„Квадрат и правоаголник“ - плоштина на правоаголник. Основно прашање. Мерење на површините на други форми. Како да ја пронајдете површината на собата? Површина Областа на правоаголникот. Колку ученици можат да учат во различни училници во нашето училиште? Помножете ја должината (а) со ширината (б). Проблематични прашања. Во кои училници може да учат 11-то одделение (16 лица)?
„Квадрат на збирот и квадратот на разликата“ - Зајакнување: VII. Да разгледаме две разлики 16 – 36 и 25 – 45. Додај, добиваме 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4 + ()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Најдете ја грешката. Квадрат на збирот и разликата на два изрази. Единствениот начин да научите е да се забавувате. Лекција за наставници на курсеви за напредна обука.
„Правоаголник и квадрат“ - Пресметајте го периметарот на правоаголник. Правоаголникот во кој сите страни се еднакви се нарекува квадрат. Периметарот на квадратот се пресметува со формулата: P=4a. Периметарот на квадратот е 32 cm Најди ја страната на квадратот. S на квадрат е еднаков на 81 cm2 Која е страната на квадратот? Кои се спротивните страни? Збирот на должините на сите страни на правоаголникот се нарекува периметар на правоаголникот.
„Неверојатни квадрати“ - Сите четири страни се со иста должина. Бајка: Птици: Слон. Неверојатен плоштад. Едрилица. Како што заминуваше, тој рече: „Ви посакувам пријатни соништа! Островот беше многу далеку и толку мал. Основи на плоштадот оригами. Стоеше таму без зборови... Тоа е одмазда! Брод. 5.Дома. Јас сум постар, јас сум квадрат“. Бајка од хартија.
„Интерференција на два бранови“ - Лесни ленти - брановите се зајакнаа едни со други (максимална амплитуда). Бричот се држи на водата со површинскиот напон на маслената фолија. Причина? Искуството на Томас Јанг. Интерферометар на радио телескоп лоциран во Ново Мексико, САД. Сапунски филмови. Просветителска оптика. Светлината од различни бои одговара на различни бранови должини.
„Разлика на квадрати“ - Тема на часот: „Разлика на квадрати“. Математички диктат. Пример 1. Изврши множење: (3x – 2y)(3x + 2y). Не мешајте ги термините „разлика на квадрати“ и „квадратна разлика“. Разлика на квадрати. 4) Разликата помеѓу бројот m и двојниот производ на броевите x и y. Формулата за разлика во квадрати се користи за брзи пресметки.
45 бонбони чинат исто толку рубли колку што можете да купите за 20 рубли. Колку бонбони можете да купите за 50 рубли?
Одговор: 75 бонбони.
Решение.Нека x- цената на една бонбона во рубли. Потоа 45 x= 20/x, каде x= 2/3. Потоа за 50 рубли можете да купите 50/ x= 75 бонбони.
Критериуми.
Равенката 45 е точна x= 20/x, но е направена аритметичка грешка при нејзиното решавање или подоцна: 5 поени.
Решението наведува дека цената на една бонбона е 2/3, проверува дали овој трошок одговара на условите на проблемот и се добива точниот одговор: 4 поени.
Даден е само точниот одговор: 1 бод.
Задача 2. (7 поени)
Жења ги поставил броевите од 1 до 10 околу кругот по одреден редослед, а Дима ја напишал нивната сума на секое празно место помеѓу броевите. Дали можеше да се случи сите бројки што ги напиша Дима да испаднат различни?
Одговор:Би можело.
Пример за поставување на броеви е прикажан подолу.
Критериуми.Секое точно решение: 7 поени.
Даден е само точен одговор или точен одговор и неточен пример: 0 поени.
Задача 3. (7 поени)
Дали е можно во некои ќелии од табелата 8 × 8 пишуваат едни, а останатите - нули, така што во сите колони има различен износ, а во сите редови - исто?
Одговор:Може.
Решение.Нека збирот на броевите во секоја линија е еднаков на x. Тогаш збирот на сите броеви во табелата е 8 x, односно вкупниот збир се дели со 8. Забележете дека колоните можат да содржат од 0 до 8 единици. Збирот на сите броеви од 0 до 8 е 36. За да се добие множител на 8, треба да се одземе 4 од 36. Затоа, во нашиот пример не треба да има колона што содржи точно 4 единици.
Пример е прикажан подолу (има и други примери).
Критериуми.Секој точен пример, дури и без никакво објаснување: 7 поени.
Докажано е дека ако збирот во сите колони е ненула, тогаш примерот не постои: 4 поени.
Задача 4. (7 поени)
Два квадрати имаат заедничко теме. Најдете го односот на отсечките АБИ ЦДприкажано на сликата.
Одговор:
Решение.Нека поентата О- заедничкото теме на два квадрати, а нивните страни се еднакви аИ б. Дијагоналите на квадратите се еднакви И соодветно. Покрај тоа, ∠ C.O.D.= ∠COB+ ∠БОД= ∠COB+ 45 ° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. Триаголници AOBИ C.O.D.слични во општите агли и пропорционални страни на овој агол.
Оттука, АБ: ЦД=
Критериуми.Секое точно решение: 7 поени.
Односот не е правилно пресметан АБДо ЦД, А ЦДДо АБ(соодветно, одговор): 7 поени.
Сличноста на триаголниците е докажана AOBИ C.O.D., но нема понатамошен заклучок или погрешно е пронајдена бараната релација: 6 поени.
Докажано е дека ∠ AOB= ∠C.O.D., но без понатамошен напредок: 1 поен.
Се разгледува само посебен случај (на пример, кога квадратите имаат иста страна или кога аголот помеѓу некои страни на два квадрати е 90°): 0 поени.
Даден е само точниот одговор: 0 поени.
Задача 5. (7 поени)
Броеви а, б, вИ гсе такви што а+б= в+г ≠ 0, ак= bd. Докажете го тоа а+ в= б+ г.
Решение.Ако a ≠ 0, потоа заменете в= b d/a, добиваме
Од тука б= вИ а+ в= б+ г.
Ако а= 0, тогаш b ≠ 0 (инаку а+ б= 0), значи г= 0 (од ак= bd). Но, тогаш еднаквост а+ б= в+ гпрепишан како б= в, од што следи потребната еднаквост.
Можни се и други решенија.
Критериуми.Секое точно решение: 7 поени.
Точното решение разгледува израз на формата bd a(или било кое слично), но случајот именителот да биде еднаков на нула не се разгледува: 5 поени.
Докажано е дека ( а+в) 2 = (б+г) 2 , но случајот ( а+в) = — (б+ г): 3 поени.
Се разгледува само случајот на специфични нумерички вредности а, б, в, г: 0 поени.
Задача 6. (7 поени)
На трасата има 60 патокази. На секој од нив е запишан збирот на растојанијата до преостанатите 59 знаци. Дали е можно на знаците да се напишани 60 различни природни броеви? (Растојанието помеѓу знаците не е нужно цел број.)
Одговор:Невозможно.
Решение.Да ги нумерираме знаците последователно со броеви од 1 до 60. Да докажеме дека броевите напишани на знаците означени со 30 и 31 се исти.
Дозволете ни да ги поделиме преостанатите знаци во парови на формата кИ к+ 31: 1 и 32, 2 и 33, . . . , 29 и 60. Забележете дека збирот на растојанијата и од знакот 30 и знакот 31 до знаците на еден пар кИ к+ 31 е еднакво на растојанието помеѓу знаците кИ к+ 31. Бидејќи бројот на знаците 30 и 31 е еднаков на збирот на растојанијата до знаците на сите 29 парови и растојанието помеѓу знаците 30 и 31, тогаш броевите на знаците 30 и 31 се исти.
Критериуми.Секое точно решение: 7 поени.
Се наведува, но не е докажано, дека броевите напишани на двете средни колони (на колоните 30 и 31) се еднакви: 2 поени.
Користејќи го примерот на посебни случаи, се покажува дека дефинитивно ќе има еднакви броеви: 0 поени.
Даден е само точниот одговор: 0 поени.
1. Во круг со центар О се нацртани два акорда AB и CD така што централните агли AOB и COD се еднакви. Перпендикуларите OK и OL се спуштени на овие акорди. Докажете дека OK и OL се еднакви.
2. Во круг низ средишната точка О на акордот AC се исцртува акорд BD така што лаците AB и CD се еднакви. Докажете дека О е средната точка на акордот BD.
3. Круговите со центри во точките I и J немаат заеднички точки. Внатрешната заедничка тангента на овие кругови ја дели отсечката што ги поврзува нивните центри во однос m:n. Докажете дека дијаметрите на овие кругови се во однос m:n.
4. Висините AA1 и BB1 на акутниот триаголник ABC се сечат во точката E. Докажете дека аглите AA1B1 и ABB1 се еднакви.
5. Во триаголник ABC со тап агол ACB се нацртани висините AA1 и BB1. Докажете дека триаголниците A1CB1 и ACB се слични.
6. Кругови со центри во точките E и F се сечат во точките C и D, а точките E и F лежат на истата страна од правата CD. Докажете дека ЦД ⊥ EF.
7. Два рамностран триаголник имаат заедничко теме. Докажете дека отсечките AB и CD означени на сликата се еднакви.
8. Во акутниот триаголник ABC, аголот B е 60°. Докажете дека точките A, C, околниот центар на триаголникот ABC и точката на пресек на височините на триаголникот ABC лежат на иста кружница.
9. Кругот ја допира страната AB на триаголникот ABC, чија ∠C = 90°, и продолжетоците на неговите страни AC и BC на точките A и B, соодветно. Докажете дека периметарот на триаголникот ABC е еднаков на дијаметарот на оваа кружница.
10. Во остар триаголник ABC, точките A, C, обиколницата O и кружниот центар I лежат на истиот круг. Докажете дека аголот ABC е 60°.
11. Познато е дека околу четириаголникот ABCD може да се ограничи круг и дека во точката К се сечат продолжетоците на страните AD и BC на четириаголникот. Докажи дека триаголниците КАБ и КЦД се слични.
12. Докажи дека средина на триаголник го дели на два триаголници чии плоштини се еднакви една со друга.
13. Во триаголник ABC со тап агол ACB се нацртани висините AA1 и BB1. Докажете дека триаголниците A1CB1 и ACB се слични.
14. Во паралелограмот ABCD, перпендикуларите BE и DF се нацртани на дијагоналата AC (види слика). Докажете дека BFDE е паралелограм.
15. Во паралелограмот ABCD, точката E е средната точка на страната AB. Познато е дека EC=ED. Докажете дека овој паралелограм е правоаголник.
16. Два квадрати имаат заедничко теме. Докажете дека отсечките означени на сликата и се еднакви.
17. Средните точки на страните на паралелограм се темиња на ромб. Докажете дека овој паралелограм е правоаголник.
18. Во паралелограмот ABCD, висините BH и BE се повлечени на страните AD и CD, соодветно, со BH = BE. Докажете дека ABCD е ромб.
19. Во паралелограмот ABCD, дијагоналите AC и BD се сечат во точката K. Докажете дека плоштината на паралелограмот ABCD е четири пати поголема од плоштината на триаголникот AKD.
20. Внатре во паралелограмот ABCD, изберете произволна точка E. Докажете дека збирот на плоштините на триаголниците BEC и AED е еднаков на половина од плоштината на паралелограмот.
21. Познато е дека околу четириаголникот ABCD може да се ограничи кружница и дека продолжетоците на страните AB и CD на четириаголникот се сечат во точката M. Докажете дека триаголниците MBC и MDA се слични.
22. Основите BC и AD на трапезот ABCD се 5 и 20, соодветно, BD = 10. Докажете дека триаголниците CBD и ADB се слични.
23. Во конвексен четириаголник ABCD, аглите BCA и BDA се еднакви. Докажете дека аглите ABD и ACD се исто така еднакви.
24. Во трапез ABCD со основи AD и BC, дијагоналите се сечат во точката O. Докажете дека плоштините на триаголниците AOB и COD се еднакви.
©2015-2019 сајт
Сите права припаѓаат на нивните автори. Оваа страница не бара авторство, но обезбедува бесплатна употреба.
Датум на создавање на страница: 2017-12-12
Со оглед на: ∆ABCи ∆ А1В1С1; АБ=___; AC=___; Ð СО=____=_____.
Доказ: ∆ABC=_____.
Доказ:
На ( AC) тргнете ја поентата настрана ДЗначи ЦД=А.Ц.. ∆ABC=∆BCD, бидејќи:
1) _____ - заедничка страна;
2) А.Ц.=ЦД- со градба;
3) Р ДИА=_______ => на основа _____ АБ=_____.
Исто и за А1В1С1
________________________________________________________
Го имаме тоа:
1) АБ
2) БД=___, бидејќи _______________________;
3) АД=___, бидејќи _______________________;
Потоа, според третиот критериум на триаголници: ∆ ABD=_____.
Така, имаме во ∆ ABCи ∆ А1В1С1:
АБ=___
AC=___ => ∆_____=∆______.
Ð А=___
Задача 8.
Пополнете ја табелата ако знаете дека ∆ ABC=∆А1В1С1.
Задача 9.
Решете дополнителни проблеми:
1. Еднакви отсечки АБИ ЦДсе вкрстуваат во средината на секоја од нив. Докажете еднаквост на аглите ACBИ ДБЦ. Направете цртеж.
2. Докажи ја еднаквоста на триаголниците засновани на две страни и медијаната што доаѓа од едно теме. Направете цртеж.
3. Докажи ја еднаквоста на триаголниците засновани на страна, средишната исцртана на оваа страна и аглите што ги формира средишната со неа. Направете цртеж.
4. Поени А, Б, В, Длегнете на иста права линија (сл. 3.7). Докажи дека ако ∆ AVE1=∆AVE2, потоа ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. Еднакви триаголници ABCИ А1В1С1од врвовите ВОИ ВО 1се цртаат симетрали БДИ Б1 Д1 . Докажете ја еднаквоста на триаголниците CBDИ В1 Б1 Д1 . Направете цртеж. Решете го проблемот на различни начини. Направете го вашето решение креативно.
Задача 10.
Подолу е проблемот и дијаграм со неговите пет решенија (1-5). Размислете за секое решение (сл. 3.8). Кои знаци на еднаквост на триаголници се користат во нив? Направете план за едно од решенијата и дизајнирајте го креативно.
Триаголници ABCИЛОШО се еднакви. Нивните страниАД Ип.н.е. се сечат во точка ЗА.Докажи дека триаголници AOCИБОД се исто така еднакви.
Шема за решение:
§4. Дополнителни задачи
стр1. Проблеми со практична содржина
Во многу практични и теоретски случаи, погодно е да се користат познатите знаци за еднаквост на триаголниците.
ЗАДАЧА 1. Еден од аглите на триаголното прозорско стакло се откина. Дали е можно да се нарача стаклар да го отсече скршеното парче стакло од преживеаниот дел? Какви мерења треба да земам? Конструирај го овој триаголник користејќи компас и линијар.
Учениците работат во групи. Секоја група подготвува решение. Првата група што го реши проблемот го брани неговото решение.
ЗАДАЧА 2. Столарот треба да пополни дупка во форма на триаголник. Колку големини и кои треба да ги отстрани за да направи фластер? Што треба да измери ако дупката има форма на: а) правоаголен триаголник, б) рамностран триаголник, в) рамнокрак триаголник, г) скален триаголник.
На сите ученици им се дадени 4 предложени типови на триаголници. Потребно е вербално да се дознае кои димензии треба да се отстранат за да се направи лепенка.
ЗАДАЧА 3.Мама купи 1 метар ткаенина широк 1 метар за марама за нејзините две ќерки. Поделете го ова парче ткаенина на два еднакви дела, внимавајте ќерките да не се караат (марамите се еднакви) и докажете ја исправноста на вашите постапки.
Дали нешто ќе се промени ако парче ткаенина има форма:
· Правоаголник,
· Паралелограм.
ЗАДАЧА 4.Три села B, C, D се лоцирани така што C е 7 km југозападно од селото B, а селото D е на 4 km источно од V. Три други села A, K, M се наоѓаат така што селото K се наоѓа на 4 km северно од М, а селото А е на 7 km југоисточно од М. Направете цртеж и докажете дека растојанието помеѓу точките C и D е исто како и помеѓу точките K и A.
ЗАДАЧА 5.Во училишната работилница од жица изработени се четири прачки со должина од 4,7,10,13 cm Со поврзување на три од четирите шипки со нивните краеви, дознајте со кои три прачки може да се формира триаголник, а кои не можат. . Објаснете ги вашите наоди.
стр2. Задачи за примена на знаци на еднаквост на триаголници од GIA текстови
Задача 1.Два еднакви акорди AB и CD се нацртани во круг со центар О. Перпендикуларите OK и OL се спуштаат на овие акорди, соодветно (сл. 4.1). Докажете дека OK и OL се еднакви.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
Задача 4.Средината M на основата AD на трапезот ABCD е еднакво оддалечена од краевите на другата основа (сл. 4.4). Докажете дека трапезот ABCD е рамнокрак.
Задача 5.Средните точки на страните на паралелограмот се темиња на ромб (сл. 4.5). Докажете дека овој паралелограм е правоаголник.
Задача 6.Средните точки на страните на паралелограмот се темињата на правоаголникот (сл. 4.6). Докажете дека овој паралелограм е ромб.
Задача 7.Докажете дека симетралите на аглите на основата на рамнокрак триаголник се еднакви (слика 4.7).
Проблем 8. Симетралите на спротивните агли се нацртани во паралелограм (сл. 4.8). Докажете дека отсечките на симетралите содржани во паралелограм се еднакви.