Како да најдете дефинитивни интегрални примери. Дефинитивен интеграл

За да научите како да решавате одредени интеграли, треба:

1) Да може најдетенеопределени интеграли.

2) Да може пресметајопределен интеграл.

Како што можете да видите, за да совладате дефинитивен интеграл, треба да имате прилично добро разбирање за „обичните“ неопределени интеграли. Затоа, ако штотуку почнувате да се нурнувате во интегрален калкулус, а котелот сè уште воопшто не зоврил, тогаш подобро е да започнете со лекцијата Неопределен интеграл. Примери на решенија.

Во општа форма, дефинитивниот интеграл е напишан на следниов начин:

Што се додава во споредба со неопределен интеграл? Повеќе граници на интеграција.

Долна граница на интеграција
Горна граница на интеграцијастандардно се означува со буквата .
Сегментот се нарекува сегмент на интеграција.

Пред да преминеме на практични примери, малку „ебење“ на определениот интеграл.

Што е дефинитивен интеграл?Би можел да ви кажам за дијаметар на отсечка, граница на интегрални збирови итн., но лекцијата е од практична природа. Затоа, ќе кажам дека определен интеграл е БРОЈ. Да, да, најобична бројка.

Дали определениот интеграл има геометриско значење?Јадете. И многу добро. Најпопуларната задача е пресметување на плоштина со помош на определен интеграл.

Што значи да се реши определен интеграл?Решавање на определен интеграл значи наоѓање број.

Како да се реши дефинитивен интеграл?Користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц позната од училиштето:

Подобро е да ја преработите формулата на посебен лист хартија; таа треба да биде пред вашите очи во текот на целата лекција.

Чекорите за решавање на дефинитивен интеграл се следните:

1) Прво ја наоѓаме антидеривативната функција (неопределен интеграл). Забележете дека константата во определениот интеграл никогаш не е додаден. Ознаката е чисто техничка, а вертикалниот стап не носи никакво математичко значење, всушност, тоа е само ознака. Зошто е потребна самата снимка? Подготовка за примена на формулата Њутн-Лајбниц.

2) Заменете ја вредноста на горната граница со антидеривативната функција: .

3) Заменете ја вредноста на долната граница со антидеривативната функција: .

4) Ја пресметуваме (без грешки!) разликата, односно го наоѓаме бројот.

Дали секогаш постои дефинитивен интеграл?Не, не секогаш.

На пример, интегралот не постои бидејќи сегментот на интеграција не е вклучен во доменот на дефинирање на интеграндот (вредностите под квадратниот корен не можат да бидат негативни). Еве еден помалку очигледен пример: . Таков интеграл исто така не постои, бидејќи нема тангента во точките на отсечката. Патем, кој сè уште не го прочитал наставниот материјал? Графикони и основни својства на елементарните функции– сега е време да се направи тоа. Ќе биде одлично да се помогне во текот на вишата математика.

За воопшто да постои дефинитивен интеграл, потребно е интегранд функцијата да биде континуирана на интервалот на интеграција.

Од горенаведеното, следува првата важна препорака: пред да започнете со решавање на СЕКОЈ дефинитивен интеграл, треба да бидете сигурни дека интеграндот функционира е континуиран на интервалот на интеграција. Кога бев студент, постојано имав инцидент кога долго време се мачев со пронаоѓање на тежок антидериват, а кога конечно го најдов, си го вртев мозокот на друго прашање: „Каква глупост испадна ?“ Во поедноставена верзија, ситуацијата изгледа вака:

???!!!

Не можете да ги замените негативните броеви под коренот!

Ако за решение (во тест, тест, испит) ви се понуди непостоечки интеграл како

тогаш треба да дадете одговор дека интегралот не постои и да оправдате зошто.

Може ли определен интеграл да биде еднаков на негативен број?Можеби. И негативен број. И нула. Може дури и да испадне дека е бесконечност, но веќе ќе биде неправилен интеграл, на кои им се одржува посебно предавање.

Може ли долната граница на интеграција да биде поголема од горната граница на интеграција?Можеби оваа ситуација всушност се случува во пракса.

– интегралот може лесно да се пресмета со помош на формулата Њутн-Лајбниц.

Што е незаменливо вишата математика? Се разбира, без секакви својства. Затоа, да разгледаме некои својства на определениот интеграл.

Во дефинитивен интеграл, можете да ги преуредите горните и долните граници, менувајќи го знакот:

На пример, во дефинитивен интеграл, пред интеграцијата, препорачливо е да се сменат границите на интеграцијата во „вообичаениот“ редослед:

– во оваа форма е многу поудобно да се интегрира.

Како и кај неопределениот интеграл, дефинитивниот интеграл има линеарни својства:

– ова важи не само за две, туку и за кој било број функции.

Во дефинитивен интеграл може да се изврши замена на интеграциската променлива, сепак, во споредба со неопределениот интеграл, ова има свои специфики, за кои ќе зборуваме подоцна.

За дефинитивен интеграл важи следново: интеграција по делови формула:

Пример 1

Решение:

(1) Константата ја вадиме од интегрален знак.

(2) Интегрирајте преку табелата користејќи ја најпопуларната формула . Препорачливо е да се оддели константата што се појавува и да се стави надвор од заградата. Не е неопходно да се направи ова, но препорачливо е - зошто дополнителни пресметки?

(3) Ја користиме формулата Њутн-Лајбниц

Прво ја заменуваме горната граница, па долната граница. Вршиме дополнителни пресметки и го добиваме конечниот одговор.

Пример 2

Пресметај дефинитивен интеграл

Ова е пример за да го решите сами, решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Ајде малку да ја комплицираме задачата:

Пример 3

Пресметај дефинитивен интеграл

Решение:

(1) Ги користиме својствата на линеарноста на определениот интеграл.

(2) Интегрираме според табелата, притоа ги вадиме сите константи - тие нема да учествуваат во замената на горните и долните граници.

– прво место на хит парадата на грешки поради невнимание, многу често пишуваат автоматски

(особено кога замената на горната и долната граница се врши усно и не е толку детално напишана). Уште еднаш, внимателно проучете го горниот пример.

Треба да се напомене дека разгледуваниот метод за решавање на определен интеграл не е единствениот. Со одредено искуство, решението може значително да се намали. На пример, јас самиот сум навикнат да решавам вакви интеграли како овој:

Овде вербално ги користев правилата за линеарност и вербално интегрирав користејќи ја табелата. Завршив со само една заграда со означени граници:

(за разлика од три загради во првиот метод). И во „целата“ антидеривативна функција, прво заменив 4, потоа –2, повторно извршувајќи ги сите дејства во мојот ум.

Кои се недостатоците на краткото решение? Сè овде не е многу добро од гледна точка на рационалноста на пресметките, но лично не ми е грижа - пресметувам обични фракции на калкулатор.
Покрај тоа, постои зголемен ризик да се направи грешка во пресметките, па затоа е подобро за еден ученик за чај да го користи првиот метод, со „мојот“ метод на решавање, знакот дефинитивно ќе се изгуби некаде.

Несомнените предности на вториот метод се брзината на решението, компактноста на ознаката и фактот што антидеривативот

е во една заграда.

Процесот на решавање интеграли во науката наречена математика се нарекува интеграција. Користејќи ја интеграцијата, можете да најдете некои физички количини: површина, волумен, маса на тела и многу повеќе.

Интегралите можат да бидат неопределени или определени. Да ја разгледаме формата на определениот интеграл и да се обидеме да го разбереме неговото физичко значење. Тој е претставен во оваа форма: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Посебна карактеристика на пишувањето определен интеграл од неопределен интеграл е тоа што постојат граници на интеграција a и b. Сега ќе дознаеме зошто се потребни и што всушност значи дефинитивен интеграл. Во геометриска смисла, таков интеграл е еднаков на плоштината на фигурата ограничена со кривата f(x), линиите a и b и оската Ox.

Од сл. 1 е јасно дека дефинитивниот интеграл е истата област што е засенчена во сива боја. Ајде да го провериме ова со едноставен пример. Ајде да ја најдеме областа на сликата на сликата подолу користејќи интеграција, а потоа да ја пресметаме на вообичаен начин на множење на должината со ширина.

Од сл. 2 е јасно дека $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Сега ги заменуваме во дефиницијата на интегралот, добиваме дека $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(единици)^2 $$ Ајде да ја направиме проверката на вообичаен начин. Во нашиот случај, должина = 3, ширина на фигурата = 1. $$ S = \text(length) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(единици)^2 $$ Како што можете види, сè се вклопува совршено.

Се поставува прашањето: како да се решат неопределени интеграли и кое е нивното значење? Решавањето на таквите интеграли е пронаоѓање на антидеривативни функции. Овој процес е спротивен од пронаоѓањето на дериватот. За да го пронајдете антидериватот, можете да ја искористите нашата помош за решавање на проблеми во математиката или треба самостојно да ги запаметите својствата на интегралите и табелата за интеграција на наједноставните елементарни функции. Наодот изгледа вака: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(каде) F(x) $ е антидериват на $ f(x), C = const $.

За да го решите интегралот, треба да ја интегрирате функцијата $ f(x) $ преку променлива. Ако функцијата е табеларна, тогаш одговорот се пишува во соодветна форма. Ако не, тогаш процесот се сведува на добивање на табеларна функција од функцијата $ f(x) $ преку незгодни математички трансформации. Постојат различни методи и својства за ова, кои ќе ги разгледаме понатаму.

Значи, сега да создадеме алгоритам за решавање интеграли за кукли?

Алгоритам за пресметување интеграли

Да го дознаеме дефинитивниот интеграл или не.
Ако е недефинирано, тогаш треба да ја пронајдете антидеривативната функција $ F(x) $ од интеграндот $ f(x) $ користејќи математички трансформации што водат до табеларна форма на функцијата $ f(x) $.
Ако е дефинирано, тогаш треба да го извршите чекор 2, а потоа да ги замените границите $ a $ и $ b $ во антидеривативната функција $ F(x) $. Која формула да ја користите за да го направите ова ќе дознаете во написот „Формула Њутн-Лајбниц“.

Примери на решенија

Значи, научивте како да решавате интеграли за кукли, средени се примери за решавање интеграли. Го научивме нивното физичко и геометриско значење. Методите на решение ќе бидат опишани во други статии.

Во секое поглавје ќе има задачи за самостојно решавање, на кои можете да ги видите одговорите.

Концептот на определен интеграл и формулата Њутн-Лајбниц

Со дефинитивен интеграл од континуирана функција ѓ(x) на последниот сегмент [ а, б] (каде ) се нарекува прираст на дел од него антидериватна овој сегмент. (Генерално, разбирањето ќе биде многу полесно ако ја повторите темата неопределен интеграл) Во овој случај се користи ознаката

Како што може да се види на графиконите подолу (зголемувањето на антидеривативната функција е означено со ), Дефинитивен интеграл може да биде или позитивен или негативен број(Се пресметува како разлика помеѓу вредноста на антидериватот во горната граница и неговата вредност во долната граница, т.е. Ф(б) - Ф(а)).

Броеви аИ бсе нарекуваат долните и горните граници на интеграцијата, соодветно, и сегментот [ а, б] – сегмент на интеграција.

Така, ако Ф(x) – некоја антидеривативна функција за ѓ(x), тогаш, според дефиницијата,

(38)

Се нарекува еднаквост (38). Формула Њутн-Лајбниц . Разлика Ф(б) – Ф(а) е накратко напишано на следниов начин:

Затоа, формулата Њутн-Лајбниц ќе ја напишеме вака:

(39)

Да докажеме дека определениот интеграл не зависи од тоа кој антидериват на интеграндот се зема при неговото пресметување. Нека Ф(x) и F( X) се произволни антидеривати на интеграндот. Бидејќи ова се антидеривати со иста функција, тие се разликуваат со константен член: Ф( X) = Ф(x) + В. Затоа

Ова утврдува дека на сегментот [ а, б] зголемувања на сите антидеривати на функцијата ѓ(x) се совпаѓаат.

Така, за да се пресмета дефинитивен интеграл, потребно е да се најде кој било антидериват на интеграндот, т.е. Прво треба да го пронајдете неопределениот интеграл. Постојана СО исклучени од последователните пресметки. Потоа се применува формулата Њутн-Лајбниц: вредноста на горната граница се заменува со антидеривативната функција б , понатаму - вредноста на долната граница а и се пресметува разликата F(b) - F(a) . Добиениот број ќе биде дефинитивен интеграл..

На а = бпо дефиниција прифатено

Пример 1.

Решение. Прво, да го најдеме неопределениот интеграл:

Примена на формулата Њутн-Лајбниц на антидериватот

(на СО= 0), добиваме

Меѓутоа, при пресметување на определен интеграл, подобро е да не се најде одделно антидериватот, туку веднаш да се запише интегралот во формата (39).

Пример 2.Пресметај дефинитивен интеграл

Решение. Користење на формула

Пронајдете го сами дефинитивниот интеграл и потоа погледнете го решението

Својства на определениот интеграл

Теорема 2.Вредноста на определениот интеграл не зависи од ознаката на интеграциската променлива, т.е.

(40)

Нека Ф(x) – антидериват за ѓ(x). За ѓ(т) антидериватот е истата функција Ф(т), во која независната променлива е само означена поинаку. Оттука,

Врз основа на формулата (39), последната еднаквост значи еднаквост на интегралите

Теорема 3.Константниот фактор може да се извади од знакот на определениот интеграл, т.е.

(41)

Теорема 4.Дефинитивниот интеграл на алгебарски збир на конечен број функции е еднаков на алгебарскиот збир на одредени интеграли на овие функции, т.е.

(42)

Теорема 5.Ако сегментот од интеграцијата е поделен на делови, тогаш дефинитивниот интеграл на целиот сегмент е еднаков на збирот на одредени интеграли на неговите делови, т.е. Ако

(43)

Теорема 6.При преуредување на границите на интеграција, апсолутната вредност на определениот интеграл не се менува, туку се менува само неговиот знак., т.е.

(44)

Теорема 7(теорема на средна вредност). Дефинитивен интеграл е еднаков на производот од должината на интеграцискиот сегмент и вредноста на интеградот во одредена точка во него, т.е.

(45)

Теорема 8.Ако горната граница на интеграција е поголема од долната и интеграндот е ненегативен (позитивен), тогаш и определениот интеграл е ненегативен (позитивен), т.е. Ако

Теорема 9.Ако горната граница на интеграција е поголема од долната и функциите и се континуирани, тогаш нееднаквоста

може да се интегрира термин по термин, т.е.

(46)

Својствата на определениот интеграл овозможуваат да се поедностави директното пресметување на интегралите.

Пример 5.Пресметај дефинитивен интеграл

Користејќи ги теоремите 4 и 3, и при наоѓање антидеривати - табеларни интеграли(7) и (6), добиваме

Дефинитивен интеграл со променлива горна граница

Нека ѓ(x) – континуирано на сегментот [ а, б] функција и Ф(x) е негов антидериват. Размислете за определениот интеграл

(47)

и преку тинтеграциската променлива е назначена за да не се меша со горната граница. Кога се менува Xсе менува и определениот интеграл (47), т.е. тоа е функција на горната граница на интеграција X, што го означуваме со Ф(X), т.е.

(48)

Да докажеме дека функцијата Ф(X) е антидериват за ѓ(x) = ѓ(т). Навистина, разликување Ф(X), добиваме

бидејќи Ф(x) – антидериват за ѓ(x), А Ф(а) е константна вредност.

Функција Ф(X) – еден од бесконечниот број антидеривати за ѓ(x), имено онаа што x = аоди на нула. Овој исказ се добива ако во еднаквост (48) ставиме x = аи користете ја теоремата 1 од претходниот став.

Пресметка на определени интеграли по методот на интеграција по делови и методот на промена на променливата

каде, по дефиниција, Ф(x) – антидериват за ѓ(x). Ако ја смениме променливата во интеграндот

тогаш, во согласност со формулата (16), можеме да напишеме

Во овој израз

антидеривативна функција за

Всушност, неговиот дериват, според правило за диференцијација на сложените функции, е еднаков

Нека α и β се вредностите на променливата т, за што функцијата

зема вредности соодветно аИ б, т.е.

Но, според формулата Њутн-Лајбниц, разликата Ф(б) – Ф(а) Ете го

Дефинитивен интеграл. Примери на решенија

Здраво повторно. Во оваа лекција детално ќе испитаме таква прекрасна работа како дефинитивен интеграл. Овој пат воведот ќе биде краток. Сите. Затоа што надвор од прозорецот има снежна бура.

За да научите како да решавате одредени интеграли, треба:

1) Да може најдетенеопределени интеграли.

2) Да може пресметајопределен интеграл.

Во општа форма, дефинитивниот интеграл е напишан на следниов начин:

Што се додава во споредба со неопределен интеграл? Повеќе граници на интеграција.

Пред да преминеме на практични примери, брз совет за дефинитивниот интеграл.

Што значи да се реши определен интеграл?Решавање на определен интеграл значи наоѓање број.

Како да се реши дефинитивен интеграл?Користејќи ја формулата Њутн-Лајбниц позната од училиштето:

Чекорите за решавање на дефинитивен интеграл се следните:

1) Прво ја наоѓаме антидеривативната функција (неопределен интеграл). Забележете дека константата во определениот интеграл не е додаден. Ознаката е чисто техничка, а вертикалниот стап не носи никакво математичко значење, всушност, тоа е само ознака. Зошто е потребна самата снимка? Подготовка за примена на формулата Њутн-Лајбниц.

2) Заменете ја вредноста на горната граница со антидеривативната функција: .

3) Заменете ја вредноста на долната граница со антидеривативната функција: .

4) Ја пресметуваме (без грешки!) разликата, односно го наоѓаме бројот.

Дали секогаш постои дефинитивен интеграл?Не, не секогаш.

На пример, интегралот не постои бидејќи сегментот на интеграција не е вклучен во доменот на дефинирање на интеграндот (вредностите под квадратниот корен не можат да бидат негативни). Еве еден помалку очигледен пример: . Тука на интервалот за интеграција тангентаиздржува бескрајни паузиво точките , и затоа таков дефинитивен интеграл исто така не постои. Патем, кој сè уште не го прочитал наставниот материјал? Графикони и основни својства на елементарните функции– сега е време да се направи тоа. Ќе биде одлично да се помогне во текот на вишата математика.

За тоа за воопшто да постои дефинитивен интеграл, доволно е интеграндот да е континуиран на интервалот на интеграција.

???! Не можете да ги замените негативните броеви под коренот! Што по ѓаволите е тоа?! Почетно невнимание.

Ако за решение (во тест, тест, испит) ви се понуди интегрален лајк или , тогаш треба да дадете одговор дека овој дефинитивен интеграл не постои и да оправдате зошто.

! Забелешка : во вториот случај, зборот „одредено“ не може да се изостави, бидејќи интеграл со точки дисконтинуитети се дели на неколку, во овој случај на 3 неправилни интеграли, а формулацијата „овој интеграл не постои“ станува неточна.

– интегралот може лесно да се пресмета со помош на формулата Њутн-Лајбниц.

Во дефинитивен интеграл, можете да ги преуредите горните и долните граници, менувајќи го знакот:

– во оваа форма е многу поудобно да се интегрира.

– ова важи не само за две, туку и за кој било број функции.

За дефинитивен интеграл важи следново: интеграција по делови формула:

Пример 1

Решение:

(1) Константата ја вадиме од интегрален знак.

. Прво ја заменуваме горната граница, па долната граница. Вршиме дополнителни пресметки и го добиваме конечниот одговор.

Пример 2

Пресметај дефинитивен интеграл

Ова е пример за да го решите сами, решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Ајде малку да ја комплицираме задачата:

Пример 3

Пресметај дефинитивен интеграл

Решение:

(1) Ги користиме својствата на линеарноста на определениот интеграл.

(3) За секој од трите поими ја применуваме формулата Њутн-Лајбниц:

СЛАБАТА АЛКА во дефинитивниот интеграл се грешките во пресметките и вообичаената КОНФУЗИЈА ВО ЗНАЦИТЕ. Внимавај! Посебно внимание се фокусирам на третиот термин: – прво место на хит парадата на грешки поради невнимание, многу често пишуваат автоматски (особено кога замената на горната и долната граница се врши усно и не е толку детално напишана). Уште еднаш, внимателно проучете го горниот пример.

Овде вербално ги користев правилата за линеарност и вербално интегрирав користејќи ја табелата. Завршив со само една заграда со означени граници: (за разлика од три загради во првиот метод). И во „целата“ антидеривативна функција, прво заменив 4, потоа –2, повторно извршувајќи ги сите дејства во мојот ум.

Сепак, несомнените предности на вториот метод се брзината на решавање, компактноста на ознаката и фактот што антидеривативот е во една заграда.

Совет: пред да се користи формулата Њутн-Лајбниц, корисно е да се провери: дали самиот антидериват е пронајден правилно?

Значи, во однос на примерот што се разгледува: пред да се заменат горните и долните граници со антидеривативната функција, препорачливо е да се провери на нацртот дали неопределениот интеграл е правилно пронајден? Ајде да разликуваме:

Добиена е оригиналната интегранд функција, што значи дека неопределениот интеграл е правилно пронајден. Сега можеме да ја примениме формулата Њутн-Лајбниц.

Таквата проверка нема да биде излишна при пресметување на кој било дефинитивен интеграл.

Пример 4

Пресметај дефинитивен интеграл

Ова е пример за да се решите сами. Обидете се да го решите на краток и детален начин.

Менување на променлива во определен интеграл

За определен интеграл важат сите видови замени како и за неопределен интеграл. Така, ако не сте многу добри со замените, треба внимателно да ја прочитате лекцијата Метод на замена во неопределен интеграл.

Нема ништо страшно или тешко во овој пасус. Новината лежи во прашањето како да се сменат границите на интеграција при замена.

Во примери, ќе се обидам да дадам типови на замени кои сè уште не се пронајдени никаде на страницата.

Пример 5

Пресметај дефинитивен интеграл

Главното прашање овде не е дефинитивниот интеграл, туку како правилно да се изврши замената. Ајде да погледнеме табела на интегралии дознајте како најмногу изгледа нашата интегративна функција? Очигледно, за долгиот логаритам: . Но, има едно несовпаѓање, во табелата интегрален под коренот, а во нашата - „х“ до четвртата сила. Идејата за замена произлегува и од расудувањето - би било убаво некако да го претвориме нашиот четврти степен во квадрат. Вистинско е.

Прво, го подготвуваме нашиот интеграл за замена:

Од горенаведените размислувања, сосема природно произлегува замена:
Така, сè ќе биде во ред во именителот: .
Дознаваме во што ќе се претвори преостанатиот дел од интеграндот, за ова го наоѓаме диференцијалот:

Во споредба со замена во неопределен интеграл, додаваме дополнителен чекор.

Наоѓање нови граници на интеграција.

Тоа е прилично едноставно. Да ја погледнеме нашата замена и старите граници на интеграција, .

Прво, ја заменуваме долната граница на интеграција, односно нула, во заменскиот израз:

Потоа ја заменуваме горната граница на интеграција во заменскиот израз, односно коренот на три:

Подготвени. И само...

Да продолжиме со решението.

(1) Според замена напишете нов интеграл со нови граници на интеграција.

(2) Ова е наједноставниот интеграл на табелата, ние се интегрираме преку табелата. Подобро е да ја оставите константата надвор од заградите (не мора да го правите ова) за да не се меша со понатамошните пресметки. На десната страна цртаме линија што ги означува новите граници на интеграција - ова е подготовка за примена на формулата Њутн-Лајбниц.

(3) Ја користиме формулата Њутн-Лајбниц .

Ние се стремиме да го напишеме одговорот во најкомпактна форма; овде ги користев својствата на логаритмите.

Друга разлика од неопределениот интеграл е тоа што откако ќе ја направиме замената, нема потреба да се вршат никакви обратни замени.

И сега неколку примери за да одлучите сами. Какви замени да направите - обидете се сами да погодите.

Пример 6

Пресметај дефинитивен интеграл

Пример 7

Пресметај дефинитивен интеграл

Ова се примери за да одлучите сами. Решенија и одговори на крајот од часот.

И на крајот од параграфот, неколку важни точки, чија анализа се појави благодарение на посетителите на страницата. Првиот се однесува законитоста на замената. Во некои случаи тоа не може да се направи!Така, примерот 6, се чини, може да се реши со користење универзална тригонометриска замена, сепак, горната граница на интеграција ("пи")не се вклучени во доменоваа тангента и затоа оваа замена е незаконска! Така, функцијата „замена“ мора да биде континуирана во ситеточки од сегментот на интеграција.

Во друга е-пошта, беше примено следново прашање: „Дали треба да ги промениме границите на интеграцијата кога ќе подведеме функција под диференцијалниот знак?“ Отпрвин сакав да ги „отфрлам глупостите“ и автоматски да одговорам „секако не“, но потоа размислував за причината за таквото прашање и одеднаш открив дека нема информации недостига. Но, тоа, иако очигледно, е многу важно:

Ако ја подведеме функцијата под диференцијалниот знак, тогаш нема потреба да се менуваат границите на интеграцијата! Зошто? Бидејќи во овој случај нема вистинска транзиција кон нова променлива. На пример:

И тука сумирањето е многу попогодно од академската замена со последователно „сликање“ на нови граници на интеграција. Така, ако дефинитивниот интеграл не е многу комплициран, тогаш секогаш обидувајте се да ја ставите функцијата под диференцијалниот знак! Побрз е, покомпактен и вообичаено - како што ќе видите десетици пати!

Ви благодарам многу за вашите писма!

Начин на интеграција по делови во определен интеграл

Тука има уште помалку новина. Сите пресметки на статијата Интеграција по делови во неопределен интегралсе целосно валидни за определениот интеграл.
Има само еден детаљ што е плус, во формулата за интеграција по делови се додаваат границите на интеграција:

Формулата Њутн-Лајбниц мора да се примени двапати овде: за производот и откако ќе го земеме интегралот.

На пример, повторно го избрав типот на интеграл кој сè уште не е пронајден никаде на страницата. Примерот не е наједноставен, но многу, многу информативен.

Пример 8

Пресметај дефинитивен интеграл

Ајде да одлучиме.

Ајде да се интегрираме по делови:

Секој што има потешкотии со интегралот, погледнете ја лекцијата Интеграли на тригонометриски функции, таму детално се дискутира.

(1) Решението го пишуваме во согласност со формулата на интеграција по делови.

(2) За производот ја применуваме формулата Њутн-Лајбниц. За преостанатиот интеграл ги користиме својствата на линеарноста, делејќи го на два интеграли. Не се збунувајте со знаците!

(4) Ја применуваме формулата Њутн-Лајбниц за двата пронајдени антидеривати.

Да бидам искрен, не ми се допаѓа формулата. и, ако е можно, ... јас го правам без тоа воопшто! Ајде да го разгледаме второто решение, од моја гледна точка, тоа е порационално.

Пресметај дефинитивен интеграл

Во првата фаза го наоѓам неопределениот интеграл:

Ајде да се интегрираме по делови:

Пронајдена е антидеривативната функција. Нема смисла да се додаде константа во овој случај.

Која е предноста од таквото покачување? Нема потреба да се „носи“ на границите на интеграцијата; навистина, може да биде исцрпувачки да се запишуваат малите симболи на границите на интеграцијата десетина пати

Во втората фаза проверувам(обично во нацрт).

Исто така логично. Ако погрешно ја најдов антидеривативната функција, тогаш погрешно ќе го решам определениот интеграл. Подобро е веднаш да дознаеме, ајде да го разликуваме одговорот:

Добиена е оригиналната интегранд функција, што значи дека антидеривативната функција е правилно пронајдена.

Третата фаза е примена на формулата Њутн-Лајбниц:

И тука има значителна придобивка! Во методот на „моето“ решение постои многу помал ризик од збунетост во замените и пресметките - формулата Њутн-Лајбниц се применува само еднаш. Ако чајникот реши сличен интеграл користејќи ја формулата (на прв начин), тогаш дефинитивно некаде ќе згреши.

Разгледаниот алгоритам за решение може да се примени за секој дефинитивен интеграл.

Почитуван студент, испечати и зачувај:

Што да направите ако ви е даден дефинитивен интеграл кој изгледа комплициран или не е веднаш јасно како да го решите?

1) Прво го наоѓаме неопределениот интеграл (антидеривативна функција). Ако во првата фаза имаше бум, нема смисла дополнително да се ниша бродот со Њутн и Лајбниц. Има само еден начин - да го зголемите вашето ниво на знаење и вештини за решавање неопределени интеграли.

2) Пронајдената антидеривативна функција ја проверуваме со диференцијација. Ако се најде погрешно, третиот чекор ќе биде губење време.

3) Ја користиме формулата Њутн-Лајбниц. Сите пресметки ги извршуваме ЕКСТРЕМНО ВНИМАТЕЛНО - ова е најслабата алка на задачата.

А, за ужина, интегрално за независно решение.

Пример 9

Пресметај дефинитивен интеграл

Решението и одговорот се некаде во близина.

Следната препорачана лекција на темата е Како да се пресмета плоштината на фигурата користејќи дефинитивен интеграл?
Ајде да се интегрираме по делови:

Дали сте сигурни дека ги решивте и ги добивте овие одговори? ;-) И има порно за старица.