Нека се даде авион и точка што не лежи на неа:
Нормална испуштена од дадена точка на дадена рамнина е отсечка што поврзува дадена точка со точка на рамнината и лежи на права линија нормална на рамнината;
- крајот на овој сегмент што лежи во рамнината се нарекува основа на нормалната;
- растојанието од точка до рамнина е должината на нормалната извлечена од оваа точка до рамнината;
Наклонета линија нацртана од дадена точка до дадена рамнина е секоја отсечка што поврзува дадена точка со точка на рамнината што не е нормална на рамнината;
- крајот на сегментот што лежи во рамнината се нарекува наклонета основа;
Отсечка што ги поврзува основите на нормална и кос извлечена од иста точка се нарекува коси проекција.
На сликата, од точката А, на рамнината се нацртани нормални AB и наклонети AC. Точката B е основата на нормалната, точката C е основата на наклонетата, BC е проекцијата на наклонетата AC на рамнината.
Три перпендикуларни теорема:
Ако права линија нацртана на рамнина низ наклонета основа, нормално на него проекции, тогаш тоа е нормално наклонети. И обратно: Ако права линија во рамнина е нормална на наклонета, тогаш таа е нормална и коси проекција.
Две рамнини што се пресекуваат се нарекуваат нормални ако третата рамнина, нормална на линијата на пресек на овие рамнини, ги пресекува по нормални линии.
Пример #1
Права линија се повлекува низ центарот на круг впишан во триаголник, нормално на рамнината на триаголникот. Докажете дека секоја точка на оваа права е еднакво оддалечена од страните на триаголникот.
Нека A, B, C се точките на допир на страните на триаголникот со кругот, O е центарот на кружницата и S е точката на нормалната. Бидејќи радиусот OA е нормален на страната на триаголникот, тогаш, според теоремата за три нормални, отсечката SA е нормална на оваа страна, а нејзината должина е растојанието од точката S до страната на триаголникот. Според Питагоровата теорема, SA=, каде r е радиусот на впишаната кружница. Слично наоѓаме: 
, т.е. сите растојанија од точката S до страните на триаголникот се еднакви.
Контролни прашања:
- Што е нормално испуштено од дадена точка на рамнина?
- Што е коси проекција?
Практичен дел:
1. Дадена е права а и рамнина. Нацртајте низ права рамнина нормална на рамнината.
2. Докажи дека ако правата е паралелна на рамнината, тогаш сите нејзини точки се на исто растојание од рамнината.
3. Две наклонети се извлекуваат од точка до рамнина, од кои едната е 20 cm поголема од другата. Наклонетите проекции се 10 cm и 30 cm Најди ги наклонетите.
4. Страната на квадратот е 4 cm Точката еднакво оддалечена од сите темиња на квадратот е на растојание од 6 cm од точката на пресек на неговите дијагонали. Најдете го растојанието од оваа точка до темињата на квадратот.
5. Од точка до рамнина се исцртуваат две наклонети косини еднакви на 10 cm и 17 cm Разликата во проекциите на овие наклонети е 9 cm Најди ги проекциите на наклонетите.
6. Две наклонети косини се исцртани од точка до рамнина, еднакви на 23 cm и 33 cm. Најдете го растојанието од оваа точка до рамнината ако проекциите на наклонетите се во однос 2:3.
8. Правата a е нормална на рамнината ABC. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. Најдете MC.
9. Катетите на правоаголен триаголник ABC (C = 90°) се еднакви на 4 cm и 3 cm Точката M се наоѓа на растојание од √6 cm од рамнината на триаголникот ABC и на исто растојание од сите негови темиња. Најдете го растојанието од точката М до темињата на триаголникот.
Литература:
1. Математика: учебник за институции почеток. и среда проф. образование / М.И. Башмаков. – М.: Издавачки центар „Академија“, 2010 г.
Самостојна работа бр.5.
Решавање проблеми кои вклучуваат броење на бројот на сместувања и пермутации.
Цел на лекцијата: да се совладаат методите за решавање проблеми кои вклучуваат пресметување на бројот на примероци
Теоретски дел:
Комбинаториката е дел од математиката кој е посветен на решавање на задачи на избор и подредување на елементи од одредено конечно множество во согласност со дадените правила, т.е. комбинаториката го решава проблемот со избор на елементи од конечно множество и распоредување на овие елементи по одреден редослед.
Распоредот на n - елементи по m - елементи () се комбинации составени од дадени n - елементи по m - елементи кои се разликуваат едни од други или по самите елементи или по редоследот на елементите.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Пример бр. 1. Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 1...9?
Пермутациите на n - елементи се бројот на сместувања на овие n - елементи по n - елементи.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Пример бр. 2. На колку начини може да се подредат 5 книги на полица?
Комбинации на n - елементи по m - елементи се комбинации составени од дадени n - елементи по m - елементи кои се разликуваат едни од други за најмалку еден елемент.
Пример бр. 3. Во група има 30 ученици. За да го положат тестот, тие мора да се поделат во три групи. На колку начини може да се направи ова?
Контролни прашања:
1. Наведете ги целите на комбинаториката.
2. Како се нарекува бројот на комбинации на n елементи од m?
3. Како се вика бројот на сместувања на n елементи во m?
4. Што се нарекува пермутација на n елементи?
Практичен дел:
1. На колку начини група од 25 луѓе може да испрати 4 студенти на научна и практична конференција?
2. Десет ученици се ракуваа. Колку ракувања имаше?
3. На колку начини може да се направи знаме со три бои од седум парчиња материјал со различни бои?
4. Колку речници треба да се објават за да може да се преведе од кој било од петте јазици на кој било од нив?
5. Пресметајте:
6. Пресметајте:
7. Пресметај: 5! + 6!
8. Најдете го бројот на распореди на 10 елементи од 4.
9. Пресметајте:
10. Триесет студенти разменија фотографии. Колку фотографии имаше вкупно?
11. На колку начини може да се изберат тројца од осум кандидати за три позиции?
12. Реши ја равенката:
13. Пресметај ја вредноста на изразот:
14. Пресметај ја вредноста на изразот.
5. Паралелни линии
Се нарекуваат две прави линии паралелно, ако, се во иста рамнина, тие не се сечат.
Паралелизмот на правите се означува со знакот || (на пример AB||CD).
Теорема. Две нормални на иста права се паралелни.
Доказ: Ако перпендикуларите се сечат во одредена точка, тогаш две нормални би биле повлечени од оваа точка на права линија, што е невозможно.
Имиња на агли добиени кога две прави се сечат со трета
Знаци на паралелизам.
Ако, кога две прави се сечат со трета права:
сите соодветни агли се еднакви,
или некои попречни агли се еднакви,
или збирот на кои било два внатрешни или два надворешни еднострани агли е еднаков на 180 степени,
тогаш двете прави се паралелни.
Аксиома на паралелни прави.
Низ иста точка е невозможно да се повлечат две различни прави паралелни на иста права.Заклучок 1. Ако правата пресекува една од паралелните прави, тогаш ја пресекува и другата.
Заклучок 2. Две прави паралелни на трета се паралелни.
Агли со соодветно паралелни или нормални страни.
Теорема. Ако страните на еден агол се соодветно паралелни со страните на друг агол, тогаш таквите агли се или еднакви или се собираат до два прави агли.
Теорема. Ако страните на еден агол се соодветно нормални на страните на друг агол, тогаш таквите агли се или еднакви или се собираат до два прави агли.
Збирот на аглите на триаголник и многуаголник.
Теорема. Збирот на аглите на триаголникот е еднаков на два прави агли.
Последици
:1. Секој надворешен агол на триаголник е еднаков на збирот на два внатрешни агли.
2. Ако два агли на еден триаголник се еднакви на два агли на друг триаголник, тогаш и третите агли се еднакви.
3. Збирот на два остри агли на правоаголен триаголник е еднаков на прав агол.
Теорема. Збир на агли
n-gon е 180*(n-2) степени.Теорема. Збирот на надворешните агли на многуаголникот е еднаков на четири прави агли.
2. Дадени се две прави што се сечат во точката C. Дали некоја трета права лежи со нив во иста рамнина и има заедничка точка со секоја од овие прави?
3.
4. Растојанието помеѓу две паралелни рамнини е 8 cm Правилен сегмент, чија должина е 17 cm, се наоѓа меѓу нив така што неговите краеви припаѓаат на рамнините. Најдете ја проекцијата на овој сегмент на секоја од рамнините.
5. Дополни ја реченицата за да го направиш точниот исказ:
Г) не знам
6. Правилата a и b се нормални. Точките A и B припаѓаат на правата а, точките C и D припаѓаат на правата линија b. Дали правите линии AC и BD лежат во иста рамнина?
7. Во коцката ABCDA1B1C1D1 се нацртани дијагоналите на лицата AC и B1D1. која е нивната релативна положба?
8. Работ на коцката ABCDA1B1C1D1 е еднаков на m. Најдете го растојанието помеѓу правите линии AB и CC1.
А) 2м Б) 1/2м В) м Г) Не знам
9. Определете дали изјавата е вистинита:
А) да Б) не В) не секогаш Г) не знам
10. Во коцката ABCDA1B1C1D1 пронајдете го аголот помеѓу рамнините BCD и ВСС1В1.
А) 90° Б) 45° С) 0° Г) 60°
11. Дали има призма со само едно странично лице нормално на основата?
А) да Б) не В) Не знам
12. Дали дијагоналата на правоаголен паралелепипед може да биде помала од неговиот страничен раб?
А) да Б) не В) Не знам
13. Колку изнесува страничната површина на коцка со раб 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Колкава е вкупната површина на коцката ако нејзината дијагонала е d?
А) 2d2 Б) 6d2 Б) 3d2 Г) 4d2
15. Колку рамнини на симетрија има една правилна четириаголна пирамида?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Кој е аксијалниот пресек на која било редовна пирамида?
А) рамностран триаголник
Б) правоаголник
Б) трапезоид
Г) рамнокрак триаголник
ве молам помогни ми да го решам тестот1. Колку заеднички прави може да имаат две различни рамнини кои не се совпаѓаат?
А) 1 Б) 2 В) бесконечен број на Г) ниту еден Д) Не знам
2. Дадени се две прави што се сечат во точката C. Дали некоја трета права лежи со нив во иста рамнина и има заедничка точка со секоја од овие прави?
А) секогаш да Б) секогаш не В) лаже, но не секогаш Г) Не знам
3. Определи дали изјавата е вистинита:
Две рамнини се паралелни ако се паралелни на иста права.
А) да Б) не В) не знам Г) не секогаш
4. Растојанието помеѓу две паралелни рамнини е 8 cm Права отсечка чија должина е 17 cm се наоѓа меѓу нив така што нејзините краеви припаѓаат на рамнините. Најдете ја проекцијата на овој сегмент на секоја од рамнините.
А) 15 см Б) 9 см В) 25 см Г) не знам
5. Дополни ја фразата за да ја дадеш точната изјава:
Ако права линија која лежи во една од двете нормални рамнини е нормална на нивната линија на пресек, тогаш тоа ...
А) паралелно со друга рамнина
Б) се вкрстува со друга рамнина
Б) нормално на друга рамнина
Г) не знам
6. Правилата a и b се нормални. Точките A и B припаѓаат на правата а, точките C и D припаѓаат на правата линија b. Дали правите линии AC и BD лежат во иста рамнина?
А) да Б) не В) не секогаш Г) не знам
7. Во коцката ABCDA1B1C1D1 се нацртани дијагоналите на лицата AC и B1D1. која е нивната релативна положба?
А) се сечат Б) се сечат В) паралелно Г) не знам
8. Работ на коцката ABCDA1B1C1D1 е еднаков на m. Најдете го растојанието помеѓу правите линии AB и CC1.
А) 2м Б) Б) м Г) Не знам
9. Определи дали изјавата е вистинита:
Ако две прави прави еднакви агли со иста рамнина, тогаш тие се паралелни.
А) да Б) не В) не секогаш Г) не знам
10. Во коцката ABCDA1B1C1D1, најди го аголот помеѓу рамнините BCD и ВСС1В1.
А) 90 Б) 45 В) 0 Г) 60
11. Дали има призма со само едно странично лице нормално на основата?
А) да Б) не В) Не знам
12. Дали дијагоналата на правоаголен паралелепипед може да биде помала од неговиот страничен раб?
А) да Б) не В) Не знам
13. Колку изнесува плоштината на страничната површина на коцка со раб 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Колку изнесува вкупната површина на коцката ако нејзината дијагонала е d?
А) 2d2 Б) 6d2 Б) 3d2 Г) 4d2
15. Колку рамнини на симетрија има една правилна четириаголна пирамида?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Кој е аксијалниот пресек на која било правилна пирамида?
А) рамностран триаголник
Б) правоаголник
Б) трапезоид
Г) рамнокрак триаголник
точки кои не лежат на иста линија?
2. Дали две различни рамнини можат да имаат само две заеднички точки?
Директно а иб се сечат во точка М.Права c која не минува низ точката М ги сече правите АИ б. Дали сите овие три линии лежат во иста рамнина? Која е релативната положба на линиите: 1) А 1 Д И МН; 2) А 1 Д И V 1C; 3) МН И А 1Б1(сл. 1). Директно АИ б вкрстени со права линија Со.Може директно АИ б да биде паралелен? Две прави се паралелни на иста рамнина. Можеме ли да кажеме дека овие линии се паралелни една со друга? Ако не, каква е нивната релативна положба? На слика 2 има прави линии тип паралелно. Поени АИ ВОсоодветно припаѓаат на директен тип; б лежи во авион α, а\\б. Која е релативната положба на правите b и c? Даден е четириаголник А БЕ ЦЕ ДЕ и авион α. Неговите дијагонали ACИ БД паралелно со авионот α. Каков е меѓусебниот став АБи авиони α? Авиони α и β се паралелни. Се вкрстуваат во точка Мдиректно АИ б ја пресекуваат рамнината α соодветно на точките ВОИ А,и рамнината β - на точките ЕИ ФНајдете став
10. Плошност α минува низ дијагоналата на основата на паралелепипедот и средината на една од страните на горната основа. Одредете го типот на делот.