Режимот е најверојатната вредност на случајната променлива. Со симетрична дистрибуција во однос на средната вредност, режимот се совпаѓа со математичкото очекување. Ако вредностите на случајната променлива не се повторат, нема режим.
Точката на x-оската што одговара на максимумот на кривата на густината на дистрибуцијата се нарекува режим, односно режимот е најверојатната вредност на случајната променлива. Сепак, не сите дистрибуции имаат режим. Пример е униформа дистрибуција. Во овој случај, одредувањето на центарот на дистрибуцијата како режим е невозможно. Мода обично се нарекува Мо.
Постојат концепти на режим и медијана случајна променлива.
Очигледно, во случај на симетрична медијана, таа се совпаѓа со режимот и математичкото очекување.
Врз основа на фактот дека модата не се заснова на единечни мерења, туку на голем волуменнабљудувања, не може да се смета за случајна променлива. Големината на режимот нема ефект разни видовидоцнење во работата и губење на неговото нормално темпо.
Понекогаш за време на анализата емпириски дистрибуциикористете ги концептите на режим и медијана на дистрибуција, „...Mode е најверојатната вредност на случајна променлива,
Екстензивно веројатно-теоретско толкување на феноменот на лотаријата е концептот на распределба на веројатност на случајна променлива. Со негова помош, се одредуваат веројатностите дека случајната променлива ќе земе една или друга од нејзините можни вредности. Да ја означиме со y случајната променлива, а со y нејзините можни вредности. Потоа за дискретна случајна променлива, која може да ги преземе можните вредности Y, y2, VZ,. .., yn погодна форма на распределбата на веројатноста треба да се смета за зависноста P(y = y), која обично се нарекува серија на веројатност, серија на дистрибуција. Во пракса, за брза генерализирана проценка на веројатноста за распределба на вредностите на ризик, често се користат таканаречените нумерички и други карактеристики на распределбата на случајните резултати: математичко очекување, дисперзија, средно квадратно (стандардно) отстапување, коефициент на варијација, режим, медијана, итн. (види, на пример, итн.). Со други зборови, за брза и сеопфатна перцепција, претприемачот се стреми (или едноставно
Врз основа на податоците од Државниот статистички комитет на СССР за распределбата на населението по просечен вкупен приход по глава на жител, ќе се обидеме да ги споредиме показателите за просечниот, средниот и модалниот приход (Табела 1). Табелата покажува дека просечниот приход во апсолутна вредност го надминува просечниот и модалниот приход, а неговиот раст се јавува главно поради зголемувањето на процентот на луѓе со високи примања, односно употребата на индикаторот за просечен приход доведува до значително преценување на нивото на доход на најголемиот дел од населението и во голема мера го крие процесот на нивна диференцијација. Модалните вредности на приходот гравитираат кон пониските групи на распределбата и отстапуваат од средниот приход надолу. Сепак, појавата на мода во еден или друг интервал често е сосема случајна по природа. мала променаво дистрибуцијата - и режимот веќе ќе биде во соседниот интервал. На пример, во 1989 година, најчестото ниво на приход беше од 100 до 125 рубли (16,1% од населението добиваше таков приход), меѓутоа, поради мали поместувања во приходите што се случија во 1989-1990 година, најчестиот интервал беше следниов интервал (125-150 рубли) , а вредноста на самата мода се зголеми за 15,6 рубли. Дополнително, уделот на населението во опсегот на модалниот приход може само малку да ги надмине другите удели.
За да го карактеризирате центарот на распределбата на логаритамски нормална случајна променлива a, можете да го користите, заедно со веќе пресметаното математичко очекување Ma, режимот (локална максимална густина /(a a)) toc1a = exp(t-st2) и
Режим - мода. Најверојатната вредност на случајна променлива.
МОДА - концепт
Очекувана вредност. Математичко очекувањедискретна случајна променлива X, домаќин конечен бројвредности Xјассо веројатности Рјас, износот се вика:
Математичко очекувањеконтинуирана случајна променлива Xсе нарекува интеграл на производот од неговите вредности Xна густината на распределбата на веројатноста ѓ(x):
(6б)
Несоодветен интеграл (6 б) се претпоставува дека е апсолутно конвергентен (во во спротивновелат дека математичкото очекување М(X) не постои). Математичкото очекување карактеризира средна вредностслучајна променлива X. Неговата димензија се совпаѓа со димензијата на случајната променлива.
Својства математичко очекување:
Дисперзија. Варијансаслучајна променлива Xбројот се вика:
Варијансата е карактеристика на расејувањевредности на случајни променливи Xво однос на неговата просечна вредност М(X). Димензијата на варијансата е еднаква на димензијата на случајната променлива на квадрат. Врз основа на дефинициите за варијанса (8) и математичко очекување (5) за дискретна случајна променлива и (6) за континуирана случајна променлива, добиваме слични изрази за варијансата:
(9)
Еве м = М(X).
Карактеристики на дисперзија:
Стандардна девијација:
(11)
Бидејќи димензијата на просекот квадратна девијацијаисто како онаа на случајна променлива, таа почесто се користи како мерка за дисперзија отколку варијанса.
Моменти на дистрибуција. Концептите на математичко очекување и дисперзија се посебни случаи на повеќе општ концептза нумерички карактеристики на случајни променливи – моменти на дистрибуција. Моментите на распределба на случајна променлива се воведени како математички очекувања на некои едноставни функции на случајна променлива. Значи, момент на нарачка кво однос на поентата X 0 се нарекува математичко очекување М(X–X 0 )к. Моменти за потеклото Xсе повикуваат = 0 почетните моменти и се назначени:
(12)
Почетниот момент на првиот ред е центарот на распределбата на случајната променлива што се разгледува:
(13)
Моменти за центарот на дистрибуција X= мсе нарекуваат централни точкии се назначени:
(14)
Од (7) произлегува дека централниот момент од прв ред е секогаш еднаква на нула:
Централните моменти не зависат од потеклото на вредностите на случајната променлива, бидејќи кога се поместуваат за константна вредност СОнеговиот дистрибутивен центар се поместува за истата вредност СО, а отстапувањето од центарот не се менува: X – м = (X – СО) – (м – СО).
Сега е очигледно дека дисперзија- Ова централен момент од втор ред:
Асиметрија. Централен момент од трет ред:
(17)
служи за оценување асиметрија на дистрибуција. Ако распределбата е симетрична во однос на точката X= м, тогаш централниот момент од трет ред ќе биде еднаков на нула (како и сите централни моменти на непарни нарачки). Затоа, ако централниот момент од трет ред е различен од нула, тогаш распределбата не може да биде симетрична. Големината на асиметријата се проценува со користење на бездимензионална коефициент на асиметрија:
(18)
Знакот на коефициентот на асиметрија (18) означува десна или левострана асиметрија (сл. 2).
Ориз. 2. Видови на асиметрија на дистрибуција.
Вишок. Централен момент од четврти ред:
(19)
служи за оценување на т.н вишок, кој го одредува степенот на стрмнина (зашиленост) на кривата на дистрибуција во близина на центарот на дистрибуцијата во однос на кривата нормална дистрибуција. Бидејќи за нормална дистрибуција, вредноста земена како куртоза е:
(20)
На сл. 3 прикажува примери на криви на дистрибуција со различни значењавишок. За нормална дистрибуција Е= 0. Кривите кои се позашилени од нормалните имаат позитивна куртоза, оние кои се порамни имаат негативна куртоза.
Ориз. 3. Криви на дистрибуција со различни степенистуденило (вишок).
Моменти од повисок ред во инженерските апликации математичка статистикаобично не се користи.
Мода
дискретниСлучајна променлива е нејзината најверојатна вредност. Мода континуиранослучајна променлива е нејзината вредност при која густината на веројатноста е максимална (сл. 2). Ако кривата на дистрибуција има еден максимум, тогаш распределбата се нарекува унимодални. Ако кривата на дистрибуција има повеќе од еден максимум, тогаш се повикува распределбата мултимодален. Понекогаш има распределби чии криви имаат минимум наместо максимум. Ваквите распределби се нарекуваат антимодални. ВО општ случајрежимот и математичкото очекување на случајна променлива не се совпаѓаат. Во посебниот случај, за модален, т.е. има режим, симетрична дистрибуција и под услов да има математичко очекување, второто се совпаѓа со режимот и центарот на симетрија на распределбата.
Медијана случајна променлива X- ова е неговото значење Мех, за што важи еднаквоста: т.е. подеднакво е веројатно дека случајната променлива Xќе биде помалку или повеќе Мех. Геометриски медијанае апсцисата на точката во која површината под кривата на распределба е поделена на половина (сл. 2). Во случај на симетрична модална распределба, медијаната, режимот и математичкото очекување се исти.
Меѓу нумеричките карактеристики на случајните променливи, потребно е, пред сè, да се забележат оние што ја карактеризираат положбата на случајната променлива на нумеричката оска, т.е. означете некоја просечна, приближна вредност околу која се групирани сите можни вредности на случајна променлива.
Просечната вредност на случајната променлива е одреден број што е, како да е, негов „претставник“ и го заменува во приближно приближни пресметки. Кога велиме: „просечното време на работа на светилката е 100 часа“ или „просечната точка на удар е поместена во однос на целта за 2 m надесно“, ние означуваме одредена нумеричка карактеристика на случајна променлива која ја опишува нејзината локација. на нумеричката оска, т.е. „карактеристики на положбата“.
Од карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност витална улогаго игра математичкото очекување на случајна променлива, што понекогаш се нарекува едноставно просечна вредност на случајната променлива.
Да разгледаме дискретна случајна променлива со можни вредности со веројатности. Треба да ја карактеризираме со одреден број позицијата на вредностите на случајната променлива на оската x, земајќи го предвид фактот дека овие вредности имаат различни веројатности. За таа цел, природно е да се користи таканаречениот „пондериран просек“ на вредностите, а секоја вредност при просекот треба да се земе предвид со „тежина“ пропорционална на веројатноста за оваа вредност. Така, ќе го пресметаме просекот на случајната променлива, која ќе ја означиме со:
или, со оглед на тоа,
. (5.6.1)
Овој пондериран просек се нарекува математичко очекување на случајната променлива. Така, воведовме во предвид една од најважните концептитеорија на веројатност - концепт на математичко очекување.
Математичкото очекување на случајна променлива е збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и веројатностите на овие вредности.
Забележете дека во горната формулација дефиницијата за математичко очекување важи, строго кажано, само за дискретни случајни променливи; Подолу ќе го генерализираме овој концепт на случајот на континуирани количини.
Со цел да се направи појасен концептот на математичко очекување, да се свртиме кон механичката интерпретација на распределбата на дискретна случајна променлива. Нека има точки со апсциси на оската на апсцисата, во кои се концентрирани масите, соодветно, и . Тогаш, очигледно, математичкото очекување дефинирано со формулата (5.6.1) не е ништо повеќе од апсциса на центарот на гравитација на даден систем на материјални точки.
Математичкото очекување на случајна променлива е поврзано со посебна зависност со аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива на голем бројексперименти. Оваа зависност е од ист тип како и зависноста помеѓу фреквенцијата и веројатноста, имено: со голем број експерименти, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива се приближува (конвергира во веројатност) до нејзиното математичко очекување. Од присуството на врска помеѓу фреквенцијата и веројатноста, како последица може да се заклучи присуството на слична врска помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување.
Навистина, разгледајте дискретна случајна променлива која се карактеризира со серија на дистрибуција:
Каде 
.
Нека се спроведат независни експерименти, од кои секоја количина зема одредена вредност. Да претпоставиме дека вредноста се појавила еднаш, вредноста се појавила еднаш и вредноста еднаш. Очигледно,
Да ја пресметаме аритметичката средина на набљудуваните вредности на количината, која, за разлика од математичкото очекување, ја означуваме:
Но, нема ништо повеќе од фреквенцијата (или статистичка веројатност) на некој настан; оваа фреквенција може да се назначи . Потоа
,
тие. аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива е еднаква на збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и фреквенциите на овие вредности.
Како што се зголемува бројот на експерименти, фреквенциите ќе се приближат (конвергираат по веројатност) до соодветните веројатности. Следствено, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива ќе се приближи (конвергира по веројатност) до нејзините математичко очекување како што се зголемува бројот на експерименти.
Врската помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување формулирана погоре ја сочинува содржината на една од формите на законот големи бројки. Ќе дадеме ригорозен доказ за овој закон во Поглавје 13.
Веќе знаеме дека сите форми на законот за големи броеви го наведуваат фактот дека некои просеци се стабилни во текот на голем број експерименти. Еве ние зборуваме зана стабилноста на аритметичката средина од низа набљудувања со иста големина. Со мал број експерименти, аритметичката средина на нивните резултати е случајна; со доволно зголемување на бројот на експерименти, станува „речиси неслучајно“ и, стабилизирајќи, се приближува константна вредност– математичко очекување.
Стабилноста на просеците во текот на голем број експерименти може лесно да се потврди експериментално. На пример, кога се мери телото во лабораторија прецизни ваги, како резултат на мерење, секој пат добиваме нова вредност; За да ја намалиме грешката при набљудувањето, го мериме телото неколку пати и ја користиме аритметичката средина на добиените вредности. Лесно е да се види дека со дополнително зголемување на бројот на експерименти (мерење), аритметичката средина реагира на ова зголемување се помалку и помалку и, со доволно голем број експерименти, практично престанува да се менува.
Формулата (5.6.1) за математичкото очекување одговара на случајот на дискретна случајна променлива. За континуирана вредностматематичкото очекување, природно, се изразува не како збир, туку како интеграл:
, (5.6.2)
каде е густината на распределбата на количината .
Формулата (5.6.2) се добива од формулата (5.6.1) ако ја замениме индивидуални вредностиконтинуирано менување на параметарот x, соодветните веројатности се елементот на веројатност, конечна сума– интегрален. Во иднина, ние често ќе го користиме овој метод за проширување на формулите добиени за дисконтинуирани количини во случај на континуирани количини.
Во механичката интерпретација, математичкото очекување на континуирана случајна променлива го задржува истото значење - апсциса на центарот на гравитација во случај кога масата се распределува долж апсцисата континуирано, со густина. Оваа интерпретација честопати дозволува да се најде математичкото очекување без да се пресмета интегралот (5.6.2), од едноставни механички размислувања.
Погоре воведовме нотација за математичкото очекување на количината. Во голем број случаи, кога количината е вклучена во формулите како специфичен број, попогодно е да се означи со една буква. Во овие случаи, математичкото очекување на вредноста ќе го означиме со:
Ознаката и за математичкото очекување ќе се користат паралелно во иднина, во зависност од практичноста на одредено снимање на формулите. Да се договориме, доколку е потребно, зборовите „математичко очекување“ да ги скратиме со буквите m.o.
Треба да се забележи дека најважната карактеристика на позицијата - математичкото очекување - не постои за сите случајни променливи. Можно е да се состават примери на такви случајни променливи за кои математичкото очекување не постои, бидејќи соодветниот збир или интеграл се разминува.
Размислете, на пример, дисконтинуирана случајна променлива со серија на дистрибуција:
Лесно е да се потврди тоа, т.е. серијата на дистрибуција има смисла; сепак износот во во овој случајсе разминува и, според тоа, нема математичко очекување за вредноста. Сепак, ваквите случаи не се од значаен интерес за пракса. Обично случајните променливи со кои се справуваме имаат ограничена површина можни вредностии, се разбира, имаат математичко очекување.
Погоре дадовме формули (5.6.1) и (5.6.2), изразувајќи го математичкото очекување, соодветно, за дисконтинуирана и континуирана случајна променлива.
Ако количината припаѓа на количините мешан тип, тогаш неговото математичко очекување се изразува со формула од формата:
, (5.6.3)
каде што збирот се протега на сите точки во кои функцијата на дистрибуција е дисконтинуирана, а интегралот се протега на сите области во кои функцијата на дистрибуција е континуирана.
Покрај најважната од карактеристиките на позицијата - математичкото очекување - во пракса, понекогаш се користат и други карактеристики на позицијата, особено режимот и средната вредност на случајната променлива.
Режимот на случајна променлива е неговата најверојатна вредност. Терминот „најверојатна вредност“ строго кажано се однесува само на дисконтинуирани количини; за континуирана количина, режимот е вредноста на која густината на веројатноста е максимална. Да се согласиме да го означиме режимот со буквата. На сл. 5.6.1 и 5.6.2 го прикажуваат режимот за дисконтинуирани и континуирани случајни променливи, соодветно.
Ако дистрибутивниот полигон (крива на дистрибуција) има повеќе од еден максимум, распределбата се нарекува „мултимодална“ (сл. 5.6.3 и 5.6.4).
Понекогаш има распределби кои имаат минимум во средината наместо максимум (сл. 5.6.5 и 5.6.6). Ваквите распределби се нарекуваат „антимодални“. Пример за антимодална распределба е распределбата добиена во Пример 5, бр. 5.1.
Во општиот случај, режимот и математичкото очекување на случајна променлива не се совпаѓаат. Во конкретниот случај, кога распределбата е симетрична и модална (т.е. има режим) и има математичко очекување, тогаш таа се совпаѓа со режимот и центарот на симетрија на распределбата.
Често се користи друга карактеристика на позицијата - таканаречената средина на случајна променлива. Оваа карактеристика обично се користи само за континуирани случајни променливи, иако формално може да се дефинира за дисконтинуирана променлива.
Медијана на случајна променлива е нејзината вредност за која
тие. подеднакво е веројатно дека случајната променлива ќе биде помала или поголема од . Геометриски, медијаната е апсциса на точката во која областа ограничена со кривата на распределба е поделена на половина (сл. 5.6.7).
Мода- вредноста во збир на набљудувања што се јавува најчесто
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
тука X Mo е левата граница на модалниот интервал, h Mo е должината на модалниот интервал, f Mo-1 е фреквенцијата на премодалниот интервал, f Mo е фреквенцијата на модалниот интервал, f Mo+1 е фреквенција на пост-модалниот интервал.
Начинот на апсолутно континуирана дистрибуција е која било точка од локалниот максимум на густината на дистрибуцијата. За дискретни распределбирежим се смета за која било вредност a i, чија веројатност p i е поголема од веројатностите на соседните вредности
Медијанаконтинуирана случајна променлива Xсе повикува неговата вредност Me за која е подеднакво веројатно дека случајната променлива ќе биде помала или поголема Мех, т.е.
M e =(n+1)/2 P(X < Јас) = P(X > Мех)
Униформно распределен NSV
Униформа дистрибуција.Континуирана случајна променлива се нарекува рамномерно распределена на сегментот () ако функцијата на нејзината густина на дистрибуција (сл. 1.6, А) има форма:
Ознака: – SW се распределува подеднакво над .
Според тоа, функцијата на дистрибуција на сегментот (сл. 1.6, б):
Ориз. 1.6. Функции на случајна променлива распределена подеднакво на [ а,б]: А– густини на веројатност ѓ(x); б– дистрибуции Ф(x)
Математичкото очекување и дисперзија на дадена SV се одредуваат со изразите:
Поради симетријата на функцијата за густина, таа се совпаѓа со медијаната. Модови униформа дистрибуцијанема
Пример 4. Време на чекање за одговор телефонски повик– случајна променлива која го почитува законот за рамномерна распределба во интервалот од 0 до 2 минути. Најдете го интегралот и диференцијална функцијадистрибуција на оваа случајна променлива.
27. Нормален закон за распределба на веројатност
Континуирана случајна променлива x има нормална дистрибуција со параметри: m,s > 0, ако густината на распределбата на веројатноста ја има формата:
каде што: m – математичко очекување, s – стандардна девијација.
Нормалната дистрибуција по името се нарекува и Гаусова германски математичарГаус. Фактот дека случајната променлива има нормална распределба со параметри: m, се означува на следниов начин: N (m,s), каде што: m=a=M[X];
Доста често во формулите математичкото очекување се означува со А . Ако случајната променлива е распределена според законот N(0,1), тогаш таа се нарекува нормализирана или стандардизирана нормална големина. Функцијата за дистрибуција за неа има форма:
Графикот на густина на нормална распределба, која се нарекува нормална крива или Гаусова крива, е прикажан на сл. 5.4.
Ориз. 5.4. Нормална густина на дистрибуција
својстваслучајна променлива има нормален закондистрибуции.
1. Ако , тогаш да се најде веројатноста оваа вредност да падне во даден интервал ( x 1 x 2) се користи формулата:
2. Веројатноста дека отстапувањето на случајната променлива од нејзините математичко очекување нема да ја надмине вредноста (од абсолутна вредност), е еднаков.