Експоненцијација. Подигнување на број до негативна моќност

Продолжувајќи го разговорот за моќноста на бројот, логично е да откриеме како да ја најдеме вредноста на моќта. Овој процес се нарекува експоненцијација. Во оваа статија ќе проучиме како се врши степенувањето, додека ќе ги допреме сите можни експоненти - природни, цел број, рационални и ирационални. И според традицијата, детално ќе ги разгледаме решенијата за примери за подигање на бројки на различни моќи.

Навигација на страница.

Што значи „експоненцијација“?

Да почнеме со објаснување на она што се нарекува степенување. Еве ја релевантната дефиниција.

Дефиниција.

Експоненцијација- ова е наоѓање на вредноста на моќта на некој број.

Така, наоѓањето на вредноста на моќта на бројот a со експонент r и подигањето на бројот a на моќноста r се иста работа. На пример, ако задачата е „пресметајте ја вредноста на моќноста (0,5) 5“, тогаш може да се преформулира на следниов начин: „Подигнете го бројот 0,5 на моќноста 5“.

Сега можете директно да отидете на правилата според кои се врши степенувањето.

Подигнување на број до природна моќ

Во пракса, еднаквоста заснована на обично се применува во форма . Односно, при подигање на број a до фракциона моќност m/n, прво се зема n-тиот корен од бројот a, по што добиениот резултат се подига на цел број m.

Ајде да погледнеме решенија за примери за подигање на фракциона моќност.

Пример.

Пресметајте ја вредноста на степенот.

Решение.

Ќе покажеме две решенија.

Првиот начин. По дефиниција за степен со дробен експонент. Ја пресметуваме вредноста на степенот под знакот на коренот, а потоа го извлекуваме коренот на коцката: .

Втор начин. Според дефиницијата за степен со фракционо експонент и врз основа на својствата на корените, вистинити се следните еднаквости: . Сега го извлекуваме коренот , конечно, го подигаме на цел број моќ .

Очигледно, добиените резултати од подигање на фракциона моќ се совпаѓаат.

Одговор:

Забележете дека фракциониот експонент може да се напише како децимална дропка или мешан број, во овие случаи треба да се замени со соодветната обична дропка, а потоа да се подигне на моќност.

Пример.

Пресметај (44,89) 2,5.

Решение.

Ајде да го напишеме експонентот во форма на обична дропка (ако е потребно, видете ја статијата): . Сега го извршуваме подигањето до фракциона моќ:

Одговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Исто така, треба да се каже дека подигањето на броевите до рационални моќи е прилично трудоинтензивен процес (особено кога броителот и именителот на фракциониот експонент содржат доволно големи броеви), што обично се изведува со помош на компјутерска технологија.

За да ја заклучиме оваа точка, да се задржиме на подигање на бројот нула на фракциона моќ. На дробната моќ на нула од формата и го дадовме следново значење: кога имаме , а на нула до m/n моќноста не е дефинирана. Значи, нула до фракциона позитивна моќност е нула, на пример, . И нула во фракциона негативна моќност нема смисла, на пример, изразите 0 -4,3 немаат смисла.

Подигнување до ирационална моќ

Понекогаш станува неопходно да се дознае вредноста на моќта на број со ирационален експонент. Во овој случај, за практични цели обично е доволно да се добие вредноста на степенот точна до одреден знак. Веднаш да забележиме дека во пракса оваа вредност се пресметува со помош на електронски компјутери, бидејќи рачното подигнување на ирационална моќ бара голем број незгодни пресметки. Но, ние сепак ќе ја опишеме во општи термини суштината на дејствата.

За да се добие приближна вредност на моќноста на бројот a со ирационален експонент, се зема одредено децимално приближување на експонентот и се пресметува вредноста на моќноста. Оваа вредност е приближна вредност на моќноста на бројот a со ирационален експонент. Колку е попрецизно децималното приближување на некој број првично, толку попрецизно ќе се добие вредноста на степенот на крајот.

Како пример, да ја пресметаме приближната вредност на моќноста од 2 1,174367... . Да ја земеме следната децимална апроксимација на ирационалниот експонент: . Сега подигаме 2 на рационална моќност 1,17 (ја опишавме суштината на овој процес во претходниот пасус), добиваме 2 1,17 ≈2,250116. Така, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако земеме попрецизна децимална апроксимација на ирационалниот експонент, на пример, тогаш ќе добиеме попрецизна вредност на оригиналниот експонент: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиографија.

• Виленкин Н.Ја., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 одделение. образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за VII одделение. образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 одделение. образовните институции.
• Макаричев Ју.Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 одделение. образовните институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
• Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Подигнувањето до негативна моќност е еден од основните елементи на математиката и често се среќава при решавање на алгебарски проблеми. Подолу се детални инструкции.

Како да се подигне на негативна моќ - теорија

Кога ќе подигнеме број на обична јачина, ја множиме неговата вредност неколку пати. На пример, 3 3 = 3×3×3 = 27. Со негативна дропка спротивното е точно. Општата форма на формулата ќе биде како што следува: a -n = 1/a n. Така, за да се подигне број на негативна моќност, треба да се подели еден со дадениот број, но со позитивна моќност.

Како да се подигне до негативна моќност - примери на обични броеви

Имајќи го предвид горенаведеното правило, да решиме неколку примери.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Одговор: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Одговор -4 -2 = 1/16.

Но, зошто одговорите во првиот и вториот пример се исти? Факт е дека кога негативен број е подигнат на парна моќност (2, 4, 6, итн.), знакот станува позитивен. Ако степенот беше рамномерен, тогаш минусот ќе останеше:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Како да ги подигнете броевите од 0 на 1 на негативна моќност

Потсетете се дека кога број помеѓу 0 и 1 се подига на позитивна моќност, вредноста се намалува како што се зголемува моќноста. Така на пример, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Пример 3: Пресметај 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Одговор: 0,5 -2 = 4

Анализа (низа на дејства):

• Претворете ја децималната дропка 0,5 во дробната дропка 1/2. Така е полесно.
  Подигнете 1/2 на негативна моќност. 1/(2) -2. Поделете 1 со 1/(2) 2, добиваме 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Пример 4: Пресметај 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Пресметај -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Одговор: -0,5 -3 = -8

Врз основа на 4-тиот и 5-тиот пример, можеме да извлечеме неколку заклучоци:

• За позитивен број во опсег од 0 до 1 (пример 4), подигнат до негативна моќност, без разлика дали моќноста е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде позитивна. Покрај тоа, колку е поголем степенот, толку е поголема вредноста.
• За негативен број во опсег од 0 до 1 (пример 5), подигнат на негативна моќност, без разлика дали моќноста е парна или непарна не е важна, вредноста на изразот ќе биде негативна. Во овој случај, колку е поголем степенот, толку е помала вредноста.

Како да се подигне до негативна моќност - моќ во форма на фракционен број

Изразите од овој тип ја имаат следната форма: a -m/n, каде што a е правилен број, m е броител на степенот, n е именителот на степенот.

Ајде да погледнеме на пример:
Пресметај: 8 -1/3

Решение (низа на дејства):

• Да се ​​потсетиме на правилото за подигање на број до негативна моќност. Добиваме: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Забележете дека именителот го има бројот 8 во дробна моќност. Општата форма на пресметување на фракционата моќност е следна: a m/n = n √8 m.
• Така, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Го добиваме коцканиот корен од осум, што е еднакво на 2. Оттука, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Одговор: 8 -1/3 = 2

Како што знаете, во математиката не постојат само позитивни броеви, туку и негативни. Ако запознавањето со позитивните сили започнува со одредување на површината на квадрат, тогаш со негативните сили сè е нешто покомплицирано.

Ова треба да го знаете:

1. Подигнувањето на број до природна моќност е множење на број (во написот ќе ги разгледаме концептите за број и цифрен еквивалент) само по себе во таква количина како експонентот (во иднина ќе го користиме паралелно и едноставно зборот експонент). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. Во принцип, изгледа вака: m^n = m*m*m*…*m (n пати).
2. Мора да се земе предвид дека кога негативен број е подигнат до природна моќност, тој ќе стане позитивен ако експонентот е парен.
3. Со подигање на број на експонент 0 се добива еден, под услов да не е еднаков на нула. Нула до нулта моќност се смета за недефинирана. 17^0 = 1.
4. Извлекувањето на коренот на одредена моќност од број е наоѓање број кој, кога ќе се подигне до соодветниот експонент, ќе ја даде саканата вредност. Значи, коренот на коцката од 125 е 5, бидејќи 5^3 = 125.
5. Ако сакате да подигнете број до позитивна фракциона моќност, тогаш треба да го подигнете бројот на именителот и да го извлечете коренот на експонентот на броителот од него. 6^5/7 = седмиот корен од производот 6*6*6*6*6.
6. Ако сакате да подигнете број на негативен експонент, тогаш треба да ја пронајдете инверзната на дадениот број. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Подигнување на број модуло нула на еден до негативна моќност

Прво треба да се потсетиме што е модул. Ова е растојанието на координатната линија од вредноста што ја избравме до потеклото (нула на координатната линија). По дефиниција, никогаш не може да биде негативен.

Вредност поголема од нула

Кога вредноста на цифрата е помеѓу нула и еден, негативен индикатор дава зголемување на самата цифра. Ова се случува затоа што именителот се намалува додека останува позитивен.

Ајде да погледнеме примери:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Покрај тоа, колку е поголем модулот на индикаторот, толку поактивно расте бројката. Како што именителот се стреми кон нула, самата дропка се стреми кон плус бесконечност.

Вредност помала од нула

Сега да погледнеме како да се подигне до негативна моќност ако бројот е помал од нула. Принципот е ист како и во претходниот дел, но тука е важен знакот на индикаторот.

Ајде повторно да ги погледнеме примерите:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

Во овој случај, тоа го гледаме модулот продолжува да расте, но знакот зависи од тоа дали индикаторот е парен или непарен.

Треба да се напомене дека ако изградиме единица, таа секогаш ќе остане сама по себе. Ако треба да подигнете број минус еден, тогаш со парен показател ќе се претвори во еден, а со непарен ќе остане минус еден.

Подигнување до негативна цел број моќ ако модулот е поголем од еден

За броеви чиј модул е ​​поголем од еден,има свои особености на дејствување. Пред сè, треба да го претворите целиот дел од дропката во броител, односно да го претворите во неправилна дропка. Ако имаме децимална дропка, тогаш таа мора да се претвори во правилна дропка. Ова се прави на следниов начин:

• 6 цели броеви 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Сега да погледнеме како да се подигне број на негативна моќност под овие услови. Веќе од горенаведеното, можеме да претпоставиме што можеме да очекуваме од резултатот од пресметките. Бидејќи двојната дропка е превртена за време на поедноставувањата, модулот на сликата ќе се намалува толку побрзо, толку е поголем модулот на експонентот.

Прво, да ја разгледаме ситуацијата кога бројот даден во задачата е позитивен.

Како прво, станува јасно дека конечниот резултат ќе биде поголем од нула, бидејќи со делење на две позитивни секогаш се добива позитивен. Ајде повторно да погледнеме примери за тоа како се прави ова:

• 6 цели броеви 1/20 до минус петтата моќност = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0,0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Како што можете да видите, дејствијата не претставуваат некои посебни тешкотии и сите наши првични претпоставки се покажаа како вистинити.

Сега да се свртиме кон случајот на негативна цифра.

За почеток, можеме да претпоставиме дека ако индикаторот е парен, тогаш резултатот ќе биде позитивен, ако индикаторот е непарен, тогаш резултатот ќе биде негативен. Сите наши претходни пресметки во овој дел ќе се сметаат за валидни сега. Ајде повторно да погледнеме примери:

• -3 цели 1/2 до минус шестата моќност = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Така, сите наши размислувања се покажаа како точни.

Конструкција во случај на негативен фракционо експонент

Тука треба да запомните дека постои таква конструкција извлекување на коренот на моќта на именителот од број до моќта на броителот. Сите наши претходни размислувања остануваат вистинити овој пат. Ајде да ги објасниме нашите постапки со пример:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/рад(4^3) = 1/рад64 = 1/8.

Во овој случај, треба да имате на ум дека вадењето корени на високо ниво е можно само во специјално избрана форма и, најверојатно, нема да можете да се ослободите од знакот на радикалот (квадратен корен, кубен корен, итн.) со точни пресметки.

Сепак, откако детално ги проучувавте претходните поглавја, не треба да очекувате потешкотии во училишните пресметки.

Треба да се напомене дека описот на ова поглавје исто така вклучува градба со намерно ирационален индикатор, на пример, ако индикаторот е еднаков на минус PI. Треба да дејствувате според принципите опишани погоре. Сепак, пресметките во такви случаи стануваат толку сложени што само моќните електронски компјутери можат да го направат тоа.

Заклучок

Дејството што го проучувавме е еден од најтешките проблеми во математиката(особено во случај на фракционо-рационално или ирационално значење). Меѓутоа, со детално и чекор по чекор проучување на овие упатства, можете да научите како да го направите тоа целосно автоматски без никакви проблеми.

Час и презентација на тема: „Експонент со негативен експонент. Дефиниција и примери за решавање проблеми“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби. Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Прирачник за учебник Муравин Г.К. Прирачник за учебникот од Алимов Ш.А.

Определување степен со негативен експонент

Момци, ние сме добри во подигање на бројки до моќ.
На пример: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Добро знаеме дека секој број со нулта сила е еднаков на еден. $a^0=1$, $a≠0$.
Се поставува прашањето, што ќе се случи ако подигнете број на негативна моќност? На пример, со што ќе биде еднаков бројот $2^(-2)$?
Првите математичари кои го поставија ова прашање одлучија дека не вреди повторно да се измисли тркалото и добро е што сите својства на степените останаа исти. Односно, кога се множат силите со иста основа, експонентите се собираат.
Да го разгледаме овој случај: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Откривме дека производот на таквите броеви треба да даде еден. Единицата во производот се добива со множење на реципрочните броеви, односно $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Таквото размислување доведе до следнава дефиниција.
Дефиниција. Ако $n$ е природен број и $a≠0$, тогаш важи еднаквоста: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Важен идентитет кој често се користи е: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Конкретно, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Примери на решенија

Пример 1.
Пресметајте: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Решение.
Ајде да го разгледаме секој поим одделно.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Останува да се извршат операции за собирање и одземање: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Одговор: $6\frac(1)(4)$.

Пример 2.
Претстави го дадениот број како моќност на прост број $\frac(1)(729)$.

Решение.
Очигледно, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Но, 729 не е прост број што завршува на 9. Може да се претпостави дека овој број е моќ од три. Доследно поделете го 729 со 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Извршени се шест операции и тоа значи: 729$=3^6$.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Одговор: $3^(-6)$.

Пример 3. Изразете го изразот како моќност: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Решение. Првото дејство секогаш се изведува во загради, а потоа множење $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Одговор: $a$.

Пример 4. Докажете го идентитетот:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Решение.
На левата страна, го разгледуваме секој фактор во заградите посебно.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x)) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Да преминеме на дропката со која се делиме.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Ајде да ја направиме поделбата.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Го добивме точниот идентитет, што требаше да го докажеме.

На крајот од лекцијата, уште еднаш ќе ги запишеме правилата за работа со моќи, овде експонентот е цел број.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

1. Пресметајте: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Претстави го дадениот број како моќност на прост број $\frac(1)(16384)$.
3. Изрази го изразот како моќ:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Докажете го идентитетот:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Моќта се користи за да се поедностави операцијата за множење број сам по себе. На пример, наместо да пишувате, можете да пишувате 4 5 (\displaystyle 4^(5))(објаснување за оваа транзиција е дадено во првиот дел од овој член). Степените го олеснуваат пишувањето долги или сложени изрази или равенки; моќите исто така лесно се собираат и одземаат, што резултира со поедноставен израз или равенка (на пример, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забелешка:ако треба да решите експоненцијална равенка (во таква равенка непознатата е во експонентот), прочитајте.

Чекори

Решавање едноставни проблеми со степени

Помножете ја основата на експонентот со себе неколку пати еднаков на експонентот.Ако треба рачно да решите проблем со моќноста, препишете ја моќноста како операција за множење, каде што основата на моќноста се множи сама по себе. На пример, дадена диплома 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Во овој случај, основата на моќноста 3 мора да се помножи со себе 4 пати: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Еве други примери:

Прво, помножете ги првите два броја.На пример, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\приказ стил 4*4*4*4*4). Не грижете се - процесот на пресметка не е толку комплициран како што изгледа на прв поглед. Прво помножете ги првите две четири, а потоа заменете ги со резултатот. Како ова:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Помножете го резултатот (16 во нашиот пример) со следниот број.Секој следен резултат ќе се зголемува пропорционално. Во нашиот пример, помножете 16 со 4. Вака:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продолжете со множење на резултатот од првите два броја со следниот број додека не го добиете конечниот одговор. За да го направите ова, помножете ги првите два броја, а потоа помножете го добиениот резултат со следниот број во низата. Овој метод важи за кој било степен. Во нашиот пример треба да добиете: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете ги следните проблеми.Проверете го вашиот одговор користејќи калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашиот калкулатор, побарајте го клучот со ознака „exp“ или „ x n (\displaystyle x^(n))", или "^".Користејќи го овој клуч, ќе подигнете број на моќност. Речиси е невозможно рачно да се пресмета степенот со голем индикатор (на пример, степенот 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторот лесно може да се справи со оваа задача. Во Windows 7, стандардниот калкулатор може да се префрли во инженерски режим; За да го направите ова, кликнете на „Прикажи“ -> „Инженерство“. За да се префрлите во нормален режим, кликнете „Прикажи“ -> „Нормално“.

   • Проверете го одговорот што го добивте користејќи пребарувач (Google или Yandex). Користејќи го копчето „^“ на тастатурата на вашиот компјутер, внесете го изразот во пребарувачот, кој веднаш ќе го прикаже точниот одговор (и можеби ќе ви предложи слични изрази за проучување).

   Собирање, одземање, множење на силите

   1. Можете да собирате и одземате степени само ако тие имаат исти основи.Ако треба да додадете моќи со исти основи и експоненти, тогаш операцијата за собирање можете да ја замените со операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 5 + 4 5 (\стил на приказ 4^(5)+4^(5)). Запомнете дека степенот 4 5 (\displaystyle 4^(5))може да се претстави во форма 1 ∗ 4 5 (\приказ стил 1*4^(5)); Така, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(каде 1 +1 =2). Односно, брои го бројот на слични степени, а потоа помножи го тој степен и овој број. Во нашиот пример, подигнете го 4 на петтата моќност, а потоа помножете го добиениот резултат со 2. Запомнете дека операцијата за собирање може да се замени со операцијата за множење, на пример, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\приказ стил 3+3=2*3). Еве други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\приказ стил 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\приказ на стил 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\приказ стил 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Кога се множат силите со иста основа, се додаваат нивните експоненти (основата не се менува).На пример, со оглед на изразот x 2 ∗ x 5 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)). Во овој случај, само треба да ги додадете индикаторите, оставајќи ја основата непроменета. Така, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\приказ на стил x^(2)*x^(5)=x^(7)). Еве визуелно објаснување на ова правило:

      При подигање на моќност на моќност, експонентите се множат.На пример, се дава диплома. Бидејќи експонентите се множат, тогаш (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\стил на приказ (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Поентата на ова правило е дека се множите со моќи (x 2) (\displaystyle (x^(2)))на себе пет пати. Како ова:

      • (x 2) 5 (\приказ стил (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\приказ на стил (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Бидејќи основата е иста, експонентите едноставно се собираат: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\приказ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Моќта со негативен експонент треба да се претвори во дропка (обратна моќност).Не е важно ако не знаеш што е реципрочна диплома. Ако ви е даден степен со негативен експонент, на пр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете го овој степен во именителот на дропката (ставете 1 во броителот) и направете го експонентот позитивен. Во нашиот пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Еве други примери:

      Кога се делат степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат (основата не се менува).Операцијата на делење е спротивна на операцијата за множење. На пример, со оглед на изразот 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Одземете го експонентот во именителот од експонентот во броителот (не ја менувајте основата). Така, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Моќта во именителот може да се запише на следниов начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Запомнете дека дропка е број (моќ, израз) со негативен експонент.

   4. Подолу се дадени неколку изрази кои ќе ви помогнат да научите да решавате проблеми со експоненти.Дадените изрази го опфаќаат материјалот претставен во овој дел. За да го видите одговорот, едноставно изберете го празното место по знакот за еднаквост.

   Решавање задачи со дробни експоненти

   Моќта со фракционо експонент (на пример, ) се претвора во операција на коренот.Во нашиот пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Овде не е важно кој број е во именителот на дробниот експонент. На пример, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвртиот корен од „x“, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ако експонентот е неправилна дропка, тогаш експонентот може да се разложи на две сили за да се поедностави решението на проблемот. Нема ништо комплицирано во ова - само запомнете го правилото за множење на силите. На пример, се дава диплома. Претворете ја таквата моќност во корен чија моќност е еднаква на именителот на дробниот показател, а потоа подигнете го овој корен на моќност еднаква на броителот на дробниот показател. За да го направите ова, запомнете го тоа 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Во нашиот пример:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Некои калкулатори имаат копче за пресметување на експоненти (прво мора да ја внесете основата, потоа да го притиснете копчето и потоа да го внесете експонентот). Се означува како ^ или x^y.
   3. Запомнете дека секој број со првата моќност е еднаков на себе, на пример, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Згора на тоа, секој број помножен или поделен со еден е еднаков на самиот себе, на пр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Знајте дека моќноста 0 0 не постои (таква моќност нема решение). Ако се обидете да решите таков степен на калкулатор или на компјутер, ќе добиете грешка. Но запомнете дека секој број со нулта моќност е 1, на пример, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Во вишата математика, која работи со имагинарни броеви: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Каде i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа приближно еднаква на 2,7; a е произволна константа. Доказот за оваа еднаквост може да се најде во секој учебник по виша математика.

   Предупредувања

   • Како што се зголемува експонентот, неговата вредност значително се зголемува. Значи, ако одговорот ви изгледа погрешен, тој всушност е точен. Можете да го тестирате ова со исцртување на која било експоненцијална функција, како што е 2 x.