Точката x 0 се нарекува максимална точка на функцијата f(x) ако во некое соседство на точката x 0 е исполнета неравенката ()(0 xfxf)
Точката x 1 се нарекува минимална точка на функцијата f(x), ако во некое соседство на точката x 1 неравенката ()(1 xfxf) Се нарекуваат вредностите на функцијата во точките x 0 и x 1 максимумот и минимумот на функцијата соодветно Максимумот и минимумот на функцијата се нарекуваат екстрем на функцијата .
На еден интервал, функцијата може да има неколку екстреми и може да биде дека минимумот во една точка е поголем од максимумот во друга. Максимумот или минимумот на функција на одреден интервал, генерално, не е најголемата и најмалата вредност на функцијата. Ако во одреден момент xx 00 диференцијабилната функција f(xf(x)) има екстрем, тогаш во некое соседство на оваа точка важи теоремата на Ферма и изводот на функцијата во оваа точка е еднаков на нула: 0)(0 xf
Меѓутоа, функцијата може да има екстрем во точка во која не може да се диференцира. На пример, функцијата xy има минимум во точката 0 x, но таа не е диференцијабилна во оваа точка.
За да може функцијата y=f(x) да има екстремум во точката x 0, потребно е нејзиниот извод во оваа точка да биде еднаков на нула или да не постои.
Точките во кои е задоволена потребната екстремна состојба се нарекуваат критични или стационарни. Т. об. , ако во која било точка има екстрем, тогаш оваа точка е критична. Но, критичната точка не е нужно екстремната точка.
Дозволете ни да го примениме потребниот екстремен услов: xxy 2)(2 002 xprixy 0 0 y x - критична точка
Дозволете ни да го примениме потребниот екстремен услов: 23 3)1 (xxy 003 2 xprixy 1 0 y x - критична точка
Ако, при минување низ точката x 0, изводот на диференцијабилната функција y=f(x) го промени знакот од плус во минус, тогаш x 0 е максималната точка, а ако од минус во плус, тогаш x 0 е минималната точка.
Нека дериватот го промени знакот од плус во минус, т.е. на одреден интервал 0; xa 0)(xf и на некој интервал bx; 0 0)(xf Тогаш функцијата y=f(x) ќе се зголеми за 0; xa
и ќе се намали за bx; 0 По дефиниција за растечка функција 00 ;)()(xaxallforxfxf За опаѓачка функција bxxallforxfxf;)()(00 0 x е максималната точка. Слично се докажува и за минимумот.
1 Најдете го изводот на функцијата)(xfy 2 Најдете ги критичните точки на функцијата во кои изводот е нула или не постои.
3 Истражете го знакот на дериватот лево и десно од секоја критична точка. 4 Најдете го екстремот на функцијата.
Да ја примениме шемата за проучување функција на екстрем: 1 Најдете го изводот на функцијата: 233)1(3)1())1((xxxxxy)14()1()31()1(22 xxxxx
3 Го испитуваме знакот на изводот лево и десно од секоја критична точка: x 4 1 1 y y Во точката x=1 x=1 нема екстрем.
Ако првиот извод од диференцијабилната функција y=f(x) во точката x 0 е еднаков на нула, а вториот извод во оваа точка е позитивен, тогаш x 0 е минималната точка, а ако вториот извод е негативен, тогаш x 0 е максималната точка.
Нека 0)(0 xf значи 0)(0 xf и во некое соседство на точката x 00, т.е. 0)()(xfxf
функцијата; ќе се зголеми на)(xf што ја содржи точката x 00. Но Ho 0)(0 xf на интервалот 0; xa 0) (xf и на интервалот bx; 0 0)(xf
Така, при минување низ точката x 00, функцијата го менува знакот од минус во плус, затоа оваа точка е минималната точка.)(xf Случајот за максимумот на функцијата се докажува на сличен начин.
Шемата за проучување на функцијата на екстремот во овој случај е слична на претходната, но третата точка треба да се замени со: 3 Најдете го вториот извод и определи го неговиот знак во секоја критична точка.
