Написот зборува за концептот на права линија на рамнина. Ајде да ги погледнеме основните термини и нивните ознаки. Да работиме со релативната положба на права и точка и две прави на рамнина. Ајде да зборуваме за аксиоми. Конечно, ќе разговараме за методите и методите за дефинирање права линија на рамнина.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Права линија на авион - концепт
Прво треба да имате јасно разбирање за тоа што е авион. Секоја површина на нешто може да се класифицира како рамнина, само што се разликува од предметите по својата безгранична. Ако замислиме дека авионот е маса, тогаш во нашиот случај нема да има граници, туку ќе биде бескрајно огромен.
Ако ја допрете масата со молив, ќе остане ознака, која може да се нарече „точка“. Така, добиваме идеја за точка на авионот.
Да го разгледаме концептот на права линија на рамнина. Ако нацртате права линија на лист, таа ќе се појави на неа со ограничена должина. Не ја добивме целата права линија, туку само дел од неа, бидејќи всушност и нема крај, исто како авион. Затоа, прикажувањето на линии и рамнини во тетратката е формално.
Имаме аксиома:
Дефиниција 1
Точките може да се означат на секоја права линија и во секоја рамнина.
Точките се означени и со големи и со мали латински букви. На пример, A и D или a и d.
За точка и права се познати само две можни локации: точка на права, со други зборови, дека правата поминува низ неа или точка што не е на права, односно линијата не поминува низ неа.
За да покажете дали точката припаѓа на рамнина или точка на права, користете го знакот „∈“. Ако е даден условот точката A да лежи на правата a, тогаш таа ја има следната форма на пишување A ∈ a. Во случај кога точката А не припаѓа, тогаш друг запис A ∉ a.
Правична проценка:
Дефиниција 2
Низ кои било две точки лоцирани во која било рамнина, има една права линија што минува низ нив.
Оваа изјава се смета за акисома, и затоа не бара доказ. Ако го земете предвид ова сами, можете да видите дека со две постоечки точки има само една опција за нивно поврзување. Ако имаме две дадени точки A и B, тогаш правата што минува низ нив може да се повика со овие букви, на пример, линијата A B. Размислете за сликата подолу.
Права линија која се наоѓа на рамнина има голем број точки. Еве од каде потекнува аксиомата:
Дефиниција 3
Ако две точки од правата лежат во рамнина, тогаш сите други точки од оваа права припаѓаат на рамнината.
Се нарекува множеството точки лоцирани помеѓу две дадени точки прав сегмент.Има почеток и крај. Воведена е ознака со две букви.
Ако се даде дека точките A и P се краеви на отсечка, тогаш неговото означување ќе има форма P A или A P. Бидејќи ознаките на отсечката и правата се совпаѓаат, се препорачува да се додадат или завршат зборовите „сегмент ", "права линија".
Стенографската нотација за членство вклучува употреба на знаците ∈ и ∉. За да ја поправите локацијата на сегмент во однос на дадена линија, користете ⊂. Ако условот вели дека отсечката A P припаѓа на правата b, тогаш записот ќе изгледа вака: A P ⊂ b.
Настанува случај кога три точки истовремено припаѓаат на една линија. Ова е точно кога една точка лежи помеѓу две други. Оваа изјава се смета за аксиома. Ако се дадени точките A, B, C, кои припаѓаат на иста права, а точката B лежи помеѓу A и C, следува дека сите дадени точки лежат на иста права, бидејќи лежат од двете страни на точката B.
Точката ја дели правата на два дела, наречени зраци. Имаме аксиома:
Дефиниција 4
Секоја точка О лоцирана на права линија ја дели на два зраци, при што било кои две точки од еден зрак лежат на едната страна од зракот во однос на точката О, а други на другата страна на зракот.
Распоредот на прави линии на рамнина може да има форма на две состојби.
Дефиниција 5
се совпаѓаат.
Оваа можност се појавува кога правите линии имаат заеднички точки. Врз основа на аксиомата напишана погоре, имаме дека права линија минува низ две точки и само една. Ова значи дека кога 2 прави линии минуваат низ дадени 2 точки, тие се совпаѓаат.
Дефиниција 6
Две прави линии на авион може крстот.
Овој случај покажува дека постои една заедничка точка, која се нарекува пресек на линии. Пресекот е означен со знакот ∩. Ако постои нотација од a ∩ b = M, тогаш следува дека дадените прави a и b се сечат во точката M.
Кога права линии се сечат, ние се занимаваме со добиениот агол. Делот каде прави линии се сечат на рамнина за да формираат агол од 90 степени, односно прав агол, е предмет на посебно разгледување. Тогаш правите се нарекуваат нормални.Формата на запишување две нормални прави е следна: a ⊥ b, што значи дека правата a е нормална на правата b.
Дефиниција 7
Две прави линии на рамнина можат да бидат паралелно.
Само ако две дадени прави немаат заеднички пресеци, а со тоа и точки, тие се паралелни. Се користи нотација што може да се напише за даден паралелизам на правите a и b: a ∥ b.
Правата линија на рамнината се разгледува заедно со вектори. Особено значење се придава на нула вектори кои лежат на дадена права или на која било од паралелните прави; тие се нарекуваат вектори на насока на правата. Размислете за сликата подолу.
Векторите кои не се нула лоцирани на прави нормални на дадена инаку се нарекуваат нормални линиски вектори. Во написот има детален опис на нормалниот вектор на линија на рамнина. Размислете за сликата подолу.
Ако има 3 линии на авион, нивната локација може да биде многу различна. Постојат неколку опции за нивната локација: пресек на сите, паралелизам или присуство на различни пресечни точки. Сликата го прикажува нормалното пресекување на две прави во однос на една.
За да го направите ова, ги презентираме потребните фактори кои ја докажуваат нивната релативна положба:
- ако две прави се паралелни на трета, тогаш сите се паралелни;
- ако две прави се нормални на трета, тогаш овие две прави се паралелни;
- Ако на рамнина права линија пресекува една паралелна права, тогаш таа ќе пресече и друга.
Ајде да го погледнеме ова на сликите.
Права линија на рамнина може да се одреди на неколку начини. Се зависи од условите на проблемот и од тоа на што ќе се заснова неговото решение. Ова знаење може да помогне за практично распоредување на прави линии.
Дефиниција 8
Правата линија се дефинира со помош на наведените две точки лоцирани во рамнината.
Од разгледаната аксиома произлегува дека преку две точки е можно да се повлече права линија и, згора на тоа, само една единствена. Кога правоаголен координатен систем ги одредува координатите на две дивергентни точки, тогаш е можно да се поправи равенката на права линија што минува низ двете дадени точки. Размислете за цртеж каде што имаме права што минува низ две точки. 
Дефиниција 9
Правата линија може да се дефинира низ точка и права на која е паралелна.
Овој метод постои затоа што преку точка е можно да се повлече права линија паралелна на дадена и само една. Доказот е веќе познат од училишен курс по геометрија.
Ако правата е дадена во однос на Декартов координатен систем, тогаш е можно да се конструира равенка за права што минува низ дадена точка паралелна на дадена права. Да го разгледаме принципот на дефинирање права линија на рамнина.
Дефиниција 10
Правата линија се одредува преку наведената точка и векторот на насоката.
Кога права линија е наведена во правоаголен координатен систем, можно е да се состават канонски и параметарски равенки на рамнината. Да ја разгледаме на сликата локацијата на правата линија во присуство на вектор на насока.
Четвртата точка во одредувањето права линија има смисла кога се означени точката низ која треба да се повлече и правата нормална на неа. Од аксиомата имаме:
Дефиниција 11
Низ дадена точка лоцирана на рамнина ќе помине само една права, нормална на дадената.
И на последната точка поврзана со одредување права на рамнина е дадена наведената точка низ која минува правата, и во присуство на нормален вектор на правата. Со оглед на познатите координати на точка лоцирана на дадена права и координатите на нормалниот вектор, можно е да се запише општата равенка на правата.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во оваа статија детално ќе се задржиме на еден од основните концепти на геометријата - концептот на права линија на рамнина. Прво, да ги дефинираме основните термини и ознаки. Следно, ќе разговараме за релативната положба на права и точка, како и две прави на рамнина и ќе ги претставиме потребните аксиоми. Како заклучок, ќе разгледаме начини за дефинирање на права линија на рамнина и ќе обезбедиме графички илустрации.
Навигација на страница.
Правата линија на авион е концепт.
Пред да го дадете концептот на права линија на авион, треба јасно да разберете што е рамнина. Концепт на авионви овозможува да добиете, на пример, рамна површина на маса или ѕид дома. Сепак, треба да се има на ум дека димензиите на табелата се ограничени, а рамнината се протега надвор од овие граници до бесконечност (како да имаме произволно голема маса).
Ако земеме добро наострен молив и го допреме неговиот врв на површината на „масата“, ќе добиеме слика на точка. Вака добиваме претставување на точка на рамнина.
Сега можете да продолжите на концептот на права линија на рамнина.
Ставете лист чиста хартија на површината на масата (на рамнина). За да нацртаме права линија, треба да земеме линијар и да нацртаме линија со молив онолку колку што ни дозволува големината на линијарот и листот хартија што го користиме. Треба да се напомене дека на овој начин ќе добиеме само дел од линијата. Можеме само да замислиме цела права линија која се протега во бесконечност.
Релативната положба на права линија и точка.
Треба да почнеме со аксиомата: на секоја права линија и во секоја рамнина има точки.
Точките обично се означуваат со големи латински букви, на пример, точките А и Ф. За возврат, прави линии се означени со мали латински букви, на пример, прави линии a и d.
Можно две опции за релативна положба на права и точка на рамнина: или точката лежи на правата (во овој случај се вели и дека правата минува низ точката), или точката не лежи на правата (исто така се вели дека точката не припаѓа на правата или на линијата не поминува низ точката).
За да покажете дека точката припаѓа на одредена линија, користете го симболот „“. На пример, ако точката А лежи на линијата a, тогаш можеме да напишеме . Ако точката А не припаѓа на правата a, тогаш запишете .
Следното тврдење е точно: има само една права линија што минува низ која било две точки.
Оваа изјава е аксиома и треба да се прифати како факт. Покрај тоа, ова е сосема очигледно: означуваме две точки на хартија, нанесуваме линијар на нив и цртаме права линија. Права линија што минува низ две дадени точки (на пример, низ точките А и Б) може да се означи со овие две букви (во нашиот случај, права линија AB или BA).
Треба да се разбере дека на права линија дефинирана на рамнина има бесконечно многу различни точки, и сите овие точки лежат во иста рамнина. Оваа изјава е утврдена со аксиомата: ако две точки од правата лежат во одредена рамнина, тогаш сите точки од оваа права лежат во оваа рамнина.
Се вика множеството од сите точки лоцирани помеѓу две точки дадени на права, заедно со овие точки права линија сегментили едноставно сегмент. Точките што го ограничуваат сегментот се нарекуваат краеви на отсечката. Сегмент се означува со две букви што одговараат на крајните точки на отсечката. На пример, нека точките A и B се краеви на отсечка, тогаш оваа отсечка може да биде означена AB или BA. Ве молиме имајте предвид дека оваа ознака за сегмент се совпаѓа со ознаката за права линија. За да се избегне забуна, препорачуваме да го додадете зборот „сегмент“ или „право“ на ознаката.
За накратко снимање дали одредена точка припаѓа или не припаѓа на одреден сегмент, се користат истите симболи. За да покажете дека одреден сегмент лежи или не лежи на линија, користете ги симболите и, соодветно. На пример, ако сегментот AB припаѓа на линијата a, можете накратко да напишете .
Треба да се задржиме и на случајот кога три различни точки припаѓаат на иста линија. Во овој случај, една, и само една точка, лежи помеѓу другите две. Оваа изјава е уште една аксиома. Нека точките A, B и C лежат на иста права, а точката B лежи помеѓу точките A и C. Тогаш можеме да кажеме дека точките А и Ц се на спротивните страни на точката Б. Можеме да кажеме и дека точките B и C лежат на истата страна од точката A, а точките A и B лежат на истата страна од точката C.
За да ја комплетираме сликата, забележуваме дека која било точка на линијата ја дели оваа линија на два дела - два зрак. За овој случај, дадена е аксиома: произволна точка О, која припаѓа на права, ја дели оваа права на два зраци, и кои било две точки од еден зрак лежат на истата страна од точката О, и кои било две точки од различни зраци. лежат на спротивните страни од точката О.
Релативната положба на линиите на рамнина.
Сега да одговориме на прашањето: „Како може две прави линии да се лоцираат на рамнина релативно една на друга?
Прво, две прави линии на авион може се совпаѓаат.
Ова е можно кога линиите имаат најмалку две заеднички точки. Навистина, врз основа на аксиомата наведена во претходниот пасус, има само една права линија што минува низ две точки. Со други зборови, ако две прави минуваат низ две дадени точки, тогаш тие се совпаѓаат.
Второ, две прави линии на авион може крстот.
Во овој случај, линиите имаат една заедничка точка, која се нарекува точка на пресек на линиите. Пресекот на правите се означува со симболот „“, на пример, записот значи дека линиите a и b се сечат во точката М. Пресечните линии нè водат до концептот на агол помеѓу линиите што се сечат. Одделно, вреди да се разгледа локацијата на прави линии на рамнина кога аголот меѓу нив е деведесет степени. Во овој случај, линиите се нарекуваат нормално(ја препорачуваме статијата нормални линии, перпендикуларност на линии). Ако правата a е нормална на правата b, тогаш може да се користи кратка нотација.
Трето, две прави линии на рамнина можат да бидат паралелни.
Од практична гледна точка, погодно е да се разгледа права линија на рамнина заедно со вектори. Од особена важност се ненула вектори кои лежат на дадена права или на некоја од паралелните прави; тие се нарекуваат насочувачки вектори на права линија. Статијата Упатување вектор на права линија на рамнина дава примери за насочување вектори и прикажува опции за нивна употреба при решавање проблеми.
Треба да обрнете внимание и на вектори кои не се нула што лежат на која било од правата нормални на оваа. Таквите вектори се нарекуваат вектори на нормална линија. Употребата на вектори на нормална линија е опишана во написот вектор на нормална линија на рамнина.
Кога се дадени три или повеќе прави линии на рамнина, се појавуваат многу различни опции за нивните релативни позиции. Сите линии можат да бидат паралелни, инаку некои или сите се сечат. Во овој случај, сите линии може да се сечат во една точка (видете ја статијата за куп линии), или може да имаат различни точки на пресек.
Нема да се задржуваме на ова детално, туку без доказ ќе прикажеме неколку извонредни и многу често користени факти:
- ако две прави се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни една со друга;
- ако две прави се нормални на трета линија, тогаш тие се паралелни една со друга;
- Ако одредена права на рамнина пресекува една од двете паралелни прави, тогаш ја пресекува и втората права.
Методи за дефинирање права линија на рамнина.
Сега ќе ги наведеме главните начини на кои можете да дефинирате одредена права линија на рамнина. Ова знаење е многу корисно од практична гледна точка, бидејќи на него се заснова решението на многу примери и проблеми.
Прво, права линија може да се дефинира со одредување на две точки на рамнината.
Навистина, од аксиомата дискутирана во првиот став од овој член, знаеме дека права линија поминува низ две точки, и тоа само една.
Ако координатите на две дивергентни точки се означени во правоаголен координатен систем на рамнина, тогаш е можно да се запише равенката на права линија што минува низ две дадени точки.
Второ, правата може да се определи со одредување на точката низ која минува и правата до која е паралелна. Овој метод е фер, бидејќи низ дадена точка на рамнината поминува една права линија паралелна на дадена права линија. Доказот за овој факт беше спроведен на часовите по геометрија во средно училиште.
Ако правата линија на рамнината е дефинирана на овој начин во однос на воведениот правоаголен Декартов координатен систем, тогаш е можно да се состави неговата равенка. Ова е напишано во членската равенка на права што минува низ дадена точка паралелна на дадена права.
Трето, права линија може да се специфицира со одредување на точката низ која минува и нејзиниот векторот на насоката.
Ако на овој начин е дадена права линија во правоаголен координатен систем, тогаш лесно е да се конструира нејзината канонска равенка на права линија на рамнина и параметарски равенки на права линија на рамнина.
Четвртиот начин да се определи права е да се означи точката низ која минува и правата на која е нормална. Навистина, низ дадена точка на рамнината поминува една права линија нормална на дадената права линија. Да го оставиме овој факт без доказ.
Конечно, правата во рамнината може да се определи со одредување на точката низ која минува и нормалниот вектор на правата.
Ако се познати координатите на точка што лежи на дадена права и координатите на нормалниот вектор на правата, тогаш можно е да се запише општата равенка на правата.
Библиографија.
- Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позњак Е.Г., Јудина И.И. Геометрија. Одделение 7 – 9: учебник за општообразовни институции.
- Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение од средно училиште.
- Бугров Ја.С., Николски С.М. Виша математика. Том прв: елементи на линеарна алгебра и аналитичка геометрија.
- Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.
Авторско право од паметни студенти
Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од www.site, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.
Постојат три опции за релативна положба на две прави во просторот: линиите можат да бидат пресечни, паралелни и вкрстени.
3.1 Пресечни линии
Две различни прави се нарекуваат пресечни ако имаат заедничка точка. Точката на пресек е единствена: ако две прави имаат две заеднички точки, тогаш тие се совпаѓаат.
Пресечните линии се прикажани на сл. 19 . Правилата a и b, како што гледаме, се сечат во точката А.
Ориз. 19. Пресечни линии
Забележете дека има една рамнина што минува низ двете линии што се пресекуваат. Ова е исто така прикажано на сл. 19: една рамнина минува низ линиите a и b.
Прашање. Правата a ја пресекува правата b, правата b ја пресекува правата c. Дали е точно дека правите a и c се сечат?
3.2 Паралелни линии
Уште од седмо одделение, се сеќавате дека ¾паралелни прави се оние што не се сечат¿. Во просторот, сепак, за линиите да бидат паралелни, потребен е еден дополнителен услов.
Дефиниција. Две прави во просторот се нарекуваат паралелни ако лежат во иста рамнина и не се сечат.
Така, покрај ¾не-пресекот¿, потребно е линиите да лежат во иста рамнина. На сл. 20 покажува паралелни прави a и b; низ нив минува (еден) авион.
Ориз. 20. Паралелни прави
Паралелизмот има важно својство на транзитивност. Имено, за три различни прави a, b и c важи следново:
a k b и b k в) a k c
(две различни прави паралелни на трета права се паралелни една со друга).
3.3 Преминување линии
Ако две прави се сечат или се паралелни, тогаш, како што видовме, може да се повлече рамнина низ нив (и, згора на тоа, единствената). Меѓутоа, во вселената, генерално е невозможно да се нацрта рамнина низ две прави линии.
Дефиниција. Две прави се нарекуваат коси ако не се ниту паралелни, ниту се пресекуваат.
Еквивалентна дефиниција е оваа: две линии се нарекуваат искривени ако не лежат во иста рамнина.
На сл. 21 ги прикажува линиите на вкрстување a и b.
б
Ориз. 21. Преминување линии
Важен факт е дека две паралелни рамнини може да се нацртаат низ две линии кои се пресекуваат. Имено, ако правата a и b се сечат, тогаш постои единствен пар рамнини и такви што a, b и k. Ова е прикажано на слика 21.
Сите три разгледувани опции за релативно распоред на прави линии може да се видат во триаголната призма ABCA1 B1 C1 (сл. 22).
Ориз. 22. Релативната положба на две прави
Имено, правата AB и BC се сечат (лева слика); линиите BC и B1 C1 се паралелни (слика во центарот); права линии AB и B1 C1 се сечат (десна слика).
4 Рамнините се нарекуваат паралелни ако немаат заеднички точки.
Па, според аксомата на паралелни прави... на крајот на краиштата, овие прави се наоѓаат во паралелни рамниниТочно, затоа што две рамнини се нарекуваат паралелни ако не се сечат. Ова значи дека овие рамнини немаат единствена заедничка точка, туку линиите лежат во овие рамнини, што значи дека тие не можат да имаат заеднички точки.
Слични задачи:
Точка која лежи во една од рамнините што се сечат е оддалечена 6 cm од втората рамнина и 12 cm од линијата на нивното вкрстување.Пресметај го аголот меѓу рамнините.
Дадени точки M(3;0;-1), K(1;3;0), P(4;-1;2). Најдете на оската Отаква точка Ана вектори МКИ РАбеа нормални.
Двете темиња на рамностран триаголник се наоѓаат во рамнината алфа. Агол помеѓу рамнината алфаа рамнината на овој триаголник е еднаква на фи.Страната на триаголникот е еднаква на м.Пресметајте:
1) растојанието од третото теме на триаголникот до рамнината алфа;
2) област на проекција на триаголникот на рамнината алфа.