“?
Концептот на граница е концепт, така да се каже, динамичен. Ајде да изградиме низа: прво , потоа , , ..., , ….
Односно изразот „х се стремидо еден“ треба да се сфати на следниов начин: „x“ постојано ги зема вредностите кои му пристапуваат на единството бескрајно блиску и практично се совпаѓаат со него.

Како да се реши горниот пример? Врз основа на горенаведеното, само треба да замените еден во функцијата под знакот за ограничување:

Значи, првото правило: Кога е дадено некакво ограничување, прво едноставно се обидуваме да го вклучиме бројот во функцијата.

Ја разгледавме наједноставната граница, но тие се случуваат и во пракса, а не толку ретко!

Пример со бесконечност:

Ајде да дознаеме што е тоа? Тоа е случај кога се зголемува без ограничување, односно: прво, потоа, потоа, потоа и така натаму до бесконечност.

Што се случува со функцијата во овој момент?
, , , …

Значи: ако , тогаш функцијата се стреми кон минус бесконечност:

Грубо кажано, според нашето прво правило, наместо „Х“ ја заменуваме бесконечноста во функцијата и го добиваме одговорот.

Друг пример со бесконечност:

Повторно почнуваме да се зголемуваме до бесконечност и го гледаме однесувањето на функцијата:

Заклучок: кога функцијата се зголемува без ограничување:

И уште една серија примери:

Ве молиме обидете се сами ментално да го анализирате следново и запомнете ги наједноставните типови на ограничувања:

, , , , , , , , ,
Ако некаде се сомневате, можете да земете калкулатор и да вежбате малку.
Во случај тоа , обидете се да ја конструирате низата , , . Ако тогаш , , .

! Забелешка: Строго кажано, овој пристап за конструирање низи од неколку броеви е неточен, но за разбирање на наједноставните примери е сосема соодветен.

Обрнете внимание и на следново. Дури и ако е дадена граница со голем број на врвот, па дури и со милион: , тогаш се е исто , бидејќи порано или подоцна „Х“ ќе почне да добива такви гигантски вредности што милион во споредба ќе бидат вистински микроб.

Што треба да запомните и разберете од горенаведеното?

1) Кога е дадено некакво ограничување, прво едноставно се обидуваме да го замениме бројот во функцијата.

2) Мора да ги разберете и веднаш да ги решите наједноставните граници, како на пр , , итн.

Покрај тоа, границата има многу добро геометриско значење. За подобро разбирање на темата ви препорачувам да го прочитате наставниот материјал Графикони и својства на елементарните функции. Откако ќе ја прочитате оваа статија, не само што конечно ќе разберете што е ограничување, туку и ќе се запознаете со интересни случаи кога лимитот на функцијата воопшто не постои!

Во пракса, за жал, има малку подароци. И затоа продолжуваме да разгледуваме посложени граници. Патем, на оваа тема постои интензивен курсво pdf формат, што е особено корисно ако имате МНОГУ малку време за подготовка. Но, материјалите на страницата, се разбира, не се полоши:

Сега ќе ја разгледаме групата граници кога , а функцијата е дропка чиј броител и именител содржат полиноми

Пример:

Пресметајте го лимитот

Според нашето правило, ќе се обидеме да ја замениме бесконечноста во функцијата. Што добиваме на врвот? Бесконечност. И што се случува подолу? Исто така бесконечност. Така, го имаме она што се нарекува несигурност на видовите. Некој може да помисли дека и одговорот е готов, но во општиот случај тоа воопшто не е така, и неопходно е да се примени некоја техника на решение, која сега ќе ја разгледаме.

Како да се решат границите од овој тип?

Прво го гледаме броителот и ја наоѓаме најголемата моќност:

Водечката моќ во броителот е два.

Сега го гледаме именителот и исто така го наоѓаме до највисоката моќност:

Највисокиот степен на именителот е два.

Потоа ја избираме највисоката моќност на броителот и именителот: во овој пример, тие се исти и еднакви на два.

Значи, методот на решение е како што следува: за да се открие неизвесноста, потребно е да се подели броителот и именителот со највисоката моќност.

Еве го, одговорот, а не бесконечност.

Што е фундаментално важно во дизајнирањето на одлуката?

Прво, укажуваме на несигурност, доколку ја има.

Второ, препорачливо е да се прекине решението за посредни објаснувања. Јас обично го користам знакот, тој нема никакво математичко значење, туку значи дека решението е прекинато за средно објаснување.

Трето, во границата препорачливо е да се означи што каде оди. Кога работата е изготвена рачно, попогодно е да се направи на овој начин:

Подобро е да користите едноставен молив за белешки.

Се разбира, не треба да правите ништо од ова, но тогаш, можеби, наставникот ќе ги посочи недостатоците во решението или ќе почне да поставува дополнителни прашања за задачата. Дали ви треба?

Пример 2

Најдете ја границата
Повторно во броителот и именителот наоѓаме во највисок степен:

Максимален степен во броител: 3
Максимален степен во именител: 4
Изберете најголемвредност, во овој случај четири.
Според нашиот алгоритам, за да откриеме несигурност, ги делиме броителот и именителот со .
Целосната задача може да изгледа вака:

Поделете ги броителот и именителот со

Пример 3

Најдете ја границата
Максимален степен на „Х“ во броителот: 2
Максимален степен на „X“ во именителот: 1 (може да се запише како)
За да се открие неизвесноста, потребно е броителот и именителот да се подели со . Конечното решение може да изгледа вака:

Поделете ги броителот и именителот со

Нотацијата не значи делење со нула (не можете да делите со нула), туку делење со бесконечно мал број.

Така, со откривање на несигурноста на видовите, можеби ќе можеме конечен број, нула или бесконечност.

Граници со неизвесност на видот и методот за нивно решавање

Следната група на граници е донекаде слична на границите што сега ги разгледавме: броителот и именителот содржат полиноми, но „x“ повеќе не се стреми кон бесконечност, туку кон конечен број.

Пример 4

Решете го лимитот
Прво, да се обидеме да го замениме -1 во дропката:

Во овој случај се добива таканаречената неизвесност.

Општо правило: ако броителот и именителот содржат полиноми, и има несигурност на формата, тогаш да се открие треба да ги земете предвид броителот и именителот.

За да го направите ова, најчесто треба да решите квадратна равенка и/или да користите скратени формули за множење. Ако овие работи се заборавени, тогаш посетете ја страницата Математички формули и табелии прочитајте го наставниот материјал Жешки формули за училишен курс по математика. Патем, најдобро е да се испечати многу често, а информациите подобро се апсорбираат од хартијата.

Значи, да ја решиме нашата граница

Факторирајте ги броителот и именителот

За да го факторизирате броителот, треба да ја решите квадратната равенка:

Прво го наоѓаме дискриминаторот:

И квадратниот корен од него: .

Ако дискриминаторот е голем, на пример 361, користиме калкулатор, функцијата за извлекување на квадратниот корен е на наједноставниот калкулатор.

! Ако коренот не се извлече во целост (се добива фракционен број со запирка), голема е веројатноста дека дискриминаторот е погрешно пресметан или имало печатна грешка во задачата.

Следно ги наоѓаме корените:

Така:

Сите. Бројачот е факторизиран.

Именителот. Именителот е веќе наједноставниот фактор и не постои начин да се поедностави.

Очигледно, може да се скрати на:

Сега го заменуваме -1 во изразот што останува под знакот за граница:

Секако, во тест, тест или испит, решението никогаш не е опишано толку детално. Во финалната верзија, дизајнот треба да изгледа вака:

Ајде да го факторизираме броителот.

Пример 5

Пресметајте го лимитот

Прво, „финиш“ верзија на решението

Ајде да ги факторизираме броителот и именителот.

броител:
Именител:

,

Што е важно во овој пример?
Прво, мора да имате добро разбирање за тоа како се открива броителот, прво извадивме 2 од загради, а потоа ја искористивме формулата за разликата на квадратите. Ова е формулата што треба да ја знаете и да ја видите.

Препорака: Ако во граница (од речиси секаков вид) е можно да се извади број од загради, тогаш тоа секогаш го правиме.
Покрај тоа, препорачливо е да се преместат таквите броеви надвор од иконата за ограничување. За што? Да, само за да не им пречат. Главната работа е да не ги изгубите овие бројки подоцна за време на решението.

Забележете дека во последната фаза од решението, ги извадив двете од иконата за ограничување, а потоа и минусот.

! Важно
За време на растворот, типот фрагмент се јавува многу често. Намалете ја оваа фракцијатоа е забрането . Прво треба да го промените знакот на броителот или именителот (ставете -1 надвор од заградите).
, односно се појавува знак минус кој се зема предвид при пресметување на лимитот и воопшто нема потреба да се губи.

Генерално, забележав дека најчесто при наоѓањето граници од овој тип треба да се решат две квадратни равенки, односно и броителот и именителот содржат квадратни тројноми.

Начин на множење на броителот и именителот со конјугираниот израз

Продолжуваме да ја разгледуваме неизвесноста на формата

Следниот тип на ограничувања е сличен на претходниот тип. Единственото нешто, покрај полиномите, ќе додадеме корени.

Пример 6

Најдете ја границата

Да почнеме да одлучуваме.

Прво се обидуваме да го замениме 3 во изразот под знакот за граница
Повторувам уште еднаш - ова е првото нешто што треба да го направите за СЕКОЈА граница. Оваа акција обично се изведува ментално или во форма на нацрт.

Добиена е неизвесност на формата која треба да се отстрани.

Како што веројатно забележавте, нашиот броител ја содржи разликата на корените. И во математиката вообичаено е да се ослободиме од корените, ако е можно. За што? И животот е полесен без нив.

Ги сфативме основните елементарни функции.

Кога преминуваме на функции од покомплексен тип, секако ќе наидеме на појава на изрази чие значење не е дефинирано. Таквите изрази се нарекуваат неизвесности.

Ајде да наведеме сè главни видови на неизвесности: нула поделена со нула (0 на 0), бесконечност поделена со бесконечност, нула помножена со бесконечност, бесконечност минус бесконечност, еден до моќта на бесконечноста, нула до моќта на нула, бесконечноста до моќта на нула.

СИТЕ ДРУГИ ИЗРАЗИ НА НЕСИГУРНОСТ НЕ СЕ И ЗАЕМААТ ЦЕЛОСНО СПЕЦИФИЧНА КОНЈЕРЕНА ИЛИ БЕСКОЈНА ВРЕДНОСТ.

Откријте ја неизвесностадозволува:

поедноставување на типот на функцијата (трансформација на изрази со користење на скратени формули за множење, тригонометриски формули, множење со конјугирани изрази проследено со редукција итн.);
употреба на извонредни граници;
примена на правилото на L'Hopital;
со користење на замена на бесконечно мал израз со негов еквивалент (со користење на табела со еквивалентни бесконечно мали).

