1. Својство на делење две еднакви природни броеви:
Ако природен број се подели со неговиот еднаков број, резултатот е еден.
Останува да дадеме неколку примери. Количникот на природниот број 405 поделен со неговиот еднаков број 405 е 1; Резултатот од делењето 73 со 73 е исто така 1.
2. Својство на делење природен број со еден:
Резултатот од делењето даден природен број со еден е тој природен број.
Да го запишеме формулираното својство на делење во буквална форма: a: 1 = a.
Да дадеме примери. Количникот на природниот број 23 поделен со 1 е бројот 23, а резултатот од делењето на природниот број 10.388 со еден е бројот 10.388.
3. Делењето на природните броеви нема комутативно својство.
Ако дивидендата и делителот се еднакви природни броеви, тогаш поради својството на делење еднакви природни броеви, дискутирано во првиот став од овој член, можеме да ги замениме. Во овој случај, резултатот од поделбата ќе биде истиот природен број 1.
Со други зборови, ако дивидендата и делителот се еднакви природни броеви, тогаш во овој случај поделбата има комутативно својство. 5: 5 = 1 и 5: 5 = 1
Во други случаи, кога дивидендата и делителот не се еднакви природни броеви, комутативното својство на делењето не важи.
Значи, В општ случајделењето на природните броеви НЕМА комутативно својство.
Користејќи букви, последната изјава се пишува како a: b ≠ b: a, каде што a и b се некои природни броеви, и a ≠ b.
4. Својството на делење на збирот на два природни броја со природен број:
делењето на збирот на два природни броја со даден природен број е исто како и собирањето на количниците за делење на секој член со даден природен број.
Ајде да го напишеме ова својство на делење користејќи букви. Нека a, b и c се природни броеви такви што a може да се подели со c и b може да се подели со c, тогаш (a + b) : c = a: c + b: c.На десната страна од напишаното равенство прво се врши делење, а потоа собирање.
Да дадеме пример кој ја потврдува валидноста на својството на делење на збирот на два природни броја со даден природен број. Да покажеме дека еднаквоста (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 е точна. Прво, да ја пресметаме вредноста на изразот од левата страна на еднаквоста. Бидејќи 18 + 36 = 54, тогаш (18 + 36) : 6 = 54: 6. Од табелата за множење на природните броеви наоѓаме 54: 6 = 9. Продолжуваме со пресметување на вредноста на изразот 18:6+36: 6. Од табелата за множење имаме 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6, значи 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Затоа, еднаквоста (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36 : 6 е точно.
5. Својството на делење на разликата на два природни броја со природен број:
подели ја разликата на два броја со даден број- тоа е исто како да се одземе од количникот на минуендот и дадениот број количникот на подзаконот и дадениот број.
Користејќи букви, ова својство на поделба може да се напише на следниов начин: (a - b) : c = a: c - b: c, каде што a, b и c се природни броеви такви што a е поголем или еднаков на b, а исто така и a и b може да се поделат со c.
Како пример за потврдување на особината на делењето што се разгледува, ќе ја покажеме валидноста на еднаквоста (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5. Бидејќи 45 - 25 = 20 (доколку е потребно, проучете го материјалот во член одзема природни броеви), потоа (45 - 25) : 5 = 20: 5. Користејќи ја табелата за множење, откриваме дека добиениот количник е еднаков на 4. Сега да ја пресметаме вредноста на изразот 45: 5 - 25: 5 , што е на десната страна на еднаквоста. Од табелата за множење имаме 45: 5 = 9 и 25: 5 = 5, потоа 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Затоа, еднаквоста (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25 : 5 е точно.
6. Својството на делење на производот на два природни броја со природен број:
резултатот од делењето на производот на два природни броја со даден природен број кој е еднаков на еден од факторите е еднаков на другиот фактор.
Еве ја буквалната форма на ова својство на поделба: (a · b) : a = b или (a · b) : b = a, каде што a и b се некои природни броеви.
ВО почетен курсМатематичките теореми за деливост на збир се „претставени“ во форма на книгата „Делување збир со број“. Овој имот се користи при поделба двоцифрен бројна недвосмисленото.
Во учебникот М2М, начинот на запознавање на децата со ова својство е сличен на методот на проучување на својството на множење збир со број. Имено: прво, учениците анализираат два начина за решавање на проблем, користејќи цртеж за таа цел, потоа, користејќи конкретен пример, се објаснуваат два начина на дејствување при делење збир со број, т.е. се разгледува случајот кога секој член се дели со даден број.
Размислете за два начини да го решите примерот: (6+9):3 ;
Пресметајте го збирот и поделете го резултатот со бројот: (6+9):3=15:3=5;
Поделете го секој член со број, а потоа додадете ги резултатите: (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Споредете ги резултатите.
Новиот начин на дејствување се засилува за време на вежбите: Исчистете го значењето на секој израз на два начина: (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.
Во учебникот М2И се користи различен методолошки пристап за да се запознаат учениците со својството на делење збир со број.
Учениците ја добиваат следната задача: Погоди! Кое е правилото за пишување на изразите во секоја колона? Пресметајте ги нивните вредности: 54:9 (36+18):9 36:9+18:9; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.
Во процесот на завршување на оваа задача, учениците стануваат свесни за нов начин на извршување на работите. Имено: дивидендата се претставува како збир од два члена, од кои секој се дели со даден број, потоа секој член се дели со овој број и се собираат добиените резултати. За да се научи нов начин на дејствување, се извршуваат различни задачи. Покрај тоа, изразите што се користат во задачите вклучуваат само табеларни случаи на поделба, така што учениците не доживуваат потешкотии во примената на новиот метод на работа.
24. Методологија за воведување на концептот „равенка“.
Нумерички израз;
Израз со променлива;
Еднаквост и нееднаквост;
Равенката.
2) Откријте ја нивната содржина.
Концептот на равенка е еден од основните алгебарски концепти кои се изучуваат на курсевите по математика во основното училиште. Во основното училиште се разгледуваат само равенки од 1 степен со една непозната, а повеќето методи препорачуваат да се запознаат децата исклучиво со наједноставните равенки.
Наједноставните равенки се оние во кои за да се најде коренот доволно е да се изврши еден чекор. Но, според некои други методи, покрај посочените равенки, се препорачува учениците да се запознаат со повеќе сложени равенкитип:
Основа за решавање на равенка во основно училиште е поврзаноста на компонентите на аритметичките операции и нивниот резултат.
Задачи со кои се соочува наставникот:
Запознајте ги учениците со концептот на равенка и неговото решение;
Развијте свесна вештина за решавање равенки.
Понуда за студенти основно училиштеда се реши равенката во имплицитна форма, т.е. понуди рекорд како:
Вметнете го бројот што недостасува во полето за да го направите вистинска еднаквост.
Оваа задача може да се понуди во различни фази од образованието во основното училиште. Во зависност од фазата на учење во која се нудат овие задачи, учениците можат да дејствуваат на 2 начини:
1. Ако децата сè уште не ги знаат врските помеѓу компонентите на дејствата и нивните резултати, тогаш тие ги извршуваат наведените задачи користејќи го методот на селекција. Оние. стави во прозорецот различни броевии проверете дали еднаквоста е вистина.
2. Ако наведените задачи се нудат кога децата веќе се запознаени со врските помеѓу компонентите на акциите и нивните резултати, тогаш тие ги наоѓаат користејќи ја оваа врска.
Од горенаведеното можеме да заклучиме дека во фазата на подготовка на учениците да се запознаат со концептот на равенка, тие се запознаваат со равенката во имплицитна форма и методот на решавање равенки со методот на селекција => 2-ри метод на решавање равенки - методот на селекција.
Така подготвителна фазатреба да вклучи запознавање на учениците од основните училишта со компонентите на различните аритметички операции, нивните резултати и односот меѓу нив. Доколку учениците не се запознаени со овие поими на соодветно ниво и децата свесно не ги научат правилата за пронаоѓање непознати поими, подземни точки, минуенди итн., тогаш запознавањето со решавањето на равенката нема да се изврши на соодветно ниво. Во текот на целиот процес на учење математика во влезно нивоПред да се запознаете со равенката, неопходно е да се изврши работа насочена кон развивање кај учениците солидни вештини за пронаоѓање непознати компоненти на аритметички операции.
Вовед во концептот на равенка.
Децата се поканети да снимаат:
Потоа се известува дека во математиката непознат број обично се означува со посебни букви, од кои главната е „ X».
и се известува дека презентираната еднаквост се нарекува равенка. Со цел децата да го формираат концептот на равенка, треба да понудите голем број изрази:
Децата мора да ги идентификуваат од наведените предмети оние што се равенки, објаснувајќи го нивниот избор. Во исто време, тие мора да ги наведат суштинските својства на равенките (еднаквост, постои X).
Заедно со концептот на „равенка“, децата развиваат идеја за тоа што значи да се реши равенката. Тие мора целосно да го разберат фактот дека решавањето на равенката е наоѓање број кој, кога ќе се замени во равенката за непознатото, го претвора вториот во вистински. нумеричка еднаквост. Концептот на „коренот на равенката“ не е воведен, иако одредени техникидозволи воведување на наведениот термин (според Елконин-Давидов).
Веќе во фазата на проучување на равенката на почетокот, добра идеја е да се вклучите во пропедевтика на концептот на „домен на дефиниција на равенката“. Оваа работа особено ефикасно се изведува...
X-10=2 (9 не е можно, бидејќи...)
15:x=5 (не можете да користите 5, бидејќи...)
Кога се разгледуваат ваквите равенки, се заклучува дека не секој број може да биде решение за овие равенки.
За да може работата за проучување на равенките да биде ефективна, на децата треба да им се понудат равенки со различни задачи:
Решете ја равенката и тестирајте;
Проверете ги равенките што се решаваат и пронајдете ја грешката;
Направете равенки со броеви: x, 10, 12
12 = 10, итн.
Од дадени равенкирешавајте ги само оние што можат да се решат со одземање:
10-ти = 8, итн.
Од дадените равенки решете ги само оние што можат да се решат со собирање;
На децата им е дадена равенка во која недостасува знакот за акција
и дадено е решение
Посебно вниманиеКога се разгледува концепт, на равенката треба да и се даде потврда. Многу е важно при проверката на решението на равенките, учениците да пристапат кон оваа работа не формално, туку свесно. За да го направите ова, тие треба да бидат понудени проблематични ситуации, во која треба да настапите конкретни акцииза проверка на решени равенки, имено, понуда на веќе решена равенка и барање, без да се реши, да се утврди дали е направена грешка или не. Да се следат активностите на учениците овој процесНеопходно е да ги поттикнете гласно да зборуваат за своите постапки.
25. Методологија за воведување на концептот „израз“ (нумерички изрази и изрази со променлива).
На курсевите по математика во основно училиште, децата се запознаваат со следните алгебарски концепти:
Нумерички израз;
Израз со променлива;
Еднаквост и нееднаквост;
Равенката.
Задачи со кои се соочува наставникот:
1) Да се формира идеја кај учениците за овие поими.
2) Откријте ја нивната содржина.
НУМЕРИЧЕН ИЗРАЗ.
Задачи:
2) Воведете ги правилата за редоследот на извршување на дејствијата во изразите. Научете да ги користите во пресметките.
3) Научете ги децата да вршат некои идентични трансформации на изрази.
Учениците се запознаваат со концептот на нумерички израз од првите училишни денови со воведување на една или друга аритметичка операција.
Запознавање на децата од основно училиште со концептот на собирање: на децата им е прикажан нумерички израз наречен збир. Наставникот мора да запомни дека знакот за акција поставен помеѓу броевите има двојно значење. Од една страна ги прикажува дејствата што треба да се извршат на броевите, а од друга страна покажува означување на даден нумерички израз. Оттука, концептот на „нумерички изрази“ е нераскинливо поврзан со концептот „ аритметички операции„и во формирањето на овие концепти, едниот придонесува за формирање на другиот.
Запознавањето со нумеричките изрази се случува постепено, а учениците прво се запознаваат со наједноставните изрази (со еден знак за дејство), а потоа со повеќе сложени изрази(2 или повеќе дејства). Многу важна фазае фаза на споредување на изрази. Со споредување на изрази, децата се запознаваат со концептите како што се еднаквост и нееднаквост.
Како што изразите стануваат покомплексни, за да се пронајдат нивните значења, станува неопходно основците да се запознаат со правилата за изведување дејства во изразите.
Запознавањето со овие правила исто така се случува постепено:
1) Прво, децата се запознаваат со правилото за извршување на дејствија во израз кој вклучува дејства од едно ниво, а нема загради.
2) Потоа учениците се запознаваат со правилата за изведување дејства во изрази со дејства од ист чекор и загради.
3) Потоа - изрази со дејства од различни нивоа, но без загради.
4) Потоа - изрази со дејства од два чекора и загради.
Се случува запознавање со сите правила на следниот начин: Наставникот информира дека децата мора да запомнат.
Со цел децата да ги научат воведените правила, треба да им се понудат различни задачи:
1) Пресметајте ја вредноста даден израз, откако претходно ја посочи постапката.
2) Наредете ги заградите за да ги добиете точните еднаквости.
3) Од дадените парови примери запишете ги само оние во кои пресметките се извршени според правилата на редоследот на дејствата.
Откако ќе ги објасните грешките, можете да ја дадете задачата: користејќи загради, променете го изразот за да ја има одредената вредност.
4) Од децата се бара да го наведат редоследот на дејствата во следните записи:
Посебно внимание при формирање на концепти нумерички изразитреба да се однесува на децата идентитетски трансформации(трансформацијата е идентична ако еден израз произведува друг израз кој е идентично еднаков на него).
Идентични трансформации направени од основци:
1) Замена на +, -, :, x со нивните вредности.
2) Преуредување на термините.
3) Отворање на заградите.
Сите идентични трансформации што ги вршат основците се засноваат на правилата за извршување на операции со броеви и својствата на одредени аритметички операции (комутативни, асоцијативни, дистрибутивни, правило за множење збир со број, правило за одземање збир од број, операции со 0 и 1 итн. .d.)
При изучувањето на секое својство учениците внимаваат дека во изразите одреден типможете да вршите дејства на различни начини, но значењата на изразите нема да се променат.
Во иднина учениците користат одредени својства за идентични трансформации на изрази.
1) ученикот го чита изразот;
2) се сеќава на соодветното својство;
3) врз основа на ова својство, го трансформира изразот.
Со цел да се осигура дека трансформациите се точни, на учениците им се советува да го најдат значењето на истиот израз на друг начин.
Ако добиената вредност се совпаѓа со првата, тогаш конверзијата е извршена правилно.
За развој математички говори свесно спроведување на трансформациите, неопходно е да се поканат децата да дадат објаснување за извршените дејствија.
ИЗРАЗ СО ПРОМЕНЛИВА.
Задачи:
1) Дајте идеја за изрази што содржат променлива.
2) Научете да ја наоѓате вредноста на изразот за различни вредности на променливата.
Кога учат математика во основно училиште, учениците се изложени на изрази со променливи во различни фази. Запознавање со овие математички концептиа работата со нив им овозможува на учениците да го генерализираат концептот на изразување.
Добра подготовка е задача каде што променливата е претставена во имплицитна форма (празен прозорец, точки)
На пример: 3+
Вметнете го секој од следните броеви 1, 2, 3, најдете го збирот.
Постепено, децата се доведуваат до идејата дека во математиката, наместо број што недостасува, можете да напишете буква и, давајќи ѝ на буквата одредени значења, да добиете различни значењаизрази.
Исто така, вредностите со променливи се користат при запознавање со формулите за наоѓање периметар и површина.
Треба да се напомене дека количината на знаење што го стекнале студентите во наведената темасе разликуваат едни од други во зависност од учебникот по математика.
На пример:
Петерсон, Истомина, Александрова – обемот и содржината на изразите со променлива се значително проширени и активно се користат (формирање на својствата на аритметичките операции кај учениците)
На овој час учениците добиваат можност да повторат табеларни случаи на множење и делење, да се запознаат со правилото за делење збир со број, а исто така да вежбаат извршување на различни задачи на темата на часот.
Читајте и споредете ги изразите напишани на табла.
(6 + 4) + 2
(6 + 4) - 2
(6 + 4) * 2
(6 + 4) : 2
Забележавте дека во секој израз збирот на броевите е 6 + 4.
Ајде да ги прочитаме изразите.
(6 + 4) + 2
Збирот на броевите 6 + 4 се зголемува за 2.
(6 + 4) - 2
Збирот на броевите 6 + 4 се намалува за 2.
(6 + 4) * 2
Збирот на броевите 6 + 4 се удвојува.
(6 + 4) : 2
Збирот на броевите 6 + 4 е преполовен
Дали мислите дека вредностите на овие износи ќе бидат исти?
Ајде да провериме. Ајде да ги пресметаме вредностите на изразите. Запомнете дека го извршуваме првото дејство во загради.
(6 + 4) + 2 = 12
(6 + 4) - 2 = 8
(6 + 4) * 2 = 20
(6 + 4) : 2 = 5
Добивме различни вредности.
Ајде да погледнеме како збирот може да се подели со број.
Ориз. 1. Делење збир со број
Метод 1.
Прво ги собравме сините и црвените квадрати, а потоа го поделивме нивниот број на два еднакви дела.
(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5
Метод 2.
Прво, можеме да ги поделиме сините квадрати на два еднакви делови, потоа да ги поделиме црвените квадрати на два еднакви дела, а потоа да ги додадеме резултатите.
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5
При извршување на дејствија различни начинирезултатот е ист. Затоа можеме да извлечеме заклучок.
За да се подели збир со број, може да се подели секој член со тој број,
и соберете ги добиените количници.
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2
Стекнатото знаење да го примениме во пракса. Ајде да ги пресметаме вредностите на изразите.
(64 + 72) : 8
(36 + 81) : 9
(80 + 16) : 4
За да го поделите збирот со број, поделете го секој член со овој број и додадете ги добиените вредности на количниците.
(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17
(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13
(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24
Размислете за изразите. Што имаат заедничко?
(36 + 6) : 6
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
(24 + 18) : 6
Во право. Во секој израз, мора да го поделите збирот со бројот 6.
Да ги поделиме изразите во две групи.
Во првиот ги запишуваме оние изрази каде што можеме да го примениме својството на делење збир со број. Во овие изрази, секој член од збирот е поделен со 6.
(36 + 6) : 6
(24 + 18) : 6
Во втората група ќе пишуваме изрази каде што збировите на збирот не се деливи со 6, тоа значи дека за нив не може да се примени својството за делење збир со број.
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
Ајде да ја завршиме задачата.
Кој од овие броеви може да се запише како збир од два члена, во кои секој член е делив со 7?
35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70
Прво, ги запишуваме броевите што се деливи со бројот 7 без остаток.
35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70
Ајде да измислиме изрази и да ги најдеме нивните значења.
