Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:
Основата на логаритам од x е моќта до која мора да се подигне a за да се добие x.
Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот дневник за успех 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритмизација. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го пронајдете дневникот 2 5 . Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага логаритамот да лежи некаде на сегментот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем повеќе степендва, толку е поголем бројот.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да се избегне досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.
Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата за степенот рационален индикатор, на што се сведува дефиницијата за логаритам.
- Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.
Сепак, сега само размислуваме нумерички изрази, каде што не е потребно да се знае CVD на логаритамот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе одат логаритамски равенкии нееднаквости, барањата за DHS ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде повеќе од еден, е многу релевантно: ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Го добивме одговорот: 2.
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Задача. Пресметајте го логаритамот:
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Го добивме одговорот: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Го добивме одговорот: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот ставследува дека логаритмот не се брои;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка до последен пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само разделете го на главните фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.
Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;
Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.
Децималниот логаритам на x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.
На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.
Природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Тоа е заза природниот логаритам.
Природниот логаритам на x е логаритам на основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.
Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова ирационален број, неговиот точна вредностневозможно е да се најде и сними. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459...
Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Воопшто, природен логаритамбило кој рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.
За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
Логаритмот на бројот b до основата a е експонентот до кој треба да се подигне бројот a за да се добие бројот b.
Ако тогаш.
Логаритам - екстремен важно математичка величина , бидејќи логаритамското сметање овозможува не само решавање на експоненцијални равенки, туку и работа со експоненти, диференцијација на експоненцијални и логаритамски функции, интегрирајте ги и доведете ги до поприфатлива форма за да се пресметаат.
Во контакт со
Сите својства на логаритмите се директно поврзани со својствата на експоненцијалните функции. На пример, фактот дека 
значи дека:
Треба да се напомене дека при решавањето конкретни задачи, својствата на логаритмите може да бидат поважни и покорисни од правилата за работа со моќи.
Да претставиме неколку идентитети:
Еве ги основните алгебарски изрази:
;
.
Внимание!може да постои само за x>0, x≠1, y>0.
Ајде да се обидеме да го разбереме прашањето што се природни логаритми. Посебен интерес за математика претставуваат два вида- првиот го има бројот „10“ како основа и се нарекува „децимален логаритам“. Вториот се нарекува природен. Основата на природниот логаритам е бројот „е“. Ова е она за што ќе разговараме детално во оваа статија.
Ознаки:
- lg x - децимален;
- ln x - природно.
Користејќи го идентитетот, можеме да видиме дека ln e = 1, како и фактот дека lg 10=1.
Природен логаритамски график
Ајде да конструираме график на природниот логаритам користејќи го стандардниот класичен метод точка по точка. Доколку сакате, можете да проверите дали правилно ја конструираме функцијата со испитување на функцијата. Сепак, има смисла да научите како да го изградите „рачно“ за да знаете како правилно да го пресметате логаритамот.
Функција: y = ln x. Ајде да запишеме табела со точки низ кои ќе помине графикот:
Дозволете ни да објасниме зошто ги избравме овие конкретни вредности на аргументот x. Се работи за идентитетот: . За природниот логаритам овој идентитет ќе изгледа вака:
За погодност, можеме да земеме пет референтни точки:
;
;
.
;
.
Така, пресметувањето на природните логаритми е прилично едноставна задача, згора на тоа, ги поедноставува пресметките на операциите со моќности, претворајќи ги во обично множење.
Со исцртување график точка по точка, добиваме приближен график:
Доменот на дефиниција на природниот логаритам (т.е. сите валидни вредностиаргумент X) - сите броеви се поголеми од нула.
Внимание!Доменот на дефиниција на природниот логаритам вклучува само позитивни бројки! Опсегот на дефиниција не вклучува x=0. Ова е невозможно врз основа на условите за постоење на логаритамот.
Опсегот на вредности (т.е. сите валидни вредности на функцијата y = ln x) се сите броеви во интервалот.
Природна граница на дневник
Проучувајќи го графикот, се поставува прашањето - како се однесува функцијата на y<0.
Очигледно, графикот на функцијата има тенденција да ја премине y-оската, но нема да може да го направи тоа, бидејќи природниот логаритам на x<0 не существует.
Граница на природни дневникможе да се напише вака:
Формула за замена на основата на логаритам
Справувањето со природен логаритам е многу полесно отколку со логаритам кој има произволна основа. Затоа ќе се обидеме да научиме како да го намалиме секој логаритам на природен, или да го изразиме на произволна основа преку природни логаритми.
Да почнеме со логаритамскиот идентитет:
Тогаш секој број или променлива y може да се претстави како:
каде што x е кој било број (позитивен според својствата на логаритамот).
Овој израз може да се земе логаритамски од двете страни. Ајде да го направиме ова користејќи произволна основа z:
Да го користиме својството (само наместо „c“ го имаме изразот):
Од тука ја добиваме универзалната формула:
.
Конкретно, ако z=e, тогаш:
.
Можевме да претставиме логаритам со произволна основа преку односот на два природни логаритма.
Ги решаваме проблемите
Со цел подобро да ги разбереме природните логаритми, ајде да погледнеме примери на неколку проблеми.
Проблем 1. Потребно е да се реши равенката ln x = 3.
Решение:Користејќи ја дефиницијата на логаритамот: ако , тогаш , добиваме:
Проблем 2. Решете ја равенката (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Решение: Користејќи ја дефиницијата на логаритамот: ако , тогаш , добиваме:
.
Ајде повторно да ја користиме дефиницијата за логаритам:
.
Така:
.
Можете приближно да го пресметате одговорот или можете да го оставите во оваа форма.
Задача 3.Решете ја равенката.
Решение:Да направиме замена: t = ln x. Тогаш равенката ќе ја има следната форма:
.
Имаме квадратна равенка. Ајде да го најдеме неговото дискриминаторско:
Првиот корен од равенката:
.
Втор корен од равенката:
.
Сеќавајќи се дека ја направивме замената t = ln x, добиваме:
Во статистиката и теоријата на веројатност, логаритамските величини се наоѓаат многу често. Ова не е изненадувачки, бидејќи бројот e често ја одразува стапката на раст на експоненцијалните количини.
Во компјутерската наука, програмирањето и компјутерската теорија, логаритмите се среќаваат доста често, на пример, со цел да се складираат N битови во меморијата.
Во теориите за фрактали и димензии, логаритмите постојано се користат, бидејќи димензиите на фракталите се одредуваат само со нивна помош.
Во механиката и физикатаНема дел каде што не биле користени логаритми. Барометриската дистрибуција, сите принципи на статистичката термодинамика, равенката Циолковски итн. се процеси кои можат математички да се опишат само со помош на логаритми.
Во хемијата, логаритмите се користат во Нернстовите равенки и описите на редокс процесите.
Неверојатно, дури и во музиката, за да се открие бројот на делови од октава, се користат логаритми.
Природен логаритам Функција y=ln x нејзините својства
Доказ за главното својство на природниот логаритам
Основните својства на природниот логаритам, графикон, домен на дефиниција, збир на вредности, основни формули, извод, интеграл, проширување во моќна серијаи претставување на функцијата ln x користејќи сложени броеви.
Дефиниција
Природен логаритаме функцијата y = во x, инверзна на експоненцијалот, x = e y, и е логаритам на основата на бројот e: ln x = log e x.
Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.
Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
График на функцијата y = во x.
График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график со огледало одраз во однос на правата y = x.
Природниот логаритам е дефиниран за позитивните вредности на променливата x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.
На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).
Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Секоја функција на моќност x a со позитивен експонент a расте побрзо од логаритамот.
Својства на природниот логаритам
Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување
Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.
ln x вредности
ln 1 = 0
Основни формули за природни логаритми
Формули кои произлегуваат од дефиницијата инверзна функција:
Главното својство на логаритмите и неговите последици
Формула за замена на основата
Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:
Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.
Инверзна функција
Инверзната на природниот логаритам е експонентот.
Ако тогаш
Ако тогаш.
Извод ln x
Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >
Интегрален
Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,
Изрази кои користат сложени броеви
Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ
:
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.
Според тоа, природниот логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.
Проширување на серијата на моќност
Кога ќе се изврши проширување:
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
Што е логаритам?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Што е логаритам? Како да се решат логаритми? Овие прашања збунуваат многу дипломци. Традиционално, темата логаритми се смета за сложена, неразбирлива и страшна. Особено равенки со логаритми.
Ова апсолутно не е точно. Апсолутно! Не ми веруваш? Добро. Сега, за само 10-20 минути:
1. Ќе разбереш што е логаритам.
2. Научете да решавате цел клас експоненцијални равенки. Дури и ако не сте слушнале ништо за нив.
3. Научете да пресметувате едноставни логаритми.
Згора на тоа, за ова ќе треба само да ја знаете табелата за множење и како да подигнете број на јачина...
Се чувствувам како да се сомневате... Па, во ред, означете го времето! Оди!
Прво, решете ја оваа равенка во вашата глава:
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Час и презентација на теми: „Природни логаритми. Основа на природниот логаритам. Логаритм на природен број“
Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.
Наставни средства и симулатори во онлајн продавницата Integral за 11 одделение
Интерактивен прирачник за 9-11 одделение „Тригонометрија“
Интерактивен прирачник за 10-11 одделение „Логаритми“
Што е природен логаритам
Момци, во последната лекција научивме нешто ново, посебен број– Денес ќе продолжиме да работиме со овој број.Ги проучувавме логаритмите и знаеме дека основата на еден логаритам може да биде многу броеви кои се поголеми од 0. Денес ќе разгледаме и логаритам чија основа е бројот e. Има своја нотација: $\ln(n)$ е природниот логаритам. Овој запис е еквивалентен на записот: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Експоненцијалните и логаритамските функции се инверзни, тогаш природниот логаритам е инверзна на функцијата: $y=e^x$.
Инверзните функции се симетрични во однос на правата линија $y=x$.
Да го нацртаме природниот логаритам со исцртување на експоненцијалната функција во однос на правата линија $y=x$.
Вреди да се напомене дека аголот на наклонетост на тангентата на графикот на функцијата $y=e^x$ во точката (0;1) е 45°. Тогаш аголот на наклонетост на тангентата на графикот на природниот логаритам во точката (1;0) исто така ќе биде еднаков на 45&степени. И двете од овие тангенти ќе бидат паралелни со правата $y=x$. Да ги дијаграмираме тангентите: 
Својства на функцијата $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Не е ниту парен ниту непарен.
3. Се зголемува низ целиот домен на дефиниција.
4. Не ограничено одозгора, не ограничено одоздола.
5. Најголема вредностНе, најниска вредностбр.
6. Континуирано.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Конвексен нагоре.
9. Секаде се разликува.
Знам виша математикадокажано е дека изводот на инверзна функција е инверзен на изводот на дадена функција.
Нема потреба да навлегуваме во доказот има многу смисла, само да ја напишеме формулата: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Пример.
Пресметај ја вредноста на изводот на функцијата: $y=\ln(2x-7)$ во точката $x=4$.
Решение.
ВО општ погледнашата функција е претставена со функцијата $y=f(kx+m)$, можеме да ги пресметаме изводите на таквите функции.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Да ја пресметаме вредноста на изводот во бараната точка: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Одговор: 2.
Пример.
Нацртајте тангента на графикот на функцијата $y=ln(x)$ во точката $х=е$.
Решение.
Добро се сеќаваме на равенката на тангентата на графикот на функцијата во точката $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Ние секвенцијално ги пресметуваме бараните вредности.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Тангентната равенка во точката $x=e$ е функцијата $y=\frac(x)(e)$.
Да ги нацртаме природниот логаритам и тангентата линија. 
Пример.
Испитај ја функцијата за монотоност и екстреми: $y=x^6-6*ln(x)$.
Решение.
Доменот на дефиниција на функцијата $D(y)=(0;+∞)$.
Да го најдеме изводот на дадената функција:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Тогаш, изводот постои за сите x од доменот на дефиниција критични точкибр. Ајде да најдеме неподвижни точки:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Точката $х=-1$ не припаѓа во доменот на дефиниција. Тогаш имаме еден стационарна точка$x=1$. Ајде да ги најдеме интервалите на зголемување и намалување: 
Точката $x=1$ е минималната точка, потоа $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Одговор: Функцијата се намалува на сегментот (0;1], функцијата се зголемува на зракот $)