Да ги групираме неизвесностите во табела за несигурност. За секој тип на несигурност поврзуваме метод за негово откривање (метод за наоѓање на границата).

Оваа табела, заедно со табелата со граници на основните елементарни функции, ќе бидат вашите главни алатки за наоѓање на какви било граници.

Ајде да дадеме неколку примери кога сè функционира веднаш по замена на вредноста и не се појавува неизвесност.

Пример.

Пресметајте го лимитот

Решение.

Заменете ја вредноста:

И веднаш добивме одговор.

Одговор:

Пример.

Пресметајте го лимитот

Решение.

Вредноста x=0 ја заменуваме во основата на нашата експоненцијална моќна функција:

Тоа е, границата може да се препише како

Сега да го погледнеме индикаторот. Ова е функција за напојување. Да се свртиме кон табелата со граници за функции на моќност со негативен експонент. Од таму имаме И , затоа, можеме да пишуваме .

Врз основа на ова, нашата граница ќе биде напишана како:

Повторно се свртуваме кон табелата со граници, но за експоненцијални функции со основа поголема од една, од која имаме:

Одговор:

Ајде да погледнеме примери со детални решенија Откривање на несигурности со трансформирање на изрази.

Многу често изразот под знакот за граница треба малку да се трансформира за да се ослободи од неизвесностите.

Пример.

Пресметајте го лимитот

Решение.

Заменете ја вредноста:

Дојдовме до неизвесност. Ја гледаме табелата на несигурност за да избереме метод на решение. Ајде да се обидеме да го поедноставиме изразот.

Одговор:

Пример.

Пресметајте го лимитот

Решение.

Заменете ја вредноста:

Дојдовме до неизвесност (0 спрема 0). Ја гледаме табелата за несигурност за да избереме метод на решение и да се обидеме да го поедноставиме изразот. Да ги помножиме и броителот и именителот со изразот конјугиран со именителот.

За именителот коњугираниот израз ќе биде

Го помноживме именителот за да можеме да ја примениме скратената формула за множење - разлика на квадрати и потоа да го намалиме добиениот израз.

По низа трансформации, неизвесноста исчезна.

Одговор:

КОМЕНТАР:За граници од овој тип типичен е методот на множење со конјугирани изрази, па слободно користете го.

Пример.

Пресметајте го лимитот

Решение.

Заменете ја вредноста:

Дојдовме до неизвесност. Ја гледаме табелата за несигурност за да избереме метод на решение и да се обидеме да го поедноставиме изразот. Бидејќи и броителот и именителот исчезнуваат на x = 1, тогаш ако овие изрази можат да се намалат (x-1) и неизвесноста ќе исчезне.

Ајде да го факторизираме броителот:

Ајде да го факторизираме именителот:

Нашето ограничување ќе биде во форма:

По трансформацијата се откри неизвесноста.

Одговор:

Да ги разгледаме границите на бесконечност од изразите на моќ. Ако експонентите на изразот на моќта се позитивни, тогаш границата на бесконечноста е бесконечна. Покрај тоа, најголемиот степен е од примарна важност, а остатокот може да се отфрли.

Пример.

Ако изразот под знакот за граница е дропка, а и броителот и именителот се изрази на моќ (m е моќта на броителот, а n е моќта на именителот), тогаш кога неизвесноста на формата бесконечно до бесконечност произлегува, во овој случај се открива неизвесностаделејќи ги и броителот и именителот со

Пример.

Пресметајте го лимитот

Елементарни функции и нивни графикони.

Главните елементарни функции се: функција на моќност, експоненцијална функција, логаритамска функција, тригонометриски функции и инверзни тригонометриски функции, како и полином и рационална функција, што е однос на два полиноми.

Во елементарните функции спаѓаат и оние функции кои се добиваат од елементарните со примена на основните четири аритметички операции и формирање сложена функција.

Графикони на елементарни функции

	Права линија- график на линеарна функција y = секира + б. Функцијата y монотоно се зголемува за a > 0 и се намалува за a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола- график на квадратната триномна функција y = секира 2 + bx + c. Има вертикална оска на симетрија. Ако a > 0, има минимум ако a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения секира 2 + bx +c =0
	Хипербола- графикон на функцијата. Кога a > O се наоѓа во I и III четвртини, кога a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) или y - - x(a< 0).
	Експоненцијална функција. Излагач(експоненцијална функција до основата e) y = e x. (Друг правопис y = exp(x)). Асимптота е оската на апсцисата.
	Логаритамска функција y = log a x(а > 0)
	y = синкс. Синусен бран- периодична функција со период T = 2π

Ограничување на функцијата.

Функцијата y=f(x) има број A како граница бидејќи x се стреми кон a, ако за кој било број ε › 0 има број δ › 0 таков што | y – A | ‹ ε ако |x - a| ‹ δ,

или lim y = A

Континуитет на функцијата.

Функцијата y=f(x) е континуирана во точката x = a ако lim f(x) = f(a), т.е.

границата на функцијата во точка x = a е еднаква на вредноста на функцијата во дадена точка.

Наоѓање на границите на функциите.

Основни теореми за границите на функциите.

1. Границата на константна вредност е еднаква на оваа константна вредност:

2. Границата на алгебарскиот збир е еднаква на алгебарскиот збир на границите на овие функции:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Границата на производот на неколку функции е еднаква на производот на границите на овие функции:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Границата на количникот на две функции е еднаква на количникот на границите на овие функции ако границата на именителот не е еднаква на 0:

lim------- = -----------

Првата извонредна граница: lim --------- = 1

Втора извонредна граница: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Примери за наоѓање на границите на функциите.

5.1. Пример:

Секое ограничување се состои од три дела:

1) Добро познатата икона за ограничување.

2) Записи под иконата за ограничување. Влезот гласи „Х се стреми кон едно“. Најчесто тоа е x, иако наместо „x“ може да има која било друга променлива. На местото на еден може да има апсолутно секој број, како и бесконечност 0 или .

3) Функционира под знакот за граница, во овој случај.

Самата снимка гласи вака: „границата на функцијата како x се стреми кон единство“.

Многу важно прашање - што значи изразот „x“? се стремина еден“? Изразот „x“ се стремидо еден“ треба да се сфати на следниов начин: „x“ постојано ги зема вредностите кои му пристапуваат на единството бескрајно блиску и практично се совпаѓаат со него.

Значи првото правило : Кога е дадено ограничување, прво едноставно го приклучувате бројот во функцијата.

5.2. Пример со бесконечност:

Ајде да дознаеме што е тоа? Ова е случај кога се зголемува без ограничување.

Па ако , потоа функцијата се стреми кон минус бесконечност:

Според нашето прво правило, наместо „Х“ заменуваме во функцијата бесконечност и го добиваме одговорот.

5.3. Друг пример со бесконечност:

Повторно почнуваме да се зголемуваме до бесконечност и го гледаме однесувањето на функцијата.
Заклучок: функцијата се зголемува неограничено

5.4. Низа примери:

Обидете се сами ментално да ги анализирате следните примери и да ги решите наједноставните типови на ограничувања:

, , , , , , , , ,

Што треба да запомните и разберете од горенаведеното?

Кога е дадено некакво ограничување, прво едноставно приклучете го бројот во функцијата. Во исто време, мора да ги разберете и веднаш да ги решите наједноставните граници, како на пр , , итн.

6. Граници со несигурност на типот и метод за нивно решавање.

Сега ќе ја разгледаме групата граници кога , а функцијата е дропка чиј броител и именител содржат полиноми.

6.1. Пример:

Пресметајте го лимитот

Според нашето правило, се обидуваме да ја замениме бесконечноста во функцијата. Што добиваме на врвот? Бесконечност. И што се случува подолу? Исто така бесконечност. Така, го имаме она што се нарекува несигурност на видовите. Некој може да помисли дека = 1, а одговорот е готов, но во општиот случај тоа воопшто не е така и треба да примените некоја техника на решение, која сега ќе ја разгледаме.

Како да се решат границите од овој тип?

Прво го гледаме броителот и ја наоѓаме најголемата моќност:

Водечката моќ во броителот е два.

Потоа ја избираме највисоката моќност на броителот и именителот: во овој пример, тие се исти и еднакви на два.

Значи, методот на решение е како што следува: да се открие неизвесноста треба да ги поделите броителот и именителот со во виша диплома.

Така, одговорот не е 1.

Пример

Најдете ја границата

Повторно во броителот и именителот наоѓаме во највисок степен:

Максимален степен во броител: 3

Максимален степен во именител: 4

Изберете најголемвредност, во овој случај четири.
Според нашиот алгоритам, за да откриеме несигурност, ги делиме броителот и именителот со .

Пример

Најдете ја границата

Максимален степен на „Х“ во броителот: 2

Максимален степен на „X“ во именителот: 1 (може да се запише како)
За да се открие неизвесноста, потребно е броителот и именителот да се подели со . Конечното решение може да изгледа вака:

Поделете ги броителот и именителот со

треба да ги земете предвид броителот и именителот

Сега го заменуваме -1 во изразот што останува под знакот за граница:

Пример

Пресметајте го лимитот

Прво, верзијата „даб“ на решението, да ја замениме x=2:

Ајде да ги факторизираме броителот и именителот.

броител:

Именител:

,

Апликација

Ограничувања онлајн на страницата за студенти и ученици за целосно консолидирање на материјалот што го опфатиле. Како да го пронајдете лимитот онлајн користејќи го нашиот ресурс? Ова е многу лесно да се направи, само треба правилно да ја напишете оригиналната функција со променливата x, да ја изберете саканата бесконечност од избирачот и да кликнете на копчето „Реши“. Во случај кога границата на функцијата мора да се пресмета во одредена точка x, тогаш треба да ја наведете нумеричката вредност на токму оваа точка. Одговор за решението на лимитот ќе добиете за неколку секунди, со други зборови - веднаш. Меѓутоа, ако дадете неточни податоци, услугата автоматски ќе ве извести за грешката. Поправете ја претходно воведената функција и добијте го точното решение до границата. За решавање на границите, се користат сите можни техники, особено често се користи методот на L'Hopital, бидејќи е универзален и води до одговор побрзо од другите методи за пресметување на границата на функцијата. Интересно е да се погледнат примери во кои е присутен модулот. Патем, според правилата на нашиот ресурс, модулот е означен со класичната вертикална лента во математиката „|“ или Abs(f(x)) од латинскиот апсолутен. Честопати е потребно да се реши лимит за да се пресмета збирот на бројна низа. Како што сите знаат, само треба правилно да го изразите делумниот збир на низата што се проучува, а потоа сè е многу поедноставно, благодарение на нашата бесплатна услуга на веб-страница, бидејќи пресметувањето на границата на делумниот збир е конечниот збир на нумеричката низа. Општо земено, теоријата на премин до границата е основниот концепт на сите математички анализи. Сè е засновано токму на премини до граници, односно решавањето на границите е основа на науката за математичка анализа. При интеграцијата се користи и премин до границата, кога интегралот, според теоријата, е претставен како збир од неограничен број области. Онаму каде што има неограничен број на нешто, односно тенденција на бројот на предмети до бесконечност, тогаш теоријата за преминување на границите секогаш стапува на сила, а во општо прифатената форма ова е решение за границите познати на сите. Решавањето на ограничувањата онлајн на страницата е единствена услуга за добивање точен и моментален одговор во реално време. Границата на функцијата (граничната вредност на функцијата) во дадена точка, граничната точка за доменот на дефинирање на функцијата, е вредноста кон која вредноста на предметната функција се стреми додека нејзиниот аргумент се стреми кон дадена точка. Не е невообичаено, па дури и би рекле многу често, студентите да имаат прашање за решавање на границите преку Интернет кога студираат математичка анализа. Кога се прашувате за решавање на граница преку Интернет со детално решение само во посебни случаи, станува јасно дека не можете да се справите со сложен проблем без да користите калкулатор за ограничување. Решавањето на границите со нашата услуга е гаранција за точност и едноставност Границата на функцијата е генерализација на концептот на граница на низа: првично, границата на функцијата во точка беше сфатена како граница на низа од секвенца. елементи од доменот на вредностите на функцијата, составени од слики на точки од низа елементи од доменот на дефиниција на функција што се приближуваат до дадена точка (граница на која се разгледува); ако постои таква граница, тогаш се вели дека функцијата конвергира до одредената вредност; ако таква граница не постои, тогаш се вели дека функцијата се разминува. Решавањето на ограничувањата преку Интернет станува лесен одговор за корисниците под услов да знаат како да го решат ограничувањето преку Интернет користејќи ја веб-локацијата. Да останеме фокусирани и да не дозволиме грешките да ни прават проблеми во форма на незадоволителни оценки. Како и секое решение за ограничувања на интернет, така и вашиот проблем ќе биде претставен во удобна и разбирлива форма, со детално решение, во согласност со сите правила и прописи за добивање решение. Најчесто, дефиницијата на границата на функцијата се формулира на јазикот на населбите. Овде, границите на функцијата се разгледуваат само во точките што се ограничувачки за доменот на дефинирање на функцијата, што значи дека во секое соседство на дадена точка има точки од доменот на дефиниција на оваа функција. Ова ни овозможува да зборуваме за тенденцијата на аргументот на функцијата кон дадена точка. Но, граничната точка на доменот на дефиниција не мора да припаѓа на самиот домен на дефиниција, а тоа се докажува со решавање на границата: на пример, може да се разгледа границата на функцијата на краевите на отворениот интервал на кој функцијата е дефинирана. Во овој случај, самите граници на интервалот не се вклучени во доменот на дефиниција. Во оваа смисла, систем на пробиени соседства на дадена точка е посебен случај на таква база на множества. Решавањето на ограничувањата преку Интернет со детално решение се врши во реално време и со користење на формули во експлицитно одредена форма. Ако во одреден момент во доменот на дефиниција на функција постои граница и решението на оваа граница е еднакво на вредноста на функцијата во оваа точка, тогаш функцијата излегува дека е континуирана во таква точка. На нашата веб-страница, решението за ограничувањата е достапно онлајн дваесет и четири часа на ден, секој ден и секоја минута Користењето на калкулаторот за ограничување е многу важно и главната работа е да го користите секој пат кога ќе треба да го тестирате вашето знаење. Учениците очигледно имаат корист од целата оваа функционалност. Пресметувањето на границата со користење и примена само на теорија нема секогаш да биде толку едноставно, како што велат искусни студенти на математичките катедри на универзитетите во земјава. Фактот останува факт ако има цел. Вообичаено, пронајденото решение за границите не е локално применливо за формулација на проблемот. Студентот ќе се израдува штом ќе открие калкулатор за лимит на интернет на интернет и слободно достапен, и тоа не само за себе, туку за сите. Целта треба да се смета како математика, во нејзиното општо разбирање. Ако прашате на Интернет како детално да го пронајдете лимитот онлајн, тогаш масата на страници што се појавуваат како резултат на барањето нема да помогнат како што ние ќе помогнеме. Разликата меѓу страните се множи со еквивалентноста на инцидентот. Оригиналната легитимна граница на функцијата мора да се определи со формулацијата на самиот математички проблем. Хамилтон беше во право, но вреди да се разгледаат изјавите на неговите современици. Пресметувањето на лимитите онлајн во никој случај не е толку тешка задача како што некому може да изгледа на прв поглед... За да не се разбие вистината на непоколебливите теории. Враќајќи се на почетната ситуација, неопходно е да се пресмета границата брзо, ефикасно и во уредно форматирана форма. Дали би било можно поинаку? Овој пристап е очигледен и оправдан. Калкулаторот за лимит е создаден за да го зголеми знаењето, да го подобри квалитетот на пишувањето на домашните задачи и да го подигне општото расположение кај учениците, така што ќе биде во право за нив. Треба само да размислите што е можно побрзо и умот ќе триумфира. Експлицитно да се зборува за границите на термините за интерполација преку Интернет е многу софистицирана активност за професионалците во нивниот занает. Го предвидуваме односот на системот на непланирани разлики во точките во просторот. И повторно, проблемот се сведува на несигурност, врз основа на фактот дека границата на функцијата постои во бесконечност и во одредено соседство на локална точка на дадена x-оска по афина трансформација на почетниот израз. Ќе биде полесно да се анализира искачувањето на точките на рамнината и на врвот на вселената. Во општата состојба на работите, не е кажано за изведување на математичка формула, и во реалноста и во теоријата, така што онлајн калкулаторот за лимит се користи за намената во оваа смисла. Без дефинирање на границата на интернет, ми е тешко да извршам понатамошни пресметки во областа на проучувањето на криволинеарниот простор. Не би било полесно да се најде вистинскиот точен одговор. Дали е невозможно да се пресмета граница ако дадена точка во просторот е однапред неизвесна? Да го побиеме постоењето на одговори надвор од областа на проучување. Решавањето на границите може да се дискутира од гледна точка на математичката анализа како почеток на проучувањето на низата точки на оската. Самиот факт на пресметување може да биде несоодветен. Броевите се претставени како бесконечна низа и се идентификуваат со почетната нотација откако детално ќе ја решиме границата на интернет според теоријата. Оправдано во корист на најдобрата вредност. Резултатот од ограничувањето на функцијата, како очигледна грешка во неправилно формулиран проблем, може да ја наруши идејата за вистинскиот механички процес на нестабилен систем. Способност да се изрази значење директно во областа за гледање. Со поврзување на онлајн ограничување со слична ознака на еднострана гранична вредност, подобро е да се избегне нејзиното експлицитно изразување користејќи формули за намалување. Покрај отпочнувањето на пропорционалното извршување на задачата. Ќе го прошириме полиномот откако ќе ја пресметаме едностраната граница и ќе ја запишеме на бесконечност. Едноставните мисли водат до вистински резултат во математичката анализа. Едноставното решение на границите често се сведува на различен степен на еднаквост на извршените спротивставени математички илустрации. Линиите и броевите на Фибоначи го дешифрираа калкулаторот за лимит преку Интернет, во зависност од тоа, можете да нарачате неограничена пресметка и можеби сложеноста ќе се повлече во позадина. Во тек е процесот на расплетување на графикот на рамнина во парче тродимензионален простор. Ова ја всади потребата за различни гледишта за комплексен математички проблем. Сепак, резултатот нема долго да дојде. Сепак, тековниот процес на реализација на растечкиот производ го искривува просторот на линиите и го запишува лимитот онлајн за да се запознаете со формулацијата на проблемот. Природноста на процесот на акумулирање проблеми ја одредува потребата за познавање на сите области од математичките дисциплини. Одличниот калкулатор за ограничувања ќе стане неопходна алатка во рацете на квалификуваните студенти и тие ќе ги ценат сите негови предности во однос на аналозите на дигиталниот напредок. Во училиштата, поради некоја причина, онлајн ограничувањата се нарекуваат поинаку отколку во институтите. Вредноста на функцијата ќе се зголеми кога ќе се промени аргументот. L'Hopital исто така рече дека наоѓањето на границата на функцијата е само половина од битката што треба да го доведете проблемот до неговиот логичен заклучок и да го претставите одговорот во проширена форма. Реалноста е адекватна на присуството на факти во случајот. Ограничувањето на интернет е поврзано со историски важни аспекти на математичките дисциплини и ја формира основата за проучување на теоријата на броеви. Кодирањето на страницата во математички формули е достапна на јазикот на клиентот во прелистувачот. Како да се пресмета границата користејќи прифатлив правен метод, без присилување на функцијата да се менува во насока на оската x. Општо земено, реалноста на просторот не зависи само од конвексноста на функцијата или нејзината конкавност. Елиминирајте ги сите непознати од проблемот и решавањето на границите ќе резултира со најмалку трошење на вашите достапни математички ресурси. Решавањето на наведениот проблем ќе ја исправи функционалноста сто проценти. Добиеното математичко очекување детално ќе ја открие границата на интернет во врска со отстапувањето од најмалиот значаен посебен сооднос. Поминаа три дена откако беше донесена математичката одлука во корист на науката. Ова е навистина корисна активност. Без причина, отсуството на онлајн ограничување ќе значи дивергенција во севкупниот пристап за решавање на ситуационите проблеми. Во иднина ќе се бара подобро име за едностраната граница со 0/0 неизвесност. Ресурсот може да биде не само убав и добар, туку и корисен кога може да ја пресмета границата за вас. Големиот научник уште како студент истражувал функции за пишување научен труд. Поминаа десет години. Пред разни нијанси, вреди недвосмислено да се коментира математичкото очекување во корист на фактот дека границата на функцијата ја позајмува дивергенцијата на начелата. Тие одговорија на нарачаната тест работа. Во математиката, исклучителна позиција во наставата зазема, чудно е доволно, проучувањето на онлајн ограничувањата со меѓусебно исклучувачки односи со трета страна. Како што се случува во обични случаи. Не треба ништо да репродуцирате. Откако ги анализиравме пристапите на учениците кон математичките теории, решението на границите темелно ќе го оставиме на последната фаза. Ова е значењето на следново, испитајте го текстот. Рефракцијата единствено го одредува математичкиот израз како