Секоја неравенка која вклучува функција под коренот се нарекува ирационален. Постојат два вида на такви нееднаквости:

Во првиот случај, коренот помалку функција g (x), во втората - повеќе. Ако g(x) - константна, нееднаквоста е многу поедноставена. Ве молиме запомнете: однадвор овие нееднаквости се многу слични, но нивните шеми за решение се фундаментално различни.

Денес ќе научиме како да ги решиме ирационалните нееднаквости од првиот тип - тие се наједноставни и најразбирливи. Знакот за нееднаквост може да биде строг или нестрог. Следната изјава е точна за нив:

Теорема. Секакви работи ирационална нееднаквостљубезен

Еквивалентно на системот на неравенки:

Не е слаб? Ајде да погледнеме од каде доаѓа овој систем:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - сè е јасно овде. Ова е оригиналната нееднаквост на квадрат;
2. f(x) ≥ 0 е ОДЗ на коренот. Да ве потсетам: аритметичкиот квадратен корен постои само од не-негативниброеви;
3. g(x) ≥ 0 е опсегот на коренот. Со квадратирање на нееднаквоста, ги согоруваме негативните. Како резултат на тоа, може да има дополнителни корени. Неравенката g(x) ≥ 0 ги отсекува.

Многу ученици „се закачуваат“ на првата неравенка на системот: f (x) ≤ g 2 (x) - и целосно ги забораваат другите две. Резултатот е предвидлив: погрешна одлука, изгубени поени.

Бидејќи ирационалните нееднаквости се доволни сложена тема, ајде да погледнеме 4 примери одеднаш. Од основно до навистина сложено. Сите проблеми се преземени од приемните испитиМосковскиот државен универзитет именуван по M. V. Ломоносов.

Примери за решавање проблеми

Задача. Решете ја неравенството:

Пред нас е класика ирационална нееднаквост: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - константа. Ние имаме:

Од трите неравенки, само две останаа на крајот од решението. Бидејќи неравенката 2 ≥ 0 секогаш важи. Да ги преминеме преостанатите неравенки:

Значи, x ∈ [−1,5; 0,5]. Сите точки се засенчени бидејќи нееднаквостите не се строги.

Задача. Решете ја неравенството:

Ја применуваме теоремата:

Да ја решиме првата неравенка. За да го направите ова, ќе го откриеме квадратот на разликата. Ние имаме:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Сега да ја решиме втората неравенка. Таму исто така квадратен трином:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8) (x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪.

Ајде да го сумираме она што го научивме.
Да речеме дека е неопходно да се реши системот на неравенки: $\begin(scases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(scases)$.
Тогаш, интервалот ($x_1; x_2$) е решение за првата неравенка.
Интервалот ($y_1; y_2$) е решение за втората неравенка.
Решението за систем на неравенки е пресекот на решенијата на секоја неравенка.

Системите на неравенки може да се состојат не само од неравенки од прв ред, туку и од какви било други видови неравенки.

Важни правила за решавање на системи на нееднаквости.
Ако една од нееднаквостите на системот нема решенија, тогаш целиот систем нема решенија.
Ако една од неравенките е задоволена за која било вредност на променливата, тогаш решението на системот ќе биде решение на другата неравенка.

Примери.
Решете го системот на неравенки:$\begin(scases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(scases)$
Решение.
Ајде да ја решиме секоја неравенка посебно.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Да ја решиме втората неравенка.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решението на неравенството е интервалот.
Ајде да ги нацртаме двата интервали на иста линија и да го најдеме пресекот.
Пресекот на интервали е сегментот (4; 6].
Одговор: (4;6].

Решете го системот на неравенки.
а) $\begin(случаи)3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin(случаи)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end (случаи ) $.

Решение.
а) Првата неравенка има решение x>1.
Да ја најдеме дискриминаторот за втората нееднаквост.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Да се ​​потсетиме на правилото: кога една од нееднаквостите нема решенија, тогаш целиот систем нема решенија.
Одговор: Нема решенија.

Б) Првата неравенка има решение x>1.
Втората неравенка е поголема од нула за сите x. Тогаш решението на системот се совпаѓа со решението на првата неравенка.
Одговор: x>1.

Проблеми на системи на нееднаквости за самостојно решавање

Решавајте системи на неравенки:
а) $\begin(случаи)4x-5>11\\2x-12 б) $\begin(случаи)-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin(случаи)x^2-25 г) $\begin(случаи)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(случаи)$
д) $\begin(случаи)x^2+36

Шамшурин А.В. 1

Гагарина Н.А. 1

1 Општинска буџетска образовна установа „Средно сеопфатно училиштебр. 31"

Текстот на делото е објавен без слики и формули.
Целосна верзијаработата е достапна во табулаторот „Датотеки за работа“ во PDF формат

Вовед

Ја започнав мојата работа со разгледување на многу математички теми на Интернет и ја избрав оваа тема бидејќи сум сигурен дека важноста наоѓање на ОДЗигра огромна улога во решавањето на равенките и проблемите. Во неговиот истражувачка работаГледав равенки во кои е доволно само да се најде ОДЗ, опасност, опционалност, ограничен ОДЗ, некои забрани во математиката. Најважно ми е да го положам обединетиот државен испит по математика добро, а за ова треба да знам: кога, зошто и како да најдам ДЛ. Ова ме поттикна да ја истражувам темата, чија цел беше да покажам дека совладувањето на оваа тема ќе им помогне на студентите правилно да ги завршат задачите на Единствениот државен испит. За да ја постигнам оваа цел истражував понатамошно читањеи други извори. Се прашував дали знаат учениците од нашето училиште: кога, зошто и како да го најдат ОДЗ. Затоа, спроведов тест на тема „Кога, зошто и како да најдам ODZ? (дадени се 10 равенки). Број на ученици - 28. се справиле со тоа - 14%, опасност од ДД (се зема предвид) - 68%, опционалност (зема предвид) - 36%.

Цел: идентификација: кога, зошто и како да се најде ОДЗ.

Проблем:равенките и неравенките во кои е потребно да се најде ОДЗ не најдоа место во курсот за алгебра за систематско прикажување, па веројатно затоа и јас и моите врсници често грешиме кога решаваме вакви примери, трошиме многу време за нивно решавање, притоа заборавајќи за ОДЗ.

Задачи:

1. Покажете го значењето на ОДЗ при решавање равенки и неравенки.
2. Спроведете практична работа на оваа тема и сумирајте ги нејзините резултати.

Мислам дека знаењата и вештините што ги стекнав ќе ми помогнат да го решам прашањето: дали е неопходно да се бара ДЗ или не? Ќе престанам да правам грешки со тоа што ќе научам како правилно да го правам ОДЗ. Дали ќе можам да го направам ова, времето, или поточно Обединетиот државен испит, ќе покаже.

Поглавје 1

Што е ОДЗ?

ОДЗ е опсег на прифатливи вредности, односно, тоа се сите вредности на променливата за кои изразот има смисла.

Важно.За да најдеме ОДЗ не решаваме пример! Решаваме парчиња од примерот за да најдеме забранети места.

Некои забрани во математиката.Во математиката има многу малку такви забранети дејства. Но, не сите ги паметат...

• Изрази што се состојат од знак за парен мноштво или мора да бидат>0 или еднакви на нула, ODZ:f(x)
• Изразот во именителот на дропката не може да биде еднаков на нула, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Како да снимате ODZ?Многу едноставно. До примерот секогаш пишувајте ODZ. Под овие познати букви, гледајќи ја оригиналната равенка, ги запишуваме вредностите на x што се дозволени за оригиналниот пример. Трансформирањето на примерот може да го промени OD и, соодветно, одговорот.

Алгоритам за наоѓање ODZ:

1. Определете го типот на забраната.
2. Најдете вредности на кои изразот нема смисла.
3. Отстранете ги овие вредности од сетот реални броевиР.

Решете ја равенката: =

Без Д.З	Со ОДЗ
Одговор: x=5	ОДЗ: => => Одговор: нема корени

Опсегот на прифатливи вредности нè штити од такви сериозни грешки. Да бидам искрен, токму поради ОДЗ многу „шок студенти“ се претвораат во студенти „Ц“. Сметајќи дека барањето и земањето предвид ДЛ е незначителен чекор во одлуката, тие го прескокнуваат, а потоа се прашуваат: „зошто наставникот му дал 2?“ Да, затоа го ставив затоа што одговорот е неточен! Ова не е „бирање гниди“ на наставникот, туку многу специфична грешка, исто како неточна пресметка или изгубен знак.

Дополнителни равенки:

а) = ; б) -42=14x+; в) =0; г) |x-5|=2x-2

Поглавје 2

ОДЗ. За што? Кога? Како?

Опсег на прифатливи вредности - постои решение

1. ODZ е празен сет, што значи дека оригиналниот пример нема решенија

• = ОДЗ:

Одговор: нема корени.

• = ОДЗ:

Одговор: нема корени.

0, равенката нема корени

Одговор: нема корени.

Дополнителни примери:

а) + =5; б) + =23x-18; в) =0.

1. ODZ содржи еден или повеќе броеви, а едноставната замена брзо ги одредува корените.

ОДЗ: x=2, x=3

Проверете: x=2, + , 0<1, верно

Проверете: x=3, + , 0<1, верно.

Одговор: x=2, x=3.

• > ОДЗ: x=1,x=0

Проверете: x=0, > , 0>0, неточно

Проверете: x=1, > , 1>0, точно

Одговор: x=1.

• + =x ОДЗ: x=3

Проверете: + =3, 0=3, неточно.

Одговор: нема корени.

Дополнителни примери:

а) = ; б) + =0; в) + =x -1

Опасност од ДД

Забележи го тоа идентитетски трансформацииможе:

• не влијае на DL;
• доведе до проширен DL;
• доведе до стеснување на ОДЗ.

Исто така, познато е дека како резултат на некои трансформации кои го менуваат оригиналниот ODZ, тоа може да доведе до неточни одлуки.

Ајде да го илустрираме секој случај со пример.

1) Размислете за изразот x + 4x + 7x, ODZ на променливата x за ова е множеството R. Да го претставиме слични термини. Како резултат на тоа, ќе има форма x 2 +11x. Очигледно, ODZ на променливата x на овој израз е исто така множество R. Така, извршената трансформација не го промени ODZ.

2) Земете ја равенката x+ - =0. Во овој случај, ODZ: x≠0. Овој израз содржи и слични поими, откако ќе го намалиме доаѓаме до изразот x, за кој ODZ е R. Што гледаме: како резултат на трансформацијата, ODZ се прошири (бројот нула е додаден на ODZ на променлива x за оригиналниот израз).

3) Да го земеме изразот. VA на променливата x се одредува со неравенката (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Режим за пристап: Материјали од сајтови www.fipi.ru, www.eg.

Опсег на прифатливи вредности - постои решение [ Електронски ресурс]/Режим за пристап: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - област на прифатливи вредности, како да се најде ODZ [Електронски ресурс]/Режим за пристап: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Опсег на прифатливи вредности: теорија и практика [Електронски ресурс]/Режим за пристап: pandia.ru›text/78/083/13650.php

Што е ODZ [Електронски ресурс]/ Режим на пристап: www.cleverstudents.ru›odz.html

Што е ОДЗ и како да го барате - објаснување и пример. Електронски ресурс]/ Режим на пристап: cos-cos.ru›math/82/

Анекс 1

Практична работа „ОДЗ: кога, зошто и како?

Опција 1	Опција 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

Додаток 2

Одговори на задачи практична работа„ОЏ: кога, зошто и како?

Опција 1	Опција 2
Одговор: нема корени	Одговор: x-кој било број освен x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Одговор: нема корени	ОДЗ: x=-3, x=5. Одговор: -3;5.
y= -се намалува, y= -се зголемува Тоа значи дека равенката има најмногу еден корен. Одговор: x=6.	ОДЗ: → →х≥5 Одговор: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 не припаѓа на ОДЗ	Се намалува, се зголемува Равенката има најмногу еден корен. Одговор: нема корени.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Одговор: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Одговор: нема корени.
x=7, x=1. Одговор: нема решенија	Зголемување - намалување Одговор: x=2.
0 ODZ: x≠15 Одговор: x е кој било број освен x=15.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 не припаѓа на ОДЗ. Одговор: x=-1.

Како ?
Примери на решенија

Ако нешто недостасува некаде, тоа значи дека некаде има нешто

Продолжуваме да го проучуваме делот „Функции и графикони“, а следната станица на нашето патување е. Активна дискусија овој концептзапочна во написот за множества и продолжи во првата лекција за графикони на функции, каде што ги разгледав елементарните функции и, особено, нивните домени на дефиниција. Затоа, препорачувам куклите да започнат со основите на темата, бидејќи повеќе нема да се задржувам на некои основни точки.

Се претпоставува дека читателот го знае доменот на дефиниција следните функции: линеарна, квадратна, кубна функција, полиноми, експоненцијален, синус, косинус. Тие се дефинирани на (збир на сите реални броеви). За тангенти, лаксини, нека биде, ти простувам =) - поретките графикони не се паметат веднаш.

Обемот на дефиницијата се чини дека е едноставна работа и се поставува логично прашање: за што ќе биде статијата? Во оваа лекција ќе ги разгледам вообичаените проблеми за наоѓање на доменот на функцијата. Покрај тоа, ќе повториме неравенки со една променлива, чии вештини за решавање ќе бидат потребни во други задачи виша математика. Материјалот, инаку, е целиот училишен материјал, така што ќе биде корисен не само за учениците, туку и за учениците. Информациите, се разбира, не се преправаат дека се енциклопедиски, но тука не се пресилни „мртви“ примери, туку печени костени, преземени од вистински практични дела.

Да почнеме со брзо нурнување во темата. Накратко за главната работа: зборуваме за функција од една променлива. Нејзиниот домен на дефиниција е многу значења на „x“, за што постојатзначења на „играчи“. Ајде да размислиме условен пример:

Доменот на дефиниција на оваа функција е сојуз од интервали:
(за оние кои заборавиле: - икона за обединување). Со други зборови, ако земете која било вредност на „x“ од интервалот , или од , или од , тогаш за секое такво „x“ ќе има вредност „y“.

Грубо кажано, каде што е доменот на дефиниција, постои график на функцијата. Но, полуинтервалот и точката „tse“ не се вклучени во областа за дефиниција и таму нема график.

Како да се најде доменот на функцијата? Многу луѓе се сеќаваат на детската рима: „карпа, ножици, хартија“ и внатре во овој случајможе безбедно да се парафразира: „корен, дропка и логаритам“. Така, доколку вие животен патнаидува на дропка, корен или логаритам, веднаш треба да бидете многу, многу претпазливи! Тангента, котангента, арксин, аркозин се многу поретки, а ние исто така ќе зборуваме за нив. Но, прво, скици од животот на мравките:

Домен на функција која содржи дропка

Да претпоставиме дека ни е дадена функција која содржи дропка. Како што знаете, не можете да поделите со нула: , значи оние Вредностите „X“ што го претвораат именителот на нула не се вклучени во опсегот на оваа функција.

Нема да се задржувам најмногу едноставни функциидопаѓа итн., бидејќи секој совршено гледа точки што не се вклучени во нивниот домен на дефиниција. Ајде да погледнеме позначајни дропки:

Пример 1

Најдете го доменот на функцијата

Решение: Нема ништо посебно во броителот, но именителот мора да биде ненула. Ајде да го поставиме еднакво на нула и да се обидеме да ги најдеме „лошите“ точки:

Добиената равенка има два корени: . Вредности на податоци не се во опсегот на функцијата. Навистина, заменете го или во функцијата и ќе видите дека именителот оди на нула.

Одговори: домен:

Влезот гласи вака: „доменот на дефиниција се сите реални броеви со исклучок на множеството кое се состои од вредности " Дозволете ми да ве потсетам дека симболот за обратна коса црта во математиката означува логично одземање, а кадравите загради означуваат множество. Одговорот може еквивалентно да се напише како унија од три интервали:

На кој му се допаѓа.

На точките функцијата толерира бескрајни паузии прави линии, дадени со равенки се вертикални асимптотиза графикот на оваа функција. Сепак, ова е малку поинаква тема, и понатаму нема да фокусирам многу внимание на ова.

Пример 2

Најдете го доменот на функцијата

Задачата во суштина е усна и многумина од вас речиси веднаш ќе ја најдат областа на дефиниција. Одговорот е на крајот од лекцијата.

Дали дропка секогаш ќе биде „лоша“? бр. На пример, функцијата е дефинирана на целата бројна линија. Без разлика која вредност на „x“ ја земеме, именителот нема да оди на нула, згора на тоа, секогаш ќе биде позитивен: . Така, опсегот на оваа функција е: .

Сите функции како дефинирани и континуиранона .

Ситуацијата е малку посложена кога именителот е окупиран квадратен трином:

Пример 3

Најдете го доменот на функцијата

Решение: Да се ​​обидеме да ги најдеме точките во кои именителот оди на нула. За ова ќе одлучиме квадратна равенка:

Дискриминаторот се покажа негативен, што значи дека нема вистински корени, а нашата функција е дефинирана на целата бројна оска.

Одговори: домен:

Пример 4

Најдете го доменот на функцијата

Ова е пример за независна одлука. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата. Ве советувам да не бидете мрзливи со едноставни проблеми, бидејќи недоразбирањата ќе се акумулираат со дополнителни примери.

Домен на функција со корен

Функцијата квадратен корен е дефинирана само за оние вредности на „x“ кога радикалното изразување не е негативно: . Ако коренот се наоѓа во именителот , тогаш состојбата очигледно е затегната: . Слични пресметки важат за секој корен со позитивен парен степен: , сепак коренот е веќе од 4 степен во функционални студиине се сеќавам.

Пример 5

Најдете го доменот на функцијата

Решение: радикалниот израз мора да биде ненегативен:

Пред да продолжите со решението, да ве потсетам на основните правила за работа со нееднаквости, познати уште од училиште.

Те молам забележи Посебно внимание! Сега ги разгледуваме нееднаквостите со една променлива- односно за нас има само една димензија долж оската. Ве молиме не мешајте со неравенки на две променливи, каде што геометриски сите координатна рамнина. Сепак, има и пријатни случајности! Значи, за нееднаквост следните трансформации се еквивалентни:

1) Условите може да се префрлаат од дел на дел со промена на нивните (условите) знаци.

2) Двете страни на неравенката може да се помножат со позитивен број.

3) Ако двете страни на неравенката се помножат со негативенброј, тогаш треба да промените самиот знак на нееднаквост. На пример, ако имало „повеќе“, тогаш ќе стане „помалку“; ако било „помалку или еднакво“, тогаш ќе стане „поголемо или еднакво“.

Во нееднаквоста, ги поместуваме „трите“ на десната страна со промена на знакот (правило бр. 1):

Да ги помножиме двете страни на неравенката со –1 (правило бр. 3):

Ајде да ги помножиме двете страни на неравенката со (правило бр. 2):

Одговори: домен:

Одговорот може да се напише и во еквивалентна фраза: „функцијата е дефинирана на .
Геометриски, областа за дефиниција е прикажана со засенчување на соодветните интервали на оската на апсцисата. Во овој случај:

Ве потсетувам уште еднаш геометриско значењедомен на дефиниција – график на функција постои само во засенчената област и отсуствува кај .

Во повеќето случаи, погодно е чисто аналитичко определување на доменот на дефиниција, но кога функцијата е многу комплицирана, треба да нацртате оска и да правите белешки.

Пример 6

Најдете го доменот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами.

Кога под квадратниот корен има квадратен бином или трином, ситуацијата станува малку посложена, а сега детално ќе ја анализираме техниката на решение:

Пример 7

Најдете го доменот на функцијата

Решение: радикалниот израз мора да биде строго позитивен, односно треба да ја решиме нееднаквоста. На првиот чекор, се обидуваме да го факторизираме квадратниот трином:

Дискриминаторот е позитивен, бараме корени:

Значи параболата ја пресекува оската на апсцисата во две точки, што значи дека дел од параболата се наоѓа под оската (нееднаквост), а дел од параболата се наоѓа над оската (неравенството што ни треба).

Бидејќи коефициентот е , гранките на параболата се насочени нагоре. Од горенаведеното произлегува дека неравенството се задоволува на интервалите (гранките на параболата одат нагоре до бесконечност), а темето на параболата се наоѓа на интервалот под оската x, што одговара на неравенката:

! Забелешка: Ако не ги разбирате целосно објаснувањата, нацртајте ја втората оска и целата парабола! Препорачливо е да се вратите на статијата и прирачникот Жешки формули за училишен курс по математика.

Ве молиме имајте предвид дека самите точки се отстранети (не се вклучени во решението), бидејќи нашата нееднаквост е строга.

Одговори: домен:

Општо земено, многу нееднаквости (вклучувајќи ја и разгледуваната) се решаваат со универзалното метод на интервал, повторно познат од училишна наставна програма. Но, во случаите на квадратни биноми и триноми, според мое мислење, многу поудобно и побрзо е да се анализира локацијата на параболата во однос на оската. И ние ќе го анализираме главниот метод - методот на интервал - детално во статијата. Функција нули. Константни интервали.

Пример 8

Најдете го доменот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Примерокот детално коментира за логиката на расудувањето + вториот метод на решение и уште еден важна трансформацијанееднаквост, без сознание за тоа што ученикот ќе куца на едната нога..., ...хмм... во врска со ногата, можеби се возбудив, поточно, на еден прст. Палецот.

Може ли да се дефинира функција на квадратен корен на целата бројна права? Секако. Сите познати лица: . Или сличен збир со експонент: . Навистина, за сите вредности на „x“ и „ka“: , затоа и и .

Но помалку очигледен пример: . Овде дискриминаторот е негативен (параболата не ја пресекува оската х), додека гранките на параболата се насочени нагоре, па оттука и доменот на дефиниција: .

Спротивното прашање: дали може да биде доменот на дефиниција на функцијата празен? Да, и примитивен пример веднаш се сугерира , каде што радикалниот израз е негативен за која било вредност на „x“, а доменот на дефиниција: (икона празен сет). Таквата функција воопшто не е дефинирана (секако и графикот е илузорен).

Со непарни корени итн. сè е многу подобро - овде радикалното изразување може да биде негативно. На пример, функцијата е дефинирана на целата бројна линија. Сепак, функцијата има една точка која сè уште не е вклучена во доменот на дефиниција, бидејќи именителот е поставен на нула. Од истата причина за функцијата бодовите се исклучени.

Домен на функција со логаритам

Третата заедничка функција е логаритам. Како примерок ќе нацртам природен логаритам, што се јавува во приближно 99 примери од 100. Ако одредена функција содржи логаритам, тогаш нејзиниот домен на дефиниција треба да ги вклучува само оние вредности на „x“ што ја задоволуваат нееднаквоста. Ако логаритамот е во именителот: , тогаш дополнителносе наметнува услов (од ).

Пример 9

Најдете го доменот на функцијата

Решение: во согласност со горенаведеното, ќе го составиме и решиме системот:

Графичко решениеза кукли:

Одговори: домен:

Ќе застанам на уште едно техничка точка– Немам означена скала и не се означени поделбите по оската. Се поставува прашањето: како да се направат такви цртежи во тетратка на карирана хартија? Дали растојанието помеѓу точките треба да се мери со ќелии строго според скалата? Поканонско и построго е, се разбира, да се размери, но шематски цртеж што суштински ја одразува ситуацијата е исто така сосема прифатлив.

Пример 10

Најдете го доменот на функцијата

За да го решите проблемот, можете да го користите методот од претходниот пасус - анализирајте како се наоѓа параболата во однос на оската x. Одговорот е на крајот од лекцијата.

Како што можете да видите, во областа на логаритмите сè е многу слично на ситуацијата со квадратните корени: функцијата (квадратен трином од Пример бр. 7) е дефиниран на интервалите, а функцијата (квадратен бином од Пример бр. 6) на интервалот . Незгодно е дури и да се каже, функциите за тип се дефинирани на целата нумеричка линија.

Корисни информации : интересно типична функција, таа е дефинирана на целата бројна права освен точката. Според својството на логаритмот, „двата“ може да се множи надвор од логаритмот, но за да не се промени функцијата, „x“ мора да биде затворена под знакот за модул: . Еве уште една за тебе“ практична употреба» модул =). Ова е она што треба да го правите во повеќето случаи кога уривате дуристепен, на пример: . Ако основата на степенот е очигледно позитивна, на пример, тогаш нема потреба од знакот за модул и доволно е да се користат загради: .

За да избегнеме повторување, ајде да ја комплицираме задачата:

Пример 11

Најдете го доменот на функцијата

Решение: во оваа функција го имаме и коренот и логаритамот.

Радикалниот израз мора да биде ненегативен: , а изразот под знакот логаритам мора да биде строго позитивен: . Така, неопходно е да се реши системот:

Многумина од вас знаат многу добро или интуитивно погодуваат дека системското решение мора да задоволи на секојсостојба.

Испитувајќи ја локацијата на параболата во однос на оската, доаѓаме до заклучок дека нееднаквоста се задоволува со интервалот (сино засенчување):

Нееднаквоста очигледно одговара на „црвениот“ полуинтервал.

Бидејќи двата услови мора да бидат исполнети истовремено, тогаш решението на системот е пресекот на овие интервали. " Заеднички интереси» се исполнуваат на полуинтервалот.

Одговори: домен:

Типичната нееднаквост, како што е прикажано во Примерот бр. 8, не е тешко да се реши аналитички.

Пронајдениот домен нема да се промени за „слични функции“, на пр. или . Можете исто така да додадете неколку континуирани функции, на пример: , или вака: , или дури и вака:. Како што велат, коренот и логаритамот се тврдоглави работи. Единственото нешто е што ако една од функциите се „ресетира“ на именителот, тогаш доменот на дефиниција ќе се промени (иако во општ случајова не е секогаш точно). Па, во теоријата на матан за оваа вербална... ах... има теореми.

Пример 12

Најдете го доменот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Користењето на цртеж е сосема соодветно, бидејќи функцијата не е наједноставна.

Уште неколку примери за зајакнување на материјалот:

Пример 13

Најдете го доменот на функцијата

Решение: да го составиме и решиме системот:

Сите дејства веќе се дискутирани во текот на статијата. Дозволете ни да го прикажеме интервалот што одговара на нееднаквоста на бројната права и, според вториот услов, да елиминираме две точки:

Се покажа дека значењето е сосема неважно.

Одговори: домен

Мала математичка игра на зборови за варијација на 13-тиот пример:

Пример 14

Најдете го доменот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Тие што го пропуштија немаат среќа ;-)

Последниот дел од лекцијата е посветен на поретки, но и „работни“ функции:

Области за дефиниција на функции
со тангенти, котангенти, арксини, аркосини

Ако некоја функција вклучува , тогаш од нејзиниот домен на дефиниција исклученипоени , Каде З– збир на цели броеви. Особено, како што е наведено во статијата Графикони и својства на елементарните функции, функцијата ги има следните вредности:

Тоа е, доменот на дефиниција на тангентата: .

Да не убиваме премногу:

Пример 15

Најдете го доменот на функцијата

Решение: во овој случај, следните точки нема да бидат вклучени во доменот на дефиниција:

Ајде да ги фрлиме „двајцата“ од левата страна во именителот на десната страна:

Како резултат :

Одговори: домен: .

Во принцип, одговорот може да се напише и како синдикат бесконечен бројинтервали, но дизајнот ќе биде многу тежок:

Аналитичкото решение е целосно во согласност со геометриска трансформација на графикот: ако аргументот на функцијата се помножи со 2, тогаш нејзиниот график ќе се намали на оската двапати. Забележете како периодот на функцијата е преполовен и точки на паузадвојно зголемена фреквенција. Тахикардија.

Слична приказнасо котангента. Ако некоја функција вклучува , тогаш точките се исклучени од нејзиниот домен на дефиниција. Особено, за функцијата за автоматско пукање ги снимаме следните вредности:

Со други зборови:

Дознавме дека има X- множество на кое има смисла формулата што ја дефинира функцијата. ВО математичка анализаова множество често се означува како Д (домен на функција ). За возврат, многу Yозначено како Е (опсег на функции ) и каде ДИ Енаречени подмножества Р(множество од реални броеви).

Ако функцијата е дадена со формула, тогаш, во отсуство на посебни резервации, се разгледува опсегот на нејзината дефиниција најголемиот сет, на која оваа формула има смисла, односно најголемиот сет на вредности на аргументи што доведува до реални вредности на функцијата . Со други зборови, збир на вредности на аргументи на кои работи „функцијата“.

За заедничко разбирањеПримерот сè уште нема формула. Функцијата е наведена како парови на релации:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Најдете го доменот на дефиниција на овие функции.

Одговори. Првиот елемент на парот е променлива x. Бидејќи спецификацијата на функцијата ги содржи и вторите елементи на паровите - вредностите на променливата y, тогаш функцијата има смисла само за оние вредности на x што одговараат на одредена вредностигра. Односно, ги земаме сите X од овие парови во растечки редослед и од нив го добиваме доменот на дефиниција на функцијата:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Истата логика функционира ако функцијата е дадена со формула. Само вторите елементи во парови (т.е. вредностите на i) се добиваат со замена на одредени x вредности во формулата. Меѓутоа, за да го најдеме доменот на функцијата, не треба да ги поминуваме сите парови на X и Y.

Пример 0.Како да се најде доменот на функцијата i е еднаков на квадратен коренод x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Само треба да ја решите нееднаквоста

x - 5 ≥ 0 ,

бидејќи за да добиеме вистинска вредностигра, радикалниот израз мора да биде поголем или еднаков на нула. Го добиваме решението: доменот на дефиниција на функцијата е сите вредности на x поголеми или еднакви на пет (или x припаѓа на интервалот од пет инклузивно до плус бесконечност).

На цртежот погоре е фрагмент од бројната оска. На него, областа на дефинирање на разгледуваната функција е засенчена, додека во насока „плус“ шрафирањето продолжува неодредено заедно со самата оска.

Доколку користите компјутерски програми, кои произведуваат некаков одговор врз основа на внесените податоци, може да забележите дека за некои вредности на внесените податоци програмата прикажува порака за грешка, односно дека со такви податоци одговорот не може да се пресмета. Оваа порака ја даваат авторите на програмата доколку изразот за пресметување на одговорот е доста сложен или се однесува на некој тесен предметна област, или обезбедени од авторите на програмскиот јазик, доколку станува збор за општоприфатени норми, на пример, што не може да се подели со нула.

Но, во двата случаи, одговорот (вредноста на некој израз) не може да се пресмета од причина што изразот нема смисла за некои вредности на податоци.

Пример (сè уште не е баш математички): ако програмата го прикажува името на месецот врз основа на бројот на месецот во годината, тогаш со внесување „15“ ќе добиете порака за грешка.

Најчесто, изразот што се пресметува е само функција. Затоа таквите неважечки вредностиподатоците не се вклучени домен на функција . И во рачните пресметки, исто толку важно е да се претстави доменот на функцијата. На пример, пресметувате одреден параметар на одреден производ користејќи формула која е функција. За некои вредности на влезниот аргумент, нема да добиете ништо на излезот.

