Како што е познато, множеството рационални броеви (Q) го вклучува множеството цели броеви (Z), кое пак го вклучува множеството природни броеви (N). Покрај цели броеви, рационалните броеви вклучуваат и дропки.
Зошто тогаш целото множество рационални броеви понекогаш се смета за бесконечни периодични децимални дропки? Навистина, покрај дропките, тие вклучуваат и цели броеви, како и непериодични дропки.
Факт е дека сите цели броеви, како и која било дропка, може да се претстават како бесконечна периодична децимална дропка. Тоа е, за сите рационални броеви можете да го користите истиот метод на снимање.
Како е претставена бесконечна периодична децимала? Во него во загради се става повторувачка група на броеви по децималната точка. На пример, 1,56(12) е дропка во која групата цифри 12 се повторува, т.е. дропот има вредност 1,561212121212... и така бескрајно. Повторувачката група на броеви се нарекува точка.
Сепак, можеме да претставиме кој било број во оваа форма ако сметаме дека неговиот период е бројот 0, кој исто така се повторува бескрајно. На пример, бројот 2 е ист како 2.00000... Затоа, може да се напише како бесконечна периодична дропка, т.е. 2,(0).
Истото може да се направи со која било конечна дропка. На пример:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Меѓутоа, во пракса тие не користат трансформација на конечна дропка во бесконечна периодична. Затоа, тие одделуваат конечни дропки и бесконечни периодични. Така, поправилно е да се каже дека рационалните броеви вклучуваат
- сите цели броеви
- конечни дропки,
- бесконечни периодични дропки.
Во исто време, едноставно запомнете дека цели броеви и конечни дропки се претставени во теорија во форма на бесконечни периодични дропки.
Од друга страна, концептите на конечни и бесконечни дропки се применливи за децималните дропки. Кога станува збор за дропки, и конечните и бесконечните децимали можат уникатно да се претстават како дропка. Тоа значи дека од гледна точка на обичните дропки, периодичните и конечните дропки се иста работа. Дополнително, цели броеви може да се претстават и како дропка со замислување дека го делиме бројот со 1.
Како да се претстави децимална бесконечна периодична дропка како обична дропка? Најчесто користениот алгоритам е нешто вака:
- Намали ја дропката така што по децималната точка да има само точка.
- Помножете бесконечна периодична дропка со 10 или 100 или ... така што децималната точка ќе се помести надесно за една точка (т.е. една точка завршува во целиот дел).
- Изедначете ја првобитната дропка (а) со променливата x и дропот (б) добиена со множење со бројот N до Nx.
- Одземете x од Nx. Од b одземам a. Односно, тие ја сочинуваат равенката Nx – x = b – a.
- Кога се решава равенка, резултатот е обична дропка.
Пример за претворање на бесконечна периодична децимална дропка во обична дропка:
x = 1,13333...
10x = 11,3333...
10x * 10 = 11,33333... * 10
100x = 113,3333...
100x – 10x = 113,3333... – 11,3333...
90x = 102
x =
Се сеќавате како во првата лекција за децимали реков дека има нумерички дропки кои не можат да се претстават како децимали (види лекција „Децимали“)? Научивме и како да ги факторизираме именителот на дропките за да видиме дали има други броеви освен 2 и 5.
Значи: лажев. И денес ќе научиме како да ја претвориме апсолутно секоја нумеричка дропка во децимална. Истовремено ќе се запознаеме со цела класа дропки со бесконечен значаен дел.
Периодична децимала е која било децимала која:
- Значајниот дел се состои од бесконечен број цифри;
- Во одредени интервали се повторуваат бројките во значајниот дел.
Множеството цифри што се повторуваат што го сочинуваат значајниот дел се нарекува периодичен дел од дропка, а бројот на цифри во ова множество се нарекува период на дропката. Преостанатиот сегмент од значајниот дел, кој не се повторува, се нарекува непериодичен дел.
Бидејќи има многу дефиниции, вреди да се разгледаат неколку од овие фракции во детали:
Оваа фракција најчесто се појавува во проблеми. Непериодичен дел: 0; периодичен дел: 3; должина на периодот: 1.
Непериодичен дел: 0,58; периодичен дел: 3; должина на периодот: повторно 1.
Непериодичен дел: 1; периодичен дел: 54; должина на периодот: 2.
Непериодичен дел: 0; периодичен дел: 641025; должина на периодот: 6. За погодност, повторливите делови се одделени еден од друг со празно место - тоа не е неопходно во ова решение.
Непериодичен дел: 3066; периодичен дел: 6; должина на периодот: 1.
Како што можете да видите, дефиницијата за периодична дропка се заснова на концептот значителен дел од бројката. Затоа, ако сте заборавиле што е тоа, препорачувам да го повторите - видете ја лекцијата „“.
Премин во периодична децимална дропка
Размислете за обична дропка од формата a /b. Да го разделиме неговиот именител во прости множители. Постојат две опции:
- Проширувањето содржи само фактори 2 и 5. Овие дропки лесно се претвораат во децимали - видете ја лекцијата „Децимали“. Ние не сме заинтересирани за такви луѓе;
- Има нешто друго во проширувањето освен 2 и 5. Во овој случај, дропот не може да се претстави како децимален, но може да се претвори во периодична децимала.
За да дефинирате периодична децимална дропка, треба да ги најдете нејзините периодични и непериодични делови. Како? Претворете ја дропката во неправилна дропка, а потоа поделете го броителот со именителот користејќи агол.
Ќе се случи следново:
- Прво ќе се раздели цел дел, доколку постои;
- Може да има неколку броеви по децималната точка;
- По некое време бројките ќе почнат повторете.
Тоа е се! Броевите кои се повторуваат по децималната запирка се означуваат со периодичен дел, а оние пред се означени со непериодичен дел.
Задача. Претворете ги обичните дропки во периодични децимали:
Сите дропки без цел број, затоа едноставно го делиме броителот со именителот со „агол“:
Како што можете да видите, останатите се повторуваат. Да ја запишеме дропката во „точна“ форма: 1,733 ... = 1,7(3).
Резултатот е дропка: 0,5833 ... = 0,58 (3).
Го пишуваме во нормална форма: 4.0909 ... = 4,(09).
Добиваме дропка: 0,4141 ... = 0,(41).
Премин од периодична децимална дропка во обична дропка
Размислете за периодичната децимална дропка X = abc (a 1 b 1 c 1). Потребно е да се претвори во класичен „двокатен“. За да го направите ова, следете четири едноставни чекори:
- Најдете го периодот на дропката, т.е. брои колку цифри има во периодичниот дел. Нека ова е бројот k;
- Најдете ја вредноста на изразот X · 10 k. Ова е еквивалентно на поместување на децималната точка надесно цел период - видете ја лекцијата „Множење и делење децимали“;
- Оригиналниот израз мора да се одземе од добиениот број. Во овој случај, периодичниот дел е „изгорен“ и останува заедничка дропка;
- Најдете X во добиената равенка. Сите децимални дропки ги претвораме во обични дропки.
Задача. Претворете го бројот во обична неправилна дропка:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Работиме со првата дропка: X = 9,(6) = 9,666 ...
Заградите содржат само една цифра, така што периодот е k = 1. Потоа, оваа дропка ја множиме со 10 k = 10 1 = 10. Имаме:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Одземете ја првобитната дропка и решете ја равенката:
10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Сега да ја погледнеме втората дропка. Значи X = 32, (39) = 32,393939...
Период k = 2, па помножете сè со 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Повторно одземете ја првобитната дропка и решете ја равенката:
100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Да преминеме на третата дропка: X = 0,30(5) = 0,30555... Дијаграмот е ист, па јас само ќе ги дадам пресметките:
Период k = 1 ⇒ помножете сè со 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Конечно, последната дропка: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Повторно, за погодност, периодичните делови се одделени еден од друг со празни места. Ние имаме:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Оваа статија е за децимали. Овде ќе ја разбереме децималната ознака на дробните броеви, ќе го воведеме концептот на децимална дропка и ќе дадеме примери на децимални дропки. Следно ќе зборуваме за цифрите на децималните дропки и ќе ги дадеме имињата на цифрите. После ова, ќе се фокусираме на бесконечни децимални дропки, ајде да зборуваме за периодични и непериодични дропки. Следно, ги наведуваме основните операции со децимални дропки. Како заклучок, да ја утврдиме позицијата на децималните фракции на координатниот зрак.
Навигација на страница.
Децимална ознака на дробен број
Читање децимали
Ајде да кажеме неколку зборови за правилата за читање децимални дропки.
Децималните дропки, кои одговараат на правилните обични дропки, се читаат на ист начин како и овие обични дропки, прво се додава само „нула цел број“. На пример, децималната дропка 0,12 одговара на заедничката дропка 12/100 (читај „дванаесет стотинки“), затоа, 0,12 се чита како „нулта точка дванаесет стотинки“.
Децималните дропки кои одговараат на мешани броеви се читаат точно исто како и овие мешани броеви. На пример, децималната дропка 56.002 одговара на мешан број, така што децималната дропка 56.002 се чита како „педесет и шест точки две илјадити“.
Места во децимали
При пишувањето децимални дропки, како и при пишувањето природни броеви, значењето на секоја цифра зависи од нејзината положба. Навистина, бројот 3 во децималната дропка 0,3 значи три десетини, во децималната дропка 0,0003 - три десет илјадити, а во децималната дропка 30.000,152 - три десетици илјади. Па можеме да зборуваме за децимални места, како и за цифрите во природните броеви.
Имињата на цифрите во децималната дропка до децималната точка целосно се совпаѓаат со имињата на цифрите во природните броеви. И имињата на децималните места по децималната точка може да се видат од следната табела.
На пример, во децималната дропка 37.051, цифрата 3 е на десетките, 7 е на местото на единиците, 0 е на десеттото место, 5 е на стотинката и 1 е на илјадитото место.
Местата во децималните дропки исто така се разликуваат по предност. Ако при пишување децимална дропка се движиме од цифра на цифра од лево надесно, тогаш ќе се движиме од постаритеДо помлади рангови. На пример, местото на стотинките е постаро од десеттото место, а местото со милиони е пониско од стотото место. Во дадена конечна децимална дропка, можеме да зборуваме за големите и малите цифри. На пример, во децимална дропка 604,9387 постар (највисок)местото е местото на стотиците, и помлад (најнизок)- цифра од десет илјадити.
За децималните дропки, се случува проширување во цифри. Слично е на проширувањето во цифри на природни броеви. На пример, проширувањето во децимални места од 45,6072 е како што следува: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. И својствата на собирање од разложување на децимална дропка на цифри ви дозволуваат да преминете на други претставувања на оваа децимална дропка, на пример, 45,6072=45+0,6072, или 45,6072=40,6+5,007+0,0002, или 45,65,072= 0,6.
Завршни децимали
До овој момент зборувавме само за децимални дропки, во чие запишување има конечен број цифри по децималната точка. Ваквите дропки се нарекуваат конечни децимали.
Дефиниција.
Завршни децимали- Тоа се децимални дропки, чии записи содржат конечен број знаци (цифри).
Еве неколку примери на конечни децимални дропки: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230,032,45.
Сепак, не секоја дропка може да се претстави како конечна децимала. На пример, дропката 5/13 не може да се замени со еднаква дропка со еден од именителот 10, 100, ..., затоа, не може да се претвори во конечна децимална дропка. Ќе зборуваме повеќе за ова во делот за теорија, претворајќи ги обичните дропки во децимали.
Бесконечни децимали: периодични дропки и непериодични дропки
При пишување децимална дропка по децималната точка, може да се претпостави можност за бесконечен број цифри. Во овој случај, ќе ги разгледаме таканаречените бесконечни децимални фракции.
Дефиниција.
Бесконечни децимали- Тоа се децимални дропки, кои содржат бесконечен број цифри.
Јасно е дека не можеме да запишеме бесконечни децимални дропки во целосна форма, затоа при нивното запишување се ограничуваме само на одреден конечен број цифри по децималната точка и ставаме елипса што покажува бесконечно континуирана низа од цифри. Еве неколку примери на бесконечни децимални дропки: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….
Ако внимателно ги погледнете последните две децимални дропки, тогаш во дропката 2.111111111... јасно се гледа бескрајно повторувачкиот број 1, а во дропката 69.74152152152..., почнувајќи од третото децимално место, повторувачка група на броеви 1, 5 и 2 се јасно видливи. Ваквите бесконечни децимални дропки се нарекуваат периодични.
Дефиниција.
Периодични децимали(или едноставно периодични дропки) се бескрајни децимални дропки, при чие запишување, почнувајќи од одредено децимално место, бескрајно се повторува некој број или група броеви, што се т.н. период на дропка.
На пример, периодот на периодичната дропка 2.111111111... е цифрата 1, а периодот на дропката 69.74152152152... е група на цифри од формата 152.
За бесконечни периодични децимални дропки, се усвојува посебна форма на нотација. За краткост, се договоривме еднаш да го запишеме периодот, ставајќи го во заграда. На пример, периодичната дропка 2.111111111... е напишана како 2,(1) , а периодичната дропка 69.74152152152... е напишана како 69.74(152) .
Вреди да се напомене дека за иста периодична децимална дропка можете да наведете различни периоди. На пример, периодичната децимална дропка 0,73333... може да се смета како дропка 0,7(3) со период од 3, а исто така и како дропка 0,7(33) со период од 33, и така натаму 0,7(333), 0,7 (3333), ... Можете исто така да ја погледнете периодичната дропка 0,73333 ... вака: 0,733(3), или вака 0,73(333) итн. Овде, за да се избегнат нејаснотии и несовпаѓања, се согласуваме како период на децимална дропка да го сметаме најкраткиот од сите можни низи на цифри кои се повторуваат и почнувајќи од најблиската позиција до децималната точка. Односно, периодот на децималната дропка 0,73333... ќе се смета за низа од една цифра 3, а периодичноста започнува од втората позиција по децималната точка, односно 0,73333...=0,7(3). Друг пример: периодичната дропка 4,7412121212... има период од 12, периодичноста започнува од третата цифра по децималната точка, односно 4,7412121212...=4,74(12).
Бесконечните децимални периодични дропки се добиваат со претворање во децимални дропки обичните дропки чиишто именители содржат прости множители различни од 2 и 5.
Овде вреди да се споменат периодични дропки со период од 9. Да дадеме примери за такви дропки: 6.43(9) , 27,(9) . Овие дропки се уште една нотација за периодични дропки со период 0, и тие обично се заменуваат со периодични дропки со период 0. За да го направите ова, периодот 9 се заменува со точка 0, а вредноста на следната највисока цифра се зголемува за еден. На пример, дропка со точка 9 од формата 7.24(9) се заменува со периодична дропка со точка 0 од формата 7.25(0) или еднаква конечна децимална дропка 7.25. Друг пример: 4,(9)=5,(0)=5. Еднаквоста на дропка со период 9 и нејзината соодветна дропка со период 0 лесно се утврдува откако ќе се заменат овие децимални дропки со еднакви обични дропки.
Конечно, да ги разгледаме подетално бесконечните децимални фракции, кои не содржат бескрајно повторувачка низа од цифри. Тие се нарекуваат непериодични.
Дефиниција.
Децимали кои не се повторуваат(или едноставно непериодични дропки) се бесконечни децимални дропки кои немаат точка.
Понекогаш непериодичните дропки имаат форма слична на онаа на периодичните дропки, на пример, 8.02002000200002... е непериодична дропка. Во овие случаи, треба да бидете особено внимателни за да ја забележите разликата.
Забележете дека непериодичните дропки не се претвораат во обични дропки; бесконечните непериодични децимални дропки претставуваат ирационални броеви.
Операции со децимали
Една од операциите со децимални дропки е споредбата, а дефинирани се и четирите основни аритметички функции операции со децимали: собирање, одземање, множење и делење. Ајде да го разгледаме одделно секое од дејствата со децимални дропки.
Споредба на децималиво суштина се заснова на споредба на обичните дропки што одговараат на споредените децимални дропки. Како и да е, претворањето на децимални фракции во обични дропки е прилично трудоинтензивен процес, а бесконечните непериодични дропки не можат да се претстават како обична дропка, па затоа е погодно да се користи место-мудро споредба на децимални фракции. Местото споредување на децималните дропки е слично на споредбата на природните броеви. За подетални информации, препорачуваме да ја проучувате статијата: споредба на децимални фракции, правила, примери, решенија.
Ајде да продолжиме на следниот чекор - множење децимали. Множењето на конечни децимални дропки се врши слично како одземање на децимални дропи, правила, примери, решенија за множење со колона природни броеви. Во случај на периодични дропки, множењето може да се сведе на множење на обични дропки. За возврат, множењето на бесконечни непериодични децимални фракции по нивното заокружување се сведува на множење на конечни децимали. Препорачуваме за понатамошно проучување на материјалот во статијата: множење на децимални фракции, правила, примери, решенија.
Децимали на координатен зрак
Постои кореспонденција еден-на-еден помеѓу точките и децималите.
Ајде да откриеме како се конструирани точките на координатниот зрак што одговараат на дадена децимална дропка.
Можеме да ги замениме конечните децимали и бесконечните периодични децимални фракции со еднакви обични дропки, а потоа да ги конструираме соодветните обични дропки на координатниот зрак. На пример, децималната дропка 1.4 одговара на заедничката дропка 14/10, така што точката со координата 1.4 се отстранува од почетокот во позитивна насока за 14 отсечки еднакви на десетина од единична отсечка.
Децималните дропки може да се означат на координатен зрак, почнувајќи од разложување на дадена децимална дропка на цифри. На пример, нека треба да изградиме точка со координати 16.3007, бидејќи 16.3007=16+0.3+0.0007, тогаш можеме да дојдеме до оваа точка со секвенцијално поставување на 16 единични отсечки од потеклото на координатите, 3 отсечки чија должина е еднаква на десетина од единица и 7 отсечки чија должина е еднаква на десетилјадитиот дел од единечната отсечка.
Овој метод на конструирање децимални броеви на координатен зрак ви овозможува да се приближите колку што сакате до точката што одговара на бесконечна децимална дропка.
Понекогаш е можно точно да се нацрта точката што одговара на бесконечна децимална дропка. На пример, 
, тогаш оваа бесконечна децимална дропка 1,41421... одговара на точка на координатниот зрак, оддалечена од потеклото на координатите по должината на дијагоналата на квадрат со страна од 1 единица отсечка.
Обратниот процес на добивање на децимална дропка што одговара на дадена точка на координатниот зрак е т.н. децимално мерење на сегмент. Ајде да дознаеме како се прави тоа.
Нека ни е задача да стигнеме од потеклото до дадена точка на координатната линија (или бесконечно да ѝ пристапиме ако не можеме да стигнеме до неа). Со децималното мерење на отсечка, можеме последователно да го отфрлиме од потеклото кој било број единечни отсечки, потоа отсечки чија должина е еднаква на десетина од единицата, потоа отсечки чија должина е еднаква на стотинка од единицата итн. Со запишување на бројот на отсечки од секоја должина настрана, ја добиваме децималната дропка што одговара на дадена точка на координатниот зрак.
На пример, за да дојдете до точката М на горната слика, треба да издвоите 1 единица сегмент и 4 отсечки, чија должина е еднаква на десетина од единицата. Така, точката М одговара на децималната дропка 1.4.
Јасно е дека точките на координатниот зрак, до кои не може да се дојде во процесот на децималното мерење, одговараат на бесконечни децимални фракции.
Библиографија.
- Математика: тетратка за 5 одделение. општо образование институции / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. издание, избришано. - М .: Мнемозина, 2007. - 280 стр.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 одделение: воспитно. за општо образование институции / [Н. Ya. Vilenkin и други]. - 22. ed., rev. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.
Веќе во основно училиште, учениците се изложени на дропки. И после се појавуваат во секоја тема. Не можете да заборавите дејства со овие бројки. Затоа, треба да ги знаете сите информации за обичните и децималните дропки. Овие концепти не се комплицирани, главната работа е да се разбере сè по ред.
Зошто се потребни дропки?
Светот околу нас се состои од цели предмети. Затоа, нема потреба од акции. Но, секојдневниот живот постојано ги турка луѓето да работат со делови од предмети и нешта.
На пример, чоколадото се состои од неколку парчиња. Размислете за ситуација кога неговата плочка е формирана од дванаесет правоаголници. Ако го поделите на два дела, добивате 6 дела. Лесно може да се подели на три. Но, на пет лица нема да може да им се даде цел број на парчиња чоколадо.
Патем, овие парчиња се веќе фракции. И нивната понатамошна поделба доведува до појава на посложени броеви.
Што е „дропка“?
Ова е број составен од делови на единица. Однадвор, изгледа како два броја разделени со хоризонтална или коса црта. Оваа карактеристика се нарекува фракционо. Бројот напишан горе (лево) се нарекува броител. Она што е долу (десно) е именителот.
Во суштина, коса црта се покажува како знак за поделба. Односно, броителот може да се нарече дивиденда, а именителот може да се нарече делител.
Какви дропки има?
Во математиката има само два вида: обични и децимални дропки. Учениците се запознаваат со првите во основно училиште, нарекувајќи ги едноставно „дропки“. Последново ќе се учи во 5-то одделение. Тогаш се појавуваат овие имиња.
Обични дропки се сите оние што се пишуваат како два броја разделени со права. На пример, 4/7. Децимална е бројка во која дробниот дел има положна нотација и е одделен од целиот број со запирка. На пример, 4.7. Учениците треба јасно да разберат дека двата наведени примери се сосема различни броеви.
Секоја едноставна дропка може да се запише како децимална. Оваа изјава е скоро секогаш точна обратно. Постојат правила кои ви дозволуваат да напишете децимална дропка како заедничка дропка.
Какви подтипови имаат овие типови дропки?
Подобро е да се започне по хронолошки редослед, како што се изучуваат. Вообичаените дропки се на прво место. Меѓу нив, може да се разликуваат 5 подвидови.
Точно. Неговиот броител е секогаш помал од неговиот именител.
Погрешно. Неговиот броител е поголем или еднаков на неговиот именител.
Намалување/ненамалување. Може да испадне дека е правилно или погрешно. Друга важна работа е дали броителот и именителот имаат заеднички фактори. Ако ги има, тогаш е неопходно да се поделат двата дела од фракцијата со нив, односно да се намали.
Измешано. Цел број е доделен на неговиот вообичаен правилен (неправилен) дробен дел. Згора на тоа, секогаш е лево.
Композитен. Се формира од две фракции поделени една со друга. Тоа е, содржи три фракциони линии одеднаш.
Децималните фракции имаат само два подтипа:
конечен, односно оној чиј дробен дел е ограничен (има крај);
бесконечно - број чии цифри по децималната точка не завршуваат (може да се пишуваат бескрајно).
Како да се претвори децимална дропка во заедничка дропка?
Ако ова е конечен број, тогаш се применува асоцијација врз основа на правилото - како што слушам, така пишувам. Тоа е, треба да го прочитате правилно и да го запишете, но без запирка, но со фракциона лента.
Како навестување за потребниот именител, треба да запомните дека секогаш е една и неколку нули. Треба да напишете онолку од вторите колку што има цифри во фракциониот дел од предметниот број.
Како да ги претворите децималните дропки во обични дропки ако недостасува нивниот цел дел, односно еднаков на нула? На пример, 0,9 или 0,05. Откако ќе го примените наведеното правило, излегува дека треба да напишете нула цели броеви. Но, тоа не е наведено. Останува само да се запишат фракционите делови. Првиот број ќе има именител 10, вториот ќе има именител 100. Односно, дадените примери ќе ги имаат следните броеви како одговори: 9/10, 5/100. Покрај тоа, излегува дека второто може да се намали за 5. Затоа, резултатот за него треба да се напише како 1/20.
Како можете да претворите децимална дропка во обична дропка ако нејзиниот цел број е различен од нула? На пример, 5.23 или 13.00108. Во двата примери се чита целиот дел и се пишува неговата вредност. Во првиот случај е 5, во вториот е 13. Потоа треба да преминете на фракциониот дел. Истата операција треба да се изврши и со нив. Првиот број се појавува 23/100, вториот - 108/100000. Втората вредност треба повторно да се намали. Одговорот ги дава следните мешани дропки: 5 23/100 и 13 27/25000.
Како да конвертирате бесконечна децимална дропка во обична дропка?
Ако е непериодична, тогаш таквата операција нема да биде можна. Овој факт се должи на фактот дека секоја децимална дропка секогаш се претвора или во конечна или во периодична дропка.
Единственото нешто што можете да направите со таква дропка е да ја заокружите. Но, тогаш децималата ќе биде приближно еднаква на таа бесконечна. Веќе може да се претвори во обичен. Но, обратниот процес: претворањето во децимални никогаш нема да ја даде почетната вредност. Односно, бесконечните непериодични дропки не се претвораат во обични дропки. Ова треба да се запомни.
Како да се напише бесконечна периодична дропка како обична дропка?
Во овие броеви, секогаш има една или повеќе цифри по децималната точка кои се повторуваат. Тие се нарекуваат период. На пример, 0,3 (3). Еве „3“ е во периодот. Тие се класифицирани како рационални бидејќи можат да се претворат во обични дропки.
Оние кои наишле на периодични дропки знаат дека тие можат да бидат чисти или мешани. Во првиот случај, точката започнува веднаш од запирката. Во вториот, дробниот дел започнува со некои броеви, а потоа започнува повторувањето.
Правилото според кое треба да напишете бесконечна децимала како заедничка дропка ќе биде различно за двата типа на наведени броеви. Сосема е лесно да се запишуваат чисти периодични дропки како обични дропки. Како и кај конечните, тие треба да се претворат: запишете ја точката во броителот, а именителот ќе биде бројот 9, повторен онолку пати колку што е бројот на цифрите што ги содржи точката.
На пример, 0, (5). Бројот нема цел број, затоа треба веднаш да започнете со дробниот дел. Запишете го 5 како броител, а 9 како именител. Односно, одговорот ќе биде дропката 5/9.
Правилото за тоа како да се напише обична децимална периодична дропка која е измешана.
Погледнете ја должината на периодот. Толку 9-ки ќе има именителот.
Запишете го именителот: прво деветки, а потоа нули.
За да го одредите броителот, треба да ја запишете разликата од два броја. Сите броеви по децималната точка ќе се минимизираат, заедно со точката. Одбиток - тоа е без период.
На пример, 0,5(8) - запишете ја периодичната децимална дропка како заедничка дропка. Дробниот дел пред точката содржи една цифра. Значи ќе има една нула. Има и само еден број во периодот - 8. Односно има само една деветка. Тоа е, треба да напишете 90 во именителот.
За да го одредите броителот, треба да одземете 5 од 58. Излегува 53. На пример, ќе треба да го напишете одговорот како 53/90.
Како дропките се претвораат во децимали?
Наједноставната опција е број чиј именител е бројот 10, 100 итн. Тогаш именителот едноставно се отфрла и се става запирка помеѓу дробните и целобројните делови.
Има ситуации кога именителот лесно се претвора во 10, 100 итн. На пример, броевите 5, 20, 25. Доволно е да се помножат со 2, 5 и 4, соодветно. Само треба да го помножите не само именителот, туку и броителот со истиот број.
За сите други случаи, корисно е едноставно правило: поделете го броителот со именителот. Во овој случај, може да добиете два можни одговори: конечна или периодична децимална дропка.
Операции со обични дропки
Собирање и одземање
Учениците се запознаваат со нив порано од другите. Покрај тоа, на почетокот дропките имаат исти именители, а потоа имаат различни. Општите правила може да се сведат на овој план.
Најдете го најмалиот заеднички множител од именителот.
Напиши дополнителни множители за сите обични дропки.
Помножете ги броителите и именителот со факторите наведени за нив.
Додадете ги (одземете) броителите на дропките и оставете го заедничкиот именител непроменет.
Ако броителот на минуендот е помал од подлогата, тогаш треба да откриеме дали имаме мешан број или правилна дропка.
Во првиот случај, треба да позајмите еден од целиот дел. Додадете го именителот на броителот на дропката. И потоа направете одземање.
Во втората, неопходно е да се примени правилото за одземање поголем број од помал број. Односно, од модулот на подлогата, одземете го модулот на минуендот и како одговор ставете знак „-“.
Погледнете го внимателно резултатот од собирањето (одземањето). Ако добиете несоодветна дропка, тогаш треба да го изберете целиот дел. Односно, поделете го броителот со именителот.
Множење и делење
За нивно извршување, дропките не треба да се сведуваат на заеднички именител. Ова го олеснува извршувањето на дејствата. Но, тие сепак бараат од вас да ги следите правилата.
Кога множите дропки, треба да ги погледнете броевите во броителите и именителот. Ако некој броител и именител имаат заеднички фактор, тогаш тие можат да се намалат.
Помножете ги броителите.
Помножете ги именителот.
Ако резултатот е редуцирана дропка, тогаш мора повторно да се поедностави.
При делење, прво мора да го замените делењето со множење, а делителот (втората дропка) со реципрочната дропка (заменете ги броителот и именителот).
Потоа продолжи како со множење (почнувајќи од точка 1).
Во задачите каде што треба да множите (поделите) со цел број, вториот треба да се напише како неправилна дропка. Односно, со именител 1. Потоа постапете како што е опишано погоре.
Операции со децимали
Собирање и одземање
Се разбира, секогаш можете да конвертирате децимална во дропка. И постапете според веќе опишаниот план. Но, понекогаш е попогодно да се дејствува без овој превод. Тогаш правилата за нивно собирање и одземање ќе бидат сосема исти.
Изедначете го бројот на цифри во дробниот дел од бројот, односно по децималната точка. Додадете го на него исчезнатиот број на нули.
Напишете ги дропките така што запирката е под запирката.
Додавање (одземање) како природни броеви.
Отстранете ја запирката.
Множење и делење
Важно е да не треба да додавате нули овде. Дропките треба да се остават како што се дадени во примерот. И потоа оди според планот.
За да се множите, треба да ги напишете дропките една под друга, игнорирајќи ги запирките.
Множете се како природни броеви.
Ставете запирка во одговорот, броејќи од десниот крај на одговорот онолку цифри колку што се во дробните делови на двата фактора.
За да се подели, прво мора да го трансформирате делителот: направете го природен број. Односно, помножете го со 10, 100 итн., во зависност од тоа колку цифри има во дробниот дел од делителот.
Помножете ја дивидендата со ист број.
Поделете децимална дропка со природен број.
Ставете запирка во одговорот во моментот кога завршува делењето на целиот дел.
Што ако еден пример ги содржи двата типа на дропки?
Да, во математиката често има примери во кои треба да се извршуваат операции на обични и децимални фракции. Во таквите задачи постојат две можни решенија. Треба објективно да ги измерите бројките и да го изберете оптималниот.
Прв начин: претставуваат обични децимали
Погоден е ако делењето или преводот резултира со конечни дропки. Ако барем еден број дава периодичен дел, тогаш оваа техника е забранета. Затоа, дури и ако не ви се допаѓа да работите со обични дропки, ќе мора да ги броите.
Втор начин: запишете ги децималните дропки како обични
Оваа техника се покажува како погодна ако делот по децималната точка содржи 1-2 цифри. Ако има повеќе од нив, може да завршите со многу голема заедничка дропка и децималната нотација ќе ја направи задачата побрза и полесна за пресметување. Затоа, секогаш треба трезвено да ја оцените задачата и да го изберете наједноставниот метод на решение.
Познато е дека ако именителот Пнесводливата дропка во нејзиното канонско проширување има прост фактор кој не е еднаков на 2 и 5, тогаш оваа дропка не може да се претстави како конечна децимална дропка. Ако се обидеме во овој случај да ја запишеме оригиналната несводлива дропка како децимален, делејќи го броителот со именителот, тогаш процесот на делење не може да заврши, бидејќи ако се заврши по конечен број чекори, ќе добиеме конечна децимална дропка, што е во спротивност со претходно докажаната теорема. Значи, во овој случај децималната ознака на позитивен рационален број е А= се чини дека е бесконечна дропка.
На пример, дропка = 0,3636... . Лесно е да се забележи дека остатоците при делење 4 со 11 периодично се повторуваат, па затоа, децималите периодично ќе се повторуваат, т.е. излегува бесконечна периодична децимална дропка, што може да се напише како 0,(36).
Периодично повторување на броевите 3 и 6 формираат точка. Може да испадне дека има неколку цифри помеѓу децималната точка и почетокот на првиот период. Овие бројки го формираат пред-периодот. На пример,
0,1931818... Процесот на делење 17 на 88 е бесконечен. Броевите 1, 9, 3 го формираат предпериодот; 1, 8 - период. Примерите што ги разгледавме одразуваат шема, т.е. секој позитивен рационален број може да се претстави или како конечна или како бесконечна периодична децимална дропка.
Теорема 1.Нека обичната дропка е нередуцирана во канонското проширување на именителот nе прост фактор различен од 2 и 5. Тогаш заедничката дропка може да се претстави како бесконечна периодична децимална дропка.
Доказ. Веќе знаеме дека процесот на делење природен број мдо природен број nќе биде бесконечна. Да покажеме дека ќе биде периодично. Всушност, кога се дели мна nдобиените салда ќе бидат помали n,тие. броеви од формата 1, 2, ..., ( n– 1), од каде што е јасно дека бројот на различни остатоци е конечен и затоа, почнувајќи од одреден чекор, ќе се повтори некој остаток, што ќе повлече повторување на децималните места на количникот и бесконечната децимална дропка. станува периодична.
Важат уште две теореми.
Теорема 2.Ако проширувањето на именителот на несводлива дропка во прости множители не ги вклучува броевите 2 и 5, тогаш кога оваа дропка ќе се претвори во бесконечна децимална дропка, ќе се добие чиста периодична дропка, т.е. дропка чиј период започнува веднаш по децималната точка.
Теорема 3.Ако проширувањето на именителот ги вклучува факторите 2 (или 5) или и двете, тогаш бесконечната периодична дропка ќе биде измешана, т.е. помеѓу децималната точка и почетокот на периодот ќе има неколку цифри (пред-период), имено колку што е најголемиот од експонентите на факторите 2 и 5.
Теоремите 2 и 3 му се предлагаат на читателот за самостојно докажување.
28. Методи на премин од бесконечна периодична
децимални дропки до обични дропки
Нека е дадена периодична дропка А= 0, (4), т.е. 0,4444... .
Ајде да се множиме Аза 10, добиваме
10А= 4,444…4…Þ 10 А = 4 + 0,444….
Оние. 10 А = 4 + А, добивме равенка за А, решавајќи го, добиваме: 9 А= 4 Þ А = .
Забележуваме дека 4 е и броител на добиената дропка и период на дропката 0,(4).
Правилопретворањето на чиста периодична дропка во обична дропка се формулира на следниов начин: броителот на дропката е еднаков на точката, а именителот се состои од ист број девет колку што има цифри во периодот на дропката.
Сега да го докажеме ова правило за дропка чиј период се состои од П
А= . Ајде да се множиме Ана 10 n, добиваме:
10n × А = 
= + 0, ;
10n × А = + а;
(10n – 1) А = Þ a = = .
Значи, претходно формулираното правило е докажано за која било чиста периодична фракција.
Сега да дадеме дропка А= 0,605 (43) - мешана периодична. Ајде да се множиме Аза 10 со истиот индикатор, колку цифри има во предпериодот, т.е. за 10 3, добиваме
10 3 × А= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × А = 605 + = 605 + = = 
,
тие. 10 3 × А= .
Правилопретворањето на мешана периодична дропка во обична дропка се формулира на следниов начин: броителот на дропката е еднаков на разликата помеѓу бројот напишан со цифри пред почетокот на вториот период и бројот напишан со цифри пред почетокот на првиот период. , именителот се состои од бројот на девет што е еднаков на бројот на цифри во периодот и таков број на нули колку цифри има пред почетокот на првиот период.
Сега да го докажеме ова правило за дропка чиј предпериод се состои од Пбројки, а периодот е од Доброеви Нека е дадена периодична дропка
Да означиме В= ; р= ,
Со= 
; Потоа Со=во × 10k + r.
Ајде да се множиме Асо 10 со таков експонент колку цифри има во предпериодот, т.е. на 10 n, добиваме:
А× 10 n = + 
.
Земајќи ги предвид ознаките воведени погоре, пишуваме:
a× 10n= В+ .
Значи, правилото формулирано погоре е докажано за секоја мешана периодична фракција.
Секоја бесконечна периодична децимална дропка е форма на запишување рационален број.
Заради конзистентност, понекогаш конечната децимала се смета и за бесконечна периодична децимала со период „нула“. На пример, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3.000... .
Сега следнава изјава станува вистинита: секој рационален број може (и на единствен начин) да се изрази со бесконечна периодична децимална дропка, а секоја бесконечна периодична децимална дропка изразува точно еден рационален број (периодични децимални фракции со период од 9 не се сметаат ).