Геометриска дефиниција на векторскиот производ на вектори. Вкрстен производ - дефиниции, својства, формули, примери и решенија

Дефиниција Подредена збирка од (x 1 , x 2 , ... , x n) n реални броеви се нарекува n-димензионален вектор, и броеви x i (i = ) - компоненти,или координати,

Пример. Ако, на пример, одредена автомобилска фабрика мора да произведе 50 автомобили, 100 камиони, 10 автобуси, 50 комплети резервни делови за автомобили и 150 комплети за камиони и автобуси по смена, тогаш производната програма на оваа фабрика може да се запише како вектор (50, 100, 10, 50, 150), има пет компоненти.

Нотација. Векторите се означуваат со задебелени мали букви или букви со лента или стрелка на врвот, на пр. аили. Двата вектори се нарекуваат еднакви, ако имаат ист број компоненти и нивните соодветни компоненти се еднакви.

Векторските компоненти не можат да се заменат, на пример, (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции на вектори.Работата x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) со реален бројλ наречен векторλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

износx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарекува вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Векторски простор.Н -димензионален векторски простор Р n се дефинира како множество од сите n-димензионални вектори за кои се дефинирани операциите на множење со реални броеви и собирање.

Економска илустрација. Економска илустрација на n-димензионален векторски простор: простор на стоки (стоки). Под стокиќе разбереме некое добро или услуга што оди на продажба во одредено време на одредено место. Да претпоставиме дека има конечен број n на достапни добра; количините на секоја од нив купени од потрошувачот се карактеризираат со збир на стоки

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

каде што x i ја означува количината на i-тото добро купено од потрошувачот. Ќе претпоставиме дека сите стоки имаат својство на произволна деливост, така што секоја ненегативна количина од секоја од нив може да се купи. Тогаш сите можни множества стоки се вектори на просторот на стоки C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Линеарна независност. Систем д 1 , д 2 , ... , дСе нарекуваат m n-димензионални вектори линеарно зависни, доколку има такви бројкиλ 1 , λ 2 , ... , λ m , од кои барем една не е нула, така што еднаквостаλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ m д m = 0; во спротивно овој систем на вектори се нарекува линеарно независни, односно посочената еднаквост е можна само во случај кога сите . Геометриското значење на линеарната зависност на векторите во Р 3, интерпретирани како насочени сегменти, објаснете ги следните теореми.

Теорема 1. Систем кој се состои од еден вектор е линеарно зависен ако и само ако овој вектор е нула.

Теорема 2. За два вектори да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно тие да бидат колинеарни (паралелни).

Теорема 3 . За три вектори да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно тие да бидат компланарни (лежат во иста рамнина).

Леви и десни тројки на вектори. Тројка од некомпланарни вектори а, б, вповикани право, ако набљудувачот од нивното заедничко потекло ги заобиколи краевите на векторите а, б, впо дадениот редослед се чини дека се појавува во насока на стрелките на часовникот. Во спротивно а, б, в -остави три. Сите десни (или леви) тројки вектори се нарекуваат исто ориентирана.

Основа и координати. Тројката д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектори во Р 3 се нарекува основа, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основни. Било кој вектор аможе уникатно да се прошири во базични вектори, односно претставени во форма

А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)

се повикуваат броевите x 1 , x 2 , x 3 во проширувањето (1.1). координатиаво основата д 1, д 2 , д 3 и се назначени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Доколку векторите д 1, д 2 , д 3 се во пар нормални и должината на секоја од нив е еднаква на една, тогаш основата се вика ортонормалнии координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоаголна.Основните вектори на ортонормална основа ќе бидат означени со јас, ј, к.

Тоа ќе го претпоставиме во вселената Р 3 е избран вистинскиот систем на Декартови правоаголни координати (0, јас, ј, к}.

Векторски уметнички дела. Векторски уметнички дела Адо вектор бнаречен вектор в, што се одредува со следните три услови:

1. Векторска должина внумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори аИ б,т.е.
в= |а||б|грев( а^б).

2. Вектор внормално на секој од векторите аИ б.

3. Вектори а, бИ в, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка.

За вкрстен производ все воведува ознаката c =[ab] или
c = a × б.

Доколку векторите аИ бсе колинеарни, тогаш грев ( а^б) = 0 и [ ab] = 0, особено, [ аа] = 0. Векторски производи на единечни вектори: [ ij]=к, [јк] = јас, [ки]=ј.

Доколку векторите аИ бнаведени во основата јас, ј, ккоординати а(а 1, а 2, а 3), б(б 1, б 2, б 3), тогаш

Мешана работа. Ако векторскиот производ на два вектори АИ бскаларно помножено со третиот вектор в,тогаш се нарекува таков производ од три вектори мешана работаи се означува со симболот а б в.

Доколку векторите а, бИ вво основата јас, ј, кдадени со нивните координати
а(а 1, а 2, а 3), б(б 1, б 2, б 3), в(c 1, c 2, c 3), тогаш

.

Мешаниот производ има едноставна геометриска интерпретација - тој е скаларен, еднаков по апсолутна вредност на волуменот на паралелепипед изграден на три дадени вектори.

Ако векторите формираат право тројка, тогаш нивниот измешан производ е позитивен број еднаков на посочениот волумен; ако е тројка а, б, в -лево, тогаш а б в<0 и V = - а б в, затоа V =|а б в|.

Координатите на векторите кои се среќаваат во задачите од првото поглавје се претпоставува дека се дадени во однос на десната ортонормална основа. Единица вектор конасочен со вектор А,означено со симболот АО. Симбол р=ОМозначено со векторот на радиусот на точката M, симболите a, AB или|а|, | AB|се означуваат модули на вектори АИ АБ.

