О-о-о-о-о... па, тешко е, како да си чита реченица =) Сепак, релаксацијата ќе помогне подоцна, особено што денес купив соодветни додатоци. Затоа, да продолжиме на првиот дел, се надевам дека до крајот на статијата ќе одржам весело расположение.
Релативната положба на две прави линии
Ова е случај кога публиката пее заедно во хор. Две прави линии можат:
1) натпревар;
2) да биде паралелен: ;
3) или се сечат во една точка: .
Помош за кукли : те молам Запамети математички знакраскрсници, тоа ќе се случува многу често. Ознаката значи дека правата се вкрстува со правата во точката.
Како да се одреди релативната положба на две линии?
Да почнеме со првиот случај:
Две прави се совпаѓаат ако и само ако нивните соодветни коефициенти се пропорционални, односно има број „ламбда“ таков што еднаквостите се задоволени
Да ги разгледаме правите и да создадеме три равенки од соодветните коефициенти: . Од секоја равенка следува дека, според тоа, овие линии се совпаѓаат.
Навистина, ако сите коефициенти на равенката 
помножете се со –1 (знаци за промена) и сите коефициенти на равенката 
сече за 2, ја добиваме истата равенка: .
Вториот случај, кога линиите се паралелни:
Две прави се паралелни ако и само ако нивните коефициенти на променливите се пропорционални: 
, Но.
Како пример, разгледајте две прави линии. Ја проверуваме пропорционалноста на соодветните коефициенти за променливите: 
Сепак, сосема е очигледно дека.
И третиот случај, кога линиите се сечат:
Две прави се сечат ако и само ако нивните коефициенти на променливите НЕ се пропорционални, односно НЕМА таква вредност на „ламбда“ за да се задоволат еднаквостите 
Значи, за прави линии ќе создадеме систем: 
Од првата равенка следува дека , а од втората равенка: , што значи системот е неконзистентен(без решенија). Така, коефициентите на променливите не се пропорционални.
Заклучок: линиите се сечат
ВО практични проблемиможете да ја користите шемата за решение што штотуку дискутиравме. Патем, многу потсетува на алгоритмот за проверка на вектори за колинеарност, што го гледавме на часот Концептот на линеарна (не)зависност на вектори. Основа на вектори. Но, постои поцивилизирано пакување:
Пример 1
Да дознаам меѓусебно уредувањедиректно: 
Решениеврз основа на проучување на насочувачки вектори на прави линии:
а) Од равенките ги наоѓаме векторите на насоката на правите: 
.
, што значи дека векторите не се колинеарни и линиите се сечат.
За секој случај, ќе ставам камен со знаци на раскрсницата:
Останатите скокаат преку каменот и следат понатаму, директно до Кашчеи Бесмртниот =)
б) Најдете ги векторите на насоката на правите: 
Правите имаат ист вектор на насока, што значи дека се или паралелни или совпаѓаат. Нема потреба овде да се брои детерминантата.
Очигледно е дека коефициентите на непознатите се пропорционални и .
Ајде да дознаеме дали еднаквоста е вистина: 
Така,
в) Најдете ги векторите на насоката на правите: 
Да ја пресметаме детерминантата составена од координатите на овие вектори: 
, според тоа, векторите на насоката се колинеарни. Линиите се или паралелни или совпаѓаат.
Коефициентот на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно од односот на вектори на колинеарна насока. Сепак, може да се најде и преку коефициентите на самите равенки: 
.
Сега да откриеме дали еднаквоста е вистина. Двата слободни термини се нула, така што:
Добиената вредност задоволува оваа равенка(било кој број генерално го задоволува).
Така, линиите се совпаѓаат.
Одговори:
Наскоро ќе научите (или веќе сте научиле) да го решите вербално дискутираниот проблем буквално за неколку секунди. Во овој поглед, не гледам смисла да понудам нешто за независна одлука, подобро е да се постави уште една важна тула во геометриската основа:
Како да се изгради права паралелна на дадена?
За незнаење за ова наједноставна задачаАрамијата Славеј жестоко казнува.
Пример 2
Правата линија е дадена со равенката. Напишете равенка за паралелна права што минува низ точката.
Решение: Да ја означиме непознатата линија со буквата . Што вели состојбата за неа? Правата линија минува низ точката. И ако линиите се паралелни, тогаш очигледно е дека векторот на насоката на правата линија „tse“ е погоден и за конструирање на права линија „de“.
Го вадиме векторот на насоката од равенката:
Одговори:
Примерот на геометријата изгледа едноставно: 
Аналитичкото тестирање се состои од следните чекори:
1) Проверуваме дали линиите имаат вектор на ист правец (ако равенката на правата не е правилно поедноставена, тогаш векторите ќе бидат колинеарни).
2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка.
Во повеќето случаи, аналитичкото тестирање може лесно да се изврши орално. Погледнете ги двете равенки и многумина од вас брзо ќе ја одредат паралелизмот на правите без никаков цртеж.
Примерите за независни решенија денес ќе бидат креативни. Затоа што сепак ќе треба да се натпреварувате со Баба Јага, а таа, знаете, е љубител на секакви загатки.
Пример 3
Напишете равенка за права што минува низ точка паралелна на правата ако
Постои рационално и не толку рационално рационален начинрешенија. Најкраткиот пат е на крајот од лекцијата.
Работевме малку со паралелни линии и ќе се вратиме на нив подоцна. Случајот на совпаѓање линии е од мал интерес, па ајде да разгледаме проблем што ви е познат училишна наставна програма:
Како да се најде точката на пресек на две прави?
Ако директно 
се сечат во точката, тогаш неговите координати се решението системи на линеарни равенки 
Како да се најде точката на пресек на линиите? Решете го системот.
Еве ти геометриско значењесистеми од два линеарни равенкисо две непознати- ова се две пресечни (најчесто) линии на рамнина.
Пример 4
Најдете ја точката на пресек на правите
Решение: Постојат два начина за решавање - графички и аналитички.
Графички методе едноставно да ги нацртате дадените линии и да ја дознаете пресечната точка директно од цртежот: 
Еве ја нашата поента: . За да проверите, треба да ги замените неговите координати во секоја равенка на линијата, тие треба да се вклопат и таму и таму. Со други зборови, координатите на точка се решение за системот. Во суштина, погледнавме графичко решение системи на линеарни равенкисо две равенки, две непознати.
Графичкиот метод, се разбира, не е лош, но има забележителни недостатоци. Не, поентата не е во тоа што седмоодделенците одлучуваат вака, поентата е дека ќе треба време да се направи правилен и ТОЧЕН цртеж. Покрај тоа, некои прави линии не се толку лесни за конструирање, а самата точка на пресек може да се наоѓа некаде во триесеттото кралство надвор од листот на тетратката.
Затоа, поцелисходно е да се бара пресечната точка аналитички метод. Ајде да го решиме системот: 
За решавање на системот, користен е методот на собирање равенки по термин по член. За да развиете соодветни вештини, земете лекција Како да се реши систем на равенки?
Одговори:
Проверката е тривијална - координатите на пресечната точка мора да ја задоволат секоја равенка на системот.
Пример 5
Најдете ја точката на пресек на правите ако тие се сечат.
Ова е пример за да го решите сами. Удобно е да се подели задачата во неколку фази. Анализата на состојбата сугерира дека е неопходно:
1) Запишете ја равенката на права линија.
2) Запишете ја равенката на права линија.
3) Откријте ја релативната положба на линиите.
4) Ако линиите се сечат, тогаш пронајдете ја пресечната точка.
Развојот на алгоритам за акција е типичен за многумина геометриски проблеми, и постојано ќе се фокусирам на ова.
Целосно решениеи одговорот на крајот од лекцијата:
Ниту еден пар чевли не беа истрошени пред да дојдеме до вториот дел од лекцијата:
Перпендикуларни линии. Растојание од точка до права.
Агол помеѓу прави линии
Да почнеме со типичен и многу важна задача. Во првиот дел научивме како да изградиме права линија паралелна со оваа, а сега колибата на пилешки копани ќе се врти за 90 степени:
Како да се изгради права нормална на дадена?
Пример 6
Правата линија е дадена со равенката. Напишете равенка нормална на правата што минува низ точката.
Решение: По услов се знае дека . Би било убаво да се најде насочен вектор на линијата. Бидејќи линиите се нормални, трикот е едноставен:
Од равенката го „отстрануваме“ нормалниот вектор: , кој ќе биде насочен вектор на правата линија.
Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи точка и вектор на насока:
Одговори: 
Ајде да ја прошириме геометриската скица:
Хммм... Портокалово небо, портокалово море, портокалова камила.
Аналитичка верификација на решението:
1) Од равенките ги вадиме векторите на насоката 
и со помош скаларен производ на векторидоаѓаме до заклучок дека правите се навистина нормални: .
Патем, можете да користите нормални вектори, тоа е уште полесно.
2) Проверете дали точката ја задоволува добиената равенка 
.
Тестот, повторно, лесно се изведува орално.
Пример 7
Најдете ја точката на пресек на нормални права ако равенката е позната 
и период.
Ова е пример за да го решите сами. Има неколку дејства во проблемот, па затоа е погодно да се формулира решението точка по точка.
Нашето возбудливо патување продолжува:
Растојание од точка до линија
Пред нас е права лента на реката и наша задача е да стигнеме до неа по најкраткиот пат. Нема пречки, а најоптималната рута ќе биде да се движите по нормалната. Тоа е, растојанието од точка до права е должината на нормалната отсечка.
Растојанието во геометријата традиционално се означува Грчко писмо„ро“, на пример: – растојанието од точката „ем“ до правата „де“.
Растојание од точка до линија 
изразено со формулата
Пример 8
Најдете го растојанието од точка до права 
Решение: се што треба да направите е внимателно да ги замените броевите во формулата и да ги извршите пресметките:
Одговори: 
Ајде да го направиме цртежот: 
Пронајденото растојание од точката до правата е точно должината на црвениот сегмент. Ако нацртате цртеж на карирана хартијана скала од 1 единица. = 1 cm (2 ќелии), тогаш растојанието може да се мери со обичен линијар.
Ајде да разгледаме друга задача заснована на истиот цртеж:
Задачата е да се пронајдат координатите на точка која е симетрична на точката во однос на правата линија 
. Предлагам сами да ги извршите чекорите, но ќе го опишам алгоритмот за решение со средни резултати:
1) Најдете права што е нормална на правата.
