Детали Прегледи: 2154

Формула за вкупна веројатност и формули на Бејс

Во оваа лекција ќе разгледаме важна последица Теоремите за собирање и множење на веројатностии научете како да решавате типични проблеми на темата. Читатели кои ја прочитале статијата за зависни настани, ќе биде поедноставно, бидејќи во него всушност веќе почнавме да ја користиме формулата за вкупна веројатност. Ако дојдовте од пребарувач и/или не разбирате теорија на веројатност (врска до 1-ва лекција од курсот), тогаш препорачувам прво да ги посетите овие страници.

Всушност, да продолжиме. Ајде да размислиме зависен настан, што може да настане само како резултат на имплементација на еден од некомпатибилните хипотези , кои формираат целосна група. Нека се знаат нивните веројатности и соодветните условни веројатности. Тогаш веројатноста да се случи настанот е:

Оваа формула се нарекува формули за вкупна веројатност. Во учебниците таа е формулирана како теорема чие докажување е елементарно: според алгебра на настани, (се случи настан И илисе случил настан Иоткако дошло до настан илисе случил настан Иоткако дошло до настан или …. илисе случил настан Иоткако дојде некој настан). Од хипотезите се некомпатибилни, а настанот е зависен, тогаш според теоремата за собирање на веројатности на некомпатибилни настани (првиот чекор)И теорема за множење на веројатности на зависни настани (втор чекор):

Многу луѓе веројатно ја предвидуваат содржината на првиот пример =)

Каде и да плукаш има урна:

Проблем 1

Има три идентични урни. Првата урна содржи 4 бели и 7 црни топки, втората - само бела и третата - само црни топки. Една урна се избира по случаен избор и од неа по случаен избор се извлекува топка. Која е веројатноста оваа топка да е црна?

Решение: разгледајте го настанот - ќе се извлече црна топка од случајно избрана урна. Овој настан може да се случи како резултат на една од следните хипотези:
- ќе се избере првата урна;
- ќе се избере 2-та урна;
- ќе се избере третата урна.

Бидејќи урната е избрана по случаен избор, изборот на која било од трите урни подеднакво можно, оттука:

Ве молиме имајте предвид дека горенаведените хипотези се формираат целосна група на настани, односно според условот црна топка може да се појави само од овие урни, а на пример не може да дојде од маса за билијард. Ајде да направиме едноставна средна проверка:
, ОК, да продолжиме понатаму:

Првата урна содржи 4 бели + 7 црни = 11 топчиња, секоја класична дефиниција:
- веројатност за цртање црна топка со оглед на тоа, дека ќе биде избрана првата урна.

Втората урна содржи само бели топчиња, па доколку се изберепојавата на црната топка станува невозможно: .

И, конечно, третата урна содржи само црни топчиња, што значи соодветно условна веројатностизвлекување на црната топка ќе биде (настанот е сигурен).

- веројатноста дека црна топка ќе биде извлечена од случајно избрана урна.

Одговори:

Анализираниот пример повторно сугерира колку е важно да се навлегува во СОСТОЈБАТА. Ајде да ги земеме истите проблеми со урните и топчињата - и покрај нивната надворешна сличност, методите на решение можат да бидат сосема различни: некаде само треба да користите класична дефиниција на веројатност, некаде настани независна, некаде зависни, а некаде зборуваме за хипотези. Во исто време, не постои јасен формален критериум за избор на решение - речиси секогаш треба да размислите за тоа. Како да ги подобрите своите вештини? Ние одлучуваме, одлучуваме и повторно одлучуваме!

Проблем 2

стрелиштето има 5 пушки со различна точност. Веројатноста за погодување на целта за даден стрелец се соодветно еднакви и 0,4. Која е веројатноста да се погоди целта ако стрелецот испука еден истрел од случајно избрана пушка?

Кратко решение и одговор на крајот од часот.

Во повеќето тематски проблеми, хипотезите, се разбира, не се подеднакво веројатни:

Проблем 3

Во пирамидата има 5 пушки, од кои три се опремени со оптички нишан. Веројатноста дека стрелецот ќе ја погоди целта кога пука со пушка со телескопски нишан е 0,95; за пушка без оптички нишан оваа веројатност е 0,7. Најдете ја веројатноста дека целта ќе биде погодена ако стрелецот испука еден истрел од пушка земена по случаен избор.

Решение: во овој проблем бројот на пушки е потполно ист како и во претходниот, но има само две хипотези:
- стрелецот ќе избере пушка со оптички нишан;
- стрелецот ќе избере пушка без оптички нишан.
Од страна на класична дефиниција на веројатност: .
Контрола:

Размислете за настанот: - стрелец погодува цел со пушка земена по случаен избор.
По услов: .

Според формулата за вкупна веројатност:

Одговори: 0,85

Во пракса, сосема е прифатлив скратениот начин на форматирање на задачата, со кој исто така сте запознаени:

Решение: според класичната дефиниција: - веројатноста за избор на пушка со оптички нишан и без оптички нишан, соодветно.

По услов, - веројатноста да се погоди целта од соодветните видови пушки.

Според формулата за вкупна веројатност:
- веројатноста дека стрелецот ќе погоди цел со случајно избрана пушка.

Одговори: 0,85

Следната задача треба да ја решите сами:

Проблем 4

Моторот работи во три режими: нормален, принуден и празен. Во режим на мирување, веројатноста за негово неуспех е 0,05, во нормален режим на работа - 0,1, а во принуден режим - 0,7. 70% од времето моторот работи во нормален режим, а 20% во принуден режим. Која е веројатноста за дефект на моторот за време на работата?

За секој случај, да ве потсетам дека за да се добијат вредностите на веројатноста, процентите мора да се поделат со 100. Бидете многу внимателни! Според моите набљудувања, луѓето често се обидуваат да ги збунат условите на проблемите што ја вклучуваат формулата за вкупна веројатност; и конкретно го избрав овој пример. Ќе ти кажам една тајна - за малку ќе се збунев и самиот =)

Решение на крајот од часот (форматирано на краток начин)

Проблеми со користење на формулите на Бејс

Материјалот е тесно поврзан со содржината од претходниот став. Нека настанот се случи како резултат на спроведувањето на една од хипотезите . Како да се одреди веројатноста дека се случила одредена хипотеза?

Со оглед на тоатој настан веќе се случи, веројатности за хипотеза преценетспоред формулите што го добиле името на англискиот свештеник Томас Бејс:

- веројатноста дека хипотезата се случила;
- веројатноста дека хипотезата се случила;
…
- веројатноста дека се случила хипотезата.

На прв поглед изгледа сосема апсурдно - зошто повторно да се пресметаат веројатностите на хипотезите ако тие се веќе познати? Но, всушност постои разлика:

Ова априори(проценето предтестови) веројатност.

Ова a posteriori(проценето послетестови) веројатности за истите хипотези, повторно пресметани во врска со „новооткриените околности“ - земајќи го предвид фактот дека настанот дефинитивно се случи.

Ајде да ја разгледаме оваа разлика со конкретен пример:

Проблем 5

Во магацинот пристигнаа 2 серии производи: првата - 4000 парчиња, втората - 6000 парчиња. Просечниот процент на нестандардни производи во првата серија е 20%, а во втората - 10%. Производот земен од магацинот по случаен избор се покажа како стандарден. Најдете ја веројатноста дека е: а) од првата серија, б) од втората серија.

Прв дел решенијасе состои од користење на формулата за вкупна веројатност. Со други зборови, пресметките се вршат под претпоставка дека тестот уште не е произведени настан „Производот се покажа како стандарден“не сеуште.

Да разгледаме две хипотези:
- производ земен по случаен избор ќе биде од првата серија;
- производ земен по случаен избор ќе биде од 2-та серија.

Вкупно: 4000 + 6000 = 10000 артикли на залиха. Според класичната дефиниција:
.

Контрола:

Да го разгледаме зависниот настан: - производ земен по случаен избор од магацинот ќе биде стандарден.

Во првата серија 100% - 20% = 80% стандардни производи, затоа: со оглед на тоадека и припаѓа на првата страна.

Слично, во втората серија 100% - 10% = 90% од стандардните производи и - веројатноста дека производ земен по случаен избор од магацин ќе биде стандарден со оглед на тоадека припаѓа на втора страна.

Според формулата за вкупна веројатност:
- веројатноста дека производ земен по случаен избор од магацин ќе биде стандарден.

Втор дел. Нека производ земен по случаен избор од магацин испадне стандарден. Оваа фраза е директно наведена во условот, а во неа се наведува фактот дека настанот се случи.

Според формулите на Бејс:

а) - веројатноста дека избраниот стандарден производ припаѓа на првата серија;

б) - веројатноста дека избраниот стандарден производ припаѓа на 2-та серија.

По ревалоризацијахипотезите, се разбира, сè уште се формираат целосна група:
(испитување;-))

Одговори:

Иван Василевич, кој повторно ја смени својата професија и стана директор на фабриката, ќе ни помогне да го разбереме значењето на ревалоризацијата на хипотезите. Тој знае дека денес првата работилница испратила 4.000 производи во магацинот, а втората работилница - 6.000 производи, и доаѓа да се увери во тоа. Да претпоставиме дека сите производи се од ист тип и се во ист сад. Секако, Иван Василевич прелиминарно пресметал дека производот што сега ќе го отстрани на проверка најверојатно ќе биде произведен од 1-та работилница и најверојатно од втората. Но, откако избраниот производ се покажа како стандарден, тој извикува: „Каков кул болт! „Тоа беше повеќе објавено од втората работилница“. Така, веројатноста за втората хипотеза се преценува на подобро, а веројатноста за првата хипотеза е потценета: . И оваа ревалоризација не е неоснована - на крајот на краиштата, 2-та работилница не само што произведе повеќе производи, туку работи и 2 пати подобро!

Чист субјективизам, велиш? Делумно - да, згора на тоа, самиот Бајс толкуваше a posterioriверојатности како ниво на доверба. Сепак, не е сè толку едноставно - постои и објективна зрно во бајсовиот пристап. На крајот на краиштата, веројатноста дека производот ќе биде стандарден (0,8 и 0,9 за 1-та и 2-та работилница, соодветно)Ова прелиминарните(а приори) и просекпроценки. Но, гледајќи филозофски, сè тече, сè се менува, вклучувајќи ги и веројатностите. Сосема е можно тоа во времето на студијатапоуспешната втора работилница го зголеми процентот на произведени стандардни производи (и/или првата работилница намалена), и ако проверите поголем број или сите 10 илјади производи во магацинот, тогаш преценетите вредности ќе испаднат многу поблиску до вистината.

Патем, ако Иван Василевич извлече нестандарден дел, тогаш напротив - тој ќе биде повеќе „сомнителен“ на првата работилница, а помалку на втората. Ви предлагам сами да го проверите ова:

Проблем 6

Во магацинот пристигнаа 2 серии производи: првата - 4000 парчиња, втората - 6000 парчиња. Просечниот процент на нестандардни производи во првата серија е 20%, во втората - 10%. Производот земен од магацинот по случаен избор испадна дека е Нестандарден. Најдете ја веројатноста дека е: а) од првата серија, б) од втората серија.

Условот се разликува со две букви, кои ги истакнав со задебелени букви. Проблемот може да се реши од нула, или со користење на резултатите од претходните пресметки. Во примерокот спроведов целосно решение, но за да се избегне какво било формално преклопување со проблемот бр. 5, настанот „Производ земен по случаен избор од магацин ќе биде нестандарден“означено со .

Бајесовата шема за повторно проценување на веројатностите се наоѓа насекаде, а исто така активно се експлоатира од разни видови измамници. Ајде да размислиме за акционерско друштво со три букви што стана познато име, кое привлекува депозити од јавноста, наводно ги инвестира некаде, редовно плаќа дивиденди итн. Што се случува? Ден по ден, месец по месец поминува, а се повеќе и повеќе нови факти, пренесени преку рекламирање и усно на уста, само го зголемуваат нивото на доверба во финансиската пирамида (постериори бајесова повторна проценка поради минати настани!). Односно, во очите на инвеститорите постои постојано зголемување на веројатноста дека „Ова е сериозна компанија“; додека веројатноста за спротивната хипотеза („ова се само повеќе измамници“), се разбира, се намалува и намалува. Она што следи, мислам дека е јасно. Вреди да се одбележи дека заработената репутација им дава време на организаторите успешно да се сокријат од Иван Василевич, кој остана не само без серија завртки, туку и без панталони.

На подеднакво интересни примери ќе се вратиме малку подоцна, но засега следниот чекор е можеби најчестиот случај со три хипотези:

Проблем 7

Електричните светилки се произведуваат во три фабрики. Првата фабрика произведува 30% од вкупниот број светилки, втората - 55%, а третата - остатокот. Производите од првата фабрика содржат 1% неисправни светилки, 2-та - 1,5%, третата - 2%. Продавницата добива производи од сите три фабрики. Се покажа дека е неисправна купената светилка. Која е веројатноста дека е произведен од фабриката 2?

Имајте на ум дека во проблеми на Bayes формули во состојба Задолжителнопостои одредено што се случинастан, во овој случај купување на светилка.

Настаните се зголемија и решениеПопогодно е да се организира во „брз“ стил.

Алгоритмот е сосема ист: во првиот чекор ја наоѓаме веројатноста дека купената светилка ќе испадне неисправна.

Користејќи ги првичните податоци, ние ги претвораме процентите во веројатности:
- веројатноста дека светилката е произведена од 1-та, 2-та и 3-та фабрика, соодветно.
Контрола:

Слично: - веројатноста за производство на неисправна светилка за соодветните фабрики.

Според формулата за вкупна веројатност:

- веројатноста дека купената светилка ќе биде неисправна.

Чекор два. Дозволете купената светилка да се покаже како неисправна (настанот се случил)

Според формулата на Бајс:
- веројатноста купената неисправна светилка да е произведена од втор погон

Одговори:

Зошто се зголеми првичната веројатност за 2-та хипотеза по ревалоризацијата? На крајот на краиштата, втората фабрика произведува светилки со просечен квалитет (првата е подобра, третата е полоша). Па зошто се зголеми a posterioriДали е можно неисправната светилка да е од втора постројка? Ова повеќе не се објаснува со „репутацијата“, туку со големината. Бидејќи фабриката бр. 2 произведе најголем број светилки (повеќе од половина), субјективната природа на преценувањето е барем логична („Најверојатно, оваа неисправна светилка е од таму“).

Интересно е да се забележи дека веројатностите на 1-та и 3-та хипотеза беа преценети во очекуваните насоки и станаа еднакви:

Контрола: , што требаше да се провери.

Патем, за потценети и преценети проценки:

Проблем 8

Во студентската група 3 лица имаат високо ниво на обука, 19 лица имаат просечно ниво и 3 лица имаат ниско ниво. Веројатноста за успешно полагање на испитот за овие студенти се соодветно еднакви на: 0,95; 0,7 и 0,4. Се знае дека некој студент го положил испитот. Која е веројатноста дека:

а) тој беше многу добро подготвен;
б) беше умерено подготвен;
в) беше слабо подготвен.

Вршете пресметки и анализирајте ги резултатите од повторното оценување на хипотезите.

Задачата е блиска до реалноста и е особено веродостојна за група вонредни студенти, каде што наставникот практично нема никакво знаење за способностите на одреден ученик. Во овој случај, резултатот може да предизвика доста неочекувани последици. (посебно за испити во 1 семестар). Ако слабо подготвен ученик има среќа да добие билет, тогаш наставникот најверојатно ќе го смета за добар ученик или дури и за силен ученик, што ќе донесе добри дивиденди во иднина (се разбира, треба да ја „подигнете лентата“ и да го одржите вашиот имиџ). Ако ученикот учел, натрупал и повторувал 7 дена и 7 ноќи, но едноставно немал среќа, тогаш понатамошните настани може да се развијат на најлош можен начин - со бројни повторувања и балансирање на работ на елиминација.

Непотребно е да се каже дека репутацијата е најважниот капитал; не е случајно што многу корпорации ги носат имињата на нивните основачи, кои го воделе бизнисот пред 100-200 години и станале познати по својата беспрекорна репутација.

Да, бајесовиот пристап е до одреден степен субјективен, но... така функционира животот!

Ајде да го консолидираме материјалот со последен индустриски пример, во кој ќе зборувам за досега непознатите технички сложености на решението:

Проблем 9

Три работилници на фабриката произведуваат ист тип на делови, кои се испраќаат во заеднички контејнер за склопување. Познато е дека првата работилница произведува 2 пати повеќе делови од втората работилница, а 4 пати повеќе од третата работилница. Во првата работилница стапката на дефект е 12%, во втората - 8%, во третата - 4%. За контрола се зема еден дел од контејнерот. Која е веројатноста да биде неисправна? Која е веројатноста дека извлечениот неисправен дел е произведен од 3-та работилница?

Иван Василевич повторно на коњ =) Филмот мора да има среќен крај =)

Решение: за разлика од задачите бр. 5-8, овде експлицитно е поставено прашање кое се решава со помош на формулата за вкупна веројатност. Но, од друга страна, состојбата е малку „шифрирана“, а училишната вештина за составување едноставни равенки ќе ни помогне да ја решиме оваа загатка. Удобно е да се земе најмалата вредност како „x“:

Нека биде уделот на делови произведени од третата работилница.

Според условот, првата работилница произведува 4 пати повеќе од третата, така што учеството на првата работилница е .

Дополнително, првата работилница произведува 2 пати повеќе производи од втората работилница, што значи уделот на втората: .

Ајде да ја создадеме и решиме равенката:

Така: - веројатноста дека делот изваден од контејнерот е произведен од 1-та, 2-та и 3-та работилница, соодветно.

Контрола:. Покрај тоа, не би било повредено повторно да ја погледнете фразата „Познато е дека првата работилница произведува производи 2 пати повеќе од втората и 4 пати повеќе од третата работилница.и уверете се дека добиените вредности на веројатност навистина одговараат на оваа состојба.

Првично, може да се земе делот од 1-та или делот од 2-та работилница како „Х“ - веројатностите ќе бидат исти. Но, вака или онака, најтешкиот дел помина, а решението е на добар пат:

Од состојбата наоѓаме:
- веројатноста за изработка на неисправен дел за соодветните работилници.

Според формулата за вкупна веројатност:
- веројатноста дека дел случајно отстранет од контејнер ќе испадне нестандарден.

Прашање второ: колкава е веројатноста дека извадениот неисправен дел е произведен од 3-та работилница? Ова прашање претпоставува дека делот е веќе отстранет и се покажа дека е неисправен. Ја реевалуираме хипотезата користејќи ја формулата на Бејс:
- саканата веројатност. Сосема очекувано - на крајот на краиштата, третата работилница не само што произведува најмал дел од делови, туку и води по квалитет!

Доколку настанот Аможе да се случи само кога еден од настаните што се формираат комплетна група на некомпатибилни настани , тогаш веројатноста за настанот Апресметано со формулата

Оваа формула се нарекува формула за вкупна веројатност .

Повторно да ја разгледаме комплетната група на некомпатибилни настани, чиишто веројатности . Настан Аможе да се случи само заедно со некој од настаните што ќе ги наречеме хипотези . Потоа, според формулата за вкупна веројатност

Доколку настанот Асе случи, ова може да ги промени веројатностите на хипотезите .

Со теоремата за множење на веројатноста

.

Слично, за останатите хипотези

Резултирачката формула се нарекува Формула на Бејс (Формула на Бејс ). Се нарекуваат веројатностите на хипотезите задни веројатности , додека - претходните веројатности .

Пример.Продавницата доби нови производи од три фабрики. Процентуалниот состав на овие производи е следен: 20% - производи на првото претпријатие, 30% - производи на второто претпријатие, 50% - производи на третото претпријатие; понатаму, 10% од производите на првото претпријатие се од највисока оценка, кај второто претпријатие - 5% и кај третото - 20% од производите од највисока оценка. Најдете ја веројатноста дека случајно купениот нов производ ќе биде од највисока оценка.

Решение.Да означиме со ВОНастанот кога ќе се купат производи со највисока оценка, го означуваме со настани кои се состојат во купување на производи кои припаѓаат на првото, второто и третото претпријатие, соодветно.

Можете да ја примените формулата за вкупна веројатност, а во нашата нотација:

Заменувајќи ги овие вредности во формулата за вкупна веројатност, ја добиваме саканата веројатност:

Пример.Еден од тројцата стрелци е повикан на линијата за стрелање и испука два истрели. Веројатноста да се погоди целта со еден истрел за првиот стрелец е 0,3, за вториот - 0,5; за третиот - 0,8. Целта не е погодена. Најдете ја веројатноста дека истрелите биле испукани од првиот стрелец.

Решение.Можни се три хипотези:

Првиот стрелец е повикан на линијата на огнот,

Вториот стрелец е повикан на линијата на огнот,

Трет стрелец е повикан на линијата за стрелање.

Бидејќи повикувањето на кој било стрелец во линијата на огнот е подеднакво можно, тогаш

Како резултат на експериментот, беше забележан настан Б - по испуканите истрели, целта не беше погодена. Условните веројатности за овој настан според направените хипотези се еднакви на:

Користејќи ја Бајсовата формула, ја наоѓаме веројатноста за хипотезата по експериментот:

Пример.Три автоматски машини обработуваат делови од ист тип, кои по обработката се пренесуваат на заеднички транспортер. Првата машина произведува 2% од дефектите, втората - 7%, третата - 10%. Продуктивноста на првата машина е 3 пати поголема од продуктивноста на втората, а третата е 2 пати помала од втората.

а) Која е стапката на дефект на склопната линија?

б) Која е пропорцијата на делови од секоја машина меѓу неисправните делови на транспортерот?

Решение.Ајде да земеме еден дел по случаен избор од лентата за склопување и да го разгледаме настанот А - делот е дефектен. Тоа е поврзано со хипотези за тоа каде е обработен овој дел: - дел земен по случаен избор е обработен на та машина.

Условни веројатности (во изјавата за проблемот тие се дадени во форма на проценти):

Зависноста помеѓу продуктивноста на машината значи следново:

И бидејќи хипотезите формираат целосна група, тогаш .

Откако го решивме добиениот систем на равенки, наоѓаме: .

а) Вкупната веројатност дека дел земен по случаен избор од монтажната линија е дефектен:

Со други зборови, меѓу масата на делови што излегуваат од склопната линија, дефектите изнесуваат 4%.

б) Нека се знае дека делот земен по случаен избор е неисправен. Користејќи ја формулата на Бејс, ги наоѓаме условните веројатности на хипотезите:

Така, во вкупната маса на неисправни делови на транспортерот, учеството на првата машина е 33%, втората – 39%, третата – 28%.

Практични задачи

Вежба 1

Решавање проблеми во главните гранки на теоријата на веројатност

Целта е стекнување практични вештини за решавање проблеми во

гранки на теоријата на веројатност

Подготовка за практична задача

Запознајте се со теоретскиот материјал на оваа тема, проучете ја содржината на теоретскиот материјал, како и соодветните делови во литературните извори

Постапка за завршување на задачата

Решете 5 задачи според бројот на опцијата за задача дадена во Табела 1.

Опции за изворни податоци

Табела 1

	број на задача

Состав на извештај за задача 1

5 решени проблеми според бројот на опцијата.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

1.. Дали следните групи настани се случаи: а) искуство - фрлање паричка; настани: А1- изглед на грбот; А2- изглед на број; б) експеримент - фрлање две монети; настани: ВО 1- изгледот на два грба; НА 2 -појавата на два броја; НА 3- изгледот на еден грб и еден број; в) искуство - фрлање коцка; настани: C1 -појавата на не повеќе од две точки; C2 -појава на три или четири точки; C3 -појава на најмалку пет точки; г) искуство - гаѓање во цел; настани: Д1- удри; D2-Госпоѓица; д) искуство - два истрели во цел; настани: E0- ниту еден удар; Е1- еден удар; Е2- два удари; ѓ) искуство - отстранување на две карти од палубата; настани: Ф1 -појава на два црвени картони; F2- појавата на две црни карти?

2. Во урната А се бели и Б црни топки. Една топка се извлекува по случаен избор од урната. Најдете ја веројатноста дека оваа топка е бела.

3. Во урната А бела и Б црни топки. Се зема едно топче од урната и се остава на страна. Оваа топка се покажа како бела. По ова се вади уште една топка од урната. Најдете ја веројатноста дека и оваа топка ќе биде бела.

4. Во урната А бела и Б црни топки. Од урната извади една топка и без да гледа ја оставија на страна. После тоа, од урната е извадена уште една топка. Испадна дека е бел. Пронајдете ја веројатноста дека и првата ставена топка е бела.

5. Од урната во која се наоѓа А бела и Б црни топчиња, извадете ги едно по едно сите топчиња освен едно. Најдете ја веројатноста дека последната топка што ќе остане во урната ќе биде бела.

6. Од урната во која А бели топчиња и Б црни, извадете ги сите топчиња во неа по ред. Најдете ја веројатноста дека белото топче ќе биде извлечено второ по ред.

7. Во урна има А бели и Б црни топчиња (А > 2). Од урната се земаат две топки одеднаш. Најдете ја веројатноста двете топчиња да се бели.

8. Во урната А се бели и Б црни топчиња (А > 2, Б > 3). Од урната се земаат пет топки одеднаш. Најдете веројатност Рдека две од нив ќе бидат бели, а три црни.

9. Во игра составена од Х достапни производи Јаснеисправни. Избрано од серијата за контрола I производи. Најдете веројатност Ркој од нив е токму Ј производите ќе бидат неисправни.

10. Матрицата се витка еднаш. Најдете ја веројатноста за следните настани: А -појава на парен број поени; ВО- изглед од најмалку 5 поени; СО-изглед не повеќе од 5 поени.

11. Коцките се тркалаат двапати. Најдете веројатност Рдека двата пати ќе се појават ист број поени.

12. Две коцки се фрлаат истовремено. Најдете ги веројатностите на следните настани: А- збирот на извлечените бодови е 8; ВО- производот на валани точки е 8; СО-збирот на валани точки е поголем од нивниот производ.

13. Се фрлаат две парички. Кој од следниве настани е поверојатен: А -монетите ќе лежат на истите страни; ВО -дали монетите ќе завршат на различни страни?

14. Во урната А бела и Б црни топки (А > 2; Б > 2). Од урната истовремено се извлекуваат две топки. Кој настан е поверојатен: А- топчиња со иста боја; ВО -топки со различни бои?

15. Тројца играчи играат карти. На секој од нив им беа поделени по 10 карти, а во извлекувањето останаа две карти. Еден од играчите гледа дека има 6 карти дијаманти и 4 не-дијаманти во рацете. Тој отфрла две од овие четири карти и зема реми за себе. Најдете ја веројатноста дека ќе купи два дијаманти.

16. Од урна која содржи Пнумерирани топчиња, сите топчиња во него се вадат по случаен избор, едно по друго. Најдете ја веројатноста дека броевите на извлечените топчиња ќе бидат по редослед: 1, 2,..., П.

17. Истата урна како и во претходниот проблем, но откако ќе се извади секое топче, повторно се става и се меша со други и се запишува нејзиниот број. Најдете ја веројатноста дека ќе се запише природна низа од броеви: 1, 2,..., стр.

18. Целосна палуба од карти (52 листови) е поделена по случаен избор на две еднакви пакувања од по 26 листови. Најдете ги веројатностите на следните настани: А -секој пакет ќе содржи два кеса; ВО- еден од пакетите нема да содржи ниту еден кец, а другиот нема да ги има сите четири; S-vеден од пакетите ќе има еден ас, а другиот три.

19. На кошаркарското првенство учествуваат 18 екипи од кои по случаен избор се формираат две групи од по 9 екипи. Меѓу учесниците на натпреварот има 5 екипи

екстра-класа. Најдете ги веројатностите на следните настани: А -сите тимови од врвна класа ќе бидат во иста група; ВО- две екипи од врвна класа ќе паднат во една од групите, а три - во другата.

20. Броевите се пишуваат на девет картички: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Два од нив се вадат по случаен избор и се ставаат на масата по редослед на изгледот, а потоа се чита добиениот број. , на пример 07 (седум), 14 (четиринаесет) итн. Најдете ја веројатноста дека бројот ќе биде парен.

21. Броевите се напишани на пет картички: 1, 2, 3, 4, 5. Од нив се вадат два, една по друга. Најдете ја веројатноста дека бројот на втората картичка ќе биде поголем од бројот на првата.

22. Истото прашање како во проблемот 21, но откако ќе се извади првата карта, се враќа назад и се меша со останатото и се запишува бројот на неа.

23. Во урната А бела, Б црни и Ц црвени топчиња. Сите топчиња во неа едно по едно се вадат од урната и се снимаат нивните бои. Најдете ја веројатноста дека белото се појавува на оваа листа пред црното.

24. Има две урни: во првата А бела и Б црни топки; во вториот В бела и Д црна. Од секоја урна се извлекува топка. Најдете ја веројатноста двете топчиња да се бели.

25. Во услови на задача 24, најди ја веројатноста извлечените топчиња да бидат со различна боја.

26. Има седум отвори во барабанот на револверот, пет од нив содржат патрони, а две се оставени празни. Тапанот се ротира, како резултат на што едно од гнездата случајно се појавува против стеблото. По ова, активирањето е притиснато; ако ќелијата била празна, ударот не се случува. Најдете веројатност Рфактот дека, откако го повторивме овој експеримент два пати по ред, нема да пукаме двата пати.

27. Под исти услови (види проблем 26), пронајдете ја веројатноста дека истрелот ќе се случи двата пати.

28. Урната содржи А; топки означени со броеви 1, 2, ..., ДоОд урната Јассе вади една по една топка (Јас<к), Бројот на топката се запишува и топката се става назад во урната. Најдете веројатност Рдека сите снимени броеви ќе бидат различни.

29. Зборот „книга“ се состои од пет букви од поделената азбука. Дете кое не знае да чита ги расфрла овие букви и потоа ги собра по случаен редослед. Најдете веројатност Рдека повторно го смислил зборот „книга“.

30. Зборот „ананас“ е направен од буквите од поделената азбука. Дете кое не знае да чита ги расфрла овие букви и потоа ги собра по случаен редослед. Најдете веројатност Рдека повторно го има зборот „ананас“.

31. Неколку карти се извлекуваат од полн шпил карти (52 листови, 4 костуми). Колку карти треба да се извадат за да се каже со веројатност поголема од 0,50 дека меѓу нив ќе има карти од ист костум?

32. Нлуѓето се по случаен избор на тркалезна маса (N> 2). Најдете веројатност Рдека две фиксни лица АИ ВОќе биде во близина.

33. Истиот проблем (види 32), но табелата е правоаголна, а Н луѓето седат по случаен избор по една од неговите страни.

34. Бурињата за лото имаат броеви од 1 до Н.Од овие НДве буриња се избрани по случаен избор. Најдете ја веројатноста двете буриња да содржат броеви помали од k (2

35. Лото бурињата имаат броеви од 1 до Н.Од овие НДве буриња се избрани по случаен избор. Најдете ја веројатноста дека едно од бурињата содржи број поголем од k , а од друга - помалку од к . (2

36. Батерија од Мпиштоли пука во група составена од Нцели (М< N). Пиштолите ги избираат своите цели последователно, по случаен избор, под услов два пиштоли да не можат да пукаат на иста цел. Најдете веројатност Рдека ќе се пука врз цели со број 1, 2,... М.

37.. Батерија која се состои од Допиштоли, пука во група составена од Јасавиони (До< 2). Секое оружје ја избира својата цел по случаен избор и независно од другите. Најдете ја веројатноста дека сè Допиштолите ќе пукаат кон истата цел.

38. Во услови на претходниот проблем, пронајдете ја веројатноста дека сите пиштоли ќе пукаат на различни цели.

39. Четири топки се расфрлани случајно низ четири дупки; секое топче паѓа во една или друга дупка со иста веројатност и независно од другите (нема пречки неколку топки да паднат во иста дупка). Најдете ја веројатноста дека во едната дупка ќе има три топки, едната во другата и нема топки во другите две дупки.

40. Маша се скарала со Петја и не сака да се вози во истиот автобус со него. Од хостелот до институтот има 5 автобуси од 7 до 8. Секој што не ги фати овие автобуси, доцни на предавањето. На колку начини Маша и Петја можат да стигнат до институтот со различни автобуси и да не доцнат на предавањето?

41. Секторот за информатичка технологија на банката има 3 аналитичари, 10 програмери и 20 инженери. За прекувремена работа на празник, раководителот на одделот мора да одвои еден вработен. На колку начини може да се направи ова?

42. Шефот на службата за обезбедување на банката мора да поставува 10 чувари на 10 места секој ден. На колку начини може да се направи ова?

43. Новиот претседател на банката мора да именува 2 нови потпретседатели од 10 директори. На колку начини може да се направи ова?

44. Една од завојуваните страни заробила 12, а другата 15 затвореници. На колку начини може да се разменат 7 воени заробеници?

45. Петја и Маша собираат видео дискови. Петја има 30 комедии, 80 акциони филмови и 7 мелодрами, Маша има 20 комедии, 5 акциони филмови и 90 мелодрами. На колку начини Петја и Маша можат да разменат 3 комедии, 2 акциони филмови и 1 мелодрама?

46. ​​Под условите на проблемот 45, на колку начини Петја и Маша можат да разменат 3 мелодрами и 5 комедии?

47. Под условите на проблемот 45, на колку начини Петја и Маша можат да разменат 2 акциони филма и 7 комедии?

48. Една од завојуваните страни заробила 15, а другата 16 затвореници. На колку начини може да се разменат 5 воени заробеници?

49. Колку автомобили може да се регистрираат во 1 град ако бројот има 3 бројки и 3 букви (само оние чиј правопис се совпаѓа со латинските - A, B, E, K, M, N, O, R, S, T, U, X)?

50. Едната од завојуваните страни заробила 14, а другата - 17 затвореници. На колку начини може да се разменат 6 воени заробеници?

51. Колку различни зборови можете да формирате со преуредување на буквите во зборот „мајка“?

52. Во една корпа има 3 црвени и 7 зелени јаболка. Од него се вади едно јаболко. Најдете ја веројатноста дека ќе биде црвено.

53. Во корпа има 3 црвени и 7 зелени јаболка. Се извади едно зелено јаболко и се стави на страна. Потоа од корпата се вади уште 1 јаболко. Која е веројатноста ова јаболко да биде зелено?

54. Во серија од 1000 производи, 4 се неисправни. За контрола, се избира серија од 100 производи. Која е веројатноста за LLP контролниот дел да не содржи неисправни?

56. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 5 од 36“ беше популарна во СССР. Играчот означувал 5 броеви на картичка од 1 до 36 и добивал награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот не погодил ниту еден број.

57. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 5 од 36“ беше популарна во СССР. Играчот означувал 5 броеви на картичка од 1 до 36 и добивал награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот погодил еден број.

58. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 5 од 36“ беше популарна во СССР. Играчот означувал 5 броеви на картичка од 1 до 36 и добивал награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот погодил 3 броја.

59. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 5 од 36“ беше популарна во СССР. Играчот означувал 5 броеви на картичка од 1 до 36 и добивал награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот не ги поклопил правилно сите 5 броеви.

60. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 6 од 49“ беше популарна во СССР. Играчот означуваше 6 броеви од 1 до 49 на картичка и добиваше награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот погодил 2 броја.

61. Во 80-тите, играта „Спортско Лото 6 од 49“ беше популарна во СССР. Играчот означуваше 6 броеви од 1 до 49 на картичка и добиваше награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот не погодил ниту еден број.

62.Во 80-тите, играта „Спортско Лото 6 од 49“ беше популарна во СССР. Играчот означуваше 6 броеви од 1 до 49 на картичка и добиваше награди од различни апоени доколку погоди различен број на броеви објавени од комисијата за извлекување. Најдете ја веројатноста дека играчот ги погодил сите 6 броеви.

63. Во серија од 1000 производи, 4 се неисправни. За контрола, се избира серија од 100 производи. Која е веројатноста за LLP контролниот дел да содржи само 1 неисправен?

64. Колку различни зборови можете да формирате со преуредување на буквите во зборот „книга“?

65. Колку различни зборови можете да формирате со преуредување на буквите во зборот „ананас“?

66. Во лифтот влегле 6 лица, а хостелот има 7 ката. Која е веројатноста сите 6 лица да излезат на ист кат?

67. Во лифтот влегле 6 лица, зградата има 7 ката. Која е веројатноста сите 6 луѓе да излезат на различни катови?

68. При невреме со грмотевици пукна жица на делот помеѓу 40 и 79 km од далноводот. Претпоставувајќи дека прекинот е подеднакво можен во кој било момент, пронајдете ја веројатноста дека прекинот се случил помеѓу 40-от и 45-от километар.

69. На дел од гасоводот од 200 километри, се јавува истекување на гас помеѓу компресорските станици А и Б, што е подеднакво можно во која било точка од гасоводот. колкава е веројатноста истекувањето да се случи не подалеку од 20 km од А

70. На дел од гасоводот од 200 километри, се јавува истекување на гас помеѓу компресорските станици А и Б, што е подеднакво можно во која било точка од гасоводот. Која е веројатноста истекувањето да се случи поблиску до А отколку до Б?

71. Радарот на инспекторот на сообраќајната полиција има точност од 10 км/час и кружи во најблиската насока. Што се случува почесто - заокружување во корист на возачот или инспекторот?

72. Маша поминува од 40 до 50 минути на пат до институтот, а секое време во овој интервал е подеднакво веројатно. Која е веројатноста таа да помине 45 до 50 минути на пат?

73. Петја и Маша се согласија да се сретнат на споменикот на Пушкин од 12 до 13 часот, но никој не можеше да го посочи точното време на пристигнување. Тие се договорија да се чекаат 15 минути. Која е веројатноста за нивна средба?

74. Рибарите уловиле 120 риби во езерцето, од кои 10 биле обрачени. Која е веројатноста да се фати риба со прстени?

75. Од корпа во која има 3 црвени и 7 зелени јаболка, се вадат сите јаболка едно по едно. Која е веројатноста второто јаболко да биде црвено?

76. Од корпа во која има 3 црвени и 7 зелени јаболка, се вадат сите јаболка едно по едно. Која е веројатноста последното јаболко да биде зелено?

77. Студентите веруваат дека од 50 билети, 10 се „добри“. Петја и Маша наизменично цртаат по еден билет. Која е веројатноста дека Маша добила „добар“ билет?

78. Студентите веруваат дека од 50 билети, 10 се „добри“. Петја и Маша наизменично цртаат по еден билет. Која е веројатноста дека и двајцата добиле „добар“ билет?

79. Маша дојде на испит знаејќи ги одговорите на 20 прашања од 25 во програмата.Професорот поставува 3 прашања. Која е веројатноста Маша да одговори на 3 прашања?

80. Маша дојде на испит знаејќи ги одговорите на 20 прашања од 25 во програмата.Професорот поставува 3 прашања. Која е веројатноста Маша да не одговори на ниту едно прашање?

81. Маша дојде на испит знаејќи ги одговорите на 20 прашања од 25 во програмата.Професорот поставува 3 прашања. Која е веројатноста Маша да одговори на 1 прашање?

82. Статистиката на барањата за кредити од банката е следна: 10% - државно. власти, 20% - други банки, останатите - физички лица. Веројатноста за неотплата на кредитите е 0,01, 0,05 и 0,2, соодветно. Колкав процент од кредитите не се враќаат?

83. веројатноста дека неделниот промет на трговец со сладолед ќе надмине 2000 рубли. е 80% при ведро време, 50% при променливо облачно време и 10% при дождливо време. Која е веројатноста дека прометот ќе надмине 2000 рубли. ако веројатноста за ведро време е 20%, а променливо облачно и врнежливо - по 40%.

84. Во урната А има бели (б) и Б црни (ж) топчиња. Две топки се извлекуваат (истовремено или последователно) од урната. Најдете ја веројатноста двете топчиња да се бели.

85. Во урната А бела и Б

86. Во гласачката кутија А бела и Б

87. Во гласачката кутија А бела и Б црни топки. Се зема едно топче од урната, се забележува нејзината боја и топката се враќа во урната. По ова се вади уште една топка од урната. Најдете ја веројатноста дека овие топчиња ќе бидат со различни бои.

88. Има кутија со девет нови тениски топчиња. За да играте, земете три топки; По натпреварот тие се враќаат назад. При изборот на топки, играните топки не се разликуваат од неиграните. Која е веројатноста по три натпревари да нема неиграни топки во ложата?

89. Напуштање на станот, Н секој гостин ќе носи свои галоши;

90. Напуштање на станот, Нгостите кои имаат исти големини на чевли носат галоши во темница. Секој од нив може да го разликува десниот галош од левиот, но не може да го разликува својот од туѓиот. Најдете ја веројатноста за тоа Секој гостин ќе носи галоши кои припаѓаат на истиот пар (можеби не нивни).

91. Во услови на проблем 90, најди ја веројатноста дека секој ќе си замине во галошите ако гостите не можат да ги разликуваат десните галоши од левите и едноставно да ги земат првите два галоши на кои ќе наидат.

92. Во тек е пукање во авион, чиишто ранливи делови се два мотори и пилотската кабина. За да се удри (оневозможи) авион, доволно е да се удрат двата мотори заедно или кокпитот. Во овие услови на отпуштање, веројатноста да се удри во првиот мотор е еднаква на стр1вториот мотор p2,пилотската кабина стр3.Деловите на авионите се засегнати независно еден од друг. Најдете ја веројатноста дека авионот ќе биде погоден.

93. Двајца стрелци, независно еден од друг, испукаат два истрели (секој кон својата цел). Веројатност за погодување на целта со еден истрел за првиот стрелец стр1за вториот стр2.Победник на натпреварот е стрелецот чија цел има најмногу дупки. Најдете веројатност Rxдека првиот стрелец победи.

94. зад вселенски објект објектот се открива со веројатност Р.Откривањето на објекти во секој циклус се случува независно од другите. Најдете ја веројатноста дека кога Пциклуси објектот ќе биде откриен.

95. На исечените азбучни картички се напишани 32 букви од руската азбука. Пет карти се извлекуваат по случаен избор една по друга и се ставаат на масата по редослед на изгледот. Најдете ја веројатноста дека ќе се појави зборот „крај“.

96. Две топчиња се расфрлаат случајно и независно една од друга во четири ќелии лоцирани една по друга во права линија. Секоја топка има еднаква веројатност за 1/4 слетување во секоја ќелија. Најдете ја веројатноста дека топчињата ќе паднат во соседните ќелии.

97. Во воздухопловот се пука со запаливи гранати. Горивото на авионот е концентрирано во четири резервоари сместени во трупот, еден по друг. Областите на тенковите се исти. За да се запали авионот, доволно е да се погодат две гранати или во истиот резервоар или во соседните тенкови. Познато е дека две гранати го погодиле подрачјето на резервоарот. Најдете ја веројатноста дека авионот ќе се запали.

98. Од полн шпил карти (52 листови), се вадат четири карти одеднаш. Најдете ја веројатноста дека сите четири од овие карти ќе бидат со различни одела.

99. Од полн шпил карти (52 листови), четири карти се вадат одеднаш, но секоја картичка се враќа на шпилот по отстранувањето. Најдете ја веројатноста дека сите четири од овие карти ќе бидат со различни одела.

100. Кога палењето е вклучено, моторот почнува да работи со веројатност Р.

101. Уредот може да работи во два режима: 1) нормален и 2) ненормален. Нормален режим е забележан во 80% од сите случаи на работа на уредот; абнормални - во 20%. Веројатност за дефект на уредот со текот на времето тво нормален режим е 0,1; во абнормални - 0,7. Најдете ја вкупната веројатност Рдефект на уредот.

102. Продавница добива стока од 3 добавувачи: 55% од 1-ви, 20 од 2-ри и 25% од 3-ти. Процентот на дефекти е 5, 6 и 8 проценти, соодветно. Која е веројатноста купениот неисправен производ да е од втор добавувач.

103. Протокот на автомобили покрај бензинските пумпи се состои од 60% камиони и 40% автомобили. Која е веројатноста камионот да биде на бензинска пумпа ако веројатноста за полнење гориво е 0,1, а веројатноста за патничко возило е 0,3

104. Протокот на автомобили покрај бензинските пумпи се состои од 60% камиони и 40% автомобили. Која е веројатноста камионот да биде на бензинска пумпа ако веројатноста за полнење гориво е 0,1, а веројатноста за патничко возило е 0,3

105. Продавница добива стока од 3 добавувачи: 55% од 1-ви, 20 од 2-ри и 25% од 3-ти. Процентот на дефекти е 5, 6 и 8 проценти, соодветно. Која е веројатноста купениот неисправен производ да е од првиот добавувач.

106. На исечените азбучни картички се напишани 32 букви од руската азбука. Пет карти се извлекуваат по случаен избор една по друга и се ставаат на масата по редослед на изгледот. Најдете ја веројатноста дека ќе се појави зборот „книга“.

107. Продавница добива стоки од 3 добавувачи: 55% од 1-ви, 20 од 2-ри и 25% од 3-ти. Процентот на дефекти е 5, 6 и 8 проценти, соодветно. Која е веројатноста купениот неисправен производ да е од првиот добавувач.

108. Две топчиња се расфрлаат случајно и независно една од друга во четири ќелии лоцирани една по друга во права линија. Секоја топка има еднаква веројатност за 1/4 слетување во секоја ќелија. Најдете ја веројатноста дека 2 топки ќе паднат во една ќелија

109. Кога палењето е вклучено, моторот почнува да работи со веројатност Р.Најдете ја веројатноста дека моторот ќе почне да работи по втор пат кога ќе се вклучи палењето;

110. Се пука во воздухопловот со запаливи гранати. Горивото на авионот е концентрирано во четири резервоари сместени во трупот, еден по друг. Областите на тенковите се исти. За да се запали авионот, доволно е да се погодат две гранати во ист резервоар. Познато е дека две гранати го погодиле подрачјето на резервоарот. Најдете ја веројатноста дека авионот ќе се запали

111. Во воздухопловот се пука со запаливи гранати. Горивото на авионот е концентрирано во четири резервоари сместени во трупот, еден по друг. Областите на тенковите се исти. За да се запали авионот, доволно е да се погодат соседните тенкови со две гранати. Познато е дека две гранати го погодиле подрачјето на резервоарот. Најдете ја веројатноста дека авионот ќе се запали

112.Во урната А бела и Б црни топки. Се зема едно топче од урната, се забележува нејзината боја и топката се враќа во урната. По ова се вади уште една топка од урната. Најдете ја веројатноста двете извлечени топчиња да бидат бели.

113. Во гласачката кутија А бела и Б црни топки. Од урната одеднаш се извлекуваат две топки. Најдете ја веројатноста дека овие топчиња ќе бидат со различни бои.

114. Две топчиња се расфрлаат случајно и независно една од друга во четири ќелии лоцирани една по друга во права линија. Секоја топка има еднаква веројатност за 1/4 слетување во секоја ќелија. Најдете ја веројатноста дека топчињата ќе паднат во соседните ќелии.

115. Маша дојде на испит знаејќи ги одговорите на 20 прашања од 25 во програмата.Професорот поставува 3 прашања. Која е веројатноста Маша да одговори на 2 прашања?

116. Студентите веруваат дека од 50 билети, 10 се „добри“. Петја и Маша наизменично цртаат по еден билет. Која е веројатноста дека и двајцата добиле „добар“ билет?

117. Статистиката на барањата за кредити од банката е следна: 10% - државно. власти, 20% - други банки, останатите - физички лица. Веројатноста за неотплата на кредитите е 0,01, 0,05 и 0,2, соодветно. Колкав процент од кредитите не се враќаат?

118. На исечените азбучни картички се напишани 32 букви од руската азбука. Пет карти се извлекуваат по случаен избор една по друга и се ставаат на масата по редослед на изгледот. Најдете ја веројатноста дека ќе се појави зборот „крај“.

119 Статистиката за барањата за заеми од банката е следна: 10% - државно. власти, 20% - други банки, останатите - физички лица. Веројатноста за неотплата на кредитите е 0,01, 0,05 и 0,2, соодветно. Колкав процент од кредитите не се враќаат?

120. веројатноста дека неделниот промет на трговец со сладолед ќе надмине 2000 рубли. е 80% при ведро време, 50% при променливо облачно време и 10% при дождливо време. Која е веројатноста дека прометот ќе надмине 2000 рубли. ако веројатноста за ведро време е 20%, а променливо облачно и врнежливо - по 40%.

Цел на работата:развиваат вештини за решавање проблеми во теоријата на веројатност користејќи ја формулата за вкупна веројатност и формулата на Бејс.

Формула за вкупна веројатност

Веројатност за настан А, што може да се случи само ако се случи еден од некомпатибилните настани B x, B 2,..., B p,формирањето на целосна група е еднакво на збирот на производите на веројатностите на секој од овие настани со соодветната условна веројатност на настанот А:

Оваа формула се нарекува формулата за вкупна веројатност.

Веројатност за хипотези. Формула на Бејс

Нека настанот Аможе да се случи под услов да се појави еден од некомпатибилните настани V b 2,..., V n,формирање на комплетна група. Бидејќи однапред не се знае кој од овие настани ќе се случи, тие се нарекуваат хипотези. Веројатност за појава на настан Аопределено со формулата за вкупна веројатност:

Да претпоставиме дека е извршен тест, како резултат на кој се случил настан А. Неопходно е да се утврди како се менуваат (поради фактот што настанот Авеќе пристигнала) веројатноста на хипотезите. Условните веројатности за хипотези се наоѓаат со помош на формулата

Во оваа формула, индекс / = 1,2

Оваа формула се нарекува Бајсова формула (именувана по англискиот математичар кој ја извел; објавена во 1764 година). Формулата на Бејс ни овозможува повторно да ги процениме веројатностите на хипотезите откако ќе стане познат резултатот од тестот што резултираше со настанот. А.

Задача 1.Фабриката произведува одреден тип на дел, секој дел има дефект со веројатност од 0,05. Делот го проверува еден инспектор; детектира дефект со веројатност од 0,97, а доколку не се открие дефект, делот го пренесува во готовиот производ. Покрај тоа, инспекторот може по грешка да одбие дел што нема дефект; веројатноста за ова е 0,01. Најдете ги веројатностите на следните настани: А - делот ќе биде отфрлен; Б - делот ќе биде отфрлен, но погрешно; В - делот ќе се пренесе во готовиот производ со дефект.

Решение

Да ги означиме хипотезите:

Н= (стандарден дел ќе биде испратен на проверка);

Н=(нестандарден дел ќе биде испратен на проверка).

Настан A =(делот ќе биде одбиен).

Од проблемските услови ги наоѓаме веројатностите

R N (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Користејќи ја формулата за вкупна веројатност ја добиваме

Веројатноста дека некој дел ќе биде отфрлен погрешно е

Да ја најдеме веројатноста дека дел ќе биде вклучен во готовиот производ со дефект:

Одговор:

Задача 2.Производот е проверен за стандардност од еден од тројцата експерти за стоки. Веројатноста дека производот ќе стигне до првиот трговец е 0,25, вториот - 0,26 и третиот - 0,49. Веројатноста дека производот ќе биде препознаен како стандард од првиот трговец е 0,95, од вториот - 0,98 и од третиот - 0,97. Најдете ја веројатноста дека стандардниот производ е проверен од втор инспектор.

Решение

Да ги означиме настаните:

L. =(производот ќе оди кај/ти продавач на преглед); / = 1, 2, 3;

Б =(производот ќе се смета за стандарден).

Според условите на проблемот, познати се веројатностите:

Познати се и условните веројатности

Користејќи ја формулата на Bayes, ја наоѓаме веројатноста дека стандардниот производ е проверен од втор инспектор:

Одговор:„0,263.

Задача 3. Две машини произведуваат делови кои одат на заеднички транспортер. Веројатноста да се добие нестандарден дел на првата машина е 0,06, а на втората - 0,09. Продуктивноста на втората машина е двојно поголема од првата. Од монтажната лента е земен нестандарден дел. Најдете ја веројатноста дека овој дел е произведен од втората машина.

Решение

Да ги означиме настаните:

A. =(дел земен од транспортерот е произведен од /та машина); / = 1,2;

ВО= (одземениот дел ќе биде нестандарден).

Познати се и условните веројатности

Користејќи ја формулата за вкупна веројатност ја наоѓаме

Користејќи ја формулата Bayes, ја наоѓаме веројатноста дека избраниот нестандарден дел е произведен од втората машина:

Одговор: 0,75.

Задача 4.Се тестира уред кој се состои од две единици, чија сигурност е 0,8 и 0,9, соодветно. Јазлите не успеваат независно еден од друг. Уредот не успеа. Земајќи го ова предвид, пронајдете ја веројатноста за хипотезите:

• а) само првиот јазол е погрешен;
• б) само вториот јазол е неисправен;
• в) двата јазли се неисправни.

Решение

Да ги означиме настаните:

D = (7-ми јазол нема да пропадне); јас = 1,2;

Г - соодветни спротивни настани;

А= (за време на тестирањето ќе има дефект на уредот).

Од условите на задачата добиваме: P(D) = 0,8; Р(Л 2) = 0,9.

По својството на веројатностите на спротивни настани

Настан Аеднаков на збирот на производите на независните настани

Користејќи ја теоремата за собирање на веројатности на некомпатибилни настани и теоремата за множење на веројатностите на независни настани, добиваме

Сега ги наоѓаме веројатностите на хипотезите:

Одговор:

Задача 5.Во фабриката, завртките се произведуваат на три машини, кои произведуваат 25%, 30% и 45% од вкупниот број на завртки, соодветно. Во производите за машински алати, дефектите се 4%, 3% и 2%, соодветно. Која е веројатноста дека завртката случајно земена од дојдовниот производ да биде неисправна?

Решение

Да ги означиме настаните:

4 = (завртка земена по случаен избор е направена на i-тата машина); јас = 1, 2, 3;

ВО= (завртка земена по случаен избор ќе биде неисправна).

Од условите на проблемот, користејќи ја класичната формула за веројатност, ги наоѓаме веројатностите на хипотезите:

Исто така, користејќи ја класичната формула за веројатност, наоѓаме условни веројатности:

Користејќи ја формулата за вкупна веројатност ја наоѓаме

Одговор: 0,028.

Задача 6.Електронското коло припаѓа на една од трите страни со веројатност од 0,25; 0,5 и 0,25. Веројатноста дека колото ќе работи надвор од гарантниот работен век за секоја серија е 0,1; 0,2 и 0,4. Најдете ја веројатноста случајно избраното коло да работи надвор од гарантен рок.

Решение

Да ги означиме настаните:

4 = (случајно земено коло од i-тата серија); јас = 1, 2, 3;

ВО= (случајно избраното коло ќе работи надвор од гарантниот период).

Според условите на проблемот, познати се веројатностите на хипотезите:

Познати се и условните веројатности:

Користејќи ја формулата за вкупна веројатност ја наоѓаме

Одговор: 0,225.

Задача 7.Уредот содржи два блока, од кои секоја услужливост е неопходна за работата на уредот. Веројатноста за работа без дефекти за овие блокови се 0,99 и 0,97, соодветно. Уредот не успеа. Определете ја веројатноста дека двете единици не успеале.

Решение

Да ги означиме настаните:

D = (z-ти блок ќе пропадне); јас = 1,2;

А= (уредот ќе пропадне).

Од условите на задачата, според својството на веројатностите на спротивни настани, добиваме: ДД) = 1-0,99 = 0,01; ДД) = 1-0,97 = 0,03.

Настан Асе јавува само кога барем еден од настаните D или А 2.Затоа овој настан е еднаков на збирот на настаните А= D + А 2 .

Со теоремата за собирање на веројатности на заеднички настани добиваме

Користејќи ја формулата Bayes, ја наоѓаме веројатноста дека уредот не успеал поради дефект на двете единици.

Одговор:

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно Задача 1.Во магацинот на телевизиското студио има 70% од цевките за слика произведени од фабриката бр. 1; остатокот од цевките за слика се произведени во фабрика бр. цевката за слика го преживеала гарантниот век на траење. Најдете ја веројатноста дека е произведен од фабриката бр. 2.

Задача 2.Делови се добиваат за склопување од три машини. Познато е дека првата машина дава 0,3% од дефектите, втората - 0,2%, третата - 0,4%. Најдете ја веројатноста да добиете неисправен дел за склопување ако од првата машина се примени 1000 делови, од 2-та 2000, од ​​3-та 2500.

Задача 3.Две машини произведуваат идентични делови. Веројатноста дека дел произведен на првата машина ќе биде стандарден е 0,8, а на втората - 0,9. Продуктивноста на втората машина е три пати поголема од продуктивноста на првата. Најдете ја веројатноста дека дел земен по случаен избор од транспортер што прима делови од двете машини ќе биде стандарден.

Задача 4.Првиот човек на компанијата одлучил да ги користи услугите на две од трите транспортни компании. Веројатноста за ненавремена испорака на товар за првата, втората и третата фирма се еднакви на 0,05, соодветно; 0,1 и 0,07. Откако ги спореди овие податоци со податоците за безбедноста на транспортот на карго, менаџерот дошол до заклучок дека изборот е еквивалентен и одлучил да го направи со ждрепка. Најдете ја веројатноста дека испратениот товар ќе биде испорачан на време.

Задача 5.Уредот содржи два блока, од кои секоја услужливост е неопходна за работата на уредот. Веројатноста за работа без дефекти за овие блокови се 0,99 и 0,97, соодветно. Уредот не успеа. Определете ја веројатноста дека втората единица не успеала.

Задача 6. Монтажата добива делови од три машини. Првата машина дава 3% од дефектите, втората - 1% и третата - 2%. Определете ја веројатноста да влезе во склопот неисправен дел ако од секоја машина се примени соодветно 500, 200, 300 делови.

Задача 7.Магацинот прима производи од три фирми. Притоа, производството на првата компанија е 20%, втората - 46% и третата - 34%. Познато е и дека просечниот процент на нестандардни производи за првата компанија е 5%, за втората - 2% и за третата - 1%. Најдете ја веројатноста дека производот избран по случаен избор е произведен од втора компанија ако се покаже дека е стандарден.

Задача 8.Дефекти на фабрички производи поради дефект Аизнесува 5%, а меѓу одбиените врз основа на Апроизводите се неисправни во 10% од случаите Р.И во производи без дефекти А, дефект Рсе јавува во 1% од случаите. Најдете ја веројатноста да наидете на дефект Рво сите производи.

Задача 9.Компанијата има 10 нови автомобили и 5 стари кои претходно беа во поправка. Веројатноста за правилно функционирање за нов автомобил е 0,94, за стар - 0,91. Најдете ја веројатноста дека случајно избраниот автомобил ќе работи правилно.

Проблем 10.Два сензори испраќаат сигнали во заеднички канал за комуникација, при што првиот испраќа двојно повеќе сигнали од вториот. Веројатноста за примање на искривен сигнал од првиот сензор е 0,01, од вториот - 0,03. Која е веројатноста да се прими искривен сигнал во заеднички канал за комуникација?

Задача 11.Има пет серии производи: три серии од по 8 парчиња, од кои 6 се стандардни и 2 нестандардни, и две серии од по 10 парчиња, од кои 7 се стандардни и 3 се нестандардни. Една од сериите се избира по случаен избор, а дел се зема од оваа серија. Определете ја веројатноста преземениот дел да биде стандарден.

Задача 12.Монтажата добива во просек 50% од деловите од првата фабрика, 30% од втората фабрика и 20% од третата фабрика. Веројатноста дека дел од првата постројка е со одличен квалитет е 0,7; за делови од втората и третата фабрика, 0,8 и 0,9, соодветно. Делот земен по случаен избор се покажа дека е со одличен квалитет. Најдете ја веројатноста дека делот е произведен од првата фабрика.

Задача 13.Царински преглед на возилата вршат двајца инспектори. Во просек, од 100 автомобили, 45 минуваат низ првиот инспектор. Веројатноста дека автомобилот што ги почитува царинските правила нема да биде задржан при контрола е 0,95 за првиот инспектор и 0,85 за вториот. Најдете ја веројатноста дека автомобилот што ги почитува царинските правила нема да биде задржан.

Задача 14.Деловите потребни за склопување на уредот доаѓаат од две машини чии перформанси се исти. Пресметајте ја веројатноста за добивање стандарден дел за склопување ако една од машините дава просечно 3% прекршување на стандардот, а втората - 2%.

Задача 15.Тренерот за кревање тегови пресметал дека за да добие тимски поени во одредена тежинска категорија, спортистот мора да турка мрена од 200 килограми. За место во тимот се борат Иванов, Петров и Сидоров. Ваква тежина Иванов на тренинг се обидел да крене во 7 случаи, а во 3 ја подигнал. Петров кренал во 6 од 13 случаи, а Сидоров има 35% шанси успешно да се справи со мрената. Тренерот по случаен избор избира еден спортист за тимот.

• а) Најдете ја веројатноста дека избраниот спортист ќе му донесе бодови на тимот.
• б) Тимот не доби бодови. Најдете ја веројатноста што ја извршил Сидоров.

Задача 16.Во бела кутија има 12 црвени и 6 сини топки. Во црно има 15 црвени и 10 сини топчиња. Фрлање коцка. Ако бројот на поени е повеќекратен од 3, тогаш по случаен избор се зема топка од белата кутија. Ако се тркала некој друг број на поени, се зема топка по случаен избор од црната кутија. Која е веројатноста да се појави црвена топка?

Задача 17.Две кутии содржат радио цевки. Првата кутија содржи 12 светилки, од кои 1 е нестандардна; во втората има 10 светилки, од кои 1 е нестандардна. Од првата кутија по случаен избор се зема светилка и се става во втората. Најдете ја веројатноста дека светилката земена по случаен избор од втората кутија ќе биде нестандардна.

Задача 18.Бела топка се пушта во урна која содржи две топки, по што по случаен избор се влече едно топче. Најдете ја веројатноста дека извлечената топка ќе биде бела ако сите можни претпоставки за почетниот состав на топчињата (врз основа на боја) се подеднакво можни.

Задача 19.Стандарден дел се фрла во кутија која содржи 3 идентични делови, а потоа еден дел се отстранува по случаен избор. Најдете ја веројатноста дека стандардниот дел е отстранет ако сите можни претпоставки за бројот на стандардните делови првично во кутијата се подеднакво веројатни.

Задача 20.За да се подобри квалитетот на радио комуникациите, се користат два радио приемници. Веројатноста секој приемник да добие сигнал е 0,8, а овие настани (прием на сигнал од ресиверот) се независни. Определете ја веројатноста за прием на сигналот ако веројатноста за работа без дефект за време на сесија за радио комуникација за секој приемник е 0,9.

1. Формула за вкупна веројатност.

Нека настанот А се случи под услов да се појави еден од некомпатибилните настани B 1, B 2, B 3, ..., B n, кои формираат целосна група. Нека се знаат веројатностите на овие настани и условните веројатностиP(A/B 1), P(A/B 2), ..., P(A/B n)настан А. Треба да ја пронајдете веројатноста за настанот А.

Теорема:Веројатноста за настанот А, кој може да се случи само ако се случи еден од некомпатибилните настани B 1, B 2, B 3, ..., B n , формирајќи целосна група, е еднаква на збирот на производите на веројатностите на секој од овие настани со соодветната условна веројатност на настанот А:

– Формула за вкупна веројатност.

Доказ:

Според условот, настанот А може да се случи ако се случи еден од некомпатибилните настаниB 1, B 2, B 3, ..., B n. Со други зборови, појавата на настанот А значи појава на еден (без разлика кој) од некомпатибилните настани:B 1 *A, B 2*А, Б 3*А, ..., Б н*А. Користејќи ја теоремата за собирање, добиваме:

Според теоремата за множење на веројатности на зависни настани, имаме:

итн.

Пример:Има 2 комплети делови. Веројатноста дека дел од првиот сет е стандарден е 0,8, а за вториот сет е 0,9. Најдете ја веројатноста дека дел земен по случаен избор (од множество земено по случаен избор) е стандарден.

Решение:Настан А - „Извлечениот дел е стандарден“. Настан - „Отстранија дел од 1 фабрика. Настан - „Отстранет е дел произведен од втората фабрика“. R( B 1 )=P(B 2)= 1/2.P(A / B 1 ) = 0,8 - веројатност дека делот произведен во првата фабрика е стандарден. P(A /Б 2 )=0,9 - веројатност дека делот произведен во втората фабрика е стандарден.

Потоа, според формулата за вкупна веројатност, имаме:

Пример:Монтажарот доби 3 кутии со делови произведени од погон бр. 1 и 2 кутии со делови произведени од погон бр. 2. Веројатноста дека делот произведен од фабриката бр. 1 е стандарден е 0,8. За постројката бр. 2 оваа веројатност е 0,9. Монтажата по случаен избор отстрани дел од случајно избраната кутија. Најдете ја веројатноста дека стандардниот дел е отстранет.

Решение:Настан А - „Отстранет стандардниот дел“. Настан Б 1 - „Делот е отстранет од кутијата на фабриката бр. 1“. НастанБ 2 - „Делот е отстранет од кутијата на фабриката бр. 2“. R(Б 1)= 3/5. P(B 2)= 2/5.

P(A / Б 1) = 0,8 - веројатност дека делот произведен во првата фабрика е стандарден. P(A /Б 2) = 0,9 - веројатност дека делот произведен во втората фабрика е стандарден.

Пример:Првата кутија содржи 20 радио цевки, од кои 18 се стандардни. Втората кутија содржи 10 радио цевки, од кои 9 се стандардни. Една радио цевка беше случајно префрлена од втората кутија во првата. Најдете ја веројатноста дека светилката извлечена по случаен избор од првата кутија ќе биде стандардна.

Решение:Настан А - „Стандардна светилка е отстранета од 1 кутија“. НастанБ 1 - „Стандардна светилка беше префрлена од втората во првата кутија“. НастанБ 2 - „Нестандардна светилка беше префрлена од втората во првата кутија“. R( B 1 ) = 9/10. P(B 2)= 1/10.P(A / B 1)= 19/21 - веројатност да се извади стандарден дел од првата кутија, под услов истиот стандарден дел да биде ставен во неа.

P(A / B 2)= 18/21 - веројатност да се извади стандарден дел од првата кутија, под услов во неа да се стави нестандарден дел.

2. Формули на хипотези на Томас Бејс.

Нека настанот А се случи под услов да се појави еден од некомпатибилните настани B 1, B 2, B 3, ..., B n, формирајќи целосна група. Бидејќи однапред не се знае кој од овие настани ќе се случи, тие се нарекуваат хипотези. Веројатноста за појава на настанот А се определува со формулата за вкупна веројатност која беше дискутирана претходно.

Да претпоставиме дека е извршен тест, како резултат на кој настанал настан А. Да ја поставиме нашата задача да утврдиме како се промениле веројатностите на хипотезите (поради фактот што настанот А веќе се случил). Со други зборови, ќе бараме условни веројатностиP(B 1 /A), P(B 2 /A), ..., P(B n /A)

Ајде да ја најдеме условната веројатност P(B 1/A) . Со теоремата за множење имаме:

Ова имплицира:

Слично, се изведуваат формули кои ги одредуваат условните веројатности на преостанатите хипотези, т.е. условна веројатност која било хипотеза B k (i =1, 2, ..., n ) може да се пресмета со формулата:

Формули на хипотезата на Томас Бејс.

Томас Бејс (англиски математичар) ја објави формулата во 1764 година.

Овие формули овозможуваат повторно да се проценат веројатностите на хипотезите откако ќе стане познат резултатот од тестот што резултираше со настанот А.

Пример:Деловите произведени од фабричката работилница се испраќаат до еден од двајцата инспектори за да се провери нивната стандардност. Веројатноста дека делот ќе стигне до првиот инспектор е 0,6, а вториот е 0,4. Веројатноста дека соодветниот дел ќе биде препознаен како стандард од првиот инспектор е 0,94, за вториот инспектор оваа веројатност е 0,98. При инспекцијата, прифатливиот дел беше препознаен како стандарден. Најдете ја веројатноста дека првиот инспектор го проверил овој дел.

Решение:Настан А - „Добриот дел е препознаен како стандарден“. Настан Б 1 - „Делот го провери првиот инспектор“. НастанБ 2 - „Делот го провери вториот инспектор“. R( B 1 )=0,6. P(B 2)=0,4.

P(A / Б 1) = 0,94 - веројатност дека делот што го проверил првиот инспектор е препознаен како стандарден.

P(A / Б 2) = 0,98 - веројатност дека делот што го проверува вториот инспектор е препознаен како стандарден.

Потоа:

Пример:За учество на студентски квалификациски спортски натпревари беа распределени 4 лица од првата група на курсот, 6 лица од втората група и 5 лица од третата група. Веројатноста дека ученик од првата група ќе биде вклучен во репрезентацијата е 0,9, за учениците од втората и третата група овие веројатности се 0,7 и 0,8, соодветно. Како резултат на натпреварот, ученик по случаен избор заврши во репрезентацијата Во која група најверојатно припаѓа?

Решение:Настан А - „Студент избран по случаен избор влезе во тимот на институтот“. Настан Б 1 - „Ученик од првата група беше избран по случаен избор“.Настан Б 2 - „Ученик од втората група беше избран по случаен избор“.Настан Б 3 - „Ученик од третата група е избран по случаен избор“. R(Б 1)= 4/15. P(B 2) = 6/15. P(B 3)= 5/15.

P(A / Б 1)=0,9 е веројатноста ученик од првата група да се пласира во репрезентацијата.

P(A / Б 2) = 0,7 е веројатноста ученик од втората група да се пласира во репрезентацијата.

P(A/B 3 )=0,8 е веројатноста ученик од третата група да се пласира во репрезентацијата.

Потоа:

Веројатноста дека ученик од првата група успеал да стигне во тимот.

Веројатноста дека ученик од втората група успеал да стигне во тимот.

Веројатноста дека ученик од третата група успеал да стигне во тимот.

Најверојатно, ученик од втората група ќе успее во тимот.

Пример:Ако машината отстапува од нормалниот режим на работа, алармот C 1 ќе се вклучи со веројатност од 0,8, а алармот C 2 ќе се вклучи со веројатност од 1. Веројатноста дека машината е опремена со C 1 или C 2 алармот е 0,6 и 0,4, соодветно. Примен е сигнал за сечење на митралезот. Што е поверојатно: машината е опремена со сигнален уред C 1 или C 2?

Решение:Настан А - „Примен е сигнал за пресекување на митралезот“. НастанБ 1 - „Машината е опремена со сигнален уред C1. НастанB 2 - „Машината е опремена со C2 сигнален уред. R( B 1 ) = 0,6. P(B 2) = 0,8.

P(A / B 1) = 0,8 е веројатноста дека ќе се прими сигнал, под услов машината да е опремена со сигнален уред C1.

P(A/B 2 )=1 - веројатност дека ќе се прими сигнал, под услов машината да е опремена со C2 сигнален уред.

Потоа:

Постои можност при прием на сигнал за пресекување на машината да се вклучи алармот C1.

Постои можност при прием на сигнал за пресекување на машината да се вклучи алармот C2.

Оние. Поверојатно е дека при сечењето на машината ќе се прими сигнал од сигналниот уред C1.

Последица на двете главни теореми на теоријата на веројатност - теоремите за собирање и множење - се формулите на вкупната веројатност и формулите на Бејс.

Во јазикот на алгебрата на настани, множеството , , ¼, се нарекува целосна група на настани, Ако:

1. Настаните се некомпатибилни по парови, т.е. , , ;.

2. Збирот го изнесува целиот простор на веројатност .

Теорема 5 (формула за вкупна веројатност).Доколку настанот Аможе да се случи само ако еден од настаните (хипотези) , ,¼, се појави, формирајќи целосна група, тогаш веројатноста за настанот Аеднаква на

Доказ.Бидејќи хипотезите , ¼, се единствените можни и настанот Аспоред условите на теоремата може да се случи само заедно со една од хипотезите, тогаш . Од некомпатибилноста на хипотезите следи некомпатибилност .

Ја применуваме теоремата за собирање на веројатност во форма (6):

Со теоремата за множење. Заменувајќи го овој приказ со формулата (13), конечно имаме: , што требаше да се докаже.

Пример 8.Компанија за извоз-увоз е на пат да склучи договор за набавка на земјоделска опрема на една од земјите во развој. Доколку главниот конкурент на компанијата не понуди истовремено за договор, тогаш веројатноста за добивање договор се проценува на 0,45; во спротивно – на 0,25. Според експертите на компанијата, веројатноста дека конкурентот ќе даде предлози за склучување договор е 0,40. Која е веројатноста за склучување договор?

Решение. А -„Компанијата ќе склучи договор“, - „конкурентот ќе ги даде своите предлози“, - „конкурентот нема да ги даде своите предлози“. Според условите на проблемот , . Условни веројатности за склучување договор за фирма , . Според формулата за вкупна веројатност

Последица на теоремата за множење и формулата за вкупна веројатност е Бејсовата формула.

Формула на Бејсви овозможува повторно да ја пресметате веројатноста за секоја од хипотезите, под услов настанот да се случил. (Тоа се применува кога настанот А, која може да се појави само со една од хипотезите што формира комплетна група на настани, се случи и потребно е квантитативно да се преиспитаат претходните веројатности на овие хипотези познати пред тестот, т.е. потребно е да се најдат задните (добиени по тестот) условни веројатности на хипотезите) , ,…, .

Теорема 6 (Бејс Формула).Доколку настанот Асе случи, потоа условните веројатности на хипотезите се пресметуваат со помош на формула наречена Бајсова формула:

Доказ.За да ја добиеме потребната формула, ја пишуваме теоремата за множење на веројатностите на настаните Аи тоа во две форми:

каде Q.E.D.

Значењето на формулата на Бејс е дека кога ќе се случи некој настан А,тие. Како што добиваме нови информации, можеме да ги тестираме и прилагодиме хипотезите пред тестирањето. Овој пристап, наречен Bayesian, овозможува да се коригираат менаџерските одлуки во економијата, проценките на непознатите параметри на распределбата на карактеристиките што се проучуваат во статистичката анализа итн.

Задача 9.Групата ја сочинуваат 6 одлични ученици, 12 студенти со добри перформанси и 22 ученици со просечни перформанси. Одличен ученик одговара на 5 и 4 со еднаква веројатност, одличен ученик одговара на 5, 4 и 3 со еднаква веројатност, а медиокритет одговара на 4, 3 и 2 со еднаква веројатност. Случајно избран ученик одговорил 4. Која е веројатноста да се нарече ученик со просечен успех?

Решение.Да разгледаме три хипотези:

Во прашање е настан. Од изјавата за проблемот се знае дека

, , .

Ајде да ги најдеме веројатностите на хипотезите. Бидејќи во групата има само 40 ученици и 6 одлични ученици, тогаш . Исто така, , . Применувајќи ја формулата за вкупна веројатност, наоѓаме

Сега ја применуваме Бајсовата формула на хипотезата:

Пример 10.Економист-аналитичар условно ја дели економската состојба во една земја на „добра“, „просечна“ и „лоша“ и ги проценува нивните веројатности за даден временски период на 0,15; 0,70 и 0,15 соодветно. Некој индекс на економската состојба се зголемува со веројатност 0,60 кога ситуацијата е „добра“; со веројатност од 0,30 кога ситуацијата е просечна и со веројатност од 0,10 кога ситуацијата е „лоша“. Нека се зголеми индексот на економската состојба во моментов. Која е веројатноста економијата на земјата да цвета?

Решение. А= „Индексот на економската состојба на земјата ќе се зголеми“, H 1= „економската состојба во државата е „добра““, H 2= „економската состојба во државата е „просечна““, N 3= „Економската состојба во државата е „лоша“. По услов: , , . Условни веројатности: ,, . Треба да ја пронајдете веројатноста. Го наоѓаме користејќи ја формулата на Бејс:

Пример 11.Трговската компанија добила телевизори од три добавувачи во сооднос 1:4:5. Практиката покажа дека телевизорите што доаѓаат од 1-ви, 2-ри и 3-ти добавувачи нема да бараат поправки за време на гарантниот период во 98%, 88% и 92% од случаите, соодветно.