„решавање фракциони рационални равенки“. ОДЗ

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

„Рационални равенки со полиноми“ е една од најчестите теми во задачите од тестот за обединет државен испит по математика. Поради оваа причина, треба да се посвети посебно внимание на нивното повторување. Многу ученици се соочуваат со проблем да го пронајдат дискриминаторот, да ги префрлат индикаторите од десната страна на левата и да ја доведат равенката до заеднички именител, поради што завршувањето на таквите задачи предизвикува потешкотии. Решавањето на рационални равенки во подготовката за обединетиот државен испит на нашата веб-страница ќе ви помогне брзо да се справите со проблемите од секаква сложеност и да го положите тестот со добри бои.

Изберете го едукативниот портал „Школково“ за успешно да се подготвите за Единствениот испит по математика!

За да ги знаете правилата за пресметување непознати и лесно да добиете точни резултати, користете ја нашата онлајн услуга. Порталот Школково е единствена платформа каде се собираат материјали потребни за подготовка за обединет државен испит. Нашите наставници ги систематизираа и во разбирлива форма ги презентираа сите математички правила. Дополнително, ги покануваме учениците од училиштата да се обидат да ги решат стандардните рационални равенки, чија основа постојано се ажурира и проширува.

За поефикасна подготовка за тестирање, препорачуваме да го следите нашиот посебен метод и да започнете со повторување на правилата и решавање на едноставни проблеми, постепено преминувајќи кон посложени. Така, матурантот ќе може да ги идентификува најтешките теми за себе и да се фокусира на нивно проучување.

Започнете со подготовките за последниот тест со Школково уште денес, а резултатите нема да чекаат долго! Изберете го најлесниот пример од дадените. Ако брзо го совладате изразот, преминете на потешка задача. На овој начин можете да го подобрите вашето знаење до точка на решавање на задачите на КОРИСТЕЊЕ во математиката на специјализирано ниво.

Обуката е достапна не само за дипломирани студенти од Москва, туку и за ученици од други градови. Поминете неколку часа дневно проучувајќи на нашиот портал, на пример, и многу наскоро ќе можете да се справите со равенки од секаква сложеност!

Веќе научивме како да решаваме квадратни равенки. Сега да ги прошириме проучуваните методи на рационални равенки.

Што е рационален израз? Веќе се сретнавме со овој концепт. Рационални изразисе изрази составени од броеви, променливи, нивните моќи и симболи на математички операции.

Според тоа, рационалните равенки се равенки од формата: , каде - рационални изрази.

Претходно, ги разгледавме само оние рационални равенки што може да се сведат на линеарни. Сега да ги погледнеме оние рационални равенки кои можат да се сведуваат на квадратни равенки.

Пример 1

Решете ја равенката: .

Решение:

Дропката е еднаква на 0 ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на 0, а неговиот именител не е еднаков на 0.

Го добиваме следниот систем:

Првата равенка на системот е квадратна равенка. Пред да го решиме, да ги поделиме сите негови коефициенти со 3. Добиваме:

Добиваме два корени: ; .

Бидејќи 2 никогаш не е еднакво на 0, мора да се исполнат два услови: . Бидејќи ниту еден од корените на равенката добиена погоре не се совпаѓа со неважечките вредности на променливата што се добиени при решавање на втората неравенка, тие и двете се решенија за оваа равенка.

Одговор:.

Значи, ајде да формулираме алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Поместете ги сите членови на левата страна така што десната страна ќе заврши со 0.

2. Трансформирајте и поедноставете ја левата страна, доведете ги сите дропки до заеднички именител.

3. Изедначете ја добиената дропка со 0 користејќи го следниот алгоритам: .

4. Запиши ги оние корени што се добиени во првата равенка и задоволи ја втората неравенка во одговорот.

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример 2

Решете ја равенката: .

Решение

На самиот почеток, ги поместуваме сите поими на левата страна, така што 0 останува на десната страна.

Сега да ја доведеме левата страна на равенката до заеднички именител:

Оваа равенка е еквивалентна на системот:

Првата равенка на системот е квадратна равенка.

Коефициенти на оваа равенка: . Ја пресметуваме дискриминаторот:

Добиваме два корени: ; .

Сега да ја решиме втората неравенка: производот на факторите не е еднаков на 0 ако и само ако ниту еден од факторите не е еднаков на 0.

Мора да се исполнат два услови: . Откривме дека од двата корени на првата равенка, само еден е погоден - 3.

Одговор:.

Во оваа лекција се сетивме што е рационален израз, а научивме и како да решаваме рационални равенки, кои се сведуваат на квадратни равенки.

Во следната лекција ќе ги разгледаме рационалните равенки како модели на реални ситуации, а исто така ќе ги разгледаме и проблемите со движење.

Библиографија

Башмаков М.И. Алгебра, 8 одделение. - М.: Образование, 2004 година.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други Алгебра, 8. 5th ed. - М.: Образование, 2010 година.
Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 одделение. Учебник за општообразовни институции. - М.: Образование, 2006 година.

Фестивал на педагошки идеи „Отворена лекција“ ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Равенките со самите дропки не се тешки и се многу интересни. Ајде да погледнеме во типовите на дробни равенки и како да ги решиме.

Како да се решаваат равенки со дропки - x во броителот

Ако е дадена фракциона равенка, каде што непознатата е во броителот, решението не бара дополнителни услови и се решава без непотребна мака. Општата форма на таквата равенка е x/a + b = c, каде што x е непознатата, a, b и c се обични броеви.

Најдете x: x/5 + 10 = 70.

За да ја решите равенката, треба да се ослободите од дропките. Помножете го секој член во равенката со 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се поништуваат, 10 и 70 се множат со 5 и добиваме: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Најдете x: x/5 + x/10 = 90.

Овој пример е малку покомплицирана верзија на првиот. Тука има две можни решенија.

Опција 1: Се ослободуваме од дропките со множење на сите членови од равенката со поголем именител, односно со 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
Опција 2: Додадете ја левата страна од равенката. x/5 + x/10 = 90. Заедничкиот именител е 10. Поделете 10 со 5, множете се со x, добиваме 2x. Поделете 10 со 10, помножете со x, добиваме x: 2x+x/10 = 90. Оттука 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Често се среќаваме со дробни равенки во кои x-овите се на спротивните страни на знакот за еднаквост. Во такви ситуации, потребно е сите дропки со X да се преместат на едната, а броевите на другата страна.

Најдете x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
Движете се 2x/5 надесно со спротивен знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
Намалуваме 5x/5 и добиваме: x = 130.

Како да се реши равенка со дропки - x во именителот

Овој тип на фракциони равенки бара запишување дополнителни услови. Наведувањето на овие услови е задолжителен и составен дел на правилната одлука. Ако не ги додадете, ризикувате, бидејќи одговорот (дури и ако е точен) може едноставно да не се брои.

Општата форма на дробни равенки, каде што x е во именителот, е: a/x + b = c, каде што x е непознатата, a, b, c се обични броеви. Ве молиме имајте предвид дека x не може да биде кој било број. На пример, x не може да биде еднаква на нула, бидејќи не може да се подели со 0. Ова е токму дополнителниот услов што мораме да го прецизираме. Ова се нарекува опсег на дозволени вредности, скратено како ODZ.

Најдете x: 15/x + 18 = 21.

Веднаш го пишуваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега кога е означено ODZ, ја решаваме равенката според стандардната шема, ослободувајќи се од дропките. Помножете ги сите членови од равенката со x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Честопати има равенки каде што именителот содржи не само x, туку и некоја друга операција со него, на пример собирање или одземање.

Најдете x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Веќе знаеме дека именителот не може да биде еднаков на нула, што значи x-3 ≠ 0. Се движиме -3 на десната страна, менувајќи го знакот „-“ во „+“ и добиваме дека x ≠ 3. ODZ е посочена.

Ја решаваме равенката, множиме сè со x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Поместете ги X-овите надесно, броевите налево: 24 = 3x => x = 8.

Ајде да продолжиме да зборуваме за решавање равенки. Во оваа статија ќе одиме во детали за рационални равенкии принципи на решавање на рационални равенки со една променлива. Прво, да откриеме кој тип на равенки се нарекуваат рационални, да дадеме дефиниција за цели рационални и фракциони рационални равенки и да дадеме примери. Следно, ќе добиеме алгоритми за решавање на рационални равенки и, се разбира, ќе разгледаме решенија за типични примери со сите потребни објаснувања.

Навигација на страница.

Врз основа на наведените дефиниции, даваме неколку примери на рационални равенки. На пример, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , сите се рационални равенки.

Од прикажаните примери, јасно е дека рационалните равенки, како и равенките од други видови, можат да бидат со една променлива или со две, три итн. променливи. Во следните параграфи ќе зборуваме за решавање на рационални равенки со една променлива. Решавање равенки во две променливиа нивниот голем број заслужуваат посебно внимание.

Покрај делењето на рационалните равенки со бројот на непознати променливи, тие се делат и на целобројни и фракциони. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува рационалната равенка целина, ако и неговата лева и десна страна се целобројни рационални изрази.

Дефиниција.

Ако барем еден од деловите на рационална равенка е фракционо изразување, тогаш таквата равенка се нарекува фракционо рационално(или фракционо рационално).

Јасно е дека цели равенки не содржат делење со променлива, напротив, фракционите рационални равенки нужно содржат делење со променлива (или променлива во именителот). Значи 3 x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– тоа се цели рационални равенки, двата нивни дела се цели изрази. A и x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 се примери на дробни рационални равенки.

Заклучувајќи ја оваа точка, да обрнеме внимание на фактот дека линеарните равенки и квадратните равенки познати до оваа точка се цели рационални равенки.

Решавање на цели равенки

Еден од главните пристапи за решавање на цели равенки е да се сведат на еквивалентни алгебарски равенки. Ова секогаш може да се направи со извршување на следните еквивалентни трансформации на равенката:

прво, изразот од десната страна на оригиналната цел бројна равенка се пренесува на левата страна со спротивен знак за да се добие нула на десната страна;
после ова, на левата страна од равенката добиената стандардна форма.

Резултатот е алгебарска равенка која е еквивалентна на оригиналната равенка со цел број. Така, во наједноставните случаи, решавањето на цели равенки се сведува на решавање на линеарни или квадратни равенки, а во општиот случај, на решавање на алгебарска равенка од степен n. За јасност, да го погледнеме решението на примерот.

Пример.

Најдете ги корените на целата равенка 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)-3.

Решение.

Да го намалиме решението на целата оваа равенка на решение на еквивалентна алгебарска равенка. За да го направите ова, прво, го пренесуваме изразот од десната страна налево, како резултат на тоа доаѓаме до равенката 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. И, второ, го трансформираме изразот формиран од левата страна во стандарден полином со пополнување на потребното: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Така, решавањето на првобитната цел бројна равенка се сведува на решавање на квадратната равенка x 2 −5·x−6=0.

Ние ја пресметуваме неговата дискриминантност D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, позитивно е, што значи дека равенката има два реални корени, кои ги наоѓаме користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка:

За да бидеме целосно сигурни, ајде да го направиме тоа проверка на пронајдените корени на равенката. Прво го проверуваме коренот 6, го заменуваме наместо променливата x во оригиналната цел број равенка: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)-3, што е исто, 63=63. Ова е валидна нумеричка равенка, затоа x=6 е навистина коренот на равенката. Сега го проверуваме коренот −1, имаме 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, од каде, 0=0 . Кога x=−1, првобитната равенка исто така се претвора во правилна нумеричка еднаквост, затоа, x=−1 е исто така корен на равенката.

Одговор:

6 , −1 .

Овде, исто така, треба да се забележи дека терминот „степен на целата равенка“ се поврзува со претставување на цела равенка во форма на алгебарска равенка. Да ја дадеме соодветната дефиниција:

Дефиниција.

Моќта на целата равенкасе нарекува степен на еквивалентна алгебарска равенка.

Според оваа дефиниција, целата равенка од претходниот пример има втор степен.

Ова можеше да биде крај на решавање на цели рационални равенки, ако не за една работа…. Како што е познато, решавањето на алгебарски равенки со степен над вториот е поврзано со значителни тешкотии, а за равенките од степен над четвртиот воопшто нема општи коренски формули. Затоа, за да се решат цели равенки од третиот, четвртиот и повисоките степени, често е неопходно да се прибегне кон други методи за решавање.

Во такви случаи, пристап кон решавање на цели рационални равенки врз основа на метод на факторизација. Во овој случај, се почитува следниов алгоритам:

прво, тие обезбедуваат дека има нула на десната страна на равенката за да го направат тоа, тие го пренесуваат изразот од десната страна на целата равенка налево;
потоа, добиениот израз на левата страна е претставен како производ на неколку фактори, што ни овозможува да преминеме на множество од неколку поедноставни равенки.

Дадениот алгоритам за решавање на цела равенка преку факторизација бара детално објаснување со помош на пример.

Пример.

Решете ја целата равенка (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Решение.

Прво, како и обично, го пренесуваме изразот од десната страна на левата страна на равенката, не заборавајќи да го смениме знакот, добиваме (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0. Овде е сосема очигледно дека не е препорачливо да се трансформира левата страна на добиената равенка во полином на стандардната форма, бидејќи тоа ќе даде алгебарска равенка од четвртиот степен на формата x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, чие решение е тешко.

Од друга страна, очигледно е дека на левата страна од добиената равенка можеме да x 2 −10 x+13 , притоа да ја прикажеме како производ. Ние имаме (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Добиената равенка е еквивалентна на првобитната цела равенка, а таа, пак, може да се замени со множество од две квадратни равенки x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0. Пронаоѓањето на нивните корени со помош на познати коренски формули преку дискриминатор не е тешко. Тие се посакуваните корени на првобитната равенка.

Одговор:

Исто така корисен за решавање на цели рационални равенки метод за воведување нова променлива. Во некои случаи, ви овозможува да се префрлите на равенки чиј степен е понизок од степенот на оригиналната целата равенка.

Пример.

Најдете ги вистинските корени на рационална равенка (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Решение.

Целата оваа рационална равенка да се сведе на алгебарска равенка, најблаго кажано, не е баш добра идеја, бидејќи во овој случај ќе дојдеме до потребата да се реши равенка од четврти степен што нема рационални корени. Затоа, ќе мора да барате друго решение.

Овде лесно може да се види дека можете да воведете нова променлива y и да го замените изразот x 2 +3·x со неа. Оваа замена нè води до целата равенка (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , која по поместување на изразот −2·(y−4) на левата страна и последователна трансформација на изразот формирана таму, се сведува на квадратна равенка y 2 +4·y+3=0. Корените на оваа равенка y=−1 и y=−3 се лесно да се најдат, на пример, тие можат да се изберат врз основа на теоремата инверзна на теоремата на Виета.

Сега преминуваме на вториот дел од методот на воведување нова променлива, односно на извршување на обратна замена. По извршувањето на обратната замена, добиваме две равенки x 2 +3 x=−1 и x 2 +3 x=−3, кои може да се препишат како x 2 +3 x+1=0 и x 2 +3 x+3 =0. Користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка, ги наоѓаме корените на првата равенка. А втората квадратна равенка нема реални корени, бидејќи нејзината дискриминанта е негативна (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Одговор:

Општо земено, кога се работи за цели равенки од високи степени, секогаш мора да бидеме подготвени да бараме нестандарден метод или вештачка техника за нивно решавање.

Решавање на дробни рационални равенки

Прво, ќе биде корисно да се разбере како да се решат фракционите рационални равенки од формата, каде што p(x) и q(x) се рационални изрази со цел број. И тогаш ќе покажеме како да го намалиме решението на другите фракционо рационални равенки на решението на равенките од наведениот тип.

Еден пристап за решавање на равенката се заснова на следнава изјава: бројната дропка u/v, каде што v е број кој не е нула (во спротивно ќе наидеме на , кој е недефиниран), е еднаков на нула ако и само ако неговиот броител е еднакво на нула, тогаш е, ако и само ако u=0 . Врз основа на ова тврдење, решавањето на равенката се сведува на исполнување на два услова p(x)=0 и q(x)≠0.

Овој заклучок одговара на следново алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка. За да решите фракциона рационална равенка на формата, ви треба

реши ја целата рационална равенка p(x)=0 ;
и проверете дали условот q(x)≠0 е задоволен за секој пронајден корен, додека

ако е точно, тогаш овој корен е коренот на првобитната равенка;
ако не е задоволен, тогаш овој корен е вонреден, односно не е коренот на првобитната равенка.

Да погледнеме пример за користење на најавениот алгоритам при решавање на фракциона рационална равенка.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Ова е фракциона рационална равенка, и од формата , каде што p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Според алгоритмот за решавање фракциони рационални равенки од овој тип, прво треба да ја решиме равенката 3 x−2=0. Ова е линеарна равенка чиј корен е x=2/3.

Останува да се провери овој корен, односно да се провери дали го задоволува условот 5 x 2 −2≠0. Го заменуваме бројот 2/3 во изразот 5 x 2 −2 наместо x, и добиваме . Условот е исполнет, па x=2/3 е коренот на првобитната равенка.

Одговор:

2/3 .

Можете да пристапите кон решавање на фракциона рационална равенка од малку поинаква позиција. Оваа равенка е еквивалентна на целобројната равенка p(x)=0 на променливата x од првобитната равенка. Тоа е, можете да се држите до ова алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка :

реши ја равенката p(x)=0 ;
најдете го ODZ на променливата x;
земаат корени кои припаѓаат на регионот на прифатливи вредности - тие се посакуваните корени на оригиналната фракциона рационална равенка.

На пример, да решиме фракциона рационална равенка користејќи го овој алгоритам.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Прво ја решаваме квадратната равенка x 2 −2·x−11=0. Неговите корени може да се пресметаат со користење на коренската формула за дури вториот коефициент, што го имаме D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, И .

Второ, го наоѓаме ODZ на променливата x за првобитната равенка. Се состои од сите броеви за кои x 2 +3·x≠0, што е исто како x·(x+3)≠0, од каде x≠0, x≠−3.

Останува да се провери дали корените пронајдени во првиот чекор се вклучени во ODZ. Очигледно да. Според тоа, оригиналната фракциона рационална равенка има два корени.

Одговор:

Забележете дека овој пристап е попрофитабилен од првиот ако ODZ е лесно да се најде, и е особено корисен ако корените на равенката p(x) = 0 се ирационални, на пример, или рационални, но со прилично голем броител и / или именител, на пример, 127/1101 и −31/59. Ова се должи на фактот дека во такви случаи, проверката на условот q(x)≠0 ќе бара значителен пресметковен напор и полесно е да се исклучат надворешните корени со помош на ODZ.

Во други случаи, при решавање на равенката, особено кога корените на равенката p(x) = 0 се цели броеви, поисплатливо е да се користи првиот од дадените алгоритми. Односно, препорачливо е веднаш да се најдат корените на целата равенка p(x)=0, а потоа да се провери дали условот q(x)≠0 е задоволен за нив, наместо да се најде ODZ, а потоа да се реши равенката p(x)=0 на овој ODZ . Ова се должи на фактот дека во такви случаи обично е полесно да се провери отколку да се најде ДЗ.

Да го разгледаме решението на два примери за да ги илустрираме наведените нијанси.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Прво, да ги најдеме корените на целата равенка (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, составена со помош на броителот на дропката. Левата страна на оваа равенка е производ, а десната страна е нула, затоа, според методот на решавање равенки преку факторизација, оваа равенка е еквивалентна на множество од четири равенки 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Три од овие равенки се линеарни, а едната е квадратна, можеме да ги решиме. Од првата равенка наоѓаме x=1/2, од втората - x=6, од третата - x=7, x=−2, од четвртата - x=−1.

Со пронајдените корени, сосема е лесно да се провери дали именителот на дропот од левата страна на првобитната равенка исчезнува, но одредувањето на ODZ, напротив, не е толку едноставно, бидејќи за ова ќе треба да решите алгебарска равенка од петти степен. Затоа, ќе го напуштиме наоѓањето на ОДЗ во корист на проверка на корените. За да го направите ова, ги заменуваме еден по еден наместо променливата x во изразот x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, добиени по замена и споредете ги со нула: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Така, 1/2, 6 и −2 се саканите корени на првобитната фракциона рационална равенка, а 7 и −1 се надворешни корени.

Одговор:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Најдете ги корените на фракционата рационална равенка.

Решение.

Прво, да ги најдеме корените на равенката (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки: квадрат 5·x 2 −7·x−1=0 и линеарна x−2=0. Користејќи ја формулата за корените на квадратна равенка, наоѓаме два корени, а од втората равенка имаме x=2.

Проверката дали именителот оди на нула при пронајдените вредности на x е доста непријатно. И одредувањето на опсегот на дозволените вредности на променливата x во оригиналната равенка е прилично едноставно. Затоа ќе дејствуваме преку ОДЗ.

Во нашиот случај, ODZ на променливата x од првобитната фракциона рационална равенка се состои од сите броеви освен оние за кои условот x 2 +5·x−14=0 е задоволен. Корените на оваа квадратна равенка се x=−7 и x=2, од кои извлекуваме заклучок за ODZ: тој се состои од сите x такви што .

Останува да се провери дали пронајдените корени и x=2 припаѓаат на опсегот на прифатливи вредности. Корените припаѓаат, значи тие се корени на првобитната равенка, а x=2 не припаѓа, значи, тоа е надворешен корен.

Одговор:

Исто така, ќе биде корисно да се задржиме одделно на случаите кога во фракционата рационална равенка на формата има број во броителот, односно кога p(x) е претставено со некој број. При што

ако овој број не е нула, тогаш равенката нема корени, бидејќи дропка е еднаква на нула ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на нула;
ако овој број е нула, тогаш коренот на равенката е кој било број од ODZ.

Пример.

Решение.

Бидејќи броителот на дропката од левата страна на равенката содржи број што не е нула, тогаш за кој било x вредноста на оваа дропка не може да биде еднаква на нула. Затоа, оваа равенка нема корени.

Одговор:

без корени.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Броителот на дропката од левата страна на оваа фракциона рационална равенка содржи нула, така што вредноста на оваа дропка е нула за кој било x за кој има смисла. Со други зборови, решението на оваа равенка е која било вредност на x од ODZ на оваа променлива.

Останува да се одреди овој опсег на прифатливи вредности. Ги вклучува сите вредности на x за кои x 4 +5 x 3 ≠0. Решенијата на равенката x 4 +5 x 3 =0 се 0 и −5, бидејќи оваа равенка е еквивалентна на равенката x 3 (x+5)=0, а таа пак е еквивалентна на комбинацијата на две равенки x 3 =0 и x +5=0, од каде се видливи овие корени. Затоа, саканиот опсег на прифатливи вредности е кој било x освен x=0 и x=−5.

Така, фракционата рационална равенка има бесконечно многу решенија, кои се сите броеви освен нула и минус пет.

Одговор:

Конечно, време е да зборуваме за решавање на фракциони рационални равенки со произволна форма. Тие можат да се напишат како r(x)=s(x), каде што r(x) и s(x) се рационални изрази, а барем еден од нив е дробен. Гледајќи напред, да речеме дека нивното решение се сведува на решавање на равенки од формата што веќе ни е позната.

Познато е дека префрлањето член од еден дел од равенката во друг со спротивен знак доведува до еквивалентна равенка, затоа равенката r(x)=s(x) е еквивалентна на равенката r(x)−s(x )=0.

Исто така, знаеме дека секој , идентично еднаков на овој израз, е можен. Така, секогаш можеме да го трансформираме рационалниот израз од левата страна на равенката r(x)−s(x)=0 во идентично еднаква рационална дропка од формата .

Така, се префрламе од првобитната фракциона рационална равенка r(x)=s(x) на равенката, а нејзиното решение, како што дознавме погоре, се сведува на решавање на равенката p(x)=0.

Но, тука е неопходно да се земе предвид фактот дека кога се заменува r(x)−s(x)=0 со , а потоа со p(x)=0, опсегот на дозволените вредности на променливата x може да се прошири .

Следствено, првобитната равенка r(x)=s(x) и равенката p(x)=0 до која стигнавме може да испаднат нееднакви и со решавање на равенката p(x)=0 можеме да добиеме корени тоа ќе бидат надворешни корени на првобитната равенка r(x)=s(x) . Можете да идентификувате и да не вклучите надворешни корени во одговорот или со проверка или со проверка дали припаѓаат на ODZ на првобитната равенка.

Ајде да ги сумираме овие информации во алгоритам за решавање на фракциона рационална равенка r(x)=s(x). За да ја решите дробната рационална равенка r(x)=s(x) ви треба

Добијте нула десно со поместување на изразот од десната страна со спротивен знак.
Изведете операции со дропки и полиноми на левата страна на равенката, со што ќе ја трансформирате во рационална дропка од формата.
Решете ја равенката p(x)=0.
Идентификувајте и елиминирајте ги надворешните корени, што се прави со нивна замена во првобитната равенка или со проверка на нивната припадност кон ODZ на првобитната равенка.

За поголема јасност, ќе го прикажеме целиот синџир на решавање на фракциони рационални равенки:
.

Да ги погледнеме решенијата на неколку примери со детално објаснување на процесот на решавање со цел да се разјасни дадениот блок на информации.

Пример.

Реши фракциона рационална равенка.

Решение.

Ќе дејствуваме во согласност со штотуку добиениот алгоритам за решение. И прво ги поместуваме поимите од десната страна на равенката налево, како резултат на тоа преминуваме на равенката.

Во вториот чекор, треба да го претвориме фракциониот рационален израз од левата страна на добиената равенка во форма на дропка. За да го направите ова, ги намалуваме рационалните дропки на заеднички именител и го поедноставуваме добиениот израз: . Значи доаѓаме до равенката.

Во следниот чекор треба да ја решиме равенката −2·x−1=0. Наоѓаме x=−1/2.

Останува да се провери дали пронајдениот број −1/2 не е надворешен корен од првобитната равенка. За да го направите ова, можете да ја проверите или пронајдете VA на променливата x од оригиналната равенка. Ајде да ги демонстрираме двата пристапи.

Да почнеме со проверка. Бројот −1/2 го заменуваме во првобитната равенка наместо променливата x и го добиваме истото, −1=−1. Замената ја дава точната бројна еднаквост, па x=−1/2 е коренот на првобитната равенка.

Сега ќе покажеме како се изведува последната точка од алгоритмот преку ODZ. Опсегот на дозволени вредности на првобитната равенка е множеството на сите броеви освен −1 и 0 (при x=−1 и x=0 именителот на дропките исчезнуваат). Коренот x=−1/2 пронајден во претходниот чекор припаѓа на ODZ, затоа, x=−1/2 е коренот на првобитната равенка.

Одговор:

−1/2 .

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример.

Најдете ги корените на равенката.

Решение.

Треба да решиме фракциона рационална равенка, ајде да ги поминеме сите чекори на алгоритмот.

Прво, го поместуваме терминот од десната страна налево, добиваме .

Второ, го трансформираме изразот формиран од левата страна: . Како резултат на тоа, доаѓаме до равенката x=0.

Неговиот корен е очигледен - тој е нула.

На четвртиот чекор, останува да дознаеме дали пронајдениот корен е надвор од оригиналната фракциона рационална равенка. Кога ќе се замени во првобитната равенка, се добива изразот. Очигледно, нема смисла бидејќи содржи делење со нула. Оттука заклучуваме дека 0 е надворешен корен. Затоа, првобитната равенка нема корени.

7, што води до равенка. Од ова можеме да заклучиме дека изразот во именителот на левата страна мора да биде еднаков на оној на десната страна, односно . Сега од двете страни на тројката одземаме: . По аналогија, од каде и понатаму.

Проверката покажува дека двата пронајдени корени се корени на првобитната фракциона рационална равенка.

Одговор:

Библиографија.

Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа, дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.