Докажувајќи ги својствата на границата на функцијата, се уверивме дека од пробиените населби во кои беа дефинирани нашите функции и кои произлегоа во процесот на докажување, покрај својствата наведени во воведот на претходната точка 2, навистина ништо не беше потребно. Оваа околност служи како оправдување за идентификување на следниот математички објект.

А. База; дефиниција и основни примери

Дефиниција 11. Збирката Б од подмножества од множеството X ќе се нарече основа во множеството X ако се исполнети два услови:

Со други зборови, елементите од збирката Б се непразни множества, а пресекот на кои било две од нив содржи некој елемент од истата збирка.

Дозволете ни да наведеме некои од најчесто користените основи во анализата.

Ако тогаш наместо тоа напишат и кажат дека x се стреми кон a од десно или од страна големи вредности(соодветно, лево или од страна на помали вредности). Кога наместо тоа ќе се прифати краток запис

Записот ќе се користи наместо She значи дека a; се стреми над множеството E кон a, останувајќи поголемо (помало) од a.

тогаш наместо тоа тие пишуваат и велат дека x се стреми кон плус бесконечност (соодветно, до минус бесконечност).

Наместо тоа, ќе се користи записот

Кога наместо (ако тоа не доведе до недоразбирање) ќе напишеме, како што е вообичаено во теоријата на границата на низата

Забележете дека сите наведени основи имаат особеност што пресекот на кои било два елементи од основата е само по себе елемент на оваа основа, а не само што содржи некој елемент од основата. Ќе наидеме на други основи при проучување на функции кои не се наведени на бројната оска.

Забележете исто така дека терминот „база“ што се користи овде е кратка ознакаона што во математиката се нарекува „основа на филтерот“, а основната граница воведена подолу е најсуштинскиот дел за анализа на концептот на граница на филтри создаден од современиот француски математичар А. Картан

б. Ограничување на функцијата по основа

Дефиниција 12. Нека е функција од множеството X; B е основа во X. Бројот се нарекува граница на функцијата во однос на основата B ако за кое било соседство на точката A постои елемент од основата чија слика е содржана во соседството

Ако A е граница на функцијата во однос на основата B, тогаш запишете

Да ја повториме дефиницијата на границата по основа во логичката симболика:

Бидејќи сега ги разгледуваме функциите со нумерички вредности, корисно е да се има на ум следната формаоваа основна дефиниција:

Во оваа формулација, наместо произволно соседство V (A), се зема симетрично (во однос на точката А) соседство (е-соседство). Еквивалентноста на овие дефиниции за функции со реална вредност произлегува од фактот дека, како што веќе беше споменато, секое соседство на точка содржи некое симетрично соседство на истата точка (доказот изведете го во целост!).

Дадовме општа дефиниција за границата на функцијата над базата. Погоре разговаравме за примери на најчесто користените бази на податоци во анализата. ВО специфична задача, каде што се појавува една или друга од овие основи, мора да можете да ја дешифрирате општата дефиниција и да ја запишете за одредена база.

Со оглед на примери на бази, ние, особено, го воведовме концептот на соседство на бесконечност. Ако го користиме овој концепт, тогаш во согласност со општа дефиницијаРазумно е да се прифатат следниве договори:

или, што е истото,

Обично мислиме на мала вредност. Ова, се разбира, не е случај во горните дефиниции. Во согласност со прифатените конвенции, на пример, можеме да пишуваме

За да се смета за докажано во општ случајграница на произволна основа, сите оние теореми за граници што ги докажавме во став 2 за посебна основа, потребно е да се дадат соодветните дефиниции: конечно константна, конечно ограничена и бесконечно мала за дадена основа на функции.

