како онтолошка категорија го одразува степенот на можноста за појава на кој било ентитет под какви било услови. За разлика од математичкото и логичкото толкување на овој концепт, онтолошката математика не се поврзува со обврската за квантитативно изразување. Значењето на V. се открива во контекст на разбирањето на детерминизмот и природата на развојот воопшто.
Одлична дефиниција
Нецелосна дефиниција ↓
ВЕРОЈАТНОСТ
концепт кој ги карактеризира количините. мерката на можноста за појава на одреден настан на одредено Услови. Во научните знаење постојат три толкувања на V. Класичниот концепт на V., кој произлезе од математички. анализа на коцкањето и најцелосно развиена од Б. Паскал, Ј. Бернули и П. Лаплас, ја смета победата како сооднос на бројот на поволни случаи со вкупниот број на сите подеднакво можни. На пример, при фрлање на коцка која има 6 страни, може да се очекува секоја од нив да слета со вредност од 1/6, бидејќи ниту една страна нема предности во однос на другата. Ваквата симетрија на експериментални резултати посебно се зема предвид при организирање игри, но е релативно ретка во проучувањето на објективни настани во науката и практиката. Класичен Толкувањето на В. отстапи место на статистиката. Концептите на В., кои се засноваат на актуелното набљудување на појавата на одреден настан во подолг временски период. искуство под точно утврдени услови. Праксата потврдува дека колку почесто се случува некој настан, толку е поголем степенот на објективна можност за негово настанување или Б. Затоа, статистички. Интерпретацијата на В. се заснова на концептот на релати. фреквенција, која може да се определи експериментално. V. како теоретски концептот никогаш не се совпаѓа со емпириски определената фреквенција, но во множина. Во случаи, практично малку се разликува од релативната. фреквенција пронајдена како резултат на времетраењето. набљудувања. Многу статистичари го сметаат V. како „двојно“ се однесува. фреквенциите, рабовите се одредуваат статистички. проучување на резултатите од набљудувањето
или експерименти. Помалку реална беше дефиницијата на V. како што се однесува границата. фреквенции на масовни настани, или групи, предложени од R. Mises. Како дополнителен развој на фреквентниот пристап кон V., се поставува диспозициска или склона интерпретација на V. (К. Попер, Ј. Хакинг, М. Бунге, Т. Сетл). Според ова толкување, V. го карактеризира својството на генерирање услови, на пример. експеримент. инсталации за да се добие низа од масивни случајни настани. Токму овој став раѓа физички диспозиции, или предиспозиции, V. кои може да се проверат со помош на роднини. фреквенција
Статистички Доминира толкувањето на В. сознание, бидејќи одразува специфично. природата на обрасците својствени за масовните феномени од случајна природа. Во многу физички, биолошки, економски, демографски. и други општествени процеси, неопходно е да се земе предвид дејството на многу случајни фактори, кои се карактеризираат со стабилна фреквенција. Идентификување на овие стабилни фреквенции и количини. неговата проценка со помош на V. овозможува да се открие неопходноста што се пробива низ кумулативното дејство на многу несреќи. Овде ја наоѓа својата манифестација дијалектиката на претворање на случајноста во неопходност (види Ф. Енгелс, во книгата: К. Маркс и Ф. Енгелс, Дела, том 20, стр. 535-36).
Логичкото, или индуктивното расудување го карактеризира односот помеѓу премисите и заклучокот на не-демонстративното и, особено, индуктивното расудување. За разлика од дедукцијата, премисите на индукцијата не ја гарантираат вистинитоста на заклучокот, туку само го прават повеќе или помалку веродостојно. Оваа веродостојност, со прецизно формулирани премиси, понекогаш може да се процени со користење на V. Вредноста на ова V. најчесто се одредува со споредба. концепти (повеќе од, помали или еднакви на), а понекогаш и на нумерички начин. Логично толкувањето често се користи за да се анализира индуктивното расудување и да се конструираат различни системи на веројатна логика (Р. Карнап, Р. Џефри). Во семантиката логички концепти V. често се дефинира како степен до кој една изјава е потврдена од други (на пример, хипотеза според неговите емпириски податоци).
Во врска со развојот на теориите за одлучување и игри, т.н персоналистичка интерпретација на V. Иако V. во исто време го изразува степенот на верата на субјектот и појавата на одреден настан, самите V. мора да бидат избрани на таков начин што ќе бидат задоволени аксиомите на пресметката на V.. Затоа, V. со таквото толкување не го изразува толку степенот на субјективна, туку прилично разумна вера. Следствено, одлуките донесени врз основа на таквото В. ќе бидат рационални, бидејќи не го земаат предвид психолошкиот. карактеристики и склоности на предметот.
Со епистемолошки т.зр. разлика помеѓу статистичко, логично. и персоналистички толкувања на V. е дека ако првата ги карактеризира објективните својства и односите на масовните појави од случајна природа, тогаш последните две ги анализираат карактеристиките на субјективното, когнизантното. човечки активности во услови на неизвесност.
ВЕРОЈАТНОСТ
еден од најважните концепти на науката, кој карактеризира посебна системска визија за светот, неговата структура, еволуција и знаење. Специфичноста на веројатниот поглед на светот се открива преку вклучувањето на концептите на случајност, независност и хиерархија (идејата за нивоа во структурата и одредувањето на системите) меѓу основните концепти на постоење.
Идеите за веројатноста потекнуваат од античко време и се однесуваат на карактеристиките на нашето знаење, додека се препознава постоењето на веројатничко знаење, кое се разликува од веродостојното знаење и од лажното знаење. Влијанието на идејата за веројатност врз научното размислување и врз развојот на знаењето е директно поврзано со развојот на теоријата на веројатност како математичка дисциплина. Потеклото на математичката доктрина за веројатност датира од 17 век, кога развојот на јадрото на концепти дозволува. квантитативни (нумерички) карактеристики и искажување веројатна идеја.
Интензивните примени на веројатноста за развој на сознанието се случуваат во втората половина. 19 - 1 кат 20-ти век Веројатноста влезе во структурите на таквите фундаментални науки за природата како што се класичната статистичка физика, генетиката, квантната теорија и кибернетиката (теорија на информации). Според тоа, веројатноста ја персонифицира таа фаза во развојот на науката, која сега се дефинира како некласична наука. За да се откријат новитетите и карактеристиките на веројатниот начин на размислување, неопходно е да се продолжи од анализата на предметот на теоријата на веројатност и основите на нејзините бројни примени. Теоријата на веројатност обично се дефинира како математичка дисциплина која ги проучува моделите на масовни случајни појави под одредени услови. Случајноста значи дека во рамките на масовниот карактер, постоењето на секоја елементарна појава не зависи и не е определено од постоењето на други појави. Во исто време, самата масовна природа на појавите има стабилна структура и содржи одредени законитости. Масовниот феномен е доста строго поделен на потсистеми, а релативниот број на елементарни појави во секој од потсистемите (релативна фреквенција) е многу стабилен. Оваа стабилност се споредува со веројатноста. Масовниот феномен како целина се карактеризира со распределба на веројатност, односно со специфицирање на потсистеми и нивните соодветни веројатности. Јазикот на теоријата на веројатност е јазикот на распределбата на веројатноста. Според тоа, теоријата на веројатност е дефинирана како апстрактна наука за работа со дистрибуции.
Веројатноста родила во науката идеи за статистички обрасци и статистички системи. Последните се системи формирани од независни или квази-независни ентитети; нивната структура се карактеризира со распределби на веројатност. Но, како е можно да се формираат системи од независни ентитети? Вообичаено се претпоставува дека за формирање на системи со интегрални карактеристики, потребно е да постојат доволно стабилни врски меѓу нивните елементи кои ги цементираат системите. Стабилноста на статистичките системи ја дава присуството на надворешни услови, надворешно опкружување, надворешни наместо внатрешни сили. Самата дефиниција на веројатноста секогаш се заснова на поставување на условите за формирање на феноменот на почетната маса. Друга важна идеја што ја карактеризира веројатноста парадигма е идејата за хиерархија (подреденост). Оваа идеја ја изразува врската помеѓу карактеристиките на поединечните елементи и интегралните карактеристики на системите: вторите, како што беа, се изградени на врвот на првите.
Важноста на веројатносните методи во сознанието лежи во фактот што тие овозможуваат проучување и теоретски изразување на обрасците на структурата и однесувањето на предметите и системите кои имаат хиерархиска, „двостепена“ структура.
Анализата на природата на веројатноста се заснова на нејзината фреквенција, статистичко толкување. Во исто време, долго време, таквото разбирање на веројатноста доминирало во науката, кое се нарекувало логична, или индуктивна, веројатност. Логичката веројатност е заинтересирана за прашања за валидноста на посебна, индивидуална пресуда под одредени услови. Дали е можно да се оцени степенот на потврда (веродостојност, вистина) на индуктивен заклучок (хипотетички заклучок) во квантитативна форма? За време на развојот на теоријата на веројатност, ваквите прашања беа постојано дискутирани и тие почнаа да зборуваат за степените на потврда на хипотетичките заклучоци. Оваа мерка на веројатност се определува од информациите со кои располага одредена личност, неговото искуство, погледите на светот и психолошкиот начин на размислување. Во сите такви случаи, големината на веројатноста не е подложна на строги мерења и практично лежи надвор од надлежноста на теоријата на веројатност како конзистентна математичка дисциплина.
Објективното, честопатичко толкување на веројатноста беше воспоставено во науката со значителни тешкотии. Првично, разбирањето на природата на веројатноста беше под силно влијание на оние филозофски и методолошки погледи кои беа карактеристични за класичната наука. Историски гледано, развојот на веројатните методи во физиката се случи под определувачко влијание на идеите на механиката: статистичките системи беа толкувани едноставно како механички. Бидејќи соодветните проблеми не беа решени со строги методи на механика, се појавија тврдења дека свртувањето кон веројатносни методи и статистички закони е резултат на нецелосноста на нашето знаење. Во историјата на развојот на класичната статистичка физика, беа направени бројни обиди да се поткрепи врз основа на класичната механика, но сите не успеаја. Основата на веројатноста е тоа што ги изразува структурните карактеристики на одредена класа системи, различни од механичките системи: состојбата на елементите на овие системи се карактеризира со нестабилност и посебна (не сведена на механика) природа на интеракциите.
Влегувањето на веројатноста во знаењето доведува до негирање на концептот на тврд детерминизам, до негирање на основниот модел на битие и знаење развиено во процесот на формирање на класичната наука. Основните модели претставени со статистичките теории се од поинаква, поопшта природа: тие ги вклучуваат идеите за случајност и независност. Идејата за веројатност е поврзана со откривањето на внатрешната динамика на објектите и системите, што не може целосно да се определи со надворешни услови и околности.
Концептот на веројатна визија за светот, заснован на апсолутизација на идеите за независност (како пред парадигмата на круто определување), сега ги откри своите ограничувања, што најсилно се рефлектира во транзицијата на модерната наука кон аналитички методи за проучување комплексни системи и физички и математички основи на појавите на самоорганизација.
Одлична дефиниција
Нецелосна дефиниција ↓
Јасно е дека секој настан има различен степен на можност за негово појавување (неговото спроведување). За квантитативно да се споредат настаните едни со други според степенот на нивната можност, очигледно, потребно е да се поврзе одреден број со секој настан, што е поголем, толку е можно настанот. Овој број се нарекува веројатност за настан.
Веројатност за настан– е нумеричка мерка за степенот на објективна можност за појава на овој настан.
Размислете за стохастички експеримент и случаен настан А забележан во овој експеримент. Да го повториме овој експеримент n пати и нека m(A) е бројот на експерименти во кои се случил настанот А.
Релација (1.1)
повикани релативна фреквенцијанастани А во серијата извршени експерименти.
Лесно е да се потврди валидноста на својствата:
ако A и B се неконзистентни (AB= ), тогаш ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Релативната фреквенција се одредува само по серија експерименти и, општо земено, може да варира од серија до серија. Сепак, искуството покажува дека во многу случаи, како што се зголемува бројот на експерименти, релативната фреквенција се приближува до одреден број. Овој факт на стабилност на релативната фреквенција е постојано потврден и може да се смета за експериментално утврден.
Пример 1.19.. Ако фрлите една паричка, никој не може да предвиди на која страна ќе слета на врвот. Но, ако фрлите два тона монети, тогаш сите ќе речат дека околу еден тон ќе падне со грбот, односно релативната фреквенција на паѓање на грбот е приближно 0,5.
Ако, со зголемување на бројот на експерименти, релативната фреквенција на настанот ν(A) се стреми кон одреден фиксен број, тогаш се вели дека настанот А е статистички стабилен, и овој број се нарекува веројатност на настанот А.
Веројатност за настанот Асе повикува некој фиксен број P(A), кон кој се стреми релативната фреквенција ν(A) на овој настан како што се зголемува бројот на експерименти, т.е. 
Оваа дефиниција се нарекува статистичко определување на веројатноста .
Да разгледаме одреден стохастички експеримент и да дозволиме просторот на неговите елементарни настани да се состои од конечно или бесконечно (но броиво) множество елементарни настани ω 1, ω 2, …, ω i, …. Да претпоставиме дека на секој елементарен настан ω i му е доделен одреден број - р i, што го карактеризира степенот на можноста за појава на даден елементарен настан и ги задоволува следните својства:
Овој број p i се нарекува веројатност за елементарен настанωi.
Нека сега А е случаен настан забележан во овој експеримент и нека одговара на одредено множество
Во оваа поставка веројатност за настан А повикајте го збирот на веројатностите на елементарните настани кои го фаворизираат А(вклучено во соодветниот сет А):
(1.4)
Веројатноста воведена на овој начин ги има истите својства како и релативната фреквенција, имено:
И ако AB = (А и Б се некомпатибилни),
тогаш P(A+B) = P(A) + P(B)
Навистина, според (1.4)
Во последната релација го искористивме фактот дека ниту еден елементарен настан не може да фаворизира два некомпатибилни настани во исто време.
Посебно забележуваме дека теоријата на веројатност не укажува на методи за одредување на p i; тие мора да се бараат од практични причини или да се добијат од соодветен статистички експеримент.
Како пример, разгледајте ја класичната шема на теоријата на веројатност. За да го направите ова, разгледајте стохастички експеримент, чиј простор на елементарни настани се состои од конечен (n) број на елементи. Дополнително да претпоставиме дека сите овие елементарни настани се подеднакво можни, односно веројатностите на елементарните настани се еднакви на p(ω i)=p i =p. Го следи тоа
Пример 1.20. При фрлање симетрична паричка, подеднакво е можно добивање глави и опашки, нивните веројатности се еднакви на 0,5.
Пример 1.21. При фрлање симетрична матрица, сите лица се подеднакво можни, нивните веројатности се еднакви на 1/6.
Сега настанот А нека биде фаворизиран од m елементарни настани, тие обично се нарекуваат исходи поволни за настанот А. Потоа
Добив класична дефиниција на веројатност: веројатноста P(A) на настанот А е еднаква на односот на бројот на исходи поволни за настанот А до вкупниот број на исходи
Пример 1.22. Урната содржи m бели топчиња и n црни топки. Која е веројатноста да се нацрта бело топче?
Решение. Вкупниот број на елементарни настани е m+n. Сите тие се подеднакво веројатни. Поволен настан А од кој м. Оттука, 
.
Следниве својства произлегуваат од дефиницијата за веројатност:
Имотот 1. Веројатноста за сигурен настан е еднаква на еден.
Навистина, ако настанот е сигурен, тогаш секој елементарен исход од тестот го фаворизира настанот. Во овој случај t=p,оттука,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Имотот 2. Веројатноста за невозможен настан е нула.
Навистина, ако некој настан е невозможен, тогаш ниту еден елементарен исход од тестот не го фаворизира настанот. Во овој случај Т= 0, според тоа, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Имотот 3.Веројатноста за случаен настан е позитивен број помеѓу нула и еден.
Навистина, само дел од вкупниот број на елементарни исходи на тестот е фаворизиран од случаен настан. Тоа е, 0≤m≤n, што значи 0≤m/n≤1, затоа, веројатноста за кој било настан ја задоволува двојната неравенка 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Споредувајќи ги дефинициите за веројатност (1.5) и релативна фреквенција (1.1), заклучуваме: дефиниција на веројатност не бара да се спроведе тестирањеВсушност; дефиницијата за релативна фреквенција претпоставува дека навистина беа направени тестови. Со други зборови, веројатноста се пресметува пред експериментот, а релативната фреквенција - по експериментот.
Сепак, пресметувањето на веројатноста бара прелиминарни информации за бројот или веројатностите на елементарни исходи поволни за даден настан. Во отсуство на такви прелиминарни информации, емпириските податоци се користат за одредување на веројатноста, односно релативната фреквенција на настанот се одредува врз основа на резултатите од стохастички експеримент.
Пример 1.23. Оддел за техничка контрола откриено 3нестандардни делови во серија од 80 случајно избрани делови. Релативна фреквенција на појава на нестандардни делови r(A)= 3/80.
Пример 1.24. Според намената.произведени 24 застрелан, а снимени се 19 удари. Релативна стапка на погодување на целта. r(A)=19/24.
Долгорочните набљудувања покажаа дека ако експериментите се изведуваат под идентични услови, во секоја од кои бројот на тестови е доволно голем, тогаш релативната фреквенција покажува својство на стабилност. Овој имот е дека во различни експерименти релативната фреквенција малку се менува (колку помалку, толку повеќе тестови се вршат), флуктуирајќи околу одреден константен број.Се покажа дека овој константен број може да се земе како приближна вредност на веројатноста.
Односот помеѓу релативната фреквенција и веројатноста ќе биде опишан подетално и попрецизно подолу. Сега да го илустрираме својството на стабилност со примери.
Пример 1.25. Според шведските статистики, релативната фреквенција на раѓања на девојчиња за 1935 година по месеци се карактеризира со следните бројки (броевите се подредени по месеци, почнувајќи од јануари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Релативната фреквенција флуктуира околу бројот 0,481, што може да се земе како приближна вредност за веројатноста да има девојчиња.
Забележете дека статистичките податоци од различни земји даваат приближно иста вредност на релативната фреквенција.
Пример 1.26.Многупати беа спроведени експерименти со фрлање монети, во кои се броеше бројот на појавувања на „грбот“. Резултатите од неколку експерименти се прикажани во табелата.
Значи, ајде да разговараме за тема што интересира многу луѓе. Во оваа статија ќе одговорам на прашањето како да се пресмета веројатноста за настан. Ќе дадам формули за таква пресметка и неколку примери за да биде појасно како се прави тоа.
Што е веројатност
Да почнеме со фактот дека веројатноста да се случи овој или оној настан е одредена доза на доверба во евентуалното појавување на некој резултат. За оваа пресметка, развиена е формула за вкупна веројатност која ви овозможува да одредите дали настанот што ве интересира ќе се случи или не, преку таканаречените условни веројатности. Оваа формула изгледа вака: P = n/m, буквите може да се менуваат, но тоа не влијае на самата суштина.
Примери на веројатност
Користејќи едноставен пример, ајде да ја анализираме оваа формула и да ја примениме. Да речеме дека имате одреден настан (P), нека биде фрлање коцка, односно рамностран матрица. И треба да пресметаме колкава е веројатноста да добиеме 2 поени на тоа. За да го направите ова, потребен ви е бројот на позитивни настани (n), во нашиот случај - губење на 2 поени, за вкупниот број настани (m). Свртување од 2 поени може да се случи само во еден случај, ако има 2 точки на коцката, бидејќи во спротивно збирот ќе биде поголем, следува дека n = 1. Следно, го броиме бројот на тркалање на кои било други броеви на коцки, на 1 коцка - ова се 1, 2, 3, 4, 5 и 6, според тоа, има 6 поволни случаи, односно m = 6. Сега, користејќи ја формулата, правиме едноставна пресметка P = 1/ 6 и откриваме дека фрлањето на 2 точки на коцката е 1/6, односно веројатноста за настанот е многу мала.
Ајде да погледнеме и пример со користење на обоени топчиња кои се во кутија: 50 бели, 40 црни и 30 зелени. Треба да одредите која е веројатноста за цртање зелена топка. И така, бидејќи има 30 топчиња од оваа боја, односно може да има само 30 позитивни настани (n = 30), бројот на сите настани е 120, m = 120 (врз основа на вкупниот број на сите топки), со помош на формулата пресметуваме дека веројатноста за цртање зелена топка ќе биде еднаква на P = 30/120 = 0,25, односно 25% од 100. На ист начин, можете да ја пресметате веројатноста за цртање топче од различна боја (црна ќе биде 33%, бела 42%).
Всушност, формулите (1) и (2) се краток запис за условна веројатност заснован на табела за непредвидени карактеристики. Да се вратиме на дискутираниот пример (сл. 1). Да претпоставиме дека дознаваме дека едно семејство планира да купи телевизор со широк екран. Која е веројатноста ова семејство навистина да купи ваков телевизор?
Ориз. 1. Однесување за купување ТВ со широк екран
Во овој случај, треба да ја пресметаме условната веројатност P (купувањето е завршено | планираното купување). Бидејќи знаеме дека семејството планира да купи, просторот за примерок не го сочинуваат сите 1000 семејства, туку само оние кои планираат да купат телевизор со широк екран. Од 250 такви семејства, 200 всушност го купиле овој телевизор. Затоа, веројатноста дека едно семејство навистина ќе купи телевизор со широк екран, ако планира да го стори тоа, може да се пресмета со следнава формула:
P (купувањето е завршено | планираното купување) = број на семејства кои планирале и купиле телевизор со широк екран / број на семејства кои планираат да купат телевизор со широк екран = 200 / 250 = 0,8
Формулата (2) го дава истиот резултат:
каде е настанот Ае дека семејството планира да купи телевизор со широк екран, а настанот ВО- дека таа всушност ќе го купи. Заменувајќи ги вистинските податоци во формулата, добиваме:
Дрво на одлуки
На сл. 1 семејства се поделени во четири категории: оние кои планирале да купат телевизор со широк екран и оние кои не купиле, како и оние кои купиле таков телевизор и оние кои не купиле. Слична класификација може да се изврши со користење на дрво на одлуки (сл. 2). Дрвото прикажано на сл. 2 има две гранки што одговараат на семејствата кои планирале да купат телевизор со широк екран и семејствата кои не го направиле тоа. Секоја од овие филијали се дели на две дополнителни гранки што одговараат на домаќинствата што купиле и не купиле телевизор со широк екран. Веројатностите напишани на краевите на двете главни гранки се безусловните веројатности на настани АИ А'. Веројатностите напишани на краевите на четирите дополнителни гранки се условни веројатности на секоја комбинација на настани АИ ВО. Условните веројатности се пресметуваат со делење на заедничката веројатност на настани со соодветната безусловна веројатност на секој од нив.
Ориз. 2. Дрво на одлуки
На пример, за да се пресмета веројатноста дека едно семејство ќе купи телевизор со широк екран ако тоа го планира, мора да се одреди веројатноста за настанот планирано и завршено купување, а потоа поделете го со веројатноста за настанот планирано купување. Движејќи се по дрвото на одлуки прикажано на сл. 2, го добиваме следниот (сличен на претходниот) одговор:
Статистичка независност
Во примерот за купување телевизор со широк екран, веројатноста дека случајно избраното семејство купило телевизор со широк екран, со оглед на тоа што планирале да го направат тоа е 200/250 = 0,8. Потсетете се дека безусловната веројатност дека случајно избраното семејство купило телевизор со широк екран е 300/1000 = 0,3. Ова води до многу важен заклучок. Претходните информации дека семејството планирало купување влијае на веројатноста за самото купување.Со други зборови, овие два настани зависат еден од друг. За разлика од овој пример, постојат статистички независни настани чии веројатности не зависат една од друга. Статистичката независност се изразува со идентитетот: P(A|B) = P(A), Каде P(A|B)- веројатност за настан Апод услов настанот да се случил ВО, P(A)- безусловна веројатност за настан А.
Ве молиме имајте предвид дека настаните АИ ВО P(A|B) = P(A). Ако во табела за непредвидени карактеристики со големина 2×2, овој услов е исполнет за барем една комбинација на настани АИ ВО, ќе важи за која било друга комбинација. Во нашиот пример настани планирано купувањеИ купувањето е завршеноне се статистички независни бидејќи информациите за еден настан влијаат на веројатноста за друг.
Ајде да погледнеме пример кој покажува како да се тестира статистичката независност на два настани. Ајде да прашаме 300 семејства кои купиле телевизор со широк екран дали се задоволни со нивното купување (сл. 3). Утврдете дали степенот на задоволство од купувањето и типот на ТВ се поврзани.
Ориз. 3. Податоци кои го карактеризираат степенот на задоволство на купувачите на телевизори со широк екран
Судејќи според овие податоци,
Во исто време,
P (задоволен клиент) = 240 / 300 = 0,80
Затоа, веројатноста дека купувачот е задоволен од купувањето и дека семејството купило HDTV се еднакви, а овие настани се статистички независни бидејќи не се поврзани еден со друг.
Правило за множење на веројатност
Формулата за пресметување на условна веројатност ви овозможува да ја одредите веројатноста за заеднички настан А и Б. Решете ја формулата (1)
во однос на заедничката веројатност P(A и B), добиваме општо правило за множење на веројатности. Веројатност за настан А и Беднаква на веројатноста за настанот Апод услов настанот да се случи ВО ВО:
(3) P(A и B) = P(A|B) * P(B)
Да земеме за пример 80 семејства кои купиле HDTV телевизор со широк екран (сл. 3). Од табелата се гледа дека 64 семејства се задоволни од откупот, а 16 не. Да претпоставиме дека од нив по случаен избор се избрани две семејства. Определете ја веројатноста дека и двајцата клиенти ќе бидат задоволни. Користејќи ја формулата (3), добиваме:
P(A и B) = P(A|B) * P(B)
каде е настанот Ае што второто семејство е задоволно од нивната набавка, а настанот ВО- дека првото семејство е задоволно од нивната набавка. Веројатноста дека првото семејство е задоволно со нивното купување е 64/80. Сепак, веројатноста дека и второто семејство е задоволно со нивното купување зависи од одговорот на првото семејство. Доколку првото семејство не се врати во примерокот по истражувањето (избор без враќање), бројот на испитаници се намалува на 79. Доколку првото семејство е задоволно со купувањето, веројатноста дека и второто семејство ќе биде задоволно е 63 /79, бидејќи во примерокот останаа само 63 семејства задоволни од нивното купување. Така, заменувајќи ги конкретните податоци во формулата (3), го добиваме следниот одговор:
P(A и B) = (63/79) (64/80) = 0,638.
Според тоа, веројатноста двете семејства да се задоволни од набавката е 63,8%.
Да претпоставиме дека по истражувањето првото семејство се враќа во примерокот. Определете ја веројатноста дека двете семејства ќе бидат задоволни со нивното купување. Во овој случај, веројатноста дека двете семејства се задоволни со нивното купување е иста, еднаква на 64/80. Затоа, P(A и B) = (64/80) (64/80) = 0,64. Така, веројатноста двете семејства да се задоволни од своите набавки е 64,0%. Овој пример покажува дека изборот на второто семејство не зависи од изборот на првото. Така, заменувајќи ја условната веројатност во формулата (3) P(A|B)веројатност P(A), добиваме формула за множење на веројатностите на независни настани.
Правило за множење на веројатностите за независни настани.Доколку настаните АИ ВОсе статистички независни, веројатноста за настан А и Беднаква на веројатноста за настанот А, помножено со веројатноста за настанот ВО.
(4) P(A и B) = P(A)P(B)
Ако ова правило е точно за настани АИ ВО, што значи дека тие се статистички независни. Така, постојат два начини да се одреди статистичката независност на два настани:
- Настани АИ ВОсе статистички независни еден од друг ако и само ако P(A|B) = P(A).
- Настани АИ Бсе статистички независни еден од друг ако и само ако P(A и B) = P(A)P(B).
Ако во табела за непредвидени ситуации 2x2, еден од овие услови е исполнет за барем една комбинација на настани АИ Б, ќе важи за која било друга комбинација.
Безусловна веројатност за елементарен настан
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
каде настаните B 1, B 2, ... B k меѓусебно се исклучуваат и се исцрпуваат.
Дозволете ни да ја илустрираме примената на оваа формула користејќи го примерот на Сл. 1. Користејќи ја формулата (5), добиваме:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
Каде P(A)- веројатноста дека купувањето било планирано, P(B 1)- веројатноста дека е извршено купувањето, P(B 2)- веројатноста дека купувањето не е завршено.
ТЕОРЕМА НА БЕЈС
Условната веројатност за настан ја зема предвид информацијата дека се случил некој друг настан. Овој пристап може да се користи и за да се насочи веројатноста земајќи ги предвид новопримените информации и да се пресмета веројатноста дека набљудуваниот ефект е последица на одредена причина. Постапката за рафинирање на овие веројатности се нарекува теорема на Бајс. За прв пат беше развиен од Томас Бејс во 18 век.
Да претпоставиме дека компанијата спомената погоре го истражува пазарот за нов модел на ТВ. Во минатото, 40% од телевизорите создадени од компанијата беа успешни, додека 60% од моделите не беа препознаени. Пред да го објават објавувањето на нов модел, специјалистите за маркетинг внимателно го истражуваат пазарот и евидентираат побарувачка. Во минатото, 80% од успешните модели се предвидуваа дека се успешни, додека 30% од успешните предвидувања се покажаа како погрешни. Одделот за маркетинг даде поволна прогноза за новиот модел. Која е веројатноста дека ќе се бара нов модел на ТВ?
Бејсовата теорема може да се изведе од дефинициите за условна веројатност (1) и (2). За да ја пресметате веројатноста P(B|A), земете ја формулата (2):
и наместо P(A и B) заменете ја вредноста од формулата (3):
P(A и B) = P(A|B) * P(B)
Заменувајќи ја формулата (5) наместо P(A), ја добиваме Бејсовата теорема:
каде настаните B 1, B 2, ... B k меѓусебно се исклучуваат и се исцрпуваат.
Да ја воведеме следната нотација: настан S - ТВ е на побарувачката, настан S’ - ТВ не се бара, настан F - поволна прогноза, настан F' - лоша прогноза. Да претпоставиме дека P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Применувајќи ја теоремата на Бејс, добиваме:
Веројатноста за побарувачка за нов ТВ модел, со поволна прогноза, е 0,64. Така, веројатноста за недостаток на побарувачка со поволна прогноза е 1–0,64=0,36. Процесот на пресметка е прикажан на сл. 4.
Ориз. 4. (а) Пресметки со помош на Бејсовата формула за проценка на веројатноста за побарувачка за телевизори; (б) Дрво на одлуки кога се проучува побарувачката за нов ТВ модел
Ајде да погледнеме пример за користење на теоремата на Бајс за медицинска дијагностика. Веројатноста дека некое лице страда од одредена болест е 0,03. Медицинскиот тест може да провери дали ова е вистина. Ако некое лице е навистина болно, веројатноста за точна дијагноза (да се каже дека лицето е болно кога навистина е болно) е 0,9. Ако некое лице е здраво, веројатноста за лажно позитивна дијагноза (да се каже дека некое лице е болно кога е здраво) е 0,02. Да речеме дека медицинскиот тест дава позитивен резултат. Која е веројатноста дека некое лице е навистина болно? Која е веројатноста за точна дијагноза?
Да ја воведеме следната нотација: настан D - лицето е болно, настан D' - лицето е здраво, настан Т - дијагнозата е позитивна, настан Т' - дијагноза негативна. Од условите на задачата произлегува дека P(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Применувајќи ја формулата (6), добиваме:
Веројатноста дека со позитивна дијагноза некое лице е навистина болно е 0,582 (види и слика 5). Ве молиме имајте предвид дека именителот на формулата на Бејс е еднаков на веројатноста за позитивна дијагноза, т.е. 0,0464.
Ако настаните H 1, H 2, ..., H n формираат целосна група, тогаш за да ја пресметате веројатноста за произволен настан можете да ја користите формулата за вкупна веројатност:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H2) P(H2)
Според кој веројатноста за појава на настанот А може да се претстави како збир на производите на условните веројатности на настанот А, предмет на појава на настани H i, со безусловните веројатности на овие настани H i. Овие настани H i се нарекуваат хипотези.
Од формулата за вкупна веројатност следи Бајсовата формула:
Веројатностите P(H i) од хипотезите H i се нарекуваат априори веројатности - веројатности пред спроведување на експерименти.
Веројатностите P(A/H i) се нарекуваат задни веројатности - веројатностите на хипотезите H i, рафинирани како резултат на искуството.
Целта на услугата. Онлајн калкулаторот е дизајниран да ја пресмета вкупната веројатност со целиот процес на решение напишан во Word формат (види примери за решавање проблеми).
Пример бр. 1. Продавницата добива светилки од две фабрики, при што уделот на првата фабрика е 25%. Познато е дека процентот на дефекти во овие фабрики е еднаков на 5% и 10% од сите произведени производи, соодветно. Продавачот зема една сијалица по случаен избор. Која е веројатноста да биде неисправна?
Решение:Да го означиме со А настанот - „сијалицата се испостави дека е неисправна“. Следниве хипотези за потеклото на оваа сијалица се можни: H 1- „Сијалицата дојде од првата фабрика“. H 2- „Сијалицата дојде од втората фабрика“. Бидејќи уделот на првата фабрика е 25%, веројатностите на овие хипотези се еднакви, соодветно 
; 
.
Условната веројатност дека првата централа била произведена неисправна сијалица е 
, втората фабрика - p(A/H 2)=
ја наоѓаме потребната веројатност дека продавачот зел неисправна сијалица користејќи ја формулата за вкупна веројатност
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Одговор: p(A)= 0,0875.
Пример бр. 2. Продавницата доби две еднакви количини од истоимениот производ. Познато е дека 25% од првата серија и 40% од втората серија се стоки од прва класа. Која е веројатноста случајно избраната единица на стока да не биде од прво одделение?
Решение:
Со А да го означиме настанот - „производот ќе биде од прва класа“. Можни се следните хипотези за потеклото на овој производ: H 1- „производ од првата серија“. H 2- „производ од втората серија“. Бидејќи уделот на првата серија е 25%, веројатностите на овие хипотези се еднакви, соодветно ; 
.
Условната веројатност дека производот од првата серија е 
, од втората серија - 
саканата веројатност дека случајно избраната единица на стоки ќе биде прва класа
p(A) = P(H1) p(A/H1)+P(H2) (A/H2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Тогаш, веројатноста дека случајно избраната единица на стока нема да биде од прво одделение ќе биде еднаква на: 1- 0,325 = 0,675
Одговор:
.
Пример бр. 3. Познато е дека 5% од мажите и 1% од жените се далтонисти. Лицето избрано по случаен избор се покажа дека не е далтонист. Која е веројатноста дека се работи за маж (да претпоставиме дека има еднаков број мажи и жени).
Решение.
Настан А - лицето избрано по случаен избор се покажува дека не е далтонист.
Ајде да ја најдеме веројатноста да се случи овој настан.
P(A) = P(A|H=машки) + P(A|H=женски) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Тогаш веројатноста дека ова е маж е: p = P(A|H=man) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Пример бр. 4. На спортската олимпијада учествуваат 4 ученици од прва, 6 студенти од втора и 5 ученици од трета година.Веројатноста дека ученик од прва, втора и трета година ќе победи на Олимпијадата се соодветно 0,9; 0,7 и 0,8.
а) Најдете ја веројатноста за победа на случајно избран учесник.
б) Во услови на овој проблем, еден ученик победи на Олимпијадата. Во која група најверојатно припаѓа?
Решение.
Настан А - победа на случајно избран учесник.
Тука P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
а) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
б) Решението може да се добие со помош на овој калкулатор.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Од p1, p2, p3, изберете го максималниот.
Пример бр. 5. Компанијата има три машини од ист тип. Еден од нив обезбедува 20% од вкупното производство, вториот – 30%, третиот – 50%. Во овој случај, првата машина произведува 5% дефекти, втората 4%, третата - 2%. Најдете ја веројатноста дека случајно избраниот неисправен производ е произведен од првата машина.