Пример 1.2. Најдете го аголот помеѓу векторите а= 2м+4nИ б= m-n, Каде мИ n-единечни вектори и агол помеѓу мИ nеднакво на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = ab/ab ab =(2м+4n) (m-n) = 2м 2 - 4n 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16мн+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, што значи a = . б = ; б 2 =
= (m-n)(m-n) = м 2 -2мн+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, што значи b = . Конечно имаме: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Пример 1.3.Познавање на векторите АБ(-3,-2,6) и п.н.е.(-2,4,4),да се пресмета должината на надморската височина AD на триаголникот ABC.

Решение. Означувајќи ја плоштината на триаголникот ABC со S, добиваме:
S = 1/2 п.н.е. Потоа AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, што значи вектор А.Ц.има координати
. .

Пример 1.4 . Дадени се два вектори а(11,10,2) и б(4,0,3). Најдете го единечниот вектор в,ортогонални на вектори аИ би насочен така што подредената тројка вектори а, б, вбеше во право.

Решение.Да ги означиме координатите на векторот вво однос на дадена право-ортонормална основа во однос на x, y, z.

Затоа што в ⊥ а, в ⊥б, Тоа околу= 0, cb= 0. Според условите на задачата се бара c = 1 и а б в >0.

Имаме систем од равенки за наоѓање x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Од првата и втората равенка на системот добиваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Заменувајќи ги y и z во третата равенка, имаме: x 2 = 36/125, од каде
x =± . Користење на условот a b c > 0, ја добиваме нееднаквоста

Земајќи ги предвид изразите за z и y, добиената неравенка ја препишуваме во форма: 625/6 x > 0, што подразбира дека x>0. Значи, x =, y = -, z =-.

Конечно, се фатив за оваа обемна и долгоочекувана тема. аналитичка геометрија. Прво, малку за овој дел од вишата математика... Сигурно сега се сеќавате на училишен курс по геометрија со бројни теореми, нивни докази, цртежи итн. Што да се скрие, несакана и често нејасна тема за значителен дел од студентите. Аналитичката геометрија, доволно чудно, може да изгледа поинтересна и попристапна. Што значи придавката „аналитички“? Веднаш на ум ми доаѓаат две клишени математички фрази: „метод на графичко решение“ и „метод на аналитичко решение“. Графички метод, се разбира, е поврзан со изградбата на графикони и цртежи. Аналитичкиили методвклучува решавање на проблеми главнопреку алгебарски операции. Во овој поглед, алгоритмот за решавање на скоро сите проблеми на аналитичката геометрија е едноставен и транспарентен; честопати е доволно внимателно да се применат потребните формули - и одговорот е подготвен! Не, се разбира, воопшто нема да можеме да го направиме ова без цртежи, а покрај тоа, за подобро разбирање на материјалот, ќе се обидам да ги наведам надвор од неопходноста.

Новоотворениот курс на лекции по геометрија не се преправа дека е теоретски завршен, тој е фокусиран на решавање практични проблеми. Во моите предавања ќе го вклучам само она што, од моја гледна точка, е важно во практична смисла. Ако ви треба поцелосна помош за која било потсекција, ја препорачувам следната доста достапна литература:

1) Работа што, без шега, ја знаат неколку генерации: Училишен учебник по геометрија, автори - Л.С. Атанасјан и компанија. Оваа училишна закачалка во соблекувалната веќе помина низ 20 (!) препечатувања, што, се разбира, не е граница.

2) Геометрија во 2 тома. Автори Л.С. Атанасјан, Базилев В.Т.. Ова е литература за средно, ќе ти треба првиот том. Задачите кои ретко се среќаваат може да ми паднат од вид, а упатството ќе биде од непроценлива помош.

Двете книги може да се преземат бесплатно на интернет. Покрај тоа, можете да ја користите мојата архива со готови решенија, кои можете да ги најдете на страницата Преземете примери по виша математика.

Меѓу алатките, повторно го предлагам мојот сопствен развој - софтверски пакетво аналитичка геометрија, што во голема мера ќе го поедностави животот и ќе заштеди многу време.

Се претпоставува дека читателот е запознаен со основните геометриски поими и фигури: точка, права, рамнина, триаголник, паралелограм, паралелепипед, коцка итн. Препорачливо е да запомните некои теореми, барем Питагоровата теорема, здраво до повторувачите)

И сега ќе разгледаме последователно: концептот на вектор, дејства со вектори, векторски координати. Препорачувам да прочитате понатаму најважната статија Точка производ на вектори, и исто така Вектор и мешан производ на вектори. Локална задача - Поделба на сегмент во овој поглед - исто така нема да биде излишна. Врз основа на горенаведените информации, можете да го совладате равенка на права во рамнинаСо наједноставни примери на решенија, што ќе овозможи научи да решава геометриски задачи. Следниве статии се исто така корисни: Равенка на рамнина во вселената, Равенки на права во просторот, Основни задачи на права линија и рамнина, други делови од аналитичката геометрија. Природно, стандардните задачи ќе се разгледуваат на патот.

Векторски концепт. Бесплатен вектор

Прво, да ја повториме училишната дефиниција за вектор. Векторповикани режијасегмент за кој се означени неговиот почеток и крај:

Во овој случај, почетокот на сегментот е точката, крајот на сегментот е точката. Самиот вектор се означува со . Насокае од суштинско значење, ако ја преместите стрелката на другиот крај од сегментот, добивате вектор, и ова е веќе сосема различен вектор. Удобно е да се идентификува концептот на вектор со движењето на физичкото тело: мора да се согласите, влегувањето во вратите на институтот или напуштањето на вратите на институтот се сосема различни работи.

Удобно е да се земат предвид поединечни точки на рамнина или простор како т.н нула вектор. За таков вектор, крајот и почетокот се совпаѓаат.

!!! Забелешка: Овде и понатаму, можете да претпоставите дека векторите лежат во иста рамнина или можете да претпоставите дека се наоѓаат во просторот - суштината на презентираниот материјал важи и за рамнината и за просторот.

Ознаки:Многумина веднаш го забележаа стапот без стрелка во ознаката и рекоа, има и стрелка на врвот! Точно, можете да го напишете со стрелка: , но исто така е можно записот што ќе го користам во иднина. Зошто? Очигледно, оваа навика се разви од практични причини; моите стрелци на училиште и на универзитет се покажаа дека беа премногу различни големини и бушави. Во едукативната литература, понекогаш тие воопшто не се замараат со клинесто писмо, туку ги истакнуваат буквите со задебелени букви: , со што се подразбира дека ова е вектор.

Тоа беше стилистика, а сега за начините за пишување вектори:

1) Векторите можат да се напишат со две големи латински букви:
и така натаму. Во овој случај, првата буква Задолжителноја означува почетната точка на векторот, а втората буква ја означува крајната точка на векторот.

2) Векторите се напишани и со мали латински букви:
Особено, нашиот вектор може да се редизајнира за краткост со мала латиница.

Должинаили модулненулта вектор се нарекува должина на отсечката. Должината на векторот нула е нула. Логично.

Должината на векторот е означена со знакот на модул:

Ќе научиме како да ја најдеме должината на векторот (или ќе ја повториме, во зависност од тоа кој) малку подоцна.

Ова беа основни информации за вектори, познати на сите ученици. Во аналитичката геометрија, т.н слободен вектор.

Едноставно кажано - векторот може да се нацрта од која било точка:

Ние сме навикнати таквите вектори да ги нарекуваме еднакви (дефиницијата за еднакви вектори ќе биде дадена подолу), но од чисто математичка гледна точка, тие се ИСТИОТ ВЕКТОР или слободен вектор. Зошто бесплатно? Бидејќи во текот на решавањето на проблемите, можете да го „закачите“ овој или оној вектор на БИЛО КОЈА точка од рамнината или просторот што ви треба. Ова е многу кул карактеристика! Замислете вектор со произволна должина и насока - може да се „клонира“ бесконечен број пати и во која било точка во просторот, всушност, постои СЕКАДЕ. Има една таква студентска изрека: Секој предавач му дава гајле за векторот. На крајот на краиштата, тоа не е само духовита рима, сè е математички точно - векторот може да се прикачи и таму. Но, не брзајте да се радувате, самите студенти се тие кои честопати страдаат =)

Значи, слободен вектор- Ова еден куп идентични насочени сегменти. Училишната дефиниција за вектор, дадена на почетокот на параграфот: „Упатена отсечка се нарекува вектор...“ имплицира специфиченнасочен сегмент земен од дадено множество, кој е врзан за одредена точка во рамнината или просторот.

Треба да се напомене дека од гледна точка на физиката, концептот на слободен вектор е генерално неточен, а точката на примена на векторот е важна. Навистина, директен удар со иста сила по носот или челото, доволен за да го развијам мојот глупав пример, повлекува различни последици. Сепак, неслободнивектори се наоѓаат и во текот на vyshmat (не оди таму :)).

Дејства со вектори. Колинеарност на вектори

Курсот по училишна геометрија опфаќа голем број дејства и правила со вектори: собирање според правилото за триаголник, собирање според правилото на паралелограм, правило за векторска разлика, множење на вектор со број, скаларен производ на вектори итн.Како почетна точка, да повториме две правила кои се особено релевантни за решавање на проблеми од аналитичката геометрија.

Правило за собирање вектори со користење на правилото триаголник

Размислете за два произволни вектори не-нула и:

Треба да го пронајдете збирот на овие вектори. Поради фактот што сите вектори се сметаат за слободни, ние ќе го издвоиме векторот од крајвектор:

Збирот на вектори е векторот. За подобро разбирање на правилото, препорачливо е да се стави физичко значење во него: нека некое тело патува по векторот, а потоа по векторот. Тогаш збирот на вектори е векторот на добиената патека со почеток во точката на поаѓање и крај на точката на пристигнување. Слично правило е формулирано за збир на кој било број вектори. Како што велат тие, телото може да оди по својот пат многу посно по цик-цак, или можеби на автопилот - по добиениот вектор на збирот.

Патем, ако векторот се одложи од почнавектор, тогаш добиваме еквивалент паралелограм правилододавање вектори.

Прво, за колинеарноста на векторите. Двата вектори се нарекуваат колинеарна, ако лежат на иста права или на паралелни прави. Грубо кажано, зборуваме за паралелни вектори. Но, во однос на нив, придавката „колинеарно“ секогаш се користи.

Замислете два колинеарни вектори. Ако стрелките на овие вектори се насочени во иста насока, тогаш се нарекуваат такви вектори ко-режија. Ако стрелките се насочени во различни насоки, тогаш векторите ќе бидат спротивни насоки.

Ознаки:колинеарноста на векторите се запишува со вообичаениот симбол на паралелизам: , додека деталното е можно: (векторите се ко-насочени) или (векторите се обратно насочени).

Работатавектор кој не е нула на број е вектор чија должина е еднаква на , а векторите и се исто насочени кон и спротивно насочени кон .

Правилото за множење вектор со број е полесно да се разбере со помош на слика:

Ајде да го разгледаме подетално:

1) Насока. Ако множителот е негативен, тогаш векторот го менува правецотна спротивното.