Дефиниција 13. Се вели дека функцијата е конечно константна со основата B ако постои број и елемент од основата така што во која било точка

Во моментов, главната придобивка од направеното набљудување и концептот на основа воведен во врска со тоа е тоа што нè спасуваат од проверки и формални докази за граничните теореми за секој специфичен тип на гранични премини или, според нашата сегашна терминологија, за секој специфичен тип бази

Со цел конечно да се запознаеме со концептот на граница над произволна основа, ќе спроведеме докажувања за понатамошни својства на границата на функцијата во општа форма.

Размислете за функцијата %%f(x)%% дефинирана барем во некое продупчено соседство %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% од точката %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% продолжена бројна линија.

Концептот на граница на Коши

Се повикува бројот %%A \in \mathbb(R)%% граница на функцијата%%f(x)%% во точката %%a \in \mathbb(R)%% (или во %%x%% со тенденција на %%a \in \mathbb(R)%%), ако, што без разлика на се позитивен број%%\varepsilon%%, има позитивен број %%\delta%% таков што за сите точки на пробиената %%\delta%% соседството на точката %%a%% вредностите на функцијата припаѓаат на % %\varepsilon%% соседството на точката %%A%%, или

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftright arrow \forall\varepsilon > 0 ~\ exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\делта(а) \Десна стрелка f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Оваа дефиниција се нарекува %%\varepsilon%% и %%\delta%% дефиниција, предложена од францускиот математичар Аугустин Коши и се користи со почетокот на XIXвек до денес, бидејќи ја има потребната математичка строгост и точност.

Комбинирање на различни соседства на точката %%a%% од формата %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ текст(U) _\делта (-\infty), \text(U)_\делта (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (а) %% со околина %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, добиваме 24 дефиниции за границата на Коши.

Геометриско значење

Геометриско значењеограничување на функцијата

Дозволете ни да дознаеме кое е геометриското значење на границата на функцијата во точка. Ајде да изградиме график на функцијата %%y = f(x)%% и на него да ги означиме точките %%x = a%% и %%y = A%%.

Границата на функцијата %%y = f(x)%% во точката %%x \до a%% постои и е еднаква на A ако за кое било %%\varepsilon%% соседство на точката %%A%% може да се определи такво %%\ delta%%-соседство на точката %%a%%, така што за кое било %%x%% од оваа %%\delta%%-соседство вредноста %%f(x)% % ќе биде во %%\varepsilon%%-соседските точки %%A%%.

Забележете дека според дефиницијата на границата на функцијата според Коши, за постоење на граница на %%x \до a%%, не е важно која вредност зема функцијата во точката %%a%%. Може да се дадат примери каде функцијата не е дефинирана кога %%x = a%% или зема вредност различна од %%A%%. Сепак, границата може да биде %%A%%.

Определување на границата на Хајне

Елементот %%A \in \overline(\mathbb(R))%% се нарекува граница на функцијата %%f(x)%% на %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ако за која било низа %%\(x_n\) \до a%% од доменот на дефиниција, низата од соодветните вредности %%\big\(f(x_n)\big\)% % се стреми кон %%A%%.

Дефиницијата на граница според Хајне е погодна за употреба кога се појавуваат сомнежи за постоење на граница на функција во дадена точка. Ако е можно да се конструира барем една низа %%\(x_n\)%% со ограничување во точката %%a%% така што низата %%\big\(f(x_n)\big\)%% нема ограничување, тогаш можеме да заклучиме дека функцијата %%f(x)%% нема ограничување во овој момент. Ако за двајца различнисеквенците %%\(x"_n\)%% и %%\(x""_n\)%% кои имаат истоограничување %%a%%, секвенците %%\big\(f(x"_n)\big\)%% и %%\big\(f(x""_n)\big\)%% имаат различниграници, тогаш во овој случај исто така нема ограничување на функцијата %%f(x)%%.

Пример

Нека %%f(x) = \sin(1/x)%%. Ајде да провериме дали границата на оваа функција постои во точката %%a = 0%%.

