Користејќи го ова математичка програмаможете да го решите системот од два линеарни равенкисо две варијабилен методметод на замена и додавање.

Програмата не само што го дава одговорот на проблемот, туку дава и детално решение со објаснувања за чекорите на решението на два начина: методот на замена и методот на собирање.

Оваа програмаможе да биде корисно за средношколците средните училиштаво подготовка за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин можете да спроведете сопствена обука и/или ваша обука. помлади браќаили сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.

Правила за внесување равенки

Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.

При внесување равенки можете да користите загради. Во овој случај, равенките прво се поедноставуваат. Равенките по упростувањата мора да бидат линеарни, т.е. од формата ax+by+c=0 со точност на редот на елементите.
На пример: 6x+1 = 5(x+y)+2

Можете да користите не само цели броеви во равенките, туку и дробни броевиво вид на децимали и обични дропки.

Правила за внесување децимални дропки.
Цел број и дробни делови во децималиможе да се оддели или со точка или со запирка.
На пример: 2,1n + 3,5m = 55

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.
Именителот не може да биде негативен.
При влегувањето нумеричка дропкаБројачот е одделен од именителот со знак за делење: /
Цел делодвоено од дропот со амперсанд: &

Примери.
-1&2/3г + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решава систем на равенки

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

JavaScript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Решавање системи на линеарни равенки. Метод на замена

Редоследот на дејства при решавање на систем на линеарни равенки со помош на методот на замена:
1) изрази една променлива од некоја равенка на системот во однос на друга;
2) заменете го добиениот израз со друга равенка на системот наместо оваа променлива;

$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \крај (низа) \десно. $$

Да го изразиме y во однос на x од првата равенка: y = 7-3x. Заменувајќи го изразот 7-3x во втората равенка наместо y, го добиваме системот:
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end (низа) \десно. $$

Лесно е да се покаже дека првиот и вториот систем имаат исти решенија. Во вториот систем, втората равенка содржи само една променлива. Да ја решиме оваа равенка:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Десна стрелка -5x+14-6x=3 \Десна стрелка -11x=-11 \Десна стрелка x=1 $$

Заменувајќи го бројот 1 наместо x во еднаквоста y=7-3x, ја наоѓаме соодветната вредност на y:
$$ y=7-3 \cточка 1 \Десна стрелка y=4 $$

Пар (1;4) - решение на системот

Се нарекуваат системи на равенки во две променливи кои имаат исти решенија еквивалент. Системите кои немаат решенија исто така се сметаат за еквивалентни.

Решавање системи на линеарни равенки со собирање

Да разгледаме уште еден начин за решавање системи на линеарни равенки - методот на собирање. При решавање на системи на овој начин, како и при решавање со замена, се префрламе од овој систем во друг, еквивалентен систем, во кој една од равенките содржи само една променлива.

Редоследот на дејства при решавање на систем на линеарни равенки со помош на методот на собирање:
1) помножете ги равенките на системот член по член, избирајќи фактори така што коефициентите за една од променливите стануваат спротивни броеви;
2) ги додаваме левата и десната страна на равенките на системот член по член;
3) решете ја добиената равенка со една променлива;
4) најдете ја соодветната вредност на втората променлива.

Пример. Да го решиме системот на равенки:
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end (низа) \десно. $$

Во равенките на овој систем, коефициентите на y се спротивни броеви. Со собирање на левата и десната страна на равенките член по член, добиваме равенка со една променлива 3x=33. Да замениме една од равенките на системот, на пример првата, со равенката 3x=33. Ајде да го добиеме системот
$$ \лево\( \почеток(низа)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end (низа) \десно. $$

Од равенката 3x=33 наоѓаме дека x=11. Заменувајќи ја оваа x вредност во равенката \(x-3y=38\) добиваме равенка со променливата y: \(11-3y=38\). Да ја решиме оваа равенка:
\(-3y=27 \Десна стрелка y=-9 \)

Така, го најдовме решението на системот равенки со собирање: \(x=11; y=-9\) или \((11;-9)\)

Искористувајќи го фактот дека во равенките на системот коефициентите за y се спротивни броеви, неговото решение го сведовме на решение еквивалентен систем(со собирање на двете страни на секоја од равенките на оригиналниот симбол), во која една од равенките содржи само една променлива.

Книги (учебници) Апстракти од обединетиот државен испит и тестовите за обединет државен испит онлајн Игри, загатки Изготвување графикони на функции Правописен речник на руски јазик Речник на младински сленг Каталог на руски училишта Каталог на средни образовни институции на Русија Каталог на руски универзитети Список на задачите

Линеарни равенки. Решение, примери.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Линеарни равенки.

Линеарните равенки не се најмногу сложена тема училишна математика. Но, постојат некои трикови што можат да го збунат дури и обучен студент. Ајде да го сфатиме?)

Обично линеарната равенка се дефинира како равенка на формата:

секира + б = 0 Каде а и б- сите броеви.

2x + 7 = 0. Овде a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Овде a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Овде a=12, b=1/2

Ништо комплицирано, нели? Особено ако не ги забележувате зборовите: „каде a и b се кои било броеви“... И ако забележите и безгрижно размислувате за тоа?) На крајот на краиштата, ако a=0, b=0(можни се некои бројки?), тогаш добиваме смешен израз:

Но, тоа не е се! Ако, да речеме, a=0,А b=5,Излегува дека ова е нешто сосема невообичаено:

Што е досадно и ја поткопува довербата во математиката, да...) Особено за време на испитите. Но, од овие чудни изрази треба да најдете и X! Што воопшто не постои. И, изненадувачки, овој X е многу лесно да се најде. Ќе научиме да го правиме ова. Во оваа лекција.

Како да препознаете линеарна равенка по нејзиниот изглед? Зависи што изглед.) Трикот е што не само равенките на формата се нарекуваат линеарни равенки секира + б = 0 , но и сите равенки кои можат да се сведат на оваа форма со трансформации и поедноставувања. И кој знае дали се спушта или не?)

Линеарната равенка може јасно да се препознае во некои случаи. Да речеме, ако имаме равенка во која има само непознати до прв степен и броеви. И во равенката нема дропки поделени со непознат , тоа е важно! И поделба по број,или нумеричка дропка - тоа е добредојдено! На пример:

Ова е линеарна равенка. Овде има дропки, но нема х во квадратот, коцката итн., а нема х во именителот, т.е. Бр делење со x. И тука е равенката

не може да се нарече линеарна. Овде X се сите во прв степен, но има делење со израз со x. По поедноставувања и трансформации, можете да добиете линеарна равенка, квадратна равенка или нешто што ви се допаѓа.

Излегува дека е невозможно да се препознае линеарната равенка во некој комплициран пример додека скоро не ја решите. Ова е вознемирувачко. Но, во задачите, по правило, тие не прашуваат за формата на равенката, нели? Задачите бараат равенки одлучи.Ова ме прави среќен.)

Решавање на линеарни равенки. Примери.

Целото решение на линеарни равенки се состои од идентични трансформации на равенките. Патем, овие трансформации (од нив две!) се основата на решенијата сите математички равенки.Со други зборови, решението било којравенката започнува токму со овие трансформации. Во случај на линеарни равенки, тоа (решението) се заснова на овие трансформации и завршува со целосен одговор. Има смисла да се следи врската, нели?) Покрај тоа, има и примери за решавање на линеарни равенки таму.

Прво, да го погледнеме наједноставниот пример. Без никакви замки. Да претпоставиме дека треба да ја решиме оваа равенка.

x - 3 = 2 - 4x

Ова е линеарна равенка. Икс-овите се сите во прва сила, нема поделба со икс. Но, всушност, не ни е важно за каква равенка станува збор. Треба да го решиме. Шемата овде е едноставна. Соберете сè со X на левата страна на равенката, сè без X (броеви) на десната страна.

За да го направите ова, треба да префрлите - 4x во лева страна, со промена на знакот, се разбира, и - 3 - на десно. Патем, ова е првата идентична трансформација на равенките.Изненаден? Ова значи дека не сте ја следеле врската, но залудно...) Добиваме:

x + 4x = 2 + 3

Еве слични, сметаме:

Што ни треба за целосна среќа? Да, за да има чист Х лево! Пет е на патот. Ослободување од петте со помош втората идентична трансформација на равенките.Имено, двете страни на равенката ги делиме со 5. Добиваме готов одговор:

Елементарен пример, се разбира. Ова е за загревање.) Не е многу јасно зошто се сетив на идентични трансформации овде? ДОБРО. Да го фатиме бикот за рогови.) Да решиме нешто поцврсто.

На пример, еве ја равенката:

Каде да почнеме? Со X - лево, без X - надесно? Може да биде така. Во мали чекори долг пат. Или можете да го направите тоа веднаш, на универзален и моќен начин. Ако, се разбира, имате идентични трансформации на равенки во вашиот арсенал.

те прашувам клучно прашање: Што најмногу не ви се допаѓа во оваа равенка?

95 од 100 луѓе ќе одговорат: дропки ! Одговорот е точен. Па да се ослободиме од нив. Затоа, веднаш започнуваме со втора трансформација на идентитетот. Со што ви е потребно за да ја помножите дропката од левата страна за именителот целосно да се намали? Така е, на 3. А десно? Со 4. Но, математиката ни овозможува да ги помножиме двете страни со истиот број. Како можеме да излеземе? Ајде да ги помножиме двете страни со 12! Оние. на заеднички именител. Тогаш и трите и четирите ќе се намалат. Не заборавајте дека треба да го помножите секој дел целосно. Еве како изгледа првиот чекор:

Проширување на заградите:

Забелешка! броител (x+2)Го ставив во загради! Тоа е затоа што при множење на дропки се множи целиот броител! Сега можете да ги намалите фракциите:

Проширете ги преостанатите загради:

Не пример, туку чисто задоволство!) Сега да се потсетиме на магијата од помлади класи: со X - лево, без X - десно!И примени ја оваа трансформација:

Еве неколку слични:

И поделете ги двата дела со 25, т.е. повторно примени ја втората трансформација:

Тоа е се. Одговор: X=0,16

Забележете: да ја доведете оригиналната збунувачка равенка до пријатен поглед, користевме два (само два!) идентитетски трансформации– превод лево-десно со промена на знакот и множење-делење на равенка со ист број. Ова универзален метод! Ќе работиме на овој начин со било кој равенки! Апсолутно било кој. Затоа постојано повторувам за овие идентични трансформации.)