2) Должина. Ако множителот е содржан во или , тогаш должината на векторот се намалува. Значи, должината на векторот е половина од должината на векторот. Ако модулот на множителот е поголем од еден, тогаш должината на векторот се зголемуваво времето.

3) Ве молиме имајте предвид дека сите вектори се колинеарни, додека еден вектор се изразува преку друг, на пример, . Обратно е исто така точно: ако еден вектор може да се изрази преку друг, тогаш таквите вектори се нужно колинеарни. Така: ако помножиме вектор со број, добиваме колинеарен(во однос на оригиналот) вектор.

4) Векторите се ко-насочени. Вектори и исто така се ко-режија. Секој вектор од првата група е обратно насочен во однос на кој било вектор од втората група.

Кои вектори се еднакви?

Два вектори се еднакви ако се во иста насока и имаат иста должина. Забележете дека конасочноста подразбира колинеарност на вектори. Дефиницијата би била неточна (непотребна) ако речеме: „Два вектори се еднакви ако се колинеарни, конасочни и имаат иста должина“.

Од гледна точка на концептот на слободен вектор, еднакви вектори се истиот вектор, како што беше дискутирано во претходниот пасус.

Векторски координати на рамнината и во вселената

Првата точка е да се разгледаат вектори на рамнината. Дозволете ни да прикажеме Декартов правоаголен координатен систем и да го нацртаме од потеклото на координатите синглвектори и:

Вектори и ортогонални. Ортогонално = Нормално. Ви препорачувам полека да се навикнете на поимите: наместо паралелизам и перпендикуларност, ги користиме зборовите соодветно колинеарностИ ортогоналност.

Ознака:Ортогоналноста на векторите се пишува со вообичаениот симбол на перпендикуларност, на пример: .

Се нарекуваат векторите што се разгледуваат координатни векториили орти. Овие вектори се формираат основана површината. Што е основа, мислам, на многумина им е интуитивно јасно; подетални информации може да се најдат во статијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на векториСо едноставни зборови, основата и потеклото на координатите го дефинираат целиот систем - ова е еден вид основа на која врие целосен и богат геометриски живот.

Понекогаш конструираната основа се нарекува ортонормалниоснова на рамнината: „орто“ - бидејќи координатните вектори се ортогонални, придавката „нормализирана“ значи единица, т.е. должините на основните вектори се еднакви на еден.

Ознака:основата најчесто се пишува во загради, внатре во која во строг редоследсе наведуваат базичните вектори, на пример: . Координатни вектори тоа е забранетопреуреди.

Било којавион вектор единствениот начинизразено како:
, Каде - броевикои се нарекуваат векторски координативо оваа основа. И самиот израз повикани векторско распаѓањепо основа .

Послужена вечера:

Да почнеме со првата буква од азбуката: . Цртежот јасно покажува дека при разложување на вектор во основа, се користат оние што штотуку беа дискутирани:
1) правило за множење вектор со број: и ;
2) собирање вектори според правилото триаголник: .

Сега ментално нацртајте го векторот од која било друга точка на рамнината. Сосема е очигледно дека неговото распаѓање „немилосрдно ќе го следи“. Еве ја, слободата на векторот - векторот „носи сè со себе“. Ова својство, се разбира, важи за секој вектор. Смешно е што самите основни (бесплатни) вектори не мора да се нацртаат од потеклото; едниот може да се нацрта, на пример, долу лево, а другиот горе десно, и ништо нема да се промени! Точно, не треба да го правите ова, бидејќи наставникот исто така ќе покаже оригиналност и ќе ви извлече „кредит“ на неочекувано место.

Векторите го илустрираат точно правилото за множење на векторот со број, векторот е конасочен со основниот вектор, векторот е насочен спротивно на основниот вектор. За овие вектори, една од координатите е еднаква на нула; можете прецизно да ја напишете вака:


А основните вектори, патем, се вака: (всушност, тие се изразуваат преку самите себе).

И, конечно: , . Патем, што е векторско одземање и зошто не зборував за правилото за одземање? Некаде во линеарна алгебра, не се сеќавам каде, забележав дека одземањето е посебен случај на собирање. Така, проширувањата на векторите „de“ и „e“ лесно се пишуваат како збир: , . Преуредите ги поимите и видете на цртежот колку добро функционира старото добро собирање вектори според правилото триаголник во овие ситуации.

Разгледуваното разложување на формата понекогаш се нарекува векторско распаѓање во ort системот(т.е. во систем на единечни вектори). Но, ова не е единствениот начин да се напише вектор; следнава опција е вообичаена:

Или со знак за еднаквост:

Самите основни вектори се запишуваат на следниов начин: и

Односно, координатите на векторот се означени во загради. Во практични проблеми, се користат сите три опции за нотација.

Се сомневав дали да зборувам, но сепак ќе кажам: векторските координати не можат да се преуредат. Строго на прво местоја запишуваме координатата што одговара на единечниот вектор, строго на второ местоја запишуваме координатата што одговара на единечниот вектор. Навистина, и се два различни вектори.

Ги сфативме координатите на авионот. Сега да ги погледнеме векторите во тродимензионалниот простор, овде скоро сè е исто! Само ќе додаде уште една координата. Тешко е да се направат тродимензионални цртежи, затоа ќе се ограничам на еден вектор, кој заради едноставност ќе го издвојам од потеклото:

Било кој 3D просторен вектор единствениот начинсе прошири на ортонормална основа:
, каде се координатите на векторот (бројот) во оваа основа.

Пример од сликата: . Ајде да видиме како функционираат векторските правила овде. Прво, множење на векторот со број: (црвена стрелка), (зелена стрелка) и (стрелка од малина). Второ, еве пример за додавање на неколку, во овој случај три, вектори: . Векторот збир започнува на почетната точка на поаѓање (почеток на векторот) и завршува на крајната точка на пристигнување (крајот на векторот).

Сите вектори на тродимензионалниот простор, природно, се исто така слободни; обидете се ментално да го одвоите векторот од која било друга точка и ќе разберете дека неговото распаѓање „ќе остане со него“.

Слично на рамниот случај, покрај пишувањето широко се користат верзии со загради: или .

Ако во експанзијата недостасуваат еден (или два) координатни вектори, тогаш на нивно место се ставаат нули. Примери:
вектор (прецизно ) – ајде да пишуваме;
вектор (прецизно ) – ајде да пишуваме;
вектор (прецизно ) – ајде да напишеме.

Основните вектори се напишани на следниов начин:

Ова, можеби, е сето минимално теоретско знаење неопходно за решавање на проблемите на аналитичката геометрија. Можеби има многу поими и дефиниции, па затоа препорачувам чајниците повторно да ги прочитаат и разберат овие информации. И ќе биде корисно за секој читател одвреме-навреме да се повикува на основната лекција за подобро да го асимилира материјалот. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторско распаѓање - овие и други концепти често ќе се користат во иднина. Забележувам дека материјалите на страницата не се доволни за да го положат теоретскиот тест или колоквиум за геометрија, бидејќи внимателно ги криптирам сите теореми (и без докази) - на штета на научниот стил на презентација, но плус за вашето разбирање на предметот. За да добиете детални теоретски информации, ве молиме поклонете му се на професорот Атанасјан.

И продолжуваме на практичниот дел:

Наједноставните проблеми на аналитичката геометрија.
Дејства со вектори во координати

Многу е препорачливо да научите како да ги решавате задачите што ќе се разгледуваат целосно автоматски и формулите запаметат, не мора ни намерно да го памтиш, тие самите ќе го запаметат =) Ова е многу важно, бидејќи другите проблеми на аналитичката геометрија се засноваат на наједноставните елементарни примери и ќе биде досадно да се троши дополнително време за јадење пиони. . Нема потреба да ги прицврстувате горните копчиња на вашата кошула, многу работи ви се познати уште од училиште.

Презентацијата на материјалот ќе следи паралелен тек - и за авион и за вселената. Од причина што сите формули... ќе се уверите сами.

Како да се најде вектор од две точки?

Ако се дадени две точки од рамнината, тогаш векторот ги има следните координати:

Ако се дадени две точки во просторот, тогаш векторот ги има следните координати:

Тоа е, од координатите на крајот на вектороттреба да ги одземете соодветните координати почеток на векторот.

Вежба:За истите точки запишете ги формулите за наоѓање на координатите на векторот. Формули на крајот од лекцијата.

Пример 1

Дадени се две точки на рамнината и . Најдете векторски координати

Решение:според соодветната формула:

Алтернативно, може да се користи следниов запис:

Естетите ќе одлучат за ова:

Лично, навикнат сум на првата верзија на снимката.

Одговор:

Според условот, не беше неопходно да се конструира цртеж (што е типично за проблемите на аналитичката геометрија), но за да се разјаснат некои точки за кукли, нема да бидам мрзлив:

Дефинитивно треба да разберете разлика помеѓу координати на точки и векторски координати:

Точка координати– тоа се обични координати во правоаголен координатен систем. Мислам дека сите знаат да исцртаат точки на координатна рамнина од 5-6 одделение. Секоја точка има строго место во авионот и тие не можат да се преместат никаде.

Координатите на векторот– ова е нејзино проширување според основата, во овој случај. Секој вектор е слободен, па ако е потребно, лесно можеме да го оддалечиме од некоја друга точка во рамнината. Интересно е што за векторите воопшто не треба да се градат оски или правоаголен координатен систем, туку потребна е само основа, во овој случај ортонормална основа на рамнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори се чини дека се слични: , и значење на координатитеапсолутно различни, и треба добро да ја знаете оваа разлика. Оваа разлика, се разбира, важи и за вселената.

Дами и господа, да ги наполниме рацете:

Пример 2

а) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
б) Дадени се бодови И . Најдете вектори и .
в) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
г) Дадени се бодови. Најдете вектори .

Можеби тоа е доволно. Ова се примери за да одлучите сами, обидете се да не ги запоставите, ќе ви се исплати ;-). Нема потреба да се прават цртежи. Решенија и одговори на крајот од часот.

Што е важно при решавање на аналитички геометриски задачи?Важно е да бидете ИСКЛУЧНО ВНИМАТЕЛНИ за да избегнете да ја направите маестралната грешка „два плус два е еднакво на нула“. Веднаш се извинувам ако згрешив некаде =)

Како да се најде должината на сегментот?

Должината, како што веќе беше забележано, е означена со знакот за модул.

Ако се дадени две точки од рамнината и , тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата

Ако се дадени две точки во просторот, тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата

Забелешка: Формулите ќе останат точни ако се заменат соодветните координати: и , но првата опција е постандардна

Пример 3

Решение:според соодветната формула:

Одговор:

За јасност, ќе направам цртеж

Линиски сегмент - ова не е вектор, и, се разбира, не можете да го преместите никаде. Дополнително, ако цртате на скала: 1 единица. = 1 cm (две ќелии од тетратка), тогаш добиениот одговор може да се провери со обичен линијар со директно мерење на должината на сегментот.

Да, решението е кратко, но има уште неколку важни точки во него што би сакал да ги објаснам:

Прво, во одговорот ја ставаме димензијата: „единици“. Состојбата не кажува ШТО е тоа, милиметри, сантиметри, метри или километри. Затоа, математички точно решение би било општата формулација: „единици“ - скратено како „единици“.

Второ, да го повториме училишниот материјал, кој е корисен не само за разгледуваната задача:

Обрни внимание на важна техника – отстранување на мултипликаторот од под коренот. Како резултат на пресметките, имаме резултат и добриот математички стил вклучува отстранување на факторот од под коренот (ако е можно). Подетално, процесот изгледа вака: . Се разбира, не би било грешка да се остави одговорот каков што е - но секако би бил недостаток и тежок аргумент за преговарање од страна на наставникот.

Еве други вообичаени случаи:

Често коренот произведува прилично голем број, на пример. Што да се прави во такви случаи? Со помош на калкулаторот проверуваме дали бројот е делив со 4: . Да, тоа беше целосно поделено, така што: . Или можеби бројот може повторно да се подели со 4? . Така: . Последната цифра од бројот е непарна, па делењето со 4 по трет пат очигледно нема да работи. Ајде да се обидеме да поделиме со девет: . Како резултат:
Подготвени.

Заклучок:ако под коренот добиеме број што не може да се извлече како целина, тогаш се обидуваме да го отстраниме факторот од под коренот - со помош на калкулатор проверуваме дали бројот е делив со: 4, 9, 16, 25, 36, 49, итн.

Кога решавате различни проблеми, често се среќаваат корени; секогаш обидувајте се да извлечете фактори од коренот за да избегнете пониска оценка и непотребни проблеми со финализирање на вашите решенија врз основа на коментарите на наставникот.

Ајде, исто така, да го повториме квадратирањето на корените и другите моќи:

Правилата за работа со овластувањата во општа форма може да се најдат во учебник за училишна алгебра, но мислам дека од дадените примери сè или речиси сè е веќе јасно.

Задача за независно решение со отсечка во просторот:

Пример 4

Поени и се дадени. Најдете ја должината на сегментот.

Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Како да се најде должината на векторот?

Ако е даден рамен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата.

Ако е даден просторен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата .

Единица вектор- Ова вектор, чија апсолутна вредност (модул) е еднаква на единство. За да означиме единичен вектор, ќе го користиме знакот e. Значи, ако е даден вектор А, тогаш неговиот единичен вектор ќе биде векторот Ад. Овој единечен вектор е насочен во иста насока како и самиот вектор А, а неговиот модул е ​​еднаков на еден, односно a e = 1.

Очигледно, А= а Ае (а - векторски модул А). Ова произлегува од правилото со кое се врши операцијата на множење скалар со вектор.

Единица векторичесто се поврзуваат со координатните оски на координатен систем (особено, со оските на Декартов координатен систем). Насоките на овие векторисе совпаѓаат со насоките на соодветните оски, а нивното потекло често се комбинира со потеклото на координатниот систем.

Дозволете ми да ве потсетам дека Декартов координатен системво вселената, традиционално се нарекува трио меѓусебно нормални оски кои се сечат во точка наречена потекло на координатите. Координативните оски обично се означуваат со буквите X, Y, Z и се нарекуваат оска на апсциса, ординатна оска и апликативна оска, соодветно. Самиот Декарт користел само една оска, на која биле исцртани апсциси. Заслуга за употреба системисекира им припаѓа на неговите ученици. Затоа фразата Декартов координатен системисториски погрешно. Подобро е да разговараме правоаголна координатен системили ортогонален координатен систем. Сепак, нема да ги менуваме традициите и во иднина ќе претпоставуваме дека Декартов и правоаголните (ортогонални) координатни системи се едно исто.

Единица вектор, насочена по оската X, се означува јас, единица вектор, насочена по оската Y, се означува ј, А единица вектор, насочена по оската Z, се означува к. Вектори јас, ј, ксе нарекуваат орти(сл. 12, лево), тие имаат единечни модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.

Секири и единечни вектори правоаголен координатен системво некои случаи тие имаат различни имиња и ознаки. Така, оската на апсцисата X може да се нарече тангентна оска, а нејзиниот единичен вектор е означен τ (грчка мала буква тау), ординатна оска е нормална оска, нејзиниот единичен вектор е означен n, апликативната оска е бинормална оска, се означува нејзиниот единичен вектор б. Зошто да се менуваат имињата ако суштината останува иста?

Факт е дека, на пример, во механиката, кога се проучува движењето на телата, правоаголниот координатен систем се користи многу често. Значи, ако самиот координатен систем е неподвижен, а промената на координатите на објектот што се движи се следи во овој стационарен систем, тогаш обично оските се означени како X, Y, Z и нивните единечни векторисоодветно јас, ј, к.

Но, често, кога објектот се движи по некој вид кривилинеарна патека (на пример, во круг), попогодно е да се земат предвид механичките процеси во координатниот систем што се движат со овој објект. За таков подвижен координатен систем се користат и други имиња на оските и нивните единечни вектори. Едноставно така е. Во овој случај, оската X е насочена тангенцијално на траекторијата на местото каде што моментално се наоѓа овој објект. И тогаш оваа оска повеќе не се нарекува оска X, туку тангентна оска, а нејзиниот единичен вектор повеќе не е означен јас, А τ . Оската Y е насочена долж радиусот на искривување на траекторијата (во случај на движење во круг - до центарот на кругот). И бидејќи радиусот е нормален на тангентата, оската се нарекува нормална оска (нормална и нормална се иста работа). Единечниот вектор на оваа оска повеќе не е означен ј, А n. Третата оска (порано Z) е нормална на претходните две. Ова е бинормално со орт б(Сл. 12, десно). Патем, во овој случај таков правоаголен координатен системчесто се нарекува „природно“ или природно.

7.1. Дефиниција на вкрстен производ

Три некомпланарни вектори a, b и c, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка ако, од крајот на третиот вектор c, се гледа најкраткото вртење од првиот вектор a кон вториот вектор b. да биде спротивно од стрелките на часовникот, и левак тројка ако е во насока на стрелките на часовникот (види Сл. 16).

Векторскиот производ на векторот a и векторот b се нарекува вектор c, кој:

1. Нормално на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ б ;

2. Има должина нумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори a ибкако на страните (види Сл. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c формираат десна тројка.

Вкрстениот производ се означува x b или [a,b]. Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ, јИ к(види Сл. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Да го докажеме, на пример, тоа i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, но | јас x j| = |i | |J | грев (90°)=1;

3) вектори i, j и кформирајте десна тројка (види Сл. 16).

7.2. Својства на вкрстен производ

1. При преуредување на факторите, векторскиот производ го менува знакот, т.е. и xb =(b xa) (види Сл. 19).

Векторите a xb и b xa се колинеарни, имаат исти модули (површината на паралелограмот останува непроменета), но се насочени спротивно (тројки a, b, a xb и a, b, b x a со спротивна ориентација). Тоа е axb = -(b xa).

2. Векторскиот производ има комбинирано својство во однос на скаларниот фактор, т.е. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Нека l >0. Векторот l (a xb) е нормален на векторите a и b. Вектор ( ла) x бе исто така нормална на векторите a и б(вектори a, лно лежи во иста рамнина). Тоа значи дека векторите л(a xb) и ( ла) x бколинеарна. Очигледно е дека нивните насоки се совпаѓаат. Имаат иста должина:

Затоа л(a xb)= л xb. На сличен начин се докажува и за л<0.

3. Два вектори не-нула a и бсе колинеарни ако и само ако нивниот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

Особено, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторскиот производ има својство на дистрибуција:

(а+б) xc = a xc + б xs.

Ќе прифатиме без доказ.

7.3. Изразување на вкрстениот производ во однос на координати

Ќе ја користиме табела за вкрстени производи на вектори i, ји к:

ако насоката на најкратката патека од првиот вектор до вториот се совпаѓа со насоката на стрелката, тогаш производот е еднаков на третиот вектор; ако не се совпаѓа, третиот вектор се зема со знак минус.

Нека се дадени два вектори a =a x i +a y ј+a z ки b =b x јас+b y ј+b z к. Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори со множење како полиноми (според својствата на векторскиот производ):

Добиената формула може да се напише уште пократко:

бидејќи десната страна на еднаквоста (7.1) одговара на проширувањето на детерминантата од трет ред во однос на елементите од првиот ред Равенството (7.2) лесно се памети.

7.4. Некои апликации на крос производ

Воспоставување на колинеарност на вектори

Наоѓање на плоштина на паралелограм и триаголник

Според дефиницијата за векторски производ на вектори Аи б |а xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S парови = |a x b |. И, според тоа, D S =1/2|a x b |.

Определување на моментот на сила околу точка

Нека се примени сила во точката А F = ABпушти го ЗА- некоја точка во просторот (види Сл. 20).

Од физиката е познато дека момент на сила Ф во однос на поентата ЗАнаречен вектор М,која минува низ точката ЗАИ:

1) нормално на рамнината што минува низ точките О, А, Б;

2) нумерички еднаков на производот на сила по рака

3) формира десна тројка со вектори OA и A B.

Затоа, M = OA x F.

Наоѓање линеарна брзина на ротација

Брзина vточка М на круто тело кое ротира со аголна брзина wоколу фиксна оска, се определува со Ојлеровата формула v =w xr, каде што r =OM, каде што O е одредена фиксна точка на оската (види Сл. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Пред да го дадеме концептот на векторски производ, да се свртиме кон прашањето за ориентацијата на подредена тројка вектори a →, b →, c → во тридимензионален простор.

За почеток, да ги оставиме настрана векторите a → , b → , c → од една точка. Ориентацијата на тројната a → , b → , c → може да биде десно или лево, во зависност од насоката на самиот вектор c →. Типот на тројната a → , b → , c → ќе се определи од насоката во која се прави најкраткото вртење од векторот a → до b → од крајот на векторот c → .

Ако најкраткото вртење се врши спротивно од стрелките на часовникот, тогаш тројката вектори a → , b → , c → се нарекува право, ако е во насока на стрелките на часовникот - лево.

Следно, земете два неколинеарни вектори a → и b →. Потоа да ги нацртаме векторите A B → = a → и A C → = b → од точката A. Ајде да конструираме вектор A D → = c →, кој е истовремено нормален и на A B → и A C →. Така, кога го конструираме самиот вектор A D → = c →, можеме да направиме две работи, давајќи му или една насока или спротивна (види илустрација).

Подредена тројка вектори a → , b → , c → може да биде, како што дознавме, десно или лево во зависност од насоката на векторот.

Од горенаведеното можеме да ја воведеме дефиницијата за векторски производ. Оваа дефиниција е дадена за два вектори дефинирани во правоаголен координатен систем на тридимензионален простор.

Дефиниција 1

Векторскиот производ на два вектори a → и b → ќе го наречеме таков вектор дефиниран во правоаголен координатен систем со тродимензионален простор таков што:

• ако векторите a → и b → се колинеарни, тоа ќе биде нула;
• ќе биде нормално и на векторот a → ​​ и на векторот b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• неговата должина се одредува со формулата: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тројката вектори a → , b → , c → има иста ориентација како дадениот координатен систем.

Векторскиот производ на векторите a → и b → ја има следната нотација: a → × b →.

Координати на векторскиот производ

Бидејќи секој вектор има одредени координати во координатниот систем, можеме да воведеме втора дефиниција за векторски производ, што ќе ни овозможи да ги најдеме неговите координати користејќи ги дадените координати на векторите.

Дефиниција 2

Во правоаголен координатен систем на тридимензионален простор векторски производ на два вектори a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) се нарекува вектор c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , каде што i → , j → , k → се координатни вектори.

Векторскиот производ може да се претстави како детерминанта на квадратна матрица од трет ред, каде што првиот ред ги содржи векторските вектори i → , j → , k → , вториот ред ги содржи координатите на векторот a → , а третиот ред ги содржи координатите на векторот b → во даден правоаголен координатен систем, ова е детерминантата на матрицата изгледа вака: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Проширувајќи ја оваа детерминанта во елементите од првиот ред, ја добиваме еднаквоста: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Својства на вкрстен производ

Познато е дека векторскиот производ во координати е претставен како детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , потоа врз основа својства на матричната детерминантасе прикажуваат следните својства на векторски производ:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивноста a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоцијативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b →, каде што λ е произволен реален број.

Овие својства имаат едноставни докази.

Како пример, можеме да го докажеме антикомутативното својство на векторски производ.

Доказ за антикомутативност

По дефиниција, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. И ако два реда од матрицата се заменети, тогаш вредноста на детерминантата на матрицата треба да се смени на спротивна, затоа, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , што и докажува дека векторскиот производ е антикомутативен.

Векторски производ - примери и решенија

Во повеќето случаи, постојат три типа на проблеми.

Во проблемите од првиот тип, обично се дадени должините на два вектори и аголот меѓу нив и треба да ја пронајдете должината на векторскиот производ. Во овој случај, користете ја следната формула c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите a → и b → ако знаете a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Решение

Со одредување на должината на векторскиот производ на векторите a → и b →, ја решаваме оваа задача: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Одговор: 15 2 2 .

Задачите од вториот тип имаат врска со координатите на вектори, во нив векторскиот производ, неговата должина итн. се пребаруваат низ познатите координати на дадените вектори a → = (a x; a y; a z) И b → = (b x; b y; b z) .

За овој тип на проблем, можете да решите многу опции за задачи. На пример, не може да се наведат координатите на векторите a → и b →, туку нивните проширувања во координатни вектори од формата b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, или векторите a → и b → може да се специфицираат со координатите на нивниот почеток и крајните точки.

Размислете за следните примери.

Пример 2

Во правоаголен координатен систем се дадени два вектори: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Најдете го нивниот вкрстен производ.

Решение

Според втората дефиниција, го наоѓаме векторскиот производ на два вектори во дадени координати: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако векторскиот производ го запишеме преку детерминантата на матрицата, тогаш решението на овој пример изгледа вака: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Одговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Пример 3

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите i → - j → и i → + j → + k →, каде што i →, j →, k → се единечните вектори на правоаголниот Декартов координатен систем.

Решение

Прво, да ги најдеме координатите на даден векторски производ i → - j → × i → + j → + k → во даден правоаголен координатен систем.

Познато е дека векторите i → - j → и i → + j → + k → имаат координати (1; - 1; 0) и (1; 1; 1), соодветно. Да ја најдеме должината на векторскиот производ користејќи ја детерминантата на матрицата, тогаш имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Според тоа, векторскиот производ i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) во дадениот координатен систем.

Ја наоѓаме должината на векторскиот производ користејќи ја формулата (видете го делот за наоѓање должина на вектор): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Одговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

Во правоаголен Декартов координатен систем, дадени се координатите на три точки A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Најдете вектор нормален на A B → и A C → во исто време.

Решение

Векторите A B → и A C → ги имаат следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соодветно. Откако го пронајдовме векторскиот производ на векторите A B → и A C →, очигледно е дека тој е нормален вектор по дефиниција и на A B → и A C →, односно дека е решение за нашиот проблем. Да го најдеме A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Одговор: - 6 i → + j → - 4 k → . - еден од нормалните вектори.

Проблемите од третиот тип се фокусирани на користење на својствата на векторскиот производ на вектори. Откако ќе го примениме, ќе добиеме решение за дадениот проблем.

Пример 5

Векторите a → и b → се нормални и нивните должини се 3 и 4, соодветно. Најдете ја должината на векторскиот производ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

Според дистрибутивното својство на векторски производ, можеме да запишеме 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

По својството на асоцијативност ги вадиме нумеричките коефициенти од знакот на векторските производи во последниот израз: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Векторските производи a → × a → и b → × b → се еднакви на 0, бидејќи a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, потоа 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Од антикомутативноста на векторскиот производ следува - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × б → . .

Користејќи ги својствата на векторскиот производ, ја добиваме еднаквоста 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По услов, векторите a → и b → се нормални, односно аголот меѓу нив е еднаков на π 2. Сега останува само да ги замениме пронајдените вредности во соодветните формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Одговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Должината на векторскиот производ на вектори по дефиниција е еднаква на a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Бидејќи веќе е познато (од училишниот курс) дека плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот од должините на неговите две страни помножен со синусот на аголот помеѓу овие страни. Следствено, должината на векторскиот производ е еднаква на плоштината на паралелограмот - удвоен триаголник, имено производот на страните во форма на вектори a → и b →, поставени од една точка, со синусот на аголот меѓу нив sin ∠ a →, b →.

Ова е геометриското значење на векторскиот производ.

Физичко значење на векторскиот производ

Во механиката, една од гранките на физиката, благодарение на векторскиот производ, можете да го одредите моментот на сила во однос на точка во просторот.

Дефиниција 3

До моментот на сила F → применета на точката B, во однос на точката A, ќе го разбереме следниот векторски производ A B → × F →.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter