Првпат се запознавме на курс по алгебра во 7-мо одделение. Гледајќи го графикот на функцијата, ги симнавме соодветните информации: ако, движејќи се по графиконот од лево кон десно, истовремено се движиме од дното кон врвот (како да се качуваме на рид), тогаш функцијата ја прогласивме за се зголемува (сл. 124); ако се движиме од врвот до дното (се спуштаме по рид), тогаш ја прогласивме функцијата за опаѓање (сл. 125).
Сепак, математичарите не го сакаат овој метод на проучување на својствата на функцијата. Тие веруваат дека дефинициите на концептите не треба да се засноваат на цртеж - цртежот треба само да илустрира едно или друго својство на функцијата на нејзината графика. Дозволете ни да дадеме строги дефиниции за концептите за зголемување и намалување на функциите.
Дефиниција 1.
За функцијата y = f(x) се вели дека се зголемува на интервалот X ако, од неравенката x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
Дефиниција 2. За функцијата y = f(x) се вели дека се намалува на интервалот X ако неравенката x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует нееднаквост f(x 1) > f(x 2).
Во пракса, попогодно е да се користат следниве формулации:
функцијата се зголемува ако поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата;
функцијата се намалува ако поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.
Користејќи ги овие дефиниции и својствата утврдени во § 33 нумерички неравенки, ќе можеме да ги оправдаме заклучоците за зголемување или намалување на претходно проучуваните функции.
1. Линеарна функција y = kx +m
Ако k > 0, тогаш функцијата се зголемува насекаде (сл. 126); ако к< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Доказ. Нека f(x) = kx +m. Ако x 1< х 2 и k >О, тогаш, според својството на 3 нумерички неравенки (види § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линеарнафункции y = kx+ m.
Ако x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , а според својството 2, од kx 1 > kx 2 следува дека kx 1 + m> kx 2 + т.е.
Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Тоа значи намалување на функцијата y = f(x), т.е. линеарна функција y = kx + m.
Ако функцијата се зголемува (намалува) низ целиот нејзин домен на дефиниција, тогаш може да се нарече зголемување (намалување) без да се означи интервалот. На пример, за функцијата y = 2x - 3 можеме да кажеме дека се зголемува по целата бројна права, но можеме да кажеме и пократко: y = 2x - 3 - зголемување
функција.
2. Функција y = x2
1. Да ја разгледаме функцијата y = x 2 на зракот. Да земеме два непозитивни броја x 1 и x 2 такви што x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Бидејќи броевите - x 1 и - x 2 се ненегативни, тогаш со квадратирање на двете страни на последната неравенка добиваме неравенство со исто значење (-x 1) 2 > (-x 2) 2, т.е. Ова значи дека f(x 1) > f(x 2).
Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).
Затоа, функцијата y = x 2 се намалува на зракот (- 00, 0] (сл. 128).
1. Размислете за функција на интервалот (0, + 00).
Нека x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x 2).
Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2). Ова значи дека функцијата се намалува на отворениот зрак (0, + 00) (сл. 129).
2. Размислете за функција на интервалот (-oo, 0). Нека x 1< х 2 , х 1 и х 2 - негативни броеви. Тогаш - x 1 > - x 2, и двете страни на последната неравенка се позитивни броеви, и затоа (повторно ја користевме неравенката докажана во примерот 1 од § 33). Следно имаме, од каде доаѓаме.
Значи, од неравенката x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функцијата се намалува на отворениот зрак (- 00 , 0)
Вообичаено поимите „функција на зголемување“ и „функција на намалување“ се комбинираат под општото име монотона функција, а проучувањето на функцијата за зголемување и намалување се нарекува проучување на функција за монотоност.
Решение.
1) Да ја нацртаме функцијата y = 2x2 и да ја земеме гранката на оваа парабола на x< 0 (рис. 130).
2) Конструирајте и изберете го неговиот дел на сегментот (сл. 131).
3) Да конструираме хипербола и да го избереме нејзиниот дел на отворениот зрак (4, + 00) (сл. 132).
4) Да ги прикажеме сите три „парчиња“ во еден координатен систем - ова е графикот на функцијата y = f(x) (сл. 133).
Да го прочитаме графикот на функцијата y = f(x).
1. Доменот на дефиниција на функцијата е целата бројна права.
2. y = 0 на x = 0; y > 0 за x > 0.
3. Функцијата се намалува на зракот (-oo, 0], се зголемува на сегментот, се намалува на зракот, е конвексна нагоре на сегментот, конвексна надолу на зракот)