Како што можете да видите, принципот на решавање на линеарни равенки е едноставен. Ја земаме равенката и ја поедноставуваме користејќи идентични трансформации додека не го добиеме одговорот. Главните проблеми овде се во пресметките, а не во принципот на решението.

Но... Има такви изненадувања во процесот на решавање на најелементарните линеарни равенки што можат да ве доведат во силен ступор...) За среќа, може да има само две такви изненадувања. Да ги наречеме посебни случаи.

Посебни случаи при решавање на линеарни равенки.

Прво изненадување.

Да речеме дека сте го добиле најелементарната равенка, нешто како:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Малку досадно го поместуваме со Х лево, без Х - десно... Со промена на знакот се е совршено... Добиваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Се броиме, и... упс!!! Добиваме:

Оваа еднаквост сама по себе не е приговорна. Навистина нула еднаква на нула. Но, Х недостасува! И ние мора да запишеме во одговорот, зошто еднакво на x. Инаку, решението не се брои, нели...) Ќор-сокак?

Смирен! Во такви сомнителни случаи, најопштите правила ќе ве спасат. Како да се решат равенките? Што значи да се реши равенка? Ова значи, најдете ги сите вредности на x, кои, кога ќе се заменат во оригиналната равенка, ќе ни ги дадат вистинска еднаквост.

Но, имаме вистинска еднаквост веќесе случи! 0=0, колку попрецизно?! Останува да дознаеме на што x се случува ова. Во кои вредности на X може да се заменат оригиналенравенка ако овие х дали сепак ќе бидат сведени на нула?Ајде?)

Да!!! X може да се заменат било кој!Кои ги сакате? Најмалку 5, најмалку 0,05, најмалку -220. Тие сепак ќе се намалуваат. Ако не ми верувате, можете да го проверите.) Заменете ги сите вредности на X во оригиналенравенка и пресметај. Цело време ќе ја добивате чистата вистина: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и така натаму.

Еве го твојот одговор: x - кој било број.

Одговорот може да се напише со различни математички симболи, суштината не се менува. Ова е сосема точен и целосен одговор.

Второ изненадување.

Да ја земеме истата елементарна линеарна равенка и да смениме само еден број во неа. Еве што ќе одлучиме:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

По истите идентични трансформации, добиваме нешто интригантно:

Како ова. Решивме линеарна равенка и добивме чудна равенка. Во математичка смисла, добивме лажна еднаквост.И зборувајќи на едноставен јазик, ова не е вистина. Рајв. Но, сепак, оваа глупост е многу добра причина за правилна одлукаравенки.)

Повторно размислуваме врз основа на општи правила. Што x's, кога ќе се замени во оригиналната равенка, ќе ни даде вистинаеднаквост? Да, ниедна! Нема такви Х. Што и да ставиш, се ќе се намали, само глупости ќе останат.)

Еве го твојот одговор: нема решенија.

Ова е исто така целосно целосен одговор. Во математиката често се наоѓаат такви одговори.

Како ова. Сега, се надевам, исчезнувањето на Х во процесот на решавање на која било (не само линеарна) равенка воопшто нема да ве збуни. Ова е веќе познато прашање.)

Сега кога се справивме со сите замки во линеарните равенки, има смисла да ги решиме.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Линеарните равенки се прилично безопасни и јасна темаучилишна математика. Но, доволно чудно, бројот на грешки при решавање на линеарни равенки е само малку помал отколку во другите теми - квадратни равенки, логаритми, тригонометрија и други. Причините за повеќето грешки се банални идентични трансформации на равенките. Пред сè, ова е конфузија во знаците при пренос на термини од еден дел од равенката во друг, како и грешки при работа со дропки и фракционо шанси. Да Да! Дропките се појавуваат и во линеарни равенки! Наоколу. Подолу дефинитивно ќе ги анализираме ваквите зли равенки.)

Па, да не ја влечеме мачката за опашката и да почнеме да ја откриваме, нели? Потоа читаме и истражуваме во него.)

Што е линеарна равенка? Примери.

Обично линеарната равенка изгледа вака:

секира + б = 0,

Каде што a и b се сите броеви. Секаков вид: цели броеви, дропки, негативни, ирационални - може да има какви било!

На пример:

7x + 1 = 0 (тука a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (тука a = 1, b = -3)

x/2 – 1,1 = 0 (тука a = 1/2, b = -1,1)

Во принцип, разбирате, се надевам.) Сè е едноставно, како во бајка. Засега... А ако внимателно се погледне општа евиденција ax+b=0 погледнете подобро и размислете малку? Впрочем, a и b се било кој број! И ако имаме, да речеме, a = 0 и b = 0 (може да се земат сите броеви!), тогаш што ќе добиеме?

0 = 0

Но, тоа не е сè забавно! Што ако, да речеме, a = 0, b = -10? Тогаш испаѓа дека е некаква глупост:

0 = 10.

Што е многу, многу досадно и ја поткопува довербата во математиката што ја стекнавме преку пот и крв... Особено за време на тестови и испити. Но, од овие неразбирливи и чудни еднаквости, треба да најдете и X! Што воопшто не постои! И тука, дури и добро подготвените ученици понекогаш можат да паднат во она што се нарекува ступор... Но, не грижете се! Во оваа лекција ќе ги разгледаме и сите вакви изненадувања. И, исто така, дефинитивно ќе најдеме X од таквите еднаквости.) Покрај тоа, истиот X може да се најде многу, многу едноставно. Да Да! Изненадувачки, но вистинито.)

Во ред, тоа е разбирливо. Но, како може по изгледот на задачата да забележите дека тоа е линеарна равенка, а не некоја друга равенка? За жал, не е секогаш можно да се препознае типот на равенката само по изглед. Поентата е дека не само равенките од формата ax + b = 0 се нарекуваат линеарни, туку и сите други равенки кои, на еден или друг начин, можат да се сведат на оваа форма со идентични трансформации. Како знаеш дали се собира или не? Сè додека не можете да го решите примерот - речиси никако. Ова е вознемирувачко. Но, за некои видови равенки, со еден брз поглед можете веднаш да откриете дали е линеарна или не.

За да го направите ова, да се свртиме уште еднаш кон општа структуракоја било линеарна равенка:

секира + б = 0

Ве молиме запомнете: во линеарната равенка Секогашприсутна е само променливата x во прв степени некои бројки! Тоа е се! Ништо друго. Во исто време, нема X на квадратот, во коцката, под коренот, под логаритамот и други егзотични работи. И (што е најважно!) Нема дропки со X во именителот!Но, дропки со броеви во именители или делење по број- лесно!

На пример:

Ова е линеарна равенка. Равенката содржи само X до првата моќност и броеви. И нема повеќе X високи степени- квадрат, коцки, и така натаму. Да, тука има дропки, но во исто време именители на дропките содржат само бројки.Имено, два и три. Со други зборови, не постои делење со x.

И тука е равенката

Веќе не може да се нарече линеарно, иако и овде има само броеви и X до првата сила. Затоа што, меѓу другото, има и дропки со X во именители. И по поедноставувања и трансформации, таквата равенка може да стане се: линеарна, квадратна - што било.

Како да се решат линеарни равенки? Примери.

Па, како решавате линеарни равенки? Прочитајте и бидете изненадени.) Целото решение на линеарни равенки се заснова на само две главни работи. Да ги наброиме.

1) Збир на елементарни дејства и правила на математиката.

Тоа се користење загради, отворање загради, работа со дропки, работа со негативни броеви, табели за множење итн. Овие знаења и вештини се неопходни не само за решавање на линеарни равенки, туку и за целата математика воопшто. И ако имате проблеми со ова, запомнете помлади класи. Во спротивно ќе ви биде тешко...

2)

Има само две од нив. Да Да! Згора на тоа, овие многу основни идентитетски трансформации се во основата на решението на не само линеарни, туку генерално сите математички равенки! Со еден збор, решението на која било друга равенка - квадратна, логаритамска, тригонометриска, ирационална итн. – по правило започнува со овие баш основни трансформации. Но, решението на линеарните равенки, всушност, завршува со нив (трансформации). Подготвен одговор.) Затоа, немојте да бидете мрзливи и погледнете ја врската.) Покрај тоа, таму детално се анализираат и линеарните равенки.

Па, мислам дека е време да почнеме да гледаме примери.

За почеток, како загревање, да погледнеме некои основни работи. Без никакви фракции или други ѕвона и свирки. На пример, оваа равенка:

x – 2 = 4 – 5x

Ова е класична линеарна равенка. Сите X се најмногу во првата моќност и никаде нема поделба со X. Шемата за решение во таквите равенки е секогаш иста и ужасно едноставна: сите членови со X мора да се соберат лево, а сите членови без X (т.е. броеви) мора да се соберат десно. Па да почнеме да собираме.

За да го направите ова, ја започнуваме првата трансформација на идентитетот. Треба да се движиме -5x налево и -2 надесно. Со промена на знакот, се разбира.) Значи пренесуваме:

x + 5x = 4 + 2

Еве ти. Половина од битката е завршена: X-овите се собрани на куп, а исто така и броевите. Сега ви претставуваме слични лево, а ги броиме десно. Добиваме:

6x = 6

Што ни недостасува сега за целосна среќа? Да, за чистиот Х да остане лево! И шесте се попречуваат. Како да се ослободите од него? Сега ја извршуваме втората трансформација на идентитетот - поделете ги двете страни на равенката со 6. И - Voila! Одговорот е подготвен.)

x = 1

Се разбира, примерот е сосема примитивен. За да се добие општата идеја. Па, ајде да одлучиме нешто позначајно. На пример, да ја погледнеме оваа равенка:

Ајде да го разгледаме подетално.) Ова е исто така линеарна равенка, иако се чини дека тука има дропки. Но, во дропките има делење со два и има делење со три, но нема делење со израз со Х! Па да одлучиме. Користејќи ги истите идентични трансформации, да.)

Што треба прво да направиме? Со X - лево, без X - надесно? Во принцип, ова е можно. Летајте до Сочи преку Владивосток.) ​​Или можете да одите по најкраткиот пат, веднаш користејќи универзален и моќен метод. Ако ги знаете идентитетските трансформации, се разбира.)

Прво, поставувам клучно прашање: што најмногу ви се истакнува и што најмногу не ви се допаѓа во оваа равенка? 99 од 100 луѓе ќе речат: дропки!И тие ќе бидат во право.) Затоа прво да се ослободиме од нив. Безбедно за самата равенка.) Затоа, да почнеме веднаш со втора трансформација на идентитетот- од множење. Со што треба да ја помножиме левата страна за именителот успешно да се намали? Така е, два. Што е со десната страна? За тројца! Но... Математиката е каприциозна дама. Таа, гледате, бара множење само на двете страни за истиот број!Множењето на секој дел со својот број не функционира... Што ќе правиме? Нешто... Барајте компромис. За да ги задоволиме нашите желби (да се ослободиме од дропките) и да не ја навредиме математиката.) Да ги помножиме двата дела со шест!) Тоа е, со заедничкиот именител на сите дропки вклучени во равенката. Тогаш со еден удар и двете и трите ќе се намалат!)

Па ајде да се множиме. Целата лева страна и целата десна страна! Затоа, користиме загради. Вака изгледа самата процедура:

Сега ги отвораме истите загради:

Сега, претставувајќи го 6 како 6/1, ајде да помножиме шест со секоја од дропките лево и десно. Ова обично множењедропки, но нека биде така, ќе го напишам детално:

И тука - внимание! Го ставам броителот (x-3) во заграда! Сето ова е затоа што при множење на дропки, броителот се множи целосно, целосно! И изразот x-3 мора да се работи како една интегрална структура. Но, ако го напишете броителот вака:

6x - 3,

Но, имаме се во ред и треба да го финализираме. Што да се прави следно? Да се ​​отворат заградите во броителот лево? Во никој случај! Јас и ти ги помноживме двете страни со 6 за да се ослободиме од дропките и да не се грижиме за отворање загради. На на оваа бинани треба намалете ги нашите дропки.Со чувство на длабоко задоволство, ги намалуваме сите именители и добиваме равенка без никакви дропки, во линијар:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

И сега може да се отворат преостанатите загради:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

Равенката станува се подобра и подобра! Сега да се потсетиме повторно на првата идентична трансформација. СО камено лицеЈа повторуваме магијата од основно училиште: со X - лево, без X - надесно. И примени ја оваа трансформација:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Ви претставуваме слични лево и сметаме на десно:

13x = 39

Останува да се поделат двата дела со 13. Односно, повторно примени ја втората трансформација. Се делиме и го добиваме одговорот:

x = 3

Работата е завршена. Како што можете да видите, во дадена равенкаморавме да ја примениме првата трансформација еднаш (пренесување поими) и втората двапати: на почетокот на решението користевме множење (со 6) за да се ослободиме од дропките, а на крајот од решението користевме делење (со 13) да се ослободи од коефициентот пред X. И решението за која било (да, која било!) линеарна равенка се состои од комбинација на истите овие трансформации во една или друга низа. Од каде точно да се започне зависи од конкретната равенка. На некои места е попрофитабилно да се започне со пренос, а на други (како во овој пример) со множење (или делење).

Работиме од едноставно до сложено. Ајде сега да размислиме за целосна суровост. Со еден куп дропки и загради. И ќе ви кажам како да не се пренапрегате.)

На пример, еве ја равенката:

Гледаме во равенката за една минута, се ужаснуваме, но сепак се собираме! Главниот проблем е од каде да се започне? Можете да додавате фракции на десната страна. Можете да одземете дропки во загради. Можете да ги помножите двата дела со нешто. Или подели... Па што е уште возможно? Одговор: се е можно! Математиката не забранува ниту една од наведените дејства. И без разлика каков редослед на дејства и трансформации ќе изберете, одговорот секогаш ќе биде ист - точниот. Доколку, се разбира, во некој чекор не го нарушите идентитетот на вашите трансформации и, притоа, не направите грешки...

И, за да не се прават грешки, во такви софистицирани примери како овој, секогаш е најкорисно да го процените неговиот изглед и да сфатите во вашиот ум: што може да се направи во примерот за да максимумда се поедностави во еден чекор?

Па ајде да го сфатиме. Лево се шестки во именителот. Мене лично не ми се допаѓаат и многу лесно се отстрануваат. Дозволете ми да ги помножам двете страни на равенката со 6! Тогаш шестките лево ќе бидат успешно намалени, дропките во заградите сè уште нема да одат никаде. Па, тоа е во ред. Ќе се справиме со нив малку подоцна.) Но, од десната страна, ги имаме именителите 2 и 3 кои се откажуваат. Токму со оваа акција (множење со 6) постигнуваме максимални поедноставувања во еден чекор!

По множењето, целата наша зла равенка станува вака:

Ако не разбирате точно како настанала оваа равенка, тогаш не сте ја разбрале добро анализата на претходниот пример. И се обидов, патем...

Значи, да откриеме:

Сега најлогичен чекор би бил да се изолираат дропките од левата страна и да се испратат 5x на десната страна. Во исто време, ќе претставиме слични на десната страна. Добиваме:

Веќе многу подобро. Сега левата страна се подготви за множење. Со што да ја помножиме левата страна за да се намалат и петте и четирите одеднаш? На 20! Но, имаме и недостатоци од двете страни на равенката. Затоа, најзгодно ќе биде да се помножат двете страни на равенката не со 20, туку со -20. Потоа со еден удар ќе исчезнат и минусите и фракциите.

Значи, множиме:

Секој кој сè уште не го разбира овој чекор значи дека проблемот не е во равенките. Проблемите се во основите! Да се ​​потсетиме повторно Златно правилозагради за отворање:

Ако некој број се множи со некој израз во загради, тогаш овој број мора последователно да се множи со секој член од овој израз. Покрај тоа, ако бројот е позитивен, тогаш знаците на изразите се зачувани по проширувањето. Ако е негативно, променете го спротивното:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Нашите недостатоци исчезнаа откако ги помноживме двете страни со -20. И сега ги множиме заградите со дропки лево за доста позитивен број 20. Затоа, кога ќе се отворат овие загради, се зачувани сите знаци што биле внатре во нив. Но, од каде потекнуваат заградите во броителите на дропките, веќе детално објаснив во претходниот пример.

Сега можете да ги намалите фракциите:

4 (3-5x)-5 (3x-2) = 20

Отворете ги преостанатите загради. Повторно, правилно го откриваме. Првите загради се множат со позитивниот број 4 и, според тоа, сите знаци се зачувани кога ќе се отворат. Но, вторите загради се множат со негативенбројот е -5 и, според тоа, сите знаци се обратни:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Останаа само ситници. Со X налево, без X надесно:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

Тоа е речиси сè. Лево ви треба чист Х, но бројот -35 е на патот. Така ги делиме двете страни со (-35). Дозволете ми да ве потсетам дека втората трансформација на идентитетот ни овозможува да се множиме и делиме со двете страни како и да еброј. Вклучувајќи ги и негативните.) Се додека не е нула! Слободно поделете и добијте го одговорот:

X = 2/35

Овој пат X се покажа како фракционо. Во ред е. Таков пример.)

Како што можеме да видиме, принципот на решавање на линеарни равенки (дури и најсложените) е прилично едноставен: ја земаме оригиналната равенка и, користејќи идентични трансформации, сукцесивно ја поедноставуваме додека не го добиеме одговорот. Со основите, се разбира! Главните проблеми овде се токму неусогласеноста со основите (на пример, има минус пред заградите, а тие заборавија да ги сменат знаците при проширување), како и во баналната аритметика. Затоа, не ги занемарувајте основните работи! Тие се основата на сите други математики!

Некои забавни работи што треба да ги правите кога решавате линеарни равенки. Или специјални прилики.

Се би било во ред. Сепак... Меѓу линеарните равенки има и такви смешни бисери кои во процесот на нивно решавање можат да ве одведат во силен ступор. Дури и одличен студент.)

На пример, еве една равенка со неопасен изглед:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Зевајќи широко и малку досадно, ги собираме сите X лево и сите броеви надесно:

7x-4x-3x = 5-2-3

Ви претставуваме слични, пребројте и добивате:

0 = 0

Тоа е тоа! Дадов примерок трик! Оваа еднаквост сама по себе не предизвикува приговори: нулата е навистина еднаква на нула. Но, Х недостасува! Без трага! И ние мора да запишеме во одговорот, на што е x еднакво. Во спротивно, одлуката не се брои, да.) Што да се прави?

Не паничете! Во такви нестандардни случаи, најмногу општи концептии принципи на математиката. Што е равенка? Како да се решат равенките? Што значи да се реши равенка?

Решавањето на равенката значи наоѓање Ситевредностите на променливата x, кои, кога ќе се заменат во оригиналенравенката ќе ни ја даде точната еднаквост (идентитет)!

Но, имаме вистинска еднаквост тоа веќе се случи! 0=0, или подобро кажано, никаде!) Можеме само да погодуваме на кои X ја добиваме оваа еднаквост. Во какви X може да се заменат оригиналенравенка, ако при замена сите од нив дали сепак ќе бидат сведени на нула?Сè уште не сте сфатиле?

Сигурно! X може да се заменат било кој!!! Апсолутно било. Поднесете што сакате. Најмалку 1, најмалку -23, најмалку 2,7 - што и да е! Тие сепак ќе се намалат и како резултат на тоа ќе остане чистата вистина. Пробајте го, заменете го и уверете се сами.)

Еве го твојот одговор:

x – кој било број.

Во научната нотација оваа еднаквост е напишана на следниов начин:

Овој запис гласи вака: „X е секој реален број“.

Или во друга форма, во интервали:

Дизајнирајте го онака како што најмногу ви се допаѓа. Ова е точен и целосно целосен одговор!

Сега ќе сменам само еден број во нашата оригинална равенка. Сега да ја решиме оваа равенка:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Повторно ги пренесуваме условите, броиме и добиваме:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

И што мислите за оваа шега? Имаше обична линеарна равенка, но таа стана неразбирлива еднаквост

0 = 1…

Зборувајќи научен јазик, добивме лажна еднаквост.Но, на руски тоа не е точно. Срање. Глупости.) Затоа што нулата во никој случај не е еднаква на еден!

И сега да откриеме повторно какви X, кога ќе се заменат во првобитната равенка, ќе ни дадат вистинска еднаквост?Кои? Но, ниедна! Без разлика кој X ќе го замените, сè ќе биде скратено и сè ќе остане глупост.)

Еве го одговорот: нема решенија.

Во математичка нотација, овој одговор е напишан вака:

Тоа гласи: „X припаѓа на празното множество“.

Ваквите одговори во математиката, исто така, се појавуваат доста често: во принцип, не секогаш равенките имаат корени. Некои равенки можеби воопшто немаат корени. Воопшто.

Еве две изненадувања. Се надевам дека сега ненадејното исчезнување на X од равенката нема да ве остави засекогаш збунети. Ова е сосема познато.)

И тогаш слушам логично прашање: дали ќе бидат на ОГЕ или на обединет државен испит? На Единствениот државен испит сам по себе како задача - бр. Премногу едноставно. Но, во OGE или во проблеми со зборови - лесно! Па сега ајде да тренираме и да одлучиме:

Одговори (во неред): -2; -1; кој било број; 2; нема решенија; 7/13.

Сè успеа? Одлично! Имате добри шанси на испитот.

Дали нешто не се собира? Хм... Тага, се разбира. Ова значи дека сè уште има празнини некаде. Или во основите или идентитетски трансформации. Или тоа е само прашање на едноставно невнимание. Прочитајте ја лекцијата повторно. Бидејќи ова не е тема што може така лесно да се отфрли во математиката...

Со среќа! Таа дефинитивно ќе ви се насмевне, верувајте ми!)

Линеарната равенка е алгебарска равенка, целосна дипломачии полиноми се еднакви на еден. Решавање линеарни равенки - дел училишна наставна програма, и не најтешко. Сепак, некои сè уште имаат потешкотии да ја завршат оваа тема. Се надеваме по читањето овој материјал, сите тешкотии за вас ќе бидат минато. Значи, ајде да го сфатиме. како да се решаваат линеарни равенки.

Општа форма

Линеарната равенка е претставена како:

• ax + b = 0, каде што a и b се кои било броеви.

Иако a и b може да бидат кој било број, нивните вредности влијаат на бројот на решенија на равенката. Постојат неколку посебни случаи на решение:

• Ако a=b=0, равенката има бесконечно множествоодлуки;
• Ако a=0, b≠0, равенката нема решение;
• Ако a≠0, b=0, равенката има решение: x = 0.

Во случај и двата броја да имаат вредности кои не се нула, равенката мора да се реши за да се изведе конечниот израз за променливата.

Како да се одлучи?

Решавањето на линеарна равенка значи да се најде на што е еднаква променливата. Како да го направите ова? Да, многу едноставно - користење на едноставни алгебарски операциии следејќи ги правилата за трансфер. Ако равенката се појави пред вас во општа форма, имате среќа; се што треба да направите е:

1. Преместете го b во десна странаравенка, не заборавајќи да го смениме знакот (превод правило!), така што од израз на формата ax + b = 0 треба да се добие израз на формата: ax = -b.
2. Применете го правилото: за да пронајдете еден од факторите (x - во нашиот случај), треба да го поделите производот (-b во нашиот случај) со друг фактор (a - во нашиот случај). Така, треба да добиете израз на формата: x = -b/a.

Тоа е тоа - најдено е решение!

Сега да погледнеме конкретен пример:

1. 2x + 4 = 0 - потег b е еднаков на во овој случај 4, десно
2. 2x = -4 - подели b со a (не заборавајте за знакот минус)
3. x = -4/2 = -2

Тоа е се! Нашето решение: x = -2.

Како што можете да видите, решението на линеарна равенка со една променлива е прилично едноставно да се најде, но сè е толку едноставно ако имаме доволно среќа да ја сретнеме равенката во нејзината општа форма. Во повеќето случаи, пред да ја решите равенката во двата чекори опишани погоре, исто така треба да го намалите постоечкиот израз на општ изглед. Сепак, ова исто така не е исклучително тешка задача. Ајде да погледнеме некои посебни случаи користејќи примери.

Решавање на посебни случаи

Прво, да ги погледнеме случаите што ги опишавме на почетокот на статијата и да објасниме што значи да се има бесконечен број решенија, а нема решение.

• Ако a=b=0, равенката ќе изгледа вака: 0x + 0 = 0. Извршувајќи го првиот чекор, добиваме: 0x = 0. Што значи оваа глупост, извикуваш! На крајот на краиштата, без разлика кој број ќе го помножите со нула, секогаш добивате нула! Во право! Затоа велат дека равенката има бесконечен број решенија - без разлика кој број ќе земете, еднаквоста ќе биде вистина, 0x = 0 или 0 = 0.
• Ако a=0, b≠0, равенката ќе изгледа вака: 0x + 3 = 0. Направете го првиот чекор, добиваме 0x = -3. Пак глупости! Очигледно е дека оваа еднаквост никогаш нема да биде вистина! Затоа велат дека равенката нема решенија.
• Ако a≠0, b=0, равенката ќе изгледа вака: 3x + 0 = 0. Извршувајќи го првиот чекор добиваме: 3x = 0. Кое е решението? Лесно е, x = 0.

Изгубени во преводот

Опишаните специјални случаи не се сите со кои линеарните равенки можат да не изненадат. Понекогаш равенката е тешко да се идентификува на прв поглед. Ајде да погледнеме на пример:

• 12x - 14 = 2x + 6

Дали е ова линеарна равенка? Што е со нулата на десната страна? Да не избрзуваме со заклучоци, да дејствуваме - да ги пренесеме сите компоненти на нашата равенка во лева страна. Добиваме:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Сега одземе лајк од лајк, добиваме:

• 10x - 20 = 0

Научен? Најлинеарната равенка досега! Решението на кое е: x = 20/10 = 2.

Што ако го имаме овој пример:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Да, ова е исто така линеарна равенка, само треба да се направат повеќе трансформации. Прво, да ги отвориме заградите:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - сега го извршуваме трансферот:
4. 25x - 4 = 0 - останува да се најде решение врз основа на позната шема:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Како што можете да видите, сè може да се реши, главната работа не е да се грижите, туку да дејствувате. Запомнете, ако вашата равенка содржи само променливи од прв степен и броеви, имате линеарна равенка, која, без разлика како изгледа првично, може да се сведе на општа форма и да се реши. Се надеваме дека сè ќе биде добро за вас! Со среќа!

Равенки. Поинаку кажано, решението на сите равенки започнува со овие трансформации. При решавање на линеарни равенки, тоа (решението) се заснова на идентитетски трансформации и завршува со конечниот одговор.

Случај на ненулта коефициент за непозната променлива.

ax+b=0, a ≠ 0

Ги поместуваме членовите со X на едната страна, а броевите на другата страна. Не заборавајте да го запомните тоа кога ги пренесувате условите на спротивната странаравенки, треба да го смените знакот:

секира:(а)=-б:(а)

Ајде да скратиме Ана Xи добиваме:

x=-b:(а)

Ова е одговорот. Ако треба да проверите дали има број -б: (а)коренот на нашата равенка, тогаш треба да го замениме почетна равенканаместо Xова е бројот:

a(-b:(a))+b=0 (тие. 0=0)

Бидејќи тогаш оваа еднаквост е точна -б: (а)а вистината е коренот на равенката.

Одговор: x=-b:(а), a ≠ 0.

Прв пример:

5x+2=7x-6

Ги преместуваме членовите на едната страна X, а од другата страна бројките:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

За непознат фактор, го намаливме коефициентот и го добивме одговорот:

Ова е одговорот. Ако треба да проверите дали бројот 4 е навистина коренот на нашата равенка, го заменуваме овој број наместо X во првобитната равенка:

5*4+2=7*4-6 (тие. 22=22)

Бидејќи оваа еднаквост е точно, тогаш 4 е коренот на равенката.

Втор пример:

Реши ја равенката:

5x+14=x-49

Со пренесување на непознатите и броевите во различни страни, доби:

Поделете ги деловите од равенката со коефициентот во x(за 4) и добиваме:

Трет пример:

Реши ја равенката:

Прво, се ослободуваме од ирационалноста во коефициентот за непознатото со множење на сите членови со:

Оваа форма се смета за поедноставена, бидејќи бројот го има коренот на бројот во именителот. Треба да го поедноставиме одговорот со множење на броителот и именителот со истиот број, го имаме ова:

Случај без решенија.

Реши ја равенката:

2x+3=2x+7

Пред сите xнашата равенка нема да стане вистинска еднаквост. Тоа е, нашата равенка нема корени.

Одговор: нема решенија.

Посебен случај е бесконечен број решенија.

Реши ја равенката:

2x+3=2x+3

Преместување на X и броеви во различни насоки и доведување слични термини, ја добиваме равенката:

И овде не може двата дела да се поделат со 0, бидејќи тоа е забрането. Сепак, ставање во место Xкој било број, ја добиваме точната еднаквост. Односно, секој број е решение за таква равенка. Така, овде бесконечен бројодлуки.

Одговор: бесконечен број решенија.

Случај на еднаквост на две целосни форми.

секира+б=цх+г

ax-cx=d-b

(а-в)х=д-б

x=(d-b):(a-c)

Одговор: x=(d-b):(a-c), Ако d≠b и a≠c, инаку има бескрајно многу решенија, но ако a=c, А d≠b, тогаш нема решенија.