суштина на добиената информација. онлајн лимитот е суштината на одредувањето на вистинската позиција на математичкиот систем на релативност на повеќенасочните вектори. Во оваа смисла, мислам да го изразам моето мислење. Како и во претходната задача. Карактеристичната онлајн граница го проширува своето влијание во детали на математичкиот поглед на секвенцијалното проучување на програмската анализа во полето на студирање. Во контекст на теоријата, математиката е нешто повисоко од само наука. Лојалноста се покажува со постапки. Останува невозможно намерно да се прекине синџирот на последователни броеви што го започнуваат нивното движење нагоре ако границата е погрешно пресметана. Двостраната површина е изразена во својата природна форма во целосна големина. Способноста да се истражува математичката анализа ја ограничува границата на функцијата на низа од функционални серии како ипсилонско соседство во дадена точка. За разлика од теоријата на функции, грешките во пресметките не се исклучени, но тоа е предвидено со ситуацијата. Поделбата по граница онлајн проблем може да се напише со функција на променлива дивергенција за брз производ на нелинеарен систем во тродимензионален простор. Тривијален случај е основата на работењето. Не мора да си студент за да го анализираш овој случај. Севкупноста на моментите на тековната пресметка, првично решението на границите се одредува како функционирање на целиот интегрален систем на напредок по должината на ординатна оска на повеќе вредности на броеви. Како основна вредност ја земаме најмалата можна математичка вредност. Заклучокот е очигледен. Растојанието помеѓу авионите ќе помогне да се прошири теоријата за онлајн граници, бидејќи употребата на методот на дивергентно пресметување на субполарниот аспект на значење не носи никакво својствено значење. Одличен избор, ако лимитниот калкулатор се наоѓа на серверот, ова може да се земе како што е без да се наруши значењето на промената на површината во областите, инаку проблемот со линеарноста ќе стане поголем. Комплетната математичка анализа ја откри нестабилноста на системот заедно со неговиот опис во регионот на најмалото соседство на точката. Како и секоја граница на функцијата долж оската на пресек на ординати и апсциси, можно е да се заградат нумеричките вредности на објектите во некое минимално соседство според распределбата на функционалноста на истражувачкиот процес. Ајде да ја запишеме задачата точка по точка. Постои поделба на фази на пишување. Академските изјави дека пресметувањето на границата е навистина тешко или воопшто не е лесно се поткрепени со анализа на математичките ставови на сите студенти на додипломски и постдипломски студии без исклучок. Можните средни резултати нема да чекаат долго да дојдат. Горенаведената граница детално се изучува на интернет на апсолутниот минимум на системската разлика на објектите над кои е искривена линеарноста на просторот на математиката. Сегментацијата со поголема површина на областа не се користи од учениците за пресметување на повеќекратно несогласување по снимањето на онлајн калкулаторот за лимит за одземање. По почетокот ќе им забраниме на учениците да ревидираат проблеми за изучување на просторната средина по математика. Бидејќи веќе ја најдовме границата на функцијата, ајде да изградиме график на нејзината студија на рамнината. Да ги истакнеме оските на ординатите со посебна боја и да ја покажеме насоката на линиите. Постои стабилност. Неизвесноста е присутна подолго време при пишувањето на одговорот. Пресметајте ја границата на функцијата во точка едноставно со анализа на разликата помеѓу границите во бесконечност под почетните услови. Овој метод не е познат на секој корисник. Ни треба математичка анализа. Решавањето на границите акумулира искуство во главите на генерациите за многу години што доаѓаат. Невозможно е да не се комплицира процесот. За неговиот заклучок одговорни се учениците од сите генерации. Сето горенаведено може да почне да се менува во отсуство на фиксирачки аргумент за позицијата на функциите околу одредена точка која заостанува зад граничните калкулатори во однос на разликата во пресметковната моќност. Дозволете ни да ја испитаме функцијата за да го добиеме добиениот одговор. Заклучокот не е очигледен. Откако ги исклучивме имплицитните функции од вкупниот број по трансформацијата на математичките изрази, останува последниот чекор да ги пронајдете границите онлајн правилно и со голема точност. Прифатливоста на издаденото решение е предмет на проверка. Процесот продолжува. Лоцирање на низата изолирано од функциите и користејќи го нивното огромно искуство, математичарите мора да ја пресметаат границата за да ја оправдаат правилната насока во истражувањето. За таков резултат не е потребно теоретско засилување. Променете го соодносот на броевите во одредено соседство на ненулта точка на оската x кон онлајн граничниот калкулатор променлив просторен агол на наклон под пишаниот проблем во математиката. Дозволете ни да поврземе два региони во вселената. Несогласувањето меѓу решавачите за тоа како границата на функцијата ги стекнува својствата на едностраните вредности во просторот не може да помине незабележано од засилените надгледувани перформанси на учениците. Насоката во математичката онлајн граница зазеде една од најмалку оспоруваните позиции во однос на несигурноста во пресметките на токму овие граници. Онлајн калкулатор за ограничување за висината на рамнокрак триаголници и коцки со страна од три радиуси на круг ќе му помогне на ученикот да научи напамет во рана фаза на науката. Да оставиме на совеста на учениците да ги реши границите во проучувањето на функционалниот математички ослабен систем од страната на истражувачката рамнина. Ставот на студентот за теоријата на броеви е двосмислен. Секој има свое мислење. Вистинската насока во изучувањето на математиката ќе помогне да се пресмета лимитот во вистинска смисла, како што е случајот со универзитетите во напредните земји. Котангенсот во математиката се пресметува како граничен калкулатор и е однос на две други елементарни тригонометриски функции, имено косинус и синус на аргументот. Ова е решение за преполовување на сегментите. Поинаков пристап веројатно нема да ја реши ситуацијата во корист на изминатиот момент. Можеме долго да зборуваме за тоа како е многу тешко и бескорисно детално да се реши лимитот на интернет без разбирање, меѓутоа, овој пристап има тенденција да ја зголеми внатрешната дисциплина на учениците на подобро.

При пресметување на границите, треба да се има предвид следните основни правила:

1. Границата на збирот (разликата) на функциите е еднаква на збирот (разликата) на границите на поимите:

2. Границата на производ од функции е еднаква на производот на границите на факторите:

3. Границата на односот на две функции е еднаква на односот на границите на овие функции:

4. Константниот фактор може да се земе надвор од граничниот знак:

5. Границата на константата е еднаква на самата константа:

6. За континуирани функции, симболите за ограничување и функција може да се заменат:

Наоѓањето на границата на функцијата треба да започне со замена на вредноста во изразот за функцијата. Покрај тоа, ако се добие нумеричката вредност 0 или ¥, тогаш е пронајдена саканата граница.

Пример 2.1.Пресметајте ја границата.

Решение.

Изразите на формата , , , , , се нарекуваат неизвесности.

Ако добиете несигурност на формата, тогаш за да ја пронајдете границата треба да ја трансформирате функцијата за да ја откриете оваа несигурност.

Несигурноста на формата обично се добива кога е дадена границата на односот на два полиноми. Во овој случај, за пресметување на границата, се препорачува да се множат полиномите и да се намалат со заеднички фактор. Овој множител е нула на граничната вредност X .

Пример 2.2.Пресметајте ја границата.

Решение.

Заменувајќи го , добиваме неизвесност:

Да ги факторизираме броителот и именителот:

;

Да намалиме за заеднички фактор и да добиеме

Несигурност на формата се добива кога границата на односот на два полиноми е дадена на . Во овој случај, за да се пресмета, се препорачува двата полиноми да се поделат со X во виша диплома.

Пример 2.3.Пресметајте ја границата.

Решение.При замена на ∞, добиваме несигурност на формата , па сите членови на изразот ги делиме со x 3.

Овде се зема предвид дека .

При пресметување на границите на функцијата што содржи корени, се препорачува да се множи и подели функцијата со нејзиниот конјугат.

Пример 2.4.Пресметајте го лимитот

Решение.

При пресметување на границите за да се открие несигурноста на формата или (1) ∞, често се користат првата и втората извонредна граница:

Многу проблеми поврзани со континуираниот раст на одредена количина доведуваат до втората извонредна граница.

Да го разгледаме примерот на Ya I. Perelman, давајќи толкување на бројот дво проблемот со сложената камата. Во штедилниците, парите од камати се додаваат на основниот капитал годишно. Ако пристапувањето се прави почесто, тогаш капиталот расте побрзо, бидејќи поголема сума е вклучена во формирањето на каматата. Да земеме чисто теоретски, многу поедноставен пример.

Нека се депонираат 100 деманти во банка. единици врз основа на 100% годишно. Ако парите од камати се додадат на основниот капитал дури по една година, тогаш до овој период 100 ден. единици ќе се претвори во 200 парични единици.

Сега да видиме во што ќе се претворат 100 дени. единици, доколку парите од камата се додаваат на основниот капитал на секои шест месеци. По шест месеци 100 ден. единици ќе порасне за 100 × 1,5 = 150, а по уште шест месеци - за 150 × 1,5 = 225 (ден. единици). Ако пристапувањето се прави на 1/3 од годината, тогаш после една година 100 ден. единици ќе се претвори во 100 × (1 +1/3) 3 "237 (ден. единици).

Условите за додавање каматни пари ќе ги зголемиме на 0,1 година, на 0,01 година, на 0,001 година итн. Потоа од 100 ден. единици после една година ќе биде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. единици),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. единици),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. единици).

Со неограничено намалување на условите за додавање камата, акумулираниот капитал не расте на неодредено време, туку се приближува до одредена граница еднаква на приближно 271. Капиталот депониран на 100% годишно не може да се зголеми за повеќе од 2,71 пати, дури и ако пресметаната камата беа додавани на главниот град на само една секунда бидејќи

Пример 2.5.Пресметајте ја границата на функцијата

Решение.

Пример 2.6.Пресметајте ја границата на функцијата .

Решение.Заменувајќи ја добиваме неизвесноста:

Користејќи ја тригонометриската формула, го трансформираме броителот во производ:

Како резултат добиваме

Овде се зема предвид втората извонредна граница.

Пример 2.7.Пресметајте ја границата на функцијата

Решение.

За да ја откриете несигурноста на формата или, можете да го користите правилото на L'Hopital, кое се заснова на следнава теорема.

Теорема.Границата на односот на две бесконечно мали или бесконечно големи функции е еднаква на границата на односот на нивните деривати

Забележете дека ова правило може да се примени неколку пати по ред.

Пример 2.8.Најдете

Решение.При замена имаме неизвесност на формата . Применувајќи го правилото на L'Hopital, добиваме

Континуитет на функцијата

Важно својство на функцијата е континуитетот.

Дефиниција.Се разгледува функцијата континуирано, ако мала промена во вредноста на аргументот повлекува мала промена во вредноста на функцијата.

Математички ова се пишува вака: кога

Под и се подразбира зголемувањето на променливите, односно разликата помеѓу последователните и претходните вредности: , (Слика 2.3)

Слика 2.3 – Зголемување на променливите

Од дефиницијата на функцијата континуирана во точката произлегува дека . Оваа еднаквост значи дека се исполнети три услови:

Решение.За функцијата поентата е сомнителна за дисконтинуитет, да го провериме ова и да најдеме еднострани граници

Оттука, , значи - точка на прекин

Извод на функција