Дозволете ни прво да избереме секвенца $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\десно\) што се спојува до оваа точка. $$

Јасно е дека %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% и %%\lim (x_n) = 0%%. Тогаш %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\десно)) \equiv 0%% и %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Потоа земете низа што се конвергира во истата точка $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \десно\), $$

за кои %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% и %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%.Слично за низата $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \десно\), $$

исто така конвергирање на точката %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Сите три секвенци дадоа различни резултати, што е во спротивност со условот за дефиниција на Хајне, т.е. оваа функцијанема ограничување во точката %%x = 0%%.

Теорема

Дефинициите на Коши и Хајн за лимитот се еквивалентни.

Нека функцијата y = ƒ (x) е дефинирана во некое соседство на точката x o, освен, можеби, самата точка x o.

Да формулираме две еквивалентни дефиниции за граница на функција во точка.

Дефиниција 1 (на „јазикот на секвенците“ или според Хајне).

Бројот A се нарекува граница на функцијата y=ƒ(x) во печката x 0 (или на x® x o), ако за која било низа прифатливи вредностиаргументи x n, n є N (x n ¹ x 0), конвергирање на x, низата од соодветните вредности на функцијата ƒ(x n), n є N, конвергира до бројот A

Во овој случај тие пишуваат
или ƒ(x)->A на x→x o. Геометриското значење на границата на функцијата: значи дека за сите точки x кои се доволно блиску до точката xo, соодветните вредности на функцијата се разликуваат колку што сакате од бројот А.

Дефиниција 2 (на „јазикот на ε“, или според Коши).

Бројот A се нарекува граница на функцијата во точка x o (или во x→x o) ако за кој било позитивен ε има позитивен број δ таков што за сите x¹ x o што ја задоволуваат неравенката |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометриско значење на границата на функцијата:

ако за кое било ε-соседство на точката A постои δ-соседство на точката x o така што за сите x1 xo од оваа δ-соседство соодветните вредности на функцијата ƒ(x) лежат во ε-соседството на точка A. Со други зборови, точките на графикот на функцијата y = ƒ(x) лежат во лента со ширина 2ε, ограничена со прави линии y=A+ ε, y=A-ε (види Сл. 110). Очигледно, вредноста на δ зависи од изборот на ε, па затоа пишуваме δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Докажете го тоа

Решение: Земете произволна ε>0, најдете δ=δ(ε)>0 така што за сите x кои ја задоволуваат неравенката |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Земајќи δ=ε/2, гледаме дека за сите x кои ја задоволуваат неравенката |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Еднострани граници

При дефинирањето на границата на функцијата, се смета дека x се стреми кон x 0 на кој било начин: останувајќи помалку од x 0 (лево од x 0), поголема од x o (десно од x o) или осцилира околу точка x 0.

Има случаи кога методот на приближување на аргументот x до x o значително влијае на вредноста на функционалната граница. Затоа, се воведуваат концепти на еднострани граници.

Бројот A 1 се нарекува граница на функцијата y=ƒ(x) лево во точката x o ако за кој било број ε>0 има број δ=δ(ε)> 0 таков што на x є (x 0 -δ;x o), неравенката |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 или накратко: ƒ(x o- 0) = A 1 (забелешка Дирихле) (види Сл. 111).

Границата на функцијата од десната страна се одредува на сличен начин, ја пишуваме со помош на симболи:

Накратко, границата од десната страна се означува со ƒ(x o +0)=A.

Левата и десната граница на функцијата се нарекуваат еднострани граници. Очигледно, ако постои, тогаш постојат и еднострани граници, и A = A 1 = A 2.

И обратното е точно: ако двете граници ƒ(x 0 -0) и ƒ(x 0 +0) постојат и тие се еднакви, тогаш постои граница и A = ƒ(x 0 -0).

Ако A 1 ¹ A 2, тогаш оваа капела не постои.

