Што е синус, косинус, тангента, котангента на агол ќе ви помогне да разберете правоаголен триаголник.

Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спроти прав агол (во нашиот пример ова е страната \(AC\)); краците се двете преостанати страни \(AB\) и \(BC\) (оние кои се во непосредна близина на правиот агол), а ако ги земеме предвид катетите во однос на аголот \(BC\), тогаш кракот \(AB\) е соседниот крак, а кракот \(BC\) е спротивен. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?

Синус на агол– ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.

Во нашиот триаголник:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Косинусот на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.

Во нашиот триаголник:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Тангента на аголот– ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).

Во нашиот триаголник:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Котангенс на аголот– ова е односот на соседната (блиска) нога со спротивната (далеку).

Во нашиот триаголник:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:

Косинус→допир→допир→соседен;

Котангента → допир → допир → соседно.

Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:

Размислете, на пример, косинус на аголот \(\beta \) . По дефиниција, од триаголник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можеме да го пресметаме косинусот на аголот \(\beta \) од триаголникот \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.

Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!

За триаголникот \(ABC \) прикажан на сликата подолу, наоѓаме \(\sin \\алфа,\ \cos \\алфа,\ tg\ \алфа,\ ctg\ \алфа \).

\(\begin(низа)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \алфа =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \алфа =\dfrac(3)(4)=0,75\крај (низа) \)

Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот \(\beta \) .

Одговори: \(\sin \ \бета =0,6;\ \cos \ \бета =0,8;\ tg\ \бета =0,75;\ ctg\ \бета =\dfrac(4)(3) \).

Единица (тригонометриски) круг

Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на \(1\) . Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.

Како што можете да видите, овој круг е конструиран во Декартовиот координатен систем. Радиусот на кругот е еднаков на еден, додека центарот на кругот лежи на почетокот на координатите, почетната позиција на векторот на радиусот е фиксирана долж позитивната насока на оската \(x\) (во нашиот пример, ова е радиусот \(AB\)).

Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата долж оската \(x\) и координатата по оската \(y\). Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголникот \(ACG\) . Тој е правоаголен бидејќи \(CG\) е нормално на оската \(x\).

Што е \(\cos \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Тоа е точно \(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC) \). Дополнително, знаеме дека \(AC\) е радиусот на единечниот круг, што значи \(AC=1\) . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:

\(\cos \\алфа =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

На што е еднакво \(\sin \ \alpha \) од триаголникот \(ACG \)? Па, се разбира, \(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)\)! Заменете ја вредноста на радиусот \(AC\) во оваа формула и добијте:

\(\sin \алфа =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Значи, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\) што припаѓа на кругот? Па, нема шанси? Што ако сфатите дека \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) се само бројки? На која координата одговара \(\cos \alpha \)? Па, се разбира, координатата \(x\)! И на која координата одговара \(\sin \alpha \)? Така е, координирајте \(y\)! Значи поентата \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

На што тогаш се \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) еднакви? Така е, ајде да ги користиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha)=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha)=\dfrac(x)(y) \).

Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:

Што се смени во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник \(((A)_(1))(C)_(1))G \) : агол (во непосредна близина на аголот \(\beta \) ). Која е вредноста на синус, косинус, тангента и котангента за агол \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:

\(\почеток(низа)(l)\sin \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\агол ((C )_(1) ((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\агол ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\крај (низа) \)

Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата \(y\) ; вредноста на косинус на аголот - координата \(x\) ; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.

Веќе беше споменато дека почетната позиција на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската \(x\). Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни агли, и кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.

Значи, знаеме дека целата револуција на векторот на радиусот околу кругот е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Дали е можно да се ротира векторот на радиусот за \(390()^\circ \) или со \(-1140()^\circ \)? Па, секако дека можеш! Во првиот случај, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), така, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Во вториот случај, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позицијата \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите што се разликуваат за \(360()^\circ \cdot m\) или \(2\pi \cdot m\) (каде \(m \) е кој било цел број ), одговараат на истата положба на векторот на радиусот.

Сликата подолу го прикажува аголот \(\beta =-60()^\circ \) . Истата слика одговара на аголот \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула \(\бета +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (каде што \(m\) е кој било цел број)

\(\begin(низа)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\ 300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end (низа) \)

Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:

\(\begin(низа)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(низа) \)

Еве еден круг единица за да ви помогне:

Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:

\(\begin(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\крај(низа)\)

Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по ред: аголот внатре \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)одговара на точка со координати \(\left(0;1 \десно) \) , затоа:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 90()^\circ \)- не постои;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во \(180()^\circ,\ 270()^\circ,\ 360()^\circ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )одговараат на точки со координати \(\лево(-1;0 \десно),\текст()\лево(0;-1 \десно),\текст( )\лево(1;0 \десно),\текст( )\лево(0 ;1 \десно) \), соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.

Одговори:

\(\приказ стил \sin \180()^\circ =\sin \\pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \\pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ \pi \)- не постои

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 270()^\circ \)- не постои

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Десна стрелка \text(ctg)\ 2\pi \)- не постои

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\десна стрелка \text(tg)\ 450()^\circ \)- не постои

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \десно)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Така, можеме да ја направиме следната табела:

Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:

\(\лево. \почеток(низа)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(низа) \right\)\ \text(Мора да го запомните или да можете да го прикажете!! \) !}

Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени во табелата подолу, мора да запомните:

Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример за прилично едноставно меморирање на соодветните вредности:

За да се користи овој метод, од витално значење е да се запаметат синусните вредности за сите три мерки на агол ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi)(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi)(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), како и вредноста на тангентата на аголот во \(30()^\circ \) . Знаејќи ги овие \(4\) вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:

\(\begin(низа)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \крај (низа) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Броителот „\(1 \)“ ќе одговара на \(\text(tg)\ 45()^\circ \\), а именителот „\(\sqrt(\text(3)) \)“ ќе одговара на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да запомните само \(4\) вредности од табелата.

Координати на точка на круг

Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација? Па, секако дека можеш! Да изведеме општа формула за наоѓање на координатите на точка. На пример, еве еден круг пред нас:

Ни е дадена таа точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- центарот на кругот. Радиусот на кругот е \(1,5\) . Потребно е да се најдат координатите на точката \(P\) добиени со ротирање на точката \(O\) за \(\делта \) степени.

Како што може да се види од сликата, координатата \(x\) на точката \(P\) одговара на должината на отсечката \(TP=UQ=UK+KQ\) . Должината на отсечката \(Велика Британија\) одговара на координатата \(x\) на центарот на кругот, односно е еднаква на \(3\) . Должината на сегментот \(KQ\) може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:

\(\cos \ \делта =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Десна стрелка KQ=r\cdot \cos \ \делта \).

Тогаш имаме дека за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =3+1,5\cdot \cos \ \делта \).

Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме вредноста на координатата y за точката \(P\) . Така,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта =2+1,5\cdot \sin \делта \).

Значи, генерално, координатите на точките се одредуваат со формулите:

\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \крај (низа) \), Каде

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центарот на кругот,

\(r\) - радиус на кругот,

\(\делта \) - агол на ротација на векторскиот радиус.

Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:

\(\почеток(низа)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \делта =0+1\cdot \cos \ \делта =\cos \ \делта \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\делта =0+1\cdot \sin \ \делта =\sin \ \делта \крај (низа) \)

Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да извршите пресметки, мора да овозможите ActiveX контроли!

Просечно ниво

Правоаголен триаголник. Целосниот илустриран водич (2019)

ПРАВОАГОЛЕН ТРИАГОЛНИК. ПРВО НИВО.

Во проблемите, вистинскиот агол воопшто не е неопходен - долниот лев, така што треба да научите да препознавате правоаголен триаголник во оваа форма,

и во ова

и во ова

Што е добро за правоаголен триаголник? Па..., прво, има посебни убави имиња за неговите страни.

Внимание на цртежот!

Запомнете и не мешајте: има две нозе, а има само една хипотенуза(еден и единствен, единствен и најдолг)!

Па, разговаравме за имињата, сега најважното нешто: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Оваа теорема е клучот за решавање на многу проблеми кои вклучуваат правоаголен триаголник. Тоа беше докажано од Питагора во сосема памтивек, и оттогаш им донесе многу корист на оние што го познаваат. А најдоброто нешто во врска со тоа е што е едноставно.

Значи, Питагорова теорема:

Се сеќавате ли на шегата: „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни!“?

Ајде да ги нацртаме истите овие Питагорови панталони и да ги погледнеме.

Не личи на некакви шорцеви? Па, на кои страни и каде се еднакви? Зошто и од каде дојде шегата? И оваа шега е поврзана токму со Питагоровата теорема, или поточно со начинот на кој самиот Питагора ја формулирал својата теорема. И тој го формулираше вака:

„Збир области на квадрати, изградена на нозете, е еднаква на квадратна површина, изградена на хипотенузата“.

Дали навистина звучи малку поинаку? И така, кога Питагора ја нацрта изјавата на својата теорема, токму оваа слика излезе на виделина.

На оваа слика, збирот на површините на малите квадрати е еднаков на плоштината на големиот квадрат. И за да можат децата подобро да запомнат дека збирот на квадратите на нозете е еднаков на квадратот на хипотенузата, некој духовит ја смисли оваа шега за панталоните на Питагора.

Зошто сега ја формулираме Питагоровата теорема?

Дали Питагора страдал и зборувал за квадрати?

Видете, во античко време немало... алгебра! Немаше знаци и така натаму. Немаше натписи. Можете ли да замислите колку беше страшно за кутрите антички студенти да паметат сè со зборови??! И можеме да се радуваме што имаме едноставна формулација на Питагоровата теорема. Да го повториме уште еднаш за подобро да го запомниме:

Сега треба да биде лесно:

Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите.

Па, дискутирана е најважната теорема за правоаголните триаголници. Ако ве интересира како се докажува, прочитајте ги следните нивоа на теорија, а сега да одиме понатаму... во темната шума... на тригонометријата! На страшните зборови синус, косинус, тангента и котангента.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник.

Всушност, сè воопшто не е толку страшно. Се разбира, „вистинската“ дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента треба да се погледне во статијата. Но, јас навистина не сакам, нели? Можеме да се радуваме: за да ги решите проблемите за правоаголен триаголник, можете едноставно да ги пополните следниве едноставни работи:

Зошто сè е само за аголот? Каде е аголот? За да го разберете ова, треба да знаете како изјавите 1 - 4 се напишани со зборови. Погледнете, разберете и запомнете!

1.
Всушност звучи вака:

Што е со аголот? Дали има крак што е спроти аголот, односно спротивен (за агол) крак? Секако дека има! Ова е нога!

Што е со аголот? Погледнете внимателно. Која нога е во непосредна близина на аголот? Се разбира, ногата. Ова значи дека за аголот ногата е соседна, и

Сега, обрнете внимание! Погледнете што добивме:

Погледнете колку е кул:

Сега да преминеме на тангента и котангента.

Како можам да го запишам ова со зборови сега? Што е ногата во однос на аголот? Спротивно, се разбира - „лежи“ спроти аголот. Што е со ногата? Во непосредна близина на аголот. Па што имаме?

Погледнете како броителот и именителот ги заменија местата?

И сега повторно аглите и направивме размена:

Резиме

Ајде накратко да запишеме се што научивме.

Питагорова теорема:

Главната теорема за правоаголните триаголници е Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Патем, дали добро се сеќавате што се тоа нозе и хипотенуза? Ако не е многу добро, тогаш погледнете ја сликата - освежете го вашето знаење

Сосема е можно веќе многу пати да сте ја користеле Питагоровата теорема, но дали некогаш сте се запрашале зошто таквата теорема е вистинита? Како можам да го докажам тоа? Ајде да правиме како старите Грци. Ајде да нацртаме квадрат со страна.

Погледнете како паметно ги поделивме неговите страни на должини и!

Сега да ги поврземе означените точки

Овде, сепак, забележавме нешто друго, но вие самите погледнете го цртежот и размислете зошто е тоа така.

Колкава е површината на поголемиот квадрат? Во право,. Што е со помала површина? Секако,. Останува вкупната површина на четирите агли. Замислете дека ги земавме по две и ги потпревме еден на друг со нивните хипотенуси. Што се случи? Два правоаголници. Ова значи дека површината на „пресеците“ е еднаква.

Ајде да го собереме сето тоа сега.

Ајде да конвертираме:

Така, го посетивме Питагора - ја докажавме неговата теорема на антички начин.

Правоаголен триаголник и тригонометрија

За правоаголен триаголник важат следните односи:

Синус на остар агол е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата

Косинусот на остар агол е еднаков на односот на соседната нога и хипотенузата.

Тангентата на остар агол е еднаква на односот на спротивната страна со соседната страна.

Котангенсот на остар агол е еднаков на односот на соседната страна со спротивната страна.

И уште еднаш сето ова во форма на таблета:

Многу е удобно!

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници

I. Од две страни

II. Со нога и хипотенуза

III. Со хипотенуза и акутен агол

IV. По должината на ногата и акутен агол

а)

б)

Внимание! Овде е многу важно нозете да бидат „соодветни“. На пример, ако оди вака:

ТОГАШ ТРИАГОЛНИЦИТЕ НЕ СЕ ЕДНАКВИ, и покрај фактот што имаат еден идентичен остар агол.

Мора да во двата триаголници кракот беше соседен, или во двата беше спротивен.

Дали забележавте како знаците за еднаквост на правоаголните триаголници се разликуваат од вообичаените знаци за еднаквост на триаголниците? Погледнете ја темата „и обрнете внимание на фактот дека за еднаквост на „обичните“ триаголници, три од нивните елементи мора да бидат еднакви: две страни и аголот меѓу нив, два агли и страната меѓу нив или три страни. Но, за еднаквост на правоаголните триаголници, доволни се само два соодветни елементи. Одлично, нели?

Приближно иста е ситуацијата со знаците на сличност на правоаголните триаголници.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници

I. По остар агол

II. На две страни

III. Со нога и хипотенуза

Медијана во правоаголен триаголник

Зошто е ова така?

Наместо правоаголен триаголник, разгледајте цел правоаголник.

Ајде да нацртаме дијагонала и да разгледаме точка - точката на пресек на дијагоналите. Што знаете за дијагоналите на правоаголникот?

И што следи од ова?

Така испадна дека

1. - средна:

Запомнете го овој факт! Помага многу!

Она што е уште поизненадувачко е што е и спротивното.

Каква корист може да се добие од фактот дека медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од хипотенузата? Ајде да ја погледнеме сликата

Погледнете внимателно. Имаме: , односно, растојанијата од точката до сите три темиња на триаголникот се покажаа еднакви. Но, има само една точка во триаголникот, од кои растојанијата од сите три темиња на триаголникот се еднакви, а тоа е ЦЕНТАРОТ НА КРУГОТ. Што се случи?

Значи, да почнеме со ова „покрај...“.

Ајде да погледнеме и.

Но, сличните триаголници ги имаат сите еднакви агли!

Истото може да се каже и за и

Сега ајде да го нацртаме заедно:

Каква корист може да се извлече од оваа „тројна“ сличност?

Па, на пример - две формули за висина на правоаголен триаголник.

Да ги запишеме односите на соодветните страни:

За да ја пронајдеме висината, ја решаваме пропорцијата и добиваме првата формула „Висина во правоаголен триаголник“:

Значи, да ја примениме сличноста: .

Што ќе се случи сега?

Повторно ја решаваме пропорцијата и ја добиваме втората формула:

Треба многу добро да ги запомните двете формули и да ја користите онаа што е поудобна. Ајде повторно да ги запишеме

Питагорова теорема:

Во правоаголен триаголник квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите: .

Знаци на еднаквост на правоаголните триаголници:

• од две страни:
• со нога и хипотенуза: или
• по должината на ногата и соседниот акутен агол: или
• по должината на ногата и спротивниот остар агол: или
• по хипотенуза и остар агол: или.

Знаци на сличност на правоаголните триаголници:

• еден акутен агол: или
• од пропорционалноста на две нозе:
• од пропорционалноста на ногата и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник

• Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
• Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата:
• Тангентата на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна:
• Котангенсот на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната страна со спротивната страна: .

Висина на правоаголен триаголник: или.

Во правоаголен триаголник, медијаната извлечена од темето на правиот агол е еднаква на половина од хипотенузата: .

Плоштина на правоаголен триаголник:

• преку нозете:

Во животот, често ќе треба да се справуваме со математички проблеми: на училиште, на универзитет, а потоа му помагаме на нашето дете со домашните задачи. Луѓето од одредени професии секојдневно ќе се среќаваат со математиката. Затоа, корисно е да се запаметат или да се потсетат математичките правила. Во оваа статија ќе разгледаме еден од нив: наоѓање на страната на правоаголен триаголник.

Што е правоаголен триаголник

Прво, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник е геометриска фигура од три отсечки кои поврзуваат точки кои не лежат на иста права линија, а еден од аглите на оваа фигура е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат краци, а страната што лежи спроти правиот агол се нарекува хипотенуза.

Наоѓање на кракот на правоаголен триаголник

Постојат неколку начини да ја дознаете должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.

Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник

Ако ги знаеме хипотенузата и кракот, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатиот крак користејќи ја Питагоровата теорема. Звучи вака: „Квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на нозете“. Формула: c²=a²+b², каде што c е хипотенузата, a и b се краките. Ја трансформираме формулата и добиваме: a²=c²-b².

Пример. Хипотенузата е 5 cm, а кракот е 3 cm Ја трансформираме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². Следно решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Тригонометриски соодноси за да се најде кракот на правоаголен триаголник

Може да најдете и непозната катета ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање нога користејќи тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, котангента. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Ајде да ги разгледаме овие опции.

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на синус

Синус на агол (грев) е односот на спротивната страна со хипотенузата. Формула: sin=a/c, каде што a е кракот спроти дадениот агол, а c е хипотенузата. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a=sin*c.

Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Користејќи ја табелата, го пресметуваме синусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула решаваме: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на косинус

Косинусот на аголот (cos) е односот на соседната катета со хипотенузата. Формула: cos=b/c, каде што b е кракот во непосредна близина на даден агол, а c е хипотенузата. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: b=cos*c.

Пример. Аголот А е еднаков на 60 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Користејќи ја табелата, го пресметуваме косинусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Следно решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник користејќи тангента

Тангента на аголот (tg) е односот на спротивната страна со соседната страна. Формула: tg=a/b, каде што a е страната спротивна на аголот, а b е соседната страна. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: a=tg*b.

Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см.. Со помош на табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Решете: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на котангенс

Аголниот котангенс (ctg) е односот на соседната страна со спротивната страна. Формула: ctg=b/a, каде што b е кракот во непосредна близина на аголот и е спротивната катета. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b=ctg*a.

Пример. Аголот А е 30 степени, спротивниот крак е 5 см.Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Значи, сега знаете како да најдете крак во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.

Тригонометријата е гранка на математичката наука која ги проучува тригонометриските функции и нивната употреба во геометријата. Развојот на тригонометријата започна во античка Грција. Во текот на средниот век, научниците од Блискиот Исток и Индија дадоа важен придонес во развојот на оваа наука.

Оваа статија е посветена на основните концепти и дефиниции за тригонометријата. Се дискутира за дефинициите на основните тригонометриски функции: синус, косинус, тангента и котангента. Нивното значење е објаснето и илустрирано во контекст на геометријата.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Првично, дефинициите на тригонометриските функции чиј аргумент е агол беа изразени во однос на односот на страните на правоаголен триаголник.

Дефиниции на тригонометриски функции

Синус на агол (sin α) е односот на кракот спроти овој агол со хипотенузата.

Косинусот на аголот (cos α) - односот на соседната нога до хипотенузата.

Аголна тангента (t g α) - односот на спротивната страна со соседната страна.

Агол котангенс (c t g α) - односот на соседната страна со спротивната страна.

Овие дефиниции се дадени за остриот агол на правоаголен триаголник!

Ајде да дадеме илустрација.

Во триаголникот ABC со прав агол C, синусот на аголот A е еднаков на односот на кракот BC и хипотенузата AB.

Дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на овие функции од познатите должини на страните на триаголникот.

Важно е да се запамети!

Опсегот на вредности на синус и косинус е од -1 до 1. Со други зборови, синусот и косинусот земаат вредности од -1 до 1. Опсегот на вредности на тангента и котангента е целата нумеричка линија. односно овие функции можат да добијат какви било вредности.

Дефинициите дадени погоре се однесуваат на акутните агли. Во тригонометријата се воведува концепт на агол на ротација чија вредност за разлика од остриот агол не е ограничена на 0 до 90 степени.Аголот на ротација во степени или радијани се изразува со кој било реален број од - ∞ до + ∞ .

Во овој контекст, можеме да дефинираме синус, косинус, тангента и котангента со агол со произволна големина. Дозволете ни да замислиме единечен круг со неговиот центар на почетокот на Декартовиот координатен систем.

Почетната точка А со координати (1, 0) се врти околу центарот на единечниот круг низ одреден агол α и оди до точката А 1. Дефиницијата е дадена во однос на координатите на точката A 1 (x, y).

Синус (грев) на аголот на ротација

Синус на аголот на ротација α е ординатата на точката A 1 (x, y). sin α = y

Косинусот (cos) на аголот на ротација

Косинусот на аголот на ротација α е апсциса на точката A 1 (x, y). cos α = x

Тангента (tg) на аголот на ротација

Тангентата на аголот на вртење α е односот на ординатата на точката A 1 (x, y) до нејзината апсциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на аголот на ротација

Котангенсот на аголот на ротација α е односот на апсцисата на точката A 1 (x, y) до нејзината ордината. c t g α = x y

Синус и косинус се дефинирани за секој агол на ротација. Ова е логично, бидејќи апсцисата и ординатата на точка по ротација може да се одредат под кој било агол. Поинаква е ситуацијата со тангентата и котангентата. Тангентата е недефинирана кога точка по ротација оди во точка со нулта апсциса (0, 1) и (0, - 1). Во такви случаи, изразот за тангента t g α = y x едноставно нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Слична е ситуацијата и со котангенсот. Разликата е во тоа што котангенсот не е дефиниран во случаи кога ординатата на точка оди на нула.

Важно е да се запамети!

Синус и косинус се дефинирани за сите агли α.

Тангентата е дефинирана за сите агли освен α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсот е дефиниран за сите агли освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Кога решавате практични примери, не кажувајте „синус на аголот на ротација α“. Зборовите „агол на ротација“ се едноставно изоставени, што значи дека веќе е јасно од контекстот што се дискутира.

Броеви

Што е со дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента на број, а не за аголот на ротација?

Синус, косинус, тангента, котангента на број

Синус, косинус, тангента и котангента на број те број што е соодветно еднаков на синус, косинус, тангента и котангента во традијан.

На пример, синусот на бројот 10 π е еднаков на синусот на аголот на ротација од 10 π rad.

Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Ајде да го разгледаме подетално.

Било кој реален број тточка на единечниот круг е поврзана со центарот на потеклото на правоаголниот Декартов координатен систем. Синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка.

Почетна точка на кругот е точката А со координати (1, 0).

Позитивен број т

Негативен број тодговара на точката до која ќе оди почетната точка ако се движи околу кругот спротивно од стрелките на часовникот и ја помине патеката т.

Сега кога е воспоставена врската помеѓу број и точка на круг, преминуваме на дефиницијата на синус, косинус, тангента и котангента.

Синус (грев) на т

Синус на број т- ордината на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. sin t = y

Косинусот (cos) на т

Косинусот на број т- апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот т. cos t = x

Тангента (tg) на т

Тангента на број т- односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. t g t = y x = грев t cos t

Најновите дефиниции се во согласност и не се во спротивност со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Точка на кругот што одговара на бројот т, се совпаѓа со точката до која оди почетната точка по вртење за агол традијан.

Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент

Секоја вредност на аголот α одговара на одредена вредност на синусот и косинусот на овој агол. Исто како и сите агли α освен α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) одговараат на одредена тангента вредност. Котангента, како што е наведено погоре, е дефинирана за сите α, освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можеме да кажеме дека sin α, cos α, t g α, c t g α се функции на аголот алфа, или функции на аголниот аргумент.

Слично на тоа, можеме да зборуваме за синус, косинус, тангента и котангента како функции на нумерички аргумент. Секој реален број тодговара на одредена вредност на синусот или косинусот на некој број т. Сите броеви освен π 2 + π · k, k ∈ Z, одговараат на тангента вредност. Котангента, слично, е дефинирана за сите броеви освен π · k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометријата

Синус, косинус, тангента и котангента се основните тригонометриски функции.

Обично од контекстот е јасно со кој аргумент на тригонометриската функција (аголен аргумент или нумерички аргумент) имаме работа.

Да се ​​вратиме на дефинициите дадени на самиот почеток и на алфа аголот, кој се наоѓа во опсег од 0 до 90 степени. Тригонометриските дефиниции на синус, косинус, тангента и котангенс се целосно конзистентни со геометриските дефиниции дадени со односот на страничниот агол на правоаголен триаголник. Ајде да го покажеме.

Да земеме единична кружница со центар во правоаголен Декартов координатен систем. Да ја ротираме почетната точка A (1, 0) за агол до 90 степени и да нацртаме нормална на оската на апсцисата од добиената точка A 1 (x, y). Во добиениот правоаголен триаголник, аголот A 1 O H е еднаков на аголот на ротација α, должината на кракот O H е еднаква на апсцисата на точката A 1 (x, y). Должината на кракот спроти аголот е еднаква на ординатата на точката A 1 (x, y), а должината на хипотенузата е еднаква на еден, бидејќи е радиус на единечната кружница.

Во согласност со дефиницијата од геометријата, синусот на аголот α е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ова значи дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник низ односот на аспект е еквивалентно на одредување на синусот на аголот на ротација α, при што алфата лежи во опсег од 0 до 90 степени.

Слично на тоа, кореспонденцијата на дефинициите може да се прикаже за косинус, тангента и котангента.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента на остар агол. Ова се основите на тригонометријата.

Да ве потсетиме дека прав аголе агол еднаков на 90 степени. Со други зборови, половина свртен агол.

Остар агол- помалку од 90 степени.

Тап агол- поголема од 90 степени. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)

Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Така, се означува страната спротивна на аголот А.

Аголот се означува со соодветната грчка буква.

Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.

Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.

Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.

СинусОстриот агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:

Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната нога до хипотенузата:

Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:

Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:

Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):

Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.

Ајде да докажеме некои од нив.

Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?

Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.

Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .

Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?

Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.

Синус, косинус и тангента - тие се нарекуваат и функции на тригонометриски агол- даде односи меѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.

Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.

Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.

Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.

1. Во триаголник, аголот е , . Најдете .

Проблемот е решен за четири секунди.

Затоа што , .

2. Во триаголник, аголот е , , . Најдете .

Ајде да го најдеме користејќи ја Питагоровата теорема.

Проблемот е решен.

Често во проблемите има триаголници со агли и или со агли и. Запомнете ги основните соодноси за нив напамет!

За триаголник со агли и кракот спроти аголот во е еднаков на половина од хипотенузата.

Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него хипотенузата е пати поголема од ногата.

Разгледавме проблеми за решавање правоаголни триаголници - односно наоѓање непознати страни или агли. Но, тоа не е се! Има многу проблеми во Обединетиот државен испит по математика кои вклучуваат синус, косинус, тангента или котангента на надворешен агол на триаголник. Повеќе за ова во следната статија.