Во текот на секундарните и средно школоУчениците ја проучуваа темата „Дропки“. Сепак, овој концепт е многу поширок од она што е дадено во процесот на учење. Денес, концептот на дропка се среќава доста често, и не секој може да пресмета кој било израз, на пример, множење на дропки.
Што е дропка?
Историски гледано, дробните броеви настанале поради потребата за мерење. Како што покажува практиката, често има примери за одредување на должината на сегментот и волуменот на правоаголен правоаголник.
Првично, студентите се запознаваат со концептот на удел. На пример, ако поделите лубеница на 8 дела, тогаш секој човек ќе добие една осмина од лубеницата. Овој дел од осум се нарекува акција.
Уделот еднаков на ½ од која било вредност се нарекува половина; ⅓ - трето; ¼ - четвртина. Записите од формата 5/8, 4/5, 2/4 се нарекуваат обични дропки. Заедничката дропка се дели на броител и именител. Помеѓу нив е фракционата лента, или фракционата лента. Дробната линија може да се повлече или како хоризонтална или коса линија. ВО во овој случајго претставува знакот за поделба.
Именителот претставува на колку еднакви делови е поделена количината или предметот; а броител е колку идентични акции се земени. Броителот се пишува над дропната линија, именителот е запишан под него.
Најзгодно е да се прикажат обичните фракции на координатен зрак. Ако единечен сегмент е поделен на 4 еднакви делови, означете го секој дел Латинска буква, тогаш резултатот може да биде одличен визуелен материјал. Значи, точката А покажува удел еднаков на 1/4 од целиот единичен сегмент, а точката Б означува 2/8 од даден сегмент.
Видови дропки
Дропките можат да бидат обични, децимални и мешани броеви. Покрај тоа, фракциите можат да се поделат на правилни и неправилни. Оваа класификација е посоодветна за обични дропки.
Под соодветна дропкаго разбира бројот чиј броител помал од именителот. Според тоа, неправилна дропка е број чиј броител е поголем од неговиот именител. Вториот тип обично се пишува како мешан број. Овој израз се состои од цел број и фракционо дел. На пример, 1½. 1 е цел број, ½ е дробен дел. Меѓутоа, ако треба да извршите некои манипулации со изразот (делење или множење дропки, нивно намалување или претворање), мешаниот број се претвора во неправилна дропка.
Точниот дробен израз е секогаш помал од еден, а неточниот е секогаш поголем или еднаков на 1.
Што се однесува до овој израз, мислиме на запис во кој е претставен кој било број, чијшто именител на фракциониот израз може да се изрази во однос на еден со неколку нули. Ако дропката е правилна, тогаш целиот дел е децимална нотацијаќе биде еднаква на нула.
За да напишете децимална дропка, прво мора да го напишете целиот дел, да го одделите од дропката со помош на запирка, а потоа да го напишете изразот на дропката. Мора да се запомни дека по децималната точка броителот мора да содржи ист број на дигитални знаци колку што има нули во именителот.
Пример. Изрази ја дропката 7 21 / 1000 со децимална нотација.
Алгоритам за претворање на неправилна дропка во мешан број и обратно
Неточно е да се напише неправилна дропка во одговорот на проблем, па затоа треба да се претвори во мешан број:
- подели го броителот со постоечкиот именител;
- В конкретен примернецелосен количник - целина;
- а остатокот е броител на дробниот дел, при што именителот останува непроменет.
Пример. Претворете ја неправилната дропка во мешан број: 47 / 5.
Решение. 47: 5. Делумниот количник е 9, остатокот = 2. Значи, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Понекогаш треба да претставите мешан број како неправилна дропка. Потоа треба да го користите следниов алгоритам:
- целобројниот дел се множи со именителот на дробниот израз;
- добиениот производ се додава на броителот;
- резултатот се запишува во броителот, именителот останува непроменет.
Пример. Претстави го бројот во мешана форма како неправилна дропка: 9 8 / 10.
Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е броителот.
Одговори: 98 / 10.
Множење на дропки
На обичните фракции може да се извршат различни операции. алгебарски операции. За да помножите два броја, треба да го помножите броителот со броителот, а именителот со именителот. Покрај тоа, множење на дропки со различни именителине се разликува од производот на дробните броеви со исти именители.
Се случува, откако ќе го пронајдете резултатот, треба да ја намалите фракцијата. Императив е да се поедностави добиениот израз колку што е можно повеќе. Се разбира, не може да се каже дека неправилната дропка во одговорот е грешка, но исто така е тешко да се нарече точен одговор.
Пример. Најдете го производот на две обични дропки: ½ и 20/18.
Како што може да се види од примерот, по пронаоѓањето на производот, се добива редуцирачка фракциона нотација. И броителот и именителот во овој случај се поделени со 4, а резултатот е одговорот 5/9.
Множење децимални дропки
Производот на децималните дропки е сосема различен од производот на обичните дропки по својот принцип. Значи, множењето на дропките е како што следува:
- две децимали мора да се запишат една под друга, така што најдесните цифри се една под друга;
- треба да ги помножите напишаните броеви, и покрај запирките, односно како природни броеви;
- брои го бројот на цифри по децималната точка во секој број;
- во резултатот добиен по множењето, треба да броите од десно онолку дигитални симболи колку што се содржани во збирот во двата фактора по децималната точка и да ставите знак за одвојување;
- ако има помалку броеви во производот, тогаш треба да напишете онолку нули пред нив за да го покриете овој број, да ставите запирка и да го додадете целиот дел еднаков на нула.
Пример. Пресметај го производот на две децимални дропки: 2,25 и 3,6.
Решение.
Множење мешани дропки
За да го пресметате производот на две мешани фракции, треба да го користите правилото за множење дропки:
- конвертира мешани броеви во неправилни дропки;
- најдете го производот на броителите;
- најдете производ на именители;
- запишете го резултатот;
- поедноставете го изразот што е можно повеќе.
Пример. Најдете го производот од 4½ и 6 2/5.
Множење број со дропка (дропки со број)
Покрај наоѓањето производ на две дропки и мешани броеви, има задачи каде што треба да се множи со дропка.
Значи, да го пронајдете производот децималнаи природен број, потребни ви се:
- запишете го бројот под дропката така што најдесните цифри се една над друга;
- најдете го производот и покрај запирката;
- во добиениот резултат, одделете го целобројниот дел од фракциониот дел со помош на запирка, броејќи го од десно бројот на цифри што се наоѓаат по децималната точка во дропката.
За да помножите заедничка дропка со број, треба да го најдете производот на броителот и природниот фактор. Ако одговорот произведе дропка што може да се намали, таа треба да се претвори.
Пример. Пресметај го производот од 5/8 и 12.
Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Одговори: 7 1 / 2.
Како што можете да видите од претходниот пример, беше неопходно да се намали добиениот резултат и да се претвори неточниот дропски израз во мешан број.
Множењето на дропките се однесува и на наоѓање производ на број во мешана форма и природен фактор. За да ги помножите овие два броја, треба да го помножите целиот дел од мешаниот фактор со бројот, да го помножите броителот со истата вредност и да го оставите именителот непроменет. Доколку е потребно, треба да го поедноставите добиениот резултат колку што е можно повеќе.
Пример. Најдете го производот од 9 5 / 6 и 9.
Решение. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Одговори: 88 1 / 2.
Множење со фактори од 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001
Од претходниот ставтече надвор следното правило. За да помножите децимална дропка со 10, 100, 1000, 10000 итн., треба да ја поместите децималната точка надесно за онолку цифри колку што има нули во факторот по едната.
Пример 1. Најдете го производот од 0,065 и 1000.
Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Одговори: 65.
Пример 2. Најдете го производот од 3,9 и 1000.
Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Одговори: 3900.
Ако треба да помножите природен број и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001, итн., треба да ја поместите запирката во добиениот производ налево за толку цифри колку што има нули пред една. Доколку е потребно, пред природниот број се запишуваат доволен број нули.
Пример 1. Најдете го производот од 56 и 0,01.
Решение. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Одговори: 0,56.
Пример 2. Најдете го производот од 4 и 0,001.
Решение. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Одговори: 0,004.
Значи, наоѓање на производот различни дропкине треба да предизвикува тешкотии, освен можеби пресметување на резултатот; во овој случај, едноставно не можете без калкулатор.
Обичните фракциони броеви најпрво ги среќаваат учениците од 5-то одделение и ги придружуваат во текот на нивниот живот, бидејќи во секојдневниот живот често е неопходно да се разгледа или да се користи предмет не како целина, туку во посебни парчиња. Почнете да ја проучувате оваа тема - споделува. Акциите се еднакви делови, на кој е поделен овој или оној објект. На крајот на краиштата, не е секогаш можно да се изрази, на пример, должината или цената на производот како цел број; делови или фракции од некоја мерка треба да се земат предвид. Формиран од глаголот „да се подели“ - да се дели на делови и со арапски корени, самиот збор „фракција“ се појавил на рускиот јазик во 8 век.
Дробни изрази долго времесе смета за најтешка гранка на математиката. Во 17 век, кога се појавија првите учебници по математика, тие беа наречени „скршени броеви“, што беше многу тешко за луѓето да го разберат.
Модерен изгледедноставни фракциони остатоци, чии делови се одделени со хоризонтална линија, прв ги промовирал Фибоначи - Леонардо од Пиза. Неговите дела се датирани во 1202 година. Но, целта на оваа статија е едноставно и јасно да му објасни на читателот како се множат мешаните дропки со различни именители.
Множење дропки со различни именители
Првично вреди да се одреди видови дропки:
- точно;
- погрешно;
- измешани.
Следно, треба да запомните како се множат дробните броеви со исти именители. Самото правило на овој процес е лесно да се формулира независно: резултат на множење едноставни дропкисо исти именители е дробен израз, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот на овие дропки. Тоа е, во суштина, нов именителима квадрат на еден од првично постоечките.
При множење едноставни дропки со различни именителиза два или повеќе фактори правилото не се менува:
а/б * в/г = a*c / b*d.
Единствената разлика е во тоа формиран бројпод дробната линија ќе биде производ на различни броеви и, природно, квадрат од еден нумерички изразневозможно е да се именува.
Вреди да се разгледа множењето на дропки со различни именители користејќи примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите користат методи за намалување на дропските изрази. Можете да ги намалите броителите само со именители еден до друг вредни множителиНе можете да скратувате над или под фракционата линија.
Заедно со едноставни дробни броеви, постои концепт на мешани дропки. Мешаниот број се состои од цел број и фракционо дел, односно тоа е збир на овие броеви:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Како функционира множењето?
Неколку примери се дадени за разгледување.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерот користи множење на број со обични фракционо дел , правилото за оваа акција може да се запише како:
а* б/в = a*b /в.
Всушност, таков производ е збир на идентични фракциони остатоци, а бројот на членовите го означува овој природен број. Посебен случај:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Постои уште едно решение за множење на број со фракционо остаток. Треба само да го поделите именителот со овој број:
г* д/ѓ = д/ѓ: г.
Оваа техника е корисна за употреба кога именителот е поделен со природен број без остаток или, како што велат, со цел број.
Претворете ги мешаните броеви во неправилни дропки и добијте го производот на претходно опишаниот начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Овој пример вклучува начин на претставување на мешана дропка како неправилна дропка, таа може да биде претставена и како општа формула:
а бв = a*b+ c/c, каде е именителот нова дропкасе формира со множење на целиот дел со именителот и собирање со броителот на првобитниот дробен остаток, а именителот останува ист.
Овој процес исто така функционира во задната страна. За да го одделите целиот дел и фракциониот остаток, треба да го поделите броителот на неправилна дропка со неговиот именител користејќи „агол“.
Множење на неправилни дропкипроизведени на општо прифатен начин. Кога пишувате под една линија на дропка, треба да ги намалите дропките колку што е потребно за да ги намалите броевите користејќи го овој метод и да го олесните пресметувањето на резултатот.
На Интернет има многу помошници за решавање дури и сложени проблеми. математички проблемиво различни програмски варијации. Доволен број такви услуги ја нудат својата помош при броење множење на дропки со различни броевиво именители - таканаречени онлајн калкулатори за пресметување дропки. Тие се способни не само да се множат, туку и да ги вршат сите други едноставни аритметички операции со обични дропки и мешани броеви. Лесно е да се работи со него; ги пополнувате соодветните полиња на страницата на страницата и го избирате знакот математичка операцијаи кликнете на „пресметај“. Програмата се пресметува автоматски.
Предмет аритметички операциисо дробни броеви е релевантно во текот на образованието на средношколците и средношколците. Во средно училиште веќе не ги сметаат наједноставните видови, туку целина фракциони изрази , но знаењето за правилата за трансформација и пресметките добиени порано се применува во неговата оригинална форма. Добро научено Основно знаењедаде целосна доверба во успешна одлукаповеќето сложени задачи.
Како заклучок, има смисла да се цитираат зборовите на Лев Николаевич Толстој, кој напиша: „Човекот е дропка. Не е во моќта на човекот да го зголеми својот броител - неговите заслуги - но секој може да го намали својот именител - своето мислење за себе, и со ова намалување да се доближи до неговото совршенство.
) и именител по именител (го добиваме именителот на производот).
Формула за множење дропки:
На пример:
Пред да започнете со множење броители и именители, треба да проверите дали дропот може да се намали. Ако можете да ја намалите дропот, ќе ви биде полесно да направите понатамошни пресметки.
Делење на заедничка дропка со дропка.
Делење дропки кои вклучуваат природни броеви.
Не е толку страшно како што изгледа. Како и во случајот со собирање, го претвораме цел број во дропка со еден во именителот. На пример:
Множење мешани дропки.
Правила за множење дропки (мешани):
- конвертирате мешани фракции во несоодветни фракции;
- множење на броителите и именители на дропки;
- намалување на фракцијата;
- Ако добиете неправилна дропка, тогаш неправилната дропка ја претвораме во мешана дропка.
Забелешка!Да се размножуваат мешана фракцијаво друга мешана дропка, прво мора да ги претворите во форма на несоодветни дропки, а потоа да ги помножите според правилото за множење на обичните дропки.
Вториот начин да се множи дропка со природен број.
Можеби е попогодно да се користи вториот метод за множење на заедничка дропка со број.
Забелешка!За да помножите дропка со природен број, мора да го поделите именителот на дропката со овој број и да го оставите броителот непроменет.
Од примерот даден погоре, јасно е дека оваа опција е попогодна за употреба кога именителот на дропка е поделен без остаток со природен број.
Повеќекатни дропки.
Во средно училиште често се среќаваат дропки од три ката (или повеќе). Пример:
За да ја доведете таквата дропка во нејзината вообичаена форма, користете поделба на 2 точки:
Забелешка!При делење дропки многу е важен редоследот на делење. Бидете внимателни, тука е лесно да се збуните.
Забелешка, На пример:
Кога се дели една со која било дропка, резултатот ќе биде истата дропка, само превртена:
Практични совети за множење и делење дропки:
1. Најважно кога се работи со дропски изрази е точноста и внимателноста. Правете ги сите пресметки внимателно и прецизно, концентрирано и јасно. Подобро е да напишете неколку дополнителни линии во нацртот отколку да се изгубите во менталните пресметки.
2. Во задачи со различни типовидропки - оди во форма на обични дропки.
3. Ги намалуваме сите дропки додека повеќе не е можно да се намали.
4. Повеќестепените фракциони изрази ги трансформираме во обични со помош на делење преку 2 точки.
5. Поделете единица со дропка во вашата глава, едноставно превртувајќи ја дропот.
За правилно множење дропка со дропка или дропка со број, треба да знаете едноставни правила. Сега детално ќе ги анализираме овие правила.
Множење на заедничка дропка со дропка.
За да помножите дропка со дропка, треба да го пресметате производот на броителите и производот на именители на овие дропки.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Ајде да погледнеме на пример:
Броителот на првата дропка го множиме со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка го множиме со именителот на втората дропка.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ пати 3) (7 \пати 3) = \frac (4) (7) \\\)
Дропката \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) беше намалена за 3.
Множење на дропка со број.
Прво, да се потсетиме на правилото, кој било број може да се претстави како дропка \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Ајде да го користиме ова правило при множење.
\(5 \times \frac (4) (7) = \frac (5) (1) \times \frac (4) (7) = \frac (5 \ пати 4) (1 \пати 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Неправилна дропка \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) претворена во мешана дропка.
Со други зборови, Кога множиме број со дропка, го множиме бројот со броителот и го оставаме именителот непроменет.Пример:
\(\frac(2)(5) \пати 3 = \frac(2 \пати 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Множење мешани дропки.
За да множите мешани дропки, прво мора да ја претставите секоја мешана дропка како неправилна дропка, а потоа да го користите правилото за множење. Броителот го множиме со броителот, а именителот со именителот.
Пример:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \ пати 6) = \frac (3 \пати \ боја (црвена) (3) \ пати 23) (4 \ пати 2 \ пати \ боја (црвена) (3)) = \frac (69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Множење на реципрочни дропки и броеви.
Дропката \(\bf \frac(a)(b)\) е инверзна на дропката \(\bf \frac(b)(a)\), под услов a≠0,b≠0.
Дропките \(\bf \frac(a)(b)\) и \(\bf \frac(b)(a)\) се нарекуваат реципрочни дропки. Производот на заемните фракции е еднаков на 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Пример:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1 \\\)
Поврзани прашања:
Како да се помножи дропка со дропка?
Одговор: Производот на обичните дропки е множење на броител со броител, именител со именител. За да го добиете производот од мешаните фракции, треба да ги претворите во неправилна дропка и да се множите според правилата.
Како да се множат дропки со различни именители?
Одговор: не е важно дали дропките имаат исти или различни именители, множењето се случува според правилото за наоѓање производ на броител со броител, именител со именител.
Како да се множат мешаните дропки?
Одговор: пред сè, треба да ја претворите мешаната дропка во неправилна дропка, а потоа да го пронајдете производот користејќи ги правилата за множење.
Како да помножите број со дропка?
Одговор: го множиме бројот со броителот, но именителот го оставаме ист.
Пример #1:
Пресметајте го производот: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Решение:
а) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( црвено) (5)) (3 \ пати \ боја (црвено) (5) \ пати 13) = \frac (4) (39)\)
Пример #2:
Пресметај ги производите на број и дропка: а) \(3 \пати \frac(17)(23)\) б) \(\frac(2)(3) \пати 11\)
Решение:
а. \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Пример #3:
Напиши го реципроцитетот на дропката \(\frac(1)(3)\)?
Одговор: \(\frac(3)(1) = 3\)
Пример #4:
Пресметај го производот на две реципрочни дропки: а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Решение:
а) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Пример #5:
Дали реципрочните дропки можат да бидат:
а) истовремено со соодветни дропки;
б) истовремено неправилни фракции;
в) во исто време природни броеви?
Решение:
а) за да одговориме на првото прашање, да дадеме пример. Дропката \(\frac(2)(3)\) е соодветна, нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac(3)(2)\) - неправилна дропка. Одговор: не.
б) во скоро сите набројувања на дропки овој услов не е исполнет, но има некои броеви кои го исполнуваат условот истовремено да се биде неправилна дропка. На пример, несоодветната дропка е \(\frac(3)(3)\), нејзината инверзна дропка е еднаква на \(\frac(3)(3)\). Добиваме две неправилни дропки. Одговор: не секогаш под одредени услови кога броителот и именителот се еднакви.
в) природните броеви се броеви што ги користиме при броење, на пример, 1, 2, 3, .... Ако го земеме бројот \(3 = \frac(3)(1)\), тогаш неговата инверзна дропка ќе биде \(\frac(1)(3)\). Дропката \(\frac(1)(3)\) не е природен број. Ако ги поминеме сите броеви, реципроцитетот на бројот е секогаш дропка, освен 1. Ако го земеме бројот 1, тогаш неговата реципрочна дропка ќе биде \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Бројот 1 е природен број. Одговор: тие можат истовремено да бидат природни броеви само во еден случај, ако тоа е бројот 1.
Пример #6:
Направете го производот од мешаните дропки: а) \(4 \пати 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \пати 3\frac(2)(7)\ )
Решение:
а) \(4 \пати 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 ) (5) \\\\ \)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Пример #7:
Може две меѓусебно реципрочни броевида бидат мешани броеви во исто време?
Ајде да погледнеме на пример. Да ја земеме мешаната дропка \(1\frac(1)(2)\), да ја најдеме реципрочна дропка, за да го направите ова, претворете ја во неправилна дропка \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Нејзината инверзна дропка ќе биде еднаква на \(\frac(2)(3)\) . Дропката \(\frac(2)(3)\) е правилна дропка. Одговор: Две дропки кои се меѓусебно инверзни не можат да бидат мешани броеви во исто време.