Домен на дефиниција на константа

Константна (константа) дефинирана за какви било вистински вредности x Р реални броеви. Ова може да се напише и вака: доменот на дефиниција на оваа функција е целата бројна линија ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Најдете го доменот на функцијата y = 2 .

Решение. Доменот на дефиниција на функцијата не е означен, што значи дека врз основа на горната дефиниција се подразбира природниот домен на дефиниција. Изразување ѓ(x) = 2 дефинирани за кои било реални вредности x, оттука, оваа функцијадефинирани на целиот сет Р реални броеви.

Затоа, на цртежот погоре, бројната линија е засенчена до крај од минус бесконечност до плус бесконечност.

Областа за дефиниција на коренот nти степен

Во случај кога функцијата е дадена со формулата и n- природен број:

Пример 2. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Како што следува од дефиницијата, коренот од парен степен има смисла ако радикалниот израз е ненегативен, односно ако - 1 ≤ x≤ 1. Затоа, доменот на дефиниција на оваа функција е [- 1; 1] .

Засенчената област на бројната линија на цртежот погоре е доменот на дефиниција на оваа функција.

Функција на домен на моќ

Домен на функција на моќност со цел број експонент

Ако а- позитивно, тогаш доменот на дефиниција на функцијата е множеството од сите реални броеви, односно ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- негативен, тогаш доменот на дефинирање на функцијата е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , односно целата бројна линија освен нула.

На соодветниот цртеж погоре, целата бројна линија е засенчена, а точката што одговара на нула е издупчена (не е вклучена во доменот на дефинирање на функцијата).

Пример 3. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Прв мандат цел степен x е еднакво на 3, а степенот на x во вториот член може да се претстави како еден - исто така цел број. Следствено, доменот на дефиниција на оваа функција е целата бројна права, односно ]- ∞; + ∞[.

Домен на функција на моќност со фракционен експонент

Во случај кога функцијата е дадена со формулата:

ако е позитивно, тогаш доменот на дефиниција на функцијата е множеството 0; + ∞[.

Пример 4. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. И двата поима во функционалниот израз се функции за напојувањесо позитивни фракциони експоненти. Следствено, доменот на дефиниција на оваа функција е множеството - ∞; + ∞[.

Домен на експоненцијални и логаритамски функции

Домен на експоненцијалната функција

Во случај кога функцијата е дадена со формула, доменот на дефиниција на функцијата е целата бројна права, односно ] - ∞; + ∞[.

Домен на логаритамската функција

Логаритамската функција е дефинирана под услов нејзиниот аргумент да биде позитивен, односно доменот на дефиниција е множеството ]0; + ∞[.

Најдете го доменот на функцијата сами и потоа погледнете го решението

Домен на тригонометриски функции

Функциски домен y= cos( x) - исто така многу Р реални броеви.

Функциски домен y= tg ( x) - еден куп Р реални броеви освен броеви .

Функциски домен y= ctg( x) - еден куп Р реални броеви, освен броеви.

Пример 8. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Надворешна функција - децимален логаритама доменот на неговото дефинирање подлежи на условите од доменот на дефиниција логаритамска функцијавоопшто. Односно, нејзиниот аргумент мора да биде позитивен. Аргументот овде е синусот на „x“. Вртејќи го имагинарен компас околу круг, гледаме дека состојбата грев x> 0 е повредено со „x“ еднаква на нула, „пи“, два, помножени со „пи“ и воопшто еднаков на производотпи и кој било парен или непарен цел број.

Така, доменот на дефиниција на оваа функција е даден со изразот

,

Каде к- цел број.

Домен на дефиниција на инверзни тригонометриски функции

Функциски домен y= лаксин( x) - сет [-1; 1] .

Функциски домен y= арки ( x) - исто така множеството [-1; 1] .

Функциски домен y= арктан ( x) - еден куп Р реални броеви.

Функциски домен y= arcctg( x) - исто така многу Р реални броеви.

Пример 9. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Да ја решиме нееднаквоста:

Така, го добиваме доменот на дефиниција на оваа функција - сегментот [- 4; 4] .

Пример 10. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Да решиме две неравенки:

Решение за првата неравенка:

Решение за втората неравенка:

Така, го добиваме доменот на дефиниција на оваа функција - сегментот.

Опсег на дропка

Ако е дадена функцијата фракционо изразување, во која променливата е во именителот на дропката, тогаш доменот на дефиниција на функцијата е множеството Р реални бројки, освен овие x, при што именителот на дропката станува нула.

Пример 11. Најдете го доменот на функцијата .

Решение. Со решавање на еднаквоста на именителот на дропката на нула, го наоѓаме доменот на дефиниција на оваа функција - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.