ОПШТИНСКА ОБРАЗОВНА УСТАНОВА

ГИМНАЗИЈА бр.6

на тема „Класична дефиниција на веројатност“.

Пополнет од ученик од 8 одделение „Б“

Климантова Александра.

Наставник по математика: Виденкина В.А.

Воронеж, 2008 година

Многу игри користат коцки. Коцката има 6 страни, секоја страна има различен број на точки означени на неа - од 1 до 6. Играчот ја фрла коцката и гледа колку точки има на паднатата страна (на страната што се наоѓа горе) . Доста често, точките на лицето на коцката се заменуваат со соодветниот број и потоа се зборува за истурање 1, 2 или 6. Фрлањето матрица може да се смета за експеримент, експеримент, тест, а добиениот резултат е исходот од тест или елементарен настан. Луѓето се заинтересирани да ја погодат појавата на овој или оној настан и да го предвидат неговиот исход. Какви предвидувања можат да направат кога ќе ги фрлат коцките? На пример, овие:

1. настан А - бројот 1, 2, 3, 4, 5 или 6 се тркала;
2. настан Б - бројот 7, 8 или 9 се тркала;
3. настан C-се појавува бројот 1.

Настанот А, предвиден во првиот случај, дефинитивно ќе се случи. Во принцип, настан кој сигурно ќе се случи во дадено искуство се нарекува сигурен настан.

Настанот Б, предвиден во вториот случај, никогаш нема да се случи, тоа е едноставно невозможно. Во принцип, настан што не може да се случи во дадено искуство се нарекува невозможен настан.

И дали настанот В, предвиден во третиот случај, ќе се случи или не? Не можеме да одговориме на ова прашање со целосна сигурност, бидејќи 1 може или не може да испадне. Настанот што може или не може да се случи во дадено искуство се нарекува случаен настан.

Кога размислуваме за појава на сигурен настан, најверојатно нема да го користиме зборот „веројатно“. На пример, ако денес е среда, тогаш утре е четврток, ова е сигурен настан. Во среда нема да кажеме: „Веројатно утре е четврток“, ќе кажеме кратко и јасно: „Утре е четврток“. Точно, ако сме склони кон убави фрази, можеме да го кажеме ова: „Со сто проценти веројатност велам дека утре е четврток“. Напротив, ако денес е среда, тогаш почетокот на петок утре е невозможен настан. Оценувајќи го овој настан во среда, можеме да го кажеме ова: „Сигурен сум дека утре не е петок“. Или ова: „Неверојатно е што утре е петок“. Па, ако сме склони кон убави фрази, можеме да го кажеме ова: „Веројатноста дека утре е петок е нула“. Значи, сигурен настан е настан што се случува под дадени услови со стопроцентна веројатност(т.е., се јавува во 10 случаи од 10, во 100 случаи од 100, итн.). Невозможен настан е настан кој никогаш не се случува под дадени услови, настан со нула веројатност.

Но, за жал (а можеби и за среќа), не е сè во животот толку јасно и прецизно: секогаш ќе биде (одреден настан), никогаш нема да биде (невозможен настан). Најчесто се соочуваме со случајни настани, од кои некои се поверојатни, други помалку веројатни. Обично луѓето ги користат зборовите „поверојатно“ или „помалку веројатно“, како што велат, од каприц, потпирајќи се на она што се нарекува здрав разум. Но, многу често таквите проценки се покажуваат како недоволни, бидејќи е важно да се знае за колку времепроценти веројатно случаен настан или колку патиеден случаен настан е поверојатен од друг. Со други зборови, ни треба точно квантитативникарактеристики, треба да можете да ја карактеризирате веројатноста со број.

Веќе ги направивме првите чекори во оваа насока. Рековме дека веројатноста да се случи одреден настан се карактеризира како сто проценти, а веројатноста да се случи невозможен настан е како нула. Имајќи предвид дека 100% е еднакво на 1, луѓето се согласија на следново:

1. веројатноста за сигурен настан се смета за еднаква 1;
2. веројатноста за невозможен настан се смета за еднаква 0.

Како да се пресмета веројатноста за случаен настан? Впрочем, тоа се случи случајно, што значи дека не се покорува на закони, алгоритми или формули. Излегува дека во светот на случајноста важат одредени закони кои дозволуваат да се пресметаат веројатностите. Ова е гранката на математиката која се нарекува - теорија на веројатност.

Математиката се занимава со моделнекој феномен на реалноста околу нас. Од сите модели што се користат во теоријата на веројатност, ќе се ограничиме на наједноставниот.

Класична веројатносна шема

За да ја пронајдете веројатноста за настанот А при спроведување на некој експеримент, треба:

1) најдете го бројот N на сите можни исходи од овој експеримент;

2) ја прифати претпоставката за еднаква веројатност (еднаква можност) на сите овие исходи;

3) најдете го бројот N(A) на оние експериментални исходи во кои се случува настанот А;

4) најдете го количникот ; ќе биде еднаква на веројатноста за настанот А.

Вообичаено е да се означи веројатноста на настанот А: P(A). Објаснувањето за оваа ознака е многу едноставно: зборот „веројатност“ на француски е веројатно, на англиски- веројатност.Ознаката ја користи првата буква од зборот.

Користејќи ја оваа нотација, веројатноста за настанот А според класичната шема може да се најде со помош на формулата

P(A)=.

Честопати сите точки од горенаведената класична веројатност се изразуваат во една прилично долга фраза.

Класична дефиниција за веројатност

Веројатноста за настанот А за време на одреден тест е односот на бројот на исходи како резултат на кој настанот А се случува со вкупниот број на сите подеднакво можни исходи од овој тест.

Пример 1. Најдете ја веројатноста дека со едно фрлање на матрицата резултатот ќе биде: а) 4; б) 5; в) парен број на поени; г) број на поени поголем од 4; д) број на точки кои не се делат со три.

Решение. Севкупно има N=6 можни исходи: паѓање од коцка со број на точки еднаков на 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Сметаме дека ниту еден од нив нема никакви предности во однос на другите, т.е. ја прифаќаат претпоставката дека еквиверојатноста на овие исходи.

а) Во точно еден од исходите ќе се случи настанот за кој нè интересира, А, ќе се појави бројот 4. Тоа значи дека N(A)=1 и

П(А)= =.

б) Решението и одговорот се исти како во претходниот став.

в) Настанот Б кој нè интересира ќе се случи во точно три случаи кога бројот на поени е 2, 4 или 6. Тоа значи

Н(Б)=3 иП(Б)==.

г) Настанот В кој нè интересира ќе се случи во точно два случаи кога бројот на поени е 5 или 6. Тоа значи

Н(В) =2 и Р(С)=.

д) Од шесте можни извлечени броеви, четири (1, 2, 4 и 5) не се множител на три, а останатите два (3 и 6) се деливи со три. Тоа значи дека настанот од нас се случува во точно четири од шест можни и подеднакво веројатни и подеднакво веројатни исходи од експериментот. Затоа, одговорот излегува дека е.

Одговор: а) ; б) ; V) ; G) ; г).

Вистинската коцка може многу да се разликува од идеалната (моделска) коцка, затоа, за да се опише нејзиното однесување, потребен е попрецизен и детален модел, земајќи ги предвид предностите на едното лице во однос на другото, можното присуство на магнети итн. „Ѓаволот е во деталите“, а поголемата точност води кон поголема сложеност, а добивањето одговор станува проблем. Се ограничуваме на разгледување на наједноставниот веројатен модел, каде што сите можни исходи се подеднакво веројатни.

Забелешка 1. Ајде да погледнеме друг пример. Беше поставено прашањето: „Која е веројатноста да се добие ролна три на едно матрица? Студентот одговорил: „Веројатноста е 0,5“. И тој го објасни својот одговор: „Тројца или ќе излезат или не. Тоа значи дека има вкупно два исхода и токму во еден од нив се случува настанот од нас. Користејќи ја класичната шема на веројатност, го добиваме одговорот 0,5. Дали има грешка во ова размислување? На прв поглед, не. Сепак, тој сè уште постои, и тоа на фундаментален начин. Да, навистина, тројка или ќе излезе или не, т.е. со оваа дефиниција за исходот од фрлањето N=2. Исто така, точно е дека N(A) = 1 и, се разбира, точно е дека =0,5, т.е. се земени предвид три точки од веројатностата шема, но исполнувањето на точка 2) е доведено во прашање. Се разбира, од чисто правна гледна точка, имаме право да веруваме дека тркалањето тројка е подеднакво веројатно дека нема да испадне. Но, дали можеме да мислиме така без да ги нарушиме сопствените природни претпоставки за „истоста“ на рабовите? Се разбира не! Овде се работи за правилно расудување во рамките на одреден модел. Но, самиот овој модел е „погрешен“, не одговара на реалниот феномен.

Забелешка 2. Кога разговарате за веројатноста, не губете ја од вид следната важна околност. Ако кажеме дека при фрлање на коцка, веројатноста да се добие еден поен е еднаква на пати, ќе добиете поен точно три пати, итн. Зборот веројатно е шпекулативен. Претпоставуваме што е најверојатно да се случи. Веројатно ако ги фрлиме коцките 600 пати, една точка ќе дојде 100 пати, или околу 100.

Теоријата на веројатност се појавила во 17 век кога се анализирале различни игри на среќа. Затоа, не е чудно што првите примери се од разиграна природа. Од примери со коцки, да преминеме на случајно вадење карти за играње од палубата.

Пример 2. Од шпил од 36 карти, по случаен избор се извлекуваат 3 карти во исто време. Која е веројатноста меѓу нив да нема кралица на лопати?

Решение. Имаме сет од 36 елементи. Избираме три елементи, чиј редослед не е важен. Ова значи дека е можно да се добијат N=C исходи. Ќе дејствуваме според класичната шема на веројатност, односно ќе претпоставиме дека сите овие исходи се подеднакво веројатни.

Останува да се пресмета потребната веројатност користејќи ја класичната дефиниција:

Која е веројатноста меѓу одбраните три карти да има кралица на лопати? Бројот на сите такви исходи не е тешко да се пресмета; само треба да ги одземете од сите исходи N сите оние исходи во кои нема кралица на лопати, т.е. да го одземете бројот N(A) што се наоѓа во Пример 3. Потоа, во согласност со класичната шема на веројатност, оваа разлика N-N(A) треба да се подели со N. Еве што добиваме:

Гледаме дека постои одредена поврзаност помеѓу веројатностите на два настани. Ако настанот А е отсуството на кралицата на лопати, а настанот Б е неговото присуство меѓу избраните три карти, тогаш

P(B)= 1-P(A),

P(A)+P(B)=1.

За жал, во еднаквоста P(A)+P(B)=1 нема информации за поврзаноста на настаните A и B; мора да ја имаме на ум оваа врска. Би било попогодно да се даде на настанот Б име и ознака однапред што јасно ја означува неговата поврзаност со А.

Дефиниција 1. Настан Бповикани спротивно на настанот Аи означи B=Ā ако настанот B се случува ако и само ако настанот A не се случи.

ТТеорема 1. За да ја пронајдете веројатноста за спротивниот настан, одземете ја веројатноста на самиот настан од единството: P(Ā)= 1—P(A). Навистина,

Во пракса, тие пресметуваат што е полесно да се најде: или P(A) или P(Ā). По ова, користете ја формулата од теоремата и пронајдете, соодветно, или P(Ā) = 1 - P(A), или P(A) = 1 - P(Ā).

Методот на решавање на одреден проблем често се користи со „набројување на случаи“, кога условите на проблемот се поделени на меѓусебно исклучиви случаи, од кои секоја се разгледува одделно. На пример, „ако одите десно, ќе го изгубите коњот, ако одите право, ќе решите проблем во теоријата на веројатност, ако одите налево, ...“. Или кога се конструира график на функцијата y=│x+1│—│2x—5│да се разгледаат случаите x

Пример 3. Од 50 поени, 17 се обоени во сина, а 13 се обоени во портокалова боја. Најдете ја веројатноста случајно избраната точка да биде засенчена.

Решение. Засенчени се вкупно 30 точки од 50. Тоа значи дека веројатноста е = 0,6.

Одговор: 0,6.

Меѓутоа, да го погледнеме овој едноставен пример подетално. Нека настанот A е дека избраната точка е сина, а настан B е дека избраната точка е портокалова. По услов, настаните А и Б не можат да се случат истовремено.

Да го означиме настанот од нас со буквата В. Настанот C се случува ако и само ако се случи барем еден од настаните А или Б. Јасно е дека N(C)= N(A)+N(B).

Да ги поделиме двете страни на оваа еднаквост со N - бројот на сите можни исходи од овој експеримент; добиваме

Користејќи едноставен пример, анализиравме важна и често сретнувана ситуација. За него има посебно име.

Дефиниција 2. Настаните А и Б се нарекуваат некомпатибилни, доколку не можат да се појават истовремено.

Теорема 2. Веројатноста за појава на најмалку еден од двата некомпатибилни настани е еднаква на збирот на нивните веројатности.

При преведување на оваа теорема на математички јазик, постои потреба некако да се именува и означи настан кој се состои од појава на најмалку еден од двата дадени настани А и Б. Таквиот настан се нарекува збир на настани А и Б и се означува А + Б.

Ако A и B се некомпатибилни, тогаш P(A+B)=P(A)+P(B).

Навистина,

Удобно е да се илустрира некомпатибилноста на настаните А и Б со цртеж. Ако сите резултати од експериментот се одреден сет на точки на сликата, тогаш настаните А и Б се некои подмножества на дадено множество. Некомпатибилноста на А и Б значи дека овие две подмножества не се сечат. Типичен пример за некомпатибилни настани е секој настан А и спротивниот настан Ā.

Се разбира, оваа теорема е точна за три, четири и секој конечен број на парови некомпатибилни настани. Веројатноста за збирот на кој било број некомпатибилни настани во пар е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.Оваа важна изјава точно одговара на методот „од случај до случај“ за решавање проблеми.

Може да има некои врски, зависности, врски итн. помеѓу настаните што се случуваат како резултат на одредено искуство и помеѓу веројатностите на овие настани. На пример, настаните може да се „додадат“, а веројатноста за збирот на некомпатибилни настани е еднаква до збирот на нивните веројатности.

Како заклучок, да разговараме за следното фундаментално прашање: дали е можно доказдека веројатноста да се добијат глави во едно фрлање паричка е

Одговорот е негативен. Општо земено, самото прашање не е точно, точното значење на зборот „докажува“ е нејасно. На крајот на краиштата, ние секогаш нешто докажуваме во рамките на некои модели, во која веќе се познати правилата, законите, аксиомите, формулите, теоремите итн.. Ако зборуваме за имагинарна, „идеална“ монета, тогаш таа се смета за идеална затоа што, а-приоритет, веројатноста за добивање „опашки“ е еднаква на веројатноста за добивање „глави“. И, во принцип, можеме да разгледаме модел во кој веројатноста за паѓање „опашки“ е два пати поголема од веројатноста за паѓање „глави“ или три пати помала, итн. Тогаш се поставува прашањето: од која причина избираме различни можни модели на фрлање монети?

Многу директен одговор е: „Но, за нас е полесно, појасно и поприродно! Но, има и посуштински аргументи. Тие доаѓаат од пракса. Огромното мнозинство учебници за теоријата на веројатност даваат примери за францускиот натуралист Џ. Буфон (18 век) и англискиот математичар и статистичар К. број на глави што излегоа.“ или „опашки“. Тие се спуштија глави 1992 и 11998 пати, соодветно. Ако сметате фреквенција на загуба„опашки“, тогаш излегува = = 0,493069... за Буфон и = 0,4995 за Пирсон. Природно произлегува претпоставка, дека со неограничено зголемување на бројот на фрлања монети, фреквенцијата на паѓање „опашки“, како и зачестеноста на паѓање „глави“ се повеќе ќе се приближува до 0,5. Токму оваа претпоставка, базирана на практични податоци, е основа за избор на модел со подеднакво веројатни исходи.

Сега можеме да резимираме. Основен концепт - веројатност за случаен настан, кој се пресметува во рамките на наједноставниот модел- класична веројатносна шема. Концептот е важен и во теорија и во пракса спротивен настани формулата P(Ā)= 1—P(A) за да се најде веројатноста за таков настан.

Конечно се запознавме некомпатибилни настании со формули.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

овозможувајќи ви да пронајдете веројатности износивакви настани.

Библиографија

1. Настани. Веројатности. Статистичка обработка на податоци: Дополнителна. параграфи за предметот алгебра 7-9 одд. образовни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4th ed. - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 стр.: ill.

2. Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук „Алгебра. Елементи на статистика и теорија на веројатност“ (Москва, „Просвешчение“, 2006 година.

Класична дефиниција за веројатност.

Како што споменавме погоре, со голем број n фреквенција на тестирање P*(A)=m/ nпојава на настан А е стабилен и дава приближна вредност на веројатноста за настан А , т.е. .

Оваа околност ни овозможува експериментално да ја најдеме приближната веројатност за некој настан. Во пракса, овој метод за наоѓање на веројатноста за настан не е секогаш погоден. На крајот на краиштата, треба однапред да ја знаеме веројатноста за некој настан, дури и пред експериментот. Ова е хеуристичката, предвидувачка улога на науката. Во голем број случаи, веројатноста за настан може да се одреди пред експериментот користејќи го концептот на еквиверојатност на настаните (или еднаквост).

Двата настани се нарекуваат подеднакво веројатни (или подеднакво можно ), ако не постојат објективни причини да се верува дека еден од нив може да се јавува почесто од другиот.

Така, на пример, појавата на грб или натпис при фрлање паричка се подеднакво веројатни настани.

Ајде да погледнеме друг пример. Нека ги фрлат коцките. Поради симетријата на коцката, можеме да претпоставиме дека појавата на некој од броевите 1, 2, 3, 4, 5 или 6 подеднакво можно (подеднакво веројатно).

Настани во овој експеримент тие формираат целосна група , ако барем еден од нив треба да се појави како резултат на експериментот. Така, во последниот пример, комплетната група на настани се состои од шест настани - појава на броеви 1, 2, 3, 4, 5 И 6.

Очигледно, секој настан А а нејзиниот спротивен настан формираат целосна група.

Настан Б повикани поволни настан А , ако појавата на некој настан Б повлекува појава на настан А . Па ако А - појава на парен број поени при фрлање на коцка, потоа појава на број 4 претставува настан кој фаворизира настан А.

Нека настани во овој експеримент формирајте целосна група од подеднакво веројатни и некомпатибилни настани во пар. Ајде да ги повикаме исходи тестови. Да претпоставиме дека настанот А ги фаворизираат резултатите од судењето. Потоа веројатноста за настанот А во овој експеримент се нарекува став. Така доаѓаме до следнава дефиниција.

Веројатноста P(A) на настан во даден експеримент е односот на бројот на експериментални исходи поволни за настанот А до вкупниот број на можни експериментални исходи кои формираат целосна група на еднакво веројатни парови некомпатибилни настани: .

Оваа дефиниција за веројатност често се нарекува класичен. Може да се покаже дека класичната дефиниција ги задоволува аксиомите на веројатност.

Пример 1.1.Серија од 1000 лежишта. Случајно влегов во оваа група 30 лежишта кои не го исполнуваат стандардот. Определете ја веројатноста P(A) дека лежиштето земено по случаен избор ќе испадне да биде стандардно.

Решение:Бројот на стандардни лежишта е 1000-30=970 . Ќе претпоставиме дека секое лежиште има иста веројатност да биде избрано. Тогаш комплетната група на настани се состои од подеднакво веројатни исходи, од кои настанот А фаворизираат исходи. Затоа .

Пример 1.2.Во урната 10 топки: 3 бела и 7 црна. Од урната се земаат две топки одеднаш. Која е веројатноста Р дека двете топчиња ќе испаднат бели?

Решение:Бројот на сите подеднакво веројатни исходи од тестот е еднаков на бројот на начини на кои 10 извадете две топки, односно бројот на комбинации од 10 елементи од 2 (целосна група на настани):

Бројот на поволни исходи (на колку начини може да се избере 3 изберете топки 2) : . Затоа, потребната веројатност .

Гледајќи напред, овој проблем може да се реши на друг начин.

Решение:Веројатноста дека при првото испитување (вадење топка) ќе биде извлечена бела топка е еднаква на (вкупни топки 10 , од нив 3 бела). Веројатноста дека за време на вториот обид белата топка повторно ќе биде извлечена е еднаква на (вкупниот број на топки сега е 9, бидејќи извадија еден, побел 2, бидејќи Ја извадија белата). Следствено, веројатноста за комбинирање на настани е еднаква на производот на нивните веројатности, т.е. .

Пример 1.3.Во урната 2 зелена, 7 црвено, 5 кафеава и 10 бели топчиња. Која е веројатноста да се појави обоена топка?

Решение: Ги наоѓаме, соодветно, веројатностите за појава на зелени, црвени и кафени топчиња: ; ; . Бидејќи настаните што се разгледуваат се очигледно некомпатибилни, тогаш, користејќи ја аксиомата за собирање, ја наоѓаме веројатноста за појава на обоена топка:

Или, на друг начин. Веројатноста да се појави бела топка е . Тогаш веројатноста за појава на небела топка (т.е. обоена), т.е. веројатноста за спротивен настан е еднаква на .

Геометриска дефиниција на веројатност. За да се надмине недостатокот на класичната дефиниција за веројатност (не е применлива за тестови со бесконечен број исходи), се воведува геометриска дефиниција за веројатност - веројатност точката да падне во регион (сегмент, дел од рамнина, итн.).

Нека сегментот е дел од сегментот. Точка се поставува случајно на отсечка, што значи дека се исполнети следните претпоставки: поставената точка може да биде во која било точка на отсечката, веројатноста точката да падне на отсечката е пропорционална со должината на оваа отсечка и не зависат од неговата локација во однос на сегментот. Според овие претпоставки, веројатноста точката да падне на сегмент се определува со еднаквоста

Класична и статистичка дефиниција на веројатноста

За практични активности потребно е да се знае да се споредуваат настаните според степенот на можност за нивно појавување. Да разгледаме класичен случај. Во урната има 10 топчиња, од кои 8 се бели, 2 се црни. Очигледно, настанот „ќе се извлече бела топка од урната“ и настанот „ќе се извлече црна топка од урната“ имаат различни степени на можност за нивно појавување. Затоа, за да се споредат настаните, потребна е одредена квантитативна мерка.

Квантитативна мерка за можноста да се случи некој настан е веројатност . Најшироко користените дефиниции за веројатноста за настан се класичните и статистичките.

Класична дефиницијаверојатноста е поврзана со концептот на поволен исход. Ајде да го разгледаме ова подетално.

Нека исходите од некој тест формираат целосна група на настани и се подеднакво можни, т.е. единствено можно, некомпатибилно и подеднакво возможно. Таквите исходи се нарекуваат елементарни исходи, или случаи. Се вели дека тестот се сведува на шема на случајили " урна шема“, бидејќи Секој проблем со веројатноста за таков тест може да се замени со еквивалентен проблем со урни и топчиња со различни бои.

Исходот се нарекува поволнинастан А, доколку настанувањето на овој случај повлекува и настанување на настанот А.

Според класичната дефиниција веројатност за настан А е еднаков на односот на бројот на исходи поволни за овој настан до вкупниот број на исходи, т.е.

,

(1.1)

Каде P(A)– веројатност за настан А; м– број на случаи поволни за настанот А; n– вкупен број случаи.

Пример 1.1.Кога фрлате коцка, постојат шест можни исходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6 поени. Која е веројатноста да се добие парен број на поени?

Решение. Сите n= 6 исходи формираат целосна група на настани и се подеднакво можни, т.е. единствено можно, некомпатибилно и подеднакво возможно. Настанот А - „појава на парен број поени“ - е фаворизиран од 3 исходи (случаи) - губење на 2, 4 или 6 поени. Користејќи ја класичната формула за веројатноста за настан, добиваме

P(A) = = . ◄

Врз основа на класичната дефиниција за веројатноста за настан, ги забележуваме неговите својства:

1. Веројатноста за кој било настан се наоѓа помеѓу нула и еден, т.е.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден.

3. Веројатноста за невозможен настан е нула.

Како што беше наведено претходно, класичната дефиниција за веројатност е применлива само за оние настани кои можат да настанат како резултат на тестови кои имаат симетрија на можните исходи, т.е. може да се сведе на шема на случаи. Сепак, постои голема класа на настани чиишто веројатности не можат да се пресметаат со користење на класичната дефиниција.

На пример, ако се претпостави дека монетата е сплескана, тогаш очигледно е дека настаните „појава на грб“ и „појава на глави“ не можат да се сметаат подеднакво можни. Затоа, формулата за одредување на веројатноста според класичната шема не е применлива во овој случај.

Сепак, постои друг пристап за проценување на веројатноста за настани, врз основа на тоа колку често ќе се случи даден настан во извршените испитувања. Во овој случај, се користи статистичката дефиниција за веројатност.

Статистичка веројатностнастан А е релативната фреквенција (фреквенција) на појавување на овој настан во n извршени испитувања, т.е.

,

(1.2)

Каде P*(A)– статистичка веројатност за настан А; w(A)– релативна фреквенција на настанот А; м– број на испитувања во кои се случил настанот А; n– вкупен број на тестови.

За разлика од математичката веројатност P(A), сметано во класичната дефиниција, статистичка веројатност P*(A)е карактеристика искусни, експериментален. Со други зборови, статистичка веројатност за настан Ае бројот околу кој се стабилизира релативната фреквенција (поставена) w(A)со неограничено зголемување на бројот на тестови извршени под ист сет на услови.

На пример, кога велат за стрелец дека ја погодува целта со веројатност од 0,95, тоа значи дека од стотиците истрели од него под одредени услови (иста цел на исто растојание, иста пушка итн. . ), во просек има околу 95 успешни. Нормално, не секоја стотка ќе има 95 успешни снимки, понекогаш ќе има помалку, понекогаш повеќе, но во просек, со повеќекратно повторување на пукањето под исти услови, овој процент на удари ќе остане непроменет. Бројката од 0,95, која служи како показател за умешноста на стрелецот, обично е многу стабилно, т.е. процентот на погодоци во повеќето пукања ќе биде речиси ист за даден стрелец, само во ретки случаи значително отстапува од неговата просечна вредност.

Друг недостаток на класичната дефиниција за веројатност ( 1.1 ) ограничувањето на неговата употреба е тоа што претпоставува конечен број на можни исходи од тестот. Во некои случаи, овој недостаток може да се надмине со користење на геометриска дефиниција за веројатност, т.е. наоѓање на веројатноста точката да падне во одредена област (сегмент, дел од рамнина и сл.).

Нека рамната фигура ее дел од рамна фигура Г(сл. 1.1). Се вклопуваат Гточка се фрла по случаен избор. Тоа значи дека сите точки во регионот Г„еднакви права“ во однос на тоа дали фрлената случајна точка ја погодува. Под претпоставка дека веројатноста за настан А– фрлената точка удира во фигурата е- е пропорционална на површината на оваа бројка и не зависи од нејзината локација во однос на Г, ниту од формата е, ќе најдеме

Проблеми на класичното определување на веројатноста.
Примери на решенија

Во третата лекција ќе разгледаме различни проблеми кои вклучуваат директна примена на класичната дефиниција за веројатност. За ефикасно проучување на материјалите во оваа статија, препорачувам да се запознаете со основните концепти теорија на веројатностИ основите на комбинаториката. Задачата за класично одредување на веројатноста со веројатност која се стреми кон една ќе биде присутна во вашата независна/контролна работа на тервер, па ајде да се подготвиме за сериозна работа. Можеби ќе прашате, што е толку сериозно во ова? ...само една примитивна формула. Ве предупредувам на несериозност - тематските задачи се доста разновидни, а многу од нив лесно можат да ве збунат. Во овој поглед, покрај работата низ главната лекција, обидете се да проучите дополнителни задачи на темата кои се во свинче банка готови решенија за виша математика. Техниките за решение се техники за решение, но „пријателите“ сепак „треба да се познаваат по видување“, бидејќи дури и богатата имагинација е ограничена, а има и доволно стандардни задачи. Па, ќе се обидам да средам што е можно повеќе од нив со добар квалитет.

Да се ​​потсетиме на класиците од жанрот:

Веројатноста да се случи настан во одреден тест е еднаква на односот, каде што:

– вкупен број на сите подеднакво можно, елементаренрезултатите од овој тест, кои се формираат целосна група на настани;

- квантитет елементаренисходи поволни за настанот.

И веднаш пит стоп. Дали ги разбирате подвлечените поими? Ова значи јасно, а не интуитивно разбирање. Ако не, тогаш сепак е подобро да се вратите на 1-виот напис теорија на веројатности само после тоа продолжи понатаму.

Ве молиме, не прескокнувајте ги првите примери - во нив ќе повторам една фундаментално важна точка, а исто така ќе ви кажам како правилно да форматирате решение и на кои начини може да се направи тоа:

Проблем 1

Урната содржи 15 бели, 5 црвени и 10 црни топчиња. Извлечена е 1 топка по случаен избор, пронајдете ја веројатноста дека ќе биде: а) бела, б) црвена, в) црна.

Решение: Најважниот предуслов за користење на класичната дефиниција за веројатност е способност да се брои вкупниот број на исходи.

Во урната има вкупно 15 + 5 + 10 = 30 топчиња, а очигледно вистинити се следните факти:

– подеднакво е можно да се земе која било топка (еднакви можностиисходи), додека исходите елементарен и форма целосна група на настани (т.е., како резултат на тестот, една од 30-те топки дефинитивно ќе биде отстранета).

Така, вкупниот број на исходи:

Размислете за настанот: – ќе се извлече бела топка од урната. Овој настан е фаворизиран елементаренрезултати, според тоа, според класичната дефиниција:
– веројатноста дека од урната ќе биде извлечена бела топка.

Доволно чудно, но дури и во толку едноставна задача може да се направи сериозна неточност, на која веќе се фокусирав во првата статија на теорија на веројатност. Каде е тука замката? Неточно е овде да се тврди дека „Бидејќи половина од топчињата се бели, тогаш веројатноста да се нацрта бела топка» . Класичната дефиниција за веројатност се однесува на КОРИСНИЧКИисходи, а дропот мора да се запише!

Со други точки, на сличен начин, разгледајте ги следните настани:

– од урната ќе се извлече црвено топче;
– од урната ќе се извлече црна топка.

Настанот е фаворизиран со 5 елементарни исходи, а настан е фаворизиран од 10 елементарни исходи. Значи соодветните веројатности се:

Типична проверка на многу задачи на серверот се врши со користење теореми за збир на веројатности на настани кои формираат целосна група. Во нашиот случај, настаните формираат целосна група, што значи дека збирот на соодветните веројатности мора нужно да биде еднаков: .

Ајде да провериме дали ова е вистина: тоа е она во што сакав да се уверам.

Одговори:

Во принцип, одговорот може да се запише подетално, но лично, јас сум навикнат таму да ставам само бројки - од причина што кога ќе почнете да „бришете“ проблеми во стотици и илјадници, се обидувате да го намалите пишувањето на решението што е можно повеќе. Патем, за краткост: во пракса, опцијата за дизајн со „голема брзина“ е вообичаена решенија:

Вкупно: 15 + 5 + 10 = 30 топчиња во урната. Според класичната дефиниција:
– веројатноста дека од урната ќе биде извлечена бела топка;
– веројатноста дека од урната ќе биде извлечена црвена топка;
– веројатноста дека од урната ќе биде извлечена црна топка.

Одговори:

Меѓутоа, ако има неколку точки во состојбата, тогаш често е попогодно да се формулира решението на прв начин, што одзема малку повеќе време, но во исто време „поставува сè на полиците“ и го олеснува да се движите низ проблемот.

Ајде да се загрееме:

Проблем 2

Продавницата добила 30 ладилници, од кои пет се со производствен дефект. Еден фрижидер е избран по случаен избор. Колкава е веројатноста да биде без дефект?

Изберете ја соодветната опција за дизајн и проверете го примерокот на дното на страницата.

Во наједноставните примери, бројот на заеднички и бројот на поволни исходи лежат на површината, но во повеќето случаи треба сами да ги ископате компирите. Канонска серија проблеми за заборавен претплатник:

Проблем 3

Кога бирал телефонски број, претплатникот ги заборавил последните две цифри, но се сеќава дека едната од нив е нула, а другата е непарна. Најдете ја веројатноста дека ќе го заврти точниот број.

Забелешка : нулата е парен број (делив со 2 без остаток)

Решение: Прво го наоѓаме вкупниот број на исходи. По услов, претплатникот се сеќава дека една од цифрите е нула, а другата цифра е непарна. Овде е порационално да не бидеме незгодни со комбинаторика и употреба метод на директно наведување на исходите . Односно, кога правиме решение, едноставно ги запишуваме сите комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броиме - вкупно: 10 исходи.

Има само еден поволен исход: точниот број.

Според класичната дефиниција:
– веројатност претплатникот да го заврти точниот број

Одговори: 0,1

Децималните фракции изгледаат сосема соодветно во теоријата на веројатност, но исто така можете да се придржувате до традиционалниот стил на Вишматов, кој работи само со обични фракции.

Напредна задача за независно решение:

Проблем 4

Претплатникот го заборавил PIN-кодот за неговата SIM-картичка, но се сеќава дека содржи три „петки“, а еден од броевите е или „седум“ или „осум“. Која е веројатноста за успешно овластување при првиот обид?

Овде можете исто така да ја развиете идејата за веројатноста дека претплатникот ќе се соочи со казна во форма на пук-код, но, за жал, расудувањето ќе излезе надвор од опсегот на оваа лекција

Решението и одговорот се подолу.

Понекогаш наведувањето на комбинации се покажува како многу макотрпна задача. Особено, тоа е случај во следната, не помалку популарна група проблеми, каде што се фрлаат 2 коцки (поретко - поголеми количини):

Проблем 5

Најдете ја веројатноста дека при фрлање две коцки вкупниот број ќе биде:

а) пет поени;
б) не повеќе од четири поени;
в) од 3 до 9 бода вклучително.

Решение: најдете го вкупниот број на исходи:

Начини на страната на првата матрица може да испадне Ина различни начини страната на 2-та коцка може да испадне; Од страна на правило за множење комбинации, Вкупно: можни комбинации. Со други зборови, секојлицето на 1. коцка може да биде наредипар со секојработ на втората коцка. Дозволете ни да се согласиме да напишеме таков пар во форма , каде е бројот што се појавува на првата матрица и е бројот што се појавува на втората матрица. На пример:

– првата коцка освои 3 поени, втората коцка 5 поени, вкупни поени: 3 + 5 = 8;
– првата коцка освои 6 поени, втората коцка 1 поен, вкупни поени: 6 + 1 = 7;
– 2 поени свртени на двете коцки, збир: 2 + 2 = 4.

Очигледно, најмалиот износ го дава пар, а најголемиот со две „шестки“.

а) Размислете за настанот: – при фрлање две коцки ќе се појават 5 поени. Ајде да го запишеме и броиме бројот на исходи кои го поддржуваат овој настан:

Вкупно: 4 поволни исходи. Според класичната дефиниција:
– саканата веројатност.

б) Размислете за настанот: – нема да се префрлат повеќе од 4 поени. Тоа е, или 2, или 3, или 4 поени. Повторно ги наведуваме и броиме поволните комбинации, лево ќе го запишам вкупниот број на поени, а по дебелото црево - соодветните парови:

Вкупно: 6 поволни комбинации. Така:
– веројатноста дека нема да се тркалаат повеќе од 4 поени.

в) Размислете за настанот: – 3 до 9 поени ќе се тркалаат, вклучително. Овде можете да тргнете по правиот пат, но... поради некоја причина не сакате. Да, некои парови веќе се наведени во претходните параграфи, но има уште многу работа да се заврши.

Кој е најдобриот начин да се продолжи? Во такви случаи, кружната патека се покажува како рационална. Ајде да размислиме спротивен настан: – Ќе се тркалаат 2 или 10 или 11 или 12 поени.

Што е поентата? Спротивниот настан е фаворизиран од значително помал број парови:

Вкупно: 7 поволни исходи.

Според класичната дефиниција:
– веројатноста дека ќе тркалате помалку од три или повеќе од 9 поени.

Покрај директното наведување и броење на исходите, различни комбинаторни формули. И повторно епски проблем за лифтот:

Проблем 7

3 лица влегле во лифт на 20-катница на првиот кат. И да одиме. Најдете ја веројатноста дека:

а) ќе излезат на различни катови
б) двајца ќе излезат на истиот кат;
в) сите ќе се симнат на ист кат.

Нашата возбудлива лекција дојде до својот крај, и конечно, уште еднаш силно препорачувам дека ако не се реши, тогаш барем сфати дополнителни проблеми на класичното определување на веројатноста. Како што веќе забележав, важно е и „рачното полнење“!

Понатаму по курсот - Геометриска дефиниција на веројатностИ Теореми за собирање и множење на веројатностаи... среќа во главното!

Решенија и одговори:

Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 фрижидери немаат дефект.

– веројатноста случајно избраниот фрижидер да нема дефект.
Одговори :

Задача 4: Решение: најдете го вкупниот број на исходи:
начини на кои можете да го изберете местото каде што се наоѓа сомнителниот број и на секојОд овие 4 места, може да се лоцираат 2 цифри (седум или осум). Според правилото за множење на комбинации, вкупниот број на исходи: .
Алтернативно, решението едноставно може да ги наведе сите резултати (за среќа има неколку од нив):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само еден поволен исход (точен пин-код).
Така, според класичната дефиниција:
– веројатност претплатникот да се најави при првиот обид
Одговори :

Задача 6: Решение: најдете го вкупниот број на исходи:
броевите на 2 коцки може да се појават на различни начини.

а) Размислете за настанот: – при фрлање две коцки, производот од бодовите ќе биде еднаков на седум. Нема поволни исходи за даден настан, според класичната дефиниција за веројатност:
, т.е. овој настан е невозможен.

б) Размислете за настанот: – при фрлање две коцки, производот од бодовите ќе биде најмалку 20. Следниве исходи се поволни за овој настан:

Вкупно: 8
Според класичната дефиниција:
– саканата веројатност.

в) Размислете за спротивни настани:
– производот на поени ќе биде парен;
– производот на поени ќе биде непарен.
Да ги наведеме сите исходи поволни за настанот:

Вкупно: 9 поволни исходи.
Според класичната дефиниција за веројатност:
Спротивните настани формираат целосна група, затоа:
– саканата веројатност.

Одговори :

Проблем 8: Решение: да го пресметаме вкупниот број на исходи: 10 монети можат да паднат на различни начини.
Друг начин: начини на кои може да падне првата монета Иначини на кои може да падне втората монета И … Иначини на кои може да падне 10-тата монета. Според правилото за множење на комбинации, може да паднат 10 монети начини.
а) Размислете за настанот: – главите ќе се појават на сите монети. Овој настан е фаворизиран од еден единствен исход, според класичната дефиниција за веројатност: .
б) Размислете за настанот: – 9 монети ќе паднат со глави, а една паричка ќе падне во опашка.
Има монети кои можат да слетаат на главите. Според класичната дефиниција за веројатност: .
в) Размислете за настанот: – главите ќе се појават на половина од монетите.
Постои уникатни комбинации од пет монети кои можат да слетаат глави. Според класичната дефиниција за веројатност:
Одговори :

Веројатноста за настан се подразбира како одредена нумеричка карактеристика на можноста за појава на овој настан. Постојат неколку пристапи за одредување на веројатноста.

Веројатност за настанот Асе нарекува сооднос на бројот на исходи поволни за овој настан со вкупниот број на сите подеднакво можни некомпатибилни елементарни исходи што ја формираат комплетната група. Значи, веројатноста за настанот Асе одредува со формулата

Каде м– бројот на елементарни исходи поволни А, n– бројот на сите можни елементарни исходи од тестот.

Пример 3.1.Во експеримент кој вклучува фрлање матрица, бројот на сите резултати nе еднакво на 6 и сите се подеднакво можни. Нека настанот Азначи појава на парен број. Тогаш за овој настан, поволни исходи ќе бидат појавувањето на броевите 2, 4, 6. Нивниот број е 3. Затоа, веројатноста за настанот Аеднаква на

Пример 3.2.Која е веројатноста двоцифрениот број избран по случаен избор да има исти цифри?

Двоцифрените броеви се броеви од 10 до 99, такви броеви има вкупно 90. 9 броеви имаат идентични цифри (тоа се броевите 11, 22, ..., 99). Бидејќи во овој случај м=9, n= 90, тогаш

Каде А– настан, „број со исти цифри“.

Пример 3.3.Во серија од 10 делови, 7 се стандардни. Најдете ја веројатноста дека меѓу шест делови земени по случаен избор, 4 се стандардни.

Вкупниот број на можни елементарни исходи од тестот е еднаков на бројот на начини на кои може да се извлечат 6 дела од 10, т.е., бројот на комбинации од 10 елементи од по 6 елементи. Дозволете ни да го одредиме бројот на исходи поволни за настанот од нас А(меѓу шесте преземени делови има 4 стандардни). Од седум стандардни делови може да се земат четири стандардни делови на различни начини; во исто време, преостанатите 6-4=2 делови мора да бидат нестандардни, но можете да земете два нестандардни делови од 10-7=3 нестандардни делови на различни начини. Според тоа, бројот на поволни исходи е еднаков на .

Тогаш потребната веројатност е еднаква на

Следниве својства произлегуваат од дефиницијата за веројатност:

1. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден.

Навистина, ако настанот е сигурен, тогаш секој елементарен исход од тестот го фаворизира настанот. Според тоа, во овој случај m=n

2. Веројатноста за невозможен настан е нула.

Навистина, ако некој настан е невозможен, тогаш ниту еден елементарен исход од тестот не го фаворизира настанот. Во овој случај тоа значи

3. Веројатноста за случаен настан е позитивен број помеѓу нула и еден.

Навистина, само дел од вкупниот број на елементарни исходи на тестот е фаворизиран од случаен настан. Во овој случај< м< n, значи 0 < m/n < 1, односно 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Изградбата на логички целосна теорија на веројатност се заснова на аксиоматската дефиниција за случаен настан и неговата веројатност. Во системот на аксиоми предложен од А. Н. Колмогоров, недефинираните концепти се елементарен настан и веројатност. Еве ги аксиомите што ја дефинираат веројатноста:

1. Секој настан Аназначен е ненегативен реален број P(A). Овој број се нарекува веројатност на настанот А.

2. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден.

3. Веројатноста за појава на барем еден од паровите некомпатибилни настани е еднаква на збирот на веројатностите на овие настани.

Врз основа на овие аксиоми, својствата на веројатностите и зависностите меѓу нив се изведени како теореми.

Прашања за самотестирање

1. Како се вика нумеричката карактеристика на можноста да се случи настан?

2. Која е веројатноста за настан?

3. Која е веројатноста за сигурен настан?

4. Која е веројатноста за невозможен настан?

5. Кои се границите на веројатноста за случаен настан?

6. Кои се границите на веројатноста за кој било настан?

7. Која дефиниција за веројатност се нарекува класична?