2) Најдете ја точката на пресек на правите: 
.
Двете дејства се детално разгледани во оваа лекција.
3) Точката е средната точка на отсечката. Ги знаеме координатите на средината и едниот од краевите. Од страна на формули за координатите на средната точка на отсечкатание најдовме .
Би било добро да проверите дали растојанието е исто така 2,2 единици.
Тука може да се појават потешкотии во пресметките, но микрокалкулаторот е одлична помош во кулата, што ви овозможува да пресметате заеднички дропки. Многу пати те советував и пак ќе те препорачам.
Како да се најде растојанието помеѓу две паралелни прави?
Пример 9
Најдете го растојанието помеѓу две паралелни прави
Ова е уште еден пример за да одлучите сами. Ќе ви дадам мал совет: има бескрајно многу начини да се реши ова. Дебрифирање на крајот од лекцијата, но подобро е да се обидете сами да погодите, мислам дека вашата генијалност беше добро развиена.
Агол помеѓу две прави линии
Секој агол е застој: 
Во геометријата, аголот помеѓу две прави линии се зема за ПОМАЛИОТ агол, од што автоматски следи дека не може да биде тап. На сликата, аголот означен со црвениот лак не се смета за агол помеѓу линиите што се пресекуваат. И неговиот „зелен“ сосед или спротивно ориентираникатче „малина“.
Ако линиите се нормални, тогаш кој било од 4-те агли може да се земе како агол меѓу нив.
Како се разликуваат аглите? Ориентација. Прво, насоката во која аголот се „превртува“ е фундаментално важна. Второ, негативно ориентиран агол се пишува со знак минус, на пример ако .
Зошто ти го кажав ова? Се чини дека можеме да поминеме со вообичаениот концепт на агол. Факт е дека во формулите по кои ќе најдеме агли, лесно може да испадне негативен резултат, и не треба да ве изненади. Аголот со знак минус не е полош и има многу специфично геометриско значење. На цртежот, за негативен агол, задолжително означете ја неговата ориентација со стрелка (во насока на стрелките на часовникот).
Како да се најде аголот помеѓу две прави?Постојат две работни формули:
Пример 10
Најдете го аголот помеѓу линиите
РешениеИ Метод еден
Да разгледаме две прави линии дефинирани со равенки во општа форма: 
Ако директно не е нормално, Тоа ориентиранаАголот меѓу нив може да се пресмета со формулата: 
Дозволете ни да обрнеме големо внимание на именителот - ова е точно скаларен производнасочувачки вектори на прави линии:
Ако , тогаш именителот на формулата станува нула, а векторите ќе бидат ортогонални, а линиите ќе бидат нормални. Затоа е направена резерва за неперпендикуларноста на правите линии во формулацијата.
Врз основа на горенаведеното, погодно е да се формализира решението во два чекора:
1) Да го пресметаме скаларниот производ на векторите на насоката на линиите:
, што значи дека линиите не се нормални.
2) Најдете го аголот помеѓу прави линии користејќи ја формулата:
Со користење на инверзна функцијаЛесно е да се најде самиот агол. Во овој случај, ја користиме необичноста на арктангенсот (види. Графикони и својства на елементарните функции):
Одговори: 
Во одговорот укажуваме точна вредност, како и приближна вредност (по можност во степени и радијани), пресметана со помош на калкулатор.
Па, минус, минус, ништо страшно. Еве една геометриска илустрација: 
Не е изненадувачки што аголот се покажа со негативна ориентација, бидејќи во изјавата за проблемот првиот број е права линија и „одвртувањето“ на аголот започна токму со него.
Ако навистина сакате да добиете позитивен агол, треба да ги замените линиите, односно да ги земете коефициентите од втората равенка 
, и земете ги коефициентите од првата равенка. Накратко, треба да започнете со директен 
.
Државниот морски технички универзитет во Санкт Петербург
оддел компјутерска графикаи информативна поддршка
ЛЕКЦИЈА 3
ПРАКТИЧНА ЗАДАЧА бр.3
Одредување на растојанието од точка до права линија.
Можете да го одредите растојанието помеѓу точка и права линија со изведување на следните конструкции (види слика 1):
· од точка СОспуштете ја нормалната на права линија А;
· означи точка ДОпресек на нормална со права линија;
измерете ја должината на сегментот КС, чиј почеток е дадена точка, а крајот е означената пресечна точка.
Сл.1. Растојание од точка до права.
Основа за решавање проблеми од овој тип е правилото за проекција прав агол: прав агол се проектира без изобличување ако барем една од неговите страни е паралелна со проекциската рамнина(т.е. зазема приватна позиција). Да почнеме токму со таков случај и да разгледаме конструкции за одредување на растојанието од точка СОдо права линија АБ.
Во оваа задача нема тест случаи, туку опции за извршување индивидуални задачиприкажан во табела1 и табела2. Решението на проблемот е опишано подолу, а соодветните конструкции се прикажани на сл. 2.
1. Одредување на растојанието од точка до одредена права.
Прво, се конструираат проекции на точка и сегмент. Проекција A1B1паралелно со оската X. Тоа значи дека сегментот АБпаралелно со авионот P2. Ако од точка СОнацртајте нормално на АБ, тогаш правиот агол се проектира без изобличување на рамнината P2. Ова ви овозможува да нацртате нормална од точка C2до проекција A2B2.
Паѓачко мени Цртеж-сегмент (Нацртај- Линија) . Поставете го курсорот во точката C2и поправете го како прва точка од сегментот. Поместете го курсорот во насока на нормалата до сегментот A2B2и поправете ја втората точка на неа во моментот кога се појавува навестувањето Нормално (Нормално) . Означете ја конструираната точка К2. Овозможи режим ОРТО(ОРТО) , и од точка К2нацртајте вертикална линија за поврзување додека не се пресече со проекцијата А1 Б1. Означете ја пресечната точка со К1. Точка ДО, лежејќи на сегментот АБ, е пресечната точка на нормалната извлечена од точката СО, со сегмент АБ. Така, сегментот КСе потребното растојание од точката до правата.
Од конструкциите јасно се гледа дека сегментот КСзазема општа позиција и, според тоа, неговите проекции се искривени. Кога зборуваме за растојание, секогаш мислиме вистинската вредност на сегментот, изразувајќи ја растојанието. Затоа, треба да ја најдеме вистинската вредност на сегментот КС,со ротирање на одредена положба, на пример, КС|| P1. Резултатот од конструкциите е прикажан на слика 2.
Од конструкциите прикажани на слика 2, можеме да заклучиме: конкретната положба на правата (отсечката е паралелна P1или P2) ви овозможува брзо да изградите проекции на растојанието од точка до линија, но тие се искривени.
Сл.2. Одредување на растојанието од точка до одредена права.
2. Одредување на растојание од точка до права општа позиција.
Не секогаш внатре почетна состојбасегментот зазема одредена позиција. Генерално почетна позицијасе изведуваат следните конструкции за да се одреди растојанието од точка до права:
а) користејќи го методот на трансформација на цртање, претворете сегмент од општа позиција во одредена - ова ќе овозможи конструирање на проекции на растојание (искривени);
б) повторно користејќи го методот, претворете го сегментот што одговара на потребното растојание во одредена позиција - добиваме проекција на растојанието во големина еднаква на реалната.
Разгледајте ја низата конструкции за да го одредите растојанието од точка Ана сегмент во општа положба Сонцето(сл. 3).
На првото вртење потребно е да се добие одредената положба на сегментот ВОВ. За да го направите ова во слојот TMRтреба да ги поврзете точките НА 2, C2И А2. Користење на командата Промени-Ротирај (Измени – Ротирај) тријаголник В2С2А2ротираат околу точка C2до позицијата каде што новата проекција B2*C2ќе се наоѓа строго хоризонтално (точка СОе неподвижна и затоа нејзината нова проекција се поклопува со оригиналната и ознаката C2*И C1*може да не се прикажува на цртежот). Како резултат на тоа, ќе се добијат нови проекции на сегментот B2*C2и поени: А2*.Следно од поени A2*И НА 2*се изведуваат вертикални, а од точките ВО 1И А1хоризонтални комуникациски линии. Пресекот на соодветните линии ќе ја одреди положбата на точките на новата хоризонтална проекција: отсечката B1*C1и точки А1*.
Во добиената одредена позиција, можеме да конструираме проекции за растојание за ова: од точката А1*нормалното да B1*C1.Поентата на нивното меѓусебно вкрстување е К1*.Од оваа точка се спроведува вертикална линијаврски додека не се вкрстат со проекцијата B2*C2.Се означува точка К2*.Како резултат на тоа, беа добиени проекциите на сегментот АК, што е потребното растојание од точката Адо права линија Сонцето.
Следно, неопходно е да се конструираат проекции за растојание во почетната состојба. За да го направите ова од точка К1*погодно за извршување хоризонтална линијадодека не се вкрсти со проекцијата V1S1и означете ја пресечната точка К1.Потоа се гради точка К2на фронталната проекција на сегментот и се вршат проекции А1К1И А2К2.Како резултат на конструкциите, добиени се проекции на растојанието, но и во почетната и во новата делумна положба на сегментот сонце,линиски сегмент АКзазема општа позиција, а тоа води до фактот дека сите негови проекции се искривени.
На втората ротација потребно е да се ротира сегментот АКдо одредена позиција, што ќе ни овозможи да ја одредиме вистинската вредност на растојанието - проекција А2*К2**.Резултатот од сите конструкции е прикажан на слика 3.
ЗАДАЧА бр.3-1. СОдо права линија на приватната положба, дадена со сегмент АБ. Одговорот дајте го во мм (Табела 1).Отстранете ги проекционите леќи
Табела 1
ЗАДАЧА бр.3-2.Најдете го вистинското растојание од точка Мдо права линија во општа положба дадена од отсечката ЕД. Одговорот дајте го во мм (табела 2).
табела 2
Проверка и полагање завршена ЗАДАЧА бр.3.
Одредување растојанија
Растојанија од точка до точка и од точка до линија
Растојание од точка до точкасе определува со должината на правата линија што ги поврзува овие точки. Како што е прикажано погоре, овој проблем може да се реши или со методот правоаголен триаголник, или со замена на проекционите рамнини, поместување на сегментот до позицијата на линијата на ниво.
Растојание од точка до линијамерено со нормална отсечка нацртана од точка до права. Отсечка од оваа нормална е прикажана во целосна големина на проекциската рамнина ако е нацртана на испакната права линија. Така, прво правата линија мора да се префрли на испакната позиција, а потоа на неа да се спушти нормална од дадена точка. На сл. 1 го покажува решението за овој проблем. За да се префрли линијата за општа положба AB на позицијата на линијата на ниво, се врши x14 IIA1 B1. Потоа AB се пренесува на проекционата позиција со воведување на дополнителна проекција рамнина P5, за која е нацртана нова проекција оска x45\A4 B4.
Слика 1
Слично на точките A и B, точката M се проектира на проекциската рамнина P5.
Проекцијата K5 на основата K на нормалната спуштена од точката M до правата AB на проекциската рамнина P5 ќе се совпадне со соодветните проекции на точките
A и B. Проекција M5 K5 на нормалната MK е природната вредност на растојанието од точката M до права линија AB.
Во системот на проекциони рамнини P4/P5, нормалната на MK ќе биде рамнина, бидејќи лежи во рамнина паралелна со проекциската рамнина P5. Затоа, неговата проекција M4 K4 на рамнината P4 е паралелна со x45, т.е. нормално на проекцијата А4 Б4. Овие услови ја одредуваат положбата на проекцијата К4 на основата на нормалната К, која се наоѓа со цртање права линија од М4 паралелна на x45 додека не се вкрсти со проекцијата А4 Б4. Останатите проекции на нормалната се наоѓаат со проектирање на точката K на проекционите рамнини P1 и P2.
Растојание од точка до авион
Решението за овој проблем е прикажано на сл. 2. Растојанието од точката М до рамнината (ABC) се мери со нормална отсечка падната од точката до рамнината.
Слика 2
Бидејќи нормалната на проектираната рамнина е линија на ниво, се движиме на оваа позиција даден авион, како резултат на што на новата воведена проекциска рамнина P4 добиваме дегенерирана проекција C4 B4 на рамнината ABC. Следно, ја проектираме точката M на P4. Природната вредност на растојанието од точката M до рамнината се одредува со нормалната отсечка
[МК]=[М4 К4]. Останатите проекции на нормата се конструирани на ист начин како и во претходна задача, т.е. земајќи го предвид фактот дека сегментот МК во системот на проекциони рамнини P1 / P4 е рамна линија и неговата проекција M1 K1 е паралелна со оската
x14.
Растојание помеѓу две линии
Најкраткото растојание помеѓу пресечните прави се мери со големината на сегментот на заедничката нормална на нив отсечена со овие прави линии. Проблемот се решава со избирање (како резултат на две последователни замени) проекциона рамнина нормална на една од линиите што се пресекуваат. Во овој случај, потребната нормална отсечка ќе биде паралелна со избраната проекција рамнина и ќе биде прикажан на неа без изобличување. На сл. На сликата 3 се прикажани две линии кои се пресечуваат дефинирани со отсечките AB и CD.
Слика 3
Линиите првично се проектираат на проекциската рамнина P4, паралелно со една (било која) од нив, на пример AB, и нормално на P1.
На проекциската рамнина P4, сегментот AB ќе биде прикажан без изобличување. Потоа отсечките се проектираат на нова рамнина P5 нормална на истата права AB и рамнина P4. На проекциската рамнина P5, проекцијата на отсечката AB нормална на него дегенерира во точката A5 = B5, а саканата вредност N5 M5 на сегментот NM е нормална на C5 D5 и е прикажана во целосна големина. Со помош на соодветни комуникациски линии, на оригиналот се конструирани проекции на сегментот MN
цртање. Како што беше прикажано претходно, проекцијата N4 M4 на саканиот сегмент на рамнината P4 е паралелна со проекциската оска x45, бидејќи тоа е линија на ниво во системот на проекциони рамнини P4 / P5.
Задачата за одредување на растојанието D помеѓу две паралелни прави AB до CD - посебен случајпретходниот (сл. 4).
Слика 4
Со двојна замена на проекционите рамнини, паралелните прави се пренесуваат во проекционата положба, како резултат на што на проекциската рамнина P5 ќе имаме две дегенерирани проекции A5 = B5 и C5 = D5 на правите AB и CD. Растојанието меѓу нив D ќе биде еднакво на неговата природна вредност.
Растојанието од права линија до рамнина паралелна на неа се мери со нормална отсечка повлечена од која било точка на правата линија на рамнината. Затоа, доволно е да се трансформира општата рамнина на положбата во положба на проектираната рамнина, да се земе директна точка, а решението на проблемот ќе се сведе на одредување на растојанието од точката до рамнината.
За да се одреди растојанието помеѓу паралелни рамнини, потребно е да се пренесат во проекционата положба и да се конструира нормална на дегенерираните проекции на рамнините, чиј сегмент меѓу нив ќе биде потребното растојание.
Оваа статија зборува за темата « растојание од точка до права », Дискутира за дефиницијата на растојанието од точка до права со илустрирани примери со помош на методот на координати. Секој теориски блок на крајот покажа примери за решавање слични проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Растојанието од точка до права се наоѓа со одредување на растојанието од точка до точка. Ајде да погледнеме подетално.
Нека има права a и точка M 1 што не припаѓа на дадената права. Преку него цртаме права линија b, која се наоѓа нормално на правата а. Да ја земеме точката на пресек на правите како H 1. Добиваме дека M 1 H 1 е нормална која е спуштена од точката M 1 на права линија a.
Дефиниција 1
Растојание од точката М 1 до права линија aсе нарекува растојание помеѓу точките M 1 и H 1.
Постојат дефиниции кои ја вклучуваат должината на нормалната.
Дефиниција 2
Растојание од точка до линијае должината на нормалната извлечена од дадена точка до дадена права.
Дефинициите се еквивалентни. Размислете за сликата подолу.
Познато е дека растојанието од точка до права е најмалото од сите можни. Да го погледнеме ова со пример.
Ако земеме точка Q што лежи на права линија a, која не се совпаѓа со точката M 1, тогаш ќе добиеме дека отсечката M 1 Q се нарекува наклонета отсечка, спуштена од M 1 на права линија a. Неопходно е да се означи дека нормалната од точката М 1 е помала од која било друга наклонета линија нацртана од точката до правата линија.
За да го докажете ова, земете го триаголникот M 1 Q 1 H 1, каде што M 1 Q 1 е хипотенузата. Познато е дека неговата должина е секогаш поголема од должината на која било нога. Ова значи дека имаме дека M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Почетните податоци за наоѓање од точка до права ви овозможуваат да користите неколку методи на решение: преку Питагоровата теорема, одредување на синус, косинус, тангента на агол и други. Повеќето задачи од овој тип се решаваат на училиште за време на часовите по геометрија.
Кога при наоѓање на растојанието од точка до права е можно да се воведе правоаголен координатен систем, тогаш се користи координатен метод. Во овој став, ќе ги разгледаме главните два методи за наоѓање на потребното растојание од дадена точка.
Првиот метод вклучува пребарување на растојанието како нормална извлечена од M 1 до права линија a. Вториот метод користи нормална равенкаправа линија a за да се најде потребното растојание.
Ако има точка на рамнината со координати M 1 (x 1, y 1), која се наоѓа на правоаголен системкоординати, права линија a, и потребно е да се најде растојанието M 1 H 1, пресметката може да се направи на два начина. Ајде да ги погледнеме.
Првиот начин
Ако има координати на точката H 1 еднакви на x 2, y 2, тогаш растојанието од точката до правата се пресметува со помош на координатите од формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Сега да продолжиме со наоѓање на координатите на точката H 1.
Познато е дека права линија во O x y одговара на равенката на права линија на рамнината. Да го земеме методот за дефинирање права линија a со пишување општа равенка на права линија или равенка со аголен коефициент. Ја составуваме равенката на права линија која минува низ точката М 1 нормална на дадена права а. Правата линија да ја означиме со буквата b. H 1 е точката на пресек на правите a и b, што значи да ги одредите координатите што ви се потребни за да ја користите статијата во која ние зборуваме заза координатите на точките на пресек на две прави.
Може да се види дека алгоритмот за наоѓање на растојанието од дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линија a се изведува според точките:
Дефиниција 3
- наоѓање на општата равенка на права линија a, со форма A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, или равенка со аголен коефициент, со форма y = k 1 x + b 1;
- добивање на општа равенка на правата b, со форма A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или равенка со аголен коефициент y = k 2 x + b 2, ако правата b ја пресекува точката M 1 и е нормална на дадена линија a;
- определување на координатите x 2, y 2 на точката H 1, која е пресечна точка на a и b, за таа цел се решава системот на линеарни равенки A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
- пресметување на потребното растојание од точка до права користејќи ја формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Втор начин
Теоремата може да помогне да се одговори на прашањето за наоѓање на растојанието од дадена точка до дадена права линија на рамнина.
Теорема
Правоаголниот координатен систем има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), од која е повлечена права линија до рамнината, дадена со нормалната равенка на рамнината, која има cos погледα · x + cos β · y - p = 0, еднаква по модул на вредноста добиена на левата страна од нормалната равенка на правата, пресметана на x = x 1, y = y 1, што значи дека M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .
Доказ
Правата a одговара на нормалната равенка на рамнината, која има форма cos α x + cos β y - p = 0, тогаш n → = (cos α, cos β) се смета за нормален вектор на правата a на растојание од потекло да прави a со p единици . Неопходно е да се прикажат сите податоци на сликата, да се додаде точка со координати M 1 (x 1, y 1), каде што векторот на радиусот на точката M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Потребно е да се повлече права линија од точка до права линија, која ја означуваме како M 1 H 1 . Потребно е да се прикажат проекциите M 2 и H 2 на точките M 1 и H 2 на права линија што минува низ точката O со вектор на насока од формата n → = (cos α, cos β) и да се означи нумеричка проекција на векторот како O M 1 → = (x 1, y 1) во насока n → = (cos α , cos β) како n p n → O M 1 → .
Варијациите зависат од локацијата на самата точка М1. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Резултатите ги поправаме користејќи ја формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - стр. Потоа ја доведуваме еднаквоста во оваа форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p за да се добие n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Скаларен производвектори како резултат дава трансформирана формула од формата n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , што е производ во координатна форма на форма n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Тоа значи дека добиваме дека n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Следи дека M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - стр. Теоремата е докажана.
Откривме дека за да го пронајдете растојанието од точката M 1 (x 1 , y 1) до права линија a на рамнината, треба да извршите неколку дејства:
Дефиниција 4
- добивање на нормалната равенка на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, под услов да ја нема во задачата;
- пресметка на изразот cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, каде што добиената вредност ја зема M 1 H 1.
Ајде да ги примениме овие методи за да ги решиме проблемите со наоѓање на растојанието од точка до рамнина.
Пример 1
Најдете го растојанието од точката со координати M 1 (- 1, 2) до права линија 4 x - 3 y + 35 = 0.
Решение
Ајде да го користиме првиот метод за решавање.
За да го направите ова, треба да најдете општа равенкалинијата b, која минува низ дадена точка M 1 (- 1, 2), нормална на правата 4 x - 3 y + 35 = 0. Од условот е јасно дека правата b е нормална на правата a, тогаш нејзиниот вектор на насока има координати еднакви на (4, - 3). Така, имаме можност да ја запишеме канонската равенка на правата b на рамнината, бидејќи има координати на точката M 1, која припаѓа на линијата b. Да ги одредиме координатите на насочувачкиот век на правата b. Добиваме дека x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Добиената канонска равенка мора да се претвори во општа. Тогаш го добиваме тоа
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Дозволете ни да ги најдеме координатите на точките на пресек на правите, кои ќе ги земеме како ознака H 1. Трансформациите изгледаат вака:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Од она што беше напишано погоре, имаме дека координатите на точката H 1 се еднакви на (- 5; 5).
Неопходно е да се пресмета растојанието од точката М 1 до права линија a. Имаме дека координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), потоа ги заменуваме во формулата за да го најдеме растојанието и да го добиеме тоа
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Второ решение.
За да се реши на друг начин, потребно е да се добие нормалната равенка на правата. Ја пресметуваме вредноста на нормализирачкиот фактор и ги множиме двете страни на равенката 4 x - 3 y + 35 = 0. Од тука добиваме дека факторот за нормализирање е еднаков на - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, а нормалната равенка ќе биде од формата - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Според пресметковниот алгоритам, неопходно е да се добие нормалната равенка на линијата и да се пресмета со вредностите x = - 1, y = 2. Тогаш го добиваме тоа
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Од ова добиваме дека растојанието од точката M 1 (- 1, 2) до дадената права линија 4 x - 3 y + 35 = 0 има вредност - 5 = 5.
Одговор: 5 .
Јасно е дека во овој методВажно е да се користи нормалната равенка на права, бидејќи овој метод е најкраток. Но, првиот метод е погоден затоа што е конзистентен и логичен, иако има повеќе точки за пресметка.
Пример 2
На рамнината има правоаголен координатен систем O x y со точка M 1 (8, 0) и права линија y = 1 2 x + 1. Најдете го растојанието од дадена точка до права линија.
Решение
Првото решение вклучува кастинг дадена равенкасо наклон кон равенката општ поглед. За да се поедностави, можете да го направите поинаку.
Ако производот на аголните коефициенти на нормалните прави има вредност - 1, тогаш наклонправа нормална на дадената y = 1 2 x + 1 има вредност 2. Сега ја добиваме равенката на права што минува низ точка со координати M 1 (8, 0). Имаме дека y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Продолжуваме со наоѓање на координатите на точката H 1, односно пресечните точки y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1. Составуваме систем од равенки и добиваме:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Следи дека растојанието од точката со координати M 1 (8, 0) до правата линија y = 1 2 x + 1 е еднакво на растојанието од почетната и крајната точка со координатите M 1 (8, 0) и H 1 (6, 4) . Да пресметаме и да најдеме дека M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Решението на вториот начин е да се премине од равенка со коефициент во неговата нормална форма. Тоа е, добиваме y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, тогаш вредноста на нормализирачкиот фактор ќе биде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Следи дека нормалната равенка на правата има форма - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Ајде да ја извршиме пресметката од точката M 1 8, 0 до линијата на формата - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Добиваме:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Одговор: 2 5 .
Пример 3
Неопходно е да се пресмета растојанието од точката со координати M 1 (- 2, 4) до линиите 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0.
Решение
Ја добиваме равенката на нормалната форма на права линија 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Потоа продолжуваме со пресметување на растојанието од точката M 1 - 2, 4 до правата линија x - 3 2 = 0. Добиваме:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Равенката на правата y + 1 = 0 има нормализирачки фактор со вредност еднаква на -1. Ова значи дека равенката ќе има форма - y - 1 = 0. Продолжуваме со пресметување на растојанието од точката M 1 (- 2, 4) до права линија - y - 1 = 0. Откриваме дека е еднакво на - 4 - 1 = 5.
Одговор: 3 1 2 и 5.
Да го разгледаме подетално наоѓањето на растојанието од дадена точка на рамнината до координатни оски O x и O y.
Во правоаголен координатен систем, оската O y има равенка на права линија, која е нецелосна и има форма x = 0 и O x - y = 0. Равенките се нормални за координатните оски, тогаш потребно е да се најде растојанието од точката со координати M 1 x 1, y 1 до правите. Ова е направено врз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Пример 4
Најдете го растојанието од точката M 1 (6, - 7) до координатните линии лоцирани во рамнината O x y.
Решение
Бидејќи равенката y = 0 се однесува на правата O x, можеме да го најдеме растојанието од M 1 s дадени координати, до оваа права линија користејќи ја формулата. Добиваме дека 6 = 6.
Бидејќи равенката x = 0 се однесува на права линија O y, можете да го најдете растојанието од M 1 до оваа права линија користејќи ја формулата. Потоа го добиваме тоа - 7 = 7.
Одговор:растојанието од M 1 до O x има вредност 6, а од M 1 до O y има вредност 7.
Кога во тродимензионален просторимаме точка со координати M 1 (x 1, y 1, z 1), потребно е да се најде растојанието од точката A до права линија a.
Ајде да разгледаме два методи кои ви дозволуваат да го пресметате растојанието од точка до права линија a лоцирана во просторот. Првиот случај го разгледува растојанието од точката M 1 до правата, каде што точката на правата се нарекува H 1 и е основата на нормалната извлечена од точката M 1 до правата a. Вториот случај сугерира дека точките на оваа рамнина мора да се бараат како висина на паралелограмот.
Првиот начин
Од дефиницијата имаме дека растојанието од точката M 1 лоцирана на права линија a е должината на нормалната M 1 H 1, тогаш добиваме дека со пронајдените координати на точката H 1, тогаш го наоѓаме растојанието помеѓу M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1), врз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Откриваме дека целото решение оди кон наоѓање на координатите на основата на нормалната нацртана од M 1 на правата а. Ова се произведува на следниот начин: H 1 е точката каде што правата а се вкрстува со рамнината што минува низ дадената точка.
Ова значи дека алгоритмот за одредување на растојанието од точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до линијата a во просторот подразбира неколку точки:
Дефиниција 5
- составување на равенката на рамнината χ како равенка на рамнината што минува низ дадена точка која се наоѓа нормално на правата;
- определување на координатите (x 2, y 2, z 2) кои припаѓаат на точката H 1, која е пресечна точка на права линија a и рамнината χ;
- пресметување на растојанието од точка до права користејќи ја формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Втор начин
Од условот имаме права a, тогаш можеме да го одредиме векторот на насока a → = a x, a y, a z со координати x 3, y 3, z 3 и одредена точка M 3 што припаѓа на права a. Ако ги имате координатите на точките M 1 (x 1, y 1) и M 3 x 3, y 3, z 3, можете да пресметате M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Треба да ги оставиме настрана векторите a → = a x, a y, a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 од точката M 3, да ги поврземе и да добиеме паралелограмска фигура. . M 1 H 1 е висината на паралелограмот.
Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Имаме дека висината M 1 H 1 е потребното растојание, тогаш потребно е да се најде со помош на формулата. Тоа е, ние бараме M 1 H 1.
Да ја означиме областа на паралелограмот со буквата S, пронајдена со формулата користејќи го векторот a → = (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата за плоштина е S = a → × M 3 M 1 → . Исто така, плоштината на фигурата е еднаква на производот на должините на нејзините страни и висината, добиваме дека S = a → · M 1 H 1 со a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, што е должината на векторот a → = (a x, a y, a z), суштество еднаква странапаралелограм. Ова значи дека M 1 H 1 е растојанието од точката до правата. Се наоѓа со помош на формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
За да го пронајдете растојанието од точка со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линија a во просторот, треба да извршите неколку чекори од алгоритмот:
Дефиниција 6
- определување на векторот на насоката на правата a - a → = (a x, a y, a z);
- пресметување на должината на векторот на насока a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- добивање на координати x 3 , y 3 , z 3 кои припаѓаат на точката M 3 лоцирана на права линија a;
- пресметување на координатите на векторот M 3 M 1 → ;
- наоѓање векторски производвектори a → (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 како a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 за да се добие должината користејќи ја формулата a → × M 3 M 1 → ;
- пресметување на растојанието од точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Решавање задачи за наоѓање растојание од дадена точка до дадена права во просторот
Пример 5Најдете го растојанието од точката со координати M 1 2, - 4, - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Решение
Првиот метод започнува со запишување на равенката на рамнината χ која минува низ M 1 и е нормална на дадена точка. Добиваме израз како:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Потребно е да се пронајдат координатите на точката H 1, која е точка на пресек со χ рамнината до линијата одредена со условот. Треба да се преселиме од канонска формадо онаа што се вкрстува. Потоа добиваме систем на равенки од формата:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Неопходно е да се пресмета системот x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 со методот на Крамер, тогаш добиваме дека:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0
Оттука го имаме тоа H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Вториот метод е да започнете со пребарување на координати во канонска равенка. За да го направите ова, треба да обрнете внимание на именителот на дропот. Тогаш a → = 2, - 1, 5 е векторот на насоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Неопходно е да се пресмета должината користејќи ја формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Јасно е дека правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ја сече точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), па оттука имаме дека векторот со почеток M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговиот крај во точката M 1 2, - 4, - 1 е M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Најдете го векторскиот производ a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Добиваме израз од формата a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
откриваме дека должината на векторскиот производ е еднаква на → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Ги имаме сите податоци за да ја користиме формулата за пресметување на растојанието од точка за права линија, па ајде да ја примениме и да добиеме:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Одговор: 11 .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter