1) Домен на функции и опсег на функции.
Доменот на функцијата е множество од сите валидни валидни вредности на аргументот x(променлива x), за што функцијата y = f(x)одлучен. Опсегот на функцијата е множество од сите реални вредности y, што функцијата го прифаќа.
Во елементарната математика, функциите се изучуваат само на множеството реални броеви.
2) Функција нули.
Функцијата нула е вредноста на аргументот при кој вредноста на функцијата е еднаква на нула.
3) Интервали на постојан знак на функција.
Интервали на постојан знак на функција се множества на вредности на аргументи на кои вредностите на функцијата се само позитивни или само негативни.
4) Монотоност на функцијата.
Зголемена функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.
Намалувачка функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата.
5) Парна (непарна) функција.
Парична функција е функција чиј домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било Xод доменот на дефиниција еднаквоста f(-x) = f(x). Графикот на парна функција е симетричен во однос на ординатата.
Непарна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било Xод доменот на дефиниција еднаквоста е вистина f(-x) = - f(x). Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.
6) Ограничени и неограничени функции.
Функцијата се нарекува ограничена ако има позитивен број M таков што |f(x)| ≤ M за сите вредности на x. Ако таков број не постои, тогаш функцијата е неограничена.
7) Периодичност на функцијата.
Функцијата f(x) е периодична ако има ненула број T таков што за кој било x од доменот на дефиниција на функцијата важи следново: f(x+T) = f(x). Овој најмал број се нарекува период на функцијата. Сите тригонометриски функции се периодични. (Тригонометриски формули).
19. Основни елементарни функции, нивните својства и графикони. Примена на функциите во економијата.
Основни елементарни функции. Нивните својства и графикони
1. Линеарна функција.
Линеарна функција се нарекува функција од формата , каде што x е променлива, а и b се реални броеви.
Број Анаречена наклон на правата, таа е еднаква на тангентата на аголот на наклонот на оваа права до позитивната насока на оската x. Графикот на линеарна функција е права линија. Се дефинира со две точки.
Својства на линеарна функција
1. Домен на дефиниција - множество од сите реални броеви: D(y)=R
2. Множеството вредности е множество од сите реални броеви: E(y)=R
3. Функцијата зема нулта вредност кога или.
4. Функцијата се зголемува (намалува) во текот на целиот домен на дефиниција.
5. Линеарната функција е континуирана низ целиот домен на дефиниција, диференцијабилна и .
2. Квадратна функција.
Функција од формата, каде што x е променлива, коефициентите a, b, c се реални броеви, се вика квадратни
За погодност да се разгледа функцијата на моќност, ќе разгледаме 4 посебни случаи: функција на моќност со природен експонент, функција на моќност со цел број експонент, функција на моќност со рационален експонент и функција на моќност со ирационален експонент.
Функција на моќност со природен експонент
Прво, да го воведеме концептот на диплома со природен експонент.
Дефиниција 1
Моќта на реален број $a$ со природен експонент $n$ е број еднаков на производот од $n$ фактори, од кои секој е еднаков на бројот $a$.
Слика 1.
$a$ е основа на степенот.
$n$ е експонентот.
Сега да разгледаме функција на моќност со природен експонент, нејзините својства и графикон.
Дефиниција 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ се нарекува функција на моќност со природен експонент.
За понатамошна погодност, одделно разгледуваме функција на моќност со парен експонент $f\left(x\right)=x^(2n)$ и функција за моќност со непарен експонент $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\во N)$.
Својства на функцијата моќност со природен парен експонент
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- функцијата е парна.
Област на вредност -- $\
Функцијата се намалува како $x\in (-\infty ,0)$ и се зголемува како $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\лево(x\десно)=(\лево(2n\cточка x^(2n-1)\десно))"=2n(2n-1)\cточка x^(2(n-1 ))\ge 0$
Функцијата е конвексна во целиот домен на дефиниција.
Однесување на краевите на доменот:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Графикон (сл. 2).
Слика 2. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n)$
Својства на функција на моќност со природен непарен експонент
Доменот на дефиниција се сите реални броеви.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функцијата е непарна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсегот е сите реални броеви.
$f"\лево(x\десно)=\лево(x^(2n-1)\десно)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
$f\left(x\десно)0$, за $x\in (0,+\infty)$.
$f (""\лево(x\десно))=(\лево(\лево(2n-1\десно)\cdot x^(2\лево(n-1\десно))\десно)"=2 \лево(2n-1\десно)(n-1)\cточка x^(2n-3)$
\ \
Функцијата е конкавна за $x\in (-\infty ,0)$ и конвексна за $x\in (0,+\infty)$.
Графикон (сл. 3).
Слика 3. График на функцијата $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Функција на моќност со цел број експонент
Прво, да го воведеме концептот на степен со цел број експонент.
Дефиниција 3
Моќта на реален број $a$ со целоброен експонент $n$ се одредува со формулата:
Слика 4.
Сега да разгледаме функција на моќност со цел број експонент, нејзините својства и графикон.
Дефиниција 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарекува функција на моќност со цел број експонент.
Ако степенот е поголем од нула, тогаш доаѓаме до случај на функција на моќност со природен експонент. Веќе разговаравме погоре. За $n=0$ добиваме линеарна функција $y=1$. Неговото разгледување ќе го оставиме на читателот. Останува да се разгледаат својствата на функцијата на моќност со негативен цел број експонент
Својства на функцијата моќност со негативен цел број експонент
Доменот на дефиниција е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Ако експонентот е парен, тогаш функцијата е парна, ако е непарна, тогаш функцијата е непарна.
$f(x)$ е континуиран во целиот домен на дефиниција.
Опсег:
Ако експонентот е парен, тогаш $(0,+\infty)$; ако е непарен, тогаш $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
За непарен експонент, функцијата се намалува како $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ако експонентот е парен, функцијата се намалува како $x\in (0,+\infty)$. и се зголемува како $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ во целиот домен на дефиниција
Функција на моќност, нејзини својства и график Демонстративен материјал Час-предавање Поим на функција. Својства на функции. Функција на моќност, нејзините својства и графикон. Одделение 10 Сите права се задржани. Авторско право со авторски права со
Напредок на часот: Повторување. Функција. Својства на функциите. Учење нов материјал. 1. Дефиниција на функција на моќност.Дефиниција на функција на моќност. 2. Својства и графикони на функциите на моќност Својства и графикони на функциите на моќност. Консолидација на изучениот материјал. Вербално броење. Вербално броење. Резиме на лекција. Домашна задача Домашна задача.
Домен на дефиниција и домен на вредности на функција Сите вредности на независната променлива го формираат доменот на дефиниција на функцијата x y=f(x) f Домен на дефиниција на функцијата Домен на вредности на функцијата Сите вредностите што зависната променлива ги зема од доменот на вредностите на функцијата Функција. Својства на функцијата
График на функција Нека е дадена функција каде што xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графикот на функцијата е множество од сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на функцијата. Функција. Својства на функцијата
Y x Домен на дефиниција и опсег на вредности на функцијата 4 y=f(x) Домен на дефиниција на функцијата: Домен на вредности на функцијата: Функција. Својства на функцијата
Парна функција y x y=f(x) Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската на оп-засилувачот Функцијата y=f(x) се повикува дури и ако f(-x) = f(x) за било кој x од доменот на дефинирање на функцијата Функција. Својства на функцијата
Непарна функција y x y=f(x) Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото O(0;0) Функцијата y=f(x) се нарекува непарна ако f(-x) = -f(x) за кој било x од регионот дефиниции на функцијата Функција. Својства на функцијата
Дефиниција на функција на моќност Функцијата каде што p е даден реален број се нарекува функција на моќност. p y=x p P=x y 0 Напредок во часот
Функција за моќност x y 1. Доменот на дефиниција и опсегот на вредностите на функциите на моќноста на формата, каде што n е природен број, се сите реални броеви. 2. Овие функции се непарни. Нивниот график е симетричен во однос на потеклото. Својства и графикони на функциите на моќност
Моќта функционира со рационален позитивен експонент. Доменот на дефиниција се сите позитивни броеви и бројот 0. Опсегот на вредности на функции со таков експонент се исто така сите позитивни броеви и бројот 0. Овие функции не се ниту парни, ниту непарни . y x Својства и графикони на функциите на моќност
Функција на моќност со рационален негативен експонент. Доменот на дефиниција и опсегот на вредности на таквите функции се сите позитивни броеви. Функциите не се ниту парни ниту непарни. Ваквите функции се намалуваат низ целиот нивен домен на дефиниција. y x Својства и графикони на функции на моќност Напредок на часот
Час и презентација на тема: „Функции на моќност. Својства. Графикони“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Интерактивен прирачник за 9-11 одделение „Тригонометрија“
Интерактивен прирачник за 10-11 одделение „Логаритми“
Функции на моќност, домен на дефиниција.
Момци, на последниот час научивме како да работиме со броеви со рационални експоненти. Во оваа лекција ќе ги разгледаме функциите на моќност и ќе се ограничиме на случајот кога експонентот е рационален.Ќе разгледаме функции од формата: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Прво да ги разгледаме функциите чиј експонент $\frac(m)(n)>1$.
Да ни биде дадена одредена функција $y=x^2*5$.
Според дефиницијата што ја дадовме во последната лекција: ако $x≥0$, тогаш доменот на дефиниција на нашата функција е зракот $(x)$. Ајде шематски да го прикажеме нашиот график на функцијата.
Својства на функцијата $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Не е ниту парна ниту непарна.
3. Се зголемува за $$,
б) (2,10) $,
в) на зрак $$.
Решение.
Момци, се сеќавате ли како ја најдовме најголемата и најмалата вредност на функција на сегмент во 10-то одделение?
Така е, го користевме изводот. Да го решиме нашиот пример и да го повториме алгоритмот за наоѓање на најмалата и најголемата вредност.
1. Најдете го изводот на дадената функција:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Изводот постои низ целиот домен на дефиниција на оригиналната функција, тогаш нема критични точки. Ајде да најдеме неподвижни точки:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt(64)=4$.
Даден сегмент содржи само едно решение $x_2=4$.
Ајде да изградиме табела со вредностите на нашата функција на краевите на сегментот и во екстремната точка:
Одговор: $y_(име)=-862,65$ на $x=9$; $y_(макс.)=38,4$ на $x=4$.
Пример. Решете ја равенката: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Решение. Графикот на функцијата $y=x^(\frac(4)(3))$ се зголемува, а графикот на функцијата $y=24-x$ се намалува. Момци, јас и ти знаеме: ако едната функција се зголемува, а другата се намалува, тогаш тие се сечат само во една точка, односно имаме само едно решение.
Забелешка:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Односно, со $x=8$ ја добивме точната еднаквост $16=16$, ова е решението на нашата равенка.
Одговор: $x=8$.
Пример.
Графиконирајте ја функцијата: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Решение.
Графикот на нашата функција се добива од графикот на функцијата $y=x^(\frac(3)(4))$, поместувајќи ја 3 единици надесно и 2 единици нагоре. 
Пример. Напишете равенка за тангентата на правата $y=x^(-\frac(4)(5))$ во точката $x=1$.
Решение. Тангентната равенка е одредена со формулата што ја знаеме:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Во нашиот случај $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Ајде да го најдеме дериватот:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Ајде да пресметаме:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Да ја најдеме тангентата равенка:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Одговор: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Проблеми кои треба да се решаваат самостојно
1. Најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијата: $y=x^\frac(4)(3)$ на сегментот:а) $$.
б) (4,50) $.
в) на зрак $$.
3. Решете ја равенката: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Конструирај график на функцијата: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Направете равенка за тангентата на права линија $y=x^(-\frac(3)(7))$ во точката $x=1$.
Обезбедува референтни податоци за експоненцијалната функција - основни својства, графикони и формули. Разгледани се следните теми: домен на дефиниција, множество вредности, монотоност, инверзна функција, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување со помош на сложени броеви.
Дефиниција
Експоненцијална функцијае генерализација на производот од n броеви еднаков на a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
на множеството реални броеви x:
y (x) = секира.
Овде a е фиксен реален број, кој се нарекува основа на експоненцијалната функција.
Се нарекува и експоненцијална функција со основа a експонент на основа a.
Генерализацијата се врши на следниов начин.
За природни x = 1, 2, 3,...
, експоненцијалната функција е производ на x фактори:
.
Покрај тоа, има својства (1,5-8) (), кои произлегуваат од правилата за множење броеви. За нула и негативни вредности на цели броеви, експоненцијалната функција се одредува со помош на формули (1.9-10). За фракциони вредности x = m/n рационални броеви, , се одредува со формулата (1.11). За реално, експоненцијалната функција е дефинирана како граница на низата:
,
каде што е произволна низа од рационални броеви што конвергираат на x: .
Со оваа дефиниција, експоненцијалната функција е дефинирана за сите , и ги задоволува својствата (1,5-8), како за природниот x.
Ригорозна математичка формулација за дефиницијата на експоненцијална функција и доказ за нејзините својства е дадена на страницата „Дефиниција и доказ за својствата на експоненцијална функција“.
Својства на експоненцијалната функција
Експоненцијалната функција y = a x ги има следните својства на множеството реални броеви ():
(1.1)
дефинирани и континуирани, за , за сите ;
(1.2)
за ≠ 1
има многу значења;
(1.3)
строго се зголемува на, строго се намалува на,
е константна на ;
(1.4)
во ;
во ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Други корисни формули.
.
Формула за претворање во експоненцијална функција со различна база на експоненти:
Кога b = e, го добиваме изразот на експоненцијалната функција преку експоненцијалната:
Приватни вредности
, , , , .
На сликата се прикажани графикони на експоненцијалната функција
y (x) = секира
за четири вредности степени бази: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
и a = 1/8
. Се гледа дека за а > 1
експоненцијалната функција монотоно се зголемува. Колку е поголема основата на степенот a, толку е посилен растот. На 0
< a < 1
експоненцијалната функција монотоно се намалува. Колку е помал експонентот a, толку е посилно намалувањето.
Растечки, опаѓачки
Експоненцијалната функција за е строго монотона и затоа нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.
| y = a x, a > 1 | y = секира, 0 < a < 1 | |
| Домен | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Опсег на вредности | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотон | монотоно се зголемува | монотоно се намалува |
| Нули, y = 0 | бр | бр |
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Инверзна функција
Инверзната на експоненцијална функција со основа a е логаритам со основата a.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Диференцијација на експоненцијална функција
За да се диференцира експоненцијална функција, нејзината основа мора да се сведе на бројот e, да се примени табелата на изводи и правилото за диференцијација на сложена функција.
За да го направите ова, треба да го користите својството на логаритми
и формулата од табелата со деривати:
.
Нека е дадена експоненцијална функција:
.
Го доведуваме до основата e:
Да го примениме правилото за диференцијација на сложените функции. За да го направите ова, воведете ја променливата
Потоа
Од табелата со деривати имаме (променливата x заменете ја со z):
.
Бидејќи е константа, изводот на z во однос на x е еднаков на
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција:
.
Извод на експоненцијална функција
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >
Пример за диференцирање на експоненцијална функција
Најдете го изводот на функцијата
y = 3 5 x
Решение
Да ја изразиме основата на експоненцијалната функција преку бројот e.
3 = e ln 3
Потоа
.
Внесете променлива
.
Потоа
Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Затоа што 5ln 3е константа, тогаш изводот на z во однос на x е еднаков на:
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме:
.
Одговори
Интегрален
Изрази кои користат сложени броеви
Размислете за функцијата комплексен број z:
ѓ (z) = a z
каде z = x + iy; јас 2 = - 1
.
Да ја изразиме сложената константа a во однос на модулот r и аргументот φ:
a = r e i φ
Потоа
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Генерално
φ = φ 0 + 2 πn,
каде n е цел број. Затоа функцијата f (з)исто така не е јасно. Неговото главно значење често се разгледува
.
Проширување на серијата
.
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.