Намалување на матрицата во канонска форма. Полиномни матрици

Дел 3. Матрици

3.1 Основни концепти

Матрицае правоаголна табела со броеви која содржи Тжици со иста должина (или Пколони со иста должина). Матрицата е напишана како:

или накратко,
, Каде
(тие.
) – број на линија,
(тие.
) – број на колона.

Матрица Анаречена матрица големина
и пишувај
. Броеви , компонентите на матрицата се нарекуваат нејзини елементи.Елементите на дијагоналата од горниот лев агол ја формираат главната дијагонала.

Пример 1.Елемент
се наоѓа во 1-виот ред и 2-ра колона, а елементот е во 3-тиот ред и 1-ва колона.

Пример 2.Матрица
има големина
, бидејќи содржи 2 реда и 4 колони. Матрица
има големина
, бидејќи содржи 3 реда и 2 колони.

Матриците се еднаквиеден на друг ако се еднакви Ситесоодветните елементи на овие матрици, т.е.
, Ако
, Каде
,
.

Се повикува матрица чиј број на редови е еднаков на бројот на колони квадрат. Матрица со големина на квадрат
наречена матрица n-ти ред.

Пример 3.Матрици И од примерот 2 се нарекуваат правоаголни. Матрица
е квадратна матрица од 3 ред. Содржи 3 реда и 3 колони.

Се нарекува квадратна матрица во која сите елементи освен оние на главната дијагонала се еднакви на нула дијагонала. Се нарекува дијагонална матрица во која секој елемент од главната дијагонала е еднаков на еден сингл.Означено со буквата Е.

Пример 4.
– единична матрица од 3 ред.

Квадратната матрица се нарекува триаголен, ако сите елементи лоцирани на едната страна од главната дијагонала се еднакви на нула. Се нарекува матрица чии елементи се сите нула нула. Означено со буквата ЗА.

Во пресметка на матрици, матрици ЗАИ Еиграат улога на 0 и 1 во аритметиката.

,
.

Матрица за големина
, кој се состои од еден број, се идентификува со овој број, т.е.
има 5.

Матрицата добиена од дадена со замена на секоја од нејзините редови со колона со ист број се нарекува матрица, транспониранина овој. Назначен
. Па ако
, Тоа
Ако
, Тоа
. Транспонирана матрица го има следново својство:
.

3.2 Операции на матрици

Додаток

Операцијата за собирање матрица е воведена само за матрици со иста големина.

Збир на две матрици
И
наречена матрица
такви што
(
,
).

Пример 5. .

Слично се одредува разликата во матрицата.

Множење со број

Матричен производ
по бројк наречена матрица
такви што б ij = ка ij (јас=
, ј=).

Пример 6.
,
,
.

Матрица
повикани спротивна матрица А.

Матрична разлика
може да се дефинира вака:
.

Операциите на собирање матрици и множење матрица со број го имаат следново својства:

Каде А, ВО, СО- матрици, α И β - бројки.

Трансформации на елементарни матрици

Трансформации на елементарни матрицисе:

замена на два паралелни редови на матрица;

множење на сите елементи од редот на матрицата со ненула број;

додавајќи ги на сите елементи на матричната серија соодветните елементи на паралелната серија, помножени со ист број.

Две матрици АИ ВОсе нарекуваат еквивалент, ако еден од нив се добие од другиот со помош на елементарни трансформации. Снимено А~ВО.

Со помош на елементарни трансформации, секоја матрица може да се сведе на матрица во која на почетокот на главната дијагонала има неколку по ред, а сите други елементи се еднакви на нула. Таквата матрица се нарекува канонски, На пример
.

Пример 7.Намалете ја матрицата во канонска форма
.

Решение: Вршејќи елементарни трансформации, добиваме

(заменети колони I и III) ~
(линијата I е додаден со линија II и резултатот е запишан во вториот ред; после тој ред јас сум додаден со линијата III и резултатот е запишан во третиот ред) ~
(Колоната I беше помножена со (-3), додадена со колона II и резултатот беше запишан во колона II; потоа колоната I беше помножена со (-2), додадена со колона III и резултатот беше запишан во колона III; после тоа колоната I повторно беше помножена со (-2) и додадена со колона IV, а резултатот беше запишан во колона IV) ~
(III колона беше помножена со (-2), додадена на колона II и резултатот беше запишан во колона II; колоната III беше поделена со 2 и резултатот беше запишан во колона III; колоната III беше помножена со (-1), додадена до колона IV и резултатот е запишан во IV колона) ~
(II ред беше помножен со 3, додаден на редот III и резултатот беше запишан во редот III) ~
(Колоната II беше помножена со (-1), додадена секвенцијално со колоните III и IV, а резултатот беше запишан во колоните III и IV, соодветно) ~
. Добивме матрица на канонска форма.

Производ на матрици

Операцијата на множење на две матрици се воведува само за случајот кога бројот на колони од првата матрица е еднаков на бројот на редови од втората матрица.

Производ од матрицата А t×p =(а ij ) на матрицата Б p×r =(б јк ) наречена матрица СО t×r =(со ик ) такви што

в ик = а јас 1 ∙ б 1 к + а јас 2 ∙ б 2 к + ∙∙∙+ а во ∙ б nk , Каде јас=
, к=
,

тие. елемент јас-та линија и кта колона од матрицата на производот СОеднаков на збирот на производите на елементите јасри ред од матрицата Ана соодветните елементи кколона од матрицата Б.

Ако матриците АИ ВОквадратни со иста големина, па производите АБИ VAсекогаш постојат. Лесно е да се покаже тоа А∙Е = Е∙А= А, Каде А- квадратна матрица, Ее идентитетска матрица со иста големина.

Пример 4.

Матрици АИ ВОсе нарекуваат пермутабилна (патување), Ако АБ=VA.

Множењето на матрицата ги има следниве својства:

А∙(ВО∙СО) = (А∙ВО)∙СО;

А∙(ВО + СО) = АБ + AC;

(А + ВО)∙СО = AC + Сонцето;

α (АБ) = (αA)ВО,

ако, се разбира, напишаните збирови и производи на матрици имаат смисла.

Следниве својства се точни за операцијата транспонирање:

(А + ВО) Т = АТ+ ВОТ;

(АБ) Т = ВОТ∙ АТ.

Ако е даден полином, тогаш матричен полиномѓ(А) се нарекува израз на формата , каде
за секој природен П. Вредноста на матричниот полином ѓ(А) за дадена матрица Ае матрица.

Да го наречеме елементот на линијата екстремен, ако е не-нула и сите елементи од оваа линија лево од неа се еднакви на нула. Матрицата се нарекува зачекори, ако најоддалечениот елемент на секоја линија е десно од најоддалечениот елемент од претходната линија.

Пример 5.Во матрици АИ ВОНајоддалечените елементи на секоја линија се означени:

– не зачекори

– зачекори

Дефиниција.Полиномна матрица или -матрица е правоаголна матрица чии елементи се полиноми во една променлива со нумерички коефициенти.

Погоре -матриците можат да вршат елементарни трансформации. Тие вклучуваат:

Две - матрици
И
идентичните големини се нарекуваат еквивалентни:
, ако од матрицата
До
може да се помине со користење на конечен број елементарни трансформации.

Пример.Докажете ја еквивалентноста на матрицата

Решение.

Помножете ја втората линија со (–1) и забележете дека

Многу од сите -матрици со дадени големини
се дели на дисјунктни класи на еквивалентни матрици. Матриците кои се еквивалентни една на друга формираат една класа, а оние кои не се еквивалентни формираат друга.

Секоја класа на еквивалентни матрици се карактеризира со канонски или нормални, -матрица на дадени димензии.

Дефиниција.Канонски, или нормални, - матрица на големина
повикани -матрица со полиноми на главната дијагонала, каде Р– колку е помал од бројките мИ n (
), а полиномите кои не се еднакви на нула имаат водечки коефициенти еднакви на 1, а секој нареден полином се дели со претходниот. Сите елементи надвор од главната дијагонала се 0.

Од дефиницијата произлегува дека ако меѓу полиномите има полиноми со нула степен, тогаш тие се на почетокот на главната дијагонала. Ако има нули, тие се на крајот од главната дијагонала.

Матрица
претходниот пример е канонски. Матрица

исто така канонски.

Секој час -матрицата содржи единствена канонска -матрица, т.е. секој -матрицата е еквивалентна на една канонска матрица, која се нарекува канонска форма или нормална форма на дадена матрица.

Полиноми на главната дијагонала на канонската форма на дадена -матриците се нарекуваат непроменливи фактори на дадена матрица.

Еден од методите за пресметување на непроменливи фактори е намалување на даденото -матрици до канонска форма.

Значи, за матрицата
од претходниот пример, непроменливите фактори се

,
,
,
.

Од наведеното произлегува дека присуството на ист сет на непроменливи фактори е неопходен и доволен услов за еквивалентност - матрици

Донесување -матриците до канонска форма се сведуваат на дефиниција на непроменливи фактори

,
;
,

Каде р– ранг -матрици;
– најголем заеднички делител на малолетни лица к-ти ред, земен со водечки коефициент еднаков на 1.

Пример.Нека се даде - матрица

Решение.Очигледно, најголемиот заеднички делител од прв ред Д 1 =1, т.е.
.

Да ги дефинираме малолетниците од втор ред:

Само овие податоци се доволни за да се извлече следниов заклучок: Д 2 =1, според тоа,
.

Ние дефинираме Д 3

Оттука,
.

Така, канонската форма на оваа матрица е следна - матрица:

Матричен полином е израз на формата

Каде – променлива;
– квадратни матрици од ред n со нумерички елементи.

Ако
, Тоа Ссе нарекува степен на матричниот полином, n– редоследот на матричниот полином.

Ми се допаѓа квадрат -матрицата може да се претстави како матричен полином. Очигледно е точно и спротивното тврдење, т.е. секој матричен полином може да се претстави како квадрат - матрици.

Валидноста на овие искази јасно произлегува од својствата на операциите на матриците. Да ги погледнеме следните примери:

Пример.Претстави полиномна матрица

во форма на матричен полином како што следува

Пример.Матричен полином

може да се претстави како следнава полиномна матрица ( -матрици)

Оваа заменливост на матричните полиноми и полиномните матрици игра значајна улога во математичкиот апарат на методите за анализа на фактори и компоненти.

Матричните полиноми од ист ред можат да се собираат, одземаат и множат на ист начин како и обичните полиноми со нумерички коефициенти. Сепак, треба да се запомни дека множењето на матричните полиноми, општо земено, не е комутативно, бидејќи Множењето на матрицата не е комутативно.

За два матрични полиноми се вели дека се еднакви ако нивните коефициенти се еднакви, т.е. соодветните матрици за истите моќи на променливата .

Збирот (разликата) на два матрични полиноми
И
е матричен полином чиј коефициент за секоја моќност на променливата еднаква на збирот (разликата) на коефициентите на ист степен во полиноми
И
.

Да се множи матричен полином
до матричен полином
, потребен ви е секој член од полиномот на матрицата
множете се со секој член од полиномот на матрицата
, додадете ги добиените производи и донесете слични термини.

Степен на матричен полином – производ

помал или еднаков на збирот на моќите на факторите.

Операции на матрични полиноми може да се извршат со користење на операции на соодветните - матрици.

За да се додадат (одземат) матричните полиноми, доволно е да се додадат (одземат) соодветните - матрици. Истото важи и за множењето. -матрицата на производот на матричните полиноми е еднаква на производот -матрици на фактори.

Пример.

На другата страна
И
може да се напише во форма

Бидејќи множењето на матрицата не е комутативно, за матричните полиноми се дефинирани две поделби со остаток - десно и лево.

Нека се дадени два матрични полиноми од редот n

Каде ВО 0 е неединечна матрица.

При делење
на
постои единствен десен количник
и десен остаток

каде е степенот Р 1 помал степен
, или
(поделба без остаток), како и левиот количник
и остави остаток

каде е степенот
помал степен
, или
=0 (поделба без остаток).

Генерализирана теорема на Безут.При делење на матричен полином
до полином
десниот остаток е еднаков на вистинската вредност на дивидендата
на
, т.е. матрица

а левиот остаток – на левата вредност на дивидендата
на
, т.е. матрица

Доказ.Доказот за валидноста на двете формули (3.4.1) и (3.4.2) се врши на ист начин, со директна замена. Ајде да докажеме еден од нив.

Значи, дивидендата е
, делител -
, како количник го имаме полиномот

Ајде да го дефинираме производот
:

или

Q.E.D.

Последица.
се дели од десно (лево) со полином
тогаш и само кога
е еднакво на 0.

Пример.Покажете дека матричниот полином

е делив со матричен полином
,

Каде
, остана без остаток.

Решение.Навистина, еднаквоста е вистина

Каде

Да ја пресметаме вредноста на левиот остаток користејќи ја теоремата на Безут

Матрицата е посебен објект во математиката. Тој е прикажан во форма на правоаголна или квадратна табела, составена од одреден број редови и колони. Во математиката има широк спектар на видови матрици, различни по големина или содржина. Броевите на неговите редови и колони се нарекуваат нарачки. Овие објекти се користат во математиката за организирање на снимање на системи на линеарни равенки и погодно пребарување за нивните резултати. Равенките со помош на матрица се решаваат со методот на Карл Гаус, Габриел Крамер, минори и алгебарски собирања, како и многу други методи. Основната вештина при работа со матрици е редукција на стандардна форма. Сепак, прво, ајде да откриеме кои видови матрици ги разликуваат математичарите.

Нулти тип

Сите компоненти на овој тип на матрица се нули. Во меѓувреме, бројот на неговите редови и колони е сосема различен.

Квадратен тип

Бројот на колони и редови од овој тип на матрица е ист. Со други зборови, тоа е маса во форма на „квадрат“. Бројот на неговите колони (или редови) се нарекува ред. Посебни случаи се сметаат за постоење на матрица од втор ред (2x2 матрица), четврти ред (4x4), десетти ред (10x10), седумнаесетти ред (17x17) и така натаму.

Вектор на колона

Ова е еден од наједноставните типови на матрици, кој содржи само една колона, која вклучува три нумерички вредности. Претставува голем број слободни членови (броеви независни од променливите) во системи на линеарни равенки.

Приказ сличен на претходниот. Се состои од три нумерички елементи, за возврат организирани во една линија.

Дијагонален тип

Нумеричките вредности во дијагоналната форма на матрицата ги земаат само компонентите на главната дијагонала (означена со зелена боја). Главната дијагонала започнува со елементот во горниот десен агол и завршува со бројот во третата колона од третиот ред. Останатите компоненти се еднакви на нула. Дијагоналниот тип е само квадратна матрица од одреден ред. Меѓу дијагоналните матрици може да се разликува скаларната. Сите негови компоненти ги земаат истите вредности.

Подтип на дијагонална матрица. Сите негови нумерички вредности се единици. Користејќи еден тип на матрична табела, се извршуваат нејзините основни трансформации или се наоѓа матрица обратна од првобитната.

Канонски тип

Канонската форма на матрицата се смета за една од главните; Намалувањето на тоа често е неопходно за работа. Бројот на редови и колони во канонската матрица варира и не мора да припаѓа на квадратниот тип. Тоа е нешто слично на матрицата на идентитетот, но во нејзиниот случај не сите компоненти на главната дијагонала добиваат вредност еднаква на една. Може да има две или четири главни дијагонални единици (сето тоа зависи од должината и ширината на матрицата). Или можеби нема воопшто единици (тогаш се смета за нула). Останатите компоненти на канонскиот тип, како и дијагоналните и единечните елементи се еднакви на нула.

Триаголен тип

Еден од најважните типови на матрици, кој се користи при пребарување на нејзината детерминанта и при извршување на едноставни операции. Триаголниот тип доаѓа од дијагоналниот тип, така што матрицата е исто така квадратна. Триаголниот тип на матрица е поделен на горен триаголен и долен триаголен.

Во горната триаголна матрица (сл. 1), само елементите што се над главната дијагонала земаат вредност еднаква на нула. Компонентите на самата дијагонала и делот од матрицата сместен под неа содржат нумерички вредности.

Во долната триаголна матрица (сл. 2), напротив, елементите лоцирани во долниот дел од матрицата се еднакви на нула.

Типот е неопходен за да се најде рангот на матрицата, како и за елементарни операции на нив (заедно со триаголниот тип). Матрицата на чекори е наречена така затоа што содржи карактеристични „чекори“ на нули (како што е прикажано на сликата). Во типот на чекор, се формира дијагонала од нули (не мора главната), а сите елементи под оваа дијагонала исто така имаат вредности еднакви на нула. Предуслов е следново: ако има нулта ред во матрицата на чекори, тогаш останатите редови под неа исто така не содржат нумерички вредности.

Така, ги испитавме најважните типови на матрици неопходни за работа со нив. Сега да го разгледаме проблемот со конвертирање на матрицата во потребната форма.

Намалување на триаголна форма

Како да се донесе матрица во триаголна форма? Најчесто во задачите треба да трансформирате матрица во триаголна форма за да ја пронајдете нејзината детерминанта, инаку наречена детерминанта. При изведување на оваа постапка, исклучително е важно да се „зачува“ главната дијагонала на матрицата, бидејќи детерминантата на триаголната матрица е еднаква на производот на компонентите на нејзината главна дијагонала. Дозволете ми да се потсетам и на алтернативните методи за наоѓање на детерминантата. Детерминантата на типот на квадрат се наоѓа со помош на специјални формули. На пример, можете да го користите методот на триаголник. За други матрици се користи методот на разложување по ред, колона или нивни елементи. Можете исто така да го користите методот на мали и алгебарски матрични собирања.

Дозволете ни да го анализираме детално процесот на намалување на матрицата во триаголна форма користејќи примери на некои задачи.

Вежба 1

Неопходно е да се најде детерминантата на претставената матрица користејќи го методот на нејзино намалување во триаголна форма.

Матрицата што ни е дадена е квадратна матрица од трет ред. Затоа, за да го трансформираме во триаголен облик, ќе треба да нулираме две компоненти од првата колона и една компонента од втората.

За да ја доведеме во триаголна форма, ја започнуваме трансформацијата од долниот лев агол на матрицата - од бројот 6. За да ја претвориме на нула, помножете го првиот ред со три и одземете го од последниот ред.

Важно! Горниот ред не се менува, но останува ист како во оригиналната матрица. Нема потреба да пишувате низа четири пати поголема од оригиналната. Но, вредностите на низите чии компоненти треба да се постават на нула постојано се менуваат.

Останува само последната вредност - елементот од третиот ред од втората колона. Ова е бројот (-1). За да го претворите на нула, одземете ја втората од првата линија.

Ајде да провериме:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Ова значи дека одговорот на задачата е -22.

Задача 2

Неопходно е да се најде детерминантата на матрицата со тоа што ќе се сведе во триаголна форма.

Презентираната матрица припаѓа на типот квадрат и е матрица од четврти ред. Тоа значи дека е потребно да се претворат три компоненти од првата колона, две компоненти од втората колона и една компонента од третата на нула.

Да почнеме да го намалуваме со елементот лоциран во долниот лев агол - со бројот 4. Треба да го претвориме овој број на нула. Најлесен начин да го направите ова е да ја помножите горната линија со четири и потоа да ја одземете од четвртата. Ајде да го запишеме резултатот од првата фаза на трансформација.

Значи, компонентата од четвртиот ред е поставена на нула. Да преминеме на првиот елемент од третата линија, до бројот 3. Ние извршуваме слична операција. Првата линија ја множиме со три, ја одземаме од третата линија и го запишуваме резултатот.

Успеавме да ги претвориме на нула сите компоненти од првата колона од оваа квадратна матрица, со исклучок на бројот 1 - елемент од главната дијагонала што не бара трансформација. Сега е важно да ги зачуваме добиените нули, па трансформациите ќе ги вршиме со редови, а не со колони. Да преминеме на втората колона од претставената матрица.

Да почнеме повторно на дното - со елементот на втората колона од последниот ред. Овој број е (-7). Меѓутоа, во овој случај попогодно е да се започне со бројот (-1) - елементот на втората колона од третиот ред. За да ја претворите на нула, одземете ја втората од третата линија. Потоа го множиме вториот ред со седум и го одземаме од четвртиот. Добивме нула наместо елементот лоциран во четвртиот ред од втората колона. Сега да преминеме на третата колона.

Во оваа колона, треба да претвориме само еден број на нула - 4. Ова не е тешко да се направи: едноставно додаваме една третина на последната линија и ја гледаме нулата што ни треба.

По сите направени трансформации, предложената матрица ја доведовме во триаголна форма. Сега, за да ја пронајдете нејзината детерминанта, треба само да ги помножите добиените елементи на главната дијагонала. Добиваме: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Според тоа, решението е 160.

Значи, сега прашањето за намалување на матрицата во триаголна форма нема да ви пречи.

Намалување на зачекорена форма

За елементарни операции на матрици, скалестата форма е помалку „на побарувачка“ од триаголната. Најчесто се користи за наоѓање на рангот на матрицата (т.е., бројот на нејзините не-нула редови) или за одредување линеарно зависни и независни редови. Сепак, скалестиот тип на матрица е поуниверзален, бидејќи е погоден не само за квадратниот тип, туку и за сите други.

За да ја намалите матрицата во етапна форма, прво треба да ја пронајдете нејзината детерминанта. Горенаведените методи се погодни за ова. Целта на наоѓање на детерминантата е да се открие дали таа може да се претвори во матрица на чекори. Ако детерминантата е поголема или помала од нула, тогаш можете безбедно да продолжите со задачата. Ако е еднаква на нула, нема да биде возможно да се намали матрицата на чекор по чекор. Во овој случај, треба да проверите дали има грешки во снимањето или во трансформациите на матрицата. Ако нема такви неточности, задачата не може да се реши.

Ајде да погледнеме како да ја намалиме матрицата на чекор по форма користејќи примери на неколку задачи.

Вежба 1.Најдете го рангот на дадената матрична табела.

Пред нас е квадратна матрица од трет ред (3x3). Знаеме дека за да се најде рангот, потребно е да се сведе на чекор напред. Затоа, прво треба да ја најдеме детерминантата на матрицата. Ајде да го користиме методот на триаголник: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминанта = 12. Таа е поголема од нула, што значи дека матрицата може да се сведе на чекор по чекор. Да почнеме да го трансформираме.

Да го започнеме со елементот на левата колона од третата линија - бројот 2. Помножете ја горната линија со два и одземете ја од третата. Благодарение на оваа операција, и елементот што ни треба и бројот 4 - елементот од втората колона од третиот ред - се претворија на нула.

Гледаме дека како резултат на редукцијата се формирала триаголна матрица. Во нашиот случај, не можеме да ја продолжиме трансформацијата, бидејќи преостанатите компоненти не можат да се сведат на нула.

Ова значи дека заклучуваме дека бројот на редови што содржат нумерички вредности во оваа матрица (или нејзиниот ранг) е 3. Одговорот на задачата: 3.

Задача 2.Одреди го бројот на линеарно независни редови од оваа матрица.

Треба да најдеме низи кои не можат да се претворат во нула со која било трансформација. Всушност, треба да го најдеме бројот на редови кои не се нула, или рангот на претставената матрица. За да го направите ова, дозволете ни да го поедноставиме.

Гледаме матрица што не припаѓа на типот на квадрат. Има димензии 3х4. Да го започнеме намалувањето и со елементот на долниот лев агол - бројот (-1).

Неговите понатамошни трансформации се невозможни. Тоа значи дека заклучуваме дека бројот на линеарно независни линии во него и одговорот на задачата е 3.

Сега намалувањето на матрицата на скалеста форма не е невозможна задача за вас.

Користејќи примери за овие задачи, го испитавме намалувањето на матрицата на триаголна форма и форма со чекори. За да ги претворите саканите вредности на матричните табели на нула, во некои случаи треба да ја искористите вашата имагинација и правилно да ги конвертирате нивните колони или редови. Среќно во математиката и во работата со матрици!

1. Прво, да откриеме до која релативно едноставна форма може да се намали правоаголната полиномна матрица со примена на само леви елементарни операции.

Да претпоставиме дека првата колона од матрицата содржи елементи кои не се идентично нула. Да земеме полином од најмал степен меѓу нив и, со преуредување на редовите, да го направиме елемент. По ова, поделете го полиномот со ; Количникот и остатокот го означуваме со и

Ајде сега да го одземеме од ти ред првиот ред, претходно помножен со . Ако сите остатоци не се идентично нула, тогаш оној што не е еднаков на нула и има најмал степен може да се постави со преуредување на редовите. Како резултат на сите овие операции, степенот на полиномот ќе се намали.

Сега повторно ќе го повториме овој процес итн. Бидејќи степенот на полиномот е конечен, во некоја фаза овој процес повеќе не може да се продолжи, т.е. во оваа фаза сите елементи ќе бидат идентично нула.

После тоа, земете го елементот и применете ја истата постапка на редовите со броеви. Тогаш ќе постигнеме што и . Продолжувајќи вака, на крајот ќе ја намалиме матрицата на следната форма:

(5)

Ако полиномот не е идентично нула, тогаш, користејќи ја левата елементарна операција од вториот тип, ќе го направиме степенот на елементот помал од степенот (ако има нула степен, тогаш ќе стане идентично еднаков на нула). На ист начин, ако, тогаш користејќи леви елементарни операции од вториот тип ќе ги направиме степените на елементите помали од степенот, без да го менуваме елементот итн.

Ја утврдивме следнава теорема:

Теорема 1. Произволна правоаголна полиномна матрица со димензии секогаш може да се сведе на формата (5) користејќи леви елементарни операции, каде што полиномите имаат помал степен од , ако само , и сите се идентично нула ако .

Точно на ист начин се докажува

Теорема 2. Произволна правоаголна повеќевредностна матрица со димензии секогаш може да се сведе на формата користејќи основни операции од десната страна

(6)

каде што полиномите имаат понизок степен од , ако само , и сите се идентично еднакви на нула, ако .

2. Од теоремите 1 и 2 следува следново

Последица. Ако детерминантата на квадратна повеќевредносна матрица не зависи и е различна од нула, тогаш оваа матрица може да се претстави како производ на конечен број елементарни матрици.

Навистина, според теорема 1, користејќи леви елементарни операции матрицата може да се сведе на формата

(7)

каде е редот на матрицата. Бидејќи при примена на елементарни операции на квадратна полиномна матрица, детерминантата на оваа матрица се множи само со константен ненулти фактор, тогаш детерминантата на матрицата (7), како и детерминантата, не зависи и е ненула, т.е.

Но, тогаш, врз основа на истата теорема 1, матрицата (7) има дијагонална форма и затоа може да се намали со користење на леви елементарни операции од тип 1 до идентитетската матрица . Потоа и обратно, идентитетската матрица може да се сведе на користење на леви елементарни операции со матрици. Оттука,

Од докажаната последица ја добиваме (види стр. 137 – 138) еквивалентноста на две дефиниции 2 и 2" на еквивалентноста на полиномните матрици.

3. Да се вратиме на нашиот пример на систем на диференцијални равенки (4). Да ја примениме теоремата 1 на матрицата на коефициенти на оператори. Потоа, како што е наведено на страница 138, системот (4) ќе биде заменет со еквивалентен систем

(4")

Каде. Во овој систем, можеме произволно да избираме функции, по што функциите се секвенцијално определени и во секоја фаза од ова определување треба да интегрираме една диференцијална равенка со една непозната функција.

4. Сега да продолжиме кон воспоставувањето на „канонската“ форма на која може да се намали правоаголната полиномна матрица со примена на левата и десната елементарна операција на неа.

Меѓу сите елементи на матрицата кои не се идентично нула, го земаме елементот што има најмал степен во однос на , и со соодветно преуредување на редовите и колоните го правиме елемент. После ова, ќе ги најдеме количниците и остатоците при делење на полиномите и со:

Ако барем еден од останатите , на пример, не е идентично еднаков на нула, тогаш со одземање од та колона првата колона, претходно помножена со , го заменуваме елементот со остатокот, кој има понизок степен од . Потоа имаме можност повторно да го намалиме степенот на елементот во горниот лев агол на матрицата со поставување на ова место елементот со најнизок степен во однос на .

Ако сите останати ; се идентично нула, а потоа со одземање од редот на првата, претходно помножена со , и од колоната - првата, претходно помножена со , ќе ја намалиме нашата полиномна матрица на формата

Ако барем еден од елементите не е делив со , тогаш со додавање на колоната во првата колона што го содржи овој елемент, ќе дојдеме до претходниот случај и затоа повторно ќе можеме да го замениме елементот со полином од понизок степен.Ќе намалиме матрицата (8) во форма на редови во соодветните различни од нула нумерички фактори, ќе можеме да се осигураме дека водечките коефициенти на полиномите, и да воспоставиме формули кои ги поврзуваат овие полиноми со елементите на матрицата.

Секоја квадратна форма може да се сведе на канонска форма , дефинирана со формулата

каде е обликот ѓранг од nнепознат; броевите, , се сметаат за позитивни, но некои од поимите од формулата (VII.5) може да бидат негативни.

Под овој услов, заменувајќи , ; и , недегенерирана линеарна трансформација ја води квадратната форма до нормално умот, т.е

Вкупниот број на квадрати е еднаков на рангот на квадратната форма.

Постојат многу линеарни трансформации кои ја намалуваат квадратната форма во нормална форма (VII.6), но до локацијата на знаците, таквото намалување е единствено.

За квадратни реални форми важи закон за инерција . Бројот на позитивни и негативни квадрати во нормална форма на кои е намалена дадена квадратна форма со реални коефициенти со реална линеарна трансформација не зависи од изборот на оваа трансформација.

Број на позитивни (негативни) квадрати во нормална форма ѓповикани позитивен (негативен) индекс на инерција (во формулата (VII.6) ова е к), се нарекува разликата помеѓу индексите на позитивна и негативна инерција потпис форми ѓ(во формулата (VII.6) е еднаква на р-к).

Нека е дадена квадратна матрица на димензија nквадратна форма ѓ. Малолетниците лоцирани по главната дијагонала на оваа матрица се од редот 1, 2, ..., n, последната од нив се совпаѓа со детерминантата на матрицата , т.е

се нарекуваат главен ситни форми ѓ.

Теорема VII.1.Квадратна форма ѓод nод непознати со реални коефициенти ќе се состојат од позитивни членови ако и само ако сите водечки минори се позитивни.

Пример VII.3.Квадратна форма

е позитивно дефинитивно, бидејќи сите водечки минори од матрицата се позитивни:

, , .

Можно е, како што веќе беше забележано, квадратната форма да се сведе на канонска форма на многу начини, но има само една нормална форма. Да го покажеме ова со пример.

Пример VII.4.Намалете ја квадратната форма на канонска форма.

Решение. Ајде да поставиме линеарна трансформација:

1) тогаш добиваме .

За уште една трансформација имаме

2) тогаш добиваме .

Нормалната форма на квадратна форма, на која одговараат и двете канонски форми, .

Вежбајте.Проверете ја валидноста на добиените формули со директно замена на трансформациите 1) и 2) во оригиналната квадратна форма.

Сосема природно се поставува прашањето: „Како да се најде матрицата на линеарна трансформација (оператор)?

Пред да преминеме на следниот пример, да дадеме неколку појаснувања. Без да ја нарушиме суштината на општиот пристап, се ограничуваме на равенката

каде што десната страна е квадратна форма дефинирана во Декартов координатен систем. Од друга страна, овој израз дефинира линија од втор ред. Јасно е дека ако десната страна на последното равенство е претставена со збирот на квадратите на променливите

тогаш ја имаме канонската форма на квадратната форма.

Двете равенки ќе ја опишат истата линија од втор ред ако е во форма чсе одржува истата скала. За да се добие канонската форма ХОбично се користи карактеристичната равенка. Недостаток на овој пристап е тоа што односот помеѓу координатните системи и . Фигуративно кажано, не ја знаеме локацијата на линијата Лво координатен систем, ако е напишано во канонска форма ч. Таквата транзиција може да се постигне со ротирање на оските на координатниот систем за агол ј(сл. VII.1), односно оди од координатите x, yДо x 1 , y 1 по формули

За да ја промените трансформацијата, треба да го замените аголот ј
на - ј.

За да ја дознаеме локацијата на линијата, мора да најдеме координатна трансформација што ја дава еднаквоста Хна ум ч. Забележете дека за да ја зачуваме скалата, мора да се префрлиме на ортонормален координатен систем.

Пример VII.5.Дадена е квадратна форма во Декартов координатен систем

Потребно е да се доведе до канонска форма, односно да се запише неговата форма во системот и да се најде линеарна трансформација. Добијте ја нормалната форма на квадратна форма.

Решение. Ајде да создадеме симетрична линеарна матрица на трансформација (оператор) А

Ајде да конструираме карактеристичен полином и да ги најдеме сопствените вредности и сопствени вектори. Потоа последователно ќе ги извршиме задачите од примерот. Ние имаме

Карактеристичната равенка е претставена со еднаквост

Откако ја пресметавме детерминантата на матрицата, добиваме полином чии корени се сопствени вредности. Да ја запишеме канонската форма на формата (VII.7):

Да најдеме линеарна трансформација, односно ќе воспоставиме врска помеѓу системите и . Бидејќи корените се реални и различни и нема нули, трансформацијата е недегенерирана. Да ги најдеме сопствените вектори во основата (векторите ќе ги претставуваме во колони). За да го направите ова, го решаваме системот на равенки

дефинирани за секоја од сопствените вредности.

За , од (VII.8) ја имаме матричната равенка

Претпоставувајќи, нужно, , добиваме

во , имаме . Прво пронајден сопствен вектор , неговата должина.

Кога имаме

или

Додавање на втората на првата равенка и забележување дека ако добиената равенка се реши како систем со трета, тогаш нужно ќе преминеме на првиот сопствен вектор. Останува да се создаде систем на равенки од збирот на првите две и втората равенка, а потоа добиваме

Претпоставувајќи , по поедноставувања го добиваме системот