Прави каде што две паралелни рамнини се сечат со трета рамнина. Паралелизам на рамнините: состојба и својства

Цели на лекцијата:

Воведување на концептот на паралелни рамнини.
Размислете и докажете теореми кои го изразуваат знакот на паралелизам на рамнините и својствата на паралелните рамнини.
Следете ја примената на овие теореми при решавање проблеми.

План за лекција (напишете на табла):

I. Подготвителна усна работа.

II. Учење нов материјал:

1. Релативната положба на две рамнини во вселената.
2. Определување на паралелни рамнини.
3. Знак на паралелни рамнини.
4. Својство на паралелни рамнини.

III. Резиме на лекција.

IV. Домашна работа.

ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ

I. Усна работа

Би сакал да ја започнам лекцијата со цитат од филозофското писмо на Чадаев:

„Од каде доаѓа оваа чудесна моќ на анализа во математиката? Факт е дека умот овде дејствува целосно потчинет на ова правило“.

Ова почитување на правилото ќе го разгледаме во следната задача. За да научите нов материјал, треба да повторите неколку прашања. За да го направите ова, треба да воспоставите изјава што произлегува од овие изјави и да го оправдате вашиот одговор:

II. Учење нов материјал

1. Како може два авиони да се лоцираат во вселената? Кое е множеството точки што им припаѓаат на двете рамнини?

Одговор:

а) се совпаѓаат (тогаш ќе се занимаваме со еден авион, тоа не е задоволително);
б) се сечат, ;
в) не се сечат ( заеднички точкиапсолутно не).

2. Дефиниција: Ако две рамнини не се сечат, тогаш тие се нарекуваат паралелни

3. Ознака:

4. Наведете примери на паралелни рамнини од околината

5. Како да откриете дали било кои две рамнини во вселената се паралелни?

Одговор:

Можете да ја користите дефиницијата, но ова е несоодветно, бидејќи Не е секогаш можно да се утврди пресекот на рамнините. Затоа, неопходно е да се разгледа условот доволен за да се потврди дека рамнините се паралелни.

6. Да ги разгледаме ситуациите:

б) ако ?

в) ако ?

Зошто одговорот е во а) и б) „не секогаш“, но во в) „да“? (Пресечните линии дефинираат рамнина на единствен начин, што значи дека тие се уникатно дефинирани!)

Ситуацијата 3 е знак за паралелизам на две рамнини.

7. Теорема: Ако две вкрстувачки прави од една рамнина се соодветно паралелни со две прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.

Со оглед на:

Доказ:

(Учениците применуваат ознаки на цртежот.)

1. Забелешка: . Исто така:
2. Нека: .
3. Имаме: Слично:
4. Добиваме: преку М има противречност со аксиомата на планиметрија.
5. Значи: неточно, значи итн.

8. Решете бр.51 (Учениците применуваат симболи на цртежот).

Со оглед на:

Доказ:

1 начин

1. Ајде да градиме

Метод 2

Влезете преку преку.

9. Да разгледаме две својства на паралелни рамнини:

Теорема: Ако две паралелни рамнини се пресечени со трета, тогаш линиите на нивното вкрстување се паралелни.

(Самите ученици ја завршуваат конструкцијата и ја означуваат на цртежот).

Со оглед на:

Се разгледува односот на паралелизам на рамнините, неговите својства и примени.

Визуелен приказ на локацијата на двајцата

авиони дава моделирање со помош на рамнините на површините на соседните ѕидови, таванот и подот на просторијата, креветите на спрат, два прицврстени листови хартија

волшебници итн. (Сл. 242-244).

Иако постои бесконечно множествоопции за релативно распоред на различни рамнини, за да се утврди и карактеризира кои мерења на агли и растојанија ќе се користат во иднина, прво ќе се фокусираме на оние каде што класификацијата (како и прави линии со рамнини) се заснова на бројот на нивните заеднички точки.

1. Два авиони имаат најмалку три заедничкиточки кои не лежат на иста линија. Таквите рамнини се совпаѓаат (аксиома C 2, §7).

2. Заедничките точки на две рамнини се наоѓаат на една права линија, која е линијата на пресек на овие рамнини (аксиома C 3, §7). Таквите рамнини се вкрстуваат.

3. Двата авиони немаат заеднички точки.

ВО во овој случај се нарекуваатпаралелно-

Две рамнини се нарекуваат паралелни ако немаат заеднички точки.

Паралелизмот на рамнините се означува со знакот ||: α || β.

Како и секогаш, кога се воведува геометриски концептинастана

Нема проблем со нивното постоење. Постоењето на вкрстени-

Xia авиони е карактеристична особинапростор,

и ние веќе го користевме ова многу пати. Помалку очигледно е

Откриено е постоењето на паралелни рамнини. Нема

се сомнева дека, на пример, рамнините на спротивни графикони

Коцките се паралелни, односно не се сечат. Но директно

Навистина, по дефиниција, ова не може да се утврди. За решавање

разбирање на поставеното прашање, како и други прашања поврзани со

паралелизам на рамнини, неопходно е да се има знак на паралелизам.

За да барате знак, препорачливо е да размислите за авион,

„ткаен“ од прави линии. Очигледно е дека секоја права линија е една од

паралелните рамнини мора да бидат паралелни со другите.

ВО во спротивноавионите ќе имаат заедничка точка. Доволно

Дали рамнината β е точно паралелна со истата права α

така што рамнините α и β се паралелни? Апсолутно

но, не (оправдајте го ова!). Тоа го покажува практичното искуство

две такви вкрстувачки линии се доволни. Да обезбеди

на јарболот има платформа паралелна со земјата, само поставете ја

на два греди прикачени на јарболот, паралелно
земски (сл. 245). Има уште многу
примери за употреба на оваа техника на одредба
паралелизам на вистински рамни површини
предмети (пробајте го ова!).
Горенаведените размислувања ни дозволуваат да формулираме
наведете ја следнава изјава.
		(знак на паралелни рамнини).
		вкрстени прави линии на една рамнина

Ако рамнините се паралелни со втората рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.

 Правите a и b на рамнината α кои се вкрстуваат нека бидат паралелни со рамнината β. Да докажеме дека рамнините α и β се паралелни со контрадикција. За да го направите ова, да претпоставиме дека рамнините α и β се сечат по права линија

t (сл. 246). Правилата a и b не можат да сечат прави според условот. Меѓутоа, тогаш во рамнината α се повлекуваат две прави низ една точка кои не се сечат со правата, односно паралелни со неа. Ова е контрадикторност

и го комплетира докажувањето на теоремата.

Знакот на паралелизам на рамнините се користи при хоризонтално поставување на рамни конструкции (бетонски плочи, подови, диск со гониометарски уреди и сл.) со користење на две нивоа поставени во рамнината на конструкцијата на пресечни прави линии. Врз основа на оваа карактеристика, можно е да се конструира рамнина паралелна на оваа.

Задача 1. Низ точка што лежи надвор од дадена рамнина, нацртајте рамнина паралелна на дадената.

 Нека се дадени рамнината β и точка M надвор од рамнината (сл. 247, а). Дозволете ни да нацртаме низ точката M две пресечни прави a и b, паралелни на рамнината β. За да го направите ова, треба да земете две пресечни права c и d во β рамнината (слика 247, б). Потоа низ точката М повлечете права a и b паралелни со правите c и d, соодветно.

но (сл. 247, в).

Пресечни прави a и b паралелно со рамнината β, врз основа на паралелизмот на правата и рамнината (теорема 1 §11). Тие уникатно ја дефинираат рамнината α. Според докажаниот критериум, α || β.

Пример 1. Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , точките M , N , P се средните точки на рабовите BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 , соодветно. Инсталирајте меѓусебно уредувањерамнини: 1) ABV 1 и PNM; 2) NMA и A1C1C; 3) А 1 NM

и PC 1 C; 4) MAD 1 и DB 1 C.

 1) Рамнините ABB 1 и РNM (сл. 248) се паралелни, врз основа на паралелизмот на рамнините (теорема 1). Навистина, правите РN и NM се сечат и се паралелни на рамнината ABB 1, врз основа на паралелизмот на правата и рамнината (теорема 1 §11), бидејќи отсечките РN и NM ги поврзуваат средните точки спротивни страниквадрати, па тие се паралелни со страните на квадратите:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Рамнините NMA и A 1 C 1 C се сечат по права линија AA 1 (сл. 249). Навистина, правите AA 1 и CC 1 се паралелни, врз основа на паралелизмот на правите (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Според тоа, права линија AA 1 лежи во рамнината A 1 C 1 C. Припадноста на права линија АА 1 на рамнината NMA е слично оправдана.

3) Рамнините A 1 NM и РС 1 C (сл. 250) се паралелни, врз основа на паралелизмот на рамнините. Навистина, NM ||С 1 C . Според тоа, правата линија NM е паралелна со рамнината PC 1 C. Паралелни се и отсечките PC 1 и A 1 N, бидејќи четириаголникот PC 1 NA 1 е паралелограм (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Така, правата A 1 N е паралелна со рамнината PC 1 C. Правите A 1 N и NM се сечат.

4) Рамнините MAD 1 и DB 1 C се сечат (сл. 251). Иако линијата на нивното вкрстување не е лесно да се конструира, не е тешко да се означи една точка од оваа права. Навистина, правите A 1 D и B 1 C се паралелни, бидејќи четириаголникот A 1 B 1 CD е паралелограм (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Според тоа, правата A 1 D припаѓа на рамнината DB 1 C. Правилата A 1 D и AD 1 се сечат во точка заедничка за рамнините MAD 1 и DB 1 C.


		Дадениот знак на паралелизам на рамнините
		Дадениот знак на паралелизам на рамнините
		понекогаш е поудобно да се користи во малку поинаква


	1′ (знак на паралелни рамнини).

Ако две вкрстувачки прави од една рамнина се соодветно паралелни со две прави од друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.

Користејќи го критериумот за паралелизам на права и рамнина (теорема 1 §11), лесно е да се утврди дека состојбата на теорема 1 произлегува од условите на теорема 1. Примената на теоремата инверзна на критериумот за паралелизам на права и рамнина (теорема 2 §11) го комплетира оправдувањето за еквивалентноста на условите од теоремите 1 и 1 ′.

Секако, се поставува прашањето за уникатноста на конструкцијата дадена во задача 1. Бидејќи ќе треба да го користиме ова својство повеќе од еднаш, ќе го истакнеме како посебна теорема. Сепак, прво да погледнеме друга изјава.

Теорема 2 (за пресекот на две паралелни рамнини со трета).

Ако две паралелни рамнини се пресечени со трета рамнина, тогаш линиите на пресек на рамнините се паралелни.

 Нека се дадени паралелни рамнини α, β и рамнина γ што ги сечат (сл. 252). Да ги означиме пресечните линии

преку а и б. Овие прави лежат во γ рамнината и не се сечат, бидејќи α и β рамнините немаат заеднички точки. Затоа, директно

a и b се паралелни.

Теорема 3 (за постоењето и единственоста на рамнина паралелна на оваа).

Преку точка која се наоѓа надвор од дадена рамнина, може да се повлече една рамнина паралелна на дадената.

 Конструкцијата на ваква рамнина е изведена во задача 1. Единственоста на конструкцијата ќе ја докажеме со контрадикторност. Да претпоставиме дека две различни рамнини α и γ се нацртани низ точката М, па-

паралелни рамнини β (сл. 253), а правата t е линијата на нивното вкрстување. Дозволете ни да нацртаме рамнина δ низ точката M, пресекувајќи ја правата

m и β рамнината (како може да се направи тоа?). Да означиме со a и b

линијата на пресек на рамнината δ со рамнините α и γ, а преку c - линијата на пресек на рамнините δ и β (сл. 253). Според теорема 2,a ||c

и b ||s. Односно, во δ рамнината низ

низ точката М минуваат две прави паралелни на прави. Контрадикторноста покажува дека претпоставката е неточна.

Релацијата на паралелизам на рамнините има голем број својства кои имаат аналози во планиметријата.

Теорема 4 (на отсечки од паралелни прави меѓу паралелни рамнини).

Сегментите од паралелни прави отсечени со паралелни рамнини се еднакви еден на друг.

 Нека се дадени две паралелни рамнини α и β и отсечкиАБ

и ЦД на паралелни прави линии a и d, отсечени од овие рамнини (Слика 254, а). Дозволете ни да ја нацртаме рамнината γ низ прави линии a и d (Слика 254, б). Ги вкрстува рамнините α и β по прави линии AC и BD, кои, според теорема 2, се паралелни. Според тоа, четириаголникот ABCD е паралелограм; неговите спротивни страни AC и BD се еднакви.

Од горенаведеното својство произлегува дека ако нацртаме од сите точки на рамнината

на едната страна од авионот паралелни линии иста должина, тогаш краевите на овие отсечки формираат две паралелни рамнини. Токму на ова својство се заснова конструкцијата на паралелепипед користејќи таложење на сегменти (сл. 255).

Теорема 5 (за транзитивноста на односот на паралелизам на рамнините).

Ако секоја од двете рамнини е паралелна со трета, тогаш двете рамнини се паралелни една со друга.

 Нека рамнините α и β се паралелни на рамнината γ. Да претпоставиме дека

α и β не се паралелни. Тогаш рамнините α и β имаат заедничка точка и низ оваа точка поминуваат две различни рамнини паралелни на рамнината γ, што е во спротивност со теоремата 3. Затоа, рамнините α и β немаат заеднички точки, односно се паралелни .

Теорема 5 е уште еден знак за паралелизам на рамнините. Широко се користи и во геометријата и во практични активности. На пример, во повеќекатна зграда, паралелизмот на рамнините на подот и таванот на секој кат гарантира нивна паралелност на различни катови.

Задача 2. Докажете дека ако права линија ја пресекува рамнината α, тогаш таа ја пресекува и секоја рамнина паралелна на рамнината α.

 Нека рамнините α и β се паралелни, а права а ја пресекува рамнината α во точката А. Да докажеме дека и тој ја пресекува рамнината

β. Да претпоставиме дека тоа не е така. Тогаш правата а е паралелна со рамнината β. Да ја нацртаме рамнината γ низ права линија и произволна точкарамнина β (сл. 256).

Оваа рамнина ги пресекува паралелните рамнини α и β долж правите b е. Ко-

според теорема 2, b || c, односно, во рамнината γ, две прави a и b поминуваат низ точката A, паралелни со правата c . Оваа контрадикторност ја докажува изјавата.

Обидете се сами да докажете дека ако рамнината α ја сече рамнината β, тогаш ја пресекува и секоја рамнина паралелна на рамнината β.

Пример 2. Во тетраедарот ABCD, точките K, F, E се средните точки на рабовите DA, DC, DB, aM и P - центрите на маса на лицата ABD и ВСD, соодветно.

1) Утврдете ја релативната положба на рамнините KEF и ABC;

DEF и ABC.

2) Изградете ја пресечната линија на рамнините AFB и KEC.

3) Најдете ја површината на пресекот на тетраедарот со рамнина паралелна на рамнината ABD и која минува низ точката P ако сите рабови на тетраедарот се еднакви.

 Да конструираме цртеж што го исполнува условот (сл. 257, а). 1) Рамнините KEF и ABC се паралелни, врз основа на паралелизмот на рамнините (теорема 1'): правата KE и KF на рамнината KEF се паралелни со пресечните линии AB и AC на рамнината ABC (средните линии на соодветните

постоечки триаголници).

Рамнините DEF и ABC се сечат по права линија BC, бидејќи правата линија BC им припаѓа на двете рамнини и тие не можат да се совпаѓаат - точките A, B, C, D не лежат во иста рамнина.

2) Рамнината AFB се вкрстува со рамнината KEC по права линија што ја содржи точката P, бидејќи линиите CE и BF што лежат во овие рамнини се во рамнината BCD и се сечат во точката P. Друга точка е точката на пресек Q на прави линии AF и CK во рамнината ACD (Слика 257, б). Очигледно, оваа точка е центарот на масата на лицето ACD. Потребниот пресек е линијата PQ.

3) Конструирајте го делот наведен во условот, користејќи го знакот за паралелизам на рамнините. Дозволете ни да повлечеме линии низ точките P и Q паралелни со правите DB и DA, соодветно (сл. 257, в). Овие линии ја сечат отсечката CD во точката L. Вториот следи од својството на центарот на масата на триаголникот - ги дели медијаните на триаголникот во сооднос 2: 1, сметајќи од темето. Останува да се примени Талесовата теорема. Така, рамнините PLQ и BDA се паралелни. Потребниот дел е триаголник LSN.

По конструкција, триаголниците BCD и SCL се слични со коефициент на сличност CE CP =3 2. Затоа LS =3 2 BD . Слично на утврденото

се додаваат следните еднаквости: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Следи дека триаголниците LSN и ABD се слични со коефициент на сличност 3 2. Според својствата на плоштините на слични триаголници,

S LNS =4 9 S ABD . Останува да се најде плоштината на триаголникот ABD. од-

бидејќи, по услов, сите рабови на тетраедарот се еднакви на a, тогаш S ABD =4 3 a 2.

Потребната површина е 3 1 3 а 2 .

Соодветно е да се забележи дека одговорот зависи само од областа на лицето ABD. Затоа, еднаквоста на сите рабови е само средство за наоѓање на оваа област. Така, оваа задачаможе значително да се генерализира.

Одговори. 1)KEF ||ABC ; 3) 3 1 3 а 2 .

 Тест прашања

1. Дали е вистина дека две рамнини се паралелни ако секоја права што лежи во едната рамнина е паралелна со другата рамнина?

2. Рамнините α и β се паралелни. Дали има искривени линии во овие рамнини?

3. Две страни на триаголникот се паралелни со одредена рамнина. Дали третата страна на триаголникот е паралелна со оваа рамнина?

4. Две страни на паралелограм се паралелни на одредена рамнина. Дали е точно дека рамнината на паралелограм е паралелна со дадената рамнина?

5. Дали отсечките од две прави отсечени со паралелни рамнини можат да бидат нееднакви?

6. Дали пресекот на коцката може да биде рамнокрак трапез? Дали пресекот на коцката може да биде редовен пентагон? Дали е точно дека две рамнини паралелни на иста права се паралелни една на друга?

Правите на пресек на рамнините α и β со рамнината γ се паралелни една на друга. Дали рамнините α и β се паралелни?

Дали трите лица на коцката можат да бидат паралелни на иста рамнина?

Графички вежби

1. На сл. 258 е прикажана коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, точките M, N, K, L, P се средните точки на соодветните рабови. Пополнете ја табелата според дадениот пример со избирање потребна локацијарамнините α и β.

Заемно

локација

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			Д 1 КП
и ADC	и ББ1 Д	и МНП	и БМН

	Б 1 КП	A1 DC1	A1 C1 C
и PLN	и DMN	и AB1 C	и МКП

2. На сл. 259 покажува тетраедар ABCD, точките K, F, M, N, Q се средните точки на соодветните рабови. Ве молиме наведете:

1) рамнина што минува низ точката K паралелна со рамнината ABC;

2) рамнина што минува низ правата BD паралелна со рамнината MNQ.

3. Определи колкав е пресекот на фигурата на рамнината што минува низ дадените три точки прикажани на сликата.

kah 260, а)–д) и 261, а)–г).

4. Конструирај цртеж врз основа на дадените податоци.

1) Од темињата на паралелограмот ABCD што лежи во една од двете паралелни рамнини, се цртаат паралелни прави што ја сечат втората рамнина во точките A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , соодветно.

2) Триаголник A 1 B 1 C 1 е проекцијата на триаголникот ABC на рамнината α паралелна на него. Точката М е средината на сонцето, М 1 е проекцијата на точката М на рамнината α.

207. Во коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки O, O 1 се центрите на лицата ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1, соодветно, M е средината на работ AB.

1°) Одреди ја релативната положба на рамнините MO 1 O

и ДОДАЈ 1, ABD 1 и CO 1 C 1.

2°) Конструирај ја точката на пресек на рамнината DCC 1 и правата MO 1 и линијата на пресек на рамнините MCC 1 и A 1 D 1 C 1.

3) Најдете ја плоштината на напречниот пресек на коцка со рамнина паралелна на рамнината AD 1 C 1 и која минува низ точката O 1 ако работ на коцката е еднаков на a.

208. Во тетраедарот ABCD, точките K, L, P се центри на маса на лицата ABD, BDC, ABC, соодветно, а aM е средината на работ AD.

1°) Одреди ја релативната положба на рамнините ACD

и KLP, MLK и ABC.

2°) Конструирај ја точката на пресек на рамнината ABC и правата ML и правата на пресек на рамнините MKL и ABC.

3) Најдете ја површината на пресекот на тетраедарот со рамнина што минува низ точките K, L и M паралелно со правата линија AD, ако сите рабови на тетраедарот се еднакви.

209. Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точките L, M, M 1 се средните точки на рабовите AB, AD и A 1 D 1, соодветно.

1°) Одреди ја релативната положба на рамнините B 1 D 1 D

и LMM1.

2) Конструирај рамнина што минува низ точката М паралелна со рамнината ACC 1.

3) Конструирај дел од коцката со рамнина што минува низ точката M 1 паралелна со рамнината CDD 1.

4) Определи ја релативната положба на рамнините MA 1 B 1

и CDM1.

5) Конструирај рамнина што минува низ правата C 1 D 1 паралелна со рамнината CDM 1.

210. Во правилна четириаголна пирамидаSABCD, сите рабови се еднакви еден со друг. Точките L, M и N се средните точки на рабовите AS, BS, CS, соодветно.

1°) Одреди ја релативната положба на: прави LM и BC; права линија LN и рамнина ABD; авиони LMN и BDC.

2°) Докажете дека триаголниците ABC и LMN се слични.

3) Конструирај дел од пирамидата користејќи ја рамнината AMN; авион LMN; авионLBC.

4*) Кој од пресеците на пирамидата што минува низ темето S има најголема плоштина?

Паралелизам на прави и рамнини

Во тетраедарот SABC сите лица се правилни триаголници. Точките L, M и N се средните точки на рабовите AS, BS, CS, соодветно. 1°) Одреди ја релативната положба на правите LM и BC. 2°) Одреди ја релативната положба на права линија LN и рамнина ABC.

3) Докажете дека триаголниците LMN и ABC се слични.


Од темињата на паралелограмот ABCD кој лежи во едно од
две паралелни рамнини, нацртани во парови паралелно
линеарни прави линии што ја сечат втората рамнина што одговара
конкретно во точките A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Докажи дека четириаголникот A 1 B 1 C 1 D 1 е паралелен

2°) Докажи дека паралелограмите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1
се еднакви едни на други.
3°) Одреди ја релативната положба на рамнините ABC 1
и DD1 C1.
4) Нацртајте ја рамнината 1 низ средината на сегментот АА така
така што ги пресекува овие прави во точките кои се
темиња на паралелограм еднаков на паралелограмот
mu ABCD.
Дадени се две паралелни рамнини и точка О, која не припаѓа на
притискање на било кој од овие рамнини и не лежи помеѓу
нив. Од точката О		нацртани се три зраци кои ја пресекуваат рамнината
коски, соодветно, во точките A, B, C и A 1, B 1, C 1 и не лежи
лежејќи во истиот авион.
1°) Одреди ја релативната положба на овие рамнини
и рамнината што минува низ средните точки на отсечките AA 1, BB 1, CC 1.
2) Најдете го периметарот на триаголникот A 1 B 1 C 1 ifOA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Триаголник A 1 B 1 C 1 е проекција на триаголникот ABC
на рамнината α паралелна со неа. Точка М - средина на сто
ron BC ;M 1 - проекција на точката М			на α рамнината. Точка Н
ја дели страната AB		во сооднос 1:2.	рамнина M 1 MN и прави
1) Конструирај ја пресечната точка N 1
моето A 1 B 1 .
2) Определи го обликот на четириаголникот M 1 N 1 NM.
	М лежи надвор од рамнината на трапезоидот ABCB од основата-
ми АД	и Б.Ц. Конструирај ја линијата на пресек на рамнините:
1°) ABM и CDM;		2) CBM и ADM.

Конструирај дел од коцката кој е: 1°) рамностран триаголник; 2) пентагон.

217. Конструирај дел од тетраедар кој е паралелограм.

218°. Докажете дека спротивните лица на паралелепипедот се паралелни.

219. Докажи дека множеството од сите прави што минуваат низ оваа точкаи паралелно со дадена рамнина, формира рамнина паралелна на дадената.

220. Дадени се четири точки A, B, C, D, кои не лежат во иста рамнина. Докажете дека секоја рамнина паралелна на правите AB и CD ги пресекува правите AC, AD, BD, BC на темињата на паралелограмот.

221. Докажи дека рамнина и права што не припаѓаат на оваа рамнина се паралелни една со друга ако и двете се паралелни на иста рамнина.

222. Низ точката O на пресекот на дијагоналите на коцката ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 се повлекува рамнина паралелна со лицето ABCD. Оваа рамнина ги пресекува рабовите BB 1 и CC 1 во точките M и N, соодветно. Докажете дека аголот MON е прав агол.

223. Докажи дека две рамнини се паралелни една со друга ако и само ако секоја права што сече една од рамнините ја пресекува и втората.

224*. Во триаголна пирамида SABC, низ сегментите AD и CE, каде што D е средната точка SB, а E е средната точка SA, нацртајте делови од пирамидата паралелни еден на друг.

225. Најдете геометриски места:

1) средните точки на сите отсечки со краеви на два податоци паралелни рамнини; 2*) средни точки на отсечки со краеви на две дадени линии што се пресекуваат.

226*. Страната AB на триаголникот ABC што лежи во рамнината α е паралелна со рамнината β. Рамностран триаголник 1 B 1 C 1 е паралелна проекцијатриаголник ABC на рамнината β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Утврдете ја релативната положба на прави линии AB и A 1 B 1,

BC и B1 C1, A1 C1 и AC.

2) Најдете ја плоштината на триаголникот A 1 B 1 C 1.

227*. Дадени се две линии кои се вкрстуваат. Наведете го множеството од сите точки во просторот низ кои може да се повлече линија што ја пресекува секоја од двете дадени прави.

Основна дефиниција

Двата авиони се нарекуваат

се паралелни,

доколку немаат заеднички точки.

Главни изјави

Паралелен знак - ако две вкрстени права од една рамнина на рамнината се соодветно паралелни со две прави од втората рамнина, тогаш овие рамнини

коските се паралелни.

Теорема за вкрстување Ако две паралелни пресечни две непаралелни рамнини се сечат со трета рамнина, тогаш правите на третото пресекување на рамнината

тие се паралелни.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β, M β

Подготовка за тематска

за оценка на тема „Паралелизам на прави и рамнини“

Задачи за самоконтрола

1. Четирите точки не припаѓаат на иста рамнина. Може ли три од нив да лежат на иста права линија?

2. Дали три различни рамнини можат да имаат точно две заеднички точки?

3. Дали две искривени линии можат да бидат паралелни со трета линија истовремено?

4. Дали е вистина тоа право a и b не се паралелни ако нема права c паралелна на a и b?

5. Дали можат еднакви сегментиимаат нееднакви проекции?

6. Може ли зрак да биде паралелна проекција на права?

7. Може ли квадрат да биде слика на коцка?

8. Дали е точно дека низ дадена точка во просторот може да се повлече само една рамнина паралелна на дадена права?

9. Дали е секогаш можно да се повлече права низ дадена точка паралелна на две дадени рамнини кои не ја содржат оваа точка?

10. Дали е можно да се исцртаат паралелни рамнини низ две линии кои се пресекуваат?

Одговори на задачи за самоконтрола

Тест примерок

Два паралелограми ABCD и ABC 1 D 1 лежат во различни рамнини.

1°) Определи ја релативната положба на правите линии CD и C 1 D 1.

2°) Одреди ја релативната положба на правата C 1 D 1 и рамнината

3°) Конструирај ја линијата на пресек на рамнините DD 1 C 1 и ВСС 1.

4°) Одреди ја релативната положба на рамнините ADD 1 и BCC 1.

5) Преку точката M, делејќи ја отсечката AB во однос 2:1, броејќи од точката A, нацртајте рамнина α паралелна на рамнината C 1 BC. 6) Конструирајте ја точката на пресек на правата линија AC со рамнината α и пронајдете го односот во кој оваа точка ја дели отсечката AC.

		Паралелизам на прави и рамнини
Релативната положба на линиите во просторот
			Табела 21
	Број на заеднички точки
Најмалку две
		лежи во едно	не лажете во едно
		рамнина	рамнина

Релативна положба на прави линии и рамнини во просторот

			Табела 22

	Број на заеднички точки
Најмалку две		Никој

a лежи во α	и се вкрстува α	и i α - паралелно
(а α)	(a × α)	ny (a \|\| α)
Меѓусебно распоредување на авиони во вселената
		Табела 23
	Број на заеднички точки
Најмалку три	Барем еден, но	Никој
не лежи на	нема заеднички точки, нема ле-	Никој
една права линија	притискање на една права линија

Тригонометриски

Веќе сте се занимавале со тригонометриски функции во лекциите по геометрија. Досега нивната примена главно беше ограничена на решавање триаголници, односно зборувавме за пронаоѓање на некои елементи на триаголник од други. Од историјата на математиката е познато дека појавата на тригонометријата е поврзана со мерењето на должините и аглите. Сепак, сега сферата

неа апликациите се многу пошироки отколку во античките времиња.

Зборот „тригонометрија“ доаѓа од грчкиот τριγωνον

(тригонон) – триаголник и µετρεω (metreo) – мерка, мерка-

јас лаам. Буквално значи мерење триаголници.

ВО Ова поглавје го систематизира материјалот што веќе ви е познат од курсот по геометрија и ја продолжува студијата тригонометриски функциии нивните апликации за карактеризирање на сериски процеси, особено ротационо движење, осцилаторни процесии така натаму.

Повеќето примени на тригонометријата се однесуваат конкретно на периодични процеси, односно процеси кои се повторуваат во редовни временски интервали. Изгрејсонце и зајдисонце, промени во годишните времиња, ротација на тркалото - ова се наједноставните примери за такви процеси. Механички и електромагнетни вибрациисе исто така важни примери на периодични процеси. Затоа, проучувањето на периодични процеси е важна задача. А улогата на математиката во нејзиното решавање е одлучувачка.

се подготвува да ја проучува темата „Тригонометриски функции“

Препорачливо е да се започне со проучување на темата „Тригонометриски функции“ со разгледување на дефинициите и својствата на тригонометриските функции на аглите на триаголниците и нивните апликации за решавање и правоаголни и произволни триаголници.

Синус, косинус, тангента, котангента на правоаголни агли

тријаголник

Табела 24

Синус на остар агол е односот спротивна странадо хипотенузата:

sin α = a c.

Косинусот на остар агол е односот соседната ногадо хипотенузата:

cosα = b c.

Тангентата на остар агол е односот на спротивната страна со соседната страна:

tg α =a b .

Котангенсот на остар агол е односот на соседната страна со спротивната страна:

ctgα = a b.

Синус, косинус, тангента, котангента на агли од 0° до 180°

Табела 25

sin α = R y; cosα = R x;

tg α = x y ; cotgα = x y.

(X;на) - координати на точки Асе наоѓа на горниот полукруг, α - аголот формиран од радиусот ОПкруг со оска X.

Вредности на синус, косинус, тангента, котангента

некои агли

Табела 26

Катче т

0°

90°

180°

грев т

cos т

tg т

ctg т

Тригонометриски функции

Решавање на произволни триаголници

Табела 27

Теорема на синусите

Страните на триаголникот се пропорционални со синусите на спротивните агли:

грев аα = грев бβ = грев вγ .

Косинусна теорема

Квадратот на произволна страна на триаголникот е еднаков на збирот на квадратите на другите две страни без двојно поголем производ од овие страни со косинус на аголот меѓу нив:

в2 = а2 + б2 − 2 ab cos γ , б2 = а2 + в2 − 2 ак cos β , а2 = б2 + в2 − 2 п.н.е cos α .

Површината на триаголникот е еднаква на половина од производот на неговите две страни и синусот на аголот меѓу нив:

С=1 2 abгревγ = 1 2 акгревβ = 1 2 п.н.егревα .

Основни тригонометриски идентитети

)

Табела 28

0 ° ≤ α ≤ 180 °

грев 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180 °, α ≠ 90 °

1 +tgα = cos2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

грев 2 α

Даден е триаголник ABC,СО= 90°, Сонцето=3 ,АБ= 2. Што е еднакво на

ВО ?

Б. 45 °.

ВО. 60 °.

А. 30 °.

Г.Невозможно е да се пресмета без компјутерски алатки.

Даден е триаголник

ABC , СО

Сонцето= 3,

ВО= 60 °. Што е еднакво на

АБ ?

А. 3

Б. 6.

3 .

Според овие партии правоаголен триаголникнајдете

косинус на неговиот помал агол: А= 3,б= 4,в

А. 0,8.

Која од дадените вредности не може да го земе искривувањето-

нус од остар агол?

7 − 1

7 2

А.

5. Споредете го збирот на синусите остри аглипроизволен правоаголен триаголник (го означуваме соА) со еден.

< 1. Б.А= 1.

> 1. Г.Невозможно е да се споредува. Подреди ги броевите во растечки редослед: А= грев 30°, б= цена 30°,

= tg 30°.

< б<в.Б.а<в<б

Тригонометриски функции

За кои остри агли синусот е помал од косинус?

За сите.

За помали 45°.

За големи 45°.

Г.Не за никого.

На што е еднаков cos?

α, ако α е остар агол на правоаголен триаголник

квадрат и гревα =

12 .

Должината на сенката на дрвото е 15 m Сончевите зраци формираат агол

30° со површината на Земјата. Која е приближната висина?

дрво? Изберете го најточниот резултат.

Б. 13 м.

ВО. 7м.

Која е вредноста на изразот

1 − x2

на X= – 0,8?

Б. –0,6.

Г.≈ 1,34.

Од формулата а2 +б2 =4 изразуваат б< 0 череза.

А.б=4 −а2 .

Б.б=а2 −4 .

б= −а2

− 4 .

б= −4 −а2 .

Точка А

кој се наоѓа во третата четвртина на растојание од 3 од оската XИ

на растојание

10 од потеклото. Кои се координатите?

има поента А?

Б.(−1; 3).

ВО.(−1; −3).

Г.(−3; −1).

следните точки

припаѓа

круг

x 2+ y 2

= 1?

Б.(0,5; 0,5).

. Г.

15. Наведете ги координатите на точкатаА, лежи на круг со радиус 1 (види слика).

(−1; 0).Б.(1; 0).

(0; − 1). Г.(0; 1).А.ВО.

Во оваа лекција ќе разгледаме три својства на паралелни рамнини: пресек на две паралелни рамнини со трета рамнина; за паралелни отсечки затворени помеѓу паралелни рамнини; и за сечење на страните на аголот со паралелни рамнини. Следно, ќе решиме неколку проблеми користејќи ги овие својства.

Тема: Паралелизам на прави и рамнини

Лекција: Својства на паралелни рамнини

Ако две паралелни рамнини се пресечени со трета, тогаш линиите на нивното вкрстување се паралелни.

Доказ

Нека се дадени паралелни рамнини и рамнина што ги сече рамнините и по прави линии АИ бсоодветно (сл. 1.).

Директно АИ блежат во иста рамнина, имено во γ рамнина. Да докажеме дека правите линии АИ бне се вкрстуваат.

Ако директно АИ бвкрстени, односно би имале заедничка точка, тогаш оваа заедничка точка би припаѓала на две рамнини и , и , што е невозможно, бидејќи тие се паралелни по услов.

Значи, директно АИ бсе паралелни, што требаше да се докаже.

Отсечките на паралелните прави содржани помеѓу паралелните рамнини се еднакви.

Доказ

Нека се дадени паралелни рамнини и паралелни прави АБИ СОД, кои ги сечат овие рамнини (сл. 2.). Да докажеме дека сегментите АБИ СОДсе еднакви.

Две паралелни линии АБИ СОДформираат една рамнина γ, γ = АБДСО. Рамнината γ пресекува паралелни рамнини и по паралелни прави (според првото својство). Значи, тоа е директно ACИ ВОДпаралелно.

Директно АБИ СОДсе исто така паралелни (по услов). Значи тоа е четириаголник АБДСО- паралелограм, бидејќи неговите спротивни страни се паралелни во парови.

Од својствата на паралелограм произлегува дека отсечките АБИ СОДсе еднакви, како што се бара да се докаже.

Паралелните рамнини ги пресекуваат страните на аголот на пропорционални делови.

Доказ

Да ни бидат дадени паралелни рамнини и кои ги пресекуваат страните на аголот А(Сл. 3.). Тоа е неопходно да се докаже.

Паралелни рамнини и исечени со аголна рамнина А. Да ја наречеме линијата на пресек на аголната рамнина Аи авиони - сонце,и линијата на пресек на аголната рамнина Аи авиони - B 1 C 1. Според првиот имот, линиите на пресек СонцетоИ B 1 C 1паралелно.

Значи триаголници ABCИ AB 1 C 1слично. Добиваме:

3. Математичка веб-страница на Виталиј Станиславович Цегелни ()

4. Фестивал на педагошки идеи „Отворена лекција“ ()

1. Точка ЗА- заедничка средна точка на секој сегмент АА 1, ББ 1, СС 1, кои не лежат во иста рамнина. Докажете дека авионите ABCИ A 1 B 1 C 1паралелно.

2. Докажете дека паралелните рамнини можат да се нацртаат низ две искривени линии.

3. Докажете дека правата што сече една од двете паралелни рамнини ја пресекува и втората.

4. Геометрија. Одделение 10-11: учебник за студенти на општообразовни институции (основно и специјализирано ниво) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, поправено и проширено - М.: Мнемосина, 2008. - 288 стр.: ил.

Задачи 6, 8, 9 стр. 29

Паралелизам на рамнините. Ако две пресечни прави од една рамнина се соодветно паралелни со две пресечни линии на друга рамнина, тогаш овие рамнини се паралелни.
Доказ. Нека аИ б- податоци за авионот, а 1И а 2– прави линии во рамнина а, вкрстувајќи се во точката А, б 1И б 2соодветно, линиите паралелни со нив во рамнината б. Да претпоставиме дека авионите аИ бне се паралелни, односно се сечат по некоја права линија Со. Директно А 1 е паралелна со правата б 1, што значи дека е паралелна со самата рамнина б(знак за паралелизам помеѓу права и рамнина). Директно А 2 е паралелна со правата б 2,тоа значи дека е паралелно со самата рамнина б(знак за паралелизам помеѓу права и рамнина). Директно Соприпаѓа на авионот а, што значи барем една од правите линии а 1или а 2вкрстува линија Со,односно има заедничка точка со неа. Но директно Соисто така припаѓа на авионот б, што значи преминување на линијата Со,директно а 1или а 2ја пресекува рамнината б, што не може да биде, бидејќи се прави а 1И а 2паралелно со авионот б. Од ова произлегува дека авионите аИ бне се вкрстуваат, односно се паралелни.

Теорема 1 . Ако две паралелни рамнини се сечат во третини, тогаш правата на пресекот се паралелни.
Доказ. Нека аИ б- паралелни рамнини, и е - авионот што ги пресекува. Рамнина асе вкрстува со рамнината е во права линија А.Рамнина бсе вкрстува со рамнината ево права линија б.Пресечни линии АИ блегнете во иста рамнина е и затоа може да бидат или пресечни или паралелни прави. Но, кои припаѓаат на две паралелни рамнини, тие не можат да имаат заеднички точки. Затоа тие се паралелни.

Теорема 2. Отсечките на паралелните прави затворени помеѓу две паралелни рамнини се еднакви.
Доказ. Нека аИ б- паралелни рамнини, и А И б- паралелни прави што ги сечат. Преку прави линии АИ бќе спроведеме рамнина е (овие линии се паралелни, што значидефинирајте рамнина, и тоа само една). Рамнина асе вкрстува со рамнината е во права линија AB . Рамнина бсе вкрстува со рамнината епо правата СД.Според претходната теорема правата линија Сопаралелно со линијата г. Директно А,б,АБ И SD припаѓаат на авионот еЧетириаголник ограничен со овие прави е паралелограм (неговите спротивни страни се паралелни). И бидејќи ова е паралелограм, тогаш неговите спротивни страни се еднакви, односно AD = BC

е сопственост на па паралелни линии, наречени преоднипаралелизам:

Ако две прави a и b се паралелни на трета права c, тогаш тие се паралелни ние еден на друг.

Но, потешко е да се докаже ова својство во стереометријата. На рамнина, непаралелните прави мора да се сечат и затоа не можат да бидат паралелни со трета права истовремено (во спротивно, паралелната аксиома е повредена). Во прово просторот има непаралелни иволумен на разделени линииако лежат во различни рамнини. Се вели дека таквите прави линии се вкрстуваат.

На сл. 4 покажува коцка; права линии AB и BC се сечат, AB и CDсе паралелни, а АБ и Б СО вкрстуваат. Во иднина често ќе прибегнуваме кон помош на коцка за илустрацијатријажа на концептите и фактите на стереометријата. Нашата коцка е залепена заедно од шест квадратни лица. Врз основа на ова, ќе ги изведеме неговите други својства. На пример, можеме да кажеме дека правата AB е паралелна со CД,бидејќи и двете се паралелни со заедничката страна на ЦД-то соквадрати кои ги држат.

Во стереометријата, односот на паралелизам се разгледува и за рамнини: две рамниниПрава или права и рамнина се паралелни ако немаат заеднички точки. Удобно е правата линија и рамнината да се сметаат за паралелни дури и кога лежи во рамнината. За рамнините и правите важат следните теореми за транзитивноста:

Ако две рамнини се паралелни на трета рамнина, тогаш тие се паралелни една со друга.
Ако правата и рамнината се паралелни на некоја права (или рамнина), тогаш тие се паралелни една со друга.

Најважниот посебен случај на втората теорема е знакот за паралелизам помеѓу права и рамнина:

Правата е паралелна на рамнината ако е паралелна со некоја права во оваа рамнина.

И тука е знак на паралелни рамнини:

Ако две права што се пресекуваат во една рамнина се соодветно паралелни со две права што се пресекуваат во друга рамнина, тогаш рамнините се паралелни.

Следната едноставна теорема често се користи:

Правите по кои две паралелни рамнини се сечат со трета се паралелни една со друга.

Ајде повторно да ја погледнеме коцката (сл. 4). Од знакот на паралелизам помеѓу права и рамнина следи, на пример, таа права линија А ВО паралелно со рамнината ABCD (бидејќи е паралелна со линијата AB во оваа рамнина), и спротивните лица на коцката, особено А ВО СО Д и ABCD, паралелни врз основа на паралелизам на рамнините: прави А Б и Б СО во едното лице се соодветно паралелни со правите AB и BC во другото. И малку помалку едноставен пример. Рамнина што содржи паралелни прави АА и СС, се сечат паралелни рамнини ABCD и A Б В Д по прави линии AC и A СО, тоа значи дека овие прави се паралелни: слично, паралелни прави Б Ц и А D. Според тоа, паралелните рамнини AB Ц и А DC ја пресекува коцката во триаголници.

III. Слика на просторни фигури.

Постои таков афоризам Геометријатоа е искушениеспособност за правилно расудување на неточен цртеж. Навистина, ако се вратиме наВрз основа на горенаведеното размислување, излегува:

единствената придобивка што ја добивме од придружниот цртеж на коцката беше тоа што ни заштеди малку простор во објаснувањетоНУ нотации. Може да се прикаже исто толку лесно како телото на Сл. 4, јас, иако, очигледно, нешто што е претставено на него не само што не е коцка, туку и не е полиедар. А сепак, горенаведениот афоризам содржи само дел од вистината. На крајот на краиштата, пред да разговарамеприкажете готов доказ, мора да бидеразмислете. И за ова треба јасно да ја замислите дадената фигура, односите помеѓу нејзините елементи. Добриот цртеж помага да се развие таква идеја. Покрај тоа, како што ќе видиме, во стереометријата успешен цртеж можеможе да стане не само илустрација, туку основа за решавање на некој проблем.

Уметник (или подобро кажано, реалист уметник) наја црта нашата коцка онака како што ја гледаме (сл. 5, б), т.е. во перспектива или централнонема проекција. Со централна проекција од точката O (проекционен центар) на рамнината a,произволна точка X е претставена со точка X во која a ја сече правата линија OX (сл. 6). Централната проекција ја одржува исправносталинеарен распоред на точки, но, по правило, ги трансформира паралелните линии во пресецисе менува, а да не зборуваме за фактот дека ги менува растојанија и агли. Проучување на неговите својства водоведе до појава на важен дел од геометријата (види статија Проективна геометрија).

Но, во геометриските цртежи се користи различна проекција. Можеме да кажеме дека се добива од централната кога центарот O се оддалечува до бесконечност и правите OX стануваат paпаралелно.

Дозволете ни да избереме рамнина a и права l што ја сечат. Ајде да повлечеме права линија низ точката X, папаралелно л. Точката X во која оваа права се среќава со a е паралелна проекција на X на рамнината, a по правата линија l (сл. 7). Запроекцијата на фигурата се состои од проекциите на сите нејзини точки. Во геометријата, сликата на фигурата е нејзината паралелна проекција.

Поточно, сликата на права линијадали е права линија или (во исклучителни случаи)чај, кога линијата е паралелна со насоката на проекцијата) точка. Има паралела на сликата