Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенции во Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Функцијата LN во Excel е дизајнирана да го пресметува природниот логаритам на број и го враќа соодветниот нумеричка вредност. Природниот логаритам е логаритам со основа e (Ојлеровиот број приближно 2,718).
Функцијата LOG во Excel се користи за пресметување на логаритам на број, а основата на логаритамот може експлицитно да се наведе како втор аргумент на функцијата.
Функцијата LOG10 во Excel е дизајнирана да го пресмета логаритмот на број во основата 10 ( децимален логаритам).
Примери за користење на функциите LN, LOG и LOG10 во Excel
Археолозите пронајдоа остатоци од античко животно. За да се одреди нивната возраст, беше одлучено да се користи методот на радиојаглеродно датирање. Како резултат на мерењата, се покажа дека содржината радиоактивен изотоп C 14 изнесуваше 17% од количината што обично се наоѓа во живите организми. Пресметајте ја староста на остатоците ако полуживотот на изотопот јаглерод 14 е 5760 години.
Приказ на изворната табела:
За решавање користиме следнава формула:
Оваа формула е добиена врз основа на формулата x=t*(lgB-lgq)/lgp, каде што:
- q – количина на јаглерод изотоп во почетен момент(во моментот на смртта на животното), изразено како едно (или 100%);
- Б – количина на изотоп во моментот на анализа на остатоците;
- t е полуживот на изотопот;
- p – нумеричка вредност што покажува колку пати количината на супстанција (изотоп на јаглерод) се менува во одреден временски период t.
Како резултат на пресметките добиваме:
Пронајдените остатоци се стари речиси 15 илјади години.
Калкулатор за депозит со сложена камата во Excel
Клиент на банка направи депозит во износ од 50.000 рубли со каматна стапка од 14,5% (сложена камата). Определете колку време ќе биде потребно за да се удвои вложениот износ?
Интересен факт! За брзо решениеЗа овој проблем, можете да користите емпириски метод за приближно да го процените времето (во години) за удвојување на инвестициите направени по сложена каматна стапка. Таканареченото правило 72 (или 70 или правило 69). За да го направите ова, треба да користите едноставна формула - поделете го бројот 72 со каматната стапка: 72/14,5 = 4,9655 години. Главен недостатокПравилото на „магичниот“ број 72 е грешка. Колку е поголема каматната стапка, толку е поголема грешката во правилото 72. На пример, со каматна стапка од 100% годишно, грешката во години достигнува и до 0,72 (а во проценти тоа е дури 28%!).
За прецизно пресметување на времето на удвојување на инвестициите, ќе ја користиме функцијата LOG. Како прво, да ја провериме вредноста на грешката на правилото 72 со каматна стапка од 14,5% годишно.
Приказ на изворната табела:
За да ја пресметате идната вредност на инвестицијата по позната каматна стапка, можете да ја користите следната формула: S=A(100%+n%) t, каде што:
- S – очекуван износ по истекот на рокот;
- А – износ на депозит;
- n – каматна стапка;
- t – период на складирање на депозитни средства во банката.
За овој пример, оваа формула може да се напише како 100000=50000*(100%+14,5%) t или 2=(100%+14,5%) t. Потоа, за да го пронајдете t, можете да ја преработите равенката како t=log (114,5%) 2 или t=log 1,1452.
За да ја пронајдеме вредноста на t, ја пишуваме следната формула за сложена камата на депозит во Excel:
LOG(B4/B2;1+B3)
Опис на аргументите:
- B4/B2 – односот на очекуваните и почетните износи, што е показател за логаритамот;
- 1+B3 – процентуално зголемување (логаритамска основа).
Како резултат на пресметките добиваме:
Депозитот ќе се удвои за нешто повеќе од 5 години. За прецизна дефиницијагодини и месеци ја користиме формулата:
Функцијата DROP отфрла фракционо сè по децималната точка, слично на функцијата ИНТЕГЕР. Разликата помеѓу функциите TRAN и INTEGER е само во пресметките со негативни дробни броеви. Покрај тоа, OTBR има втор аргумент каде што можете да го одредите бројот на децимали што треба да се остават. Затоа во во овој случајМожете да користите која било од овие две функции по избор на корисникот.
Испадна дека е 5 години и 1 месец и 12 дена. Сега ги споредуваме точните резултати со правилото 72 и ја одредуваме големината на грешката. За овој пример, формулата е како што следува:
Мора да ја помножиме вредноста на ќелијата B3 со 100 бидејќи нејзината моментална вредност е 0,145, што се прикажува во процентуален формат. Како резултат:
Потоа копирајте ја формулата од ќелијата B6 во ќелијата B8, а во ќелијата B9:
Ајде да ги пресметаме периодите на грешки:
Потоа повторно копирајте ја формулата од ќелијата B6 во ќелијата B10. Како резултат, ја добиваме разликата:
И, конечно, да ја пресметаме разликата како процент за да провериме како се менува големината на отстапувањето и колку значително зголемувањето на каматната стапка влијае на нивото на несовпаѓање помеѓу правилото 72 и фактот:
Сега за јасност пропорционална зависностКако што расте грешката и се зголемува нивото на каматна стапка, ние ќе ја зголемиме каматната стапка на 100% годишно:
На прв поглед, разликата во грешката не е значајна во споредба со 14,5% годишно - само околу 2 месеци и 100% годишно - во рок од 3 месеци. Но, уделот на грешка во периодот на созревање е повеќе од ¼, или поточно 28%.
Ајде да направиме едноставен график за визуелна анализа за тоа како зависноста на промените во каматната стапка и процентот на грешка од правилото 72 корелира со фактот:
Колку е поголема каматната стапка, толку полошо функционира правилото 72. Како резултат на тоа, можете да направите следниот излез: до 32,2% годишно можете безбедно да го користите правилото 72. Тогаш грешката е помала од 10 проценти. Во ред е ако не ви требаат прецизни, но сложени пресметки 2 пати повеќе од повратот на инвестицијата.
Инвестициски калкулатор на сложена камата со капитализација во Excel
На клиентот на банката му беше понудено да направи депозит со континуиран пораст на вкупниот износ (капитализација со сложена камата). Каматната стапка е 13% годишно. Определете колку време ќе биде потребно за тројно да се зголеми почетната сума (250.000 рубли). Колку би требало да се зголеми каматната стапка за да се преполови времето на чекање?
Забелешка: бидејќи сме во во овој примертројно зголемување на износот на инвестицијата, тогаш правилото 72 повеќе не важи.
Приказ на оригиналната табела со податоци:
Континуираниот раст може да се опише со формулата ln(N)=p*t, каде што:
- N – сооднос конечна сумапридонес кон почетната;
- стр – каматна стапка;
- t – бројот на години што поминале од депонирањето.
Тогаш t=ln(N)/p. Врз основа на оваа еднаквост, ја пишуваме формулата во Excel:
Опис на аргументите:
- B3/B2 – односот на крајните и почетните износи на депозитот;
- Б4 – каматна стапка.
Ќе бидат потребни речиси 8,5 години за тројно да се зголеми почетната сума на депозит. За да ја пресметаме стапката што ќе го намали времето на чекање за половина, ја користиме формулата:
LN(B3/B2)/(0,5*B5)
Резултат:
Односно, треба да ја удвоите почетната каматна стапка.
Карактеристики на користење на функциите LN, LOG и LOG10 во Excel
Функцијата LN ја има следнава синтакса:
LN (број)
- број е единствен задолжителен аргумент кој прифаќа реални броеви од опсегот позитивни вредности.
Белешки:
- Функцијата LN е инверзна функција EXP. Вториот ја враќа вредноста добиена со подигање на бројот e до одредената моќност. Функцијата LN одредува до која моќ e (основата) треба да се подигне за да се добие логаритамскиот експонент (аргументот за број).
- Ако аргументот за број е број од опсегот негативни вредностиили нула, резултатот од извршувањето на функцијата LN ќе биде кодот за грешка #NUM!.
Синтаксата на функцијата LOG е како што следува:
LOG (број ;[основа])
Опис на аргументите:
- број – потребен аргумент кој ја карактеризира нумеричката вредност на логаритамскиот експонент, односно бројот добиен со подигање на основата на логаритамот до одредена моќност, што ќе се пресмета со функцијата LOG;
- [основа] – опционален аргумент кој ја карактеризира нумеричката вредност на основата на логаритамот. Ако аргументот не е експлицитно наведен, логаритамот се претпоставува дека е децимален (односно, основата е 10).
Белешки:
- Иако резултатот од функцијата LOG може да биде негативен број (на пример, =LOG(2;0.25) ќе врати -0.5), аргументите на функцијата мора да се преземат од опсег на позитивни вредности. Ако барем еден од аргументите е негативен број, LOG функцијаќе го врати кодот за грешка #NUM!.
- Ако вредноста 1 е пренесена како аргумент [radix], функцијата LOG ќе го врати кодот за грешка #DIV/0!, бидејќи резултатот од подигање на 1 на која било моќност секогаш ќе биде ист и еднаков на 1.
Функцијата LOG10 ја има следнава синтакса:
LOG10 (број)
- број е единствен и задолжителен аргумент, чиешто значење е идентично со истоимениот аргумент во функциите LN и LOG.
Забелешка: ако е донесен број како аргумент негативен бројили 0, функцијата LOG10 ќе го врати кодот за грешка #NUM!.
Логаритам даден бројсе нарекува експонентот на кој мора да се подигне друг број, повикан основалогаритам за да се добие овој број. На пример, основниот 10 логаритам од 100 е 2. Со други зборови, 10 мора да се квадрат за да се добие 100 (10 2 = 100). Ако n- даден број, б– основа и л– тогаш логаритам b l = n. Број nнаречен и основен антилогаритам бброеви л. На пример, антилогаритмот од 2 до основата 10 е еднаков на 100. Ова може да се напише во форма на дневник за односи b n = ли антилог b l = n.
Основни својства на логаритмите:
Било кој позитивен број, освен за единство, може да послужи како основа на логаритмите, но, за жал, излегува дека ако бИ nсе рационални броеви, а потоа во во ретки случаипостои таков рационален број л, Што b l = n. Сепак, можно е да се утврди ирационален број л, на пример, така што 10 л= 2; ова е ирационален број лможе да се приближи со која било потребна точност со рационални броеви. Излегува дека во дадениот пример ле приближно еднаква на 0,3010, а ова приближување на основниот 10 логаритам од 2 може да се најде во четирицифрени табели со децимални логаритми. Логаритмите со основа 10 (или логаритми од 10) толку често се користат во пресметките што се нарекуваат обичнилогаритми и напишани како log2 = 0,3010 или log2 = 0,3010, испуштајќи ја експлицитната ознака на основата на логаритмот. Логаритми до основата д, се нарекува трансцендентален број приближно еднаков на 2,71828 природнологаритми. Ги има главно во дела на математичка анализаи неговите апликации за разни науки. Природните логаритми исто така се пишуваат без експлицитно означување на основата, но со помош на специјалната нотација ln: на пример, ln2 = 0,6931, бидејќи д 0,6931 = 2.
Користење на табели на обични логаритми.
Правилниот логаритам на број е експонент на кој мора да се подигне 10 за да се добие даден број. Бидејќи 10 0 = 1, 10 1 = 10 и 10 2 = 100, веднаш добиваме дека log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 итн. за зголемување на целобројните моќи 10. Исто така, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 и затоа log0,1 = –1, log0,01 = –2, итн. за сите цели броеви негативни моќи 10. Вообичаените логаритми на преостанатите броеви се содржани помеѓу логаритмите на најблиските цели броеви на бројот 10; log2 мора да биде помеѓу 0 и 1, log20 мора да биде помеѓу 1 и 2, а log0.2 мора да биде помеѓу -1 и 0. Така, логаритамот се состои од два дела, цел број и децимален, затворени помеѓу 0 и 1. повикан цел број карактеристикалогаритам и се одредува со самиот број, дропкаповикани мантисаи може да се најде од табелите. Исто така, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логаритмот на 2 е 0,3010, значи log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Слично, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. По одземањето добиваме log0.2 = – 0.6990. Сепак, попогодно е да се претстави log0.2 како 0.3010 – 1 или како 9.3010 – 10; може да се формулира и општо правило: сите броеви добиени од даден број со множење со моќ од 10 имаат иста мантиса, еднаква на мантисата даден број. Повеќето табели ги прикажуваат богомолките на броевите во опсег од 1 до 10, бидејќи богомолките на сите други броеви може да се добијат од оние дадени во табелата.
Повеќето табели даваат логаритми со четири или пет децимални места, иако има седумцифрени табели и табели со уште повеќе децимални места. Најлесен начин да научите како да користите такви табели е со примери. За да го пронајдеме log3.59, пред сè, забележуваме дека бројот 3.59 е помеѓу 10 0 и 10 1, па неговата карактеристика е 0. Го наоѓаме бројот 35 (лево) во табелата и се движиме по редот до колона која го има бројот 9 на врвот; пресекот на оваа колона и редот 35 е 5551, така што log3.59 = 0.5551. Да се најде мантисата на број со четири значајни бројки, неопходно е да се прибегне кон интерполација. Во некои табели, интерполацијата е олеснета со пропорциите дадени во последните девет колони на десната страна на секоја страница од табелите. Сега да го најдеме log736.4; бројот 736,4 лежи помеѓу 10 2 и 10 3, затоа карактеристиката на неговиот логаритам е 2. Во табелата наоѓаме ред од кој лево има 73 и колона 6. На пресекот на оваа редица и оваа колона има бројот 8669. Меѓу линеарните делови наоѓаме колона 4 На пресекот на редот 73 и колоната 4 се наоѓа бројот 2. Со додавање 2 на 8669, ја добиваме мантисата - таа е еднаква на 8671. Така, log736.4 = 2,8671.
Природни логаритми.
Табели и својства природни логаритмисе слични на табелите и својствата на обичните логаритми. Главната разлика помеѓу двете е тоа што целобројниот дел од природниот логаритам не е значаен во одредувањето на позицијата децимална точка, и затоа разликата помеѓу богомолката и карактеристиката не игра посебна улога. Природни логаритми на броеви 5,432; 54,32 и 543,2 се еднакви на 1,6923, соодветно; 3,9949 и 6,2975. Врската помеѓу овие логаритми ќе стане очигледна ако ги земеме предвид разликите меѓу нив: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; последниот број не е ништо повеќе од природниот логаритам на бројот 10 (напишан вака: ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; последниот број е 2ln10. Но, 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Така, со природниот логаритам на даден број аможете да најдете природни логаритми на броеви, еднакви на производитеброеви аза кој било степен nброеви 10 ако до ln адодадете ln10 помножено со n, т.е. ln( аґ10n) = дневник а + n ln10 = ln а + 2,3026n. На пример, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Затоа, табелите на природни логаритми, како и табелите на обичните логаритми, обично содржат само логаритми на броеви од 1 до 10. Во системот на природни логаритми, може да се зборува за антилогаритми, но почесто се зборува за експоненцијална функција или експонент. Ако x= дневник y, Тоа y = e x, И yнаречен експонент на x(за типографска погодност, тие често пишуваат y= експ x). Експонентот ја игра улогата на антилогаритам на бројот x.
Користејќи табели со децимални и природни логаритми, можете да креирате табели на логаритми во која било основа освен 10 и д. Ако најавите б а = x, Тоа b x = а, и затоа се најавите c b x= дневник в аили xдневник в б= дневник в а, или x= дневник в а/лог в б= дневник б а. Затоа, користејќи ја оваа формула за инверзија од основната логаритамска табела вможете да изградите табели на логаритми во која било друга основа б. Мултипликатор 1/лог в бповикани транзициски модулод основата вдо основата б. Ништо не спречува, на пример, користење на формулата за инверзија или премин од еден систем на логаритми во друг, наоѓање природни логаритми од табелата на обични логаритми или правење обратна транзиција. На пример, log105.432 = log д 5,432/лог д 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Бројот 0,4343, со кој мора да се помножи природниот логаритам на даден број за да се добие обичен логаритам, е модулот на преминот кон системот на обични логаритми.
Специјални маси.
Логаритмите првично биле измислени така што, користејќи ги нивните својства се логирате ab= дневник а+ дневник би дневник а/б= дневник а- дневник б, претворете ги производите во збирови, а количниците во разлики. Со други зборови, ако се најавите аи дневник бсе познати, тогаш со помош на собирање и одземање лесно можеме да го најдеме логаритамот на производот и количникот. Во астрономијата, сепак, тоа е често дадени вредностидневник аи дневник бтреба да се најде дневник ( а + б) или најавите ( а – б). Се разбира, најпрво може да се најде од табелите на логаритми аИ б, потоа извршете го посоченото собирање или одземање и, повторно повикувајќи се на табелите, пронајдете ги бараните логаритми, но таквата постапка ќе бара трипати да се повикувате на табелите. Z. Leonelli во 1802 година објави табели на т.н. Гаусови логаритми– логаритми за собирање збирови и разлики – што овозможи да се ограничи на еден пристап до табелите.
Во 1624 година, И.Кеплер предложил табели на пропорционални логаритми, т.е. логаритми на броеви а/x, Каде а– некои позитивни константна. Овие табели се користат првенствено од астрономи и навигатори.
Пропорционални логаритми кај а= 1 се нарекуваат кологаритмии се користат во пресметките кога треба да се работи со производи и количници. Кологаритам на број n еднаков на логаритам реципрочен број; тие. колог n= log1/ n= – дневник n. Ако log2 = 0,3010, тогаш colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Предноста на користењето кологаритми е што при пресметување на вредноста на логаритмот на изрази како pq/ртроен збир на позитивни децимали лог стр+ дневник q+колог рполесно е да се најде отколку дневникот на измешаниот збир и разлика стр+ дневник q- дневник р.
Приказна.
Принципот кој лежи во основата на кој било систем на логаритми е познат многу долго време и може да се проследи наназад во древната вавилонска математика (околу 2000 г. п.н.е.). Во тие денови, интерполација помеѓу табелите вредности на цели броеви позитивни степенибиле користени цели броеви за пресметување сложена камата. Многу подоцна, Архимед (287–212 п.н.е.) ги искористил моќите од 108 за да пронајде горната границабројот на зрнца песок потребни за целосно пополнување на тогаш познатиот Универзум. Архимед го привлече вниманието на својството на експонентите што лежи во основата на ефективноста на логаритмите: производот на моќи одговара на збирот на експонентите. На крајот на средниот век и почетокот на модерната ера, математичарите сè повеќе почнале да се свртуваат кон односот помеѓу геометриските и аритметичките прогресии. М. Штифел во својот есеј Целобројна аритметика(1544) даде табела со позитивни и негативни моќи на бројот 2:
Штифел забележал дека збирот на двата броја во првиот ред (правата на експоненти) е еднаков на експонентот од два, што одговара на производот од два соодветните броевиво крајна линија (линија на степени). Во врска со оваа табела, Штифел формулираше четири правила еквивалентни на четири модерни правилаоперации на експоненти или четири правила за операции на логаритми: збирот во горната линија одговара на производот во долната линија; одземањето на горната линија одговара на поделбата на долната линија; множењето на горната линија одговара на степенот на долната линија; поделбата на горната линија одговара на искоренувањето на долната линија.
Очигледно, правилата слични на правилата на Штифел го наведоа Џ. Нејпер формално да го воведе првиот систем на логаритми во неговата работа. Опис на неверојатната табела на логаритми, објавена во 1614 година. Но, мислите на Напиер беа окупирани со проблемот на претворање на производите во суми оттогаш, повеќе од десет години пред објавувањето на неговата работа, Напиер добил вест од Данска дека во опсерваторијата Tycho Brahe неговите помошници имале метод што го направил можно е да се претворат производите во суми. Методот споменат во пораката што ја доби Напиер се заснова на употребата тригонометриски формулитип
затоа Наперовите табели се состоеле главно од логаритми тригонометриски функции. Иако концептот на база не беше експлицитно вклучен во дефиницијата предложена од Напиер, улогата еквивалентна на основата на системот на логаритми во неговиот систем ја играше бројот (1 – 10 –7)ґ10 7, приближно еднаков на 1/ д.
Независно од Напер и речиси истовремено со него, систем на логаритми, доста сличен по тип, бил измислен и објавен од J. Bürgi во Прага, објавен во 1620 г. Табели за аритметичка и геометриска прогресија. Тоа беа табели на антилогаритми на основата (1 + 10 -4) ґ10 4, прилично добра приближување на бројот д.
Во системот Напер, логаритмот на бројот 10 7 бил земен за нула, а како што се намалувале бројките, логаритмите се зголемувале. Кога Г. Бригс (1561–1631) го посети Напиер, и двајцата се согласија дека би било попогодно да се користи бројот 10 како основа и да се земе логаритамот на еден еднаква на нула. Потоа, како што се зголемувале бројките, нивните логаритми би се зголемувале. Така добивме модерен системдецимални логаритми, чија табела Бригс ја објавил во своето дело Логаритамска аритметика(1620). Логаритми до основата д, иако не се баш оние што ги воведе Напер, честопати се нарекуваат Неперови. Термините „карактеристично“ и „мантиса“ беа предложени од Бригс.
Првите логаритми на сила историски причиникористени приближувања на броевите 1/ дИ д. Нешто подоцна, идејата за природни логаритми почна да се поврзува со проучување на области под хипербола xy= 1 (сл. 1). Во 17 век се покажа дека областа ограничена со оваа крива, оската xи ординати x= 1 и x = а(на слика 1 оваа област е покриена со подебели и ретки точки) се зголемува во аритметичка прогресија, Кога асе зголемува во геометриска прогресија. Токму оваа зависност се јавува во правилата за операции со експоненти и логаритми. Ова предизвикало наперските логаритми да се нарекуваат „хиперболични логаритми“.
Логаритамска функција.
Имаше време кога логаритмите се сметаа исклучиво како средство за пресметка, но во 18 век, главно благодарение на делата на Ојлер, концептот беше формиран логаритамска функција. График на таква функција y= дневник x, чии ординати се зголемуваат во аритметичка прогресија, додека абсцисите се зголемуваат во геометриска прогресија, е претставено на сл. 2, А. График на инверзна или експоненцијална функција y = e x, чии ординати се зголемуваат во геометриската прогресија, а чии апсциси се зголемуваат во аритметичката прогресија, е претставено, соодветно, на сл. 2, б. (Криви y= дневник xИ y = 10xслични по форма на облини y= дневник xИ y = e x.) Беа исто така предложени алтернативни дефинициилогаритамска функција, на пример,
kpi ; и, слично, природните логаритми на бројот -1 се сложени броевитипови (2 к + 1)пи, Каде к– цел број. Слични изјави се точни за општите логаритми или други системи на логаритми. Покрај тоа, дефиницијата за логаритми може да се генерализира со користење на Ојлеровите идентитети за да се вклучат сложени логаритмисложени броеви.
Дава алтернативна дефиниција на логаритамската функција функционална анализа. Ако ѓ(x) – континуирана функција реален број x, имајќи ги следните три својства: ѓ (1) = 0, ѓ (б) = 1, ѓ (УВ) = ѓ (u) + ѓ (v), Тоа ѓ(x) се дефинира како логаритам на бројот xбазирано на б. Оваа дефиниција има голем број на предности во однос на дефиницијата дадена на почетокот на овој член.
Апликации.
Логаритмите првично беа користени само за поедноставување на пресметките, а оваа апликација сè уште е една од нивните најважни. Пресметката на производи, количници, моќи и корени е олеснета не само од широката достапност на објавените табели на логаритми, туку и со употребата на т.н. правило за слајд - пресметковна алатка чиј принцип на работа се заснова на својствата на логаритмите. Линијарот е опремен со логаритамски скали, т.е. растојание од број 1 до кој било број xизбрано да биде еднакво на лог x; Со поместување на една скала во однос на друга, можно е да се исцртаат збировите или разликите на логаритмите, што овозможува директно од скалата да се читаат производите или количниците на соодветните броеви. Искористете ги предностите од претставувањето броеви во логаритамска формадозволува итн. логаритамска хартија за цртање графикони (хартија со логаритамски скали испечатени на неа на двете координатни оски). Ако функцијата задоволува закон за моќ од формата y = kxn, потоа таа логаритамски графикизгледа како права линија, бидејќи дневник y= дневник к + nдневник x– равенка линеарна во однос на лог yи дневник x. Напротив, ако логаритамскиот график е кој било функционална зависностима форма на права линија, тогаш оваа зависност е закон за моќ. Полулогаритамска хартија (во која y-оската има логаритамска скала, а оската на апсцисата има униформа скала) е погодна во случаи кога треба да идентификувате експоненцијални функции. Равенки на формата y = kb rxсе случува секогаш кога количеството, како што е населението, количината на радиоактивен материјал или банкарското салдо, се намалува или зголемува со стапка пропорционална на расположливите овој моментброј на жители, радиоактивна супстанцијаили пари. Ако таквата зависност се нацрта на полулогаритамска хартија, графикот ќе изгледа како права линија.
Логаритамската функција се јавува во врска со широк спектар на природни форми. Цветовите во соцветите на сончогледот се наредени во логаритамски спирали, лушпите од мекотели се извиткани Наутилус, планински овчи рогови и клун од папагал. Сите овие природни формиможе да послужи како примери на крива позната како логаритамска спирала бидејќи во поларен системкоординати, нејзината равенка има форма r = ae bq, или ln р= дневник а + bq. Таквата крива се опишува со подвижна точка, чие растојание од полот се зголемува во геометриска прогресија, а аголот опишан со вектор на радиус се зголемува во аритметичка прогресија. Сеприсутноста на таквата крива, а со тоа и на логаритамската функција, е добро илустрирана со фактот што таа се појавува во толку далечни и целосно различни области, како контурата на ексцентрична камери и траекторијата на некои инсекти кои летаат кон светлината.
Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.
И сега - всушност, дефиницијата за логаритам:
Основата на логаритам од x е моќта до која мора да се подигне a за да се добие x.
Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.
На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот дневник за успех 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.
Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритмизација. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| дневник 2 2 = 1 | дневник 2 4 = 2 | дневник 2 8 = 3 | дневник 2 16 = 4 | дневник 2 32 = 5 | дневник 2 64 = 6 |
За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го пронајдете дневникот 2 5 . Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага логаритамот да лежи некаде на сегментот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем повеќе степендва, толку е поголем бројот.
Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.
Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да се избегне досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:
Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.
Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:
- Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата за степенот рационален индикатор, на што се сведува дефиницијата за логаритам.
- Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!
Таквите ограничувања се нарекуваат регион прифатливи вредности (ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.
Сепак, сега само размислуваме нумерички изрази, каде што не е потребно да се знае CVD на логаритамот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе одат логаритамски равенкии нееднаквости, барањата за DHS ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.
Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:
- Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
- Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
- Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.
Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде повеќе од еден, е многу релевантно: ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.
Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:
Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25
- Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Го добивме одговорот: 2.
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Задача. Пресметајте го логаритамот:
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Го добивме одговорот: 3.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Го добивме одговорот: 0.
Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14
- Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
- Од претходниот ставследува дека логаритмот не се брои;
- Одговорот е без промена: дневник 7 14.
Мала забелешка до последен пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само разделете го на главните фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.
Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;
Да забележиме и дека ние самите примарни броевисе секогаш точни степени за себе.
Децимален логаритам
Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.
Децималниот логаритам на x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.
На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.
Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x
Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.
Природен логаритам
Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Тоа е заза природниот логаритам.
Природниот логаритам на x е логаритам на основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.
Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, тоа е точна вредностневозможно е да се најде и сними. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459...
Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x
Така ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Во принцип, природниот логаритам на кој било рационален бројирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.
За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.
Што е логаритам?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Што е логаритам? Како да се решат логаритми? Овие прашања збунуваат многу дипломци. Традиционално, темата логаритми се смета за сложена, неразбирлива и страшна. Особено равенки со логаритми.
Ова апсолутно не е точно. Апсолутно! Не ми верувате? Добро. Сега, за само 10-20 минути:
1. Ќе разбереш што е логаритам.
2. Научете да решавате цел клас експоненцијални равенки. Дури и ако не сте слушнале ништо за нив.
3. Научете да пресметувате едноставни логаритми.
Згора на тоа, за ова ќе треба само да ја знаете табелата за множење и како да подигнете број на јачина...
Се чувствувам како да се сомневате... Па, во ред, означете го времето! Оди!
Прво, решете ја оваа равенка во вашата глава:
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.