Што е број на бројки. Како да се најде најмалиот заеднички множител на два броја

Ајде да размислиме за решавање на следниов проблем. Чекорот на момчето е 75 см, а на девојчето 60 см.Потребно е да се најде најмалото растојание на кое и двајцата прават цел број чекори.

Решение.Целиот пат низ кој ќе поминат децата мора да биде делив со 60 и 70, бидејќи секој од нив мора да направи цел број чекори. Со други зборови, одговорот мора да биде множител и од 75 и од 60.

Прво, ќе ги запишеме сите множители на бројот 75. Добиваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега да ги запишеме броевите кои ќе бидат множители на 60. Добиваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега ги наоѓаме броевите што се во двата реда.

• Вообичаените множители на броеви би биле 300, 600, итн.

Најмалиот од нив е бројот 300. Во овој случај ќе се нарече најмал заеднички множител на броевите 75 и 60.

Враќајќи се на состојбата на проблемот, најмалото растојание на кое момците ќе направат цел број чекори ќе биде 300 см. Момчето ќе ја помине оваа патека во 4 чекори, а девојката ќе треба да направи 5 чекори.

Одредување на најмала заедничка множина

• Најмалиот заеднички множител на два природни броја a и b е најмалиот природен број кој е множител и на a и b.

За да се најде најмалиот заеднички множител на два броја, не е неопходно да се запишуваат сите множители на овие броеви по ред.

Можете да го користите следниов метод.

Како да се најде најмалиот заеднички множител

Прво треба да ги вброите овие бројки во прости фактори.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега да ги запишеме сите фактори кои се во проширувањето на првиот број (2,2,3,5) и да ги додадеме сите фактори што недостасуваат од проширувањето на вториот број (5).

Како резултат на тоа, добиваме серија прости броеви: 2,2,3,5,5. Производот на овие броеви ќе биде најнечестиот фактор за овие броеви. 2*2*3*5*5 = 300.

Општа шема за наоѓање на најмал заеднички множител

• 1. Поделете ги броевите на прости множители.
• 2. Запишете ги простите фактори кои се дел од еден од нив.
• 3. На овие фактори додадете ги сите оние кои се во проширувањето на другите, но не и во избраниот.
• 4. Најдете го производот на сите напишани фактори.

Овој метод е универзален. Може да се користи за да се најде најмалиот заеднички множител од кој било број природни броеви.

Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Најмалиот заеднички множител (LCM) на група броеви е најмалиот број што е делив со секој број во групата без да остави остаток. За да го пронајдете најмалиот заеднички множител, треба да ги најдете простите множители на дадените броеви. LCM може да се пресмета и со користење на голем број други методи кои се применуваат на групи од два или повеќе броеви.

Чекори

Серии на множители

Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е помал од 10. Ако се дадени поголеми броеви, користете различен метод.

• На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на 5 и 8. Ова се мали броеви, па можете да го користите овој метод.

1. Повеќекратно е број кој е делив со даден број без остаток. Во табелата за множење може да се најдат множители.

   • На пример, броевите кои се множители на 5 се: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете серија на броеви кои се множители на првиот број.Направете го ова под множители на првиот број за да споредите две групи броеви.

   • На пример, броевите кои се множители на 8 се: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Најдете го најмалиот број што е присутен во двете множества множители.Можеби ќе треба да напишете долги серии на множители за да го најдете вкупниот број. Најмалиот број што е присутен во двете множества множители е најмалиот заеднички множител.

   • На пример, најмалиот број што се појавува во низата множители од 5 и 8 е бројот 40. Според тоа, 40 е најмалиот заеднички множител од 5 и 8.

   Примарната факторизација

   1. Погледнете ги овие бројки.Методот опишан овде најдобро се користи кога се дадени два броја, од кои секој е поголем од 10. Ако се дадени помали броеви, користете различен метод.

      • На пример, пронајдете го најмалиот заеднички множител на броевите 20 и 84. Секој од броевите е поголем од 10, па можете да го користите овој метод.

   2. Факторирајте го првиот број во прости множители.Односно, треба да најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе резултираат со даден број. Откако ќе ги пронајдете основните фактори, напишете ги како еднаквости.

      • На пример, 2 × 10 = 20 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати 10=20)И 2 × 5 = 10 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати (\mathbf (5) )=10). Така, прости множители на бројот 20 се броевите 2, 2 и 5. Напиши ги како израз: .

   3. Факторирајте го вториот број во прости множители.Направете го тоа на ист начин како што го множивте првиот број, односно најдете такви прости броеви кои, кога ќе се помножат, ќе го дадат дадениот број.

      • На пример, 2 × 42 = 84 (\приказ стил (\mathbf (2) )\пати 42=84), 7 × 6 = 42 (\приказ стил (\mathbf (7) )\пати 6=42)И 3 × 2 = 6 (\приказ стил (\mathbf (3) )\пати (\mathbf (2) )=6). Така, прости множители на бројот 84 се броевите 2, 7, 3 и 2. Напиши ги како израз: .

   4. Запишете ги факторите кои се заеднички за двата броја.Напишете ги факторите како операција за множење. Додека го пишувате секој фактор, прецртајте го во двата израза (изрази кои опишуваат размножување на броеви во прости множители).

      • На пример, двата броја имаат заеднички фактор 2, па напишете 2 × (\стил на приказ 2\пати)и прецртајте ги 2-те во двата израза.
      • Заедничко за двата броја е уште еден фактор 2, па напишете 2 × 2 (\стил на приказ 2\пати 2)и пречкртајте ги вторите 2 во двата израза.

   5. Додадете ги преостанатите фактори во операцијата за множење.Тоа се фактори кои не се прецртани во двата израза, односно фактори кои не се заеднички за двата броја.

      • На пример, во изразот 20 = 2 × 2 × 5 (\стил на приказ 20=2\пати 2\пати 5)И двете (2) се прецртани бидејќи се заеднички фактори. Факторот 5 не е прецртан, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 2 × 5 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5)
      • Во изразувањето 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\приказ стил 84=2\пати 7\пати 3\пати 2)и двете двојки (2) се исто така пречкртани. Факторите 7 и 3 не се пречкртани, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5\пати 7\пати 3).

   6. Пресметајте го најмалиот заеднички множител.За да го направите ова, помножете ги броевите во пишаната операција за множење.

      • На пример, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\стил на приказ 2\пати 2\пати 5\пати 7\пати 3=420). Значи, најмалиот заеднички множител на 20 и 84 е 420.

   Наоѓање заеднички фактори

   1. Нацртајте мрежа како за игра на tic-tac-toe.Таквата мрежа се состои од две паралелни прави кои се сечат (под прав агол) со уште две паралелни прави. Ова ќе ви даде три реда и три колони (мрежата многу личи на иконата #). Запишете го првиот број во првиот ред и во втората колона. Запишете го вториот број во првиот ред и третата колона.

      • На пример, најди го најмалиот заеднички множител на броевите 18 и 30. Напиши го бројот 18 во првиот ред и во втората колона, а бројот 30 запиши го во првиот ред и третата колона.

   2. Најдете го делителот заеднички за двата броја.Запишете го во првиот ред и првата колона. Подобро е да се бараат основни фактори, но тоа не е услов.

      • На пример, 18 и 30 се парни броеви, па нивниот заеднички фактор е 2. Така напишете 2 во првиот ред и првата колона.

   3. Поделете го секој број со првиот делител.Запишете го секој количник под соодветниот број. Количникот е резултат на делење два броја.

      • На пример, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), затоа напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), затоа запишете 15 под 30.

   4. Најдете го делителот заеднички за двата количници.Ако не постои таков делител, прескокнете ги следните два чекори. Во спротивно, напишете го делителот во вториот ред и првата колона.

      • На пример, 9 и 15 се делат со 3, па напишете 3 во вториот ред и првата колона.

   5. Поделете го секој количник со неговиот втор делител.Секој резултат од делење запишете го под соодветниот количник.