Од вториот доволен услов произлегува дека ако во критична точка вториот извод на функцијата не е еднаков на нула, тогаш оваа точка е екстремна точка. Спротивното тврдење не е точно: ако во критична точка вториот извод на функцијата е еднаков на нула, тогаш оваа точка може да биде и екстремна точка. Во овој случај, за проучување на функцијата, неопходно е да се користи првиот доволен услов за екстремумот.
Ова е прилично интересен дел од математиката, со кој се среќаваат апсолутно сите дипломци и студенти. Сепак, не секој го сака матан. Некои не можат да разберат дури ни основни работи како навидум стандардна студија за функции. Оваа статија има за цел да го исправи таквиот превид. Сакате да дознаете повеќе за функционална анализа? Дали сакате да знаете што се екстремни точки и како да ги најдете? Тогаш оваа статија е за вас.
Проучување на графикот на функција
Прво, вреди да се разбере зошто воопшто треба да го анализирате графикот. Постојат едноставни функции кои не се тешки за цртање. Впечатлив пример за таква функција е параболата. Нема да биде тешко да се нацрта графикон. Сè што е потребно е, користејќи едноставна трансформација, да ги пронајдете броевите на кои функцијата ја зема вредноста 0. И во принцип, ова е сè што треба да знаете за да нацртате график на парабола.
Но, што ако функцијата што треба да ја прикажеме е многу посложена? Бидејќи својствата на сложените функции не се сосема очигледни, неопходно е да се спроведе цела анализа. Само после ова функцијата може графички да се прикаже. Како да го направите ова? Одговорот на ова прашање можете да го најдете во оваа статија.
План за анализа на функции
Првото нешто што треба да направиме е да спроведеме површно проучување на функцијата, при што го наоѓаме доменот на дефиниција. Значи, да почнеме по ред. Доменот на дефиниција е збир на вредности со кои се дефинира функцијата. Едноставно кажано, ова се броевите што можат да се користат во функција наместо x. За да го одредите опсегот, само треба да го погледнете записот. На пример, очигледно е дека функцијата y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 има домен на дефиниција што е множество од реални броеви. Па, со функција како (x 2 - 2x)/x сè е малку поинаку. Бидејќи бројот во именителот не смее да биде еднаков на 0, доменот на дефиниција на оваа функција ќе бидат сите реални броеви освен нула.
Следно, треба да ги пронајдете таканаречените нули на функцијата. Ова се вредностите на аргументите на кои целата функција ја зема вредноста нула. За да го направите ова, неопходно е да се изедначи функцијата на нула, да се разгледа детално и да се извршат некои трансформации. Да ја земеме веќе познатата функција y(x) = (x 2 - 2x)/x. Од училишниот курс знаеме дека дропка е еднаква на 0 кога броителот е еднаков на нула. Затоа, го отфрламе именителот и почнуваме да работиме со броителот, изедначувајќи го на нула. Добиваме x 2 - 2x = 0 и ставаме x надвор од заградите. Оттука x (x - 2) = 0. Како резултат на тоа, откриваме дека нашата функција е еднаква на нула кога x е еднаква на 0 или 2.
При испитување на графикот на функцијата, многу луѓе наидуваат на проблеми во форма на екстремни точки. И тоа е чудно. На крајот на краиштата, екстремите се прилично едноставна тема. Не ми веруваш? Уверете се сами со читање на овој дел од статијата, во која ќе зборуваме за минимални и максимални поени.
Прво, вреди да се разбере што е екстрем. Екстремум е граничната вредност што ја достигнува функцијата на графикот. Излегува дека има две екстремни вредности - максимална и минимална. За јасност, можете да ја погледнете сликата погоре. Во проучуваната област, точката -1 е максимум на функцијата y (x) = x 5 - 5x, а точката 1, соодветно, е минимум.
Исто така, не мешајте ги концептите. Екстремните точки на функцијата се оние аргументи при кои дадената функција добива екстремни вредности. За возврат, екстремот е вредноста на минимумите и максимумите на функцијата. На пример, разгледајте ја сликата погоре повторно. -1 и 1 се екстремните точки на функцијата, а 4 и -4 се самите екстреми.
Наоѓање екстремни точки
Но, како да ги пронајдете екстремните точки на функцијата? Сè е прилично едноставно. Првото нешто што треба да направите е да го пронајдете изводот на равенката. Да речеме дека ја добивме задачата: „Најди ги екстремните точки на функцијата y (x), x е аргументот. За јасност, да ја земеме функцијата y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Да ги разликуваме и Добијте ја следната равенка: 3x 2 + 4x + 1. Како резултат на тоа, имаме стандардна квадратна равенка. Сè што треба следно да направиме е да ја изедначиме на нула и да ги најдеме корените. Бидејќи дискриминантата е поголема од нула (D = 16 - 12 = 4), оваа равенка се определува со два корени.Најдете ги и добијте две вредности: 1/3 и -1.Ова ќе бидат екстремните точки на функцијата.Меѓутоа, како сепак можете да одредите кој е кој? Која точка е максимална, а која минимална? Заменете ја оваа вредност во нашата равенка y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Како резултат, добиваме позитивен број, што значи дека во интервалот од Функцијата се зголемува од 1/3 на -1. , пак, значи дека во интервалите од минус бесконечност до 1/3 и од -1 до плус бесконечност функцијата се намалува. Така, можеме да заклучиме дека бројот 1/3 е минималната точка на функцијата на проучуваниот интервал, а -1 е максималната точка.
Исто така, вреди да се напомене дека обединетиот државен испит бара не само наоѓање на екстремни поени, туку и извршување на некој вид операција со нив (додавање, множење, итн.). Поради оваа причина, вреди да се обрне посебно внимание на условите на проблемот. На крајот на краиштата, поради невнимание, можете да изгубите поени.
Дефиниција. Се повикуваат максималните и минималните точки на функцијата екстремни точки.
Теорема. (неопходен услов за постоење на екстрем) Доколку функцијатаѓ(x) е диференцијабилна во точката x = x 1 и точка x 1 е екстремна точка, тогаш дериватот на функцијата исчезнува во оваа точка.
Доказ. Да претпоставиме дека функцијата f(x) има максимум во точката x = x 1.
Тогаш за доволно мал позитивен х>0 е точно следнава неравенка:
А-приоритет:
Оние. ако х0, нох<0, тоf(x 1)0, а еслих0, нох>0, потоаf(x 1)0.
И ова е можно само ако на х0f(x 1) = 0.
За случајот ако функцијата f(x) има минимум во точката x 2, теоремата се докажува на сличен начин.
Теоремата е докажана.
Последица. Обратна изјава не е точно. Ако изводот на функцијата во одредена точка е еднаков на нула, тоа не значи дека функцијата има екстрем во оваа точка. Елоквентен пример за ова е функцијата y = x 3, чиј извод во точката x = 0 е еднаков на нула, но во овој момент функцијата има само флексија, а не максимум или минимум.
Дефиниција. Критични точкифункции се точките во кои изводот на функцијата не постои или е еднаков на нула.
Теоремата дискутирана погоре ни ги дава потребните услови за постоење на екстрем, но тоа не е доволно.
Пример: f(x) =x Пример: f(x) = 
y y
Во точката x = 0 функцијата има минимум, но во точката x = 0 функцијата нема ниту едното ниту другото
нема дериват. максимум, без минимум, без производство
Општо земено, функцијата f(x) може да има екстрем во точките каде што изводот не постои или е еднаков на нула.
Теорема. (Доволни услови за постоење на екстрем)
Нека функцијатаѓ(x) е континуирано во интервалот (а, б), која ја содржи критичната точка x 1 , и може да се разликува во сите точки од овој интервал (освен, можеби, самата точка x 1 ).
Ако при минување низ точката x 1 лево кон десно извод на функцијатаѓ (x) го менува знакот од „+“ во „-“, потоа во точката x = x 1 функцијаѓ(x) има максимум, а ако изводот го промени знакот од „-“ во „+“, тогаш функцијата има минимум.
Доказ.
Нека 
Според теоремата на Лагранж: ѓ(x)
–
ѓ(x 1
)
=
ѓ
(
)(x
–
x 1
),
кадеx< Тогаш: 1) Ако x< x 1 ,
то f(x) –f(x 1)<0
илиf(x) 2) Ако x > x 1, тогаш>x 1 f()<0;f()(x–x 1)<0, следовательно f(x) –f(x 1)<0
илиf(x) Бидејќи одговорите се совпаѓаат, можеме да кажеме дека f(x) Слично е и доказот на теоремата за минималната точка. Теоремата е докажана. Врз основа на горенаведеното, можете да развиете унифицирана процедура за наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент: Најдете ги критичните точки на функцијата. Најдете ги вредностите на функцијата во критичните точки. Најдете ги вредностите на функцијата на краевите на сегментот. Изберете ги најголемите и најмалите вредности меѓу добиените вредности. Проучување на функција за екстремна употреба деривати од повисоки редови. Нека во точката x = x 1 f(x 1) = 0 и f(x 1) постои и е континуирано во некое соседство на точката x 1. Теорема.
Акоѓ
(x 1
) = 0, потоа функцијатаѓ(x) во точката x = x 1
има максимум акоѓ
(x 1
)<0
и минимум, если
ѓ
(x 1
)>0.
Доказ.
Нека f(x 1) = 0 и f (x 1)<0.
Т.к. функцияf(x)
непрерывна, тоf(x 1)
будет отрицательной и в некоторой малой
окрестности точки х 1 . Бидејќи f(x) = (f(x))< 0, тоf(x)
убывает на отрезке, содержащем точку
х 1 , ноf(x 1)=0,
т.е.f(x)
>0 на x За случај на минимална функција, теоремата се докажува на сличен начин. Ако f(x) = 0, тогаш природата на критичната точка е непозната. Потребни се дополнителни истражувања за да се утврди. Конвексност и конкавност на крива. Точки на флексија. Дефиниција.
Кривата е конвексна нагорена интервалот (a,b) ако сите негови точки лежат под некоја од неговите тангенти на овој интервал. Се нарекува крива конвексна нагоре конвексни, и се нарекува крива свртена конвексно надолу конкавна. Сликата покажува илустрација на горната дефиниција. Теорема 1.
Ако во сите точки од интервалот (а,
б) втор извод на функцијатаѓ(x) е негативна, потоа криватаy
=
ѓ(x) е конвексен нагоре (конвексен). Доказ.
Нека x 0 (a,b). Ајде да нацртаме тангента на кривата во оваа точка. Равенка на кривата: y=f(x); Тангентна равенка: Мора да се докаже дека. Со Лагранжовата теорема за f(x) –f(x 0): ,x 0 Според теоремата на Лагранж за Нека x > x 0 потоа x 0 Нека x Слично е докажано дека ако f(x) > 0 на интервалот (a,b), тогаш кривата y=f(x) е конкавна на интервалот (a,b). Теоремата е докажана. Дефиниција.
Точката што го одвојува конвексниот дел од кривата од конкавниот дел се нарекува точка на флексија. Очигледно, во точката на флексија тангентата ја пресекува кривата. Теорема 2.
Нека кривата е дефинирана со равенкатаy =
ѓ(x). Ако вториот дериватѓ
(а) = 0 илиѓ
(а) не постои ниту при минување низ точката x = aѓ
(x) го менува знакот, тогаш точката на кривата со апсциса x = a е точка на флексија. Доказ.
1) Нека f(x)< 0 при х x Нека f(x) > 0 кога x Теоремата е докажана. Асимптоти. Кога се проучуваат функциите, често се случува кога х-координатата на точка на крива се движи до бесконечност, кривата неограничено се приближува до одредена права линија. Дефиниција.
