Прво ниво

Степен и неговите својства. Сеопфатен водич (2019)

Зошто се потребни дипломи? Каде ќе ви требаат? Зошто треба да одвоите време да ги проучувате?

За да научите сè за дипломите, за што се тие, како да го користите вашето знаење во Секојдневниот животпрочитајте ја оваа статија.

И, се разбира, познавањето на дипломите ќе ве приближи до успехот поминување на OGEили обединет државен испит и прием на универзитетот од вашите соништа.

Ајде да одиме... (Ајде да одиме!)

Важна забелешка! Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. За да го направите ова, притиснете CTRL + F5 (на Windows) или Cmd + R (на Mac).

ПРВО НИВО

Експоненцијата е математичка операција исто како собирање, одземање, множење или делење.

Сега ќе објаснам сè човечки јазикмногу едноставни примери. Внимавај. Примерите се елементарни, но објаснуваат важни работи.

Да почнеме со додавање.

Тука нема што да се објаснува. Веќе знаете сè: ние сме осуммина. Секој има две шишиња кола. Колку кола има? Така е - 16 шишиња.

Сега множење.

Истиот пример со кола може да се напише поинаку: . Математичарите се лукави и мрзливи луѓе. Тие прво забележуваат некои шаблони, а потоа смислуваат начин да ги „набројат“ побрзо. Во нашиот случај, забележаа дека секој од осумте луѓе има ист број шишиња кола и смислија техника наречена множење. Се согласувам, се смета дека е полесно и побрзо отколку.

Значи, за да броите побрзо, полесно и без грешки, само треба да запомните табела за множење. Секако, сè можете побавно, потешко и со грешки! Но…

Еве ја табелата за множење. Повторете.

И уште една поубава:

Кои други паметни трикови за броење смислиле мрзливите математичари? Десно - подигање на број на моќ.

Подигнување на број до моќ

Ако треба да помножите број сам по себе пет пати, тогаш математичарите велат дека треба да го подигнете тој број на петти степен. На пример,. Математичарите паметат дека два до петта сила е ... И тие ги решаваат таквите проблеми во нивните глави - побрзо, полесно и без грешки.

Сè што треба да направите е запомнете што е означено во боја во табелата со моќи на броеви. Верувај ми, ова многу ќе ти го олесни животот.

Патем, зошто се вика втор степен? квадратбројки, а третиот - коцка? Што значи тоа? Многу добро прашање. Сега ќе имате и квадрати и коцки.

Пример број 1 од реалниот живот

Да почнеме со квадратот или втората моќност на бројот.

Замислете квадрат базен со димензии еден метар на еден метар. Базенот е на вашата дача. Топло е и навистина сакам да пливам. Но... базенот нема дно! Треба да го покриете дното на базенот со плочки. Колку плочки ви требаат? За да го одредите ова, треба да ја знаете долната површина на базенот.

Можете едноставно да пресметате со покажување на прстот дека дното на базенот се состои од метар по метар коцки. Ако имате плочки еден метар по еден метар, ќе ви требаат парчиња. Лесно е... Ама каде сте виделе вакви плочки? Плочката најверојатно ќе биде цм по см. А потоа ќе ве измачуваат „броејќи со прст“. Потоа треба да се множите. Така, на едната страна од дното на базенот ќе поставиме плочки (парчиња), а од другата, исто така, плочки. Помножете се со и добивате плочки ().

Дали забележавте дека за да ја одредиме површината на дното на базенот го помноживме истиот број сам по себе? Што значи тоа? Бидејќи го множиме истиот број, можеме да ја користиме техниката „експоненција“. (Се разбира, кога имате само два броја, сепак треба да ги помножите или да ги подигнете на јачина. Но, ако имате многу од нив, тогаш нивното подигање на јачина е многу полесно и исто така има помалку грешки во пресметките За Единствениот државен испит, ова е многу важно).
Значи, триесет до втората моќ ќе биде (). Или можеме да кажеме дека ќе биде триесет квадрат. Со други зборови, вториот степен на број секогаш може да се претстави како квадрат. И обратно, ако видите квадрат, тој СЕКОГАШ е втор степен на некој број. Квадрат е слика на вториот степен на број.

Пример број 2 од реалниот живот

Еве една задача за вас: избројте колку квадрати има на шаховската табла користејќи го квадратот на бројот... На едната страна од ќелиите и на другата страна исто така. За да го пресметате нивниот број, треба да помножите осум со осум или... ако забележите дека шаховска табла е квадрат со страна, тогаш можете да квадратите осум. Ќе добиете клетки. () Значи?

Пример број 3 од реалниот живот

Сега коцката или третата сила на некој број. Истиот базен. Но, сега треба да откриете колку вода ќе треба да се истури во овој базен. Треба да ја пресметате јачината на звукот. (Волуменот и течностите, патем, се мерат во кубни метри. Неочекувано, нели?) Нацртајте базен: дно со мерење на метар и длабочина од метар и обидете се да изброите колку коцки со димензии метар на метар ќе се вклопат во вашиот базен.

Само покажете со прстот и избројте! Еден, два, три, четири...дваесет и два, дваесет и три...Колку добивте? Не е изгубено? Дали е тешко да се брои со прст? Па тоа! Земете пример од математичарите. Тие се мрзливи, па забележале дека за да се пресмета волуменот на базенот, треба да се помножат неговата должина, ширина и висина една со друга. Во нашиот случај, волуменот на базенот ќе биде еднаков на коцки... Полесно, нели?

Сега замислете колку се мрзливи и лукави математичарите ако го поедностават и ова. Сè сведовме на една акција. Забележале дека должината, ширината и висината се еднакви и дека истиот број се множи сам по себе... Што значи ова? Ова значи дека можете да ги искористите предностите на степенот. Значи, она што некогаш сте го избројале со прстот, тие го прават во една акција: три коцки се еднакви. Се пишува вака: .

Останува само запомнете ја табелата со степени. Освен, се разбира, ако не сте мрзливи и лукави како математичари. Ако сакате да работите напорно и да правите грешки, можете да продолжите да броите со прст.

Па, конечно да те убедам дека дипломите се измислени од откажувачи и итри луѓе за да си ги решат животни проблеми, а не да ви создавам проблеми, еве уште пар примери од животот.

Пример број 4 од реалниот живот

Имате милион рубли. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште еден милион. Односно, на секој милион имате двојки на почетокот на секоја година. Колку пари ќе имате за години? Ако сега седите и „броите со прст“, тоа значи дека сте многу вреден човеки.. глупав. Но, најверојатно ќе дадете одговор за неколку секунди, бидејќи сте паметни! Значи, во првата година - два помножени со два... во втората година - што се случи, со уште две, во третата година... Стоп! Забележавте дека бројот се множи сам по себе пати. Значи два до петта сила е милион! Сега замислете дека имате натпревар и оној што може најбрзо да брои ќе ги добие овие милиони... Вреди да се потсетиме на моќта на бројките, не мислите?

Пример број 5 од реалниот живот

Имаш милион. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште два. Одлично нели? Секој милион е тројно зголемен. Колку пари ќе имате за една година? Ајде да броиме. Првата година - помножете се со, а потоа резултатот со друга... Веќе е досадно, бидејќи веќе сте разбрале сè: три се множат сами по себе пати. Значи на четвртата сила е еднаква на милион. Треба само да запомните дека три до четврта моќ е или.

Сега знаете дека со подигање број на моќ ќе си го олесните животот многу. Ајде дополнително да погледнеме што можете да направите со дипломите и што треба да знаете за нив.

Поими и поими... за да не се мешаме

Значи, прво, ајде да ги дефинираме концептите. Што мислиш, што е експонент? Тоа е многу едноставно - тоа е бројот што е „на врвот“ на моќта на бројот. Не научно, но јасно и лесно за паметење...

Па, во исто време, што таков степен основа? Уште поедноставно - ова е бројот што се наоѓа подолу, во основата.

Еве еден цртеж за добра мерка.

Па, генерално, за да се генерализира и подобро да се запамети... Степенот со основа „ ” и експонент „ ” се чита како „до степен“ и се пишува вака:

Моќта на бројот в природен индикатор

Веројатно веќе погодивте: бидејќи експонентот е природен број. Да, но што е тоа природен број? Основно! Природни броеви се оние броеви што се користат при броењето при наведување на предмети: еден, два, три... Кога броиме предмети, не велиме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. Исто така, не велиме: „една третина“ или „нула точка пет“. Ова не се природни броеви. Кои бројки мислите дека се овие?

Се однесуваат на броеви како „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. цели броеви.Општо земено, цели броеви ги вклучуваат сите природни броеви, броеви спротивни на природните броеви (односно земени со знак минус) и бројот. Нулата е лесно да се разбере - тоа е кога нема ништо. Што значат негативни („минус“) броеви? Но, тие беа измислени првенствено за да се наведат долгови: ако имате салдо на телефонот во рубли, тоа значи дека му должите на операторот рубли.

Сите дропки се рационални броеви. Како се појавија, мислиш? Многу едноставно. Пред неколку илјади години, нашите предци открија дека им недостасува природни броевиза мерење на должина, тежина, површина итн. И тие дојдоа до рационални броеви... Интересно, нели?

Има и ирационални броеви. Кои се овие бројки? Накратко, тоа е бесконечна децимална дропка. На пример, ако обемот на кругот е поделен со неговиот дијаметар, тогаш добиваме ирационален број.

Резиме:

Дозволете ни да го дефинираме концептот на степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

1. Секој број до првата моќност е еднаков на самиот себе:
2. Да се ​​квадрира број значи да се помножи сам со себе:
3. Да се ​​коцка број значи да се помножи со себе три пати:

Дефиниција.Подигнете го бројот на природен степен- значи множење број сам по себе пати:
.

Својства на степени

Од каде потекнуваат овие имоти? Сега ќе ти покажам.

Ајде да видиме: што е тоа И ?

А-приоритет:

Колку множители има вкупно?

Многу е едноставно: додадовме множители на факторите, а резултатот е множители.

Но, по дефиниција, ова е моќ на број со експонент, односно: , што требаше да се докаже.

Пример: Поедноставете го изразот.

Решение:

Пример:Поедноставете го изразот.

Решение:Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини!
Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

само за производ на моќите!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

2. тоа е тоа та моќ на број

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова во целост:

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме?

Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа

До овој момент разговаравме само каков треба да биде експонентот.

Но, што треба да биде основата?

Во овластувањата на природен индикаторосновата може да биде кој било број. Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни.

Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ? Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со, тоа функционира.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Дали се снајде?

Еве ги одговорите: Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен.

Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен!

6 примери за вежбање

Анализа на решението 6 примери

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7 одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, правилото може да важи.

Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради.

Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Целиги нарекуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.

позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.

Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден:

Како и секогаш, да се запрашаме: зошто е тоа така?

Ајде да разгледаме одреден степен со основа. Земете, на пример, и множете се со:

Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истото како што беше - . Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.

Можеме да го сториме истото со произволен број:

Да го повториме правилото:

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.

Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).

Од една страна, мора да биде еднаков на кој било степен - колку и да помножите нула само по себе, сепак ќе добиете нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број со нулта моќност, тој мора да биде еднаков. Значи, колку од ова е вистина? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да подигнат нула до нула степен. Тоа е, сега не само што не можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.

Ајде да продолжиме. Покрај природните броеви и броеви, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативен степен, ајде да направиме како во последен пат: умножи некои нормален бројна истиот во негативен степен:

Оттука е лесно да се изрази она што го барате:

Сега да го прошириме добиеното правило до произволен степен:

Значи, ајде да формулираме правило:

Број со негативна моќност е реципроцитет на истиот број со позитивна моќност. Но во исто време Основата не може да биде нула:(бидејќи не можете да делите со).

Да резимираме:

I. Изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .

III. Број кој не е еднаков на нула на негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .

Задачи за независно решение:

Па, како и обично, примери за независни решенија:

Анализа на проблеми за независно решение:

Знам, знам, бројките се страшни, но на обединет државен испит треба да бидете подготвени на се! Решете ги овие примери или анализирајте ги нивните решенија ако не сте можеле да ги решите и ќе научите лесно да се справувате со нив на испитот!

Ајде да продолжиме да го шириме опсегот на броеви „погодни“ како експонент.

Сега да размислиме рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?

Одговор: се што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, и.

Да се ​​разбере што е тоа "фракционо степен", разгледајте ја дропката:

Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:

Сега да се потсетиме на правилото за "степен до степен":

Која бројка мора да се подигне на моќ за да се добие?

Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.

Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та сила на број () е број што, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков на.

Односно, коренот на та моќ е инверзната операција на подигање до моќност: .

Излегува дека. Очигледно ова посебен случајможе да се прошири: .

Сега го додаваме броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие користејќи го правилото моќ-на-моќ:

Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.

Никој!

Да се ​​потсетиме на правилото: секој број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат дури и корени од негативни броеви!

Тоа значи дека таквите броеви не можат да се подигнат на фракциона сила со парен именител, односно изразот нема смисла.

Што е со изразот?

Но, тука се појавува проблем.

Бројот може да се претстави во форма на други, скратливи фракции, на пример, или.

И испаѓа дека постои, но не постои, но ова се само две различни записиистиот број.

Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, ако го запишеме индикаторот поинаку, повторно ќе влеземе во неволја: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).

За да избегнеме такви парадокси, размислуваме само позитивна основа од степен в фракционо индикатор .

Па ако:

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Степени со рационален индикатормногу корисно за конвертирање изрази со корени, на пример:

5 примери за вежбање

Анализа на 5 примери за обука

Па, сега доаѓа најтешкиот дел. Сега ќе го сфатиме степен со ирационален експонент.

Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок

На крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.

На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати;

...број до нултата моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно тие сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“ , имено број;

...степен со цел број негативен индикатор - како нешто да се случило“ обратен процес“, односно бројот не се множел само по себе, туку се делел.

Патем, во науката диплома со комплексен индикатор, односно индикаторот не е рамномерен реален број.

Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш да решаваш вакви примери :))

На пример:

Одлучете сами:

Анализа на решенија:

1. Да почнеме со вообичаеното правило за подигање на моќ на моќ:

Сега погледнете го индикаторот. Не те потсетува на ништо? Да се ​​потсетиме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:

Во овој случај,

Излегува дека:

Одговор: .

2. Дропките во експоненти ги намалуваме на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример:

Одговор: 16

3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

НАПРЕДНО НИВО

Одредување на степен

Степенот е израз на формата: , каде што:

• — степен база;
• - експонент.

Степен со природен индикатор (n = 1, 2, 3,...)

Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:

Степен со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако експонентот е позитивен цел бројброј:

Градба до нулта степен:

Изразот е неопределен, затоа што, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.

Ако експонентот е негативен цел бројброј:

(бидејќи не можете да делите со).

Уште еднаш за нули: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

Примери:

Моќ со рационален експонент

• - природен број;
• - цел број;

Примери:

Својства на степени

За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.

Ајде да видиме: што е и?

А-приоритет:

Значи, на десната страна на овој израз го добиваме следниот производ:

Но по дефиниција тоа е моќ на број со експонент, односно:

Q.E.D.

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : .

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини. Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

Друга важна забелешка: ова правило - само за производ на моќи!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Ајде да ја прегрупираме оваа работа вака:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно: !

Да се ​​потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме? Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа.

До овој момент разговаравме само како треба да биде индексстепени. Но, што треба да биде основата? Во овластувањата на природно индикатор основата може да биде кој било број .

Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ?

Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме - .

И така натаму бесконечно: со секое следно множење знакот ќе се менува. Можеме да го формулираме следново едноставни правила:

1. дуристепен, - број позитивен.
2. Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
3. Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
4. Нула на која било моќност е еднаква на нула.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Дали се снајде? Еве ги одговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се сеќаваме на тоа, станува јасно дека, што значи дека основата е помала од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.

И повторно ја користиме дефиницијата за степен:

Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден со друг, ги делиме во парови и добиваме:

Пред да го расклопите последното правило, да решиме неколку примери.

Пресметајте ги изразите:

Решенија :

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се ​​потсетиме на програмата за 7-мо одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите!

Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, може да се примени правилото 3. Но, како? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но, сега излегува вака:

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: Сите знаци се менуваат во исто време!Не можете да го замените со менување само на еден недостаток што не ни се допаѓа!

Да се ​​вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Па сега последното правило:

Како ќе го докажеме? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да го поедноставиме:

Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви има вкупно? пати по множители - на што ве потсетува ова? Ова не е ништо повеќе од дефиниција за операција множење: Таму имаше само множители. Тоа е, ова, по дефиниција, е моќ на број со експонент:

Пример:

Степен со ирационален експонент

Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален експонент. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните броеви).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта моќ е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“, имено број; степен со цел број негативен експонент - како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Тоа е прилично чисто математички објект, што математичарите го создадоа за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број. Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии; ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти на институтот.

Па што правиме ако видиме ирационален индикаторстепени? Се трудиме да се ослободиме од него! :)

На пример:

Одлучете сами:

1)

2)

3)

Одговори:

1. Да се ​​потсетиме на формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
2. Ги сведуваме дропките на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример: .
3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

РЕЗИМЕ НА ДЕЛ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз на формата: , каде што:

Степен со цел број експонент

степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Моќ со рационален експонент

степен, чиј експонент е негативни и дробни броеви.

Степен со ирационален експонент

степен чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.

Својства на степени

Карактеристики на степени.

• Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
• Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
• Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
• Нулата е еднаква на која било моќност.
• Секој број на нулта моќност е еднаков.

СЕГА ГО ИМАШ ЗБОРОТ...

Како ви се допаѓа статијата? Напишете подолу во коментар дали ви се допадна или не.

Кажете ни за вашето искуство со користење на својствата на степенот.

Можеби имате прашања. Или предлози.

Напишете во коментарите.

И со среќа на вашите испити!

Во оваа статија ќе дознаеме што е тоа степен на. Овде ќе дадеме дефиниции за моќноста на бројот, додека детално ќе ги разгледаме сите можни експоненти, почнувајќи од природниот експонент, а завршувајќи со ирационалниот. Во материјалот ќе најдете многу примери на степени, кои ги покриваат сите суптилности што се појавуваат.

Навигација на страницата.

Моќ со природен експонент, квадрат на број, коцка од број

Да почнеме со. Гледајќи напред, да речеме дека дефиницијата за моќта на број a со природен експонент n е дадена за a, што ќе го наречеме основа на степен, и n, кои ќе ги наречеме експонент. Исто така, забележуваме дека степенот со природен експонент се одредува преку производ, така што за да го разберете материјалот подолу, треба да имате разбирање за множење на броеви.

Дефиниција.

Моќност на број со природен експонент nе израз на формата a n, чија вредност е еднаква на производот од n фактори, од кои секој е еднаков на a, односно .
Конкретно, моќноста на бројот a со експонент 1 е самиот број a, односно a 1 =a.

Вреди да се спомене веднаш за правилата за читање степени. Универзален методчитањето на записот a n е: „а до силата на n“. Во некои случаи, следните опции се исто така прифатливи: „а до n-та сила“ и „n-та сила од а“. На пример, да ја земеме моќноста 8 12, ова е „осум на сила од дванаесет“, или „осум до дванаесетта сила“ или „дванаесетта сила од осум“.

Втората сила на бројот, како и третата сила на бројот, имаат свои имиња. Се нарекува втората моќност на бројот квадрат на бројот, на пример, 7 2 се чита како „седум квадрат“ или „квадрат на бројот седум“. Третата сила на бројот се нарекува коцкани броеви, на пример, 5 3 може да се чита како „пет коцки“ или може да се каже „коцка од бројот 5“.

Време е да се донесе примери на степени со природни експоненти. Да почнеме со степенот 5 7, овде 5 е основата на степенот, а 7 е експонент. Да дадеме уште еден пример: 4,32 е основата, а природниот број 9 е експонентот (4,32) 9 .

Ве молиме имајте предвид дека во последен примерОсновата на степенот 4.32 е напишана во заграда: за да се избегнат отстапувања, ќе ги ставиме во загради сите основи на степенот што се разликуваат од природните броеви. Како пример, ги даваме следните степени со природни експоненти , нивните основи не се природни броеви, па затоа се пишуваат во загради. Па, за целосна јасност, во овој момент ќе ја прикажеме разликата содржана во записите од формата (−2) 3 и −2 3. Изразот (−2) 3 е моќност од −2 со природен експонент 3, а изразот −2 3 (може да се напише како −(2 3) ) одговара на бројот, вредноста на моќта 2 3 .

Забележете дека постои ознака за моќта на бројот a со експонент n од формата a^n. Освен тоа, ако n е природен број со повеќе вредности, тогаш експонентот се зема во загради. На пример, 4^9 е уште една нотација за моќта на 4 9 . И еве уште неколку примери за пишување степени користејќи го симболот „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Во продолжение, првенствено ќе користиме означување на степенот на формата a n.

Еден од проблемите обратно за подигање на моќ со природен експонент е проблемот со наоѓање на основата на моќта со позната вредностстепени и познат индикатор. Оваа задача води до.

Познато е дека многу рационални броевисе состои од цели и дробни броеви, а секој дробен број може да се претстави како позитивен или негативен заедничка дропка. Дефиниравме степен со цел број експонент како претходниот став, затоа, за да ја комплетирате дефиницијата за степен со рационален показател, треба да му дадете значење на степенот на бројот a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број. Ајде да го направиме тоа.

Да разгледаме степен со фракционен експонент на формата . За имотот моќ-на-моќ да остане валиден, еднаквоста мора да важи . Ако ја земеме предвид добиената еднаквост и како го определивме , тогаш логично е да се прифати под услов за дадени m, n и a изразот да има смисла.

Лесно е да се провери дали се валидни сите својства на степен со цел број експонент (ова е направено во делот својства на степен со рационален експонент).

Горенаведеното размислување ни овозможува да го направиме следново заклучок: ако се дадени m, n и a изразот има смисла, тогаш моќта на a со фракционо експонент m/n се нарекува n-ти корен на a со моќ од m.

Оваа изјава нè приближува до дефиницијата за степен со фракционен експонент. Останува само да се опише во што m, n и a изразот има смисла. Во зависност од ограничувањата поставени на m, n и a, постојат два главни пристапи.

Најлесен начин е да се наметне ограничување на a со земање a≥0 за позитивно m и a>0 за негативно m (бидејќи за m≤0 степенот 0 од m не е дефиниран). Потоа добиваме следнава дефиницијастепени со дробен експонент.

Дефиниција.

Степен позитивен број a со дробен експонент m/n, каде што m е цел број, а n е природен број, се нарекува n-ти корен од бројот a до моќта на m, односно .

Дробната моќност на нула се одредува и со единственото предупредување дека индикаторот мора да биде позитивен.

Дефиниција.

Сила на нула со фракционо позитивен индикатор m/n, каде што m е позитивен цел број, а n е природен број, се дефинира како .
Кога степенот не е одреден, односно степенот на бројот нула со фракционо негативен експонент нема смисла.

Треба да се забележи дека со оваа дефиниција за степен со фракционо експонент, постои едно предупредување: за некои негативни a и некои m и n, изразот има смисла, а овие случаи ги отфрливме со воведување на условот a≥0. На пример, записите имаат смисла или , а дефиницијата дадена погоре нè принудува да кажеме дека силите со фракционо експонент на формата немаат смисла, бидејќи основата не треба да биде негативна.

Друг пристап за одредување степен со фракционо експонент m/n е одделно да се разгледаат парните и непарните експоненти на коренот. Овој пристап бара дополнителна состојба: моќта на број чиј експонент е , се смета за моќ на број чиј експонент е соодветниот нередуцирана дропка(Важноста на оваа состојба ќе биде објаснета подолу). Односно, ако m/n е несводлива дропка, тогаш за кој било природен број k степенот прво се заменува со .

За парни n и позитивни m, изразот има смисла за секој ненегативен a (дури и корен од негативен бројнема смисла), за негативен m бројот a сепак мора да се разликува од нула (во спротивно ќе има делење со нула). И за непарни n и позитивни m, бројот a може да биде кој било (коренот на непарниот степен е дефиниран за секој реален број), а за негативен m, бројот a мора да биде ненула (така да нема делење со нула).

Горенаведеното расудување нè води до оваа дефиниција за степен со фракционен експонент.

Дефиниција.

Нека m/n е нередуцирана дропка, m цел број, а n природен број. За која било редуцирана дропка, степенот се заменува со . Моќта на број со нередуциран дробен експонент m/n е за



Дозволете ни да објасниме зошто степенот со редуциран фракционо експонент прво се заменува со степен со нередуциран експонент. Ако едноставно го дефиниравме степенот како , и не направивме резерва за несведливоста на дропката m/n, тогаш ќе се соочиме со ситуации слични на следната: бидејќи 6/10 = 3/5, тогаш еднаквоста мора да важи , Но , А.

Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.

Број ве n-та моќ на број аКога:

Операции со степени.

1. Множење на моќи на в истата основанивните индикатори се собираат:

м·a n = a m + n .

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:

3. Моќност на производот од 2 или повеќефакторите се еднакви на производот на моќноста на овие фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:

(a/b) n = a n /b n .

5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:

(a m) n = a m n .

Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.

На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции со корени.

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Корен на ставот еднаков на односотдивиденда и делител на корените:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како еден поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на абсолутна вредностнепозитивен индикатор:

Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.

На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.

До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.

Степен со нулта индекс.Моќта на кој било број, не еднаква на нула, со нулта експонент е еднаков.

На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент.Да се ​​подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.

Една од главните карактеристики во алгебрата и во целата математика е степенот. Се разбира, во 21 век, сите пресметки можат да се направат на онлајн калкулатор, но подобро е развојот на мозокот да научи како да го направи тоа сами.

Во оваа статија ќе разгледаме најмногу важни прашањаповрзани со оваа дефиниција. Имено, да разбереме што е тоа воопшто и кои се неговите главни функции, какви својства има во математиката.

Ајде да погледнеме примери за тоа како изгледа пресметката и кои се основните формули. Да ги погледнеме главните типови на количини и како тие се разликуваат од другите функции.

Ајде да разбереме како да решиме користејќи ја оваа количина различни задачи. Ќе покажеме со примери како да се подигне на нулта моќност, ирационално, негативно итн.

Онлајн калкулатор за експоненција

Што е моќ на број

Што се подразбира под изразот „подигнете број на јачина“?

Моќта n на еден број е производ на фактори со големина a n пати по ред.

Математички изгледа вака:

a n = a * a * a * …a n .

На пример:

• 2 3 = 2 во третиот степен. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 до чекор. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 до чекор. четири = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 во 5 чекори. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 во 4 чекори. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Подолу е табела со квадрати и коцки од 1 до 10.

Табела со степени од 1 до 10

Подолу се прикажани резултатите од подигањето на природните броеви до позитивни сили - „од 1 до 100“.

Ч-ло	2-ри ул.	3-та фаза
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Својства на степени

Што е карактеристично за таквите математичка функција? Да ги погледнеме основните својства.

Научниците го утврдија следново знаци карактеристични за сите степени:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (а б) m =(а) (б*м) .

Ајде да провериме со примери:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Од друга страна, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Слично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Инаку 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Што ако е различно? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Како што можете да видите, правилата функционираат.

Но, што со со собирање и одземање? Едноставно е. Прво се врши степенување, а потоа собирање и одземање.

Ајде да погледнеме примери:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Ве молиме имајте предвид: правилото нема да важи ако прво одземете: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Но, во овој случај, прво треба да го пресметате собирањето, бидејќи има дејства во загради: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Како да се произведе пресметки во повеќе тешки случаи ? Редоследот е ист:

• ако има загради, треба да започнете со нив;
• потоа степенување;
• потоа извршете ги операциите множење и делење;
• по собирање, одземање.

Јадете специфични својства, не типично за сите степени:

1. n-тиот корен на бројот a до степен m ќе се запише како: a m / n.
2. При подигање на дропка до моќ: и броителот и неговиот именител се предмет на оваа постапка.
3. При изградба на дело различни броевина моќ, изразот ќе одговара на производот од овие броеви на дадената моќност. Тоа е: (a * b) n = a n * b n .
4. Кога подигате број на негативна моќност, треба да поделите 1 со број во истиот век, но со знак „+“.
5. Ако именителот на дропка е со негативна моќност, тогаш овој израз е еднаков на производот на броителот и именителот на позитивна моќност.
6. Било кој број на моќност 0 = 1, и на моќ. 1 = за себе.

Овие правила се важни во некои случаи; ние ќе ги разгледаме подетално подолу.

Степен со негативен експонент

Што да се прави кога минус степен, односно кога индикаторот е негативен?

Врз основа на својствата 4 и 5(види точка погоре), излегува:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И обратно:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Што ако е дропка?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степен со природен индикатор

Се подразбира како степен со експоненти еднакви на цели броеви.

Работи што треба да се запамети:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...итн.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...итн.

Дополнително, ако (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...тогаш резултатот ќе биде со знак „+“. Ако негативен број се подигне на непарна моќност, тогаш обратно.

Општи својства и тоа е тоа специфични знаци, опишани погоре, се исто така карактеристични за нив.

Дробен степен

Овој тип може да се напише како шема: A m / n. Читај како: n-ти корен од бројот A до моќта m.

Можете да правите што сакате со фракционо индикатор: намалете го, поделете го на делови, подигнете го на друга моќност итн.

Степен со ирационален експонент

Нека α е ирационален број и A ˃ 0.

За да се разбере суштината на диплома со таков индикатор, Ајде да погледнеме во различни можни случаи:

• A = 1. Резултатот ќе биде еднаков на 1. Бидејќи постои аксиома - 1 во сите моќи е еднаква на една;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рационални броеви;

• 0˂А˂1.

Во овој случај, тоа е обратно: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 под истите услови како во вториот пасус.

На пример, експонентот е бројот π.Тоа е рационално.

r 1 - во овој случај е еднакво на 3;

r 2 - ќе биде еднакво на 4.

Потоа, за A = 1, 1 π = 1.

A = 2, потоа 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, потоа (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Ваквите степени ги карактеризираат сите математички операциии специфични својства опишани погоре.

Заклучок

Да резимираме - за што се потребни овие количини, кои се предностите на таквите функции? Се разбира, пред сè, тие го поедноставуваат животот на математичарите и програмерите при решавање на примери, бидејќи им овозможуваат да ги минимизираат пресметките, да ги скратат алгоритмите, да ги систематизираат податоците и многу повеќе.

Каде на друго место може да биде корисно ова знаење? Во која било работна специјалност: медицина, фармакологија, стоматологија, градежништво, технологија, инженерство, дизајн итн.

Изградба во негативен степен– еден од основните елементи на математиката, кој често се среќава при решавање на алгебарски задачи. Подолу се детални инструкции.

Како да се подигне на негативна моќ - теорија

Кога ќе подигнеме број на обична јачина, ја множиме неговата вредност неколку пати. На пример, 3 3 = 3×3×3 = 27. В негативна дропкаобратно е. Општа формаспоред формулата ќе има следен поглед: a -n = 1/a n. Така, за да се подигне број на негативна моќност, треба да се подели еден со даден број, но во позитивен степен.

Како да се подигне до негативна моќност - примери на обични броеви

Имајќи го предвид горенаведеното правило, да решиме неколку примери.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Одговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Одговор -4 -2 = 1/16.

Но, зошто одговорите во првиот и вториот пример се исти? Факт е дека кога негативен број е подигнат на парна моќност (2, 4, 6, итн.), знакот станува позитивен. Ако степенот беше рамномерен, тогаш минусот ќе останеше:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Како да ги подигнете броевите од 0 на 1 на негативна моќност

Потсетете се дека кога подигате број во опсег од 0 до 1 инчи позитивен степен, вредноста се намалува како што се зголемува степенот. Така на пример, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Пресметај 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Одговор: 0,5 -2 = 4

Анализа (низа на дејства):

• Ние преведуваме децимална 0,5 до фракционо 1/2. Така е полесно.
  Подигнете 1/2 на негативна моќност. 1/(2) -2. Поделете 1 со 1/(2) 2, добиваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Пресметај 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Пресметај -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Одговор: -0,5 -3 = -8

Врз основа на 4-тиот и 5-тиот пример, можеме да извлечеме неколку заклучоци:

• За позитивен број во опсег од 0 до 1 (пример 4), подигнат на негативна моќност, без разлика дали моќта е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде позитивна. Во исто време, отколку повеќе степен, толку е поголема вредноста.
• За негативен број во опсег од 0 до 1 (пример 5), подигнат до негативна моќност, без разлика дали моќноста е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде негативна. Во овој случај, колку е поголем степенот, толку е помала вредноста.

Како да се подигне до негативна моќност - моќност во форма на фракционен број

Изрази од овој типја имаат следната форма: a -m/n, каде што a - редовен број, m е броител на степенот, n е именителот на степенот.

Ајде да погледнеме на пример:
Пресметај: 8 -1/3

Решение (низа на дејства):

• Да се ​​потсетиме на правилото за подигање на број до негативна моќност. Добиваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете дека именителот го има бројот 8 во дробна моќност. Општата форма на пресметување на фракционата моќност е следна: a m/n = n √8 m.
• Така, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Добиваме коцка коренод осум, што е еднакво на 2. Оттука, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Одговор: 8 -1/3 = 2