(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9
(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12
(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15
Ајде да ја завршиме следната задача.
Пополнете ги броевите што недостасуваат користејќи го правилото за делење на збирот со бројот.
(… + …) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
Ајде да размислуваме вака.
(… + …) : 8 = 8 + 6
Првиот член беше поделен со 8 и го добивме бројот 8. Така беше бројот 64. Вториот член беше поделен со 8 и го добивме бројот 6. Значи, тоа беше бројот 48. Ајде да го запишеме решението.
(64 + 48) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
Првиот член беше поделен со 9 и го добивме бројот 9. Така беше бројот 81. Вториот член беше поделен со 9 и го добивме бројот 5. Значи, тоа беше бројот 45. Ајде да го запишеме решението.
(81 + 45) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
Првиот член беше поделен со 3 и го добивме бројот 8. Така беше бројот 24. Вториот член беше поделен со 3 и го добивме бројот 5. Значи, тоа беше бројот 15. Ајде да го запишеме решението.
(24 + 15) : 3 = 8 + 5
Денес на час научивме за правилото за делење збир со број и вежбавме да решаваме примери на темата на часот.
Библиографија
- М.И. Моро, М.А. Бантова и други.Математика: Учебник. III одделение: во 2 дела, дел 1. - М.: „Просветување“, 2012 год.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и други.Математика: Учебник. 3 одделение: во 2 дела, дел 2. - М.: „Просветување“, 2012 год.
- М.И. Моро. Часови по математика: Насокиза наставникот. 3 одделение. - М.: Образование, 2012 година.
- Регулаторна документација. Следење и евалуација на резултатите од учењето. - М.: „Просветителство“, 2011 година.
- „Училиште на Русија“: Програми за основно училиште. - М.: „Просветителство“, 2011 година.
- С.И. Волкова. Математика: Тест работа. 3 одделение. - М.: Образование, 2012 година.
- В.Н. Рудницкаја. Тестови. - М.: „Испит“, 2012 година.
Да го разгледаме концептот на поделба во проблемот:
Во корпата имаше 12 јаболка. Шест деца ги сортираа јаболките. Секое дете доби ист број на јаболка. Колку јаболка има секое дете?
Решение:
Ни требаат 12 јаболка за да ги поделиме на шест деца. Ајде математички да ја запишеме задачата 12:6.
Или можете да го кажете поинаку. Со кој број треба да се помножи бројот 6 за да се добие бројот 12? Да го напишеме проблемот во форма на равенка. Не го знаеме бројот на јаболка, па да ги означиме како променлива x.
За да ја пронајдеме непознатата x ни треба 12:6=2
Одговор: 2 јаболка за секое дете.
Да го разгледаме подетално примерот 12:6=2:
Се вика бројот 12 делив. Ова е бројот што се дели.
Се вика бројот 6 делител. Ова е бројот што се дели со.
И резултатот од делењето на бројот 2 се нарекува приватен. Количникот покажува колку пати дивидендата е поголема од делителот.
Во буквална форма, поделбата изгледа вака:
a:b=c
а- делив,
б- делител,
в– приватно.
Значи, што е поделба?
Поделба- ова е инверзно дејство на еден фактор, можеме да најдеме друг фактор.
Поделбата се проверува со множење, односно:
а:
б=
в, проверете со⋅б=
а
18:9=2, проверете 2⋅9=18
Непознат множител.
Да го разгледаме проблемот:
Секое пакување содржи 3 парчиња новогодишни топчиња. За украсување на елката ни требаат 30 топчиња. Колку пакувања ни се потребни новогодишни топчиња?
Решение:
x – непознат број на пакувања со топки.
3 – парчиња во едно пакување балони.
30 – вкупно топчиња.
x⋅3=30 треба да земеме 3 толку многу пати за да добиеме вкупно 30. x е непознат множител. Тоа е, За да го пронајдете непознатото, треба да го поделите производот со познатиот фактор.
x=30:3
x=10.
Одговор: 10 пакувања балони.
Непозната дивиденда.
Да го разгледаме проблемот:
Секое пакување содржи 6 моливи во боја. Има вкупно 3 пакувања. Колку моливи имало вкупно пред да бидат ставени во пакувања?
Решение:
x – вкупно моливи,
6 моливи во секое пакување,
3 – пакувања со моливи.
Ајде да ја напишеме равенката на задачата во форма на делење.
x:6=3
x е непозната дивиденда. За да ја пронајдете непознатата дивиденда, треба да го помножите количникот со делителот.
x=3⋅6
x=18
Одговор: 18 моливи.
Непознат делител.
Да го погледнеме проблемот:
Во продавницата имаше 15 топки. Во текот на денот во продавницата дојдоа 5 муштерии. Купувачите купиле еднаков изностопки. Колку балони купил секој клиент?
Решение:
x – бројот на топки што ги купил еден купувач,
5 – број на купувачи,
15 – број на топки.
Ајде да ја напишеме равенката на проблемот во форма на делење:
15: x=5
x – во дадена равенкае непознат делител. Да најде непознат делител, дивидендата ја делиме со количник.
x=15:5
x=3
Одговор: 3 топки за секој купувач.
Својства на делење природен број со еден.
Правило за поделба:
Секој број поделен со 1 резултира со ист број.
7:1=7
а:1=
а
Својства на делење природен број со нула.
Ајде да погледнеме на пример: 6:2=3, можете да проверите дали правилно сме поделиле со множење 2⋅3=6.
Ако сме 3:0, тогаш нема да можеме да провериме, бидејќи секој број помножен со нула ќе биде нула. Затоа, снимањето 3:0 нема смисла.
Правило за поделба:
Не можете да делите со нула.
Својства на делење нула со природен број.
0:3=0 овој запис има смисла. Ако нешто поделиме на три дела, не добиваме ништо.
0:
а=0
Правило за поделба:
Кога се дели 0 со кој било природен број, еднаква на нула, резултатот секогаш ќе биде 0.
Својството на делење идентични броеви.
3:3=1
а:
а=1
Правило за поделба:
Кога се дели кој било број со себе што не е еднаков на нула, резултатот ќе биде 1.
Прашања на тема „Поделба“:
Во записот a:b=c, колку е овде количник?
Одговор: а:б и в.
Што е приватно?
Одговор: количникот покажува колку пати дивидендата е поголема од делителот.
При која вредност на m е записот 0⋅m=5?
Одговор: кога ќе се помножи со нула, одговорот секогаш ќе биде 0. Влезот нема смисла.
Дали има такво n така што 0⋅n=0?
Одговор: Да, записот има смисла. Секој број помножен со 0 ќе резултира со 0, така што n е кој било број.
Пример #1:
Најдете ја вредноста на изразот: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Одговор: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41
Пример #2:
За кои вредности на променливи е точно еднаквоста: а) x:6=8 б) 54:x=9
а) x – в во овој примере делив. За да ја пронајдете дивидендата, треба да го помножите количникот со делителот.
x – непозната дивиденда,
6 - делител,
8 – количник.
x=8⋅6
x=48
б) 54 – дивиденда,
x е делител,
9 – количник.
За да најдете непознат делител, треба да ја поделите дивидендата со количникот.
x=54:9
x=6
Задача бр. 1:
Саша има 15, а Миша 45. Колку пати повеќе печати има Миша од Саша?
Решение:
Проблемот може да се реши на два начина. Прв начин:
15+15+15=45
Потребни се 3 броеви 15 за да се добие 45, затоа, Миша има 3 пати повеќе оценки од Саша.
Втор начин:
45:15=3
Одговор: Миша има 3 пати повеќе марки од Саша.
Во оваа статија ќе проучуваме општи идеиповрзани со делењето на природните броеви. Тие обично се нарекуваат својства на процесот на фисија. Ќе ги анализираме главните, ќе го објасниме нивното значење и ќе го поткрепиме нашето расудување со примери.
Поделба на два еднакви природни броја
За да разберете како да поделите еден природен број со друг еднаков на него, треба да се вратите на разбирање на значењето на самиот процес на делење. Од значењето што му го даваме на делителот зависи конечниот резултат. Ајде да погледнеме две можни опции.
Значи, имаме објекти (а е произволен природен број). Ајде да ги распределиме ставките подеднакво во групи, а бројот на групи треба да биде еднаков на a. Очигледно, во секоја група ќе има само еден предмет.
Ајде да преформулираме малку поинаку: како да се дистрибуираат објекти во групи од објекти во секоја од нив? Колку групи ќе има на крајот? Се разбира, само еден.
Ајде да го сумираме и изведеме првото својство за делење на природни броеви со иста големина:
Дефиниција 1
Со делење на природен број со неговата еднаквост се добива резултатот еден. Со други зборови, a: a = 1 (a е кој било природен број).
Ајде да погледнеме два примери за јасност:
Пример 1
Ако 450 се подели со 450, резултатот е 1. Ако се подели 67 со 67, ќе се добие 1.
Како што можете да видите, ништо не зависи од конкретните броеви; резултатот ќе биде ист, под услов дивидендата и делителот да бидат еднакви.
Делење природен број со еден
Како во претходниот ставДа почнеме со задачите. Да претпоставиме дека имаме предмети во количина еднаква на a. Потребно е да се поделат на повеќе делови со по еден предмет во секој. Јасно е дека ќе завршиме со делови.
И ако прашаме: колку предмети ќе има во групата ако се стават предмети во неа? Одговорот е очигледен - а.
Така, доаѓаме до формулацијата на својството на делење на природните броеви со 1:
Дефиниција 2
Кога некој природен број се дели со еден, се добива истиот број, односно a: 1 = a.
Ајде да погледнеме 2 примери:
Пример 2
Ако поделите 25 со 1, ќе добиете 25.
Пример 3
Ако се подели 11.345 со 1, резултатот е 11.345.
Недостаток на комутативно својство за делење природни броеви
Во случај на множење, можеме слободно да ги замениме факторите и да го добиеме истиот резултат, но ова правило не важи за делењето. Дивидендата и делителот може да се заменат само ако се еднакви природни броеви (веќе разговаравме за ова својство во првиот пасус). Односно, можеме да кажеме дека комутативното својство се применува само ако во делењето се вклучени еднакви природни броеви.
Во други случаи, не можете да ја замените дивидендата и делителот, бидејќи тоа ќе го наруши резултатот. Дозволете ни да објасниме подетално зошто.
Не можеме секогаш да делиме никакви природни броеви на други, исто така произволно земени. На пример, ако дивидендата помал од делител, тогаш не можеме да решиме таков пример (ќе анализираме како да ги делиме природните броеви со остаток во посебен материјал). Со други зборови, ако некој природен број е еднаков на a, можеме да го поделиме со b? И нивните вредности не се еднакви, тогаш a ќе биде поголема од b, а ознаката b: a нема да има смисла. Да го изведеме правилото:
Дефиниција 3
Делење на збирот на 2 природни броја со друг природен број
За подобро да го објасниме ова правило, да земеме неколку илустративни примери.
Имаме група деца, меѓу кои треба подеднакво да ги поделиме мандарините. Плодовите се ставаат во две кеси. Да го земеме условот дека бројот на мандарини е таков што може да се подели на сите деца без никаков остаток. Мандарините можете да ги истурите во една заедничка кеса, а потоа да ги поделите и распоредите. Или прво можете да ги поделите плодовите од едната кеса, а потоа од другата. Очигледно и во двата случаи никој нема да биде навреден и се ќе биде подеднакво поделено. Затоа можеме да кажеме:
Дефиниција 4
Резултатот од делењето на збирот на 2 природни броеви со друг природен број е еднаков на резултатот од собирањето на количниците на делење на секој член со истиот природен број, т.е. (a + b) : c = a: c + b: c . Во овој случај, вредностите на сите променливи се природни броеви, вредноста a може да се подели со c, а b исто така може да се подели со c без остаток.
Имаме еднаквост, на десната страна од која прво се врши делење, а второ собирањето (запомнете како правилно да ги извршите аритметичките операции по редослед).
Дозволете ни да ја докажеме валидноста на добиената еднаквост користејќи пример.
Пример 4
Да земеме соодветни природни броеви за него: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Сега да пресметаме и да дознаеме дали е точно. Да ја пресметаме вредноста на левата страна: 18 + 36 = 54, и (18 + 36): 6 = 54: 6.
Се сеќаваме на резултатот од табелата за множење (ако сте заборавиле, пронајдете го во неа саканата вредност): 54: 6 = 9 .
Да се потсетиме колку ќе биде 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6. Значи, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.
Се добива точно еднаквост: (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6.
Збирот на природните броеви, кој се појавува како дивиденда во примерот, може да биде не само 2, туку и 3 или повеќе. Овој имот во комбинација со комбинирано својствособирањето на природните броеви ни дава можност да вршиме такви пресметки.
Пример 5
Значи, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 ќе биде еднакво на 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2.
Делење на разликата на 2 природни броја со друг природен број
На сличен начин, можеме да изведеме правило за разликата на природните броеви, кое ќе го делиме со друг природен број:
Дефиниција 5
Резултат на делење на разликата на два природни броја со третина еднакво на тоа, што добиваме со одземање од количникот на минуендот и третиот број количникот на подзаредот и третиот број.
Оние. (а - б) : c = a: c – b: c . Вредностите на променливите се природни броеви, со поголем од b или еднаков на него, a и b може да се поделат со c.
Дозволете ни да ја докажеме валидноста на ова правило користејќи пример.
Пример 6
Ајде да замениме соодветни вредностиво еднаквост и пресметајте: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (веќе пишувавме за тоа како да ја пронајдеме разликата на природните броеви). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .
Користејќи ја табелата за множење, потсетуваме дека резултатот ќе биде еднаков на 4.
Ја броиме десната страна: 45: 5 - 25: 5. 45: 5 = 9 и 25: 5 = 5, што резултира со 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4, излегува дека (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 е правилна еднаквост.
Делење на производот на два природни броеви со друг природен број
Да се потсетиме каква врска постои помеѓу делењето и множењето, тогаш ќе ни биде очигледна особината на делење производ со природен број еднаков на еден од факторите. Да го изведеме правилото:
Дефиниција 6
Ако производот на два природни броја го поделиме со една третина еднаков на еден од множителите, ќе завршиме со број еднаков на другиот фактор.
Буквално, ова може да се напише како (a · b) : a = b или (a · b) : b = a (вредностите на a и b се природни броеви).
Пример 7
Значи, резултатот од делењето на производот од 2 и 8 со 2 ќе биде еднаков на 8, и (3 · 7): 7 = 3.
Но, што ако делителот не е еднаков на ниту еден од факторите што ја формираат дивидендата? Потоа се применува друго правило:
Дефиниција 7
Резултатот од делењето на производот на два природни броја со трет природен број е еднаков на она што го добивате ако поделите еден од факторите со овој број и го помножите резултатот со другиот фактор.
Добивме изјава која на прв поглед беше многу неочигледна. Меѓутоа, ако се земе предвид дека множењето на природните броеви, во суштина, се сведува на собирање членови со еднаква вредност (видете го материјалот за множење на природни броеви), тогаш ова својство можеме да го изведеме од друго, кое зборувавме за веднаш погоре.
Ајде да го напишеме ова правило во форма на букви (вредностите на сите променливи се природни броеви).
Ако можеме да го поделиме a со c, тогаш (a · b) ќе биде точно: c = (a: c) · b.
Ако b е делив со c, тогаш (a · b) е точно: c = a · (b: c) .
Ако и a и b се деливи со c, тогаш можеме да изедначиме една равенка со друга: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .
Земајќи го предвид својството на делење производ со друг природен број дискутиран погоре, еднаквостите (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 и (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) ќе Биди вистински.
Можеме да ги запишеме како двојна еднаквост: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .
Делење природен број со производ на 2 други природни броеви
Повторно, ќе започнеме со пример. Имаме одреден број награди, да го означиме а. Тие мора да бидат подеднакво распределени меѓу членовите на тимот. Бројот на учесници да го означиме со буквата в, а бројот на тимови со буквата б. Во овој случај, земаме такви вредности на променливите за кои ознаката за поделба ќе има смисла. Проблемот може да се реши на два различни начини. Да ги погледнеме и двете.
1. Можете да го пресметате вкупниот број на учесници со множење b со c, а потоа делење на сите награди со добиениот број. Во буквална форма, ова решение може да се запише како: (б · в) .
2. Прво можете да ги поделите наградите по бројот на тимови, а потоа да ги распределите во секој тим. Да го запишеме како (а: б) : в.
Очигледно и двата методи ќе ни дадат идентични одговори. Затоа, можеме да ги изедначиме двете еднаквости една со друга: а: (б · в) = (а: б) : в. Ова ќе биде буквата застапеност на имотот на поделбата што ја разгледуваме во овој став. Ајде да формулираме правило:
Дефиниција 8
Резултат на делење природен број со производ еднаков на бројот, што го добиваме со делење на овој број со еден од факторите и делење на добиениот количник со друг фактор.
Пример 8
Да дадеме пример за задача. Да докажеме дека еднаквоста 18 е точно: (2 · 3) = (18: 2) : 3.
Ајде да направиме математика лева страна: 2 · 3 = 6, и 18: (2 · 3) е 18: 6 = 3.
Ја броиме десната страна: (18: 2) : 3. 18: 2 = 9, и 9: 3 = 3, потоа (18: 2): 3 = 3.
Добивме дека 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3. Оваа еднаквост ни го илустрира својството на поделба што го претставивме во овој параграф.
Делење нула со природен број
Што е нула? Претходно се договоривме дека тоа значи отсуство на нешто. Ние не ја класифицираме нулата како природен број. Излегува дека ако ја поделиме нулата со природен број, тоа ќе биде еквивалентно на обидот да се подели празнината на делови. Јасно е дека на крајот сепак ќе добиеме „ништо“, на колку делови и да го поделиме. Од тука го извлекуваме правилото:
Дефиниција 9
Кога ја делиме нулата со кој било природен број, добиваме нула. Во буквална форма, ова е напишано како 0: a = 0, а вредноста на променливата може да биде која било.
Пример 9
Така, на пример, 0: 19 = 0, а 0: 46869 исто така ќе биде еднаква на нула.
Делење природен број со нула
Ова дејство не може да се изврши. Ајде да дознаеме точно зошто.
Ајде да земеме произволен броја и да претпоставиме дека може да се подели со 0 и на крајот да се добие одреден број b. Да го напишеме ова како a: 0 = b. Сега да се потсетиме како множењето и делењето се поврзани едно со друго и ќе ја изведеме еднаквоста b · 0 = a, која исто така треба да важи.
Но, претходно веќе го објаснивме својството на множење на природните броеви со нула. Според него, b · 0 = 0. Ако ги споредиме добиените еднаквости, добиваме дека a = 0, и тоа е во спротивност со првобитната состојба (на крајот на краиштата, нулата не е природен број). Излегува дека имаме контрадикторност што ја докажува неможноста за такво дејство.
Дефиниција 10
Не можете да поделите природен број со нула.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter