Концептот на паралелни линии
Дефиниција 1
Паралелни линии– прави линии кои лежат во иста рамнина не се совпаѓаат и немаат заеднички точки.
Ако правите линии имаат заедничка точка, тогаш тие се вкрстуваат.
Ако сите точки се прави натпревар, тогаш во суштина имаме една права линија.
Ако линиите лежат во различни рамнини, тогаш условите за нивна паралелност се нешто поголеми.
Кога се разгледуваат прави линии на иста рамнина, може да се даде следнава дефиниција:
Дефиниција 2
Две линии во рамнината се нарекуваат паралелно, ако не се вкрстуваат.
Во математиката, паралелните прави обично се означуваат со знакот за паралелизам „$\паралелно$“. На пример, фактот дека линијата $c$ е паралелна со линијата $d$ е означена на следниов начин:
$c\паралелно d$.
Често се разгледува концептот на паралелни сегменти.
Дефиниција 3
Двата сегменти се нарекуваат паралелно, ако лежат на паралелни прави.
На пример, на сликата отсечките $AB$ и $CD$ се паралелни, бидејќи тие припаѓаат на паралелни линии:
$AB \паралелно CD$.
Во исто време, сегментите $MN$ и $AB$ или $MN$ и $CD$ не се паралелни. Овој факт може да се напише со користење на симболи како што следува:
$MN ∦ AB$ и $MN ∦ CD$.
На сличен начин се одредува паралелизмот на права линија и отсечка, права линија и зрак, отсечка и зрак или два зраци.
Историска референца
СО грчки јазикКонцептот на „паралелос“ се преведува како „во близина“ или „се држат еден до друг“. Овој термин се користел во античкото училиште на Питагора уште пред да се дефинираат паралелните линии. Според историски фактиЕвклид во $III$ век. п.н.е. неговите дела сепак го открија значењето на концептот на паралелни линии.
Во античко време, знакот за означување на паралелни линии имал поинаков изглед од она што го користиме модерна математика. На пример, старогрчкиот математичар Папус во $III$ век. АД Паралелизмот беше означен со користење на знакот за еднаквост. Оние. фактот дека правата $l$ е паралелна со правата $m$ претходно беше означена со „$l=m$“. Подоцна, познатиот знак „$\parallel$“ почна да се користи за означување на паралелизам на правите, а знакот за еднаквост почна да се користи за означување на еднаквост на броеви и изрази.
Паралелни линии во животот
Честопати не забележуваме дека во обичниот живот сме опкружени со огромен број паралелни линии. На пример, во музичка книга и збирка песни со ноти, персоналот е направен со помош на паралелни линии. Исто така паралелни линиипронајден во Музички Инструменти(на пример, жици од харфа, жици од гитара, клавирчиња од пијано итн.).
Паралелно се движат и електричните жици кои се наоѓаат покрај улиците и патиштата. Шини на метро линија и железницисе наоѓаат паралелно.
Покрај секојдневниот живот, паралелни линии може да се најдат и во сликарството, во архитектурата и во изградбата на згради.
Паралелни линии во архитектурата
На претставените слики, архитектонските структури содржат паралелни линии. Употребата на паралелни линии во градежништвото помага да се зголеми работниот век на таквите структури и им дава извонредна убавина, привлечност и величественост. И далноводите намерно се поставуваат паралелно за да се избегне нивно преминување или допирање, што би довело до краток спој, прекини и губење на електрична енергија. За да може возот слободно да се движи, шините се направени и во паралелни линии.
Во сликарството, паралелните линии се прикажани како споени во една линија или блиску до неа. Оваа техника се нарекува перспектива, која произлегува од илузијата на видот. Ако гледате во далечината долго време, паралелните прави линии ќе изгледаат како две конвергирани линии.
Тие не се вкрстуваат, без разлика колку долго се продолжуваат. Паралелизмот на прави линии во пишувањето се означува на следниов начин: АБ|| СОЕ
Можноста за постоење на такви линии се докажува со теоремата.
Теорема.
Преку која било точка земена надвор од дадена права, може да се повлече точка паралелна на оваа права.
Нека АБоваа права линија и СОнекоја точка извадена надвор од неа. Се бара тоа да се докаже преку СОможете да нацртате права линија паралелноАБ. Да го спуштиме на АБод точка СО нормалноСОДа потоа ќе спроведеме СОЕ^ СОД, што е можно. Директно C.E.паралелно АБ.
За да го докажеме ова, да го претпоставиме спротивното, т.е C.E.се вкрстува АБво одреден момент М. Потоа од точката Мдо права линија СОДби имале две различни перпендикулари МДИ ГОСПОЃИЦА, што е невозможно. Средства, C.E.не може да премине со АБ, т.е. СОЕпаралелно АБ.
Последица.
Две перпендикулари (ВЕИД.Б.) до една права линија (ВД) се паралелни.
Аксиома на паралелни прави.
Низ иста точка е невозможно да се повлечат две различни прави паралелни на иста права.
Значи, ако директно СОД, нацртана низ точката СОпаралелно со линијата АБ, потоа секоја друга линија СОЕ, извлечен низ истата точка СО, не може да биде паралелна АБ, т.е. таа е на продолжение ќе се вкрстатСо АБ.
Докажувањето на оваа не сосема очигледна вистина се покажува како невозможно. Тоа е прифатено без доказ, како неопходна претпоставка (postulatum).
Последици.
1. Ако директно(СОЕ) се вкрстува со еден од паралелно(НЕ), потоа се вкрстува со друга ( АБ), бидејќи во во спротивнониз истата точка СОќе има две различни прави кои поминуваат паралелно АБ, што е невозможно.
2. Ако секој од двата директно (АИБ) се паралелни со истата трета линија ( СО) , тогаш тие паралелномеѓу себе.
Навистина, ако го претпоставиме тоа АИ Бсе вкрстуваат во одреден момент М, тогаш би поминале две различни прави паралелни на оваа точка СО, што е невозможно.
Теорема.
Ако линијата е нормалнана една од паралелните прави, тогаш таа е нормална на другата паралелно.
Нека АБ || СОДИ Е.Ф. ^ АБ.Тоа се бара да се докаже Е.Ф. ^ СОД.
НормалноЕФ, вкрстувајќи се со АБ, сигурно ќе премине и СОД. Пресечната точка нека биде Х.
Сега да го претпоставиме тоа СОДне нормално на Е.Х.. Потоа некоја друга права линија, на пример Х.К., ќе биде нормално на Е.Х.и затоа преку истата точка Хќе има две директно паралелно АБ: еден СОД, по услов, а другото Х.К.како што е претходно докажано. Бидејќи тоа е невозможно, не може да се претпостави дека НЕне беше нормална на Е.Х..
1. Ако две прави се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни:
Ако а||вИ б||в, Тоа а||б.
2. Ако две прави се нормални на третата права, тогаш тие се паралелни:
Ако а⊥вИ б⊥в, Тоа а||б.
Останатите знаци на паралелизам на правите се засноваат на аглите формирани кога две прави линии се сечат со трета.
3. Ако збирот на внатрешните еднострани агли е 180°, тогаш правите се паралелни:
Ако ∠1 + ∠2 = 180°, тогаш а||б.
4. Ако соодветните агли се еднакви, тогаш правите се паралелни:
Ако ∠2 = ∠4, тогаш а||б.
5. Ако внатрешните попречни агли се еднакви, тогаш правите се паралелни:
Ако ∠1 = ∠3, тогаш а||б.
Својства на паралелни прави
Исказите инверзни на својствата на паралелните прави се нивните својства. Тие се засноваат на својствата на аглите, формирана од раскрсницатадве паралелни прави и трета права.
1. Кога две паралелни прави сечат трета права, збирот на внатрешните еднострани агли формирани од нив е еднаков на 180°:
Ако а||б, тогаш ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Кога две паралелни прави сечат трета права, соодветните агли формирани од нив се еднакви:
Ако а||б, тогаш ∠2 = ∠4.
3. Кога две паралелни прави сечат трета права, попречните агли што ги формираат се еднакви:
Ако а||б, тогаш ∠1 = ∠3.
Следното својство е посебен случај за секој претходен:
4. Ако правата на рамнината е нормална на една од двете паралелни прави, тогаш таа е нормална и на другата:
Ако а||бИ в⊥а, Тоа в⊥б.
Петтото својство е аксиома на паралелни прави:
5. Низ точка што не лежи на дадена права, може да се повлече само една права паралелна на дадената права.
Оваа статија е за паралелни линии и паралелни линии. Најпрвин е дадена дефиниција на паралелни прави на рамнина и во простор, се воведуваат нотации, се даваат примери и графички илустрации на паралелни прави. Следно, се дискутираат знаците и условите за паралелизам на правите. Како заклучок, прикажани се решенија на типични проблеми за докажување паралелизам на правите, кои се дадени со некои линиски равенки во правоаголен системкоординати на авион и во тридимензионален простор.
Навигација на страница.
Паралелни линии - основни информации.