Правата линија се нарекува асимптотакрива ако растојанието од променливата точка на кривата до оваа права линија се стреми кон нула додека точката се движи до бесконечност. Треба да се напомене дека не секоја крива има асимптота. Асимптотите можат да бидат прави или коси. Проучувањето на функциите за присуство на асимптоти е од големо значење и ви овозможува попрецизно да ја одредите природата на функцијата и однесувањето на графикот на кривата. Општо земено, кривата, која неодредено се приближува до својата асимптота, може да ја пресече, а не во една точка, како што е прикажано на графиконот на функцијата подолу Да ги разгледаме подетално методите за пронаоѓање на асимптоти на криви. Вертикални асимптоти. Од дефиницијата за асимптота произлегува дека ако На пример, за функцијата Коси асимптоти. Да претпоставиме дека кривата y=f(x) има закосена асимптота y=kx+b. Размислете за следната слика. Го прикажува графикот на функцијата y = x^3 – 3*x^2. Да разгледаме некој интервал кој ја содржи точката x = 0, на пример од -1 до 1. Таквиот интервал се нарекува и соседство на точката x = 0. Како што може да се види на графиконот, во ова соседство функцијата y = x ^3 – 3*x^2 ја зема најголемата вредност токму во точката x = 0. Во овој случај, точката x = 0 се нарекува максимална точка на функцијата. По аналогија со ова, точката x = 2 се нарекува минимална точка на функцијата y = x^3 – 3*x^2. Бидејќи постои соседство на оваа точка во која вредноста во овој момент ќе биде минимална меѓу сите други вредности од оваа населба. Точка максимумФункцијата f(x) се нарекува точка x0, под услов да има соседство на точката x0 така што за сите x кои не се еднакви на x0 од ова соседство, важи неравенката f(x)< f(x0). Точка минимумФункцијата f(x) се нарекува точка x0, под услов да има соседство на точката x0 така што за сите x кои не се еднакви на x0 од ова соседство, важи неравенката f(x) > f(x0). Во точките на максимум и минимум на функции, вредноста на изводот на функцијата е нула. Но, тоа не е доволен услов за постоење на функција на максимална или минимална точка. На пример, функцијата y = x^3 во точката x = 0 има извод еднаков на нула. Но, точката x = 0 не е минималната или максималната точка на функцијата. Како што знаете, функцијата y = x^3 се зголемува по целата нумеричка оска. Така, минималните и максималните точки секогаш ќе бидат меѓу корените на равенката f’(x) = 0. Но, не сите корени на оваа равенка ќе бидат максимални или минимални поени. Точките во кои вредноста на изводот на функцијата е нула се нарекуваат стационарни точки. Може да има и точки на максимум или минимум во точките во кои изводот на функцијата воопшто не постои. На пример, y = |x| во точката x = 0 има минимум, но изводот не постои во оваа точка. Оваа точка ќе биде критична точка на функцијата. Критичните точки на функцијата се точките во кои изводот е еднаков на нула, или изводот не постои во оваа точка, односно функцијата во оваа точка е недиференцибилна. За да се најде максимумот или минимумот на функцијата, мора да се исполни доволен услов. Нека f(x) е некоја диференцијабилна функција на интервалот (a;b). Точката x0 припаѓа на овој интервал и f’(x0) = 0. Тогаш: 1. ако при минување низ стационарна точка x0 функцијата f(x) и нејзиниот извод го сменат знакот, од „плус“ во „минус“, тогаш точката x0 е максималната точка на функцијата. 2. ако при минување низ стационарна точка x0 функцијата f(x) и нејзиниот извод го сменат знакот, од „минус“ во „плус“, тогаш точката x0 е минималната точка на функцијата.
на
, оттука, 
.
Тоа
.
. Неговата коси асимптота е y = x.
или 
или 
, тогаш правата x = a е асимптота на кривата y = f (x).
правата линија x = 5 е вертикална асимптота.
Максимална и минимална функција
Стационарни и критични точки