Решавање на рационални равенки примери на решенија. Наједноставните рационални равенки

$\bullet$ Рационална равенка е равенка претставена во форма \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] каде $P(x), \Q(x)\ ) - полиноми (збирот на „Х“ во различни сили, помножени со различни броеви).
Изразот од левата страна на равенката се нарекува рационален израз.
EA (опсег на прифатливи вредности) на рационална равенка се сите вредности на \(x$ на кои именителот НЕ исчезнува, односно $Q(x)\ne 0$ .
$\bullet$ На пример, равенки \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]се рационални равенки.
Во првиот ODZ равенка– сите овие се $x$ такви што $x\ne 3$ (напиши $x\in (-\infty;3)\чаша(3;+\infty)$); во втората равенка - сите овие се $x$ такви што $x\ne -1; x\ne 1$ (напиши $x\in (-\infty;-1)\ cup (-1;1)\ cup (1;+\infty)$); а во третата равенка нема ограничувања за ODZ, односно ODZ е сè $x$ (тие пишуваат $x\in\mathbb(R)$). $\bullet$ Теореми:
1) Производот на два фактора е еднаков на нула ако и само ако еден од нив еднаква на нула, а другото не губи значење, затоа, равенката $f(x)\cdot g(x)=0$ е еквивалентна на системот \[\почеток(случаи) \лево[ \почеток(собрано)\почеток(порамнето) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \крај (порамнет) \крај (собрано) \десно.\\ \ текст(ОДЗ равенки)\крај (случаи)\] 2) Дропката е еднаква на нула ако и само ако броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула, затоа, равенката $\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) е еквивалентно на систем од равенки \[\почеток(случаи) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \крај (случаи)\]\(\bullet$ Ајде да погледнеме неколку примери.

1) Решете ја равенката $x+1=\dfrac 2x$ . Ајде да го најдеме ОДЗ дадена равенкае $x\ne 0$ (бидејќи $x$ е во именителот).
Тоа значи дека ODZ може да се запише на следниов начин: .
Да ги преместиме сите поими во еден дел и да ги доведеме до заеднички именител: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftright arrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftright стрелка\quad \begin( случаи) x^2+x-2=0\\x\ne 0\крај (случаи)\]Решението на првата равенка на системот ќе биде $x=-2, x=1$ . Гледаме дека двата корени се не-нула. Затоа, одговорот е: $x\in \(-2;1$\) .

2) Реши ја равенката $\лево(\dfrac4x - 2\десно)\cточка (x^2-x)=0$. Да го најдеме ODZ на оваа равенка. Гледаме дека единствената вредност на $x$ за која левата страна нема смисла е $x=0$ . Значи, ODZ може да се напише вака: $x\in (-\infty;0)\чаша(0;+\infty)$.
Така, оваа равенка е еквивалентна на системот:

\[\почеток(случаи) \лево[ \почеток(собрано)\почеток(порамнето) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end (порамнет) \крај (собрано) \десно. = 0 \end (порамнети) \end (собрани) \десно.\\ x\ne 0 \end (случаи) \quad \Леводесно стрелка \quad \почеток(случаи) \лево[ \почеток (собрано)\почеток (порамнети) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \крај (порамнет) \крај (собрано) \десно.\\ x\ne 0 \крај (случаи) \четири \Леводесно стрелка \четири \лево[ \почеток (собрано) \почеток (порамнет) &x=2\\ &x=1 \крај (порамнет) \крај (собрано) \десно.\]Навистина, и покрај фактот дека $x=0$ е коренот на вториот фактор, ако го замените $x=0$ во оригиналната равенка, тогаш нема да има смисла, бидејќи изразот $\dfrac 40$ не е дефиниран.
Така, решението на оваа равенка е $x\in \(1;2$\) .

3) Реши ја равенката \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]Во нашата равенка $4x^2-1\ne 0$ , од која $(2x-1)(2x+1)\ne 0$ , односно $x\ne -\frac12; \frac12 $ .
Да ги преместиме сите термини во лева странаи доведете го до заеднички именител:

$\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Леводесна стрелка \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\четири \Левадесна стрелка \четири \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \четири \Леводесна стрелка$

$\Leftrightarrow \quad \begin(scases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(scases) (2x-1 / подредени) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end (порамнети)\end (собрани) \десно.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end (случаи) \quad \ Лева десна стрелка \quad x=-3$

Одговор: $x\in \(-3$\) .

Коментар. Ако одговорот се состои од конечен сет на броеви, тогаш тие може да се напишат одделени со точка-запирка во кадрави загради, како што е прикажано во претходните примери.

Проблемите кои бараат решавање на рационални равенки се среќаваат секоја година на обединетиот државен испит по математика, така што кога се подготвуваат да го положат тестот за сертификација, матурантите дефинитивно треба сами да ја повторат теоријата на оваа тема. Дипломирани студенти кои ги земаат и основните и ниво на профилиспит. Ја совладале теоријата и се занимавале со практични вежбина тема „Рационални равенки“, студентите ќе можат да решаваат проблеми со кој било број дејства и да сметаат на добивање конкурентни оценки врз основа на резултатите од полагањето на Единствениот државен испит.

Како да се подготвите за испитот користејќи го едукативниот портал Школково?

Понекогаш можете да најдете извор кој целосно ја презентира основната теорија за решавање математички проблемииспаѓа доста тешко. Можеби учебникот едноставно не е при рака. И најдете потребни формулипонекогаш може да биде доста тешко дури и на Интернет.

Едукативниот портал Школково ќе ве ослободи од потребата за пребарување потребниот материјали ќе ви помогне добро да се подготвите за полагање на тестот за сертификација.

Сите неопходна теоријана тема „Рационални равенки“ нашите специјалисти подготвија и презентираа максимално достапна форма. По проучувањето на презентираните информации, студентите ќе можат да ги пополнат празнините во знаењето.

За успешна подготовкаДо Единствен државен испит за дипломирани студентипотребно е не само да се четка на основните теоретски материјална тема „Рационални равенки“, но да се вежба завршување на задачи на конкретни примери. Голем избор на задачи е претставен во делот „Каталог“.

За секоја вежба на страницата, нашите експерти напишаа алгоритам за решение и го посочија точниот одговор. Учениците можат да вежбаат да решаваат проблеми различни степенитешкотии во зависност од нивото на обука. Списокот на задачи во соодветниот дел постојано се дополнува и ажурира.

Проучување на теоретски материјал и усовршување на вештините за решавање проблеми на тема „Рационални равенки“, слични на оние вклучени во Тестови за унифициран државен испит, може да се направи онлајн. Доколку е потребно, која било од презентираните задачи може да се додаде во делот „Омилени“. Повторно повторување основна теоријана тема „Рационални равенки“, средношколец во иднина ќе може да се наврати на проблемот и да разговара со наставникот за напредокот на неговото решение на час по алгебра.

Презентација и лекција на тема: „Рационални равенки. Алгоритам и примери за решавање рационални равенки“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Прирачник за учебникот од Макаричев Ју.Н. Прирачник за учебникот од Мордкович А.Г.

Вовед во ирационални равенки

Момци, научивме како да решаваме квадратни равенки. Но, математиката не е ограничена само на нив. Денес ќе научиме како да решаваме рационални равенки. Концепт рационални равенкие многу сличен на концептот рационални броеви. Само покрај бројките, сега воведовме и некоја променлива $x$. И така добиваме израз во кој се присутни операциите собирање, одземање, множење, делење и подигање до цел број.

Нека биде $r(x)$ рационално изразување . Таков израз може да биде едноставен полином во променливата $x$ или однос на полиноми (се воведува операција за делење, како за рационални броеви).
Се повикува равенката $r(x)=0$ рационална равенка.
Секоја равенка од формата $p(x)=q(x)$, каде што $p(x)$ и $q(x)$ се рационални изрази, исто така ќе биде рационална равенка.

Ајде да погледнеме примери за решавање на рационални равенки.

Пример 1.
Решете ја равенката: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Решение.
Да ги преместиме сите изрази на левата страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Кога би била претставена левата страна од равенката обични броеви, тогаш би донеле две дропки на заеднички именител.
Ајде да го направиме ова: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ја добивме равенката: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дропката е еднаква на нула ако и само ако броителот на дропката е нула, а именителот не е нула. Потоа одделно го изедначуваме броителот на нула и ги наоѓаме корените на броителот.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега да го провериме именителот на дропката: $(x-3)*x≠0$.
Производот на два броја е еднаков на нула кога барем еден од овие броеви е еднаков на нула. Потоа: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корените добиени во броителот и именителот не се совпаѓаат. Значи во одговорот ги запишуваме двата корени на броителот.
Одговор: $x=1$ или $x=-3$.

Ако одеднаш еден од корените на броителот се совпадне со коренот на именителот, тогаш треба да се исклучи. Таквите корени се нарекуваат необични!

Алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Префрлете ги сите изрази содржани во равенката во лева странаод знакот за еднаквост.
2. Претворете го овој дел од равенката во алгебарска дропка: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Изедначете го добиениот броител со нула, односно решете ја равенката $p(x)=0$.
4. Изедначете го именителот на нула и решете ја добиената равенка. Ако корените на именителот се совпаѓаат со корените на броителот, тогаш тие треба да бидат исклучени од одговорот.

Пример 2.
Решете ја равенката: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Решение.
Да решаваме според точките на алгоритмот.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Изедначете го броителот на нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Изедначете го именителот на нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Еден од корените $x=1$ се совпаѓа со коренот на броителот, тогаш не го запишуваме во одговорот.
Одговор: $x=-1$.

Удобно е да се решаваат рационални равенки користејќи го методот на промена на променливите. Ајде да го демонстрираме ова.

Пример 3.
Решете ја равенката: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Да ја претставиме замената: $t=x^2$.
Тогаш нашата равенка ќе ја добие формата:
$t^2+12t-64=0$ - обична квадратна равенка.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 долари.
Да ја воведеме обратната замена: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на првата равенка се пар броеви $x=±2$. Втората работа е што нема корени.
Одговор: $x=±2$.

Пример 4.
Решете ја равенката: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Да воведеме нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогаш равенката ќе ја добие формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
Следно ќе продолжиме според алгоритмот.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 долари.
4. $t≠-2$ - корените не се совпаѓаат.
Ајде да воведеме обратна замена.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ајде да ја решиме секоја равенка посебно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени.
И втората равенка: $x^2+x-2=0$.
Корените на оваа равенка ќе бидат броевите $x=-2$ и $x=1$.
Одговор: $x=-2$ и $x=1$.

Пример 5.
Решете ја равенката: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Решение.
Да ја воведеме замената: $t=x+\frac(1)(x)$.
Потоа:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Ја добивме равенката: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на оваа равенка се парот:
$t=-3$ и $t=2$.
Ајде да ја воведеме обратната замена:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ќе одлучиме посебно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Да ја решиме втората равенка:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренот на оваа равенка е бројот $x=1$.
Одговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

Решавање на равенки:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Веќе научивме како да решаваме квадратни равенки. Сега да ги прошириме проучуваните методи на рационални равенки.

Што е рационален израз? Веќе се сретнавме со овој концепт. Рационални изразисе изрази составени од броеви, променливи, нивните моќи и симболи на математички операции.

Според тоа, рационалните равенки се равенки од формата: , каде - рационални изрази.

Претходно, ги разгледавме само оние рационални равенки што може да се сведат на линеарни. Сега да ги погледнеме оние рационални равенки кои можат да се сведуваат на квадратни равенки.

Пример 1

Решете ја равенката: .

Решение:

Дропката е еднаква на 0 ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на 0, а неговиот именител не е еднаков на 0.

Го добиваме следниот систем:

Првата равенка на системот е квадратна равенка. Пред да го решиме, да ги поделиме сите негови коефициенти со 3. Добиваме:

Добиваме два корени: ; .

Бидејќи 2 никогаш не е еднакво на 0, мора да се исполнат два услови: . Бидејќи ниту еден од корените на равенката добиена погоре не се совпаѓа со неважечки вредностипроменливи кои се добиени со решавање на втората неравенка, и двете се решенија на оваа равенка.

Одговор:.

Значи, ајде да формулираме алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Поместете ги сите членови на левата страна така што десната страна ќе заврши со 0.

2. Трансформирајте и поедноставете ја левата страна, доведете ги сите дропки до заеднички именител.

3. Изедначете ја добиената дропка со 0 користејќи го следниот алгоритам: .

4. Запиши ги оние корени што се добиени во првата равенка и задоволи ја втората неравенка во одговорот.

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример 2

Реши ја равенката: .

Решение

На самиот почеток ги поместуваме сите членови налево за да остане 0 десно.

Сега да ја доведеме левата страна на равенката до заеднички именител:

Оваа равенка е еквивалентна на системот:

Првата равенка на системот е квадратна равенка.

Коефициенти на оваа равенка: . Ја пресметуваме дискриминаторот:

Добиваме два корени: ; .

Сега да ја решиме втората неравенка: производот на факторите не е еднаков на 0 ако и само ако ниту еден од факторите не е еднаков на 0.

Мора да се исполнат два услови: . Откривме дека од двата корени на првата равенка, само еден е погоден - 3.

Одговор:.

Во оваа лекција се сетивме што е рационален израз, а научивме и како да решаваме рационални равенки, кои се сведуваат на квадратни равенки.

Во следната лекција ќе ги разгледаме рационалните равенки како модели на реални ситуации, а исто така ќе ги разгледаме и проблемите со движење.

Библиографија

Башмаков М.И. Алгебра, 8 одделение. - М.: Образование, 2004 година.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други.Алгебра, 8. 5th ed. - М.: Образование, 2010 година.
Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 одделение. Упатство за образовните институции. - М.: Образование, 2006 година.

фестивал педагошки идеи "Јавна лекција" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Смирнова Анастасија Јуриевна

Тип на лекција:лекција за учење нов материјал.

Форма на организација едукативни активности : фронтален, индивидуален.

Целта на часот: да се воведе нов тип равенки - фракциони рационални равенки, да се даде идеја за алгоритмот за решавање на фракциони рационални равенки.

Цели на часот.

Образовни:

формирање на концептот на фракциона рационална равенка;
разгледајте алгоритам за решавање на рационални равенки на дробни, вклучувајќи го условот дропот да е еднаков на нула;
учат решавање на дробни рационални равенки користејќи алгоритам.

Развојни:

создаваат услови за развивање на вештини за примена на стекнатото знаење;
промовираат развој когнитивен интересучениците на предметот;
развивање на способноста на учениците да анализираат, споредуваат и извлекуваат заклучоци;
развој на вештини за меѓусебна контрола и самоконтрола, внимание, меморија, орална и пишување, независност.

Едукација:

негување когнитивен интерес за предметот;
негување независност во одлучувањето образовни задачи;
негување волја и истрајност за постигнување конечни резултати.

Опрема:учебник, табла, боички.

Учебник „Алгебра 8“. Ју.Н.Макаричев, Н.Г. Миндјук, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, уредена од С.А.Телјаковски. Московско „просветителство“. 2010 година

На оваа темасе доделуваат пет часа. Ова е првата лекција. Главната работа е да го проучите алгоритмот за решавање на фракциони рационални равенки и да го вежбате овој алгоритам во вежби.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Здраво дечки! Денес би сакал да ја започнам нашата лекција со катраин:
За да им го олесниме животот на сите,
Што би се решило, што би било возможно,
Насмевнете се, со среќа на сите,
За да нема проблеми,
Си се насмевнавме и создававме добро расположениеи почна со работа.

На таблата има напишани равенки, погледнете ги внимателно. Можете ли да ги решите сите овие равенки? Кои не се и зошто?

Равенките во кои левата и десната страна се дробни рационални изрази се нарекуваат дробни рационални равенки. Што мислите дека ќе учиме денес на час? Формулирајте ја темата на лекцијата. Значи, отворете ги тетратките и запишете ја темата на лекцијата „Решавање фракциони рационални равенки“.

2. Ажурирање на знаењето. Фронтална анкета, усна работасо класа.

И сега ќе го повториме главниот теоретски материјал што треба да го проучуваме нова тема. Ве молиме одговорете на следниве прашања:

Што е равенка? ( Еднаквост со променлива или променливи.)
Како се вика равенката број 1? ( Линеарна.) Решение линеарни равенки. (Поместете сè со непознатото на левата страна од равенката, сите броеви надесно. Олово слични термини. Најдете непознат фактор).
Како се вика равенката број 3? ( Плоштад.) Решенија квадратни равенки. (П за формулите)
Што е пропорција? ( Еднаквост на два соодноси.) Главното својство на пропорцијата. ( Ако пропорцијата е точна, тогаш производот на неговите екстремни членови е еднаков на производот од средните членови.)
Кои својства се користат при решавање на равенки? ( 1. Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената. 2. Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.)
Кога дропка е еднаква на нула? ( Дропката е еднаква на нула кога броителот е нула, а именителот не е нула..)

3. Објаснување на нов материјал.

Решете ја равенката бр. 2 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 10.

Кои фракциона рационална равенкаМожете ли да се обидете да решите користејќи го основното својство на пропорција? (бр. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете ја равенката бр.4 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 1,5.

Која фракциона рационална равенка можете да се обидете да ја решите со множење на двете страни на равенката со именителот? (бр. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Одговори: 3;4.

Ќе разгледаме решавање на равенки како равенката бр. 7 во следните лекции.

Објасни зошто се случи ова? Зошто во едниот случај има три корени, а во другиот два? Кои броеви се корените на оваа фракциона рационална равенка?

Досега, студентите не се сретнале со концептот на надворешен корен; навистина им е многу тешко да разберат зошто тоа се случило. Ако никој во класот не може да даде јасно објаснување за оваа ситуација, тогаш наставникот поставува водечки прашања.

Како равенките бр. 2 и 4 се разликуваат од равенките бр. 5 и 6? ( Во равенките бр. 2 и 4 има броеви во именителот, бр. 5-6 - изрази со променлива.)
Кој е коренот на равенката? ( Вредноста на променливата при која станува равенката вистинска еднаквост .)
Како да дознаете дали бројот е коренот на равенката? ( Направете проверка.)

При тестирањето, некои ученици забележуваат дека треба да се делат со нула. Тие заклучуваат дека броевите 0 и 5 не се корените на оваа равенка. Се поставува прашањето: дали постои начин да се решат фракционите рационални равенки што ни овозможува да ги елиминираме оваа грешка? Да, овој метод се заснова на условот фракцијата да е еднаква на нула.

Ајде да се обидеме да формулираме алгоритам за решавање на фракционите рационални равенки на овој начин. Децата сами го формулираат алгоритмот.

Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки:

Поместете сè на левата страна.
Намали ги дропките на заеднички именител.
Создадете систем: дропка е еднаква на нула кога броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула.
Решете ја равенката.
Проверете ја нееднаквоста за да ги исклучите надворешните корени.
Запишете го одговорот.

4. Почетно разбирање на нов материјал.

Работа во парови. Учениците сами избираат како да ја решат равенката во зависност од видот на равенката. Задачи од учебникот „Алгебра 8“, Ју.Н. Макаричев, 2007: бр. 600(б, в); Бр. 601 (а, е). Наставникот го следи завршувањето на задачата, одговара на сите прашања што ќе се појават и им помага на учениците со слаби резултати. Самотестирање: одговорите се пишуваат на табла.

б) 2 - надворешен корен. Одговор: 3.

в) 2 - надворешен корен. Одговор: 1.5.

а) Одговор: -12.5.

5. Поставување домашна задача.

Прочитајте го ставот 25 од учебникот, анализирајте ги примерите 1-3.
Научете алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки.
Реши во тетратки бр.600 (г, г); Бр. 601 (g,h).

6. Сумирање на лекцијата.

Така, денес на лекцијата се запознавме со фракционите рационални равенки, научивме како да ги решаваме овие равенки различни начини. Без оглед на тоа како решавате дробни рационални равенки, што треба да имате на ум? Која е „итрината“ на фракционите рационални равенки?

Фала на сите, лекцијата заврши.

„Решавање фракциони рационални равенки“

Цели на лекцијата:

Образовни:

формирање на концептот на дробни рационални равенки; разгледајте различни начини за решавање на дробни рационални равенки; разгледајте алгоритам за решавање на рационални равенки на дробни, вклучувајќи го условот дропот да е еднаков на нула; учат решавање на дробни рационални равенки користејќи алгоритам; проверка на степенот на владеење на темата со спроведување на тест.

Развојни:

ментални операции

критично размислување

Едукација:

негување когнитивен интерес за предметот; негување независност во решавањето на образовните проблеми; негување волја и истрајност за постигнување конечни резултати.

Тип на лекција: час - објаснување на нов материјал.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Здраво дечки! На таблата има напишани равенки, погледнете ги внимателно. Можете ли да ги решите сите овие равенки? Кои не се и зошто?

2. Ажурирање на знаењето. Фронтална анкета, усна работа со одделението.

И сега ќе го повториме главниот теоретски материјал што ќе ни треба за проучување на нова тема. Ве молиме одговорете на следниве прашања:

1. Што е равенка? ( Еднаквост со променлива или променливи.)

2. Како се вика равенката бр.1? ( Линеарна.) Метод за решавање на линеарни равенки. ( Поместете сè со непознатото на левата страна од равенката, сите броеви надесно. Наведете слични термини. Најдете непознат фактор).

3. Како се вика равенката бр.3? ( Плоштад.) Методи за решавање на квадратни равенки. ( Избор полн квадрат, со формули, користејќи ја теоремата на Виета и нејзините последици.)

4. Што е пропорција? ( Еднаквост на два соодноси.) Главното својство на пропорцијата. ( Ако пропорцијата е точна, тогаш производот на неговите екстремни членови е еднаков на производот од средните членови.)

5. Кои својства се користат при решавање на равенки? ( 1. Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената. 2. Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.)

6. Кога дропка е еднаква на нула? ( Дропката е еднаква на нула кога броителот е нула, а именителот не е нула..)

3. Објаснување на нов материјал.

Решете ја равенката бр. 2 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 10.

Која фракциона рационална равенка можете да се обидете да ја решите користејќи го основното својство на пропорција? (бр. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Решете ја равенката бр.4 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 1,5.

D=1›0, x1=3, x2=4.

Одговори: 3;4.

Сега обидете се да ја решите равенката број 7 користејќи еден од следниве методи.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Одговори: 0;5;-2.			Одговори: 5;-2.

Во равенките бр. 2 и 4 има броеви во именителот, бр. 5-7 се изрази со променлива

Вредноста на променливата при која равенката станува вистинита

Направете проверка

При тестирањето, некои ученици забележуваат дека треба да се делат со нула. Тие заклучуваат дека броевите 0 и 5 не се корените на оваа равенка. Се поставува прашањето: дали постои начин да се решат фракционите рационални равенки што ни овозможува да ја елиминираме оваа грешка? Да, овој метод се заснова на условот фракцијата да е еднаква на нула.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ако x=5, тогаш x(x-5)=0, што значи дека 5 е надворешен корен.

Ако x=-2, тогаш x(x-5)≠0.

Одговори: -2.

Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки:

1. Поместете сè на левата страна.

2. Намали ги дропките на заеднички именител.

3. Направете систем: дропка е еднаква на нула кога броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула.

4. Реши ја равенката.

5. Проверете ја нееднаквоста за да ги исклучите надворешните корени.

6. Запишете го одговорот.

Дискусија: како да се формализира решението ако се користи основното својство на пропорција и двете страни на равенката се помножат со заеднички именител. (Додади во решението: исклучи ги од своите корени оние што исчезнуваат заедничкиот именител).

4. Почетно разбирање на нов материјал.

Работа во парови. Учениците сами избираат како да ја решат равенката во зависност од видот на равенката. Задачи од учебникот „Алгебра 8“, 2007: бр.000 (б, в, и); Бр. 000 (a, d, g). Наставникот го следи завршувањето на задачата, одговара на сите прашања што ќе се појават и им помага на учениците со слаби резултати. Самотестирање: одговорите се пишуваат на табла.

б) 2 – надворешен корен. Одговор: 3.

в) 2 – надворешен корен. Одговор: 1.5.

а) Одговор: -12.5.

е) Одговор: 1;1.5.

5. Поставување домашна задача.

2. Научете го алгоритмот за решавање на рационални равенки на дробни.

3. Реши во тетратки бр.000 (а, г, д); Бр. 000 (g, h).

4. Обидете се да го решите бр. 000(а) (незадолжително).

6. Извршување на контролна задача на изучената тема.

Работата се врши на парчиња хартија.

Пример задача:

А) Кои од равенките се фракционо рационални?

Б) Дропката е еднаква на нула кога броителот е _____________________, а именителот _______________________.

П) Дали бројот -3 е коренот на равенката број 6?

Г) Решете ја равенката бр.7.

Критериуми за оценување на задачата:

„5“ се дава ако ученикот правилно завршил повеќе од 90% од задачата. „4“ - 75%-89% „3“ - 50%-74% „2“ се дава на ученик кој завршил помалку од 50% од задачата. Оценка од 2 не е дадена во списанието, 3 е изборна.

7. Рефлексија.

На независните работни листови запишете:

1 – ако лекцијата ви била интересна и разбирлива; 2 – интересно, но нејасно; 3 – не интересно, но разбирливо; 4 – не е интересно, не е јасно.

8. Сумирање на лекцијата.

Така, денес на лекцијата се запознавме со фракционите рационални равенки, научивме да ги решаваме овие равенки на различни начини, го тестиравме нашето знаење со помош на обука самостојна работа. Резултатите од вашата самостојна работа ќе ги научите на следниот час, а дома ќе имате можност да го консолидирате вашето знаење.

Кој метод за решавање на фракционите рационални равенки, според вас, е полесен, попристапен и порационален? Без оглед на методот за решавање на фракциони рационални равенки, што треба да запомните? Која е „итрината“ на фракционите рационални равенки?

Фала на сите, лекцијата заврши.