Позитивни пентагоне многуаголник во кој сите пет страни и сите пет агли се еднакви една со друга. Лесно е да се нацрта круг околу него. Ерекција пентагони токму овој круг ќе помогне.
Инструкции
1. Пред сè, треба да изградите круг со компас. Нека центарот на кругот се совпаѓа со точката O. Нацртајте ги оските на симетрија нормално една на друга. На местото на пресекот на една од овие оски со кругот, поставете точка V. Оваа точка ќе биде врвот на иднината пентагонА. Поставете ја точката D во точката каде што другата оска ја пресекува кругот.
2. На отсечката OD, пронајдете ја средината и означете ја точката А во неа. По ова, треба да конструирате круг со компас со центар во оваа точка. Покрај тоа, мора да помине низ точката V, односно со радиус CV. Означете ја точката на пресек на оската на симетрија и оваа кружница како B.
3. Подоцна, користејќи компаснацртајте круг со ист радиус, ставајќи ја иглата во точката V. Означете го пресекот на оваа кружница со првобитната како точка F. Оваа точка ќе стане второто теме на идната вистина пентагонА.
4. Сега треба да го нацртате истиот круг низ точката E, но со центар во F. Означете го пресекот на кругот што штотуку го нацртавте со оригиналниот како точка G. Оваа точка исто така ќе стане уште едно од темињата пентагонА. Слично на тоа, треба да изградите друг круг. Нејзиниот центар е G. Нека пресечната точка со првобитната кружница е H. Ова е последното теме на правилен многуаголник.
5. Сега треба да имате пет темиња. Останува лесно да ги комбинирате по линијата. Како резултат на сите овие операции, ќе добиете позитивен впишан во кругот пентагон .
Градење позитивно пентагонидозволено со поддршка на компас и линијар. Точно, овој процес е прилично долг, како и конструкцијата на кој било позитивен многуаголник со непарен број страни. Современите компјутерски програми ви овозможуваат да го направите тоа за неколку секунди.
Ќе ви треба
- – компјутер со AutoCAD програма.
Инструкции
1. Најдете го горното мени во програмата AutoCAD, а во него - табулаторот „Главно“. Кликнете на неа со левото копче на глувчето. Се појавува панелот Draw. Ќе се појават различни типови линии. Изберете затворена полилинија. Тоа е многуаголник, останува само да се внесат параметрите. AutoCAD. Ви овозможува да нацртате различни правилни полигони. Бројот на страни може да биде до 1024. Можете исто така да ја користите командната линија, во зависност од верзијата со внесување „_polygon“ или „plural angle“.
2. Без разлика дали ја користите командната линија или контекстните менија, на екранот ќе се појави прозорец со барање да го внесете бројот на страни. Внесете го бројот „5“ таму и притиснете Enter. Ќе биде побарано да го одредите центарот на пентагонот. Внесете ги координатите во прозорецот што се појавува. Можете да ги означите како (0,0), но може да има секакви други податоци.
3. Изберете го потребниот метод на градба. . AutoCAD нуди три опции. Пентагон може да се ограничи околу круг или да се впише во него, но може да се конструира и според дадена големина на страната. Изберете ја саканата опција и притиснете enter. Доколку е потребно, поставете го радиусот на кругот и исто така притиснете enter.
4. На ист начин прво се конструира петаголник на дадена страна. Изберете Draw, затворена полилинија и внесете го бројот на страни. Кликнете со десното копче за да го отворите контекстното мени. Кликнете на командата „раб“ или „страна“. Во командната линија, внесете ги координатите на почетната и завршната точка на една од страните на пентагонот. Подоцна, пентагонот ќе се појави на екранот.
5. Сите операции може да се извршат со помош на командната линија. На пример, за да изградите пентагон долж страната во руската верзија на програмата, внесете ја буквата „в“. Во англиската верзија ќе биде „_e“. За да изградите впишан или ограничен петаголник, подоцна внесете ја дефиницијата за бројот на страните на буквата „o“ или „v“ (или англиски „_с“ или „_i“)
Видео на темата
Видео на темата
Корисен совет
Овој едноставен метод ви овозможува да изградите не само пентагон. За да изградите триаголник, треба да ги раширите нозете на компасот на растојание еднакво на радиусот на кругот. По ова, инсталирајте ја иглата во која било точка. Нацртајте тенок помошен круг. Двете пресечни точки на круговите, како и точката во која се наоѓала кракот на компасот, ги формираат трите темиња на позитивен триаголник.
Конструкција на правилен шестоаголник впишан во круг.
Изградбата на шестоаголник се заснова на фактот дека неговата страна е еднаква на радиусот на ограничениот круг. Затоа, за да се конструира, доволно е кругот да се подели на шест еднакви делови и пронајдените точки да се поврзат една со друга.
Правилен шестоаголник може да се изгради со помош на прав раб и квадрат 30X60°. За да ја извршиме оваа конструкција, го земаме хоризонталниот дијаметар на кругот како симетрала на аглите 1 и 4, конструираме страни 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 и 7 - 2, по што ги цртаме страните 5 - 6 и 3 - 2.
Темињата на таков триаголник може да се конструираат со помош на компас и квадрат со агли од 30 и 60° или само еден компас. Ајде да разгледаме два начини за конструирање на рамностран триаголник впишан во круг.
Првиот начин(сл. 61,а) се заснова на фактот дека сите три агли на триаголникот 7, 2, 3 содржат 60°, а вертикалната линија извлечена низ точката 7 е и висината и симетралата на аголот 1. Бидејќи аголот 0 - 1 - 2 е еднакво на 30°, а потоа за да се најде страната 1 - 2 доволно е да се изгради агол од 30° од точката 1 и страната 0 - 1. За да го направите ова, инсталирајте ја попречната лента и квадратот како што е прикажано на сликата, повлечете ја линијата 1 - 2, која ќе биде една од страните на саканиот триаголник. За да ја изградите страната 2 - 3, поставете ја попречната лента во положбата прикажана со испрекинати линии и повлечете права линија низ точката 2, која ќе го одреди третото теме на триаголникот.
Втор начинсе заснова на фактот дека ако изградите правилен шестоаголник впишан во круг и потоа ги поврзете неговите темиња преку едно, ќе добиете рамностран триаголник.
За да изградите триаголник, означете ја точката на темето 1 на дијаметарот и нацртајте дијаметрална линија 1 - 4. Потоа, од точката 4 со радиус еднаков на D/2, опишуваме лак додека не се пресече со кругот во точките 3 и 2. Добиените точки ќе бидат другите две темиња на саканиот триаголник.
Оваа конструкција може да се направи со помош на квадрат и компас.
Првиот начинсе заснова на фактот дека дијагоналите на квадратот се сечат во центарот на опишаната кружница и се наклонети кон неговите оски под агол од 45°. Врз основа на ова, ја поставуваме попречната шипка и квадрат со агли од 45° како што е прикажано на сл. 62, а и означете ги точките 1 и 3. Следно, преку овие точки ги цртаме хоризонталните страни на квадратот 4 - 1 и 3 -2 со помош на попречна лента. Потоа, користејќи прав раб долж страната на плоштадот, ги цртаме вертикалните страни на квадратот 1 - 2 и 4 - 3.
Втор начинсе заснова на фактот дека темињата на квадратот ги преполовуваат лаците на кругот затворен помеѓу краевите на дијаметарот. Точките A, B и C ги означуваме на краевите на два меѓусебно нормални дијаметри и од нив со радиус y опишуваме лаци додека не се вкрстат еден со друг.
Следно, низ пресечните точки на лаците цртаме помошни прави линии, означени на сликата со цврсти линии. Точките на нивното вкрстување со кругот ќе ги одредат темињата 1 и 3; 4 и 2. Врвовите на вака добиениот посакуван квадрат ги поврзуваме во серија едни со други.
Изградба на редовен пентагон впишан во круг.
За да вклопиме обичен пентагон во круг, ги правиме следните конструкции. Ја означуваме точката 1 на кругот и ја земаме како едно од темињата на пентагонот. Ние го делиме сегментот AO на половина. За да го направите ова, опишуваме лак од точката A со радиус AO додека не се пресече со кругот во точките M и B. Со поврзување на овие точки со права линија, добиваме точка K, која потоа ја поврзуваме со точката 1. радиус еднаков на отсечката А7, опишуваме лак од точката К додека не се вкрсти со дијаметралната линија AO во точката H. Со поврзување на точката 1 со точката H, ја добиваме страната на пентагонот. Потоа, користејќи решение за компас еднакво на сегментот 1H, опишувајќи лак од темето 1 до пресекот со кругот, ги наоѓаме темињата 2 и 5. Откако направивме засеци од темињата 2 и 5 со истото решение на компасот, го добиваме преостанатото темиња 3 и 4. Пронајдените точки ги поврзуваме последователно една со друга.
Конструирање на правилен пентагон долж дадена страна.
За да конструираме правилен петаголник долж дадена страна (сл. 64), ја делиме отсечката AB на шест еднакви делови. Од точките A и B со радиус AB опишуваме лаци, чиј пресек ќе ја даде точката K. Преку оваа точка и поделба 3 на правата AB повлекуваме вертикална линија. Следно, од точката К на оваа права линија оставаме отсечка еднаква на 4/6 AB. Добиваме точка 1 - темето на пентагонот. Потоа, со радиус еднаков на AB, од точката 1 опишуваме лак додека не се вкрсти со лаците претходно извлечени од точките А и Б. Пресечните точки на лаците ги одредуваат петаголните темиња 2 и 5. Пронајдените темиња ги поврзуваме во серии едни со други.
Конструкција на правилен седумаголник впишан во круг.
Нека е даден круг со дијаметар D; треба да вклопите правилен седумаголник во него (сл. 65). Поделете го вертикалниот дијаметар на кругот на седум еднакви делови. Од точката 7 со радиус еднаков на дијаметарот на кругот D, опишуваме лак додека не се пресече со продолжението на хоризонталниот дијаметар во точката F. Точката F ја нарекуваме пол на многуаголникот. Земајќи ја точката VII како едно од темињата на седумаголникот, цртаме зраци од полот F преку парни поделби на вертикалниот дијаметар, чиј пресек со кругот ќе ги одреди темињата VI, V и IV на седумаголникот. За да се добијат темиња / - // - /// од точките IV, V и VI, повлечете хоризонтални линии додека не се пресечат со кругот. Пронајдените темиња ги поврзуваме последователно едни со други. Хептагон може да се конструира со цртање зраци од полот F и преку непарни поделби на вертикалниот дијаметар.
Горенаведениот метод е погоден за конструирање правилни многуаголници со кој било број на страни.
Поделбата на кругот на кој било број на еднакви делови може да се направи и со помош на податоците во Табела. 2, кој дава коефициенти кои овозможуваат да се одредат димензиите на страните на правилните впишани многуаголници.
Должини на страни на правилни впишани многуаголници.
Првата колона од оваа табела го прикажува бројот на страни на правилен впишан многуаголник, а втората колона ги прикажува коефициентите. Должината на страната на даден многуаголник се добива со множење на радиусот на даден круг со коефициент што одговара на бројот на страни на овој многуаголник.
5.3. Златен Пентагон; изградба на Евклид.
Прекрасен пример за „златниот сооднос“ е правилен петаголник - конвексен и во облик на ѕвезда (слика 5).
За да изградите пентаграм, треба да изградите обичен пентагон.
Нека O е центарот на кругот, A точката на кругот и E средната точка на отсечката OA. Нормалната на радиусот OA, обновена во точката O, ја сече кружницата во точката D. Со помош на компас, нацртајте ја отсечката CE = ED на дијаметарот. Должината на страната на правилен петаголник впишан во круг е еднаква на DC. Ги исцртуваме отсечките DC на кругот и добиваме пет точки за да нацртаме правилен петаголник. Ги поврзуваме аглите на пентагонот еден преку друг со дијагонали и добиваме пентаграм. Сите дијагонали на пентагонот се делат една со друга на сегменти поврзани со златниот пресек.
Секој крај на пентагоналната ѕвезда претставува златен триаголник. Неговите страни формираат агол од 36 ° на врвот, а основата, поставена на страна, ја дели во однос на златниот пресек.
Постои и златен кубоид - ова е правоаголен паралелепипед со рабови со должина од 1.618, 1 и 0.618.
Сега разгледајте го доказот понуден од Евклид во Елементите.
| |
од центарот на кружниот круг. Да почнеме со
сегментот ABE, поделен на средната вредност и
Па нека AC=AE. Да ги означиме со a еднаквите агли EBC и CEB. Бидејќи AC=AE, аголот ACE е исто така еднаков на a. Теоремата дека збирот на аглите на триаголникот е еднаков на 180 степени ни овозможува да го најдеме аголот ALL: тој е еднаков на 180-2a, а аголот EAC е 3a - 180. Но, тогаш аголот ABC е еднаков на 180 -а. Сумирајќи ги аглите на триаголникот ABC добиваме,
180=(3а -180) + (3а-180) + (180 - а)
Каде што 5a=360 значи a=72.
Значи, секој од основните агли на триаголникот ТЕЖИНА е двојно поголем од аголот на темето, што е 36 степени. Затоа, за да се конструира правилен петаголник, потребно е само да нацртате која било круг со центар во точката E, вкрстувајќи ја EC во точката X и страната EB во точката Y: отсечката XY служи како една од страните на правилен петаголник впишан во круг; Со обиколување на целиот круг, можете да ги најдете сите други страни.
Сега да докажеме дека AC = AE. Да претпоставиме дека темето C е поврзано со отсечка со средината N на отсечката BE. Забележете дека бидејќи CB = CE, тогаш аголот CNE е прав. Според Питагоровата теорема:
CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)
Оттука имаме (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Значи, AC = ja = jAB = AE, што треба да се докаже
5.4 Архимедова спирала.
Со последователно отсекување на квадрати од златни правоаголници до бесконечност, секој пат кога се поврзуваат спротивните точки со четвртина од кругот, добиваме прилично елегантна крива. Првиот што го привлече вниманието беше античкиот грчки научник Архимед, чие име го носи. Тој го проучувал и ја извел равенката на оваа спирала.
Во моментов, спиралата Архимед е широко користена во технологијата.
6.Фибоначи броеви.
Името на италијанскиот математичар Леонардо од Пиза, кој е попознат по прекарот Фибоначи (Фибоначи - скратено filius Bonacci, односно син на Боначи), е индиректно поврзано со златниот пресек.
Во 1202 година ја напишал книгата „Liber abacci“, односно „Книгата на Абакус“. „Liber abacci“ е обемно дело што ги содржи речиси сите аритметички и алгебарски информации од тоа време и одигра значајна улога во развојот на математиката во Западна Европа во следните неколку векови. Особено, токму од оваа книга Европејците се запознаа со хиндуистичките („арапски“) бројки.
Материјалот што е објавен во книгата е објаснет преку голем број проблеми кои сочинуваат значаен дел од овој трактат.
Да разгледаме еден таков проблем:
„Колку пара зајаци се раѓаат од еден пар во една година?
