Формули на степени со различни основи. Објави со ознака „примери за својства на степени со природни експоненти“

Очигледно е дека броевите со моќност може да се додаваат како и другите количини , со додавање на нив еден по друг со нивните знаци.

Значи, збирот на a 3 и b 2 е 3 + b 2.
Збирот на 3 - b n и h 5 -d 4 е 3 - b n + h 5 - d 4.

Шансите еднакви моќи на идентични променливиможе да се додаде или одземе.

Значи, збирот на 2a 2 и 3a 2 е еднаков на 5a 2.

Исто така, очигледно е дека ако земете два квадрати a, или три квадрати a, или пет квадрати a.

Но, степени различни променливиИ различни степени идентични променливи, мора да се состави со нивно додавање со нивните знаци.

Значи, збирот на 2 и 3 е збир на 2 + а 3.

Очигледно е дека квадратот на a, и коцката на a, не е еднаков на двапати од квадратот на a, туку на двојно поголема од коцката на a.

Збирот на a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.

Одземањеовластувањата се извршуваат на ист начин како и собирањето, со исклучок на тоа што знаците на подземјето мора да се менуваат соодветно.

Или:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (а - ч) 6 - 2 (а - ч) 6 = 3 (а - ч) 6

Умножување на моќи

Броевите со сили може да се множат, како и другите величини, со пишување еден по друг, со или без знак за множење меѓу нив.

Така, резултатот од множење на a 3 со b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатот во последниот пример може да се подреди со додавање идентични променливи.
Изразот ќе има форма: a 5 b 5 y 3.

Со споредување на неколку броеви (променливи) со моќности, можеме да видиме дека ако било кои два од нив се помножат, тогаш резултатот е број (променлива) со моќност еднаква на износстепени на поими.

Значи, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Овде 5 е моќта на резултатот од множењето, еднаков на 2 + 3, збирот на силите на членовите.

Значи, a n .a m = a m+n .

За a n, a се зема како фактор онолку пати колку што е моќта на n;

А m се зема како фактор онолку пати колку што степенот m е еднаков на;

Затоа, моќи со исти основи може да се множат со собирање на експонентите на моќите.

Значи, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Множете се (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Одговор: x 4 - y 4.
Множете се (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ова правило важи и за броеви чии експоненти се негативен.

1. Значи, a -2 .a -3 = a -5 . Ова може да се напише како (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се помножат со a - b, резултатот ќе биде a 2 - b 2: т.е

Резултатот од множење на збирот или разликата на два броја е еднаков на збирот или разликата на нивните квадрати.

Ако ги помножите збирот и разликата на два броја подигнати на квадрат, резултатот ќе биде еднаков на збирот или разликата на овие броеви во четвртистепени.

Значи, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Поделба на степени

Броевите со моќност може да се поделат како и другите броеви, со одземање од дивидендата или со ставање во форма на дропка.

Така, a 3 b 2 поделено со b 2 е еднакво на a 3.

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Пишувањето 5 поделено со 3 изгледа како $\frac(a^5)(a^3)$. Но, ова е еднакво на 2. Во низа бројки
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
кој било број може да се подели со друг, а експонентот ќе биде еднаков на разликаиндикатори за деливи броеви.

Кога се делат степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат..

Значи, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Тоа е, $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоа е, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Правилото важи и за броевите со негативенвредности на степени.
Резултатот од делењето на -5 со -3 е -2.
Исто така, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (аа) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Неопходно е многу добро да се совлада множењето и делењето на силите, бидејќи таквите операции се многу широко користени во алгебрата.

Примери за решавање на примери со дропки кои содржат броеви со моќи

1. Намали ги експонентите за $\frac(5a^4)(3a^2)$ Одговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете ги експонентите за $\frac(6x^6)(3x^5)$. Одговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете ги експонентите a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и доведете ги до заеднички именител.
a 2 .a -4 е a -2 првиот броител.
a 3 .a -3 е 0 = 1, вториот броител.
a 3 .a -4 е -1, заеднички броител.
По поедноставувањето: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Намалете ги показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и доведете до заеднички именител.
Одговор: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2.

5. Помножете (a 3 + b)/b 4 со (a - b)/3.

6. Помножете (a 5 + 1)/x 2 со (b 2 - 1)/(x + a).

7. Помножете b 4 /a -2 со h -3 /x и a n /y -3 .

8. Поделете 4 /y 3 со 3 /y 2 . Одговор: а/г.

9. Поделете (h 3 - 1)/d 4 со (d n + 1)/h.

Прво ниво

Степен и неговите својства. Сеопфатен водич (2019)

Зошто се потребни дипломи? Каде ќе ви требаат? Зошто треба да одвоите време да ги проучувате?

За да дознаете сè за дипломите, за што се потребни и како да го користите вашето знаење во секојдневниот живот, прочитајте ја оваа статија.

И, се разбира, познавањето на дипломите ќе ве приближи до успешно полагање на Единствениот државен испит или унифициран државен испит и до влезот на универзитетот од вашите соништа.

Ајде да одиме... (Ајде да одиме!)

Важна забелешка! Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. За да го направите ова, притиснете CTRL + F5 (на Windows) или Cmd + R (на Mac).

ПРВО НИВО

Експоненцијата е математичка операција исто како собирање, одземање, множење или делење.

Сега ќе објаснам сè на човечки јазик користејќи многу едноставни примери. Внимавај. Примерите се елементарни, но објаснуваат важни работи.

Да почнеме со додавање.

Тука нема што да се објаснува. Веќе знаете сè: ние сме осуммина. Секој има две шишиња кола. Колку кола има? Така е - 16 шишиња.

Сега множење.

Истиот пример со кола може да се напише поинаку: . Математичарите се лукави и мрзливи луѓе. Тие прво забележуваат некои шаблони, а потоа смислуваат начин да ги „набројат“ побрзо. Во нашиот случај, забележаа дека секој од осумте луѓе има ист број шишиња кола и смислија техника наречена множење. Се согласувам, се смета дека е полесно и побрзо отколку.

Значи, за да броите побрзо, полесно и без грешки, само треба да запомните табела за множење. Секако, сè можете побавно, потешко и со грешки! Но…

Еве ја табелата за множење. Повторете.

И уште една поубава:

Кои други паметни трикови за броење смислиле мрзливите математичари? Десно - подигање на број на моќ.

Подигнување на број на моќ

Ако треба да помножите број сам по себе пет пати, тогаш математичарите велат дека треба да го подигнете тој број на петти степен. На пример,. Математичарите паметат дека два до петта сила е ... И тие ги решаваат таквите проблеми во нивните глави - побрзо, полесно и без грешки.

Сè што треба да направите е запомнете што е означено во боја во табелата со моќности на броеви. Верувај ми, ова ќе ти го олесни животот многу.

Патем, зошто се вика втор степен? квадратбројки, а третиот - коцка? Што значи тоа? Многу добро прашање. Сега ќе имате и квадрати и коцки.

Пример број 1 од реалниот живот

Да почнеме со квадратот или втората моќност на бројот.

Замислете квадрат базен со димензии еден метар на еден метар. Базенот е на вашата дача. Топло е и навистина сакам да пливам. Но... базенот нема дно! Треба да го покриете дното на базенот со плочки. Колку плочки ви требаат? За да го одредите ова, треба да ја знаете долната површина на базенот.

Можете едноставно да пресметате со покажување на прстот дека дното на базенот се состои од метар по метар коцки. Ако имате плочки еден метар по еден метар, ќе ви требаат парчиња. Лесно е... Ама каде сте виделе вакви плочки? Плочката најверојатно ќе биде цм по см, а потоа ќе ве измачуваат „броејќи со прст“. Потоа треба да се множите. Така, на едната страна од дното на базенот ќе поставиме плочки (парчиња), а од другата, исто така, плочки. Помножете се со и добивате плочки ().

Дали забележавте дека за да ја одредиме површината на дното на базенот го помноживме истиот број сам по себе? Што значи тоа? Бидејќи го множиме истиот број, можеме да ја користиме техниката „експоненција“. (Се разбира, кога имате само два броја, сепак треба да ги помножите или да ги подигнете на јачина. Но, ако имате многу од нив, тогаш нивното подигање на јачина е многу полесно и исто така има помалку грешки во пресметките За Единствениот државен испит, ова е многу важно).
Значи, триесет до втората моќ ќе биде (). Или можеме да кажеме дека ќе биде триесет квадрат. Со други зборови, вториот степен на број секогаш може да се претстави како квадрат. И обратно, ако видите квадрат, тој СЕКОГАШ е втор степен на некој број. Квадрат е слика на вториот степен на број.

Пример број 2 од реалниот живот

Еве една задача за вас: избројте колку квадрати има на шаховската табла користејќи го квадратот на бројот... На едната страна од ќелиите и на другата страна исто така. За да го пресметате нивниот број, треба да помножите осум со осум или... ако забележите дека шаховска табла е квадрат со страна, тогаш можете да квадратите осум. Ќе добиете клетки. () Значи?

Пример број 3 од реалниот живот

Сега коцката или третата сила на некој број. Истиот базен. Но, сега треба да откриете колку вода ќе треба да се истури во овој базен. Треба да ја пресметате јачината на звукот. (Волуменот и течностите, инаку, се мерат во кубни метри. Неочекувано, нели?) Нацртајте базен: дното е со големина од еден метар и длабок метар и обидете се да пресметате колку коцки со големина од метар на метар ќе се вклопуваат во вашиот базен.

Само покажете со прстот и избројте! Еден, два, три, четири...дваесет и два, дваесет и три...Колку добивте? Не е изгубено? Дали е тешко да се брои со прст? Па тоа! Земете пример од математичарите. Тие се мрзливи, па забележале дека за да се пресмета волуменот на базенот, треба да се помножат неговата должина, ширина и висина една со друга. Во нашиот случај, волуменот на базенот ќе биде еднаков на коцки... Полесно, нели?

Сега замислете колку се мрзливи и лукави математичарите ако го поедностават и ова. Сè сведовме на една акција. Забележале дека должината, ширината и висината се еднакви и дека истиот број се множи сам по себе... Што значи ова? Ова значи дека можете да ги искористите предностите на степенот. Значи, она што некогаш сте го избројале со прстот, тие го прават во една акција: три коцки се еднакви. Се пишува вака: .

Останува само запомнете ја табелата со степени. Освен, се разбира, ако не сте мрзливи и лукави како математичари. Ако сакате да работите напорно и да правите грешки, можете да продолжите да броите со прст.

Па, за конечно да ве убедам дека дипломите ги измислиле откажувачите и итрите за да си ги решат животните проблеми, а не да ви создаваат проблеми, еве уште неколку примери од животот.

Пример број 4 од реалниот живот

Имате милион рубли. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште еден милион. Односно, на секој милион имате двојки на почетокот на секоја година. Колку пари ќе имате за години? Ако сега седите и „броите со прст“, тогаш сте многу трудољубива личност и... глупав. Но, најверојатно ќе дадете одговор за неколку секунди, бидејќи сте паметни! Значи, во првата година - два помножени со два... во втората година - што се случи, со уште две, во третата година... Стоп! Забележавте дека бројот се множи сам по себе пати. Значи два до петта сила е милион! Сега замислете дека имате натпревар и оној што може најбрзо да брои ќе ги добие овие милиони... Вреди да се потсетиме на моќта на бројките, не мислите?

Пример број 5 од реалниот живот

Имаш милион. На почетокот на секоја година, за секој милион што ќе го заработите, заработувате уште два. Одлично нели? Секој милион е тројно зголемен. Колку пари ќе имате за една година? Ајде да броиме. Првата година - помножете се со, потоа резултатот со друга... Веќе е досадно, бидејќи веќе сте разбрале сè: три се множат сами по себе пати. Значи на четвртата сила е еднаква на милион. Треба само да запомните дека три до четврта моќ е или.

Сега знаете дека со подигање број на моќ ќе си го олесните животот многу. Ајде дополнително да погледнеме што можете да направите со дипломите и што треба да знаете за нив.

Поими и поими... за да не се мешаме

Значи, прво, ајде да ги дефинираме концептите. Што мислиш, што е експонент? Тоа е многу едноставно - тоа е бројот што е „на врвот“ на моќта на бројот. Не научно, но јасно и лесно за паметење...

Па, во исто време, што таков степен основа? Уште поедноставно - ова е бројот што се наоѓа подолу, во основата.

Еве еден цртеж за добра мерка.

Па, генерално, за да се генерализира и подобро да се запамети... Степенот со основа „ ” и експонент „ ” се чита како „до степен“ и се пишува вака:

Моќност на број со природен експонент

Веројатно веќе погодивте: бидејќи експонентот е природен број. Да, но што е тоа природен број? Основно! Природни броеви се оние броеви што се користат при броењето при наведување на предмети: еден, два, три... Кога броиме предмети, не велиме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. Исто така, не велиме: „една третина“ или „нула точка пет“. Ова не се природни броеви. Кои бројки мислите дека се овие?

Се однесуваат на броеви како „минус пет“, „минус шест“, „минус седум“. цели броеви.Општо земено, цели броеви ги вклучуваат сите природни броеви, броеви спротивни на природните броеви (односно земени со знак минус) и бројот. Нулата е лесно да се разбере - тоа е кога нема ништо. Што значат негативни („минус“) броеви? Но, тие беа измислени првенствено за да се наведат долгови: ако имате салдо на телефонот во рубли, тоа значи дека му должите на операторот рубли.

Сите дропки се рационални броеви. Како се појавија, мислиш? Многу едноставно. Пред неколку илјади години, нашите предци открија дека им недостасуваат природни броеви за мерење на должина, тежина, површина итн. И тие дојдоа до рационални броеви... Интересно, нели?

Има и ирационални броеви. Кои се овие бројки? Накратко, тоа е бесконечна децимална дропка. На пример, ако го поделите обемот на кругот со неговиот дијаметар, ќе добиете ирационален број.

Резиме:

Дозволете ни да го дефинираме концептот на степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Секој број до првата моќност е еднаков на самиот себе:
Да се квадрира број значи да се помножи сам со себе:
Да се коцка број значи да се помножи со себе три пати:

Дефиниција.Подигнувањето на број до природна моќ значи множење на бројот сам по себе:
.

Својства на степени

Од каде потекнуваат овие имоти? Сега ќе ти покажам.

Ајде да видиме: што е тоа И ?

А-приоритет:

Колку множители има вкупно?

Многу е едноставно: додадовме множители на факторите, а резултатот е множители.

Но, по дефиниција, ова е моќ на број со експонент, односно: , што требаше да се докаже.

Пример: Поедноставете го изразот.

Решение:

Пример:Поедноставете го изразот.

Решение:Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини!
Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

само за производ на моќите!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

2. тоа е тоа та моќ на број

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова во целост:

Да се потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме?

Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа

До овој момент разговаравме само каков треба да биде експонентот.

Но, што треба да биде основата?

Во овластувањата на природен индикаторосновата може да биде кој било број. Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни.

Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ? Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со, тоа функционира.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Дали се снајде?

Еве ги одговорите: Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен!

6 примери за вежбање

Анализа на решението 6 примери

Ако ја игнорираме осмата сила, што гледаме овде? Да се потсетиме на програмата за 7-мо одделение. Па, се сеќаваш ли? Ова е формулата за скратено множење, имено разликата на квадратите! Добиваме:

Но, како да се направи тоа? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради.

Но, важно е да се запамети: сите знаци се менуваат во исто време!

Да се вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Целиги нарекуваме природните броеви, нивните спротивности (односно земени со знакот „“) и бројот.

позитивен цел број, и не се разликува од природното, тогаш сè изгледа токму како во претходниот дел.

Сега да ги погледнеме новите случаи. Да почнеме со индикатор еднаков на.

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден:

Како и секогаш, да се запрашаме: зошто е тоа така?

Ајде да разгледаме одреден степен со основа. Земете, на пример, и множете се со:

Значи, го помноживме бројот со, и го добивме истото како што беше - . Со кој број треба да се помножи за ништо да не се промени? Така е, на. Средства.

Можеме да го сториме истото со произволен број:

Да го повториме правилото:

Секој број со нулта моќност е еднаков на еден.

Но, постојат исклучоци од многу правила. И тука е исто така - ова е број (како основа).

Од една страна, мора да биде еднаков на кој било степен - колку и да помножите нула само по себе, сепак ќе добиете нула, ова е јасно. Но, од друга страна, како и секој број со нулта моќност, тој мора да биде еднаков. Значи, колку од ова е вистина? Математичарите решија да не се мешаат и одбија да ја подигнат нулата на нулта моќност. Тоа е, сега не само што не можеме да делиме со нула, туку и да ја подигнеме на нулта моќност.

Ајде да продолжиме. Покрај природните броеви и броеви, цели броеви вклучуваат и негативни броеви. За да разбереме што е негативна моќност, ајде да сториме како минатиот пат: помножете некој нормален број со истиот број до негативна моќност:

Оттука е лесно да се изрази она што го барате:

Сега да го прошириме добиеното правило до произволен степен:

Значи, ајде да формулираме правило:

Број со негативна моќност е реципроцитет на истиот број со позитивна моќност. Но во исто време Основата не може да биде нула:(бидејќи не можете да делите со).

Да резимираме:

I. Изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

II. Секој број со нулта моќност е еднаков на еден: .

III. Број кој не е еднаков на нула на негативна моќност е инверзна на истиот број на позитивна моќност: .

Задачи за независно решение:

Па, како и обично, примери за независни решенија:

Анализа на проблеми за независно решение:

Знам, знам, бројките се страшни, но на обединет државен испит треба да бидете подготвени на се! Решете ги овие примери или анализирајте ги нивните решенија ако не сте можеле да ги решите и ќе научите лесно да се справувате со нив на испитот!

Ајде да продолжиме да го шириме опсегот на броеви „погодни“ како експонент.

Сега да размислиме рационални броеви.Кои броеви се нарекуваат рационални?

Одговор: се што може да се претстави како дропка, каде и се цели броеви, и.

Да се разбере што е тоа "фракционо степен", разгледајте ја дропката:

Ајде да ги подигнеме двете страни на равенката на моќност:

Сега да се потсетиме на правилото за "степен до степен":

Која бројка мора да се подигне на моќ за да се добие?

Оваа формулација е дефиниција за коренот на тиот степен.

Дозволете ми да ве потсетам: коренот на та сила на број () е број што, кога ќе се подигне на моќ, е еднаков на.

Односно, коренот на та моќ е инверзната операција на подигање до моќност: .

Излегува дека. Очигледно, овој посебен случај може да се прошири: .

Сега го додаваме броителот: што е тоа? Одговорот е лесно да се добие користејќи го правилото моќ-на-моќ:

Но, дали основата може да биде кој било број? На крајот на краиштата, коренот не може да се извлече од сите броеви.

Никој!

Да се потсетиме на правилото: секој број подигнат до парен број е позитивен број. Тоа е, невозможно е да се извлечат дури и корени од негативни броеви!

Тоа значи дека таквите броеви не можат да се подигнат на фракциона сила со парен именител, односно изразот нема смисла.

Што е со изразот?

Но, тука се појавува проблем.

Бројот може да се претстави во форма на други, скратливи фракции, на пример, или.

И излегува дека постои, но не постои, но ова се само два различни записи со ист број.

Или друг пример: еднаш, тогаш можете да го запишете. Но, ако го запишеме индикаторот поинаку, повторно ќе влеземе во неволја: (односно, добивме сосема поинаков резултат!).

За да избегнеме такви парадокси, размислуваме само позитивен базен експонент со дробен експонент.

Па ако:

- природен број;
- цел број;

Примери:

Рационалните експоненти се многу корисни за трансформација на изрази со корени, на пример:

5 примери за вежбање

Анализа на 5 примери за обука

Па, сега доаѓа најтешкиот дел. Сега ќе го сфатиме степен со ирационален експонент.

Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како за степен со рационален експонент, со исклучок

На крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви кои не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (односно, ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини.

На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати;

...број до нултата моќност- ова е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно тие сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“ , имено број;

...негативен цел број- како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број.

Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии, ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.

КАДЕ СМЕ СИГУРНИ ДЕКА ЌЕ ОДИШ! (ако научиш да решаваш вакви примери :))

На пример:

Одлучете сами:

Анализа на решенија:

1. Да почнеме со вообичаеното правило за подигање на моќ на моќ:

Сега погледнете го индикаторот. Не те потсетува на ништо? Да се потсетиме на формулата за скратено множење на разликата на квадратите:

Во овој случај,

Излегува дека:

Одговор: .

2. Дропките во експоненти ги намалуваме на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример:

Одговор: 16

3. Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

НАПРЕДНО НИВО

Одредување на степен

Степенот е израз на формата: , каде што:

— степен база;
- експонент.

Степен со природен индикатор (n = 1, 2, 3,...)

Подигнувањето на број до природната моќност n значи множење на бројот сам по себе пати:

Степен со цел број експонент (0, ±1, ±2,...)

Ако експонентот е позитивен цел бројброј:

Градба до нулта степен:

Изразот е неопределен, затоа што, од една страна, до кој било степен е ова, а од друга страна, кој било број до ти степен е ова.

Ако експонентот е негативен цел бројброј:

(бидејќи не можете да делите со).

Уште еднаш за нули: изразот не е дефиниран во случајот. Ако тогаш.

Примери:

Моќ со рационален експонент

- природен број;
- цел број;

Примери:

Својства на степени

За да го олесниме решавањето на проблемите, ајде да се обидеме да разбереме: од каде потекнуваат овие својства? Да ги докажеме.

Ајде да видиме: што е и?

А-приоритет:

Значи, на десната страна на овој израз го добиваме следниот производ:

Но по дефиниција тоа е моќ на број со експонент, односно:

Q.E.D.

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : .

Пример : Поедноставете го изразот.

Решение : Важно е да се напомене дека во нашето владеење Задолжителномора да има исти причини. Затоа, ги комбинираме моќите со основата, но таа останува посебен фактор:

Друга важна забелешка: ова правило - само за производ на моќи!

Во никој случај не можете да го напишете тоа.

Исто како и со претходното својство, да се свртиме кон дефиницијата за степен:

Ајде да ја прегрупираме оваа работа вака:

Излегува дека изразот се множи сам по себе пати, односно, според дефиницијата, ова е та сила на бројот:

Во суштина, ова може да се нарече „вадење на индикаторот од загради“. Но, никогаш не можете да го направите ова вкупно: !

Да се потсетиме на скратените формули за множење: колку пати сакавме да пишуваме? Но, сепак, ова не е вистина.

Моќ со негативна основа.

До овој момент разговаравме само како треба да биде индексстепени. Но, што треба да биде основата? Во овластувањата на природно индикатор основата може да биде кој било број .

Навистина, можеме да ги помножиме сите броеви еден со друг, без разлика дали се позитивни, негативни или парни. Ајде да размислиме кои знаци ("" или "") ќе имаат степени на позитивни и негативни броеви?

На пример, дали бројот е позитивен или негативен? А? ?

Со првиот, сè е јасно: без разлика колку позитивни броеви ќе помножиме еден со друг, резултатот ќе биде позитивен.

Но, негативните се малку поинтересни. Се сеќаваме на едноставното правило од 6-то одделение: „минус за минус дава плус“. Тоа е, или. Но, ако се помножиме со (), добиваме - .

И така натаму бесконечно: со секое следно множење знакот ќе се менува. Може да се формулираат следниве едноставни правила:

дуристепен, - број позитивен.
Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
Нула на која било моќност е еднаква на нула.

Одредете сами каков знак ќе имаат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Дали се снајде? Еве ги одговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Во првите четири примери, се надевам дека сè е јасно? Едноставно ги гледаме основата и експонентот и го применуваме соодветното правило.

Во примерот 5) сè исто така не е толку страшно како што изгледа: на крајот на краиштата, не е важно на што е еднаква основата - степенот е рамномерен, што значи дека резултатот секогаш ќе биде позитивен. Па, освен кога основата е нула. Основата не е еднаква, нели? Очигледно не, бидејќи (бидејќи).

Пример 6) веќе не е толку едноставен. Овде треба да откриете што е помалку: или? Ако се сеќаваме на тоа, станува јасно дека, што значи дека основата е помала од нула. Тоа е, го применуваме правилото 2: резултатот ќе биде негативен.

И повторно ја користиме дефиницијата за степен:

Сè е како и обично - ја запишуваме дефиницијата за степени и ги делиме еден со друг, ги делиме во парови и добиваме:

Пред да го разгледаме последното правило, да решиме неколку примери.

Пресметајте ги изразите:

Решенија :

Добиваме:

Ајде внимателно да го разгледаме именителот. Изгледа многу како еден од факторите за броење, но што не е во ред? Редоследот на термините е погрешен. Ако тие беа обратни, правилото 3 може да се примени, но како? Излегува дека е многу лесно: парниот степен на именителот ни помага овде.

Ако го помножиш со, ништо не се менува, нели? Но, сега излегува вака:

Магично термините ги сменија местата. Овој „феномен“ се однесува на кој било израз до рамномерен степен: лесно можеме да ги смениме знаците во загради. Но, важно е да се запамети: Сите знаци се менуваат во исто време!Не можете да го замените со менување само на еден недостаток што не ни се допаѓа!

Да се вратиме на примерот:

И повторно формулата:

Па сега последното правило:

Како ќе докажеме? Се разбира, како и обично: да го прошириме концептот на степен и да го поедноставиме:

Па, сега да ги отвориме заградите. Колку букви има вкупно? пати по множители - на што ве потсетува ова? Ова не е ништо повеќе од дефиниција за операција множење: Таму имаше само множители. Тоа е, ова, по дефиниција, е моќ на број со експонент:

Пример:

Степен со ирационален експонент

Покрај информациите за степените за просечното ниво, степенот ќе го анализираме со ирационален експонент. Сите правила и својства на степените овде се сосема исти како и за степен со рационален експонент, со исклучок - на крајот на краиштата, по дефиниција, ирационалните броеви се броеви што не можат да се претстават како дропка, каде што и се цели броеви (т.е. , ирационалните броеви се сите реални броеви освен рационалните броеви).

Кога студиравме степени со природни, целобројни и рационални експоненти, секој пат кога создававме одредена „слика“, „аналогија“ или опис со попознати термини. На пример, степен со природен експонент е број помножен со себе неколку пати; број до нулта моќ е, како што беше, број помножен сам по себе еднаш, односно сè уште не почнале да го множат, што значи дека самиот број сè уште не се ни појавил - затоа резултатот е само одреден „празен број“, имено број; степен со цел број негативен експонент - како да се случил некој „обратен процес“, односно бројот не се множел сам по себе, туку се делел.

Исклучително е тешко да се замисли степен со ирационален експонент (исто како што е тешко да се замисли 4-димензионален простор). Тоа е прилично чисто математички објект што математичарите го создадоа за да го прошират концептот на степен на целиот простор на броеви.

Патем, во науката често се користи степен со сложен експонент, односно експонентот не е ни реален број. Но, на училиште не размислуваме за такви тешкотии, ќе имате можност да ги разберете овие нови концепти во институтот.

Значи, што правиме ако видиме ирационален експонент? Се трудиме да се ослободиме од него! :)

На пример:

Одлучете сами:

Одговори:

Да се потсетиме на формулата за разлика во квадратите. Одговор:.
Ги сведуваме дропките на иста форма: или двете децимали или обичните. Добиваме, на пример: .
Ништо посебно, ги користиме вообичаените својства на степените:

РЕЗИМЕ НА ДЕЛ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз на формата: , каде што:

Степен со цел број експонент

степен чиј експонент е природен број (т.е. цел број и позитивен).

Моќ со рационален експонент

степен, чиј експонент е негативни и дробни броеви.

Степен со ирационален експонент

степен чиј експонент е бесконечна децимална дропка или корен.

Својства на степени

Карактеристики на степени.

Негативниот број е зголемен на дуристепен, - број позитивен.
Негативниот број е зголемен на чудностепен, - број негативен.
Позитивен број до кој било степен е позитивен број.
Нулата е еднаква на која било моќност.
Секој број на нулта моќност е еднаков.

СЕГА ГО ИМАШ ЗБОРОТ...

Како ви се допаѓа статијата? Напишете подолу во коментар дали ви се допадна или не.

Кажете ни за вашето искуство со користење на својствата на степенот.

Можеби имате прашања. Или предлози.

Напишете во коментарите.

И со среќа на вашите испити!

Час на тема: „Правила за множење и делење на силите со исти и различни експоненти. Примери“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби. Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Наставни помагала и симулатори во онлајн продавницата Интеграл за 7 одделение
Прирачник за учебник Ју.Н. Макаричева Прирачник за учебникот од А.Г. Мордкович

Цел на часот: научете да изведувате операции со моќи на броеви.

Прво, да се потсетиме на концептот на „моќта на бројот“. Израз на формата $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да се претстави како $a^n$.

Обратно е исто така точно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Оваа еднаквост се нарекува „запишување на степенот како производ“. Тоа ќе ни помогне да одредиме како да ги множиме и делиме силите.
Запомнете:
а– основата на степенот.
n– експонент.
Ако n=1, што значи бројот Азеде еднаш и соодветно: $a^n= 1$.
Ако n= 0, потоа $a^0= 1$.

Можеме да дознаеме зошто тоа се случува кога ќе се запознаеме со правилата за множење и делење на силите.

Правила за множење

а) Ако се помножат силите со иста основа.
За да добиеме $a^n * a^m$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Сликата покажува дека бројот Аимаат преземено n+mпати, потоа $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Овој имот е погодно да се користи за да се поедностави работата кога се подига број на поголема моќност.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако се множат степени со различни основи, но ист експонент.
За да добиеме $a^n * b^n$, ги запишуваме степените како производ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Ако ги замениме факторите и ги изброиме добиените парови, добиваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Значи $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила за поделба

а) Основата на степенот е иста, индикаторите се различни.
Размислете за делење моќ со поголем експонент со делење моќ со помал експонент.

Значи, ни треба $\frac(a^n)(a^m)$, Каде n>m.

Да ги запишеме степените како дропка:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

За погодност, поделбата ја пишуваме како едноставна дропка.

Сега да ја намалиме фракцијата.

Излегува: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Средства, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Овој имот ќе помогне да се објасни ситуацијата со подигнување на број на нулта моќност. Да претпоставиме дека n=m, тогаш $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степенот се различни, индикаторите се исти.
Да речеме дека $\frac(a^n)(b^n)$ е неопходен. Ајде да ги запишеме силите на броевите како дропки:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

За погодност, ајде да замислиме.

Користејќи го својството на дропки, ја делиме големата дропка на производ на мали, добиваме.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
Според тоа: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Пример.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Претходно веќе зборувавме за тоа што е моќ на број. Има одредени својства кои се корисни за решавање проблеми: ќе ги анализираме нив и сите можни експоненти во оваа статија. Исто така, јасно ќе покажеме со примери како тие можат да се докажат и правилно да се применат во пракса.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Да се потсетиме на претходно формулираниот концепт за степен со природен експонент: ова е производ од n-тиот број на фактори, од кои секој е еднаков на a. Исто така, ќе треба да запомниме како правилно да ги множиме реалните броеви. Сето ова ќе ни помогне да ги формулираме следниве својства за степен со природен експонент:

Дефиниција 1

1. Главното својство на степенот: a m · a n = a m + n

Може да се генерализира на: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Својство на количникот за степени со исти основи: a m: a n = a m − n

3. Својство на степенот на производот: (a · b) n = a n · b n

Равенството може да се прошири на: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · ... · a k n

4. Својство на количник на природен степен: (a: b) n = a n: b n

5. Подигнете ја моќноста на моќноста: (a m) n = a m n ,

Може да се генерализира на: (((a n 1) n 2) ...) n k = a n 1 · n 2 · ... · n k

6. Споредете го степенот со нула:

ако a > 0, тогаш за кој било природен број n, a n ќе биде поголем од нула;
со еднаква на 0, a n исто така ќе биде еднаква на нула;
на а< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
на а< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Еднаквост a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенството a m > a n ќе биде точно под услов m и n да се природни броеви, m да биде поголем од n и a да е поголем од нула и помал од еден.

Како резултат на тоа, добивме неколку еднаквости; доколку се исполнети сите услови наведени погоре, тие ќе бидат идентични. За секоја од еднаквостите, на пример, за главното својство, можете да ги замените десната и левата страна: a m · a n = a m + n - исто како a m + n = a m · a n. Во оваа форма често се користи за поедноставување на изразите.

1. Да почнеме со основното својство на степенот: еднаквоста a m · a n = a m + n ќе биде точно за секое природно m и n и реално a. Како да се докаже оваа изјава?

Основната дефиниција на моќи со природни експоненти ќе ни овозможи да ја трансформираме еднаквоста во производ на фактори. Ќе добиеме ваков рекорд:

Ова може да се скрати на (сетете се на основните својства на множењето). Како резултат на тоа, ја добивме моќта на бројот a со природен експонент m + n. Така, m + n, што значи дека главното својство на степенот е докажано.

Ајде да погледнеме конкретен пример што го потврдува ова.

Пример 1

Значи, имаме две сили со основа 2. Нивните природни показатели се 2 и 3, соодветно. Ја имаме еднаквоста: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Ајде да ги пресметаме вредностите за да ја провериме валидноста на оваа еднаквост.

Да ги извршиме потребните математички операции: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 и 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Како резултат на тоа, добивме: 2 2 · 2 3 = 2 5. Имотот е докажан.

Поради својствата на множење, можеме да го генерализираме својството така што ќе го формулираме во форма на три или повеќе сили, во кои експонентите се природни броеви, а основите се исти. Ако бројот на природните броеви n 1, n 2 итн. го означиме со буквата k, ја добиваме точната еднаквост:

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

Пример 2

2. Следно, треба да го докажеме следново својство, кое се нарекува својство на количник и е својствено за моќи со исти основи: ова е еднаквоста a m: a n = a m − n, што важи за секое природно m и n (и m е поголема од n)) и која било ненула реална a .

За почеток, да разјасниме што точно е значењето на условите што се споменати во формулацијата. Ако земеме еднакво на нула, тогаш завршуваме со делење со нула, што не можеме да го направиме (на крајот на краиштата, 0 n = 0). Условот дека бројот m мора да биде поголем од n е неопходен за да можеме да останеме во границите на природните експоненти: ако се одземе n од m, добиваме природен број. Ако условот не е исполнет, ќе завршиме со негативен број или нула и повторно ќе одиме подалеку од проучувањето на степени со природни експоненти.

Сега можеме да преминеме на доказот. Од она што претходно го проучувавме, да се потсетиме на основните својства на дропките и да ја формулираме еднаквоста на следниов начин:

a m − n · a n = a (m − n) + n = a m

Од него можеме да заклучиме: a m − n · a n = a m

Да се потсетиме на врската помеѓу делењето и множењето. Од него произлегува дека a m − n е количник на силите a m и a n . Ова е доказ за второто својство на степенот.

Пример 3

За јасност, да ги замениме специфичните броеви во експонентите и да ја означиме основата на степенот како π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Следно ќе го анализираме својството на моќноста на производот: (a · b) n = a n · b n за кое било реално a и b и природно n.

Според основната дефиниција за моќ со природен експонент, можеме да ја преформулираме еднаквоста на следниов начин:

Потсетувајќи се на својствата на множење, пишуваме: . Ова значи исто како a n · b n .

Пример 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Ако имаме три или повеќе фактори, тогаш ова својство важи и за овој случај. Да ја воведеме ознаката k за бројот на фактори и да напишеме:

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

Пример 5

Со конкретни броеви ја добиваме следната точна еднаквост: (2 · (- 2 , 3) · а) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a

4. По ова, ќе се обидеме да го докажеме својството на количникот: (a: b) n = a n: b n за кое било реално a и b, ако b не е еднакво на 0 и n е природен број.

За да го докажете ова, можете да го користите претходното својство на степени. Ако (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , и (a: b) n · b n = a n , тогаш следува дека (a: b) n е количник на делење a n од b n.

Пример 6

Да пресметаме пример: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Пример 7

Да почнеме веднаш со пример: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Сега да формулираме синџир на еднаквости што ќе ни докаже дека еднаквоста е вистинита:

Ако имаме степени на степени во примерот, тогаш ова својство важи и за нив. Ако имаме природни броеви p, q, r, s, тогаш тоа ќе биде точно:

a p q y s = a p q y s

Пример 8

Ајде да додадеме некои специфики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Друго својство на силите со природен експонент што треба да го докажеме е својството на споредба.

Прво, да го споредиме степенот со нула. Зошто a n > 0, под услов a да е поголемо од 0?

Ако помножиме еден позитивен број со друг, добиваме и позитивен број. Знаејќи го овој факт, можеме да кажеме дека не зависи од бројот на фактори - резултатот од множење на кој било број позитивни броеви е позитивен број. Што е степен ако не е резултат на множење броеви? Тогаш за која било моќност a n со позитивна основа и природен експонент тоа ќе биде точно.

Пример 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0

Очигледно е и дека моќта со основа еднаква на нула сама по себе е нула. На која моќ и да подигнеме нула, таа ќе остане нула.

Пример 10

0 3 = 0 и 0 762 = 0

Ако основата на степенот е негативен број, тогаш доказот е малку покомплициран, бидејќи концептот парен/непарен експонент станува важен. Прво да го земеме случајот кога експонентот е парен и да го означиме 2 · m, каде што m е природен број.

Да се потсетиме како правилно да ги множиме негативните броеви: производот a · a е еднаков на производот на модулите и, според тоа, ќе биде позитивен број. Потоа и степенот a 2 m се исто така позитивни.

Пример 11

На пример, (− 6) 4 > 0, (− 2, 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0

Што ако експонентот со негативна основа е непарен број? Да го означиме 2 · m − 1 .

Потоа

Сите производи a · a, според својствата на множење, се позитивни, а исто така и нивниот производ. Но, ако го помножиме со единствениот преостанат број a, тогаш конечниот резултат ќе биде негативен.

Тогаш добиваме: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Како да се докаже ова?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Пример 12

На пример, следните неравенки се вистинити: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Треба само да го докажеме последното својство: ако имаме две сили чии основи се идентични и позитивни, а чии експоненти се природни броеви, тогаш оној чијшто експонент е помал е поголем; а од две сили со природни експоненти и идентични основи поголеми од еден, поголем е оној чијшто експонент е поголем.

Да ги докажеме овие изјави.

Прво треба да се увериме дека м< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Да извадиме n од загради, по што нашата разлика ќе добие форма a n · (a m − n − 1) . Неговиот резултат ќе биде негативен (бидејќи резултатот од множење позитивен број со негативен број е негативен). На крајот на краиштата, според почетните услови, m − n > 0, а потоа a m − n − 1 е негативен, а првиот фактор е позитивен, како и секоја природна моќност со позитивна основа.

Се покажа дека a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Останува да се докаже вториот дел од изјавата формулирана погоре: a m > a е точно за m > n и a > 1. Да ја означиме разликата и да ставиме n од заградите: (a m − n − 1) Моќта на a n за поголема од една ќе даде позитивен резултат; а и самата разлика ќе испадне позитивна поради почетните услови, а за a > 1 степенот a m − n е поголем од еден. Излегува дека a m − a n > 0 и a m > a n , што ни требаше да го докажеме.

Пример 13

Пример со конкретни броеви: 3 7 > 3 2

Основни својства на степени со целобројни експоненти

За моќи со позитивни цели броеви, својствата ќе бидат слични, бидејќи позитивните цели броеви се природни броеви, што значи дека сите еднаквости докажани погоре важат и за нив. Тие се погодни и за случаи кога експонентите се негативни или еднакви на нула (под услов основата на самиот степен да не е нула).

Така, својствата на силите се исти за кои било основи a и b (под услов овие броеви да се реални и да не се еднакви на 0) и сите експоненти m и n (под услов да се цели броеви). Да ги напишеме накратко во форма на формули:

Дефиниција 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m − n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (a m) n = a m n

6. a nb − n предмет на позитивен цел број n, позитивен a и b, a< b

7 часот наутро< a n , при условии целых m и n , m >n и 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

Ако основата на степенот е нула, тогаш записите a m и a n имаат смисла само во случај на природни и позитивни m и n. Како резултат на тоа, откриваме дека формулациите погоре се исто така погодни за случаи со моќност со нулта основа, доколку се исполнети сите други услови.

Доказите за овие својства во овој случај се едноставни. Ќе треба да запомниме што е степен со природен и цел број експонент, како и својствата на операциите со реални броеви.

Да го погледнеме својството моќ-на-моќ и да докажеме дека тоа е точно и за позитивни и за непозитивни цели броеви. Да почнеме со докажување на еднаквостите (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)

Услови: p = 0 или природен број; q – слично.

Ако вредностите на p и q се поголеми од 0, тогаш добиваме (a p) q = a p · q. Слична еднаквост веќе докажавме и претходно. Ако p = 0, тогаш:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Затоа, (a 0) q = a 0 q

За q = 0 сè е сосема исто:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Резултат: (a p) 0 = a p · 0 .

Ако двата индикатора се нула, тогаш (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1, што значи (a 0) 0 = a 0 · 0.

Да се потсетиме на својството на количниците до степен докажан погоре и да напишеме:

1 a p q = 1 q a p q

Ако 1 p = 1 1 … 1 = 1 и a p q = a p q, тогаш 1 q a p q = 1 a p q

Оваа нотација можеме да ја трансформираме врз основа на основните правила на множење во a (− p) · q.

Исто така: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .

И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Останатите својства на степенот можат да се докажат на сличен начин со трансформирање на постоечките неравенки. Ние нема да се задржиме на ова подробно, ќе укажеме само на тешките точки.

Доказ за претпоследното својство: потсетете се дека a − n > b − n е точно за сите негативни цели броеви n и за секое позитивно a и b, под услов a да е помало од b.

Тогаш неравенството може да се трансформира на следниов начин:

1 a n > 1 b n

Да ги напишеме десната и левата страна како разлика и да ги извршиме потребните трансформации:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

Потсетиме дека во условот a е помал од b, тогаш, според дефиницијата за степен со природен експонент: - a n 0 .

a n · b n завршува како позитивен број бидејќи неговите фактори се позитивни. Како резултат на тоа, ја имаме дропот b n - a n a n · b n, што на крајот исто така дава позитивен резултат. Оттука 1 a n > 1 b n од каде a − n > b − n , што ни требаше да го докажеме.

Последното својство на силите со целобројни експоненти се докажува слично како и својството на силите со природни експоненти.

Основни својства на моќите со рационални експоненти

Во претходните написи, разгледавме што е степен со рационален (фракционо) експонент. Нивните својства се исти како оние на степените со целобројни експоненти. Ајде да запишеме:

Дефиниција 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (својство на производот степени со исти основи).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, ако a > 0 (својство на количник).

3. a · b m n = a m n · b m n за a > 0 и b > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (својство на производот во фракционо степен).

4. a: b m n = a m n: b m n за a > 0 и b > 0, а ако m n > 0, тогаш за a ≥ 0 и b > 0 (својството на количник на фракциона моќност).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 за > 0, и ако m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0, тогаш за ≥ 0 (својство на степен во степени).

6.а стр0 ; ако стр< 0 - a p >b p (својство на споредување на моќи со еднакви рационални експоненти).

7.а стр< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q на 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

За да ги докажеме овие одредби, треба да запомниме што е степен со фракционо експонент, кои се својствата на аритметичкиот корен од n-ти степен и кои се својствата на степенот со целобројни експоненти. Ајде да го разгледаме секој имот.

Според тоа колку е степен со дробен експонент, добиваме:

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2, според тоа, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

Својствата на коренот ќе ни овозможат да изведеме еднаквости:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Од ова добиваме: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Ајде да се трансформираме:

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Експонентот може да се запише како:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Ова е доказот. На ист начин се докажува и второто својство. Ајде да напишеме синџир на еднаквости:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Докази за преостанатите еднаквости:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (а: б) m n = (а: б) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Следното својство: да докажеме дека за кои било вредности на a и b поголеми од 0, ако a е помало од b, ќе биде задоволено a pб стр

Да го претставиме рационалниот број p како m n. Во овој случај, m е цел број, n е природен број. Потоа условите стр< 0 и p >0 ќе се прошири до m< 0 и m >0 . За m > 0 и a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Го користиме својството на корените и излезот: a m n< b m n

Земајќи ги предвид позитивните вредности на a и b, неравенството ја препишуваме како m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

На ист начин за м< 0 имеем a a m >b m, добиваме m n > b m n што значи a m n > b m n и a p > b p.

Останува да обезбедиме доказ за последниот имот. Да докажеме дека за рационални броеви p и q, p > q на 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 ќе биде точно a p > a q .

Рационалните броеви p и q може да се сведат на заеднички именител и да се добијат дропките m 1 n и m 2 n

Овде m 1 и m 2 се цели броеви, а n е природен број. Ако p > q, тогаш m 1 > m 2 (земајќи го предвид правилото за споредување дропки). Потоа на 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – нееднаквост a 1 m > a 2 m.

Тие можат да се препишат на следниов начин:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Потоа можете да направите трансформации и да завршите со:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Да резимираме: за p > q и 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Основни својства на моќи со ирационални експоненти

До таков степен може да се прошират сите својства опишани погоре што ги има степенот со рационални експоненти. Ова произлегува од самата негова дефиниција, која ја дадовме во една од претходните написи. Да ги формулираме накратко овие својства (услови: a > 0, b > 0, експонентите p и q се ирационални броеви):

Дефиниција 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p − q

3. (а · б) p = a p · b стр

4. (а: б) p = a p: b стр

5. (a p) q = a p · q

6.а стрб стр

7.а стр< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, потоа a p > a q.

Така, сите сили чии експоненти p и q се реални броеви, под услов a > 0, ги имаат истите својства.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Видео туторијал 2: Степен со природен индикатор и неговите својства

Предавање:

Степен со природен индикатор

Под степеннекој број "А"со некој индикатор "n"да го разбере производот на број "А"сам по себе "n"еднаш.

Кога зборуваме за степен со природен експонент, тоа значи дека бројот "n"мора да биде цел број, а не негативен.

А- основата на степенот, која покажува кој број треба да се помножи сам по себе,

n- експонент - кажува колку пати треба да се помножи основата сама по себе.

На пример:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Во овој случај, основата на степенот се подразбира дека е бројот „8“, експонентот на степенот е бројот „4“, а вредноста на степенот е бројот „4096“.

Најголемата и најчеста грешка при пресметување на степен е множење на експонентот со основата - ОВА НЕ Е ТОЧНО!

Кога зборуваме за степен со природен експонент, мислиме дека само експонентот (n)мора да биде природен број.

Можете да земете кој било број на бројната линија како основа.

На пример,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математичката операција што се изведува врз основата и експонентот се нарекува степенување.

Собирањето\одземањето е математичка операција од првата фаза, множењето\делењето е дејство од втората фаза, подигањето моќ е математичко дејство од третата фаза, односно едно од највисоките.

Оваа хиерархија на математички операции го одредува редоследот во пресметката. Ако ова дејство се појави во задачи меѓу претходните две, тогаш тоа се прави прво.

На пример:

15 + 6 *2 2 = 39

Во овој пример, прво мора да подигнете 2 на моќност, т.е.

потоа помножете го резултатот со 6, т.е

Моќта со природен експонент се користи не само за специфични пресметки, туку и за практичноста за пишување големи броеви. Во овој случај, се користи и концептот „стандардна форма на број“. Оваа нотација вклучува множење на одреден број од 1 до 9 со моќ еднаква на 10 со одреден експонент.

На пример, за да го снимите радиусот на Земјата во стандардна форма, користете ја следната нотација:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

а масата на Земјата, на пример, е напишана на следниов начин:

Својства на степенот

За погодност за решавање на примери со степени, треба да ги знаете нивните основни својства:

1. Ако треба да помножите две сили кои имаат иста основа, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се додадат експонентите.

a n * a m = a n+m

На пример:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ако е потребно да се поделат два степени кои имаат исти основи, тогаш во овој случај основата мора да се остави непроменета и да се одземат експонентите. Имајте предвид дека за операции со моќи со природен експонент, експонентот на дивидендата мора да биде поголем од експонентот на делителот. Во спротивно, количникот на ова дејство ќе биде број со негативен експонент.

a n / a m = a n-m

На пример,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ако е неопходно да се подигне една моќност на друга, истиот број останува основата на резултатот, а експонентите се множат.

(a n) m = a n*m

На пример,

4. Ако е неопходно да се подигне производот на произволни броеви до одредена моќност, тогаш можете да користите одреден дистрибутивен закон, според кој го добиваме производот од различни бази со иста моќност.

(а * б) m = a m * b m

На пример,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Слично својство може да се користи за да се подели моќите, со други зборови, да се подигне обичен двојник на моќ.

(a / b) m = a m / b м

6. Секој број што е подигнат на експонент еднаков на еден е еднаков на оригиналниот број.

a 1 = a

На пример,

7. Кога ќе се подигне кој било број на моќност со експонент нула, резултатот од оваа пресметка секогаш ќе биде еден.

и 0 = 1

На пример,