16.3. Граница на функцијата на x ® ∞

Нека функцијата y=ƒ(x) е дефинирана во интервалот (-∞;∞). Се нарекува бројот А граница на функцијатаƒ(x) на x→ ∞ , ако за кој било позитивен број ε постои број M=M()>0 таков што за сите x кои ја задоволуваат неравенката |x|>M неравенката |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометриското значење на оваа дефиниција е следново: за " ε>0 $ M>0, дека за x є(-∞; -M) или x є(M; +∞) соодветните вредности на функцијата ƒ( x) спаѓаат во ε-соседството на точката A, односно точките на графикот лежат во лента со ширина 2ε, ограничена со правите линии y=A+ε и y=A-ε (види Сл. 112) .

16.4. Бесконечно голема функција (b.b.f.)

Функцијата y=ƒ(x) се нарекува бесконечно голема за x→x 0 ако за кој било број M>0 има број δ=δ(M)>0, кој за сите x кои ја задоволуваат неравенката 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

На пример, функцијата y=1/(x-2) е b.b.f. за x->2.

Ако ƒ(x) се стреми кон бесконечност како x→x o и зема само позитивни вредности, тогаш тие пишуваат

ако само негативни вредности, тогаш

Функцијата y=ƒ(x), дефинирана на целата бројна права, наречен бескрајно големкако x→∞, ако за кој било број M>0 постои број N=N(M)>0 таков што за сите x кои ја задоволуваат неравенката |x|>N, важи неравенката |ƒ(x)|>M. Кратко:

На пример, y=2x има b.b.f. како x→∞.

Забележете дека ако аргументот x, со тенденција кон бесконечност, зема само природни вредности, т.е. xєN, тогаш соодветниот b.b.f. станува бескрајно голема низа. На пример, низата v n =n 2 +1, n є N, е бесконечно голема низа. Очигледно, секој б.б.ф. во соседство на точка x o е неограничена во оваа населба. Обратно не е точно: неограничената функција може да не е b.b.f. (На пример, y=xsinx.)

Меѓутоа, ако limƒ(x)=A за x→x 0, каде што A е конечен број, тогаш функцијата ƒ(x) е ограничена во близина на точката x o.

Навистина, од дефиницијата на границата на функцијата произлегува дека како x→ x 0 условот |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Овој онлајн математички калкулатор ќе ви помогне доколку ви треба пресметај ја границата на функцијата. Програма ограничувања на растворотне само што го дава одговорот на проблемот, туку и води детално решение со објаснувања, т.е. го прикажува процесот на пресметување на лимитот.

Оваа програма може да биде корисна за средношколците во општообразовните училишта кога се подготвуваат за тестови и испити, кога го тестираат знаењето пред обединетиот државен испит и за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да ја завршите домашната задача по математика или алгебра што е можно побрзо? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин, можете да спроведете сопствена обука и/или обука на вашите помлади браќа или сестри, додека нивото на образование во областа на решавање проблеми се зголемува.

Внесете израз на функција

Пресметајте го лимитот

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

JavaScript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Граница на функцијата на x->x 0

Нека функцијата f(x) е дефинирана на некое множество X и нека точката \(x_0 \во X\) или \(x_0 \не X\)

Да земеме од X низа точки различна од x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
конвергирање на x*. Вредностите на функциите во точките од оваа низа, исто така, формираат нумеричка низа
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и може да се постави прашањето за постоењето на неговата граница.

Дефиниција. Бројот A се нарекува граница на функцијата f(x) во точката x = x 0 (или во x -> x 0), ако за која било низа (1) вредности на аргументот x се разликува од x 0 конвергирање на x 0, соодветната низа (2) од функцијата вредности конвергира до бројот А.

$$ \lim_(x\до x_0)( f(x)) = A $$

Функцијата f(x) може да има само една граница во точката x 0. Ова произлегува од фактот дека низата
(f(x n)) има само една граница.

Постои уште една дефиниција за лимитот на функцијата.

ДефиницијаБројот A се нарекува граница на функцијата f(x) во точката x = x 0 ако за кој било број \(\varepsilon > 0\) постои број \(\delta > 0\) таков што за сите \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), задоволувајќи ја нееднаквоста \(|x-x_0| Користејќи логички симболи, оваа дефиниција може да се запише како
\((\forall \varepsilon > 0) (\ exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Забележете дека неравенките \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta \)”.
Овие две дефиниции за лимитот на функцијата се еквивалентни и можете да користите која било од нив во зависност од тоа која е попогодна за решавање на одреден проблем.

Забележете дека дефиницијата на границата на функцијата „на јазикот на низите“ се нарекува и дефиниција на границата на функцијата според Хајне, а дефиницијата на границата на функцијата „на јазикот \(\varepsilon - \delta \)“ се нарекува и дефиниција на граница на функција според Коши.

Граница на функцијата на x->x 0 - и на x->x 0 +

Во продолжение, ќе ги користиме концептите на еднострани граници на функцијата, кои се дефинирани на следниов начин.

ДефиницијаБројот A се нарекува десна (лева) граница на функцијата f(x) во точката x 0 ако за која било низа (1) која се конвергира на x 0, чии елементи x n се поголеми (помали од) x 0, соодветната низа (2) конвергира во А.

Симболично е напишано вака:
$$ \lim_(x \до x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \до x_0-) f(x) = A \десно) $$

Можеме да дадеме еквивалентна дефиниција за едностраните граници на функцијата „во јазикот \(\varepsilon - \delta \)“:

Дефиницијабројот A се нарекува десна (лева) граница на функцијата f(x) во точката x 0 ако за кој било \(\varepsilon > 0\) постои \(\delta > 0\) така што за сите x задоволува неравенките \(x_0 Симболични записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\ exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Во оваа статија ќе ви кажеме која е границата на функцијата. Прво, да ги објасниме општите точки кои се многу важни за разбирање на суштината на овој феномен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепт за ограничување

Во математиката, концептот на бесконечност, означен со симболот ∞, е фундаментално важен. Треба да се разбере како бесконечно голем + ∞ или бесконечно мал - ∞ број. Кога зборуваме за бесконечност, често ги мислиме и двете значења одеднаш, но ознаката на формата + ∞ или - ∞ не треба да се замени едноставно со ∞.

Границата на функцијата се запишува како lim x → x 0 f (x) . На дното го пишуваме главниот аргумент x, а со помош на стрелка покажуваме кон која вредност x0 ќе има тенденција. Ако вредноста x 0 е конкретен реален број, тогаш имаме работа со граница на функцијата во точка. Ако вредноста x 0 се стреми кон бесконечност (не е важно дали ∞, + ∞ или - ∞), тогаш треба да зборуваме за границата на функцијата во бесконечност.

Границата може да биде конечна или бесконечна. Ако е еднаков на конкретен реален број, т.е. lim x → x 0 f (x) = A, тогаш се нарекува конечна граница, но ако lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ или lim x → x 0 f (x) = - ∞ , потоа бесконечна.

Ако не можеме да одредиме ниту конечна ниту бесконечна вредност, тоа значи дека таква граница не постои. Пример за овој случај би бил границата на синус во бесконечност.

Во овој пасус ќе објасниме како да се најде вредноста на границата на функцијата во точка и во бесконечност. За да го направите ова, треба да воведеме основни дефиниции и да запомниме што се низите на броеви, како и нивната конвергенција и дивергенција.

Дефиниција 1

Бројот A е граница на функцијата f (x) како x → ∞ ако низата од неговите вредности се конвергира во A за која било бесконечно голема низа аргументи (негативни или позитивни).

Запишувањето на границата на функцијата изгледа вака: lim x → ∞ f (x) = A.

Дефиниција 2

Како x → ∞, границата на функцијата f(x) е бесконечна ако низата вредности за која било бесконечно голема низа аргументи е исто така бесконечно голема (позитивна или негативна).

Влезот изгледа како lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Пример 1

Докажете ја еднаквоста lim x → ∞ 1 x 2 = 0 користејќи ја основната дефиниција на границата за x → ∞.

Решение

Да почнеме со пишување низа вредности на функцијата 1 x 2 за бесконечно голема позитивна низа на вредности на аргументот x = 1, 2, 3, . . . , n , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Гледаме дека вредностите постепено ќе се намалуваат, со тенденција на 0. Погледнете на сликата:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Овде можеме да видиме и монотоно намалување кон нула, што ја потврдува валидноста на ова во условот за еднаквост:

Одговор:Се потврдува точноста на ова во условот за еднаквост.

Пример 2

Пресметај ја границата lim x → ∞ e 1 10 x .

Решение

Да почнеме, како и досега, со запишување низи од вредности f (x) = e 1 10 x за бесконечно голема позитивна низа аргументи. На пример, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Гледаме дека оваа низа е бесконечно позитивна, што значи f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Ајде да продолжиме со пишување на вредностите на бесконечно голема негативна низа, на пример, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

Бидејќи и тој се стреми кон нула, тогаш f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Решението на проблемот е јасно прикажано на илустрацијата. Сините точки означуваат низа од позитивни вредности, зелените точки означуваат низа од негативни вредности.

Одговор: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr и x → + ∞ 0 , pr и x → - ∞ .

Да преминеме на методот на пресметување на границата на функцијата во точка. За да го направите ова, треба да знаеме како правилно да дефинираме еднострана граница. Ова исто така ќе ни биде корисно за да ги најдеме вертикалните асимптоти на графикот на функцијата.

Дефиниција 3

Бројот B е граница на функцијата f (x) лево како x → a во случај кога низата од неговите вредности се конвергира до даден број за која било низа аргументи на функцијата x n што се конвергира во a, ако неговите вредности остануваат помали од a (x n< a).

Таквата граница во пишувањето се означува како lim x → a - 0 f (x) = B.

Сега да формулираме која е границата на функцијата десно.

Дефиниција 4

Бројот B е граница на функцијата f (x) десно како x → a во случај кога низата од неговите вредности се конвергира до даден број за која било низа аргументи на функцијата x n што се конвергира во a, ако неговите вредности остануваат поголеми од a (x n > a) .

Оваа граница ја пишуваме како lim x → a + 0 f (x) = B .

Границата на функцијата f (x) можеме да ја најдеме во одредена точка кога има еднакви граници на левата и десната страна, т.е. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B. Ако двете граници се бесконечни, границата на функцијата на почетната точка исто така ќе биде бесконечна.

Сега ќе ги разјасниме овие дефиниции со запишување на решението за одреден проблем.

Пример 3

Докажете дека постои конечна граница на функцијата f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 во точката x 0 = 2 и пресметајте ја нејзината вредност.

Решение

За да го решиме проблемот, треба да се потсетиме на дефиницијата на границата на функцијата во точка. Прво, да докажеме дека оригиналната функција има ограничување лево. Ајде да запишеме низа од вредности на функции што ќе се спојат до x 0 = 2 ако x n< 2:

f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8, 667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Бидејќи горната низа се намалува на - 2, можеме да напишеме дека lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Вредностите на функциите во оваа низа ќе изгледаат вака:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2.001,. . . → - 2

Оваа низа исто така конвергира на - 2, што значи lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Откривме дека границите на десната и левата страна на оваа функција ќе бидат еднакви, што значи дека границата на функцијата f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 во точката x 0 = 2 постои, и lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Напредокот на решението можете да го видите на илустрацијата (зелените точки се низа вредности кои се конвергираат до x n< 2 , синие – к x n > 2).

Одговор:Границите на десната и левата страна на оваа функција ќе бидат еднакви, што значи дека границата на функцијата постои, а lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

За подлабоко проучување на теоријата на граници, ве советуваме да ја прочитате статијата за континуитетот на функцијата во точка и главните типови на точки на дисконтинуитет.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter