Настанот е резултат на тест. Што е настан? Една топка се зема по случаен избор од урната. Вадењето топка од урна е тест. Појавата на топка со одредена боја е настан. Во теоријата на веројатност, настан се подразбира како нешто за кое, по одреден временски период, може да се каже една и само една од двете работи. Да, се случи. Не, тоа не се случи. Можниот исход од експериментот се нарекува елементарен настан, а збир од такви исходи едноставно се нарекува настан.
Непредвидливите настани се нарекуваат случајни. Настанот се нарекува случаен ако, под исти услови, може или не може да се случи. Кога се тркалаат коцките, резултатот ќе биде шестка. Имам лотарија. Откако ќе се објават резултатите од лотаријата, настанот што ме интересира - освојувањето илјада рубли - или се случува или не се случува. Пример.
Два настани кои, под дадени услови, можат да се случат истовремено се нарекуваат заеднички, а оние што не можат да се случат истовремено се нарекуваат некомпатибилни. Се фрла паричка. Изгледот на „грбот“ го исклучува изгледот на натписот. Настаните „се појави грб“ и „се појави натпис“ се некомпатибилни. Пример.
Настанот што секогаш се случува се нарекува сигурен. Настанот што не може да се случи се нарекува невозможен. На пример, да претпоставиме дека е извлечена топка од урна која содржи само црни топчиња. Тогаш појавата на црната топка е сигурен настан; појавата на бела топка е невозможен настан. Примери. Снег нема да има следната година. Кога се тркалаат коцките, резултатот ќе биде седумка. Ова се невозможни настани. Снег ќе има следната година. Кога ќе ги фрлите коцките, ќе добиете број помал од седум. Дневен изгрејсонце. Ова се сигурни настани.
Решавање проблеми За секој од опишаните настани, одреди што е тоа: невозможно, доверливо или случајно. 1. Од 25 ученици во одделението, двајца слават роденден на а) 30 јануари; б) 30 февруари. 2. Учебникот по литература по случаен избор се отвора и вториот збор се наоѓа на левата страна. Овој збор започнува: а) со буквата „К“; б) почнувајќи со буквата „Ъ“.
3. Денеска во Сочи барометарот покажува нормален атмосферски притисок. Во овој случај: а) водата во тавата зовриена на температура од 80º C; б) кога температурата падна на -5º C, водата во локва замрзна. 4. Се фрлаат две коцки: а) првата коцка покажува 3 поени, а втората - 5 поени; б) збирот на фрлените точки на двете коцки е 1; в) збирот на фрлените точки на двете коцки е 13; г) двете коцки добија 3 поени; д) збирот на поени на две коцки е помал од 15. Решавање проблеми
5. Ја отворивте книгата на која било страница и ја прочитавте првата именка на која наидовте. Се покажа дека: а) правописот на избраниот збор содржи самогласка; б) правописот на избраниот збор ја содржи буквата „О“; в) нема самогласки во правописот на избраниот збор; г) има мек знак во правописот на избраниот збор. Решавање на проблем
Настаните (појавите) што ги набљудуваме може да се поделат на следните три вида: сигурни, невозможни и случајни.
Сигурентие го нарекуваат настан што дефинитивно ќе се случи ако се исполни одреден сет на услови S. На пример, ако садот содржи вода при нормален атмосферски притисок и температура од 20 °, тогаш настанот „водата во садот е во течност држава“ е сигурен. Во овој пример, дадениот атмосферски притисок и температурата на водата го сочинуваат збирот на услови S.
Невозможнотие го нарекуваат настан кој сигурно нема да се случи ако се исполни множеството услови S. На пример, настанот „водата во садот е во цврста состојба“ сигурно нема да се случи ако се исполни множеството услови од претходниот пример.
Случајноповикајте настан кој, кога ќе се исполни множеството услови S, може или да се случи или да не се случи. На пример, ако се фрли паричка, таа може да падне така што одозгора има или грб или натпис. Затоа, настанот „при фрлање паричка испадна „грбот“ е случаен. Секој случаен настан, особено појавата на „грб“, е последица на дејството на многу случајни причини (во нашиот пример: силата со која е фрлена паричката, обликот на паричката и многу други) . Невозможно е да се земе предвид влијанието на сите овие причини врз резултатот, бидејќи нивниот број е многу голем, а законите на нивното дејствување се непознати. Затоа, теоријата на веројатност не си поставува задача да предвиди дали еден настан ќе се случи или не - таа едноставно не може да го стори тоа.
Ситуацијата е поинаква ако ги земеме предвид случајните настани кои можат постојано да се набљудуваат кога се исполнети истите услови S, т.е., ако зборуваме за масивни хомогени случајни настани. Излегува дека доволно голем број хомогени случајни настани, без оглед на нивната специфична природа, се предмет на одредени обрасци, имено веројатност. Теоријата на веројатност се занимава со утврдување на овие законитости.
Така, предмет на теоријата на веројатност е проучување на веројатни обрасци на масовни хомогени случајни настани.
Методите на теоријата на веројатност се широко користени во различни гранки на природните науки и технологијата. Теоријата на веројатност служи и за поткрепување на математичката и применетата статистика.
Видови случајни настани. Настаните се нарекуваат некомпатибилни, доколку настанувањето на еден од нив исклучува појава на други настани во истото судење.
Пример. Се фрла паричка. Изгледот на „грбот“ го исклучува изгледот на натписот. Настаните „се појави грб“ и „се појави натпис“ се некомпатибилни.
Се формираат неколку настани целосна група, доколку барем еден од нив се појави како резултат на тестот. Особено, ако настаните што формираат целосна група се неконзистентни во пар, тогаш еден и само еден од овие настани ќе се појави како резултат на судењето. Овој конкретен случај е од најголем интерес за нас, бидејќи ќе се користи понатаму.
Пример 2. Купени се два лотарија за готовина и облека. Еден и само еден од следните настани дефинитивно ќе се случи: „добивките паднаа на првиот тикет, а не паднаа на вториот“, „добивките не паднаа на првиот тикет и паднаа на вториот“, „добивките паднаа на двата тикети“, испадна „немаше добивка на двата тикети“. Овие настани формираат комплетна група некомпатибилни настани во пар.
Пример 3. Стрелецот пукал во целта. Дефинитивно ќе се случи еден од следните два настани: погоди, промаши. Овие два некомпатибилни настани формираат целосна група.
Настаните се нарекуваат подеднакво можно, ако постои причина да се верува дека ниту еден од нив не е поможен од другиот.
Пример 4. Појавата на „грб“ и појавата на натпис при фрлање паричка се подеднакво можни настани. Навистина, се претпоставува дека монетата е направена од хомоген материјал, има правилна цилиндрична форма и присуството на ковање не влијае на губењето на едната или другата страна на монетата.
Се означувам со големи букви од латиницата: A, B, C,.. A 1, A 2..
Спротивностите се два уникатно можни бунт-типови кои формираат целосна група. Ако еден од двајцата е спротивен пол. настаните се означени со А, потоа друга ознака е А`.
Пример 5. Погоди и промаши при гаѓање во цел - спротивно поле. лично
Теоријата на веројатност, како и секоја гранка на математиката, функционира со одреден опсег на концепти. На повеќето концепти на теоријата на веројатност им е дадена дефиниција, но некои се земаат како примарни, не дефинирани, како точка, права линија, рамнина во геометријата. Примарниот концепт на теоријата на веројатност е настан. Настанот се подразбира како нешто за кое, по одреден временски период, може да се каже една и само една од двете работи:
- · Да, се случи.
- · Не, тоа не се случи.
На пример, имам лотарија. Откако ќе се објават резултатите од лотаријата, настанот што ме интересира - освојувањето илјада рубли - или се случува или не се случува. Секој настан се јавува како резултат на тест (или искуство). Тест (или искуство) се однесува на оние услови како резултат на кои се случува некој настан. На пример, фрлањето паричка е тест, а појавата на „грб“ на неа е настан. Настанот обично се означува со големи латински букви: A,B,C,…. Настаните во материјалниот свет можат да се поделат во три категории - сигурни, невозможни и случајни.
Одреден настан е настан за кој однапред се знае дека ќе се случи. Се означува со буквата W. Така, сигурно е дека не се појавуваат повеќе од шест точки при фрлање обична коцка, појава на бело топче кога се вади од урна што содржи само бели топчиња итн.
Невозможен настан е настан кој однапред се знае дека нема да се случи. Се означува со буквата Е. Примери за невозможни настани се цртање повеќе од четири асови од обична палуба со карти, цртање црвена топка од урна која содржи само бели и црни топки итн.
Случаен настан е настан што може или не може да се случи како резултат на тест. Настаните А и Б се нарекуваат некомпатибилни ако појавата на еден од нив ја исклучува можноста за појава на другиот. Така, појавата на кој било можен број поени при фрлање матрица (настан А) е некомпатибилна со појавата на друг број (настан Б). Превртувањето парен број поени не е во согласност со тркалањето непарен број. Напротив, превртувањето парен број точки (настанот А) и бројот на точки кои се повеќекратни од три (настанот Б) нема да бидат некомпатибилни, бидејќи превртувањето шест точки значи појава и на настанот А и на настанот Б, така што појавата на едната од нив не ја исклучува појавата на другата. Можете да вршите операции на настани. Сојузот на два настани C=AUB е настан C кој се јавува ако и само ако се случи барем еден од овие настани A и B. Пресекот на два настани D=A?? Б е настан што се случува ако и само ако се случат настаните А и Б.
5-то одделение. Вовед во веројатност (4 часа)
(развој на 4 лекции на оваа тема)
Цели за учење : - воведе дефиниција за случаен, сигурен и невозможен настан;
Дајте ги првите идеи за решавање на комбинаторни проблеми: користење дрво на опции и користење на правилото за множење.
Образовна цел: развој на светогледот кај учениците.
Развојна цел : развој на просторна имагинација, подобрување на вештината за работа со линијар.
Сигурни, невозможни и случајни настани (2 часа)
Комбинаторни проблеми (2 часа)
Сигурни, невозможни и случајни настани.
Прва лекција
Опрема за лекција: коцки, паричка, табла.
Нашиот живот во голема мера се состои од несреќи. Постои таква наука како „Теорија на веројатност“. Користејќи го неговиот јазик, можете да опишете многу феномени и ситуации.
Дури и примитивниот водач разбрал дека десетина ловци имаат поголема „веројатност“ да удрат бизон со копје отколку еден. Затоа тогаш ловеле колективно.
Таквите антички команданти како Александар Велики или Дмитриј Донској, подготвувајќи се за битка, се потпираа не само на храброста и уметноста на воините, туку и на случајноста.
Многу луѓе ја сакаат математиката за вечните вистини: двапати два е секогаш четири, збирот на парните броеви е парен, плоштината на правоаголникот е еднаква на производот на неговите соседни страни итн. Во секој проблем што ќе го решите, секој го добива истиот одговор - само треба да не грешиш во одлуката.
Вистинскиот живот не е толку едноставен и јасен. Исходот на многу настани не може однапред да се предвиди. Невозможно е, на пример, со сигурност да се каже на која страна ќе падне фрлената паричка, кога ќе падне првиот снег следната година или колку луѓе во градот ќе сакаат да се јават во следниот час. Ваквите непредвидливи настани се нарекуваат случајно .
Меѓутоа, случајноста има и свои закони, кои почнуваат да се манифестираат кога случајните појави се повторуваат многу пати. Ако фрлите паричка 1000 пати, таа ќе дојде до глави приближно половина од времето, што не е случај со две или дури десет фрлања. „Приближно“ не значи половина. Ова генерално може или не може да биде случај. Законот не наведува ништо со сигурност, но обезбедува одреден степен на доверба дека ќе се случи некој случаен настан. Ваквите обрасци ги проучува посебна гранка на математиката - Теорија на веројатност . Со негова помош можете со поголем степен на доверба (но сепак не со сигурност) да го предвидите и датумот на првиот снег и бројот на телефонски повици.
Теоријата на веројатност е нераскинливо поврзана со нашиот секојдневен живот. Ова ни дава прекрасна можност експериментално да воспоставиме многу веројатносни закони, повторувајќи ги случајните експерименти многу пати. Материјалите за овие експерименти најчесто ќе бидат обична монета, коцка, комплет домино, табла, рулет, па дури и шпил карти. Секоја од овие ставки е поврзана со игри на еден или друг начин. Факт е дека случајот овде се појавува во најчестиот облик. И првите веројатни задачи беа поврзани со проценка на шансите за победа на играчите.
Модерната теорија на веројатност се оддалечи од коцкањето, но нејзините реквизити сè уште остануваат наједноставниот и најсигурен извор на среќа. Откако ќе вежбате со рулет и коцка, ќе научите да ја пресметувате веројатноста за случајни настани во ситуации од реалниот живот, што ќе ви овозможи да ги процените вашите шанси за успех, да тестирате хипотези и да донесувате оптимални одлуки не само во игрите и лотариите.
Кога решавате веројатни проблеми, бидете многу внимателни, обидете се да го оправдате секој чекор што го правите, бидејќи ниту една друга област од математиката не содржи толку многу парадокси. Како теоријата на веројатност. А можеби главното објаснување за ова е неговата поврзаност со реалниот свет во кој живееме.
Многу игри користат матрица со различен број точки од 1 до 6 означени на секоја страна. Играчот ја фрла коцката, гледа колку точки се појавуваат (на страната што се наоѓа горе) и го прави соодветниот број на потези. : 1,2,3 ,4,5 или 6. Фрлањето матрица може да се смета за искуство, експеримент, тест, а добиениот резултат може да се смета за настан. Луѓето обично се многу заинтересирани да ја погодат појавата на овој или оној настан и да го предвидат неговиот исход. Какви предвидувања можат да направат кога ќе ги фрлат коцките? Прво предвидување: ќе се појави еден од броевите 1,2,3,4,5 или 6. Дали мислите дека предвидениот настан ќе се случи или не? Се разбира, тоа дефинитивно ќе дојде. Настанот што сигурно ќе се случи во дадено искуство се нарекува сигурен настан.
Второ предвидување : ќе се појави бројот 7. Дали мислите дека ќе се случи предвидениот настан или не? Секако дека нема да се случи, едноставно е невозможно. Настанот што не може да се случи во дадено искуство се нарекува невозможен настан.
Трето предвидување : ќе се појави бројот 1. Дали мислите дека се случил предвидениот настан или не? Не можеме да одговориме на ова прашање со целосна сигурност, бидејќи предвидениот настан може или не може да се случи. Настанот што може или не може да се случи во дадено искуство се нарекува случаен настан.
Вежбајте : Опишете ги настаните дискутирани во задачите подолу. Како одредени, невозможни или случајни.
Ајде да фрлиме паричка. Се појави грб. (случајно)
Ловецот пукал во волкот и го удрил. (случајно)
Ученикот секоја вечер оди на прошетка. Додека се шетал во понеделникот сретнал тројца познаници. (случајно)
Ајде ментално да го спроведеме следниот експеримент: свртете чаша вода наопаку. Ако овој експеримент не се спроведе во вселената, туку дома или во училница, тогаш водата ќе се излее. (сигурен)
Беа испукани три истрели во целта“. Имаше пет удари“ (невозможно)
Фрли го каменот нагоре. Каменот останува да виси во воздухот. (невозможно)
Ги преуредуваме буквите од зборот „антагонизам“ по случаен избор. Резултатот е зборот „анахроизам“. (невозможно)
№959. Петја мислеше на природен број. Настанот е како што следува:
а) се предвидува парен број; (случајно) б) е наменет непарен број; (случајно)
в) се замислува број кој не е ниту парен ниту непарен; (невозможно)
г) се замислува број кој е парен или непарен. (сигурен)
№ 961. Петја и Толја ги споредуваат нивните родендени. Настанот е како што следува:
а) нивните родендени не се совпаѓаат; (случајно) б) нивните родендени се исти; (случајно)
г) и двата нивни родендени паѓаат на празници - Нова Година (1 јануари) и Денот на руската независност (12 јуни). (случајно)
№ 962. При играње Табла се користат две коцки. Бројот на потези што ги прави учесникот во играта се одредува со собирање на броевите од двете страни на коцката што испаѓаат и ако се тркала „двојка“ (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6 ), тогаш бројот на потези се удвојува. Ги фрлате коцките и сфаќате колку потези треба да направите. Настанот е како што следува:
а) мора да направите еден потег; б) мора да направите 7 потези;
в) мора да направите 24 потези; г) мора да направите 13 потези.
а) – невозможно (1 потег може да се направи ако комбинацијата 1 + 0 се тркала, но на коцката нема број 0).
б) – случајно (ако се тркала 1 + 6 или 2 + 5).
в) – случајно (ако се појави комбинацијата 6 +6).
г) – невозможно (нема комбинации на броеви од 1 до 6, чиј збир е 13; овој број не може да се добие дури и кога се тркала „двојка“, бидејќи е непарна).
Проверете сами. (математички диктат)
1) Наведете кои од следните настани се невозможни, кои се сигурни, кои се случајни:
Фудбалскиот натпревар „Спартак“ – „Динамо“ ќе заврши нерешено. (случајно)
Ќе победите со учество во лотарија добитна добивка (сигурно)
На полноќ ќе паѓа снег, а 24 часа подоцна ќе огрее сонце. (невозможно)
Утре ќе има тест по математика. (случајно)
Ќе бидете избрани за претседател на САД. (невозможно)
Ќе бидете избрани за претседател на Русија. (случајно)
2) Си купил телевизор во продавница, за кој производителот дава двегодишна гаранција. Кои од следните настани се невозможни, кои се случајни, кои се сигурни:
Телевизорот нема да пукне една година. (случајно)
Телевизорот нема да пукне две години. (случајно)
Нема да мора да плаќате за поправка на телевизорот две години. (сигурен)
Телевизорот ќе пукне во трета година. (случајно)
3) Автобус кој превезува 15 патници треба да направи 10 застанувања. Кои од следните настани се невозможни, кои се случајни, кои се сигурни:
Сите патници ќе излезат од автобусот на различни постојки. (невозможно)
Сите патници ќе се симнат на истата станица. (случајно)
На секоја станица барем некој ќе се симне. (случајно)
Ќе има постојка каде што никој не се симнува. (случајно)
На сите постојки ќе се симнат парен број патници. (невозможно)
На сите постојки ќе се симнат непарен број патници. (невозможно)
Домашна работа : стр. 53 бр. 960, 963, 965 (дојдете сами со два сигурни, случајни и невозможни настани).
Втора лекција.
Проверка на домашната задача. (усно)
а) Објасни што се одредени, случајни и невозможни настани.
б) Наведете кој од следните настани е сигурен, кој е невозможен, кој е случаен:
Летен одмор нема да има. (невозможно)
Сендвичот ќе падне со путерот надолу. (случајно)
Учебната година ќе заврши еден ден. (сигурен)
Ќе ме прашаат утре на час. (случајно)
Денеска ќе запознаам црна мачка. (случајно)
№ 960. Го отворивте овој учебник на која било страница и ја избравте првата именка што се појави. Настанот е како што следува:
а) во правописот на избраниот збор има самогласка. ((сигурен)
б) правописот на избраниот збор ја содржи буквата „о“. (случајно)
в) нема самогласки во правописот на избраниот збор. (невозможно)
г) има мек знак во правописот на избраниот збор. (случајно)
№ 963. Пак играш табла. Опишете го следниов настан:
а) играчот не смее да направи повеќе од два потези. (невозможно - со комбинација од најмалите броеви 1 + 1 играчот прави 4 потези; комбинацијата од 1 + 2 дава 3 потези; сите други комбинации даваат повеќе од 3 потези)
б) играчот мора да направи повеќе од два потези. (сигурен - секоја комбинација дава 3 или повеќе потези)
в) играчот не смее да направи повеќе од 24 потези. (сигурен - комбинацијата од најголемите броеви 6 + 6 дава 24 потези, а сите други даваат помалку од 24 потези)
г) играчот мора да направи двоцифрен број на потези. (случајно – на пример, комбинацијата 2 + 3 дава едноцифрен број на потези: 5, а тркалањето две четворки дава двоцифрен број на потези)
2. Решавање проблеми.
№ 964. Во една кеса има 10 топчиња: 3 сини, 3 бели и 4 црвени. Опишете го следниов настан:
а) од кесата се извадени 4 топчиња и сите се сини; (невозможно)
б) од кесата се извадени 4 топчиња и сите се црвени; (случајно)
в) 4 топчиња се извадени од кесата и сите се покажаа со различни бои; (невозможно)
г) Од кесата се извадени 4 топчиња, а меѓу нив немало ниту една црна топка. (сигурен)
Задача 1. Кутијата содржи 10 црвени, 1 зелено и 2 сини пенкала. Два објекти се извлечени по случаен избор од кутијата. Кои од следните настани се невозможни, кои се случајни, кои се сигурни:
а) се вадат две црвени пенкала (случајно)
б) се вадат две зелени рачки; (невозможно)
в) се вадат две сини пенкала; (случајно)
г) се вадат рачки од две различни бои; (случајно)
д) се отстрануваат две рачки; (сигурен)
ѓ) се вадат два моливи. (невозможно)
Задача 2. Мечо Пу, прасе и сите - сите - сите седнуваат на тркалезната маса да го прослават неговиот роденден. На кој број од сите - сите - е сигурен настанот „Мечо Пу и прасето седат еден до друг“ и на кој број е случаен?
(ако има само 1 од сите - сите - сите, тогаш настанот е сигурен, ако има повеќе од 1, тогаш е случаен).
Задача 3. Помеѓу 100-те добротворни лозови, 20 се добитни. Колку билети треба да купите за да го направите настанот „нема да освоите ништо“ невозможен?
Задача 4. Во одделението има 10 момчиња и 20 девојчиња. Кои од следните настани се невозможни за оваа класа, кои се случајни, кои се сигурни
Во класот има две лица кои се родени во различни месеци. (случајно)
Во класот има две лица кои се родени во ист месец. (сигурен)
Во класот има две момчиња кои се родени во ист месец. (случајно)
Во класот има две девојчиња кои се родени во ист месец. (сигурен)
Сите момчиња се родени во различни месеци. (сигурен)
Сите девојчиња се родени во различни месеци. (случајно)
Има момче и девојче родени во ист месец. (случајно)
Има момче и девојче родени во различни месеци. (случајно)
Задача 5. Во кутијата има 3 црвени, 3 жолти, 3 зелени топчиња. Извлекуваме 4 топчиња по случаен избор. Размислете за настанот „Меѓу нацртаните топки ќе има топчиња со точно М бои“. За секое М од 1 до 4, одреди за каков настан станува збор - невозможен, сигурен или случаен и пополнете ја табелата:
Самостојна работа.
Јасопција
а) роденденскиот број на вашиот пријател е помал од 32;
в) утре ќе има тест по математика;
г) Следната година првиот снег во Москва ќе падне во недела.
Фрлање коцка. Опишете го настанот:
а) коцката, откако паднала, ќе застане на нејзиниот раб;
б) ќе се појави еден од броевите: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
в) ќе се појави бројот 6;
г) ќе се тркала број кој е множител на 7.
Кутијата содржи 3 црвени, 3 жолти и 3 зелени топчиња. Опишете го настанот:
а) сите нацртани топчиња се со иста боја;
б) сите нацртани топчиња се со различни бои;
в) меѓу извлечените топчиња има топчиња со различни бои;
в) меѓу извлечените топчиња има црвена, жолта и зелена топка.
IIопција
Опишете го предметниот настан како сигурен, невозможен или случаен:
а) сендвич што ќе падне од масата ќе падне со лицето надолу на подот;
б) снег ќе падне во Москва на полноќ, а по 24 часа сонцето ќе огрее;
в) ќе победите со учество во лотарија добитна добивка;
г) следната година во мај ќе се слушне првиот пролетен гром.
Сите двоцифрени броеви се напишани на картичките. Една картичка се избира по случаен избор. Опишете го настанот:
а) имаше нула на картичката;
б) на картичката имало број кој бил повеќекратен од 5;
в) на картичката имало број кој бил повеќекратен од 100;
г) на картичката имало број поголем од 9 и помал од 100.
Кутијата содржи 10 црвени, 1 зелено и 2 сини пенкала. Два објекти се извлечени по случаен избор од кутијата. Опишете го настанот:
а) се вадат две сини пенкала;
б) се вадат две црвени пенкала;
в) се вадат две зелени рачки;
г) се вадат зелените и црните рачки.
Домашна работа: 1). Дојдете со два сигурни, случајни и невозможни настани.
2). Задача . Во кутијата има 3 црвени, 3 жолти, 3 зелени топчиња. По случаен избор цртаме N топчиња. Размислете за настанот „меѓу нацртаните топки ќе има топчиња со точно три бои“. За секој N од 1 до 9, одреди за каков настан станува збор - невозможен, сигурен или случаен, и пополнете ја табелата:
Комбинаторни проблеми.
Прва лекција
Проверка на домашната задача. (усно)
а) ги проверуваме проблемите до кои дошле учениците.
б) дополнителна задача.
Читам извадок од книгата на В. Левшин „Три дена во Карликанија“.
„На почетокот, под звуците на мазен валцер, броевите формираа група: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Потоа младите скејтери почнаа да ги менуваат местата, формирајќи се повеќе и повеќе нови групи: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10, итн.
Ова продолжи се додека скејтерите не се вратија на почетната позиција“.
Колку пати ги менувале местата?
Денес на час ќе научиме како да решаваме вакви проблеми. Тие се повикани комбинаторна.
3. Проучување на нов материјал.
Задача 1. Колку двоцифрени броеви може да се направат од броевите 1, 2, 3?
Решение: 11, 12, 13
31, 32, 33. Вкупно 9 броеви.
Кога го решававме овој проблем, ги пребаравме сите можни опции или, како што обично велат во овие случаи. Сите можни комбинации. Затоа, таквите проблеми се нарекуваат комбинаторна. Треба често да ги пресметувате можните (или невозможни) опции во животот, па затоа е корисно да се запознаете со комбинаторните проблеми.
№ 967. Неколку земји одлучија да користат симболи за нивното национално знаме во форма на три хоризонтални ленти со иста ширина во различни бои - бела, сина, црвена. Колку земји можат да користат такви симболи, под услов секоја земја да има свое знаме?
Решение. Да претпоставиме дека првата лента е бела. Тогаш втората лента може да биде сина или црвена, а третата лента, соодветно, црвена или сина. Добивме две опции: бела, сина, црвена или бела, црвена, сина.
Нека сега првата лента е сина, а потоа повторно добиваме две опции: бела, црвена, сина или сина, црвена, бела.
Првата лента нека биде црвена, тогаш има уште две опции: црвена, бела, сина или црвена, сина, бела.
Имаше вкупно 6 можни опции. Ова знаме може да го користат 6 земји.
Значи, при решавањето на овој проблем, баравме начин да ги наброиме можните опции. Во многу случаи, се покажува дека е корисно да се конструира слика - дијаграм на набројување опции. Ова, прво, е јасно, и второ, ни овозможува да земеме сè предвид и да не пропуштиме ништо.
Овој дијаграм се нарекува и дрво на можни опции.
Насловна страна
Втора лента
Трета лента
Добиената комбинација
№ 968. Колку двоцифрени броеви може да се направат од броевите 1, 2, 4, 6, 8?
Решение. За двоцифрените броеви што нè интересираат, на прво место може да биде која било од дадените цифри, освен 0. Ако го ставиме бројот 2 на прво место, тогаш која било од дадените цифри може да биде на второ место. Ќе добиете пет двоцифрени броеви: 2.,22, 24, 26, 28. Исто така, ќе има пет двоцифрени броеви со првата цифра 4, пет двоцифрени броеви со првата цифра 6 и пет двоцифрени броеви. цифрени броеви со прва цифра 8.
Одговор: Ќе има вкупно 20 броеви.
Ајде да изградиме дрво на можни опции за да го решиме овој проблем.
Двојни фигури
Првата цифра
Втора цифра
Примени броеви
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Решете ги следните проблеми со конструирање дрво на можни опции.
№ 971. Раководството на одредена земја одлучи своето национално знаме да изгледа вака: на еднобојна правоаголна позадина, во еден од аглите е поставен круг со различна боја. Беше одлучено да се изберат бои од три можни: црвена, жолта, зелена. Колку варијанти на ова знаме?
постои? Сликата покажува некои од можните опции.
Одговор: 24 опции.
№ 973. а) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 1,3, 5,? (27 броеви)
б) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 1,3, 5, под услов броевите да не се повторуваат? (6 броеви)
№ 979. Современите петобојници учествуваат во натпревари во пет спортови во текот на два дена: скокање со шоу, мечување, пливање, стрелање и трчање.
а) Колку опции има за редоследот на пополнување на видовите натпреварувања? (120 опции)
б) Колку опции има за редоследот на настаните на натпреварот, ако се знае дека последниот настан треба да се одвива? (24 опции)
в) Колку опции има за редоследот на натпреварувачките настани ако се знае дека последниот настан треба да биде трчање, а првиот треба да биде скокање со шоу? (6 опции)
№ 981. Две урни содржат по пет топки во пет различни бои: бела, сина, црвена, жолта, зелена. Од секоја урна се вади по една топка.
а) колку различни комбинации на нацртани топчиња има (комбинации како „бело-црвено“ и „црвено-бело“ се сметаат за исти)?
(15 комбинации)
б) Колку комбинации има во кои нацртаните топчиња се со иста боја?
(5 комбинации)
в) колку комбинации има во кои нацртаните топчиња се со различна боја?
(15 – 5 = 10 комбинации)
Домашна работа: стр. 54, бр. 969, 972, сами смислете комбинаторен проблем.
№ 969. Неколку земји одлучија да користат симболи за нивното национално знаме во форма на три вертикални ленти со иста ширина во различни бои: зелена, црна, жолта. Колку земји можат да користат такви симболи, под услов секоја земја да има свое знаме?
№ 972. а) Колку двоцифрени броеви може да се направат од броевите 1, 3, 5, 7, 9?
б) Колку двоцифрени броеви може да се направат од броевите 1, 3, 5, 7, 9, под услов броевите да не се повторуваат?
Втора лекција
Проверка на домашната задача. а) бр. 969 и бр. 972а) и бр. 972б) - изградете дрво на можни опции на таблата.
б) усно ги проверуваме завршените задачи.
Решавање на проблем.
Значи, пред ова, научивме како да решаваме комбинаторни проблеми користејќи дрво на опции. Дали е ова добар начин? Веројатно да, но многу незгодно. Ајде да се обидеме да го решиме проблемот со домашната задача бр. 972 поинаку. Кој може да погоди како тоа може да се направи?
Одговор: За секоја од петте бои на маички има по 4 бои на гаќички. Вкупно: 4 * 5 = 20 опции.
№ 980. Урните содржат по пет топки во пет различни бои: бела, сина, црвена, жолта, зелена. Од секоја урна се извлекува по една топка. Опишете го следниов настан како сигурен, случаен или невозможен:
а) извадени топчиња со различни бои; (случајно)
б) извадени топчиња со иста боја; (случајно)
в) се цртаат црно-бели топчиња; (невозможно)
г) се цртаат две топчиња, од кои двете се обоени во една од следниве бои: бела, сина, црвена, жолта, зелена. (сигурен)
№ 982. Група туристи планира да пешачи по релација Антоново - Борисово - Власово - Грибово. Од Антоново до Борисово можете да сплавувате на реката или да пешачите. Од Борисово до Власово можете да пешачите или да возите велосипед. Од Власово до Грибово можете да пливате покрај реката, да возите велосипед или да пешачите. Од колку опции за трекинг можат да изберат туристите? Колку опции за планинарење можат да изберат туристите, под услов да мора да користат велосипеди барем на еден дел од рутата?
(12 опции за рута, 8 од нив користат велосипеди)
Самостојна работа.
1 опција
а) Колку трицифрени броеви може да се направат од цифрите: 0, 1, 3, 5, 7?
б) Колку трицифрени броеви може да се направат од цифрите: 0, 1, 3, 5, 7, под услов броевите да не се повторуваат?
Атос, Портос и Арамис имаат само меч, кама и пиштол.
а) На колку начини може да се вооружат мускетарите?
б) Колку опции за оружје има ако Арамис мора да носи меч?
в) Колку опции за оружје има ако Арамис мора да го носи мечот, а Портос со пиштолот?
Некаде Бог му испрати на Равен парче сирење, како и фета сирење, колбаси, бел и црн леб. Откако се качи на смрека, врана беше подготвена да појадува, но таа почна да размислува: на колку начини може да се направат сендвичи од овие производи?
Опција 2
а) Колку трицифрени броеви може да се направат од цифрите: 0, 2, 4, 6, 8?
б) Колку трицифрени броеви може да се направат од цифрите: 0, 2, 4, 6, 8, под услов цифрите да не се повторуваат?
Грофот Монте Кристо одлучил на принцезата Хајд да и подари обетки, ѓердан и нараквица. Секое парче накит мора да содржи еден од следниве видови скапоцени камења: дијаманти, рубини или гранети.
а) Колку опции има за комбинирање на накит од скапоцени камења?
б) Колку опции за накит има ако обетките треба да бидат дијамантски?
в) Колку опции за накит има ако обетките треба да бидат со дијамант, а нараквицата да биде гранат?
За појадок можете да изберете пунџа, сендвич или джинджифилово со кафе или кефир. Колку опции за појадок можете да создадете?
Домашна работа : бр. 974, 975. (со составување дрво на опции и користење на правилото за множење)
№ 974 . а) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 0, 2, 4?
б) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 0, 2, 4, под услов броевите да не се повторуваат?
№ 975 . а) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 1,3, 5,7?
б) Колку трицифрени броеви може да се направат од броевите 1,3, 5,7 под условот. Кои бројки не треба да се повторуваат?
Проблемски броеви земени од учебникот
„Математика-5“, И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004 година.
Целта на лекцијата:
- Воведување на концептот на сигурни, невозможни и случајни настани.
- Развијте знаења и вештини за да го одредите типот на настаните.
- Развијте: компјутерска вештина; внимание; способност за анализа, расудување, извлекување заклучоци; вештини за групна работа.
За време на часовите
1) Организациски момент.
Интерактивна вежба: децата мора да решаваат примери и да дешифрираат зборови; врз основа на резултатите, тие се поделени во групи (сигурни, невозможни и случајни) и ја одредуваат темата на лекцијата.
1 карта.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 карта
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 карта
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Ажурирање на научените знаења.
Игра „Клап“: парен број - плескање, непарен број - застанете.
Задача: од дадената серија на броеви 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... одреди парни и непарни.
3) Проучување на нова тема.
На вашите маси има коцки. Ајде да ги разгледаме подетално. Што гледаш?
Каде се користат коцките? Како?
Работа во групи.
Спроведување на експеримент.
Какви предвидувања можете да направите кога фрлате матрица?
Прво предвидување: ќе се појави еден од броевите 1,2,3,4,5 или 6.
Настанот што сигурно ќе се случи во дадено искуство се нарекува сигурен.
Второ предвидување: ќе се појави бројот 7.
Дали мислите дека предвидениот настан ќе се случи или не?
Ова е невозможно!
Настанот што не може да се случи во дадено искуство се нарекува невозможно.
Трето предвидување: ќе се појави бројот 1.
Дали овој настан ќе се случи?
Настанот што може или не може да се случи во дадено искуство се нарекува случајно.
4) Консолидација на изучениот материјал.
I. Определи го типот на настанот
-Утре ќе врне снег црвен.
Утре ќе врне силен снег.
Утре иако е јули ќе врне снег.
Утре, иако е јули, нема да има снег.
Утре ќе врне снег и ќе има снежна бура.
II. Додадете збор на оваа реченица на таков начин што настанот ќе стане невозможен.
Коља доби А во историјата.
Саша не заврши ниту една задача на тестот.
Оксана Михајловна (наставник по историја) ќе објасни нова тема.
III. Наведете примери за невозможни, случајни и сигурни настани.
IV. Работа од учебникот (во групи).
Опишете ги настаните дискутирани во задачите подолу како сигурни, невозможни или случајни.
бр. 959. Петја излезе со природен број. Настанот е како што следува:
а) се предвидува парен број;
б) е наменет непарен број;
в) се замислува број кој не е ниту парен ниту непарен;
г) се замислува број кој е парен или непарен.
Бр. 960. Го отворивте овој учебник на која било страница и ја избравте првата именка што се појави. Настанот е како што следува:
а) во правописот на избраниот збор има самогласка;
б) правописот на избраниот збор ја содржи буквата „о“;
в) нема самогласки во правописот на избраниот збор;
г) има мек знак во правописот на избраниот збор.
Решете бр.961, бр.964.
Дискусија за решени задачи.
5) Рефлексија.
1. За какви настани научивте на часот?
2. Наведете кој од следните настани е сигурен, кој е невозможен, а кој е случаен:
а) нема да има летен одмор;
б) сендвичот ќе падне со путерот надолу;
в) учебната година ќе заврши некогаш.
6) Домашна задача:
Дојдете со два сигурни, случајни и невозможни настани.
Направете цртеж за еден од нив.