Собирање на дропки со слични именители
Постојат два вида на собирање на дропки:
- Собирање на дропки со слични именители
- Собирање на дропки со различни именители
Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:
Пример 2.Додадете дропки и .
Одговорот се покажа како несоодветна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај, целиот дел лесно се изолира - два поделени со два еднакви:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:
Пример 3. Додадете дропки и .
Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:
Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
- За да додадете дропки со ист именител, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет;
Собирање на дропки со различни именители
Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.
На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.
Но, дропките не можат веднаш да се соберат, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.
Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.
Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.
Пример 1. Да ги собереме дропките и
Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.
Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:
Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.
Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:
Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:
Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:
Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).
Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).
Ве молиме имајте предвид дека овој пример го опишавме премногу детално. Во образовните институции не е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го најдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броителите и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:
Но, има и друга страна на медалот. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.
За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:
- Најдете LCM на именители на дропки;
- Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
- Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители;
- Додадете дропки кои имаат исти именители;
- Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел;
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
.
Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.
Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките
Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4
Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка
Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:
Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:
Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители
Ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:
Чекор 4. Додадете дропки со исти именители
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:
Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, и потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот на новиот ред. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.
Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел
Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мораме да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:
Добивме одговор
Одземање на дропки со слични именители
Постојат два вида на одземање на дропки:
- Одземање на дропки со слични именители
- Одземање на дропки со различни именители
Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но именителот да го оставите ист.
На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Да го направиме ова:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.
Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:
Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот 
Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на останатите дропки:
Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:
- За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет;
- Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш треба да го истакнете целиот дел од него.
Одземање на дропки со различни именители
На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.
Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.
Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.
Пример 1.Најдете го значењето на изразот:
Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се вратиме на дропки и
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:
Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:
Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:
Добивме одговор
Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица
Ова е деталната верзија на решението. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:
Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):
На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.
Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот 
Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.
Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.
Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.
Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:
Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:
Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:
Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.
Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:
Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.
За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.
Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:
Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10
Добивме одговор
Множење на дропка со број
За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дадената дропка со тој број и да го оставите именителот ист.
Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.
Помножете го броителот на дропката со бројот 1
Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земете пица еднаш, добивате пица
Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:
Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на дропката со 4
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици
И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се сфати како преземање две пици од четири цели пици:
Множење на дропки
За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот дел од него.
Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.
Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:
Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:
Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:
И земете две од овие три парчиња:
Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:
Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:
Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е
Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:
Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот
Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:
Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од броевите 105 и 450.
Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:
Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15
Претставување цел број како дропка
Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:
Реципрочни броеви
Сега ќе се запознаеме со една многу интересна тема во математиката. Тоа се нарекува „обратни броеви“.
Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.
Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:
Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.
Дали е можно да се најде број кој, помножен со 5, дава еден? Излегува дека е можно. Ајде да замислиме пет како дропка:
Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:
Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:
Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.
Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.
Можете да го најдете и реципроцитетот на која било друга дропка. За да го направите ова, само превртете го.
Делење дропка со број
Да речеме дека имаме половина пица:
Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?
Се гледа дека по делењето на половина од пицата се добиени две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.
Поделбата на дропките се врши со помош на реципрочни. Реципрочните броеви ви дозволуваат да го замените делењето со множење.
За да поделите дропка со број, треба да ја помножите дропот со инверзната на делителот.
Користејќи го ова правило, ќе ја запишеме поделбата на нашата половина од пицата на два дела.
Значи, треба да ја поделите дропот со бројот 2. Овде дивидендата е дропка, а делителот е бројот 2.
За да поделите дропка со бројот 2, треба да ја помножите оваа дропка со реципроцитет на делителот 2. Реципроцитет на делителот 2 е дропка. Значи треба да се множи со
Една од најважните науки, чија примена може да се види во дисциплини како што се хемијата, физиката, па дури и биологијата, е математиката. Проучувањето на оваа наука ви овозможува да развиете некои ментални квалитети и да ја подобрите вашата способност да се концентрирате. Една од темите што заслужуваат посебно внимание во предметот Математика е собирање и одземање дропки. На многу студенти им е тешко да учат. Можеби нашата статија ќе ви помогне подобро да ја разберете оваа тема.
Како да се одземат дропки чии именители се исти
Дропките се истите броеви со кои можете да извршите различни операции. Нивната разлика од цели броеви лежи во присуството на именител. Затоа, при извршување на операции со дропки, треба да проучите некои од нивните карактеристики и правила. Наједноставен случај е одземање на обични дропки чии именители се претставени како ист број. Извршувањето на оваа акција нема да биде тешко ако знаете едноставно правило:
- За да се одземе секунда од една дропка, потребно е да се одземе броителот на одземената дропка од броителот на дропот што се намалува. Овој број го запишуваме во броителот на разликата, а именителот го оставаме ист: k/m - b/m = (k-b)/m.
Примери за одземање дропки чии именители се исти
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Од броителот на дропката „7“ го одземаме броителот на дропката „3“ што треба да се одземе, добиваме „4“. Овој број го пишуваме во броителот на одговорот, а во именителот го ставаме истиот број што беше во именителот на првата и втората дропка - „19“.
Сликата подолу покажува уште неколку слични примери.
Да разгледаме покомплексен пример каде што се одземаат дропките со слични именители:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Од броителот на дропката „29“ се намалува со одземање за возврат на броителите на сите наредни дропки - „3“, „8“, „2“, „7“. Како резултат на тоа, го добиваме резултатот „9“, кој го запишуваме во броителот на одговорот, а во именителот го запишуваме бројот што е во именителот на сите овие дропки - „47“.
Собирање на дропки кои имаат ист именител
Собирањето и одземањето на обичните дропки го следи истиот принцип.
- За да соберете дропки чии именители се исти, треба да ги соберете броителите. Добиениот број е броител на збирот, а именителот ќе остане ист: k/m + b/m = (k + b)/m.
Ајде да видиме како изгледа ова користејќи пример:
1/4 + 2/4 = 3/4.
На броителот на првиот член од дропката - „1“ - додадете го броителот на вториот член од дропката - „2“. Резултатот - „3“ - се запишува во броителот на збирот, а именителот останува ист како оној присутен во дропките - „4“.
Дропки со различни именители и нивно одземање
Веќе ја разгледавме операцијата со дропки кои имаат ист именител. Како што можете да видите, знаејќи едноставни правила, решавањето на такви примери е прилично лесно. Но, што ако треба да извршите операција со дропки кои имаат различни именители? Многу средношколци се збунети од ваквите примери. Но и овде, ако го знаете принципот на решението, примерите веќе нема да ви бидат тешки. Тука постои и правило, без кое решавањето на такви дропки е едноставно невозможно.
- 2/3 - еден три и еден два недостасуваат во именителот:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 или 7/(3 x 3) - на именителот му недостасуваат два:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 или 5/(2 x 3) - на именителот недостасува тројка:
5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18. - Бројот 18 е составен од 3 x 2 x 3.
- Бројот 15 е составен од 5 x 3.
- Заедничкиот множител ќе бидат следните фактори: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 поделено со 15. Добиениот број „6“ ќе биде множител за 3/15.
- 90 поделено со 18. Добиениот број „5“ ќе биде множител за 4/18.
- Претворете ги сите дропки кои имаат цел број во неправилни. Со едноставни зборови, отстранете цел дел. За да го направите ова, помножете го бројот на целобројниот дел со именителот на дропката и додајте го добиениот производ на броителот. Бројот што излегува по овие дејства е броител на неправилната дропка. Именителот останува непроменет.
- Ако дропките имаат различни именители, тие треба да се сведат на ист именител.
- Изврши собирање или одземање со исти именители.
- Кога примате несоодветна дропка, изберете го целиот дел.
За да се одземат дропките со различни именители, тие мора да се сведат на ист најмал именител.
Ќе разговараме подетално за тоа како да го направите ова.
Својство на дропка
За да донесете неколку дропки на ист именител, треба да го искористите главното својство на дропката во решението: откако ќе ги поделите или помножите броителот и именителот со ист број, добивате дропка еднаква на дадената.
Така, на пример, дропката 2/3 може да има именители како што се „6“, „9“, „12“ итн., односно може да има форма на кој било број што е множител на „3“. Откако ќе ги помножиме броителот и именителот со „2“, ја добиваме дропот 4/6. Откако ќе ги помножиме броителот и именителот на првобитната дропка со „3“, добиваме 6/9, а ако извршиме слична операција со бројот „4“, добиваме 8/12. Една еднаквост може да се запише на следниов начин:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Како да конвертирате повеќе дропки во ист именител
Ајде да погледнеме како да намалиме повеќе дропки на ист именител. На пример, да ги земеме дропките прикажани на сликата подолу. Прво треба да одредите кој број може да стане именител за сите нив. За да ги олесниме работите, да ги факторизираме постоечките именители.
Именителот на дропката 1/2 и дропката 2/3 не може да се размножуваат. Именителот 7/9 има два фактора 7/9 = 7/(3 x 3), именителот на дропката 5/6 = 5/(2 x 3). Сега треба да одредиме кои фактори ќе бидат најмали за сите овие четири дропки. Бидејќи првата дропка го има бројот „2“ во именителот, тоа значи дека мора да биде присутен во сите именители; во дропката 7/9 има две тројки, што значи дека и двете мора да бидат присутни во именителот. Земајќи го предвид горенаведеното, утврдуваме дека именителот се состои од три фактори: 3, 2, 3 и е еднаков на 3 x 2 x 3 = 18.
Да ја разгледаме првата дропка - 1/2. Во неговиот именител има „2“, но нема ниту една цифра „3“, туку треба да има две. За да го направите ова, ние го множиме именителот со две тројки, но, според својството на дропка, мора да го помножиме броителот со две тројки:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Ги извршуваме истите операции со преостанатите фракции.
Сè заедно изгледа вака:
Како да се одземат и собираат дропки кои имаат различни именители
Како што беше споменато погоре, за да се соберат или одземат дропките што имаат различни именители, тие мора да се сведат на ист именител, а потоа да се користат правилата за одземање дропки кои имаат ист именител, за кои веќе беше дискутирано.
Да го погледнеме ова како пример: 4/18 - 3/15.
Наоѓање на множителот на броевите 18 и 15:
Откако ќе се најде именителот, потребно е да се пресмета факторот што ќе биде различен за секоја дропка, односно бројот со кој ќе треба да се множи не само именителот, туку и броителот. За да го направите ова, поделете го бројот што го најдовме (заедничкиот множител) со именителот на дропката за која треба да се одредат дополнителни фактори.
Следната фаза од нашето решение е да ја намалиме секоја дропка на именителот „90“.
Веќе разговаравме за тоа како се прави ова. Ајде да видиме како ова е напишано во пример:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ако дропките имаат мали броеви, тогаш можете да го одредите заедничкиот именител, како на примерот прикажан на сликата подолу.
Истото важи и за оние со различни именители.
Одземање и има цели делови
Веќе детално разговаравме за одземањето на дропките и нивното собирање. Но, како да се одземе ако дропка има цел број? Повторно, ајде да користиме неколку правила:
Постои уште еден начин на кој можете да собирате и одземате дропки со цели делови. За да го направите ова, дејствата се изведуваат одделно со цели делови, а дејствата со дропки одделно, а резултатите се снимаат заедно.
Дадениот пример се состои од дропки кои имаат ист именител. Во случај кога именителите се различни, тие мора да се доведат до иста вредност, а потоа да се извршат дејствата како што е прикажано во примерот.
Одземање на дропки од цели броеви
Друг тип на операција со дропки е случајот кога мора да се одземе дропка.На прв поглед таков пример изгледа тешко да се реши. Сепак, сè е прилично едноставно овде. За да го решите, треба да го претворите целиот број во дропка, и тоа со истиот именител што е во одземената дропка. Следно, вршиме одземање слично на одземање со идентични именители. Во пример, изгледа вака:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Одземањето на дропки (одделение 6) претставено во оваа статија е основа за решавање на посложени примери кои се опфатени во следните оценки. Познавањето на оваа тема последователно се користи за решавање на функции, деривати итн. Затоа, многу е важно да се разберат и разберат операциите со дропките дискутирани погоре.
§ 87. Собирање на дропки.
Собирањето дропки има многу сличности со собирањето цели броеви. Собирањето на дропки е дејство кое се состои во тоа што неколку дадени броеви (поими) се комбинираат во еден број (збир), кој ги содржи сите единици и фракции на единиците на поимите.
Ќе разгледаме три случаи последователно:
1. Собирање на дропки со слични именители.
2. Собирање на дропки со различни именители.
3. Собирање на мешани броеви.
1. Собирање на дропки со слични именители.
Размислете за пример: 1/5 + 2/5.
Да ја земеме отсечката AB (сл. 17), да ја земеме како една и да ја поделиме на 5 еднакви делови, тогаш делот AC од оваа отсечка ќе биде еднаков на 1/5 од отсечката AB, а дел од истата отсечка CD ќе биде еднаков на 2/5 АБ.
Од цртежот е јасно дека ако ја земеме отсечката AD, таа ќе биде еднаква на 3/5 AB; но отсечката AD е токму збирот на отсечките AC и CD. Така можеме да напишеме:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Со оглед на овие членови и добиениот збир, гледаме дека броителот на збирот е добиен со собирање на броителите на членовите, а именителот останал непроменет.
Од ова го добиваме следново правило: За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите истиот именител.
Ајде да погледнеме на пример:
2. Собирање на дропки со различни именители.
Да ги додадеме дропките: 3 / 4 + 3 / 8 Прво треба да се сведе на најмал заеднички именител:
Не можеше да се напише средната врска 6/8 + 3/8; го напишавме овде за јасност.
Така, за да додадете дропки со различни именители, прво мора да ги намалите на најмал заеднички именител, да ги додадете нивните броители и да го означите заедничкиот именител.
Да разгледаме пример (ќе напишеме дополнителни фактори над соодветните фракции):
3. Собирање на мешани броеви.
Да ги собереме броевите: 2 3/8 + 3 5/6.
Ајде прво да ги донесеме дробните делови од нашите броеви до заеднички именител и да ги преработиме повторно:
Сега последователно ги додаваме целобројните и фракционите делови:
§ 88. Одземање на дропки.
Одземањето на дропките се дефинира на ист начин како и одземањето на цели броеви. Ова е дејство со чија помош, со оглед на збирот на два члена и еден од нив, се наоѓа друг член. Да разгледаме три случаи последователно:
1. Одземање дропки со слични именители.
2. Одземање на дропки со различни именители.
3. Одземање на мешани броеви.
1. Одземање дропки со слични именители.
Ајде да погледнеме на пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да ја земеме отсечката AB (сл. 18), да ја земеме како единица и да ја поделиме на 15 еднакви делови; тогаш делот AC од овој сегмент ќе претставува 1/15 од AB, а делот AD од истиот сегмент ќе одговара на 13/15 AB. Дозволете ни да одвоиме друга отсечка ED еднаква на 4/15 AB.
Дропката 4/15 треба да ја одземеме од 13/15. На цртежот, тоа значи дека сегментот ED мора да се одземе од сегментот AD. Како резултат на тоа, сегментот AE ќе остане, што е 9/15 од сегментот AB. Така можеме да напишеме:
Примерот што го направивме покажува дека броителот на разликата е добиен со одземање на броителите, но именителот останал ист.
Затоа, за да се одземат дропки со слични именители, треба да се одземе броителот на подлогата од броителот на минуендот и да се остави истиот именител.
2. Одземање на дропки со различни именители.
Пример. 3/4 - 5/8
Прво, да ги намалиме овие дропки на најмал заеднички именител:
Средното 6 / 8 - 5 / 8 е напишано овде за јасност, но може да се прескокне подоцна.
Така, за да одземете дропка од дропка, прво мора да ги намалите на најмал заеднички именител, потоа да го одземете броителот на минуендот од броителот на минуендот и да го потпишете заедничкиот именител под нивната разлика.
Ајде да погледнеме на пример:
3. Одземање на мешани броеви.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3.
Дозволете ни да ги намалиме дробните делови од минуендот и да ги подземиме на најмал заеднички именител:
Одземавме целина од целина и дропка од дропка. Но, има случаи кога фракциониот дел од подлогата е поголем од фракциониот дел од минуендот. Во такви случаи, треба да земете една единица од целиот дел од минуендот, да ја поделите на оние делови во кои е изразен фракциониот дел и да ја додадете во дробниот дел од минуендот. И тогаш одземањето ќе се изврши на ист начин како во претходниот пример:
§ 89. Множење на дропки.
Кога го проучуваме множењето на дропките, ќе ги разгледаме следниве прашања:
1. Множење на дропка со цел број.
2. Наоѓање на дропка од даден број.
3. Множење цел број со дропка.
4. Множење на дропка со дропка.
5. Множење на мешани броеви.
6. Концептот на интерес.
7. Наоѓање на процентот на даден број. Ајде да ги разгледаме последователно.
1. Множење на дропка со цел број.
Множењето на дропка со цел број има исто значење како и множењето на цел број со цел број. Да се помножи дропка (множител) со цел број (фактор) значи да се создаде збир од идентични членови, во кои секој член е еднаков на множителот, а бројот на членовите е еднаков на множителот.
Ова значи дека ако треба да помножите 1/9 со 7, тогаш тоа може да се направи вака:
Лесно го добивме резултатот, бидејќи дејството се сведе на собирање дропки со исти именители. Оттука,
Разгледувањето на ова дејство покажува дека множењето на дропка со цел број е еквивалентно на зголемување на оваа дропка онолку пати колку што има единици во целиот број. А бидејќи зголемувањето на дропка се постигнува или со зголемување на неговиот броител
или со намалување на неговиот именител 
, тогаш можеме или да го помножиме броителот со цел број или да го поделиме именителот со него, доколку таквото делење е можно.
Од тука го добиваме правилото:
За да помножите дропка со цел број, броителот го множите со цел број и го оставате именителот ист, или ако е можно, именителот го делите со тој број, оставајќи го броителот непроменет.
При множење, можни се кратенки, на пример:
2. Наоѓање на дропка од даден број.Има многу проблеми во кои треба да најдете, или пресметате, дел од даден број. Разликата помеѓу овие проблеми и другите е во тоа што тие го даваат бројот на некои предмети или мерни единици и треба да пронајдете дел од овој број, кој исто така овде е означен со одредена дропка. За да го олесниме разбирањето, прво ќе дадеме примери за вакви проблеми, а потоа ќе воведеме метод за нивно решавање.
Задача 1.Имав 60 рубли; Потрошив 1/3 од овие пари за купување книги. Колку чинеле книгите?
Задача 2.Возот мора да помине растојание помеѓу градовите А и Б еднакво на 300 km. Тој веќе помина 2/3 од ова растојание. Колку километри е ова?
Задача 3.Во селото има 400 куќи, од кои 3/4 се тули, останатите се дрвени. Колку куќи од тули има вкупно?
Ова се некои од многуте проблеми со кои се среќаваме за да најдеме дел од даден број. Тие обично се нарекуваат проблеми за да се најде дропка од даден број.
Решение за проблемот 1.Од 60 рубли. Потрошив 1/3 на книги; Ова значи дека за да ја пронајдете цената на книгите, треба да го поделите бројот 60 со 3:
Решавање на проблем 2.Поентата на проблемот е што треба да најдете 2/3 од 300 км. Прво да пресметаме 1/3 од 300; тоа се постигнува со делење на 300 km со 3:
300: 3 = 100 (тоа е 1/3 од 300).
За да најдете две третини од 300, треба да го удвоите добиениот количник, т.е. да се помножите со 2:
100 x 2 = 200 (тоа е 2/3 од 300).
Решавање на проблем 3.Овде треба да го одредите бројот на куќи од тули што сочинуваат 3/4 од 400. Прво да најдеме 1/4 од 400,
400: 4 = 100 (тоа е 1/4 од 400).
За да се пресметаат три четвртини од 400, добиениот количник мора да се тројно, односно да се помножи со 3:
100 x 3 = 300 (тоа е 3/4 од 400).
Врз основа на решението на овие проблеми, можеме да го изведеме следново правило:
За да ја пронајдете вредноста на дропка од даден број, треба да го поделите овој број со именителот на дропката и да го помножите добиениот количник со неговиот броител.
3. Множење цел број со дропка.
Претходно (§ 26) беше утврдено дека множењето на цели броеви треба да се сфати како собирање на идентични членови (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Во овој став (точка 1) беше утврдено дека множењето на дропка со цел број значи наоѓање на збир на идентични членови еднаков на оваа дропка.
Во двата случаи, множењето се состоеше од наоѓање на збир на идентични членови.
Сега продолжуваме да множиме цел број со дропка. Овде ќе сретнеме, на пример, множење: 9 2 / 3. Јасно е дека претходната дефиниција за множење не важи за овој случај. Ова е очигледно од фактот дека не можеме да го замениме таквото множење со собирање еднакви броеви.
Поради ова, ќе треба да дадеме нова дефиниција за множење, односно, со други зборови, да одговориме на прашањето што треба да се разбере со множење со дропка, како треба да се разбере ова дејство.
Значењето на множење цел број со дропка е јасно од следнава дефиниција: множење на цел број (множител) со дропка (множител) значи наоѓање на оваа дропка од множителот.
Имено, множењето 9 со 2/3 значи да се најдат 2/3 од девет единици. Во претходниот став, ваквите проблеми беа решени; па лесно е да сфатиме дека ќе завршиме со 6.
Но, сега се поставува интересно и важно прашање: зошто таквите навидум различни операции, како што се наоѓање на збир на еднакви броеви и наоѓање на дропка од број, се нарекуваат во аритметика со истиот збор „множење“?
Ова се случува затоа што претходното дејство (повторување на број со членови неколку пати) и новото дејство (пронаоѓање на дропка од број) даваат одговори на хомогени прашања. Ова значи дека овде произлегуваме од размислувањата дека хомогени прашања или задачи се решаваат со исто дејство.
За да го разберете ова, размислете за следниот проблем: „1 м ткаенина чини 50 рубли. Колку ќе чини 4 м ваква ткаенина?
Овој проблем се решава со множење на бројот на рубли (50) со бројот на метри (4), односно 50 x 4 = 200 (рубли).
Да го земеме истиот проблем, но во него количината на ткаенина ќе биде изразена како дропка: „1 м ткаенина чини 50 рубли. Колку ќе чинат 3/4 m од таквата ткаенина?“
Овој проблем, исто така, треба да се реши со множење на бројот на рубли (50) со бројот на метри (3/4).
Можете да ги менувате броевите во него уште неколку пати, без да го менувате значењето на проблемот, на пример, земете 9/10 m или 2 3/10 m итн.
Бидејќи овие проблеми имаат иста содржина и се разликуваат само по бројки, дејствата што се користат при нивното решавање ги нарекуваме ист збор - множење.
Како се множи цел број со дропка?
Да ги земеме бројките што се сретнаа во последниот проблем:
Според дефиницијата, мора да најдеме 3/4 од 50. Прво да најдеме 1/4 од 50, а потоа 3/4.
1/4 од 50 е 50/4;
3/4 од бројот 50 е.
Оттука.
Да разгледаме уште еден пример: 12 5 / 8 =?
1/8 од бројот 12 е 12/8,
5/8 од бројот 12 е.
Оттука,
Од тука го добиваме правилото:
За да помножите цел број со дропка, треба да го помножите целиот број со броителот на дропката и да го направите овој производ броител, а именителот на оваа дропка да го потпишете како именител.
Ајде да го напишеме ова правило користејќи букви:
За да биде целосно јасно ова правило, треба да се запомни дека дропка може да се смета како количник. Затоа, корисно е да се спореди пронајденото правило со правилото за множење на број со количник, што беше наведено во § 38
Важно е да се запамети дека пред да извршите множење, треба да направите (ако е можно) намалувања, На пример:
4. Множење на дропка со дропка.Множењето дропка со дропка го има истото значење како и множењето цел број со дропка, т.е. кога множете дропка со дропка, треба да ја пронајдете дропот што е во факторот од првата дропка (множителот).
Имено, множењето 3/4 со 1/2 (половина) значи да се најде половина од 3/4.
Како се множи дропка со дропка?
Да земеме пример: 3/4 помножено со 5/7. Ова значи дека треба да најдете 5/7 од 3/4. Прво да најдеме 1/7 од 3/4, а потоа 5/7
1/7 од бројот 3/4 ќе се изрази на следниов начин:
5/7 броевите 3/4 ќе бидат изразени на следниов начин:
Така,
Друг пример: 5/8 помножено со 4/9.
1/9 од 5/8 е,
4/9 од бројот 5/8 е .
Така, 
Од овие примери може да се заклучи следново правило:
За да помножите дропка со дропка, треба да го помножите броителот со броителот, а именителот со именителот, и првиот производ да го направите броител, а вториот производ именителот на производот.
Ова правило може да се напише во општа форма на следниов начин:
При множење потребно е да се направат (ако е можно) намалувања. Ајде да погледнеме примери:
5. Множење на мешани броеви.Бидејќи мешаните броеви лесно можат да се заменат со несоодветни дропки, оваа околност обично се користи при множење мешани броеви. Ова значи дека во случаите кога множителот, или множителот, или двата фактора се изразуваат како мешани броеви, тие се заменуваат со неправилни дропки. Ајде да помножиме, на пример, мешани броеви: 2 1/2 и 3 1/5. Ајде да ја претвориме секоја од нив во неправилна дропка и потоа да ги помножиме добиените дропки според правилото за множење дропка со дропка:
Правило.За да множите мешани броеви, прво мора да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да ги помножите според правилото за множење дропки со дропки.
Забелешка.Ако еден од факторите е цел број, тогаш множењето може да се изврши врз основа на законот за распределба на следниов начин:
6. Концептот на интерес.Кога решаваме проблеми и правиме различни практични пресметки, користиме секакви дропки. Но, мора да се има на ум дека многу количини дозволуваат не било какви, туку природни поделби за нив. На пример, може да земете една стотинка (1/100) од рубљата, тоа ќе биде копек, две стотинки се 2 копејки, три стотинки се 3 копејки. Можете да земете 1/10 од рубљата, тоа ќе биде "10 копејки, или парче од десет копејки. Можете да земете четвртина рубља, т.е. 25 копејки, половина рубља, т.е. 50 копејки (педесет копејки). Но. тие практично не земаат, на пример, 2/7 од рубљата бидејќи рубљата не е поделена на седми.
Единицата за тежина, т.е. килограм, првенствено дозволува децимални делби, на пример 1/10 kg или 100 g. А таквите фракции од килограм како 1/6, 1/11, 1/13 не се вообичаени.
Генерално, нашите (метрички) мерки се децимални и дозволуваат децимални поделби.
Сепак, треба да се забележи дека е исклучително корисно и погодно во широк спектар на случаи да се користи истиот (униформа) метод за поделба на количините. Долгогодишното искуство покажа дека таквата добро оправдана поделба е поделбата „стотка“. Да разгледаме неколку примери кои се однесуваат на најразновидните области на човековата практика.
1. Цената на книгите е намалена за 12/100 од претходната цена.
Пример. Претходната цена на книгата беше 10 рубли. Се намали за 1 рубља. 20 копејки
2. Штедилниците на штедачите им исплаќаат 2/100 од депонираниот износ за штедење во текот на годината.
Пример. Во касата се депонираат 500 рубли, приходот од оваа сума за годината е 10 рубли.
3. Бројот на матуранти од едно училиште бил 5/100 од вкупниот број ученици.
ПРИМЕР Во училиштето имало само 1.200 ученици, од кои 60 дипломирале.
Стотиот дел од бројот се нарекува процент.
Зборот „процент“ е позајмен од латински, а неговиот корен „цент“ значи сто. Заедно со предлогот (pro centum), овој збор значи „за сто“. Значењето на овој израз произлегува од фактот дека првично во антички Рим каматата била именувана на парите што должникот му ги плаќал на заемодавачот „за секоја стотка“. Зборот „цент“ се слуша со такви познати зборови: центнер (сто килограми), сантиметар (да речеме сантиметар).
На пример, наместо да кажеме дека во изминатиот месец фабриката произвела 1/100 од сите производи произведени од неа биле неисправни, ќе кажеме вака: во изминатиот месец фабриката произвела еден процент од дефектите. Наместо да кажеме: комбинатот произведе 4/100 производи повеќе од утврдениот план, ќе речеме: комбинатот го надмина планот за 4 проценти.
Горенаведените примери може да се изразат поинаку:
1. Цената на книгите е намалена за 12 отсто од претходната цена.
2. Штедилниците на штедачите им исплаќаат 2 отсто годишно на износот што е депониран во штедните влогови.
3. Бројот на матуранти од едно училиште бил 5 проценти од сите ученици.
За да се скрати буквата, вообичаено е да се напише симболот % наместо зборот „процент“.
Сепак, треба да запомните дека при пресметките знакот % обично не е напишан; може да се напише во изјавата за проблемот и во конечниот резултат. Кога вршите пресметки, наместо цел број со овој симбол треба да напишете дропка со именител 100.
Треба да можете да замените цел број со наведената икона со дропка со именител 100:
Спротивно на тоа, треба да се навикнете да пишувате цел број со наведениот симбол наместо дропка со именител 100:
7. Наоѓање на процентот на даден број.
Задача 1.Училиштето доби 200 кубни метри. м огревно дрво, при што огревното дрво од бреза учествува со 30%. Колку огревно дрво од бреза имаше?
Значењето на овој проблем е дека огревното дрво од бреза сочинувало само дел од огревното дрво што било доставено до училиштето, а тој дел е изразен во дропка 30/100. Тоа значи дека имаме задача да најдеме дропка од број. За да го решиме, мора да помножиме 200 со 30/100 (проблеми со наоѓање на дропка од број се решаваат со множење на бројот со дропка.).
Ова значи дека 30% од 200 е еднакво на 60.
Дропката 30/100 што се среќава во овој проблем може да се намали за 10. Би било можно да се направи ова намалување од самиот почеток; решението на проблемот немаше да се промени.
Задача 2.Во кампот имало 300 деца од различна возраст. Децата на 11 години сочинуваат 21%, децата на 12 години сочинуваат 61% и на крајот децата на 13 години сочинуваат 18%. Колку деца од секоја возраст имаше во кампот?
Во овој проблем треба да направите три пресметки, односно последователно да го пронајдете бројот на деца на возраст од 11, потоа 12 години и на крајот 13 години.
Ова значи дека тука ќе треба да ја пронајдете дропот од бројот три пати. Ајде да го направиме тоа:
1) Колку 11-годишни деца имаше?
2) Колку 12-годишни деца имаше?
3) Колку 13-годишни деца имаше?
По решавањето на проблемот, корисно е да се додадат пронајдените броеви; нивниот збир треба да биде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Исто така, треба да се забележи дека збирот на процентите дадени во изјавата за проблемот е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ова сугерира дека вкупниот број на деца во кампот бил земен како 100%.
3 и ч и 3.Работникот добивал 1.200 рубли месечно. Од нив 65% потрошил за храна, 6% за станови и греење, 4% за гас, струја и радио, 10% за културни потреби и 15% заштеди. Колку пари се потрошени за потребите наведени во задачата?
За да го решите овој проблем треба 5 пати да ја пронајдете дропот од 1200. Ајде да го направиме ова.
1) Колку пари се потрошени за храна? Проблемот вели дека овој трошок е 65% од вкупната заработка, односно 65/100 од бројот 1.200. Да ја направиме пресметката:
2) Колку пари плати за стан со парно? Расудувајќи слично како претходното, доаѓаме до следната пресметка:
3) Колку пари плативте за гас, струја и радио?
4) Колку пари се потрошени за културни потреби?
5) Колку пари заштедил работникот?
За да проверите, корисно е да ги соберете броевите пронајдени во овие 5 прашања. Износот треба да биде 1.200 рубли. Сите приходи се земаат како 100%, што е лесно да се провери со собирање на процентуалните броеви дадени во изјавата за проблемот.
Решивме три проблеми. И покрај тоа што овие проблеми се занимаваа со различни работи (испорака на огревно дрво за училиштето, број на деца од различна возраст, работнички трошоци), тие беа решени на ист начин. Ова се случи затоа што во сите проблеми беше неопходно да се најдат неколку проценти од дадените броеви.
§ 90. Поделба на дропки.
Додека ја проучуваме поделбата на дропки, ќе ги разгледаме следните прашања:
1. Поделете цел број со цел број.
2. Делење дропка со цел број
3. Делење цел број со дропка.
4. Делење дропка со дропка.
5. Поделба на мешани броеви.
6. Наоѓање број од неговата дадена дропка.
7. Наоѓање број според неговиот процент.
Ајде да ги разгледаме последователно.
1. Поделете цел број со цел број.
Како што беше наведено во одделот за цели броеви, поделбата е дејство што се состои во тоа што, со оглед на производот на два фактора (дивиденда) и еден од овие фактори (делител), се наоѓа друг фактор.
Разгледавме делење на цел број со цел број во делот за цели броеви. Таму наидовме на два случаи на делење: делење без остаток или „целосно“ (150: 10 = 15) и делење со остаток (100: 9 = 11 и 1 остаток). Затоа можеме да кажеме дека во полето на цели броеви, не е секогаш можна точна поделба, бидејќи дивидендата не е секогаш производ на делителот со цел број. По воведувањето на множење со дропка, може да се разгледа секој случај на делење цели броеви (само делењето со нула е исклучено).
На пример, делењето 7 со 12 значи наоѓање број чиј производ со 12 би бил еднаков на 7. Таков број е дропот 7/12 бидејќи 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14 / 25, бидејќи 14 / 25 25 = 14.
Така, за да се подели цел број со цел број, треба да се создаде дропка чиј броител е еднаков на дивидендата, а именителот е еднаков на делителот.
2. Делење дропка со цел број.
Дропката 6/7 поделете ја со 3. Според дефиницијата за делење дадена погоре, овде го имаме производот (6/7) и еден од факторите (3); потребно е да се најде втор фактор кој, кога ќе се помножи со 3, ќе го даде дадениот производ 6/7. Очигледно, треба да биде три пати помал од овој производ. Тоа значи дека задачата што беше поставена пред нас беше да ја намалиме дропот 6/7 за 3 пати.
Веќе знаеме дека намалувањето на дропка може да се направи или со намалување на неговиот броител или со зголемување на неговиот именител. Затоа можете да напишете:
Во овој случај, броителот 6 е делив со 3, така што броителот треба да се намали за 3 пати.
Да земеме уште еден пример: 5 / 8 поделено со 2. Овде броителот 5 не е делив со 2, што значи дека именителот ќе треба да се помножи со овој број:
Врз основа на ова, може да се направи правило: За да се подели дропка со цел број, треба да се подели броителот на дропката со цел број.(ако е можно), оставајќи го истиот именител или помножете го именителот на дропката со овој број, оставајќи го истиот броител.
3. Делење цел број со дропка.
Нека е неопходно да се подели 5 со 1/2, т.е. да се најде број кој, по множење со 1/2, ќе го даде производот 5. Очигледно, овој број мора да биде поголем од 5, бидејќи 1/2 е соодветна дропка , а при множење на број, производот на соодветна дропка мора да биде помал од производот што се множи. За да биде ова појасно, ајде да ги запишеме нашите дејства на следниов начин: 5: 1 / 2 = X , што значи x 1 / 2 = 5.
Мора да најдеме таков број X , кој, ако се помножи со 1/2, ќе даде 5. Бидејќи множењето на одреден број со 1/2 значи наоѓање на 1/2 од овој број, тогаш, значи, 1/2 од непознатиот број X е еднакво на 5, а целиот број X двојно повеќе, т.е. 5 2 = 10.
Значи 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Ајде да провериме: 
Ајде да погледнеме друг пример. Да речеме дека сакате да поделите 6 со 2/3. Ајде прво да се обидеме да го најдеме саканиот резултат користејќи го цртежот (сл. 19).
Сл.19
Да нацртаме отсечка AB еднаква на 6 единици и да ја поделиме секоја единица на 3 еднакви делови. Во секоја единица, три третини (3/3) од целиот сегмент AB е 6 пати поголем, т.е. д. 18/3. Користејќи мали загради, ги поврзуваме 18-те добиени сегменти од 2; Ќе има само 9 сегменти. Тоа значи дека дропот 2/3 е содржан во 6 единици 9 пати, или, со други зборови, дропот 2/3 е 9 пати помал од 6 цели единици. Оттука,
Како да го добиете овој резултат без цртеж само користејќи пресметки? Да резонираме вака: треба да поделиме 6 со 2/3, т.е. треба да одговориме на прашањето колку пати 2/3 е содржано во 6. Прво да дознаеме: колку пати 1/3 е содржано во 6? Во цела единица има 3 третини, а во 6 единици има 6 пати повеќе, односно 18 третини; за да го најдеме овој број, мора да помножиме 6 со 3. Тоа значи дека 1/3 е содржана во b единици 18 пати, а 2/3 е содржана во b единици не 18 пати, туку половина од повеќе пати, т.е. 18: 2 = 9 Затоа, кога делиме 6 со 2/3 го направивме следново:
Од тука го добиваме правилото за делење цел број со дропка. За да поделите цел број со дропка, треба да го помножите овој цел број со именителот на дадената дропка и, правејќи го овој производ броител, да го поделите со броителот на дадената дропка.
Ајде да го напишеме правилото користејќи букви:
За да биде целосно јасно ова правило, треба да се запомни дека дропка може да се смета како количник. Затоа, корисно е да се спореди правилото пронајдено со правилото за делење на број со количник, што беше наведено во § 38. Ве молиме имајте предвид дека истата формула беше добиена таму.
При делење, можни се кратенки, на пример:
4. Делење дропка со дропка.
Да речеме дека треба да поделиме 3/4 со 3/8. Што ќе значи бројот што произлегува од делењето? Ќе одговори на прашањето колку пати дропката 3/8 е содржана во дропката 3/4. За да го разбереме ова прашање, ајде да направиме цртеж (сл. 20).
Да земеме отсечка AB, да ја земеме како една, да ја поделиме на 4 еднакви делови и да означиме 3 такви дела. Сегментот AC ќе биде еднаков на 3/4 од сегментот AB. Сега да ја поделиме секоја од четирите оригинални отсечки на половина, тогаш отсечката AB ќе се подели на 8 еднакви делови и секој таков дел ќе биде еднаков на 1/8 од отсечката AB. Дозволете ни да поврземе 3 такви отсечки со лакови, тогаш секој од отсечките AD и DC ќе биде еднаков на 3/8 од отсечката AB. Цртежот покажува дека отсечка еднаква на 3/8 е содржана во отсечка еднаква на 3/4 точно 2 пати; Ова значи дека резултатот од поделбата може да се запише на следниов начин:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Ајде да погледнеме друг пример. Да речеме дека треба да се подели 15/16 со 3/32:
Можеме да расудуваме вака: треба да најдеме број кој, откако ќе се помножи со 3/32, ќе даде производ еднаков на 15/16. Ајде да ги напишеме пресметките вака:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 непознат број X се 15/16
1/32 од непознат број X е,
32/32 броеви X Шминка .
Оттука,
Така, за да поделите дропка со дропка, треба да го помножите броителот на првата дропка со именителот на втората, а именителот на првата дропка да го помножите со броителот на вториот и да го направите првиот производ броител, а вториот именителот.
Ајде да го напишеме правилото користејќи букви:
При делење, можни се кратенки, на пример:
5. Поделба на мешани броеви.
Кога се делат мешани броеви, тие прво мора да се претворат во неправилни дропки, а потоа добиените дропки мора да се поделат според правилата за делење дропки. Ајде да погледнеме на пример:
Ајде да ги претвориме мешаните броеви во неправилни дропки:
Сега да поделиме:
Така, за да ги делите мешаните броеви, треба да ги претворите во неправилни дропки, а потоа да делите користејќи го правилото за делење дропки.
6. Наоѓање број од неговата дадена дропка.
Меѓу различните проблеми со дропките, понекогаш има и такви во кои е дадена вредноста на некоја дропка од непознат број и треба да го пронајдете овој број. Овој тип на проблем ќе биде обратен на проблемот за наоѓање на дропка од даден број; таму беше даден број и се бараше да се најде некоја дропка од овој број, овде беше дадена дропка од број и се бараше самиот да се најде овој број. Оваа идеја ќе стане уште појасна ако се свртиме кон решавање на овој тип на проблем.
Задача 1.Првиот ден, стакларите застаклија 50 прозорци, што е 1/3 од сите прозорци на изградената куќа. Колку прозорци има во оваа куќа?
Решение.Проблемот вели дека 50 застаклени прозорци сочинуваат 1/3 од сите прозорци на куќата, што значи дека има вкупно 3 пати повеќе прозорци, т.е.
Куќата имаше 150 прозорци.
Задача 2.Продавницата продала 1.500 кг брашно, што е 3/8 од вкупната залиха на брашно што ја имала продавницата. Која беше почетната понуда на брашно во продавницата?
Решение.Од условите на проблемот е јасно дека 1.500 кг продадено брашно сочинуваат 3/8 од вкупната залиха; Ова значи дека 1/8 од оваа резерва ќе биде 3 пати помала, односно за да ја пресметате треба да намалите 1500 за 3 пати:
1.500: 3 = 500 (ова е 1/8 од резервата).
Очигледно, целата понуда ќе биде 8 пати поголема. Оттука,
500 8 = 4.000 (кг).
Почетната залиха на брашно во продавницата беше 4.000 кг.
Од разгледувањето на овој проблем, може да се изведе следново правило.
За да се најде број од дадена вредност на нејзината дропка, доволно е оваа вредност да се подели со броителот на дропката и да се помножи резултатот со именителот на дропката.
Решивме два задачи за наоѓање број со оглед на неговата дропка. Ваквите проблеми, како што особено јасно се гледа од последната, се решаваат со две дејства: делење (кога ќе се најде еден дел) и множење (кога ќе се најде целиот број).
Меѓутоа, откако ќе го научиме делењето на дропките, горенаведените задачи може да се решат со едно дејство и тоа: делење со дропка.
На пример, последната задача може да се реши со една акција како ова:
Во иднина ќе решаваме задачи за наоѓање број од неговата дропка со едно дејство - делење.
7. Наоѓање број според неговиот процент.
Во овие проблеми ќе треба да најдете број кој знае неколку проценти од тој број.
Задача 1.На почетокот на оваа година добив 60 рубли од штедилницата. приход од сумата што ја вложив во заштеди пред една година. Колку пари ставив во штедилницата? (Гасичките им даваат на штедачите поврат од 2% годишно.)
Поентата на проблемот е што ставив одредена сума пари во штедилница и останав таму една година. По една година добив 60 рубли од неа. приход, кој е 2/100 од парите што ги депонирав. Колку пари вложив?
Следствено, знаејќи дел од овие пари, изразени на два начина (во рубли и фракции), мора да ја најдеме целата, сè уште непозната сума. Ова е обичен проблем за наоѓање број со оглед на неговата дропка. Следниве проблеми се решаваат со делење:
Тоа значи дека во штедилницата биле депонирани 3.000 рубли.
Задача 2.Рибарите за две недели го исполнија месечниот план за 64 отсто, собирајќи 512 тони риба. Кој беше нивниот план?
Од условите на проблемот се знае дека рибарите завршиле дел од планот. Овој дел е еднаков на 512 тони, што е 64% од планот. Не знаеме колку тони риба треба да се подготват според планот. Пронаоѓањето на овој број ќе биде решение за проблемот.
Ваквите проблеми се решаваат со поделба:
Тоа значи дека според планот треба да се подготват 800 тони риба.
Задача 3.Возот тргна од Рига до Москва. Кога го поминал 276-от километар, еден од патниците го прашал кондуктерот кој минувал колку од патувањето веќе поминале. Кондуктерот на ова одговори: „Веќе покривавме 30% од целото патување“. Колку е растојанието од Рига до Москва?
Од проблематичните услови е јасно дека 30% од рутата од Рига до Москва е 276 км. Треба да го најдеме целото растојание помеѓу овие градови, т.е., за овој дел, да го најдеме целото:
§ 91. Реципрочни броеви. Замена на делењето со множење.
Да ја земеме дропот 2/3 и да го замениме броителот на местото на именителот, добиваме 3/2. Добивме инверзна дропка.
За да се добие дропка што е инверзна на дадена дропка, треба да го ставите неговиот броител на местото на именителот, а именителот на местото на броителот. На овој начин можеме да го добиеме реципроцитетот на која било дропка. На пример:
3/4, обратна 4/3; 5/6, обратна 6/5
Две дропки кои имаат својство дека броителот на првиот е именителот на вториот, а именителот на првиот е броителот на вториот, се викаат меѓусебно инверзно.
Сега да размислиме која дропка ќе биде реципрочна од 1/2. Очигледно, ќе биде 2 / 1, или само 2. Со барање на инверзната дропка од дадената, добивме цел број. И овој случај не е изолиран; напротив, за сите дропки со броител 1 (еден), реципроците ќе бидат цели броеви, на пример:
1/3, обратна 3; 1/5, обратно 5
Бидејќи при пронаоѓањето на реципрочни дропки наидовме и на цели броеви, во продолжение ќе зборуваме не за реципрочни дропки, туку за реципрочни броеви.
Ајде да разбереме како да напишеме инверзна цел број. За дропки, ова може да се реши едноставно: треба да го ставите именителот на местото на броителот. На ист начин, можете да добиете инверзна на цел број, бидејќи секој цел број може да има именител 1. Тоа значи дека инверзната на 7 ќе биде 1/7, бидејќи 7 = 7/1; за бројот 10 инверзната ќе биде 1/10, бидејќи 10 = 10/1
Оваа идеја може да се изрази поинаку: реципроцитет на даден број се добива со делење на еден со даден број. Оваа изјава е точна не само за цели броеви, туку и за дропки. Всушност, ако треба да ја напишеме инверзната дропка 5/9, тогаш можеме да земеме 1 и да ја поделиме со 5/9, т.е.
Сега да истакнеме една работа имотреципрочни броеви, кои ќе ни бидат корисни: производот на реципрочните броеви е еднаков на еден.Навистина:
Користејќи го ова својство, можеме да најдеме реципрочни броеви на следниот начин. Да речеме дека треба да ја најдеме инверзната 8.
Да го означиме со буквата X , потоа 8 X = 1, оттука X = 1/8. Да најдеме друг број што е инверзен на 7/12 и да го означиме со буквата X , потоа 7/12 X = 1, оттука X = 1: 7 / 12 или X = 12 / 7 .
Овде го воведовме концептот на реципрочни броеви со цел малку да ги дополниме информациите за делење дропки.
Кога го делиме бројот 6 со 3/5, го правиме следново:
Обрнете посебно внимание на изразот и споредете го со дадениот: .
Ако го земеме изразот одделно, без врска со претходниот, тогаш е невозможно да се реши прашањето од каде дошол: од делење 6 со 3/5 или од множење 6 со 5/3. Во двата случаи се случува истото. Затоа можеме да кажеме дека делењето на еден број со друг може да се замени со множење на дивидендата со инверзната на делителот.
Примерите што ги даваме подолу целосно го потврдуваат овој заклучок.
Најдете ги броителот и именителот.Дропката вклучува два броја: бројот што се наоѓа над правата се нарекува броител, а бројот што се наоѓа под правата се нарекува именител. Именителот го означува вкупниот број на делови на кои е поделена целина, а броителот е бројот на таквите делови што се разгледуваат.
- На пример, во дропката ½ броителот е 1, а именителот е 2.
Одреди го именителот.Ако две или повеќе дропки имаат заеднички именител, таквите дропки имаат ист број под линијата, односно, во овој случај, одредена целина е поделена на ист број делови. Додавањето дропки со заеднички именител е многу едноставно, бидејќи именителот на сумираната дропка ќе биде ист како и дропките што се собираат. На пример:
- Дропките 3/5 и 2/5 имаат заеднички именител 5.
- Дропките 3/8, 5/8, 17/8 имаат заеднички именител 8.
Определи ги броителите.За да соберете дропки со заеднички именител, додадете ги нивните броители и запишете го резултатот над именителот на дропките што се собираат.
- Дропките 3/5 и 2/5 имаат броители 3 и 2.
- Дропките 3/8, 5/8, 17/8 имаат броители 3, 5, 17.
Соберете ги броителите.Во задачата 3/5 + 2/5, додадете ги броителите 3 + 2 = 5. Во задачата 3/8 + 5/8 + 17/8, додадете ги броителите 3 + 5 + 17 = 25.
Напиши ја вкупната дропка.Запомнете дека кога се собираат дропки со заеднички именител, тој останува непроменет - се додаваат само броителите.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Претворете ја дропот ако е потребно.Понекогаш дропка може да се напише како цел број наместо како дропка или децимален број. На пример, дропката 5/5 лесно може да се претвори во 1, бидејќи секоја дропка чиј броител е еднаков на неговиот именител е 1. Замислете пита исечена на три дела. Ако ги јадете сите три дела, ќе сте ја изеле целата (една) пита.
- Секоја дропка може да се претвори во децимална; За да го направите ова, поделете го броителот со именителот. На пример, дропката 5/8 може да се запише на следниов начин: 5 ÷ 8 = 0,625.
Ако е можно, поедноставете ја дропот.Поедноставена дропка е дропка чиј броител и именител немаат заеднички множители.
- На пример, земете ја дропката 3/6. Овде и броителот и именителот имаат заеднички делител еднаков на 3, односно броителот и именителот се целосно деливи со 3. Затоа, дропот 3/6 може да се запише на следниов начин: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
Доколку е потребно, претворете неправилна дропка во мешана дропка (мешан број).Неправилната дропка има броител поголем од неговиот именител, на пример, 25/8 (соодветна дропка има броител помал од неговиот именител). Неправилна дропка може да се претвори во мешана дропка, која се состои од цел број (т.е. цел број) и дропка (односно правилна дропка). За да конвертирате неправилна дропка, како што е 25/8, во мешан број, следете ги овие чекори:
- Поделете го броителот на неправилна дропка со неговиот именител; запиши го парцијалниот количник (целиот одговор). Во нашиот пример: 25 ÷ 8 = 3 плус некој остаток. Во овој случај, целиот одговор е целиот дел од мешаниот број.
- Најдете го остатокот. Во нашиот пример: 8 x 3 = 24; одземете го добиениот резултат од оригиналниот броител: 25 - 24 = 1, односно остатокот е 1. Во овој случај, остатокот е броител на фракциониот дел од мешаниот број.
- Напиши мешана дропка. Именителот не се менува (односно е еднаков на именителот на неправилната дропка), па 25/8 = 3 1/8.
Јавна лекција
по математика одделение 6б (поправен час VIII вид)
на тема:
Додавање дропки
со исти именители.
Тип на лекција: учење нов материјал.
Тип на лекција: лекција - бајка.
Класа: 6,7 "Б".
Цели:
Запознајте ги учениците со операциите на собирање и одземање дропки со слични именители;
Задачи:
Поправно - воспитно:
Развивање на вештини за собирање дропки со слични именители;
Поправно - развојно:
Го поправа развојот на логичкото и математичкото размислување при рецитирање на алгоритам за собирање дропки со слични именители и при вршење писмена работа во тетратка;
Корекција на развојот на когнитивната активност на учениците преку извршување на задачи во нестандардни ситуации;
Развијте вештини за внимание и самоконтрола.
Поправен и едукативен:
Всади интерес за темата врз основа на врските со животот и практиката;
Формирање на математичка култура на говор (правилен изговор на дропки);
Развијте вештини за самопочит;
За време на часовите
Орг. Момент.
1.Поздрав
„Мило ми е што ве гледам момци. Како се чувствуваш? Запомнете, ако нешто изгледа тешко и не функционира, тогаш не е проблем, ќе научиме сè заедно!
2.подготвување за работа
Момци, дали сте подготвени за лекцијата?
Сметам на вас, пријатели!
Вие сте добра, пријателска класа,
Сè ќе ни успее!
Нашата денешна лекција е невообичаена, ќе ве однесеме на патување низ бајката што ја знаеме и ја сакаме.
Во светот има многу бајки
Тажно и смешно.
И живејте во светот
Не можеме да живееме без нив!
Нека хероите од бајките
Ни даваат топлина
Нека добрината засекогаш
Злото победи!
Вербално броење.
Во Триесеттото Кралство живеел царот и неговата ќерка Василиса Мудриот, а во Триесеттото Кралство живеел Иван Царевич. Патем, кој број го гледате на таблата? Дозволете ми да ви помогнам:
Секој може една милја подалеку
Види фракционо линијата.
Над линијата – броител , знај,
Под линијата - именител.
Таква дропка сигурно
Мора да се јавите обични.
Но, кралот не сакаше да ја даде својата Василиса на првиот човек што го сретна. Решил да му даде на Иван задача со која не можел да се справи. И тој му вели на Иван: „Оди таму - не знам каде, донесе го ова, не знам што“. Иван се напна, тагуваше и тргна во потрага. Но, каде да се оди, каде да се погледне?
Иван заедно со Сивиот Волк тргна на пат. Тие решија прво да се свртат кон Баба Јага. И Баба Јага подготви задача.
Задачи за усна пресметка. Но, момци, Иван Царевич не беше добар во математика, да му помогнеме?
Наведете го броителот и именителот на дропката
Што покажува броителот, а што именителот? (Именителот покажува колку акции се поделени, а броителот покажува колку такви акции се земени.)
Споредба на дропки:
и 1 и 
и 1
И 
5/5 и 
И
.
Браво, ја завршивте задачата. А сега да ја следиме магичната топка понатаму, до самиот бесмртен Кошчеи.
III. Ажурирање на основните знаења.
Треба да стигнете до Кошчеи низ лавиринт од дробни броеви.
Напиши ги овие дропки на два реда: ,, 
, 
, 
, 
. Точно: , , .
Погрешно: , , .
Браво, ја завршивте и оваа задача.
Така, магичната топка ги донесе Иван и Сивиот Волк во Кошчеи. И Кошеј вели: „Досадно ми е да живеам овде сам, но ако ме забавуваш, тогаш ќе помогнам. Завршете ги моите задачи“.
1. Задача бр. 1 . Физичка вежба.
Физимутка :
Мечката излезе од дувлото.
Еднаш и двапати ги креваше нозете.
Тој седна и стана. Тој седна и стана.
Ги стави шепите зад грб.
Се тетерави, се сврте
И тој се истегна малку.
1. Нацртајте круг со радиуср= 2 см.
2. Насликајте
круг - жолта
круг - сина.
Запишете кој дел од кругот е засенчен, а кој дел не е засенчен.
Засенчени - __________
Не обоен - _________
Размислете како можете да користите знаци за акција за да направите бројки И , добиј број . А ?
Се одморивме, седнавме право и се фативме за работа.Задача бр. 2. Картичка бр.1 (Проблемска задача).
Па, што ќе правиме на час денес? Ајде да го запишеме во нашите тетратки бројот и темата на часот „Собирање и одземање дропки со ист именител“. Нашата цел е да научиме како да собираме и одземаме дропки со исти именители. Ајде да погледнеме на пример:
Алгоритам за собирање дропки со слични именители : За да собирате или одземете дропки со слични именители, додадете ги или одземете ги нивните броители и оставете го именителот ист.
VI. Формирање на вештини и способности на учениците.
Така, магичната топка ги донесе Иван и Сивиот Волк кај змијата Горинич. Тој чуваше кутија, а никој не знаеше што има во неа. Но, змијата Горинич нема само да му ја даде кутијата на Иван. Треба да му помогнеме на Иван Царевич, а за ова секој треба да работи самостојно, а задачите за самостојна работа се во кутијата (тие одат во кутијата и ги преземаат задачите). Картичка бр.2 (самостојна работа). Кога ќе ги завршите задачите, јас и вие ќе ги провериме одговорите и ќе дознаеме дали сме му помогнале на Иван Царевич или не.
Работа во тетратки:домашна работа : Реши проблем од друга бајка.
Резиме на лекција. Оценување.
Значи, бајката завршува тука. Кажи ми, што направивме денес? Да го повториме правилото повторно.
Денешната лекција заврши,
Но, секој треба да знае:
Знаење, упорност и работа,
Тие ќе ве доведат до успех во животот!
VI . Рефлексија.
Момци, дали ви се допадна лекцијата? Изберете го соодветниот емотикон и залепете го на таблата. Ви благодариме за лекцијата. Збогум