Основни закони на теоријата на веројатност. Теорија на веројатност

Доктрината на законите кои управуваат со т.н. случајни појави. Речник странски зборови, вклучени во рускиот јазик. Чудинов А.Н., 1910 ... Речник на странски зборови на рускиот јазик

теорија на веројатност- - [Л.Г. Суменко. Англиско-руски речник за информатичка технологија. М.: Државно претпријатие TsNIIS, 2003.] Теми информациска технологијагенерално EN теорија на веројатност теорија на пресметување на шансите на веројатност ... Водич за технички преведувач

Теорија на веројатност- е дел од математиката што ги проучува односите помеѓу веројатностите (види Веројатност и статистика) на различни настани. Да ги наведеме најважните теореми поврзани со оваа наука. Веројатноста за еден од неколкуте не заеднички настаниеднакво...... енциклопедиски речникФ. Брокхаус и И.А. Ефрон

ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ- математички наука која дозволува, од веројатностите на некои случајни настани (види), да се најдат веројатностите на случајни настани поврзани со к.л. начин со првите. Модерната Т.в. врз основа на аксиоматика (види Аксиоматски метод) од А. Н. Колмогоров. На… … Руска социолошка енциклопедија

Теорија на веројатност- гранка од математиката во која врз основа на дадените веројатности на некои случајни настани се наоѓаат веројатностите на други настани поврзани на некој начин со првиот. Теоријата на веројатност ги проучува и случајните променливи и случајните процеси. Еден од главните... ... Концепти модерна природна наука. Речник на основни поими

теорија на веројатност- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. теорија на веројатност вок. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теорија на веројатност, f pranc. теорија на веројатности, f … Физички терминали

Теорија на веројатност- ... Википедија

Теорија на веројатност- математичка дисциплина која ги проучува обрасците на случајните појави... Почетоците на модерната природна наука

ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ- (теорија на веројатност) види Веројатност... Голем објаснувачки социолошки речник

Теорија на веројатност и нејзини примени- („Теорија на веројатност и нејзините примени“) Наука списаниеКатедрата за математика на Академијата на науките на СССР. Објавува оригинални статии и кратки поракиспоред теоријата на веројатност, општи прашањаматематичката статистика и нивната примена во природните науки и... ... Големо Советска енциклопедија

Книги

Теорија на веројатност. , Ventzel E.S.. Книгата е учебник наменет за луѓе запознаени со математика во опсегот на редовен факултетски курс и заинтересирани за технички примени на теоријата на веројатност, во... Купи за 1993 UAH (само во Украина)
Теорија на веројатност. , Ventzel E.S.. Оваа книга ќе биде произведена во согласност со вашата нарачка користејќи технологија Print-on-Demand. Книгата е учебник наменет за луѓе упатени во математиката од обичниот опсег...

Класификација на настани во можни, веројатни и случајни. Поими на едноставни и сложени елементарни настани. Операции на настани. Класична дефиницијаверојатноста за случаен настан и неговите својства. Елементи на комбинаторика во теоријата на веројатност. Геометриска веројатност. Аксиоми на теоријата на веројатност.

Класификација на настани

Еден од основните концепти на теоријата на веројатност е концептот на настан. Под настанразбирање на секој факт што може да се појави како резултат на искуство или тест. Под Искуство, или тест, се однесува на имплементација на одреден сет на услови.

Примери на настани:

Ги има безброј слични примери. Настаните се назначени со големи букви Латинска азбукаитн.

Разликувајте заеднички настаниИ некомпатибилни. Настаните се нарекуваат заеднички ако појавата на еден од нив не ја исклучува појавата на другиот. ВО во спротивнонастаните се нарекуваат некомпатибилни. На пример, се фрлаат две коцки. Настан - освојување три бода на првиот коцки, настанот е губење на три бода на втората матрица. и - заеднички настани. Нека продавницата добие серија чевли со ист стил и големина, но различна боја. Настан - кутија земена по случаен избор ќе содржи црни чевли, настан - кутијата ќе содржи чевли Браун, и се некомпатибилни настани.

Настанот се вика сигурен, ако е сигурно дека ќе се случи во услови на даден експеримент.

Настанот се нарекува невозможен ако не може да се случи во услови на дадено искуство. На пример, случајот кога ќе се земе стандарден дел од серија стандардни делови е сигурен, но нестандарден дел е невозможен.

Настанот се вика можно, или случајно, ако како резултат на искуство може да се појави, но може да не се појави. Пример за случаен настан би бил идентификацијата на дефекти на производот за време на сериската инспекција готови производи, несовпаѓање помеѓу големината на преработениот производ и наведениот, неуспех на една од врските автоматизиран системуправување.

Настаните се нарекуваат подеднакво можно, доколку, според условите за тестирање, ниту еден од овие настани не е објективно повозможен од другите. На пример, нека продавница се снабдува со светилки (и во еднакви количини) неколку производствени погони. Настаните кои вклучуваат купување на сијалица од која било од овие фабрики се подеднакво можни.

Важен концепт е целосна група на настани. Се формираат неколку настани во овој експеримент целосна група, ако барем еден од нив сигурно ќе се појави како резултат на експериментот. На пример, урна содржи десет топки, шест од нив се црвени, четири се бели, а пет топки имаат броеви. - појава на црвена топка со едно реми, - појава на бела топка, - изглед на топка со број. Настаните формираат комплетна група заеднички настани.

Да го воведеме концептот на спротивен или дополнителен настан. Под спротивноНастанот се подразбира како настан кој нужно мора да се случи доколку некој настан не се случи. Спротивните настани се некомпатибилни и единствени можни. Тие формираат целосна група на настани. На пример, ако една серија на произведени производи се состои од добри и неисправни производи, тогаш кога еден производ ќе се отстрани, може да испадне дека е или добар настан или дефектен настан.

Операции на настани

При развивање на апарат и методологија за проучување на случајни настани во теоријата на веројатност, многу е важен концептот на збирот и производот на настаните.

Збирот, или сојузот на неколку настани е настан кој се состои од појава на барем еден од овие настани.

Збирот на настани е означен како што следува:

На пример, ако некој настан ја погодува целта со првиот истрел, настан - со вториот, тогаш настанот ја погодува целта воопшто, не е важно со кој истрел - првиот, вториот или и двете.

Производот или пресекот на неколку настани е настан кој се состои од заедничко појавување на сите овие настани.

Наведено е производство на настани

На пример, ако настанот е дека целта е погодена со првиот истрел, настанот е дека целта е погодена со вториот истрел, тогаш настанот е дека целта е погодена со двата истрели.

Концептите збир и производ на настани имаат јасна геометриска интерпретација. Нека настанот се состои од точка која влегува во регионот, настанот се состои од влегување во регионот, потоа настанот се состои од точката што влегува во регионот засенчена на Сл. 1, а настанот е кога точка ќе ја погоди областа засенчена на сл. 2.

Класична дефиниција на веројатноста за случаен настан

За квантитативно да се споредат настаните според степенот на можност за нивно настанување, се воведува нумеричка мерка, која се нарекува веројатност за настан.

Веројатноста за настан е број кој ја изразува мерката на објективната можност за појава на настан.

Веројатноста за настан ќе биде означена со симболот.

Веројатноста за настан е еднаква на односот на бројот на случаи поволни за него, од вкупниот број на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, со бројотт.е.

Ова е класичната дефиниција за веројатност. Така, за да се најде веројатноста за настан, потребно е, земајќи ги предвид различните исходи од тестот, да се најде збир на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, да се пресмета нивниот вкупен број, бројот на случаи поволни за дадена настан, а потоа извршете ја пресметката користејќи ја формулата (1.1).

Од формулата (1.1) произлегува дека веројатноста за настан е ненегативен броји може да варира од нула до еден во зависност од тоа колкав сооднос е поволниот број на предмети од вкупниот број случаи:

Својства на веројатноста

Имотот 1. Ако сите случаи се поволни за даден настан, тогаш овој настан сигурно ќе се случи. Следствено, предметниот настан е сигурен, а веројатноста за негово настанување е, бидејќи во овој случај

Имотот 2. Ако не постои ниту еден случај поволен за даден настан, тогаш овој настан не може да се случи како резултат на искуство. Следствено, предметниот настан е невозможен, а веројатноста за негово појавување е , бидејќи во овој случај:

Имотот 3. Веројатноста за појава на настани кои формираат целосна група е еднаква на еден.

Имотот 4. Веројатноста за појава на спротивен настан се одредува на ист начин како и веројатноста за појава на настанот:

каде е бројот на случаи поволни за појава на спротивен настан. Оттука, веројатноста за појава на спротивен настан е еднаква на разликата помеѓу единството и веројатноста да се случи настанот:

Важна предност на класичната дефиниција за веројатноста за настан е тоа што со нејзина помош веројатноста за настан може да се одреди без прибегнување кон искуство, туку врз основа на логично расудување.

Пример 1. При бирање телефонски број, претплатникот заборавил една цифра и ја бирал по случаен избор. Најдете ја веројатноста дека е биран точниот број.

Решение. Да го означиме настанот кога се бира потребниот број. Претплатникот може да бира која било од 10-те цифри, така вкупен бројможните исходи се еднакви на 10. Овие исходи се единствените можни (мора да се внесе еден од броевите) и подеднакво можни (бројот мора да се внесе по случаен избор). Само еден исход го фаворизира настанот (постои само еден потребен број). Потребната веројатност е еднаква на односот на бројот на исходи поволни за настанот со бројот на сите исходи:

Елементи на комбинаторика

Во теоријата на веројатност често се користат сместувања, пермутации и комбинации. Ако се даде сет, тогаш поставеност (комбинација)на елементите од е секое подредено (непоредено) подмножество од елементите на множеството. Кога се поставува се нарекува преуредувањеод елементи.

Нека, на пример, да добие сет. Поставувањата на трите елементи од ова множество од два се , , , , , ; комбинации - , , .

Две комбинации се разликуваат барем во еден елемент, а сместувањата се разликуваат или по самите елементи или по редоследот по кој се појавуваат. Бројот на комбинации на елементи според се пресметува со формулата

е бројот на сместувања на елементи од ; - број на пермутации на елементите.

Пример 2. Во серија од 10 делови има 7 стандардни. Најдете ја веројатноста дека меѓу 6 делови земени по случаен избор има точно 4 стандардни.

Решение. Вкупниот број на можни исходи од тестот е еднаков на бројот на начини на кои може да се извлечат 6 дела од 10, т.е., еднаков на бројот на комбинации од 10 елементи од 6. Бројот на исходи поволни за настанот (меѓу 6-те земените делови има точно 4 стандардни) се одредува на следниов начин: од 7 стандардни делови може да се земат 4 стандардни делови на различни начини; во овој случај, преостанатите делови мора да бидат нестандардни; Постојат начини да земете 2 нестандардни делови од нестандардни делови. Според тоа, бројот на поволни исходи е еднаков на . Почетната веројатност е еднаква на односот на бројот на исходи поволни за настанот со бројот на сите исходи:

Статистичка дефиниција на веројатноста

Формулата (1.1) се користи за директна пресметкаверојатноста за настани само кога искуството е сведено на шема на случаи. Во пракса, класичната дефиниција за веројатност често не е применлива од две причини: прво, класичната дефиниција за веројатност претпоставува дека вкупниот број случаи мора да биде конечен. Всушност, тоа често не е ограничено. Второ, често е невозможно да се прикажат исходите од експериментот во форма на подеднакво можни и некомпатибилни настани.

Фреквенцијата на појава на настани за време на повторени Експерименти има тенденција да се стабилизира околу одредена константна вредност. Така, некои константна вредност, околу која се групирани фреквенциите и што е карактеристика на објективната врска помеѓу множеството услови под кои се изведуваат експериментите и настанот.

Веројатноста за случаен настан е бројот околу кој се групирани фреквенциите на овој настан како што се зголемува бројот на обиди.

Оваа дефиниција за веројатност се нарекува статистички.

Предност статистички методДефиницијата за веројатност е дека таа се заснова на вистински експеримент. Сепак, неговиот значаен недостаток е тоа што за да се одреди веројатноста потребно е да се изврши голем бројискуства кои многу често се поврзуваат со материјални трошоци. Статистичкото определување на веројатноста за настан, иако сосема целосно ја открива содржината на овој концепт, не овозможува реално да се пресмета веројатноста.

Класичната дефиниција за веројатност ја разгледува комплетната група конечен бројподеднакво можни настани. Во пракса, многу често бројот на можни исходи од тестот е бесконечен. Во такви случаи, класичната дефиниција за веројатност не е применлива. Меѓутоа, понекогаш во такви случаи можете да користите друг метод за пресметување на веројатноста. За дефинитивно, се ограничуваме на дводимензионалниот случај.

Нека одреден регион на површина , кој содржи друг регион на површина, да биде даден на рамнината (сл. 3). Точка се фрла во областа по случаен избор. Која е веројатноста дека точка ќе падне во регионот? Се претпоставува дека точка фрлена по случаен избор може да удри во која било точка во регионот, а веројатноста да се погоди кој било дел од регионот е пропорционална на површината на делот и не зависи од нејзината локација и форма. Во овој случај, веројатноста за влегување во областа

Така, во општ случај, ако можноста за случајно појавување на точка во одредена област на права линија, рамнина или во простор не е одредена од положбата на оваа област и нејзините граници, туку само од нејзината големина, т.е. должина, површина или волумен, тогаш хит веројатност случајна точкавнатре во одредена област се дефинира како однос на големината на оваа област со големината на целата област во која може да се појави дадена точка. Таму е геометриска дефиницијаверојатности.

Пример 3. Тркалезна цел ротира со константа аголна брзина. Една петтина од целта е обоена со зелена боја, а остатокот е бел (сл. 4). Истрелот е испукан во целта на таков начин што погодувањето на целта е сигурен настан. Потребно е да се одреди веројатноста да се погоди целниот сектор обоен зелена боја.

Решение. Да означиме „истрелот го погоди секторот обоен со зелена боја“. Потоа. Веројатноста се добива како сооднос на површината на делот од целта обоен зелено до целата област на целта, бидејќи ударите на кој било дел од целта се подеднакво можни.

Аксиоми на теоријата на веројатност

Од статистичка дефиницијаверојатност за случаен настан следува дека веројатноста за настан е бројот околу кој се групирани експериментално набљудуваните фреквенции на овој настан. Затоа, се воведуваат аксиомите на теоријата на веројатност така што веројатноста за настан ги има основните својства на фреквенцијата.

Аксиома 1. Секој настан одговара одреден број, задоволувајќи го условот и ја нарече неговата веројатност.

Мама ја изми рамката

На крајот од долго летен одморвреме е полека да се вратиме на вишата математика и свечено да ја отвориме празната датотека Вердов за да започнеме да создаваме нов дел - . Признавам, првите редови не се лесни, но првиот чекор е половина од патот, затоа на сите им предлагам внимателно да проучат воведна статија, по што совладувањето на темата ќе биде 2 пати полесно! Воопшто не претерувам. …Во пресрет на следниот 1 септември се сеќавам на прво одделение и буквар…. Буквите се формираат во слогови, слогови во зборови, зборови во кратки реченици- Мама ја изми рамката. Справување со терверот и математичка статистикалесно како да научиш да читаш! Сепак, за ова треба да ги знаете клучните термини, концепти и ознаки, како и некои конкретни правила, на која е посветена оваа лекција.

Но, прво, ве молиме прифатете ги моите честитки за почетокот (продолжување, завршување, забелешка како што е соодветно) учебната годинаи прифатете го подарокот. Најдобриот подарок е книга, и за самостојна работаЈа препорачувам следната литература:

1) Гмурман В.Е. Теорија на веројатност и математичка статистика

Легендарно упатство, кој помина низ повеќе од десет препечатувања. Се одликува со разбирливоста и исклучително едноставната презентација на материјалот, а првите поглавја се целосно достапни, мислам, веќе за учениците од 6-7 одделение.

2) Гмурман В.Е. Водич за решавање проблеми во теоријата на веројатност и математичка статистика

Книга за решенија од истиот Владимир Ефимович со детални примери и проблеми.

ПОТРЕБНОпреземете ги двете книги од Интернет или земете ги нивните оригинали од хартија! Ќе работи и верзијата од 60-тите и 70-тите, што е уште подобро за кукли. Иако фразата „теорија на веројатност за кукли“ звучи прилично смешно, бидејќи скоро сè е ограничено на елементарно аритметички операции. Тие, сепак, прескокнуваат на места дериватиИ интеграли, но ова е само на места.

Ќе се обидам да ја постигнам истата јасност на презентацијата, но морам да предупредам дека мојот курс е насочен решавање на проблема теоретските пресметки се сведени на минимум. Така, ако ви треба детална теорија, докази за теореми (теореми-теореми!), ве молиме погледнете го учебникот. Па, кој сака научете да решавате проблемиво теоријата на веројатност и математичката статистика најмногу кратко време , следи ме!

Доволно е за почеток =)

Додека ги читате написите, препорачливо е да се запознаете (барем накратко). дополнителни задачисе смета за вид. На страницата Готови решенија за виша математикаСоодветните pdf со примери на решенија ќе бидат објавени. Ќе се пружи и значителна помош ИДЗ 18.1 Рјабушко(поедноставно) и решена ИДЗ според збирката на Чудесенко(потешко).

1) износдва настани и настанот се нарекува што е дека ќе се случи илинастан илинастан илидвата настани во исто време. Во случај кога настаните некомпатибилни, последна опцијаисчезнува, односно може да настане илинастан илинастан .

Правилото важи и за големо количествотермини, на пример, настан е она што ќе се случи барем еденод настаните , А ако настаните се некомпатибилни – тогаш една работа и само една работанастан од оваа сума: илинастан, илинастан, илинастан, илинастан, илинастан .

Има многу примери:

Настаните (при фрлање коцка нема да се појават 5 поени) е она што ќе се појави или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 поени.

Настанот (ќе се намали нема повеќедве точки) е дека ќе се појави 1 или 2поени.

Настан (ќе парен бројпоени) е она што ќе се тркала или 2 или 4 или 6 поени.

Настанот е дека црвен картон (срце) ќе биде извлечен од палубата илитамбура), и настанот – дека „сликата“ ќе биде извлечена (приклучок илидама иликралот иликец на десетка).

Малку поинтересен е случајот со заедничките настани:

Настанот е што ќе се извлече клуб од палубата илиседум илиседум од клубовите Според дефиницијата дадена погоре, барем нешто- или кој било клуб или било кој седум или нивна „пресек“ - седум клубови. Лесно е да се пресмета дека овој настан одговара на 12 елементарни исходи (9 клубски карти + 3 преостанати седумки).

Настанот е дека утре во 12.00 часот ќе дојде БАРЕМ ЕДЕН од сумираните заеднички настани, имено:

– или ќе има само дожд / само грмежи / само сонце;
– или ќе се случат само пар настани (дожд + грмотевици / дожд + сонце / грмотевици + сонце);
– или сите три настани ќе се појават истовремено.

Односно, настанот вклучува 7 можни исходи.

Вториот столб на алгебрата на настаните:

2) Работатадва настани и нарекуваат настан кој се состои во заедничко појавување на овие настани, со други зборови, множењето значи дека под некои околности ќе има Инастан, Инастан . Слична изјава важи и за поголем број настани, на пример, делото подразбира дека под одредени услови тоа ќе се случи Инастан, Инастан, Инастан,…, Инастан .

Размислете за тест во кој се фрлаат две монети и следните настани:

– на првата монета ќе се појават глави;
– првата монета ќе слета глави;
– на втората монета ќе се појават глави;
– 2-та паричка ќе слета глави.

Потоа:
Ина 2-ри) ќе се појават глави;
– настанот е дека на двете монети (на 1 Ина 2-ри) ќе бидат глави;
– настанот е дека првата монета ќе слета на главите Ивтората монета е опашка;
– настанот е дека првата монета ќе слета на главите Ина 2. монета има орел.

Лесно е да се видат тие настани некомпатибилни (бидејќи, на пример, не може да има 2 глави и 2 опашки истовремено)и форма целосна група (бидејќи се земени предвид Ситеможни исходи од фрлање две монети). Да ги сумираме овие настани: . Како да се протолкува овој запис? Многу едноставно - множењето значи логично поврзување Ии дополнување - ИЛИ. Така, износот е лесен за читање и разбирлив човечки јазик: „Ќе се појават две глави илидве глави или 1. монета ќе слета глави Ина 2-ри опашки или 1. монета ќе слета глави Ина втората монета има орел“

Ова беше пример кога во еден тествклучени се неколку предмети, во овој случај- две монети. Друга честа појава кај практични проблемио дијаграмот е повторно тестирање , кога, на пример, истата матрица се витка 3 пати по ред. Како демонстрација, разгледајте ги следните настани:

– при првото фрлање ќе добиете 4 поени;
– во второто фрлање ќе добиете 5 поени;
– во третото фрлање ќе добиете 6 поени.

Потоа настанот е дека при првото фрлање ќе добиете 4 поени Иво второто фрлање ќе добиете 5 поени Ина 3. ролна ќе добиете 6 поени. Очигледно, во случај на коцка ќе има значително повеќе комбинации (исходи) отколку кога би фрлале паричка.

...Разбирам дека можеби не разбираат многу добро интересни примери, но тоа се работи кои често се среќаваат во проблемите и од нив нема спас. Покрај паричка, коцка и шпил карти, ве чекаат урни со разнобојни топки, неколку анонимни луѓе кои пукаат во цел и неуморен работник кој постојано меле некои детали =)

Веројатност за настан

Веројатност за настан е централниот концепт на теоријата на веројатност. ...Убиствена логична работа, но моравме да почнеме од некаде =) Постојат неколку пристапи за неговото дефинирање:

;
Геометриска дефиниција на веројатност ;
Статистичка дефиниција на веројатноста .

Во оваа статија ќе се фокусирам на класичната дефиниција на веројатноста, која најмногу се користи во образовните задачи.

Ознаки. Веројатноста за некој настан е означена како висока Латинска буква, а самиот настан е земен во заграда, делувајќи како еден вид аргумент. На пример:

Исто така, малата буква е широко користена за означување на веројатност. Особено, можете да ги напуштите незгодните ознаки на настани и нивните веројатности во корист на следниов стил:

– веројатноста дека фрлањето паричка ќе резултира со глави;
– веројатноста дека фрлањето на коцка ќе резултира со 5 поени;
– веројатноста дека од палубата ќе се извлече карта од клупското одело.

Оваа опцијапопуларен при решавање на практични проблеми, бидејќи ви овозможува значително да го намалите снимањето на решението. Како и во првиот случај, тука е погодно да се користат „зборувачки“ претплати/надредби.

Сите одамна ги погодија бројките што штотуку ги запишав погоре, а сега ќе дознаеме како испаднале:

Класична дефиниција за веројатност:

Веројатноста да се случи настан во одреден тест се нарекува сооднос, каде што:

– вкупен број на сите подеднакво можно, елементаренрезултатите од овој тест, кои се формираат целосна група на настани;

- квантитет елементаренисходи, поволни настан.

Кога фрлате паричка, може да испаднат или главите или опашките - се формираат овие настани целосна група, на тој начин, вкупниот број на исходи; во исто време, секој од нив елементаренИ подеднакво можно. Настанот е фаворизиран од исходот (главите). Според класичната дефиниција за веројатност: .

Слично на тоа, како резултат на фрлање матрица, може да се појават елементарни подеднакво можни исходи, формирајќи целосна група, а настанот е фаворизиран од еден единствен исход (превртување петка). Затоа: ОВА НЕ Е ПРИФАТЕНО ДА СЕ ПРАВИ (иако не е забрането да се проценуваат проценти во вашата глава).

Вообичаено е да се користат фракции од единица, и, очигледно, веројатноста може да варира во рамките на . Покрај тоа, ако , тогаш настанот е невозможно, Ако - сигурен, и ако , тогаш зборуваме за случајнонастан.

! Ако додека решавате некој проблем, добиете некоја друга вредност на веројатноста, побарајте ја грешката!

На класичен пристапза да се одреди веројатноста, екстремните вредности (нула и еден) се добиваат преку истото расудување. Нека се извлече 1 топче по случаен избор од одредена урна која содржи 10 црвени топчиња. Размислете за следните настани:

во едно испитување нема да се случи настан со мала можност.

Ова е причината зошто нема да го постигнете џекпотот на лотаријата ако веројатноста за овој настан е, да речеме, 0,00000001. Да, да, тоа си ти - со единствениот билет во одреден тираж. Сепак, поголем број билети и поголем број цртежи нема многу да ви помогнат. ...Кога им кажувам на другите за ова, скоро секогаш слушам како одговор: „но некој победува“. Добро, тогаш ајде да го направиме следниот експеримент: ве молиме купете билет за која било лотарија денес или утре (не одложувајте!). И ако победите... добро, барем повеќе од 10 килорубли, задолжително пријавете се - ќе објаснам зошто се случи ова. За процент, се разбира =) =)

Но, нема потреба да се биде тажен, бидејќи постои спротивен принцип: ако веројатноста за некој настан е многу блиску до една, тогаш во едно судење тоа ќе речиси сигурноќе се случи. Затоа, пред да скокате со падобран, нема потреба да се плашите, напротив, насмевнете се! На крајот на краиштата, мора да се појават сосема незамисливи и фантастични околности за да откажат и двата падобрани.

Иако сето тоа е лиризам, бидејќи во зависност од содржината на настанот, првиот принцип може да испадне весел, а вториот – тажен; или дури и двете се паралелни.

Можеби тоа е доволно за сега, на час Класични проблеми со веројатностаќе извлечеме максимум од формулата. Во последниот дел од оваа статија ќе разгледаме еден важна теорема:

Збирот на веројатностите на настаните што формираат целосна група е еднаков на еден. Грубо кажано, ако настаните формираат целосна група, тогаш со 100% веројатност ќе се случи еден од нив. Во самиот едноставен случајцелосна група се формира од спротивни настани, на пример:

– како резултат на фрлање паричка, ќе се појават глави;
– резултатот од фрлање паричка ќе бидат глави.

Според теоремата:

Апсолутно е јасно дека овие настани се подеднакво можни и нивните веројатности се исти .

Поради еднаквоста на веројатностите, често се нарекуваат подеднакво можни настани подеднакво веројатни . А еве и јазичник за одредување на степенот на интоксикација =)

Пример со коцка: настаните се спротивни, значи .

Теоремата што се разгледува е погодна по тоа што ви овозможува брзо да ја пронајдете веројатноста за спротивниот настан. Значи, ако е позната веројатноста дека петката е валана, лесно е да се пресмета веројатноста дека не е валана:

Ова е многу поедноставно отколку да се сумираат веројатностите за пет елементарни исходи. Патем, за елементарни резултати, оваа теоремаисто така точно:
. На пример, ако е веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта, тогаш е веројатноста дека ќе промаши.

! Во теоријата на веројатност, не е пожелно да се користат букви за какви било други цели.

Во чест на Денот на знаењето, нема да прашувам домашна работа=), но многу е важно да можете да одговорите следните прашања:

– Какви видови настани постојат?
– Што е шанса и еднаква можност за настан?
– Како ги разбирате поимите компатибилност/некомпатибилност на настани?
– Што е целосна група на настани, спротивни настани?
– Што значи собирање и множење на настаните?
– Која е суштината на класичната дефиниција на веројатноста?
– Зошто е корисна теоремата за собирање на веројатностите на настани кои формираат целосна група?

Не, не треба да натрупате ништо, ова се само основите на теоријата на веројатност - еден вид прајмер што брзо ќе се вклопи во вашата глава. И за ова да се случи што е можно поскоро, предлагам да се запознаете со лекциите

ВОВЕД

Многу работи ни се неразбирливи не затоа што нашите концепти се слаби;
туку затоа што овие работи не се вклучени во опсегот на нашите концепти.
Козма Прутков

Главната цел на изучувањето на математиката во средните специјализирани образовни институции е да им даде на студентите збир на математички знаења и вештини неопходни за изучување на други програмски дисциплини кои користат математика до еден или друг степен, за способност да вршат практични пресметки, за формирање и развој. на логично размислување.

Во оваа работа, сите основни концепти на делот за математика „Основи на теоријата на веројатност и математичка статистика“, предвидени со програмата и Државните образовни стандарди за средно стручно образование (Министерство за образование на Руската Федерација. М., 2002 г. ), постојано се воведуваат, формулирани се главните теореми, од кои повеќето не се докажани. Се разгледуваат главните проблеми и методи за нивно решавање и технологии за примена на овие методи за решавање на практични проблеми. Презентацијата е придружена со детални коментари и бројни примери.

Методолошките инструкции може да се користат за првично запознавање со материјалот што се изучува, при земање белешки за предавањата, за подготовка за практична настава, да се консолидираат стекнатите знаења, вештини и способности. Дополнително, прирачникот ќе биде корисен и за студентите на додипломски студии како референтна алатка, овозможувајќи им брзо да се потсетат на она што претходно било изучувано.

На крајот од работата има примери и задачи кои учениците можат да ги извршуваат во режим на самоконтрола.

Насоките се наменети за вонредни и редовни студенти.

ОСНОВНИ КОНЦЕПТИ

Теоријата на веројатност ги проучува објективните обрасци на масовните случајни настани. Таа се случува да биде теоретска основаза математичка статистика, која се занимава со развој на методи за собирање, опишување и обработка на резултатите од набљудувањето. Преку набљудувања (тестови, експерименти), т.е. искуство во во широка смислазборови, се јавува познавање на појавите на реалниот свет.

Во неговиот практични активностиЧесто се среќаваме со појави чиј исход не може да се предвиди, чиј исход зависи од случајноста.

Случаен феномен може да се карактеризира со односот на бројот на неговите појави со бројот на испитувања, од кои во секоја, под исти услови на сите испитувања, може да се случи или да не се случи.

Теоријата на веројатност е гранка на математиката во која се проучуваат случајните појави (настани) и се идентификуваат шеми кога тие масовно се повторуваат.

Математичката статистика е гранка на математиката која се занимава со проучување на методи за собирање, систематизирање, обработка и користење на статистички податоци за добивање научно засновани заклучоци и донесување одлуки.

Во овој случај, статистичките податоци се сфаќаат како збир на броеви кои ги претставуваат квантитативните карактеристики на карактеристиките на предметите што се проучуваат што нè интересираат. Статистичките податоци се добиени како резултат на специјално дизајнирани експерименти и набљудувања.

Статистичките податоци по својата суштина зависат од многумина случајни факториЗатоа, математичката статистика е тесно поврзана со теоријата на веројатност, која е нејзина теоретска основа.

I. ВЕРОЈАТНОСТ. ТЕОРЕМИ НА СОБИРАЊЕ И МНОЖЕЊЕ НА ВЕРОЈАТНОСТИ

1.1. Основни концепти на комбинаторика

Во гранката на математиката, која се нарекува комбинаторика, се решаваат некои проблеми поврзани со разгледувањето на множества и составот на различни комбинации на елементи од овие множества. На пример, ако земеме 10 различни броеви 0, 1, 2, 3,: , 9 и направиме комбинации од нив, ќе добиеме различни броеви, на пример 143, 431, 5671, 1207, 43, итн.

Гледаме дека некои од овие комбинации се разликуваат само по редоследот на цифрите (на пример, 143 и 431), други - во цифрите вклучени во нив (на пример, 5671 и 1207), а други се разликуваат и по бројот на цифри (на пример, 143 и 43).

Така, добиените комбинации задоволуваат различни услови.

Во зависност од правилата на составот, може да се разликуваат три типа на комбинации: пермутации, сместувања, комбинации.

Ајде прво да се запознаеме со концептот факторски.

Производ од сите природни броевиод 1 до n заклучно се нарекуваат n-факториелно и пишувај.

Пресметај: а) ; б) ; V) .

Решение. А) .

б) Бидејќи , тогаш можеме да го ставиме надвор од загради

Потоа добиваме

V) .

Преуредувања.

Комбинацијата од n елементи кои се разликуваат едни од други само по редоследот на елементите се нарекува пермутација.

Пермутациите се означени со симболот P n , каде што n е бројот на елементи вклучени во секоја пермутација. ( Р- прва буква од француски збор пермутација- преуредување).

Бројот на пермутации може да се пресмета со помош на формулата

или со користење на фактор:

Да се потсетиме на тоа 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. На колку начини може да се подредат шест различни книги на една полица?

Решение. Потребниот број на начини е еднаков на бројот на пермутации на 6 елементи, т.е.

Пласмани.

Објави од мелементи во nво секоја од нив се нарекуваат такви соединенија кои се разликуваат едни од други или по самите елементи (најмалку еден), или по редоследот на нивниот распоред.

Поставувањата се означени со симболот, каде м- бројот на сите достапни елементи, n- бројот на елементи во секоја комбинација. ( А-првата буква Француски збор аранжман, што значи „поставување, ставање во ред“).

Во исто време, се верува дека nm.

Бројот на места може да се пресмета со помош на формулата

тие. број на сите можни пласмани од мелементи од nе еднаков на производот nпоследователни цели броеви, од кои најголемиот е м.

Да ја напишеме оваа формула во факторска форма:

Пример 3. Колку опции за дистрибуција на три ваучери до санаториуми од различни профили може да се состават за пет апликанти?

Решение. Потребниот број на опции е еднаков на бројот на сместувања на 5 елементи од 3 елементи, т.е.

Комбинации.

Комбинации се сите можни комбинации на мелементи од n, кои се разликуваат едни од други по најмалку еден елемент (тука мИ n-природни броеви и n m).

Број на комбинации на мелементи од nсе означуваат со ( СО- првата буква од францускиот збор комбинација- комбинација).

Генерално, бројот на мелементи од nеднаков на бројот на пласмани од мелементи од n, поделено со бројот на пермутации од nелементи:

Користејќи факторски формули за бројот на сместувања и пермутации, добиваме:

Пример 4. Во тим од 25 луѓе, треба да одвоите четворица за работа во одредена област. На колку начини може да се направи ова?

Решение. Бидејќи редоследот на четирите избрани луѓе не е важен, постојат начини да го направите ова.

Наоѓаме со користење на првата формула

Покрај тоа, при решавање на проблеми, се користат следните формули, изразувајќи ги основните својства на комбинациите:

(по дефиниција тие претпоставуваат и);

1.2. Решавање на комбинаторни проблеми

Задача 1. На факултетот се изучуваат 16 предмети. Треба да ставите 3 предмети на распоредот за понеделник. На колку начини може да се направи ова?

Решение. Има онолку начини да закажете три ставки од 16 колку што можете да организирате сместување на 16 ставки по 3.

Задача 2. Од 15 објекти, треба да изберете 10 објекти. На колку начини може да се направи ова?

Задача 3. На натпреварот учествуваа четири екипи. Колку опции за распределба на местата меѓу нив се можни?

Задача 4. На колку начини може да се формира патрола од тројца војници и еден офицер ако има 80 војници и 3 офицери?

Решение. Можете да изберете војник во патрола

начини, и службеници на начини. Бидејќи секој офицер може да оди со секој тим војници, има само толку многу начини.

Задача 5. Најдете , ако се знае дека .

Од , добиваме

По дефиниција за комбинација следува дека , . Тоа. .

1.3. Концептот на случаен настан. Видови настани. Веројатност за настан

Секое дејство, феномен, набљудување со повеќе различни исходи, реализирани под даден сет на услови, ќе се вика тест.

Резултатот од оваа акција или набљудување се нарекува настан .

Доколку настанот дадени условиможе или не може да се случи, се вика случајно . Кога некој настан сигурно ќе се случи, тој се нарекува сигурен , и во случај кога тоа очигледно не може да се случи, - невозможно.

Настаните се нарекуваат некомпатибилни , ако само еден од нив е можно да се појави секој пат.

Настаните се нарекуваат зглоб , ако, под дадени услови, појавата на еден од овие настани не ја исклучува појавата на друг за време на истиот тест.

Настаните се нарекуваат спротивно , доколку под условите за тестирање тие, како единствени резултати, се некомпатибилни.

Настаните обично се означуваат со големи букви од латинската азбука: А БЕ ЦЕ ДЕ, : .

Комплетен систем на настани A 1 , A 2 , A 3 , : , A n е збир на некомпатибилни настани, од кои појавувањето на барем еден е задолжително за време на даден тест.

Ако целосниот систем се состои од два некомпатибилни настани, тогаш таквите настани се нарекуваат спротивни и се означени со А и .

Пример. Кутијата содржи 30 нумерирани топчиња. Определете кои од следните настани се невозможни, сигурни или спротивни:

извади нумерирана топка (А);

доби топка со парен број (ВО);

доби топка со непарен број (СО);

доби топка без број (Д).

Кои од нив формираат целосна група?

Решение . А- сигурен настан; Д- невозможен настан;

Во и СО- спротивни настани.

Комплетната група на настани се состои од АИ Д, ВИ СО.

Веројатноста за настан се смета како мерка за објективната можност за појава на случаен настан.

1.4. Класична дефиниција за веројатност

Се нарекува број што ја изразува мерката на објективната можност да се случи некој настан веројатност овој настан и е означен со симболот R(A).

Дефиниција. Веројатност за настанот Асе нарекува сооднос на бројот на исходи m поволни за нападот на овој настан А, на бројот nсите исходи (неконзистентни, само можни и подеднакво можни), т.е. .

Затоа, за да се најде веројатноста за настан, потребно е, имајќи ги предвид различните исходи од тестот, да се пресметаат сите можни неконзистентни исходи n,изберете го бројот на исходи m за кои сме заинтересирани и пресметајте го соодносот мДо n.

Следниве својства произлегуваат од оваа дефиниција:

Веројатноста за кој било тест е ненегативен број кој не надминува еден.

Навистина, бројот m од потребните настани е во рамките на . Поделувајќи ги двата дела на n, добиваме

2. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден, бидејќи .

3. Веројатност невозможен настане еднакво на нула бидејќи .

Задача 1. Во лотарија од 1000 тикети има 200 добитни. Еден билет се вади по случаен избор. Која е веројатноста овој тикет да биде добитник?

Решение. Вкупниот број на различни исходи е n= 1000. Бројот на исходи поволни за победа е m=200. Според формулата, добиваме

Задача 2. Во серија од 18 делови има 4 неисправни. 5 дела се избрани по случаен избор. Најдете ја веројатноста дека два од овие 5 дела ќе бидат неисправни.

Решение. Број на сите подеднакво можни независни исходи nеднаков на бројот на комбинации од 18 на 5 т.е.

Да го изброиме бројот m што го фаворизира настанот А. Меѓу 5 дела земени по случаен избор, треба да има 3 добри и 2 неисправни. Бројот на начини за избор на два неисправни делови од 4 постоечки неисправни е еднаков на бројот на комбинации од 4 на 2:

Бројот на начини за избор на три квалитетни делови од 14 достапни квалитетни делови е еднаков на

Секоја група на добри делови може да се комбинира со која било група на неисправни делови, па вкупниот број на комбинации мизнесува до

Потребната веројатност на настанот А е еднаква на односот на бројот на исходи m поволни за овој настан до бројот n од сите подеднакво можни независни исходи:

Збирот на конечен број настани е настан кој се состои од појава на барем еден од нив.

Збирот на два настани се означува со симболот A+B, а збирот nнастани со симболот A 1 +A 2 + : +A n.

Теорема за собирање на веројатност.

Веројатноста за збир на два некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

Заклучок 1. Ако настанот A 1 , A 2 , : ,A n формира комплетен систем, тогаш збирот на веројатностите на овие настани е еднаков на еден.

Заклучок 2. Збирот на веројатностите на спротивни настани и е еднаков на еден.

Задача 1. Има 100 лозови. Познато е дека 5 билети добиваат 20.000 рубли, 10 билети добиваат 15.000 рубли, 15 билети добиваат 10.000 рубли, 25 билети добиваат 2.000 рубли. а за останатите ништо. Најдете ја веројатноста дека купениот билет ќе добие добивка од најмалку 10.000 рубли.

Решение. Нека A, B и C се настани што се состојат во фактот дека купениот билет добива добивка еднаква на 20.000, 15.000 и 10.000 рубли, соодветно. бидејќи настаните A, B и C се некомпатибилни, тогаш

Задача 2. Вклучено екстрамуралнатехничко училиште добива тестови по математика од градовите А, БИ СО. Веројатност за добивање на тест хартија од градот Аеднакво на 0,6, од градот ВО- 0,1. Најдете ја веројатноста дека следниот тестќе дојде од градот СО.

Многумина, кога ќе се соочат со концептот на „теорија на веројатност“, се плашат, мислејќи дека тоа е нешто огромно, многу комплицирано. Но, всушност сè не е толку трагично. Денес ќе го разгледаме основниот концепт на теоријата на веројатност и ќе научиме како да решаваме проблеми користејќи конкретни примери.

Науката

Што проучува гранката на математиката како „теорија на веројатност“? Таа забележува обрасци и количини. Научниците за прв пат се заинтересирале за ова прашање уште во осумнаесеттиот век, кога студирале коцкање. Основниот концепт на теоријата на веројатност е настан. Тоа е секој факт што се утврдува со искуство или набљудување. Но, што е искуство? Друг основен концепт на теоријата на веројатност. Тоа значи дека овој збир на околности е создаден не случајно, туку со специфична цел. Што се однесува до набљудувањето, овде самиот истражувач не учествува во експериментот, туку едноставно е сведок на овие настани; тој на кој било начин не влијае на она што се случува.

Настани

Научивме дека основниот концепт на теоријата на веројатност е настан, но не ја разгледавме класификацијата. Сите тие се поделени во следниве категории:

Сигурен.
Невозможно.
Случајно.

Без оглед на тоа какви настани се, забележани или создадени за време на искуството, сите тие се предмет на оваа класификација. Ве покануваме да се запознаете со секој тип посебно.

Сигурен настан

Ова е околност за која се преземени потребните мерки. За подобро да се разбере суштината, подобро е да се наведат неколку примери. Физика, хемија, економија и виша математика. Теоријата на веројатност го вклучува ова важен концепткако сигурен настан. Еве неколку примери:

Работиме и добиваме надомест во форма на плата.
Добро ги положивме испитите, го положивме натпреварот, за ова добиваме награда во форма на прием во образовна институција.
Вложивме пари во банка, а ако треба ќе си ги вратиме.

Ваквите настани се сигурни. Ако сме завршиле се потребните услови, тогаш дефинитивно ќе го добиеме очекуваниот резултат.

Невозможни настани

Сега ги разгледуваме елементите на теоријата на веројатност. Предлагаме да преминеме на објаснување за следниот тип на настан, имено невозможното. За почеток, да наведеме најмногу важно правило- веројатноста за невозможен настан е нула.

Не може да се отстапи од оваа формулација при решавање на проблеми. За појаснување, еве примери на такви настани:

Водата замрзна на температура од плус десет (ова е невозможно).
Недостигот на електрична енергија не влијае на производството на кој било начин (исто невозможно како и во претходниот пример).

Не вреди да се дадат повеќе примери, бидејќи оние опишани погоре многу јасно ја одразуваат суштината на оваа категорија. Невозможен настан никогаш нема да се случи за време на експериментот под никакви околности.

Случајни настани

Проучување на елементите на теоријата на веројатност, Посебно вниманиевреди да се обрне внимание овој виднастани. Тоа се тие што ги учи оваа наука. Како резултат на искуството, нешто може или не се случи. Покрај тоа, тестот може да се изврши неограничен број пати. Живописни примериможе да послужи:

Фрлењето паричка е искуство или тест, слетувањето на главите е настан.
Слепо вадењето топка од торба е тест, добивањето црвена топка е настан итн.

Може да има неограничен број такви примери, но, генерално, суштината треба да биде јасна. За да се сумираат и систематизираат стекнатите знаења за настаните, дадена е табела. Теоријата на веројатност го проучува само последниот тип од сите презентирани.

Име	дефиниција
Сигурен	Настани кои се случуваат со 100% гаранција доколку се исполнети одредени услови.	Прием во образовна институција по добро полагање на приемниот испит.
Невозможно	Настани кои никогаш нема да се случат под никакви околности.	Снег врне на температура на воздухот од плус триесет степени Целзиусови.
Случајно	Настан што може или не може да се случи за време на експеримент/тест.	Удар или промашување при фрлање кошарка во обрач.

Законите

Теоријата на веројатност е наука која ја проучува можноста да се случи некој настан. Како и другите, има некои правила. Постојат следниве закони на теоријата на веројатност:

Конвергенција на низи од случајни променливи.
Закон за големи броеви.

Кога ја пресметувате можноста за нешто сложено, можете да користите збир на едноставни настани за да постигнете резултат на полесен и побрз начин. Забележете дека законите може лесно да се докажат со користење на одредени теореми. Ви предлагаме прво да се запознаете со првиот закон.

Конвергенција на низи од случајни променливи

Забележете дека постојат неколку видови на конвергенција:

Редоследот на случајни променливи конвергира во веројатноста.
Речиси невозможно.
Средна квадратна конвергенција.
Конвергенција на дистрибуција.

Значи, веднаш од палката, многу е тешко да се разбере суштината. Еве дефиниции кои ќе ви помогнат да ја разберете оваа тема. Да почнеме со првиот поглед. Низата се нарекува конвергентен во веројатноста, доколку се исполнат следниот услов: n се стреми кон бесконечност, бројот кон кој се стреми низата е поголем од нула и блиску до еден.

Ајде да продолжиме на следен поглед,речиси сигурно. Се вели дека низата се спојува речиси сигурнодо случајна променлива со n тенденција кон бесконечност и P со тенденција на вредност блиска до единството.

Следниот тип е средна квадратна конвергенција. Кога се користи SC конвергенција, проучување на векторот случајни процесисе сведува на проучување на нивните координатни случајни процеси.

Останува последниот тип, да го разгледаме накратко за да преминеме директно на решавање проблеми. Конвергенцијата во дистрибуцијата има друго име - „слаба“, а зошто подоцна ќе објасниме. Слаба конвергенцијае конвергенција на дистрибутивните функции во сите точки на континуитет на лимитирачката дистрибутивна функција.

Дефинитивно ќе го одржиме нашето ветување: слабата конвергенција се разликува од сите горенаведени по тоа случајна вредностне е дефиниран на просторот за веројатност. Ова е можно бидејќи состојбата е формирана исклучиво со користење на функции за дистрибуција.

Закон за големи броеви

Теореми на теоријата на веројатност, како што се:

Нееднаквоста на Чебишев.
Теорема на Чебишев.
Генерализирана теорема на Чебишев.
Маркова теорема.

Ако ги земеме предвид сите овие теореми, тогаш ова прашањеможе да трае неколку десетици листови. Нашата главна задача е да ја примениме теоријата на веројатност во пракса. Ви предлагаме да го направите ова веднаш. Но, пред тоа, да ги погледнеме аксиомите на теоријата на веројатност; тие ќе бидат главните асистенти во решавањето на проблемите.

Аксиоми

Првиот веќе го запознавме кога зборувавме за невозможен настан. Да се потсетиме: веројатноста за невозможен настан е нула. Дадовме многу жив и незаборавен пример: снег падна на температура на воздухот од триесет степени Целзиусови.

Вториот звучи на следниот начин: одреден настан се случува со веројатност, еднаков на еден. Сега ќе покажеме како се пишува ова со помош на математички јазик: P(B)=1.

Трето: Случаен настанможе или не може да се случи, но можноста секогаш се движи од нула до еден. Како поблиска вредностна еден, толку се поголеми шансите; ако вредноста се приближи до нула, веројатноста е многу мала. Ајде да го напишеме ова на математички јазик: 0<Р(С)<1.

Да ја разгледаме последната, четврта аксиома, која звучи вака: веројатноста за збир на два настани е еднаква на збирот на нивните веројатности. Го пишуваме на математички јазик: P(A+B)=P(A)+P(B).

Аксиомите на теоријата на веројатност се наједноставните правила кои не е тешко да се запомнат. Ајде да се обидеме да решиме некои проблеми врз основа на знаењето што веќе го имаме стекнато.

Билет за лотарија

Прво, да го погледнеме наједноставниот пример - лотарија. Замислете дека сте купиле една лотарија за среќа. Која е веројатноста дека ќе освоите најмалку дваесет рубли? Вкупно, во тиражот учествуваат илјада билети, од кои еден е со награда од петстотини рубли, десет од нив имаат по сто рубли, педесет имаат награда од дваесет рубли, а сто се со награда од пет. Проблемите со веројатноста се засноваат на пронаоѓање на можноста за среќа. Сега заедно ќе го анализираме решението за горната задача.

Ако ја користиме буквата А за да означиме победа од петстотини рубли, тогаш веројатноста да се добие А ќе биде еднаква на 0,001. Како го добивме ова? Треба само да го поделите бројот на „среќните“ билети со нивниот вкупен број (во овој случај: 1/1000).

Б е победа од сто рубли, веројатноста ќе биде 0,01. Сега постапивме на истиот принцип како и во претходната акција (10/1000)

В - добивките се дваесет рубли. Ја наоѓаме веројатноста, таа е еднаква на 0,05.

Не сме заинтересирани за преостанатите билети, бидејќи нивниот награден фонд е помал од оној наведен во условот. Да ја примениме четвртата аксиома: Веројатноста да освоите најмалку дваесет рубли е P(A)+P(B)+P(C). Буквата P ја означува веројатноста за појава на даден настан; ние веќе ги најдовме во претходните дејства. Останува само да ги собереме потребните податоци, а одговорот што го добиваме е 0,061. Овој број ќе биде одговорот на прашањето за задачата.

Палубата со карти

Проблемите во теоријата на веројатност може да бидат посложени; на пример, да ја земеме следната задача. Пред вас е шпил од триесет и шест карти. Ваша задача е да нацртате две карти по ред без да го измешате магацинот, првата и втората карта мора да бидат асови, оделото не е важно.

Прво, да ја најдеме веројатноста првата карта да биде кец на десетка, за ова делиме четири со триесет и шест. Го ставија на страна. Ја вадиме втората карта, тоа ќе биде кец со веројатност од три триесет и петти. Веројатноста за вториот настан зависи од тоа која карта сме ја извлекле прво, се прашуваме дали тоа е кец или не. Од ова произлегува дека настанот Б зависи од настанот А.

Следниот чекор е да се најде веројатноста за истовремена појава, односно ги множиме A и B. Нивниот производ се наоѓа на следниов начин: ја множиме веројатноста за еден настан со условната веројатност на друг, што го пресметуваме, претпоставувајќи дека првиот се случи настан, односно извлековме кец со првата карта.

За да биде сè јасно, да дадеме ознака на таков елемент како настани. Се пресметува под претпоставка дека настанот А се случил. Се пресметува на следниов начин: P(B/A).

Да продолжиме да го решаваме нашиот проблем: P(A * B) = P(A) * P(B/A) или P(A * B) = P(B) * P(A/B). Веројатноста е еднаква на (4/36) * ((3/35)/(4/36) Пресметуваме со заокружување до најблиската стотинка Имаме: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Веројатноста дека ќе нацртаме два кеса по ред е девет стотинки.Вредноста е многу мала, произлегува дека веројатноста да се случи настанот е исклучително мала.

Заборавен број

Предлагаме да анализираме уште неколку варијанти на задачи што ги проучува теоријата на веројатност. Веќе видовте примери за решавање на некои од нив во оваа статија.Ајде да се обидеме да го решиме следниот проблем: момчето ја заборави последната цифра од телефонскиот број на својот пријател, но бидејќи повикот беше многу важен, тој почна да бира сè еден по еден . Треба да ја пресметаме веројатноста дека тој ќе се јави не повеќе од три пати. Решението на проблемот е наједноставно ако се познати правилата, законите и аксиомите на теоријата на веројатност.

Пред да го погледнете решението, обидете се сами да го решите. Знаеме дека последната цифра може да биде од нула до девет, односно вкупно десет вредности. Веројатноста да се добие вистинскиот е 1/10.

Следно, треба да ги разгледаме опциите за потеклото на настанот, да претпоставиме дека момчето погоди правилно и веднаш го напише вистинското, веројатноста за таков настан е 1/10. Втора опција: првиот повик промаши, а вториот е на целта. Да ја пресметаме веројатноста за таков настан: помножи 9/10 со 1/9, и како резултат добиваме и 1/10. Третата опција: првиот и вториот повици се покажаа на погрешна адреса, само со третата момчето стигна до каде што сакаше. Ја пресметуваме веројатноста за таков настан: 9/10 помножено со 8/9 и 1/8, што резултира со 1/10. Други опции не не интересираат според условите на проблемот, па само треба да ги собереме добиените резултати, на крајот имаме 3/10. Одговор: веројатноста дека момчето ќе се јави не повеќе од три пати е 0,3.

Карти со броеви

Пред вас се девет картички, на секоја од нив е испишан број од еден до девет, броевите не се повторуваат. Се ставаат во кутија и се мешаат темелно. Треба да ја пресметате веројатноста за тоа

ќе се појави парен број;
двоцифрена.

Пред да преминеме на решението, да одредиме дека m е бројот на успешни случаи, а n е вкупниот број на опции. Да ја најдеме веројатноста дека бројот ќе биде парен. Нема да биде тешко да се пресмета дека има четири парни броеви, ова ќе биде нашиот m, има вкупно девет можни опции, односно m=9. Тогаш веројатноста е 0,44 или 4/9.

Да го разгледаме вториот случај: бројот на опции е девет и воопшто не може да има успешни исходи, односно m е еднакво на нула. Веројатноста дека извлечената картичка ќе содржи двоцифрен број е исто така нула.