      • На пример, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), па напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), затоа напишете 5 под 15.

   6. Доколку е потребно, додадете дополнителни ќелии на решетката.Повторете ги опишаните чекори додека количниците немаат заеднички делител.

   7. Заокружете ги броевите во првата колона и последниот ред од решетката.Потоа запишете ги избраните броеви како операција за множење.

      • На пример, броевите 2 и 3 се во првата колона, а броевите 3 и 5 се во последниот ред, па напишете ја операцијата за множење вака: 2 × 3 × 3 × 5 (\стил на приказ 2\пати 3\пати 3\пати 5).

   8. Најдете го резултатот од множење на броеви.Ова ќе го пресмета најмалиот заеднички множител на два дадени броја.

      • На пример, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\стил на приказ 2\пати 3\пати 3\пати 5=90). Значи, најмалиот заеднички множител на 18 и 30 е 90.

   Евклидовиот алгоритам

   1. Запомнете ја терминологијата поврзана со операцијата за поделба.Дивидендата е бројот што се дели. Деленикот е бројот со кој се дели. Количникот е резултат на делење два броја. Остаток е бројот што останува кога се делат два броја.

      • На пример, во изразот 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 е дивиденда
        6 е делител
        2 е количник
        3 е остатокот.

Најголемиот заеднички делител и најмалиот заеднички множител се клучните аритметички концепти кои ја прават работата со дропки без напор. LCM и најчесто се користат за пронаоѓање заеднички именител на неколку дропки.

Основни концепти

Делителот на цел број X е друг цел број Y со кој X се дели без да се остави остаток. На пример, делителот на 4 е 2, а 36 е 4, 6, 9. Многукратно на цел број X е број Y кој е делив со X без остаток. На пример, 3 е повеќекратно од 15, а 6 е повеќекратно од 12.

За секој пар броеви можеме да ги најдеме нивните заеднички делители и множители. На пример, за 6 и 9, заедничкиот множител е 18, а заедничкиот делител е 3. Очигледно, паровите можат да имаат неколку делители и множители, така што во пресметките се користи најголемиот делител GCD и најмалиот повеќекратен LCM.

Најмалиот делител е бесмислен, бидејќи за кој било број тој е секогаш еден. Најголемиот множител е исто така бесмислен, бидејќи низата множители оди до бесконечност.

Наоѓање на gcd

Постојат многу методи за наоѓање на најголемиот заеднички делител, од кои најпознати се:

• секвенцијално пребарување на делители, избор на заеднички за пар и пребарување на најголемиот од нив;
• разложување на броеви на неделиви фактори;
• Евклидов алгоритам;
• бинарен алгоритам.

Денес во образовните институции најпопуларни методи се разложување на прости фактори и Евклидов алгоритам. Вториот, пак, се користи при решавање на равенките на Диофантин: потребно е пребарување на GCD за да се провери равенката за можноста за резолуција во цели броеви.

Наоѓање на НОК

Најмалиот заеднички множител исто така се одредува со секвенцијално пребарување или распаѓање на неделиви фактори. Дополнително, лесно е да се најде LCM ако веќе е одреден најголемиот делител. За броевите X и Y, LCM и GCD се поврзани со следнава врска:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

На пример, ако GCM(15,18) = 3, тогаш LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Најочигледен пример за користење на LCM е да се најде заедничкиот именител, кој е најмалиот заеднички множител на дадени дропки.

Копрости броеви

Ако еден пар на броеви нема заеднички делители, тогаш таквиот пар се нарекува копример. Gcd за такви парови е секогаш еднаков на еден, а врз основа на врската помеѓу делители и множители, gcd за коприми парови е еднаков на нивниот производ. На пример, броевите 25 и 28 се релативно прости, бидејќи немаат заеднички делители, а LCM(25, 28) = 700, што одговара на нивниот производ. Било кои два неделиви броја секогаш ќе бидат релативно прости.

Заеднички делител и повеќекратен калкулатор

Користејќи го нашиот калкулатор, можете да пресметате GCD и LCM за произволен број на броеви од кои можете да изберете. Задачите за пресметување на заеднички делители и множители се наоѓаат во аритметиката од 5-то и 6-то одделение, но GCD и LCM се клучни поими во математиката и се користат во теоријата на броеви, планиметријата и комуникациската алгебра.

Примери од реалниот живот

Заеднички именител на дропките

Најмалиот заеднички множител се користи кога се наоѓа заедничкиот именител на неколку дропки. Да речеме, во аритметички проблем треба да сумирате 5 дропки:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

За да се додадат дропки, изразот мора да се сведе на заеднички именител, што се сведува на проблемот со наоѓање на LCM. За да го направите ова, изберете 5 броеви во калкулаторот и внесете ги вредностите на именителот во соодветните ќелии. Програмата ќе го пресмета LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Сега треба да пресметате дополнителни фактори за секоја дропка, кои се дефинирани како однос на LCM со именителот. Значи, дополнителните множители би изгледале вака:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

После ова, ги множиме сите фракции со соодветниот дополнителен фактор и добиваме:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Лесно можеме да ги сумираме таквите дропки и да го добиеме резултатот како 159/360. Ја намалуваме дропот за 3 и го гледаме конечниот одговор - 53/120.

Решавање на линеарни диофантински равенки

Линеарни диофантински равенки се изрази од формата ax + by = d. Ако односот d / gcd(a, b) е цел број, тогаш равенката е решлива во цели броеви. Ајде да провериме неколку равенки за да видиме дали имаат целобројно решение. Прво, да ја провериме равенката 150x + 8y = 37. Со помош на калкулатор, наоѓаме GCD (150,8) = 2. Поделете 37/2 = 18,5. Бројот не е цел број, затоа равенката нема целобројни корени.

Ајде да ја провериме равенката 1320x + 1760y = 10120. Користете калкулатор за да најдете GCD(1320, 1760) = 440. Поделете 10120/440 = 23. Како резултат на тоа, добиваме цел број, според тоа, равенката на коефициентот на диофантин е непроменлива .

Заклучок

GCD и LCM играат голема улога во теоријата на броеви, а самите концепти се широко користени во широк спектар на области од математиката. Користете го нашиот калкулатор за да ги пресметате најголемите делители и најмалите множители на кој било број броеви.

Втор број: б=

Сепаратор на илјадаБез простор за сепаратор "'

Резултат:

Најголем заеднички делител gcd( а,б)=6

Најмал заеднички множител на LCM( а,б)=468

Се вика најголемиот природен број што може да се подели без остаток со броевите a и b најголемиот заеднички делител(GCD) од овие бројки. Се означува со gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Најмалку заеднички множител LCM од два цели броја a и b е најмалиот природен број што е делив со a и b без остаток. Означено LCM(a,b) или lcm(a,b).

Се викаат цели броеви a и b меѓусебно премиер, ако немаат заеднички делители освен +1 и −1.

Најголем заеднички делител

Нека се дадени два позитивни броја а 1 и а 2 1). Потребно е да се најде заедничкиот делител на овие броеви, т.е. најдете таков број λ , кој дели броеви а 1 и а 2 во исто време. Ајде да го опишеме алгоритмот.

1) Во овој напис, зборот број ќе се разбере како цел број.

Нека а 1 ≥ а 2 и нека

Каде м 1 , а 3 се некои цели броеви, а 3 <а 2 (остаток од поделба а 1 на а 2 треба да биде помал а 2).

Ајде да се преправаме дека λ дели а 1 и а 2 тогаш λ дели м 1 а 2 и λ дели а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Изјава 2 од член „Деливост на броеви. Тест за деливост“). Следи дека секој заеднички делител а 1 и а 2 е заеднички делител а 2 и а 3. Обратно е исто така точно ако λ заеднички делител а 2 и а 3 тогаш м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 се дели и со λ . Затоа заедничкиот делител а 2 и а 3 е исто така заеднички делител а 1 и а 2. Бидејќи а 3 <а 2 ≤а 1, тогаш можеме да кажеме дека решението на проблемот со наоѓање на заеднички делител на броеви а 1 и а 2 сведена на поедноставниот проблем за наоѓање заеднички делител на броевите а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогаш можеме да поделиме а 2 на а 3. Потоа

,

Каде м 1 и а 4 се некои цели броеви, ( а 4 преостанати од поделбата а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Со слично расудување доаѓаме до заклучок дека заеднички делители на броеви а 3 и а 4 се совпаѓа со заеднички делители на броеви а 2 и а 3, а исто така и со заеднички делители а 1 и а 2. Бидејќи а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... се броеви кои постојано се намалуваат, а бидејќи има конечен број цели броеви помеѓу а 2 и 0, потоа на некој чекор n, остатокот од поделбата а n на а n+1 ќе биде еднакво на нула ( а n+2 =0).

.

Секој заеднички делител λ броеви а 1 и а 2 е исто така делител на броеви а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1 . Вистина е и обратното, заеднички делители на броеви а n и а n+1 се и делители на броеви а n−1 и а n , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но заедничкиот делител на броевите а n и а n+1 е број а n+1 , бидејќи а n и а n+1 се делат со а n+1 (запомнете дека а n+2 =0). Оттука а n+1 е исто така делител на броеви а 1 и а 2 .

Забележете дека бројот а n+1 е најголемиот делител на броевите а n и а n+1 , бидејќи најголемиот делител а n+1 е самиот себе а n+1 . Ако а n+1 може да се претстави како производ од цели броеви, тогаш овие броеви се и заеднички делители на броеви а 1 и а 2. Број а n+1 се нарекува најголемиот заеднички делителброеви а 1 и а 2 .

Броеви а 1 и а 2 може да биде или позитивни или негативни броеви. Ако еден од броевите е еднаков на нула, тогаш најголемиот заеднички делител на овие броеви ќе биде еднаков на апсолутната вредност на другиот број. Најголемиот заеднички делител на нула броеви е недефиниран.

Горенаведениот алгоритам се нарекува Евклидов алгоритамда се најде најголемиот заеднички делител на два цели броеви.

Пример за наоѓање на најголемиот заеднички делител на два броја

Најдете го најголемиот заеднички делител на два броја 630 и 434.

• Чекор 1. Поделете го бројот 630 со 434. Остатокот е 196.
• Чекор 2. Поделете го бројот 434 со 196. Остатокот е 42.
• Чекор 3. Поделете го бројот 196 со 42. Остатокот е 28.
• Чекор 4. Поделете го бројот 42 со 28. Остатокот е 14.
• Чекор 5. Поделете го бројот 28 со 14. Остатокот е 0.

Во чекор 5, остатокот од делењето е 0. Според тоа, најголемиот заеднички делител на броевите 630 и 434 е 14. Забележете дека броевите 2 и 7 се исто така делители на броевите 630 и 434.

Копрости броеви

Дефиниција 1. Нека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 е еднакво на еден. Тогаш се повикуваат овие броеви копрости броеви, без заеднички делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 сопрости броеви и λ некој број, потоа секој заеднички делител на броеви λa 1 и а 2 е исто така заеднички делител на броеви λ И а 2 .

Доказ. Размислете за Евклидов алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 (види погоре).

.

Од условите на теоремата произлегува дека најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2 и затоа а n и а n+1 е 1. Тоа е а n+1 =1.

Ајде да ги помножиме сите овие еднаквости со λ , Потоа

.

Нека заедничкиот делител а 1 λ И а 2 да δ . Потоа δ е вклучен како множител во а 1 λ , м 1 а 2 λ и во а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (види „Деливост на броеви“, изјава 2). Понатаму δ е вклучен како множител во а 2 λ И м 2 а 3 λ , и, според тоа, е фактор во а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Расудувајќи вака, ние сме убедени дека δ е вклучен како множител во а n−1 λ И м n−1 а n λ , а со тоа и во а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Бидејќи а n+1 =1, тогаш δ е вклучен како множител во λ . Затоа бројот δ е заеднички делител на броевите λ И а 2 .

Да разгледаме посебни случаи на теорема 1.

Последица 1. Нека аИ вПростите броеви се релативно б. Потоа нивниот производ аке прост број во однос на б.

Навистина. Од теорема 1 акИ бги имаат истите заеднички делители како вИ б. Но, бројките вИ брелативно едноставно, т.е. имаат единствен заеднички делител 1. Тогаш акИ бимаат и единствен заеднички делител 1. Затоа акИ бзаемно едноставно.

Последица 2. Нека аИ бкопрости броеви и нека бдели ак. Потоа бдели и к.

Навистина. Од условот за одобрување акИ бимаат заеднички делител б. Врз основа на теорема 1, бмора да биде заеднички делител бИ к. Оттука бдели к.

Заклучокот 1 може да се генерализира.

Последица 3. 1. Нека ги броевите а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m се прости во однос на бројот б. Потоа а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, производот на овие броеви е прост во однос на бројот б.

2. Да имаме два реда броеви

така што секој број од првата серија е прост во односот на секој број од втората серија. Потоа производот

Треба да најдете броеви кои се деливи со секој од овие броеви.

Ако некој број се дели со а 1, тогаш ја има формата са 1 каде снекој број. Ако qе најголемиот заеднички делител на броевите а 1 и а 2, тогаш

Каде с 1 е некој цел број. Потоа

е најмалку заеднички множители на броеви а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 се релативно прости, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите а 1 и а 2:

Треба да го најдеме најмалиот заеднички множител од овие броеви.

Од горенаведеното произлегува дека секој множител на броеви а 1 , а 2 , а 3 мора да биде множител на броеви ε И а 3 и назад. Нека најмал заеднички множител од броевите ε И а 3 да ε 1 . Следно, множители на броеви а 1 , а 2 , а 3 , а 4 мора да биде множител на броеви ε 1 и а 4 . Нека најмал заеднички множител од броевите ε 1 и а 4 да ε 2. Така, дознавме дека сите множители на броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m се совпаѓаат со множители на одреден број ε n, што се нарекува најмал заеднички множител на дадените броеви.

Во посебниот случај кога броевите а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m се релативно прости, тогаш најмалиот заеднички множител на броевите а 1 , а 2, како што е прикажано погоре, ја има формата (3). Следно, бидејќи а 3 прости во однос на броевите а 1 , а 2 тогаш а 3 прост број а 1 · а 2 (Заклучок 1). Означува најмал заеднички множител на броеви а 1 ,а 2 ,а 3 е број а 1 · а 2 · а 3. Расудувајќи на сличен начин, доаѓаме до следните изјави.

Изјава 1. Најмал заеднички множител на сопростите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е еднаков на нивниот производ а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изјава 2. Секој број што е делив со секој од простите броеви а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е исто така делив со нивниот производ а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Онлајн калкулаторот ви овозможува брзо да го пронајдете најголемиот заеднички делител и најмалиот заеднички множител за два или кој било друг број на броеви.

Калкулатор за наоѓање GCD и LCM

Најдете GCD и LOC

Пронајдени GCD и LOC: 5806

Како да го користите калкулаторот

• Внесете броеви во полето за внесување
• Ако внесете неточни знаци, полето за внесување ќе биде означено со црвено
• кликнете на копчето „Најди GCD и LOC“.

Како да внесувате броеви

• Броевите се внесуваат одделени со празно место, точка или запирка
• Должината на внесените броеви не е ограничена, така што наоѓањето GCD и LCM на долги броеви не е тешко

Што се GCD и NOC?

Најголем заеднички делителнеколку броеви е најголемиот природен цел број со кој сите оригинални броеви се деливи без остаток. Најголемиот заеднички делител е скратено како GCD.
Најмалку заеднички множителнеколку броеви е најмалиот број што е делив со секој од оригиналните броеви без остаток. Најмалиот заеднички множител е скратено како НОК.

Како да проверите дали некој број е делив со друг број без остаток?

За да дознаете дали еден број е делив со друг без остаток, можете да користите некои својства на деливост на броевите. Потоа, со нивно комбинирање, можете да ја проверите деливоста на некои од нив и нивните комбинации.

Некои знаци на деливост на броевите

1. Тест за деливост за број со 2
За да се утврди дали некој број е делив со два (без разлика дали е парен), доволно е да се погледне последната цифра од овој број: ако е еднаква на 0, 2, 4, 6 или 8, тогаш бројот е парен, што значи дека е делив со 2.
Пример:определи дали бројот 34938 е делив со 2.
Решение:Ја гледаме последната цифра: 8 - тоа значи дека бројот е делив со два.

2. Тест за деливост за број со 3
Бројот се дели со 3 кога збирот на неговите цифри е делив со три. Така, за да одредите дали некој број е делив со 3, треба да го пресметате збирот на цифрите и да проверите дали е делив со 3. Дури и ако збирот на цифрите е многу голем, можете повторно да го повторите истиот процес.
Пример:определи дали бројот 34938 е делив со 3.
Решение:Го броиме збирот на броевите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели со 3, што значи дека бројот се дели со три.

3. Тест за деливост за број со 5
Бројот се дели со 5 кога неговата последна цифра е нула или пет.
Пример:определи дали бројот 34938 е делив со 5.
Решение:погледнете ја последната цифра: 8 значи дека бројот НЕ се дели со пет.

4. Тест за деливост за број со 9
Овој знак е многу сличен со знакот за деливост со три: бројот се дели со 9 кога збирот на неговите цифри е делив со 9.
Пример:определи дали бројот 34938 е делив со 9.
Решение:Го броиме збирот на броевите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели со 9, што значи дека бројот се дели со девет.

Како да најдете GCD и LCM од два броја

Како да се најде gcd на два броја

Најлесен начин да се пресмета најголемиот заеднички делител на два броја е да се најдат сите можни делители на тие броеви и да се избере најголемиот.

Да го разгледаме овој метод користејќи го примерот за наоѓање GCD(28, 36):

1. Ги факторизираме двата броја: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Наоѓаме заеднички фактори, односно оние што ги имаат двата броја: 1, 2 и 2.
3. Го пресметуваме производот на овие фактори: 1 2 2 = 4 - ова е најголемиот заеднички делител на броевите 28 и 36.

Како да се најде LCM на два броја

Постојат два најчести начини да се најде најмалиот множител од два броја. Првиот метод е тоа што можете да ги запишете првите множители на два броја, а потоа меѓу нив да изберете број што ќе биде заеднички за двата броја, а во исто време и најмалиот. И втората е да се најде gcd на овие броеви. Да го разгледаме само тоа.

За да го пресметате LCM, треба да го пресметате производот од оригиналните броеви и потоа да го поделите со претходно пронајдениот GCD. Ајде да го најдеме LCM за истите броеви 28 и 36:

1. Најдете го производот од броевите 28 и 36: 28·36 = 1008
2. GCD (28, 36), како што е веќе познато, е еднакво на 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Наоѓање на GCD и LCM за неколку броеви

Најголемиот заеднички делител може да се најде за неколку броеви, а не само за два. За да го направите ова, броевите што треба да се најдат за најголемиот заеднички делител се разложуваат на прости множители, а потоа се наоѓа производот од заедничките прости множители на овие броеви. Можете исто така да ја користите следнава врска за да го пронајдете gcd на неколку броеви: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Слична врска се однесува на најмалиот заеднички множител: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Пример:најдете GCD и LCM за броевите 12, 32 и 36.

1. Прво, да ги размножиме броевите: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Да ги најдеме заедничките фактори: 1, 2 и 2.
3. Нивниот производ ќе даде GCD: 1·2·2 = 4
4. Сега да го најдеме LCM: за да го направиме ова, прво да го најдеме LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. За да го пронајдете LCM на сите три броеви, треба да го најдете GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.