Некој поставил пар зајаци на одредено место, оградени од сите страни со ѕид, за да дознае колку пара зајаци ќе се родат во текот на оваа година, ако природата на зајаците е таква што за еден месец еден пар зајаците ќе репродуцираат друг, а зајаците раѓаат од вториот месец по нивното раѓање“.
| Месеци | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Парови зајаци | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Ајде да преминеме сега од зајаци на броеви и да ја разгледаме следната броена низа:
u 1 , u 2 … u n
во кој секој член е еднаков на збирот на претходните два, т.е. за било кој n>2
u n =u n -1 +u n -2 .
Оваа низа асимптотички (се приближува сè побавно) се стреми кон некаква константна врска. Меѓутоа, овој сооднос е ирационален, односно е број со бесконечна, непредвидлива низа од децимални цифри во дробниот дел. Невозможно е прецизно да се изрази.
Ако кој било член од низата Фибоначи се подели со неговиот претходник (на пример, 13:8), резултатот ќе биде вредност што флуктуира околу ирационалната вредност од 1,61803398875... и понекогаш ја надминува, понекогаш не ја достигнува.
Асимптотичкото однесување на низата и пригушените осцилации на нејзиниот однос околу ирационалниот број Ф можат да станат поразбирливи ако ги прикажеме односите на првите неколку члена од низата. Овој пример ги прикажува односите на вториот член со првиот, третиот со вториот, четвртиот со третиот и така натаму:
1:1 = 1,0000, што е помало од phi за 0,6180
2:1 = 2,0000, што е за 0,3820 повеќе од ph
3:2 = 1,5000, што е помало од phi за 0,1180
5:3 = 1,6667, што е за 0,0486 повеќе од ph
8:5 = 1,6000, што е помало од phi за 0,0180
Како што се движите низ низата за собирање Фибоначи, секој нов член ќе го дели следниот со се поголемо приближување до недостижното F.
Човекот потсвесно бара Божествена пропорција: таа е потребна за да ја задоволи неговата потреба за утеха.
Кога се дели кој било член од низата Фибоначи со следниот, резултатот е едноставно обратен од 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Но, ова е исто така многу необичен, дури и извонреден феномен. Бидејќи првобитниот сооднос е бесконечна дропка, овој сооднос исто така не треба да има крај.
При делење на секој број со следниот после него, го добиваме бројот 0,382
Со избирање на коефициентите на овој начин, го добиваме главниот сет на фибоначи соодноси: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Да го споменеме и 0,5. Сите тие играат посебна улога во природата, а особено во техничката анализа.
Овде треба да се забележи дека Фибоначи само го потсетил човештвото на неговата низа, бидејќи во античките времиња била позната под името Златен сооднос.
Златниот пресек, како што видовме, се јавува во врска со правилен петаголник, затоа броевите на Фибоначи играат улога во сè што има врска со правилни петаголници - конвексни и во форма на ѕвезда.
Серијата Фибоначи можеше да остане само математички инцидент, ако не и за фактот дека сите истражувачи на златната поделба во растителниот и животинскиот свет, а да не ја спомнуваме уметноста, неизбежно дојдоа до оваа серија како аритметички израз на законот на златното поделба. Научниците продолжија активно да ја развиваат теоријата за броевите на Фибоначи и златниот пресек. Ју. Се појавуваат елегантни методи за решавање на голем број кибернетски проблеми (теорија на пребарување, игри, програмирање) со помош на фибоначи броеви и златниот пресек. Во САД се создава дури и математичка асоцијација Фибоначи, која издава специјално списание од 1963 година.
Едно од достигнувањата на ова поле е откривањето на генерализирани фибоначи броеви и генерализирани златни стапки. Серијата Фибоначи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и „бинарната“ серија на броеви откриени од него 1, 2, 4, 8, 16... (односно, серија од броеви до n , каде што секој природен број помал од n може да се претстави како збир на некои броеви од оваа серија) се сосема различни на прв поглед. Но, алгоритмите за нивната конструкција се многу слични едни на други: во првиот случај, секој број е збир на претходниот број со себе 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., во вториот - ова е збирот на двата претходни броја 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Дали е можно да се најде општо математичка формула од која добиваме „бинарна серија и серија Фибоначи?
Навистина, дозволете ни да дефинираме нумерички параметар S, кој може да земе какви било вредности: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Размислете за бројна серија, S + 1 од првите членови од кои се едно, и секој од следните се еднакви на збирот на два члена од претходниот и одвоени од претходниот со S чекори. Ако n-тиот член од оваа серија го означиме со S (n), ја добиваме општата формула S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).
Очигледно е дека при S = 0 од оваа формула ќе добиеме „бинарна“ серија, кај S = 1 – серија на Фибоначи, кај S = 2, 3, 4 – нова серија на броеви, кои се нарекуваат броеви S-Фибоначи. .
Општо земено, златниот S-пропорција е позитивниот корен на равенката на златниот S-пресек x S+1 – x S – 1 = 0.
Лесно е да се покаже дека при S = 0 сегментот е поделен на половина, а при S = 1 се добива познатиот класичен златен однос.
Односите на соседните S-броеви на Фибоначи се совпаѓаат со апсолутна математичка точност во границата со златните S-пропорции! Односно, златните S-пресеци се нумерички непроменливи на S-броевите Фибоначи.
7. Златен пресек во уметноста.
7.1. Златен сооднос во сликарството.
Преминувајќи кон примери на „златниот сооднос“ во сликарството, не може а да не се фокусираме на делото на Леонардо да Винчи. Неговата личност е една од мистериите на историјата. Самиот Леонардо да Винчи рекол: „Никој што не е математичар нека не се осмелува да ги чита моите дела“.
Несомнено е дека Леонардо да Винчи бил голем уметник, тоа веќе го препознале неговите современици, но неговата личност и активности ќе останат обвиткани во мистерија, бидејќи на своите потомци не им оставил кохерентна презентација на своите идеи, туку само бројни рачно напишани скици, белешки кои велат „за сите во светот“.
Портретот на Мона Лиза (Ла Џоконда) со години го привлекува вниманието на истражувачите, кои открија дека композицијата на сликата се заснова на златни триаголници, кои се делови од правилен пентагон во форма на ѕвезда.
Исто така, уделот на златниот пресек се појавува во сликата на Шишкин. Во оваа позната слика на И. И. Шишкин, јасно се видливи мотивите на златниот пресек. Светло сончев бор (стои во преден план) ја дели должината на сликата според златниот пресек. Десно од борот има рид осветлен од сонце. Ја дели десната страна на сликата хоризонтално според златниот пресек.
Во сликата на Рафаел „Масакрот на невините“ е видлив уште еден елемент на златната пропорција - златната спирала. Во подготвителната скица на Рафаел, црвените линии се исцртани од семантичкиот центар на композицијата - точката каде што прстите на воинот се затворија околу глуждот на детето - долж фигурите на детето, жената што го држи блиску, воинот со кренат меч, а потоа по фигурите од истата група од десната страна на скицата . Не е познато дали Рафаел ја изградил златната спирала или ја почувствувал.
Т. Кук го користел златниот пресек кога ја анализирал сликата на Сандро Ботичели „Раѓањето на Венера“.
7.2. Пирамиди со златен пресек.
Медицинските својства на пирамидите, особено златниот пресек, се широко познати. Според некои од најчестите мислења, просторијата во која се наоѓа ваквата пирамида изгледа поголема, а воздухот е потранспарентен. Соништата почнуваат подобро да се паметат. Исто така, познато е дека златниот пресек бил широко користен во архитектурата и скулптурата. Пример за ова беа: Пантеонот и Партенон во Грција, зградите на архитектите Баженов и Малевич
8. Заклучок.
Мора да се каже дека златниот пресек има голема примена во нашите животи.
Докажано е дека човечкото тело е поделено пропорционално на златниот пресек со линијата на појасот.
Наутилус школка е извиткана како златна спирала.
Благодарение на златниот пресек, откриен е астероидниот појас меѓу Марс и Јупитер - според пропорцијата таму би требало да има друга планета.
Возбудувањето на низата во точката што ја дели во однос на златната поделба нема да предизвика низата да вибрира, односно, ова е точката на компензација.
На авиони со електромагнетни извори на енергија се создаваат правоаголни ќелии со пропорција на златниот сооднос.
Мона Лиза е изградена на златни триаголници; златната спирала е присутна во сликата на Рафаел „Масакрот на невините“.
Пропорцијата е откриена во сликата на Сандро Ботичели „Раѓањето на Венера“
Постојат многу познати архитектонски споменици изградени со златниот пресек, вклучувајќи ги Пантеонот и Партенон во Атина, зградите на архитектите Баженов и Малевич.
Џон Кеплер, кој живеел пред пет века, рекол: „Геометријата има две големи богатства. Првата е Питагоровата теорема, втората е поделбата на сегмент во екстремен и среден однос“.
Библиографија
1. Д. Пиду. Геометрија и уметност. - М.: Мир, 1979 година.
2. Списание „Наука и технологија“
3. Списание „Квантум“, 1973 година, бр.8.
4. Списание „Математика на училиште“, 1994, бр.2; бр. 3.
5. Ковалев Ф.В. Златен сооднос во сликарството. К.: Училиште Вишча, 1989 година.
6. Стахов А. Кодови на златната пропорција.
7. Воробиев Н.Н. „Броеви на Фибоначи“ - М.: Наука 1964 година
8. „Математика - енциклопедија за деца“ М.: Аванта +, 1998 г.
9. Информации од Интернет.
Фибоначи матрици и таканаречените „златни“ матрици, нова компјутерска аритметика, нова теорија за кодирање и нова теорија за криптографија. Суштината на новата наука е да се ревидира целата математика од гледна точка на златниот пресек, почнувајќи од Питагора, што, нормално, ќе повлече нови и секако многу интересни математички резултати во теоријата. Во практична смисла – „златна“ компјутеризација. И бидејќи ...
Нема да влијае на овој резултат. Основата на златната пропорција е непроменлива на рекурзивните односи 4 и 6. Ова ја покажува „стабилноста“ на златниот пресек, еден од принципите на организација на живата материја. Исто така, основата на златната пропорција е решение за две егзотични рекурзивни секвенци (сл. 4.) Сл. 4 рекурзивни Фибоначи секвенци...
Увото е j5, а растојанието од увото до круната е j6. Така, во оваа статуа гледаме геометриска прогресија со именител j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Сл.9). Така, златниот пресек е еден од основните принципи во уметноста на античка Грција. Ритми на срцето и мозокот. Човечкото срце чука рамномерно - околу 60 отчукувања во минута во мирување. Срцето ми се стиска како клип...
Инструкции
Конструирај друг дијаметар нормално на дијаметарот на MN. За да го направите ова, користете компас за да нацртате лакови од точките M и H со ист радиус. Изберете радиус таков што двата лака се сечат еден со друг и со дадениот круг во една точка. Ова ќе биде првата точка А од вториот дијаметар. Нацртајте права линија низ неа и точка О. Резултатот е дијаметар AB нормален на права линија MN.
Најдете ја средната точка на радиусот BO. За да го направите ова, користете компас со радиус на кругот за да нацртате лак од точката B така што ќе ја пресече кругот во две точки C и P. Нацртајте права линија низ овие точки. Оваа права линија ќе го подели радиусот на VO точно на половина. Ставете ја точката К на пресекот на CP и VO.
Поврзете ги точките М и К со отсечка. Поставете на компасот растојание еднакво на сегментот MK. Од точката М, нацртајте лак така што ќе го пресече радиусот AO. Ставете ја точката Е на локацијата на оваа раскрсница.Резултираното растојание ME одговара на должината на едната страна од впишаниот петаголник.
Конструирајте ги преостанатите темиња на пентагонот. За да го направите ова, поставете го растојанието на нозете на компасот еднакво на сегментот ME. Од првото теме на пентагонот М нацртајте лак додека не се пресече со кругот. Пресечната точка ќе биде второто теме на F. Од добиената точка, пак, нацртајте лак со истиот радиус што го пресекува кругот. Добијте го третото теме на петоаголникот G. Конструирајте ги преостанатите точки S и L на ист начин.
Поврзете ги добиените темиња со прави отсечки. Впишан во круг, конструиран е правилен пентагон MFGSL.
Извори:
- Правилни многуаголници
Шестоаголник е многуаголник кој има шест агли. За да нацртате произволен шестоаголник, треба да направите само 2 чекори.
Ќе ви треба
- Молив, линијар, лист хартија.
Инструкции
Земете линијар и врз основа на овие точки нацртајте 6 отсечки, кои би се поврзале една со друга по претходно нацртаните точки (сл. 2).
Видео на темата
Забелешка
Посебен тип на шестоаголник е правилниот шестоаголник. Така се нарекува затоа што сите негови страни и агли се еднакви една со друга. Околу таков шестоаголник може да се опише или да се впише круг. Вреди да се напомене дека на точките што се добиени со допирање на впишаната кружница и страните на шестоаголникот, страните на правилниот шестаголник се делат на половина.
Корисен совет
Во природата, редовните шестоаголници се многу популарни. На пример, секое саќе има правилна хексагонална форма.
Или кристалната решетка од графен (модификација на јаглерод) исто така има облик на правилен шестоаголник.
Сликите на геометриски форми се користат за создавање на многу, многу игри, колажи и илустрации. Користејќи ги алатките на Photoshop, можете да нацртате која било тридимензионална фигура, вклучително и шестоаголник.
Ќе ви треба
- Adobe Photoshop
Инструкции
Отворете нов документ. На алатките изберете ја алатката Polygon Tool. Во панелот со својства, поставете страни=6 и која било боја што ја сакате. Држете го притиснато копчето Shift и нацртајте. Поставете го курсорот над обликот, кликнете со десното копче и изберете ја командата Rasterize Layer.
Умножете го овој слој двапати (Ctrl+J) за да имате три шестоаголници. Застанете на нов слој. Додека држите Ctrl, кликнете на новата икона за да добиете избор. Во лентата со алатки, поставете ја бојата на преден план на потемна нијанса. Со помош на алатката Paint Bucket, пополнете го шестоаголникот. Повторно одете на нов слој и пополнете ја формата со соодветниот. На овој начин вашите шестоаголници ќе бидат обоени во различни нијанси со иста боја.
Со помош на Move Tool, поставете ги шестоаголниците како што е прикажано на сликата. Кога го правите ова, размислете каде ќе се наоѓа изворот на светлина во вашата слика. Онаму каде што паѓа светлината, треба да има полесен раб. Најтемниот раб ќе биде во сенка.
За слоеви со шестоаголници кои претставуваат странични лица, поставете Opacity=50%. Изберете Алатка за бришење од лентата со алатки. Поставете цврстина=100% и започнете внимателно и внимателно да го бришете вишокот на сликата. За да ја отстраните непотребната боја во близина на работ, постапете на следниов начин: намалете го дијаметарот на еластичната лента за да не го фатите вишокот. Лебдат над едниот крај на работ шестоаголника и кликнете со левото копче на глувчето. Потоа поместете го курсорот на другиот крај, притиснете го копчето Shift и повторно кликнете со левото копче. Ќе добиете мазна празна лента. Повторете ја оваа постапка онолку пати колку што е потребно за да ја отстраните непотребната позадина околу обликот.
За слоеви со странични лица, вратете Opacity=100%.
Видео на темата
Корисен совет
Кога избирате нијанси на бои за рабовите, земете ја предвид локацијата на изворот на светлина на вашата слика
Правилен многуаголник е конвексен многуаголник во кој сите страни и сите агли се еднакви. Може да се нацрта круг околу правилен многуаголник. Токму овој круг помага во неговата изградба. Еден од правилните многуаголници, чија конструкција може да се направи со помош на едноставни алатки, е правилниот петаголник.
Ќе ви треба
- владетел, компас
Инструкции
Следно, низ точката О, повлечете права нормална на правата ОА. Можете да изградите нормална права линија користејќи квадрат или (со методот на два круга со ист радиус). Нејзиното пресекување со кругот може да се означи како точка Б.
Конструирај ја точката C на отсечката OB, која ќе биде нејзината средна точка. Потоа треба да нацртате круг со центар во точката C, минувајќи низ точката А, односно со радиус CA. Означете ја пресечната точка на оваа кружница со правата линија OB внатре во кругот со центар O (или оригиналниот круг) како D.
Потоа нацртајте круг со центарот на А до точката D. Означете го неговото пресекување со првобитната кружница како точките E и F. Тоа ќе бидат двете темиња на вртечкиот петаголник.
Нацртајте круг со центар на E низ точката A. Означете го неговото пресекување со првобитната кружница како точка G. Ова ќе биде едно од темињата на петаголникот.
На сличен начин, нацртајте круг со центар на F низ точката A. Означете го неговото друго пресекување со оригиналната кружница како точка H. Оваа точка исто така ќе биде темето на правоаголникот.
Потоа поврзете ги точките A, E, G, H и F. Резултатот ќе биде правилен петаголник впишан во круг.
Видео на темата
Шестоаголник е посебен случај на многуаголник - фигура формирана од множество точки на рамнина ограничена со затворена полилинија. Правилен шестоаголник (шестоаголник), пак, е исто така посебен случај - тоа е многуаголник со шест еднакви страни и еднакви агли. Оваа бројка е извонредна по тоа што должината на секоја од неговите страни е еднаква на радиусот на кругот опишан околу сликата.
Ќе ви треба
- - компас;
- - владетел;
- - молив;
- - хартија.
Инструкции
Изберете должина на страната. Земете компас и поставете го растојанието со крајот на иглата сместена на едната нога и крајот на иглата сместена на другата нога, еднаква на должината на страната на сликата што се црта. За да го направите ова, можете да користите линијар или да изберете случајно растојание ако моментот не е значаен. Ако е можно, прицврстете ги нозете на компасот со завртка.
Нацртајте круг со помош на компас. Избраното растојание помеѓу нозете ќе биде радиусот на кругот.
Ставете ја ногата на компасот со иглата на произволна точка лоцирана на линијата на наведениот круг. Иглата треба точно да ја пробие линијата. Точноста на конструкцијата директно зависи од точноста на инсталацијата на компасот. Нацртајте лак со компас така што ќе го пресече кругот нацртан прво на две точки.
Поместете ја ногата на компасот со иглата до една од точките на пресек на нацртаниот лак со оригиналниот круг. Нацртајте друг лак, исто така, пресекувајќи го кругот на две точки (едната од нив ќе се совпадне со точката на претходната локација на иглата на компасот).
На ист начин, преуредете ја иглата на компасот и нацртајте лакови уште четири пати. Поместете ја ногата на компасот со иглата во една насока по кругот (секогаш во насока на стрелките на часовникот или спротивно од стрелките на часовникот). Како резултат на тоа, треба да се идентификуваат шест точки на пресек на лаците со првично конструираниот круг.
Нацртајте правилен шестоаголник. Поврзете ги шесте точки добиени во претходниот чекор доследно со отсечки во парови. Нацртајте ги отсечките со молив и линијар. Резултатот ќе биде редовен шестоаголник. По изградбата, можете да ги избришете помошните елементи (лакови и кругови).
Забелешка
Има смисла да се избере растојание помеѓу нозете на компасот, така што аголот меѓу нив е 15-30 степени, инаку при конструирањето, ова растојание лесно може да се изгуби.
Едно време, процесот на цртање правилен шестоаголник го опишал античкиот грчки Евклид. Меѓутоа, денес постојат и други начини за конструирање на оваа геометриска фигура. Главниот принцип е да се придржувате до некои добро познати правила при цртање фигура.
Ако немате компас при рака, можете да нацртате едноставна ѕвезда со пет зраци и потоа едноставно да ги поврзете овие зраци. Како што можете да видите на сликата подолу, се добива апсолутно редовен пентагон.
Математиката е сложена наука и има многу тајни, некои од нив се прилично смешни. Доколку ве интересираат вакви работи, ве советувам да ја најдете книгата Забавна математика.
Кругот може да се нацрта не само со помош на компас. Можете, на пример, да користите молив и конец. Ние го мериме потребниот дијаметар на конецот. Едниот крај цврсто го стегаме на лист хартија каде што ќе нацртаме круг. А на другиот крај на конецот, инсталирајте молив и закачете го. Сега работи како со компас: ја повлекуваме конецот и, лесно притискајќи со молив, го означуваме кругот околу обемот.
Внатре во кругот цртаме селани од центарот: вертикална линија и хоризонтална линија. Пресечната точка на вертикалната линија и кругот ќе биде темето на пентагонот (точка 1). Сега ја делиме десната половина од хоризонталната линија на половина (точка 2). Го мериме растојанието од оваа точка до темето на пентагонот и го поставуваме овој сегмент лево од точката 2 (точка 3). Со помош на конец и молив, цртаме лак од точката 1 со радиус до точката 3, пресекувајќи го првиот круг лево и десно - пресечните точки ќе бидат темињата на пентагонот. Да ги наречеме точки 4 и 5.
Сега од точката 4 правиме лак што го пресекува кругот на дното, со радиус еднаков на должината од точката 1 до 4 - ова ќе биде точка 6. На ист начин од точката 5 - ќе ја означиме како точка 7.
Останува само да го поврземе нашиот пентагон со темињата 1, 5, 7, 6, 4.
Знам како да изградам едноставен пентагон со помош на компас: Конструирај круг, означи пет точки, поврзи ги. Можеме да изградиме пентагон со еднакви страни; за ова ќе ни треба и транспортер. Ние само ги ставаме истите 5 точки на транспортерот. За да го направите ова, означете ги аглите на 72 степени. Потоа се поврзуваме и со сегменти и ја добиваме фигурата што ни треба.
Зелениот круг може да се нацрта со произволен радиус. Во овој круг ќе впишеме редовен пентагон. Невозможно е да се нацрта точен круг без компас, но тоа не е потребно. Кругот и сите понатамошни конструкции може да се направат рачно. Следно, низ центарот на кругот О, треба да нацртате две меѓусебно нормални прави линии и да назначите една од точките на пресек на правата со кругот како А. Точката А ќе биде темето на пентагонот. Го делиме радиусот OB на половина и ја ставаме точката C. Од точката C цртаме втор круг со радиус AC. Од точката А цртаме трет круг со радиус AD. Пресечните точки на третиот круг со првиот (E и F) исто така ќе бидат темиња на петаголникот. Од точките E и F со радиус AE правиме засеци на првиот круг и ги добиваме преостанатите темиња на пентагонот G и H.
Приврзаници на црната уметност: за едноставно, убаво и брзо да нацртате пентагон, треба да нацртате правилна, хармонична основа за пентаграмот (петокрака ѕвезда) и да ги поврзете краевите на зраците на оваа ѕвезда користејќи прави, рамномерни линии. Ако сè е направено правилно, линијата за поврзување околу основата ќе биде посакуваниот пентагон.
(на сликата има завршен, но непополнет пентаграм)
За оние кои не се сигурни во исправноста на пентаграмот: земете го Витрувискиот човек на Да Винчи како основа (види подолу)
Ако ви треба пентагон, само по случаен избор ѕиркајте 5 точки и нивната надворешна контура ќе биде петаголник.
Ако ви треба редовен пентагон, тогаш без математички компас оваа конструкција не може да се заврши, бидејќи без него е невозможно да се нацртаат два идентични, но не и паралелни сегменти. Секоја друга алатка која ви овозможува да нацртате два идентични, но не и паралелни сегменти е еквивалентна на математички компас.
Прво треба да нацртате круг, потоа водилки, потоа втор круг со точки, да ја пронајдете горната точка, потоа да ги измерите двата горни агли, да ги нацртате долните од нив. Забележете дека радиусот на компасот е ист низ целата конструкција.
Се зависи од тоа каков пентагон ви треба. Доколку ги има, тогаш ставете пет точки и поврзете ги една со друга (се разбира, не ги ставаме точките во права линија). И ако ви треба пентагон со правилна форма, земете кој било пет по должината (ленти хартија, кибрит, моливи итн.), поставете го пентагонот и исцртајте го.
Пентагон може да се извлече, на пример, од ѕвезда. Ако знаете како да нацртате ѕвезда, но не знаете како да нацртате пентагон, нацртајте ѕвезда со молив, потоа поврзете ги соседните краеви на ѕвездата, а потоа избришете ја самата ѕвезда.
Втор начин. Исечете лента хартија со должина еднаква на саканата страна на пентагонот и тесна ширина, да речеме 0,5 - 1 cm Според шаблонот, отсечете уште четири ленти со иста големина по оваа лента, така што таму се вкупно 5 од нив.
Потоа ставете лист хартија (подобро е да го прицврстите на масата со четири копчиња или игли). Потоа ставете ги овие 5 ленти на листот така што ќе формираат петаголник. Закачете ги овие 5 ленти на парче хартија со иглички или игли за да останат неподвижни. Потоа заокружете го добиениот пентагон и отстранете ги овие ленти од листот.
Ако немате компас и треба да изградите пентагон, тогаш можам да го советувам следново. Сам го изградив на тој начин. Можете да нацртате редовна ѕвезда со пет крака. И после тоа, за да добиете пентагон, само треба да ги поврзете сите темиња на ѕвездата. Вака се добива пентагон. Ова е она што го добиваме
Ги поврзавме темињата на ѕвездата со прави црни линии и добивме петаголник.