Дефиниција.
Две линии во рамнината се нарекуваат паралелно, доколку немаат заеднички точки.
Дефиниција.
Се нарекуваат две линии во тродимензионален простор паралелно, ако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.
Забележете дека клаузулата „ако лежат во иста рамнина“ во дефиницијата за паралелни прави во просторот е многу важна. Да ја разјасниме оваа точка: две прави во тридимензионален простор кои немаат заеднички точки и не лежат во иста рамнина не се паралелни, туку се пресекуваат.
Еве неколку примери на паралелни прави. Спротивните рабови на листот на тетратката лежат на паралелни линии. Правите линии по кои рамнината на ѕидот на куќата ги пресекува рамнините на таванот и подот се паралелни. Железничките шини на рамен терен може да се сметаат и како паралелни линии.
За да означите паралелни линии, користете го симболот „“. Односно, ако правите a и b се паралелни, тогаш можеме накратко да напишеме a b.
Забележете: ако правите a и b се паралелни, тогаш можеме да кажеме дека правата a е паралелна со правата b, а исто така и дека правата b е паралелна на правата a.
Ајде да ја искажеме изјавата што игра важна улогапри проучување на паралелни прави на рамнина: низ точка што не лежи на дадена права, поминува една права паралелна на дадената. Овој исказ е прифатен како факт (не може да се докаже врз основа на познатите аксиоми на планиметријата), а се нарекува аксиома на паралелни прави.
За случајот во просторот важи теоремата: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права линија паралелна на дадената. Оваа теорема лесно се докажува со помош на горната аксиома на паралелни прави (нејзиниот доказ можете да го најдете во учебникот по геометрија за 10-11 одделение, кој е наведен на крајот од статијата во списокот на референци).
За случајот во просторот важи теоремата: низ која било точка во просторот што не лежи на дадена права, поминува една права линија паралелна на дадената. Оваа теорема може лесно да се докаже со помош на горната аксиома на паралелна линија.
Паралелизам на прави - знаци и услови на паралелизам.
Знак за паралелизам на линиитее доволна состојбапаралелизам на прави, односно услов чие исполнување гарантира паралелизам на правите. Со други зборови, исполнувањето на овој услов е доволно за да се утврди фактот дека линиите се паралелни.
Исто така, постојат неопходни и доволни услови за паралелизам на правите на рамнина и во тродимензионален простор.
Да го објасниме значењето на фразата „неопходен и доволен услов за паралелни линии“.
Веќе се занимававме со доволниот услов за паралелни линии. И што е „ неопходен условпаралелизам на линии“? Од името „неопходно“ е јасно дека исполнувањето на овој услов е неопходно за паралелни линии. Со други зборови, ако не е исполнет потребниот услов правата да бидат паралелни, тогаш правата не се паралелни. Така, неопходен и доволен услов за паралелни линиие услов чие исполнување е и неопходно и доволно за паралелни прави. Тоа е, од една страна, ова е знак за паралелизам на правите, а од друга страна, ова е својство што го имаат паралелните прави.
Пред да се формулира неопходен и доволен услов за паралелизам на правите, препорачливо е да се потсетиме на неколку помошни дефиниции.
Пресечна линијае права која ја сече секоја од двете дадени прави кои не се совпаѓаат.
Кога две прави линии се сечат со трансверзала, се формираат осум неразвиени. Во формулирањето на потребниот и доволен услов за паралелизам на правите, т.н лежи вкрстено, соодветноИ еднострани агли. Ајде да ги покажеме на цртежот.
Теорема.
Ако две прави во една рамнина се пресечени со трансверзала, тогаш за тие да бидат паралелни потребно е и доволно аглите што се пресекуваат да бидат еднакви, или соодветните агли се еднакви или збирот на едностраните агли да биде еднаков на 180 степени.
Дозволете ни да прикажеме графичка илустрација на овој неопходен и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина.
Доказите за овие услови за паралелизам на правите можете да ги најдете во учебниците по геометрија за 7-9 одделение.
Забележете дека овие услови може да се користат и во тродимензионален простор - главната работа е што двете прави линии и секантата лежат во иста рамнина.
Еве уште неколку теореми кои често се користат за докажување на паралелизмот на правите.
Теорема.
Ако две прави во рамнината се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за овој критериум произлегува од аксиомата на паралелни прави.
Постои слична состојбапаралелизам на прави во тридимензионален простор.
Теорема.
Ако две прави во просторот се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни. Доказот за овој критериум се дискутира на часовите по геометрија во 10-то одделение.
Да ги илустрираме наведените теореми.
Да претставиме уште една теорема која ни овозможува да ја докажеме паралелизмот на правите на рамнина.
Теорема.
Ако две прави во рамнината се нормални на трета права, тогаш тие се паралелни.
Постои слична теорема за правите во просторот.
Теорема.
Ако две прави во тродимензионалниот простор се нормални на иста рамнина, тогаш тие се паралелни.
Дозволете ни да нацртаме слики што одговараат на овие теореми.
Сите теореми, критериуми и неопходни и доволни услови формулирани погоре се одлични за докажување на паралелизам на правите со помош на методите на геометријата. Односно, за да ја докажете паралелноста на две дадени прави, треба да покажете дека тие се паралелни со трета права, или да ја покажете еднаквоста на вкрстените агли итн. Еден куп слични задачирешени на часови по геометрија во средно школо. Сепак, треба да се забележи дека во многу случаи е погодно да се користи методот на координати за да се докаже паралелизмот на линиите на рамнина или во тродимензионален простор. Дозволете ни да ги формулираме неопходните и доволни услови за паралелизам на правите што се наведени во правоаголен координатен систем.
Паралелизам на правите во правоаголен координатен систем.
Во овој став од статијата ќе формулираме неопходни и доволни услови за паралелни линииво правоаголен координатен систем, во зависност од видот на равенките што ги дефинираат овие прави линии, а ние исто така презентираме детални решенијакарактеристични задачи.
Да почнеме со условот за паралелизам на две прави на рамнина во правоаголниот координатен систем Окси. Неговиот доказ се заснова на дефиницијата за векторот на насоката на правата и дефиницијата на нормалниот вектор на правата на рамнината.
Теорема.
За две прави кои не се совпаѓаат да бидат паралелни во една рамнина, потребно е и доволно векторите на насоката на овие прави да бидат колинеарни, или нормалните вектори на овие прави се колинеарни, или векторот на насоката на една права е нормален на нормалата. вектор на втората линија.
Очигледно, условот за паралелизам на две прави на рамнина е намален на (вектори на правци или нормални вектори на прави) или на (вектор на насока на една права и нормален вектор на втората права). Така, ако и се вектори на насоката на правите a и b, и 
И 
се нормални вектори на правите a и b, соодветно, тогаш потребниот и доволен услов за паралелизам на правите a и b ќе се запише како 
, или 
, или , каде што t е некој реален број. За возврат, координатите на водичите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се наоѓаат со помош на познатите равенки на линии.
Конкретно, ако права линија a во правоаголниот координатен систем Oxy на рамнината дефинира општа права линија равенка на формата 
, и права линија b - 
, тогаш нормалните вектори на овие прави имаат координати и соодветно, а условот за паралелизам на правите a и b ќе се запише како .
Ако правата a одговара на равенката на правата со аголен коефициент на формата, и правата b -, тогаш нормалните вектори на овие прави имаат координати и, а условот за паралелизам на овие прави има форма 
. Следствено, ако линиите на рамнината во правоаголен координатен систем се паралелни и можат да се специфицираат со равенки на прави со аголни коефициенти, тогаш падиниправи линии ќе бидат еднакви. И обратно: ако несовпаѓачките линии на рамнина во правоаголен координатен систем може да се специфицираат со равенките на права со еднакви аголни коефициенти, тогаш таквите линии се паралелни.
Ако права a и права b во правоаголен координатен систем се определуваат со канонските равенки на права на рамнина од формата 
И 
, или параметарски равенки на права линија на рамнина на формата 
И 
соодветно, векторите на насоката на овие прави имаат координати и , а условот за паралелизам на правите a и b се запишува како .
Ајде да погледнеме решенија за неколку примери.
Пример.
Дали линиите се паралелни? 
И ?
Решение.
Дозволете ни да ја преработиме равенката на права линија во отсечки во форма општа равенкадиректно: 
. Сега можеме да видиме дека е нормалниот вектор на правата , a е нормален вектор на правата. Овие вектори не се колинеарни, бидејќи не постои таков реален бројт за кои еднаквоста ( 
). Следствено, не е задоволен нужниот и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина, па затоа дадените прави не се паралелни.
Одговор:
Не, линиите не се паралелни.
Пример.
Дали правите линии се паралелни?
Решение.
Ајде да дадеме канонска равенкаправа линија на равенката на права линија со аголен коефициент: . Очигледно, равенките на правите не се исти (во овој случај, дадените линии би биле исти) и аголните коефициенти на правите се еднакви, затоа, оригиналните линии се паралелни.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.