Извод на функција назначена имплицитно.
Извод на параметарски дефинирана функција

Во оваа статија ќе разгледаме уште две типични задачи кои често се наоѓаат во тестовите по виша математика. За успешно да го совладате материјалот, мора да бидете во можност да најдете деривати барем на средно ниво. Можете да научите да наоѓате деривати практично од нула во две основни лекции и Извод на сложена функција. Ако вашите вештини за диференцијација се во ред, тогаш ајде да одиме.

Извод на функција назначена имплицитно

Или, накратко, изводот на имплицитна функција. Што е имплицитна функција? Ајде прво да се потсетиме на самата дефиниција на функција од една променлива:

Единечна променлива функцијае правило според кое секоја вредност на независната променлива одговара на една и само една вредност на функцијата.

Променливата се нарекува независната променливаили аргумент.
Променливата се нарекува зависна променливаили функција .

Досега ги разгледавме функциите дефинирани во експлицитнаформа. Што значи тоа? Ајде да спроведеме дебрифинг користејќи конкретни примери.

Размислете за функцијата

Гледаме дека лево имаме осамен „играч“, а десно - само „Х“. Односно функцијата експлицитноизразена преку независната променлива.

Ајде да погледнеме друга функција:

Тука се мешаат променливите. Згора на тоа невозможно со какви било средстваизразете „Y“ само преку „X“. Кои се овие методи? Пренесување поими од дел на дел со промена на знакот, нивно поместување надвор од загради, фрлање фактори според правилото на пропорција итн. Препишете ја еднаквоста и обидете се експлицитно да го изразите „y“: . Можете да ја извртувате равенката со часови, но нема да успеете.

Да ве запознаам: – пример имплицитна функција.

Во текот на математичката анализа се докажа дека имплицитната функција постои(сепак, не секогаш), има график (исто како „нормална“ функција). Имплицитната функција е сосема иста постоипрв дериват, втор извод итн. Како што велат, се почитуваат сите права на сексуалните малцинства.

И во оваа лекција ќе научиме како да го најдеме изводот на функцијата назначена имплицитно. Не е толку тешко! Сите правила за диференцијација и табелата со деривати на елементарните функции остануваат во сила. Разликата е во еден необичен момент, кој ќе го погледнеме токму сега.

Да, и ќе ви ја кажам добрата вест - задачите дискутирани подолу се изведуваат според прилично строг и јасен алгоритам без камен пред три патеки.

Пример 1

1) Во првата фаза, прицврстуваме потези на двата дела:

2) Ги користиме правилата за линеарност на изводот (првите две правила од лекцијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија):

3) Директна диференцијација.
Како да се разликува е сосема јасно. Што да се прави каде што има „игри“ под ударите?

- само до степен на срам, изводот на функцијата е еднаков на неговиот извод: .

Како да се разликува
Еве го имаме комплексна функција. Зошто? Се чини дека под синусот има само една буква „Y“. Но, факт е дека има само една буква „y“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(види дефиниција на почетокот на лекцијата). Така, синусот е надворешна функција и е внатрешна функција. Го користиме правилото за диференцирање на сложена функција :

Производот го разликуваме според вообичаеното правило :

Ве молиме имајте предвид дека - е исто така сложена функција, секоја „игра со ѕвона и свирки“ е сложена функција:

Самото решение треба да изгледа вака:


Ако има загради, тогаш проширете ги:

4) На левата страна ги собираме поимите што содржат „Y“ со прост. Преместете сè друго на десната страна:

5) На левата страна го вадиме дериватот од загради:

6) И според правилото за пропорција, ги спуштаме овие загради во именителот на десната страна:

Дериватот е пронајден. Подготвени.

Интересно е да се забележи дека секоја функција може да се препише имплицитно. На пример, функцијата може да се препише вака: . И диференцирајте го користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Всушност, фразите „имплицитна функција“ и „имплицитна функција“ се разликуваат во една семантичка нијанса. Фразата „имплицитно одредена функција“ е поопшта и поточна, – оваа функција е имплицитно наведена, но тука можете да ја изразите „играта“ и експлицитно да ја претставите функцијата. Фразата „имплицитна функција“ се однесува на „класичната“ имплицитна функција кога „y“ не може да се изрази.

Второ решение

Внимание!Можете да се запознаете со вториот метод само ако знаете како самоуверено да пронајдете парцијални деривати. Калкулус почетници и кукли, ве молам не читајте и прескокнете ја оваа точка, инаку главата ќе ви биде целосен хаос.

Ајде да го најдеме изводот на имплицитната функција користејќи го вториот метод.

Ги преместуваме сите термини на левата страна:

И разгледајте ја функцијата од две променливи:

Тогаш нашиот дериват може да се најде со помош на формулата
Ајде да ги најдеме парцијалните деривати:

Така:

Второто решение ви овозможува да извршите проверка. Но, не е препорачливо да ја напишат конечната верзија на задачата, бидејќи парцијалните изводи се совладуваат подоцна, а студентот што ја проучува темата „Дериват на функција од една променлива“ сè уште не треба да знае делумни изводи.

Ајде да погледнеме уште неколку примери.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Додајте потези на двата дела:

Ние користиме правила за линеарност:

Наоѓање деривати:

Отворање на сите загради:

Ги преместуваме сите термини со на левата страна, а остатокот на десната страна:

Конечниот одговор:

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата.

Не е невообичаено дропките да се појават по диференцијацијата. Во такви случаи, треба да се ослободите од фракции. Ајде да погледнеме уште два примери.

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Ги затвораме двата дела под потези и го користиме правилото за линеарност:

Диференцирајте користејќи го правилото за диференцирање сложена функција и правилото за диференцијација на количниците :

Проширување на заградите:

Сега треба да се ослободиме од фракцијата. Ова може да се направи подоцна, но порационално е да се направи веднаш. Именителот на дропката содржи . Умножете се на . Во детали, тоа ќе изгледа вака:

Понекогаш по диференцијацијата се појавуваат 2-3 фракции. Ако имавме друга дропка, на пример, тогаш операцијата ќе треба да се повтори - множете се секој член од секој делна

На левата страна го ставаме надвор од загради:

Конечниот одговор:

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата дадена имплицитно

Ова е пример за да го решите сами. Единственото нешто е што пред да се ослободите од дропот, прво ќе треба да се ослободите од трикатната структура на самата дропка. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Извод на параметарски дефинирана функција

Да не се стресуваме, сè во овој пасус е исто така прилично едноставно. Можете да ја запишете општата формула за параметарски дефинирана функција, но за да биде јасно, веднаш ќе напишам конкретен пример. Во параметарска форма функцијата е дадена со две равенки: . Често равенките се пишуваат не под загради, туку последователно: , .

Променливата се нарекува параметари може да земе вредности од „минус бесконечност“ до „плус бесконечност“. Размислете, на пример, вредноста и заменете ја во двете равенки: . Или во човечка смисла: „ако x е еднакво на четири, тогаш y е еднакво на еден“. Можете да означите точка на координатната рамнина и оваа точка ќе одговара на вредноста на параметарот. Слично на тоа, можете да најдете точка за која било вредност на параметарот „te“. Што се однесува до „редовната“ функција, за американските Индијанци со параметарски дефинирана функција, се почитуваат и сите права: можете да изградите график, да најдете деривати итн. Патем, ако треба да нацртате график на параметарски дефинирана функција, можете да ја користите мојата програма.

Во наједноставните случаи, можно е експлицитно да се претстави функцијата. Да го изразиме параметарот од првата равенка: – и заменете го во втората равенка: . Резултатот е обична кубна функција.

Во потешки случаи, овој трик не функционира. Но, тоа не е важно, бидејќи постои формула за наоѓање на изводот на параметарска функција:

Го наоѓаме изводот на „играта во однос на променливата te“:

Сите правила за диференцијација и табелата на деривати се валидни, природно, за буквата , така што, нема новина во процесот на пронаоѓање на деривати. Само ментално заменете ги сите „Х“ во табелата со буквата „Те“.

Го наоѓаме изводот на „x во однос на променливата te“:

Сега останува само да ги замениме пронајдените деривати во нашата формула:

Подготвени. Дериватот, како и самата функција, исто така зависи од параметарот.

Што се однесува до ознаката, наместо да се напише во формулата, може едноставно да се напише без подлога, бидејќи ова е „обичен“ дериват „во однос на X“. Но, во литературата секогаш постои опција, така што нема да отстапам од стандардот.

Пример 6

Ја користиме формулата

Во овој случај:

Така:

Посебна карактеристика на наоѓање на изводот на параметарска функција е фактот што на секој чекор е корисно да се поедностави резултатот колку што е можно повеќе. Така, во разгледуваниот пример, кога го најдов, ги отворив заградите под коренот (иако можеби не го направив ова). Има добри шанси при замена во формулата, многу работи добро да се намалат. Иако, се разбира, има примери со несмасни одговори.

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата одредена параметарски

Ова е пример за да го решите сами.

Во статијата Наједноставните типични проблеми со дериватиразгледавме примери во кои требаше да го најдеме вториот извод на функцијата. За параметарски дефинирана функција, можете да го најдете и вториот извод, а тој се наоѓа со помош на следнава формула: . Сосема е очигледно дека за да го пронајдете вториот извод, прво треба да го најдете првиот извод.

Пример 8

Најдете ги првиот и вториот извод на функција дадена параметарски

Прво, да го најдеме првиот дериват.
Ја користиме формулата

Во овој случај:

Пронајдените деривати ги заменуваме во формулата. За цели на поедноставување, ја користиме тригонометриската формула:

Досега разгледувавме равенки на прави на рамнина кои директно ги поврзуваат тековните координати на точките од овие прави. Меѓутоа, често се користи друг метод за дефинирање на линија, во кој тековните координати се сметаат како функции на трета променлива.

Нека се дадени две функции на променлива

се смета за истите вредности на т. Тогаш која било од овие вредности на t одговара на одредена вредност и одредена вредност на y, а со тоа и на одредена точка. Кога променливата t поминува низ сите вредности од доменот на дефинирање на функциите (73), точката опишува одредена линија C во рамнината. Равенките (73) се нарекуваат параметарски равенки на оваа линија, а променливата се нарекува параметар.

Да претпоставиме дека функцијата има инверзна функција.Заменувајќи ја оваа функција со втората од равенките (73), ја добиваме равенката

изразувајќи го y како функција

Да се ​​согласиме да кажеме дека оваа функција е параметарски дадена со равенките (73). Преминот од овие равенки кон равенката (74) се нарекува елиминација на параметарот. Кога се разгледуваат параметарски дефинирани функции, исклучувањето на параметарот не само што не е неопходно, туку и не е секогаш практично можно.

Во многу случаи, многу поудобно е, со оглед на различните вредности на параметарот, потоа да се пресметаат, користејќи формули (73), соодветните вредности на аргументот и функцијата y.

Ајде да погледнеме примери.

Пример 1. Нека е произволна точка на круг со центар на почетокот и радиусот R. Декартовските координати x и y на оваа точка се изразени преку неговиот поларен радиус и поларен агол, кои овде ги означуваме со t, на следниов начин ( види Поглавје I, § 3, став 3):

Равенките (75) се нарекуваат параметарски равенки на круг. Параметарот во нив е поларниот агол, кој варира од 0 до .

Ако равенките (75) се квадрат по член и се додадат, тогаш врз основа на идентитетот параметарот се елиминира и се добива равенката на круг во Декартовиот координатен систем, која дефинира две елементарни функции:

Секоја од овие функции е параметарски одредена со равенките (75), но опсезите на параметрите за овие функции се различни. За првиот од нив; Графикот на оваа функција е горниот полукруг. За втората функција, нејзиниот график е долниот полукруг.

Пример 2. Размислете истовремено за елипса

и круг со центар на почетокот и радиус a (сл. 138).

На секоја точка M од елипсата поврзуваме точка N од кругот, која има иста апсциса како точката M и се наоѓа со неа на истата страна од оската Ox. Положбата на точката N, а со тоа и точката M, е целосно одредена со поларниот агол t на точката.Во овој случај, за нивната заедничка апсциса го добиваме следниот израз: x = a. Ја наоѓаме ординатата во точката М од равенката на елипсата:

Знакот е избран затоа што ординатата од точката М и ординатата од точката N мора да имаат исти знаци.

Така, за елипсата се добиваат следните параметарски равенки:

Овде параметарот t варира од 0 до .

Пример 3. Размислете за круг со центар во точката a) и радиус a, кој очигледно ја допира оската x на почетокот (сл. 139). Да претпоставиме дека овој круг се тркала без да се лизга по оската x. Тогаш точката М на кругот, која во почетниот момент се совпадна со потеклото на координатите, опишува права наречена циклоид.

Да ги изведеме параметарските равенки на циклоидот, земајќи го како параметар t аголот MSV на ротација на кругот при поместување на неговата фиксна точка од позиција O во позиција M. Потоа за координатите и y од точката M ги добиваме следните изрази:

Поради фактот што кругот се тркала по оската без да се лизга, должината на сегментот OB е еднаква на должината на лакот BM. Бидејќи должината на лакот BM е еднаква на производот на радиусот a и централниот агол t, тогаш . Затоа . Но затоа,

Овие равенки се параметарски равенки на циклоидот. Кога параметарот t ќе се промени од 0 во круг, ќе направи една целосна револуција. Точката М ќе опише еден лак на циклоидот.

Исклучувањето на параметарот t овде води до незгодни изрази и е практично непрактично.

Параметриското дефинирање на линии особено често се користи во механиката, а улогата на параметарот ја игра времето.

Пример 4. Да ја одредиме траекторијата на проектил испукан од пиштол со почетна брзина под агол a во однос на хоризонталата. Го занемаруваме отпорот на воздухот и димензиите на проектилот, сметајќи го за материјална точка.

Ајде да избереме координатен систем. Да ја земеме точката на поаѓање на проектилот од муцката како потекло на координатите. Ајде да ја насочиме оската Ox хоризонтално, а оската Oy вертикално, ставајќи ги во иста рамнина со муцката на пиштолот. Ако нема сила на гравитација, тогаш проектилот би се движел праволиниски правејќи агол a со оската Ox и за време t би го поминал растојанието.Координатите на проектилот во времето t би биле соодветно еднакви до: . Поради гравитацијата, проектилот во овој момент мора вертикално да се спушти за одредена количина.Затоа, во реалноста, во времето t, координатите на проектилот се одредуваат со формулите:

Овие равенки содржат постојани количини. Кога t се менува, ќе се променат и координатите на точката на траекторијата на проектилот. Равенките се параметарски равенки на траекторијата на проектилот, во кои параметарот е време

Изразување од првата равенка и замена во

втората равенка, ја добиваме равенката на траекторијата на проектилот во форма Ова е равенка на парабола.

Размислете за дефинирање на линија на рамнина во која променливите x, y се функции на трета променлива t (наречена параметар):

За секоја вредност тод одреден интервал одговараат одредени вредности xИ y, a, значи, одредена точка M (x, y) на рамнината. Кога тпоминува низ сите вредности од даден интервал, потоа точката М (x, y) опишува некоја линија Л. Равенките (2.2) се нарекуваат равенки на параметарски линии Л.

Ако функцијата x = φ(t) има инверзна t = Ф(x), тогаш заменувајќи го овој израз во равенката y = g(t), добиваме y = g(Ф(x)), што одредува yкако функција на x. Во овој случај, велиме дека равенките (2.2) ја дефинираат функцијата yпараметарски.

Пример 1.Нека M(x,y)– произволна точка на круг со радиус Ри центриран на потеклото. Нека т– агол помеѓу оската Воли радиус ОМ(види Сл. 2.3). Потоа x, yсе изразуваат преку т:

Равенките (2.3) се параметарски равенки на круг. Да го исклучиме параметарот t од равенките (2.3). За да го направите ова, ја квадратуваме секоја равенка и ја додаваме, добиваме: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) или x 2 + y 2 = R 2 - равенка на круг во Декартов координатен систем. Тој дефинира две функции: Секоја од овие функции е дадена со параметарски равенки (2.3), но за првата функција и за втората.

Пример 2. Параметриски равенки

дефинира елипса со полуоски а, б(Сл. 2.4). Исклучувајќи го параметарот од равенките т, ја добиваме канонската равенка на елипсата:

Пример 3. Циклоид е линија опишана со точка која лежи на круг ако овој круг се тркала без да се лизга по права линија (сл. 2.5). Да ги воведеме параметарските равенки на циклоидот. Нека биде радиусот на тркалачкиот круг а, точка М, опишувајќи го циклоидот, на почетокот на движењето се совпадна со потеклото на координатите.

Ајде да ги одредиме координатите x, y поени Моткако кругот се ротира низ агол т
(Сл. 2.5), t = ÐMCB. Должина на лакот М.Б.еднаква на должината на сегментот О.Б.затоа што кругот се тркала без да се лизга

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – цена).

Значи, се добиваат параметарските равенки на циклоидот:

При промена на параметар тод 0 до 2πкругот ротира една револуција, а точката Мопишува еден лак на циклоид. Равенките (2.5) даваат yкако функција на x. Иако функцијата x = a (t – синт)има инверзна функција, но таа не се изразува во однос на елементарните функции, па функцијата y = f(x)не се изразува преку елементарни функции.

Да ја разгледаме диференцијацијата на функција дефинирана параметарски со равенките (2.2). Функцијата x = φ(t) на одреден интервал на промена t има инверзна функција t = Ф(x), Потоа y = g(Ф(x)). Нека x = φ(t), y = g(t)имаат деривати и x"t≠0. Според правилото за диференцијација на сложените функции y"x=y"t×t"x.Врз основа на правилото за диференцирање на инверзната функција, значи:

Резултирачката формула (2.6) овозможува да се најде изводот за функција одредена параметарски.

Пример 4. Нека функцијата y, зависи од x, се одредува параметарски:

Решение. .
Пример 5.Најдете го наклонот ктангента на циклоидот во точката M 0 што одговара на вредноста на параметарот.
Решение.Од циклоидните равенки: y" t = asint, x" t = a (1 - цена),Затоа

Тангентен наклон во точка М0еднаква на вредноста на t 0 = π/4:

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА

Оставете ја функцијата во точката x 0има дериват. А-приоритет:
затоа, според својствата на лимитот (Дел 1.8), каде а– бесконечно мало во Δx → 0. Од тука

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Како Δx → 0, вториот член во еднаквоста (2.7) е бесконечно мало од повисок ред, во споредба со , затоа Δy и f " (x 0)×Δx се еквивалентни, бесконечно мали (за f "(x 0) ≠ 0).

Така, зголемувањето на функцијата Δy се состои од два члена, од кои првиот f "(x 0)×Δx е главен дел инкремент Δy, линеарен во однос на Δx (за f "(x 0)≠ 0).

Диференцијалфункцијата f(x) во точката x 0 се нарекува главен дел од зголемувањето на функцијата и се означува: диили df (x0). Оттука,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1.Најдете го диференцијалот на функцијата дии зголемувањето на функцијата Δy за функцијата y = x 2 на:
1) произволно xи Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ако x 0 = 20, Δx = 0,1, тогаш Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Да ја напишеме еднаквоста (2.7) во форма:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Инкрементот Δy е различен од диференцијалот дидо бесконечно мало од повисок ред, во споредба со Δx, затоа, во приближни пресметки, приближната еднаквост Δy ≈ dy се користи ако Δx е доволно мал.

Имајќи предвид дека Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), добиваме приближна формула:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Пример 2. Пресметајте приближно.

Решение.Да се ​​разгледа:

Користејќи ја формулата (2.10), добиваме:

Значи, ≈ 2.025.

Да го разгледаме геометриското значење на диференцијалот df (x 0)(Сл. 2.6).

Да нацртаме тангента на графикот на функцијата y = f(x) во точката M 0 (x0, f(x 0)), нека φ е аголот помеѓу тангентата KM0 и оската Ox, потоа f"( x 0) = tanφ Од ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Но PN е зголемување на тангентата ордината кога x се менува од x 0 на x 0 + Δx.

Следствено, диференцијалот на функцијата f(x) во точката x 0 е еднаков на зголемувањето на ординатата на тангентата.

Да го најдеме диференцијалот на функцијата
y = x. Бидејќи (x)" = 1, тогаш dx = 1×Δx = Δx. Ќе претпоставиме дека диференцијалот на независната променлива x е еднаков на нејзиниот пораст, т.е. dx = Δx.

Ако x е произволен број, тогаш од еднаквоста (2.8) добиваме df(x) = f "(x)dx, од каде .
Така, изводот за функција y = f(x) е еднаков на односот на неговиот диференцијал со диференцијалот на аргументот.

Да ги разгледаме својствата на диференцијалот на функцијата.

Ако u(x), v(x) се диференцијабилни функции, тогаш валидни се следните формули:

За докажување на овие формули се користат изводни формули за збир, производ и количник на функција. Да ја докажеме, на пример, формулата (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Да го разгледаме диференцијалот на сложена функција: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогаш dy = y" t dt, но y" t = y" x ×x" t, така што dy =y" x x" t dt. Со оглед на тоа,

дека x" t = dx, добиваме dy = y" x dx =f "(x)dx.

Така, диференцијалот на сложена функција y = f(x), каде што x =φ(t), има форма dy = f "(x)dx, исто како и во случајот кога x е независна променлива. Ова својство се нарекува непроменливост на формата на диференцијалот А.

Да не се стресуваме, сè во овој пасус е исто така прилично едноставно. Можете да ја запишете општата формула за параметарски дефинирана функција, но за да биде јасно, веднаш ќе напишам конкретен пример. Во параметарска форма функцијата е дадена со две равенки: . Често равенките се пишуваат не под загради, туку последователно: , .

Променливата се нарекува параметар и може да зема вредности од „минус бесконечност“ до „плус бесконечност“. Размислете, на пример, вредноста и заменете ја во двете равенки: . Или во човечка смисла: „ако x е еднакво на четири, тогаш y е еднакво на еден“. Можете да означите точка на координатната рамнина и оваа точка ќе одговара на вредноста на параметарот. Слично на тоа, можете да најдете точка за која било вредност на параметарот „te“. Што се однесува до „редовната“ функција, за американските Индијанци со параметарски дефинирана функција, се почитуваат и сите права: можете да изградите график, да најдете деривати итн. Патем, ако треба да нацртате график на параметарски одредена функција, преземете ја мојата геометриска програма на страницата Математички формули и табели.

Во наједноставните случаи, можно е експлицитно да се претстави функцијата. Да го изразиме параметарот од првата равенка: – и заменете го во втората равенка: . Резултатот е обична кубна функција.

Во потешки случаи, овој трик не функционира. Но, тоа не е важно, бидејќи постои формула за наоѓање на изводот на параметарска функција:

Го наоѓаме изводот на „играта во однос на променливата te“:

Сите правила за диференцијација и табелата на деривати се валидни, природно, за буквата , така што, нема новина во процесот на пронаоѓање на деривати. Само ментално заменете ги сите „Х“ во табелата со буквата „Те“.

Го наоѓаме изводот на „x во однос на променливата te“:

Сега останува само да ги замениме пронајдените деривати во нашата формула:

Подготвени. Дериватот, како и самата функција, исто така зависи од параметарот.

Што се однесува до ознаката, наместо да се напише во формулата, може едноставно да се напише без подлога, бидејќи ова е „обичен“ дериват „во однос на X“. Но, во литературата секогаш постои опција, така што нема да отстапам од стандардот.

Пример 6

Ја користиме формулата

Во овој случај:

Така:

Посебна карактеристика на наоѓање на изводот на параметарска функција е фактот што на секој чекор е корисно да се поедностави резултатот колку што е можно повеќе. Така, во разгледуваниот пример, кога го најдов, ги отворив заградите под коренот (иако можеби не го направив ова). Има добри шанси при замена во формулата, многу работи добро да се намалат. Иако, се разбира, има примери со несмасни одговори.

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата одредена параметарски

Ова е пример за да го решите сами.

Во статијата Наједноставните типични проблеми со деривати разгледавме примери во кои требаше да го најдеме вториот извод на функцијата. За параметарски дефинирана функција, можете да го најдете и вториот извод, а тој се наоѓа со помош на следнава формула: . Сосема е очигледно дека за да го пронајдете вториот извод, прво треба да го најдете првиот извод.

Пример 8

Најдете ги првиот и вториот извод на функција дадена параметарски

Прво, да го најдеме првиот дериват.
Ја користиме формулата

Во овој случај:

Ги заменува пронајдените деривати во формулата. За цели на поедноставување, ја користиме тригонометриската формула:

Забележав дека во проблемот на пронаоѓање на изводот на параметарска функција, доста често заради поедноставување потребно е да се користи тригонометриски формули . Запомнете ги или чувајте ги при рака и не пропуштајте ја можноста да го поедноставите секој среден резултат и одговори. За што? Сега треба да го земеме изводот на , и ова е јасно подобро отколку да го најдеме изводот на .

Ајде да го најдеме вториот извод.
Ја користиме формулата: .

Ајде да ја погледнеме нашата формула. Именителот е веќе пронајден во претходниот чекор. Останува да се најде броителот - изводот на првиот извод во однос на променливата „те“:

Останува да се користи формулата:

За да го зајакнам материјалот, нудам уште неколку примери за да ги решите сами.

Пример 9

Пример 10

Најдете и за функција одредена параметарски

Ти посакувам успех!

Се надевам дека оваа лекција беше корисна и сега можете лесно да најдете деривати на функции наведени имплицитно и од параметарски функции

Решенија и одговори:

Пример 3: Решение:






Така: