Проширување на функцијата во серии на Тејлор, Маклаурин и Лоран на локација за обука на практични вештини. Ова сериско проширување на функцијата им овозможува на математичарите да ја проценат приближната вредност на функцијата во одреден момент од нејзиниот домен на дефиниција. Многу е полесно да се пресмета таквата вредност на функцијата во споредба со користењето на табелата Бредис, што е толку ирелевантно во овој век компјутерска технологија. Проширувањето на функцијата во серија на Тејлор значи пресметување на коефициентите претходно линеарни функцииоваа серија и запишете ја во правилна форма. Студентите ги мешаат овие две серии, не разбирајќи што е општ случај, а што е посебен случај на второто. Ве потсетуваме еднаш засекогаш, серијата Maclaurin - посебен случајТејлоровата серија, односно ова е серијата Тејлор, но во точката x = 0. Сите кратки записи за проширување на добро познатите функции, како што се e^x, Sin(x), Cos(x) и други, се проширувања на серијата Тејлор, но во точка 0 за аргументот. За функции на сложен аргумент, серијата Лорент е најчестиот проблем во TFCT, бидејќи претставува двострана бесконечна серија. Тоа е збир од две серии. Ви предлагаме да погледнете пример за распаѓање директно на веб-локацијата; тоа е многу лесно да се направи со кликнување на „Пример“ со кој било број, а потоа на копчето „Решение“. Токму ова проширување на функцијата во серија е поврзано со серијата на мајоризирање што ја ограничува оригиналната функција во одреден регион по должината на оската на ординатите ако променливата припаѓа на регионот на апсцисата. Векторска анализаСе споредува уште една интересна дисциплина во математиката. Бидејќи секој термин треба да се испита, процесот бара доста време. Секоја серија на Тејлор може да се поврзе со серија на Маклаурин со замена на x0 со нула, но за сериите на Маклаурин понекогаш не е очигледно да се претстави серијата на Тејлор обратно. Без разлика колку тоа се бара да се направи во чиста форма, но интересно за општ саморазвој. Секоја серија на Лорен одговара на двострана серија на бесконечна моќност во цели броеви овластувања z-a, со други зборови, серија од ист тип Тејлор, но малку поинаква во пресметката на коефициентите. Ќе зборуваме за регионот на конвергенција на серијата Лорен малку подоцна, по неколку теоретски пресметки. Како и во минатиот век, чекор-по-чекор проширување на функцијата во серија тешко може да се постигне едноставно со намалување на термините на заеднички именител, бидејќи функциите во именителот се нелинеарни. Приближна пресметка функционална вредностбара поставување задачи. Размислете за фактот дека кога аргументот на Тејлоровата серија е линеарна променлива, тогаш проширувањето се случува во неколку чекори, но сликата е сосема поинаква кога аргументот на функцијата што се проширува е сложена или нелинеарна функција, тогаш процесот на претставувањето на таква функција во серија на моќност е очигледно, бидејќи на овој начин е лесно да се пресмета, иако е приближна вредност, во која било точка во регионот на дефиниција, со минимална грешка што има мало влијание врз понатамошните пресметки. Ова исто така важи и за серијата Maclaurin. кога треба да оцените функција во нулта точка. Сепак, самата серија Лорен овде е претставена со проширување на авионот со имагинарни единици. Исто така, нема да биде без успех правилно решениезадачи за време на општ процес. Овој пристап не е познат во математиката, но објективно постои. Како резултат на тоа, можете да дојдете до заклучокот на таканаречените точки подмножества, а при проширувањето на функцијата во серија треба да користите методи познати за овој процес, како што е примената на теоријата на деривати. Уште еднашУбедени сме дека е во право наставникот, кој ги даде своите претпоставки за резултатите од пост-пресметковните пресметки. Да забележиме дека серијата Тејлор, добиена според сите канони на математиката, постои и е дефинирана на целата нумеричка оска, сепак, драги корисници на услугата на страницата, не заборавајте го типот на оригиналната функција, бидејќи може да испадне дека првично е неопходно да се утврди доменот на дефиниција на функцијата, односно да се запишат и да се исклучат од понатамошно разгледување оние точки во кои функцијата не е дефинирана во регионот реални броеви. Така да се каже, ова ќе ја покаже вашата ефикасност во решавањето на проблемот. Изградбата на серија Maclaurin со нулта вредност на аргументот нема да биде исклучок од она што е кажано. Никој не го откажал процесот на пронаоѓање на доменот на дефиниција на функцијата и мора да му пристапите на ова со сета сериозност математичка операција. Во случај на серија на Лоран што го содржи главниот дел, параметарот „а“ ќе се нарече изолирана еднина точка, а серијата Лорент ќе се прошири во прстен - ова е пресекот на областите на конвергенција на неговите делови, оттука ќе следи соодветната теорема. Но, не е сè толку комплицирано како што може да изгледа на прв поглед на неискусен студент. Откако ја проучувавте серијата Тејлор, можете лесно да ја разберете серијата Лоран - генерализиран случај за проширување на просторот на броеви. Секое сериско проширување на функцијата може да се изврши само во точка во доменот на дефинирање на функцијата. Треба да се земат предвид својствата на функциите како што се периодичност или бесконечна диференцијабилност. Исто така, предлагаме да ја користите табелата со готови проширувања на серијата Тејлор елементарни функции, бидејќи една функција може да биде претставена со до десетици различни серии на моќност, како што може да се види од користењето на нашиот онлајн калкулатор. Онлајн серииОдредувањето на Maclaurin е лесно како гранатирање круши, ако ја користите уникатната услуга на страницата, само треба да ја внесете точната пишана функција и презентираниот одговор ќе го добиете за неколку секунди, ќе ви биде гарантирано точен и стандарден писмена форма. Можете да го копирате резултатот директно во чиста копија за доставување до наставникот. Би било точно прво да се одреди аналитичноста на функцијата за која станува збор во прстените, а потоа недвосмислено да се каже дека таа може да се прошири во серијата Лорен во сите такви прстени. Важно е да не се изгуби од вид содржината негативни моќичленови на серијата Лоран. Фокусирајте се на ова колку што е можно повеќе. Добро искористете ја теоремата на Лорен за проширување на функција во цели броеви.
За студенти виша математикамора да се знае дека износот на одреден моќна серија, што припаѓа на интервалот на конвергенција на серијата што ни е дадена, излегува дека е континуиран и неограничен број пати диференцирана функција. Се поставува прашањето: дали може да се каже дека даденото произволна функција f(x) е збирот на некои серии на моќност? Односно, под кои услови може да се прикаже функцијата f(x)? моќна серија? Важноста на ова прашање лежи во фактот дека е можно приближно да се замени функцијата f(x) со збирот на првите неколку члена од серијата на моќност, односно полином. Оваа функција замена е прилично едноставно изразување- полином - е погоден и при решавање на одредени проблеми, имено: при решавање интеграли, при пресметување итн.
Докажано е дека за одредена функција f(x), во која е можно да се пресметаат деривати до (n+1)-ти редослед, вклучувајќи го и последниот, во соседството на (α - R; x 0 + R ) некоја точка x = α, точно е дека формулата:
Оваа формула е именувана по познатиот научник Брук Тејлор. Серијата што е добиена од претходната се нарекува серија Maclaurin:
Правилото што овозможува да се изврши проширување во серијата Maclaurin:
- Определи изводи од прв, втор, трет... ред.
- Пресметај на што се еднакви изводите на x=0.
- Запишете ја серијата Maclaurin за оваа функција, а потоа определете го интервалот на нејзината конвергенција.
- Определи го интервалот (-R;R), каде што е остатокот од формулата Маклаурин
R n (x) -> 0 во n -> бесконечност. Ако постои, функцијата f(x) во неа мора да се совпадне со збирот на серијата Маклаурин.
Сега да ја разгледаме серијата Maclaurin за поединечни функции.
1. Значи, првиот ќе биде f(x) = e x. Се разбира, според своите карактеристики, таквата функција има изводи од многу различни редови, и f (k) (x) = e x, каде што k е еднакво на сите. Заменете x = 0. Добиваме f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Врз основа на горенаведеното, серијата e x ќе изгледа вака:
2. Маклауринова серија за функцијата f(x) = sin x. Веднаш да разјасниме дека функцијата за сите непознати ќе има изводи, покрај тоа, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), каде k е еднаква на која било природен број. Односно, откако направивме едноставни пресметки, можеме да дојдеме до заклучок дека серијата за f(x) = sin x ќе биде од следнава форма:
3. Сега да се обидеме да ја разгледаме функцијата f(x) = cos x. За сите непознати има изводи од произволен ред, и |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Значи, ги наведовме најважните функции што можат да се прошират во серијата Maclaurin, но тие се дополнети со серијата Тејлор за некои функции. Сега ќе ги наведеме. Исто така, вреди да се напомене дека сериите Тејлор и Маклаурин се важен дел од практичната работа за решавање на серии во вишата математика. Значи, серија Тејлор.
1. Првата ќе биде серијата за функцијата f(x) = ln(1+x). Како и во претходните примери, за дадената f(x) = ln(1+x) можеме да ја додадеме серијата користејќи ја општата форма на серијата Maclaurin. сепак, за оваа функција серијата Maclaurin може да се добие многу поедноставно. Со интегрирање на одредена геометриска серија, добиваме серија за f(x) = ln(1+x) од таков примерок:
2. А втората, која ќе биде конечна во нашата статија, ќе биде серијата за f(x) = арктан x. За x што припаѓа на интервалот [-1;1], проширувањето важи:
Тоа е се. Оваа статија ги испита најкористените серии Тејлор и Маклаурин во вишата математика, особено во економските и техничките универзитети.
Доколку функцијата f(x)има на некој интервал кој ја содржи точката А, деривати на сите нарачки, тогаш формулата на Тејлор може да се примени на неа:
Каде r n– таканаречениот остаток член или остаток од серијата, може да се процени со помош на Лагранжовата формула:
, каде што бројот x е помеѓу XИ А.
Ако за некоја вредност x r n®0 на n®¥, тогаш во границата Тејлоровата формула се претвора во конвергентна формула за оваа вредност Тејлор серија:
Значи функцијата f(x)може да се прошири во серија на Тејлор во предметната точка X, Ако:
1) има деривати од сите нарачки;
2) конструираната серија конвергира во оваа точка.
На А=0 добиваме серија наречена во близина на Маклаурин:
Пример 1 f(x)= 2x.
Решение. Дозволете ни да ги најдеме вредностите на функцијата и нејзините деривати во X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢ (x) = 2x ln2, f¢ ( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢ (x) = 2xна 2 2, f¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Заменувајќи ги добиените вредности на дериватите во формулата на серијата Тејлор, добиваме:
Радиусот на конвергенција на оваа серија е еднаков на бесконечност, затоа ова проширување важи за -¥<x<+¥.
Пример 2 X+4) за функција f(x)=д x.
Решение. Наоѓање на изводите на функцијата e xи нивните вредности во точката X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢ (x)= e x, f¢ (-4) = e -4 ;
f¢¢ (x)= e x, f¢¢ (-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Затоа, потребната Тејлор серија на функцијата има форма:
Ова проширување важи и за -¥<x<+¥.
Пример 3 . Прошири функција f(x)= н xво серија во моќ ( X- 1),
(т.е. во серијата Тејлор во близина на точката X=1).
Решение. Најдете ги изводите на оваа функција.
Заменувајќи ги овие вредности во формулата, ја добиваме саканата серија на Тејлор:
Користејќи го тестот на d'Alembert, можете да потврдите дека серијата конвергира кога
½ X- 1 ½<1. Действительно,
Серијата конвергира ако ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 добиваме наизменична серија која ги задоволува условите на Лајбницовиот критериум. На X=0 функцијата не е дефинирана. Така, регионот на конвергенција на серијата Тејлор е полуотворен интервал (0;2].
Да ги претставиме вака добиените проширувања во серијата Maclaurin (т.е. во близина на точката X=0) за некои елементарни функции:
(2) 
,
(3) 
,
(се нарекува последното разложување биномна серија)
Пример 4 . Проширете ја функцијата во серија на моќност
Решение. Во проширувањето (1) заменуваме Xна - X 2, добиваме:
Пример 5
. Проширете ја функцијата во серија Maclaurin 
Решение. Ние имаме 
Користејќи ја формулата (4), можеме да напишеме:
заменувајќи наместо тоа Xво формулата -Х, добиваме:
Од тука наоѓаме:
Отворање на заградите, преуредување на условите од серијата и донесување слични термини, добиваме
Оваа серија се конвергира во интервалот
(-1;1), бидејќи се добива од две серии, од кои секоја конвергира во овој интервал.
Коментар .
Формулите (1)-(5) исто така може да се користат за проширување на соодветните функции во серија на Тејлор, т.е. за проширување на функциите во позитивни цели броеви ( Ха). За да се направи ова, потребно е да се извршат такви идентични трансформации на дадена функција за да се добие една од функциите (1)-(5), во која наместо Xтрошоци k( Ха) m , каде што k е постојан број, m е позитивен цел број. Често е погодно да се направи промена на променливата т=Хаи проширете ја добиената функција во однос на t во серијата Maclaurin.
Овој метод ја илустрира теоремата за уникатноста на проширувањето на сериите на моќност на функцијата. Суштината на оваа теорема е дека во соседството на иста точка не може да се добијат две различни серии на моќност кои би се споиле во иста функција, без разлика како се врши нејзиното проширување.
Пример 6 . Проширете ја функцијата во серија на Тејлор во соседство на точка X=3.
Решение. Овој проблем може да се реши, како и досега, со користење на дефиницијата на серијата Тејлор, за која треба да ги најдеме дериватите на функцијата и нивните вредности на X=3. Сепак, ќе биде полесно да се користи постоечката експанзија (5):
Резултирачката серија конвергира во 
или -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Пример 7
. Напишете ја серијата Тејлор во моќи ( X-1) функции 
.
Решение.
Серијата се спојува во 
, или 2< x 5 фунти.
16.1. Проширување на елементарните функции во сериите на Тејлор и
Маклаурин
Да покажеме дека ако произволна функција е дефинирана на множество 
, во близина на пунктот 
има многу деривати и е збир на серија на моќност:
тогаш можете да ги најдете коефициентите на оваа серија.
Ајде да замениме во серија на моќност 
. Потоа 
.
Да го најдеме првиот извод на функцијата 
:
На 
:
.
За вториот дериват добиваме:
На 
:
.
Продолжување на оваа постапка nоткако ќе добиеме: 
.
Така, добивме серија на моќност од формата:
,
кој се нарекува веднаш до Тејлорза функција 
во близина на точката 
.
Посебен случај на серијата Тејлор е Серија Маклауринна 
:
Остатокот од серијата Тејлор (Маклаурин) се добива со отфрлање на главната серија nпрви членови и се означува како 
. Потоа функцијата 
може да се напише како збир nпрвите членови на серијата 
а остатокот 
:,
.
Остатокот е обично 
изразени во различни формули.
Еден од нив е во форма на Лагранж:
, Каде 
.
.
Забележете дека во пракса почесто се користи серијата Maclaurin. Така, за да се напише функцијата 
во форма на збир на серии на моќност потребно е:
1) најдете ги коефициентите на серијата Маклаурин (Тејлор);
2) најдете го регионот на конвергенција на добиената серија на моќност;
3) докажете дека оваа серија конвергира кон функцијата 
.
Теорема1
(неопходен и доволен услов за конвергенција на серијата Maclaurin). Нека радиусот на конвергенција на серијата 
. Со цел оваа серија да се спои во интервалот 
да функционира 
, потребно е и доволно за да се исполни условот: 
во наведениот интервал.
Теорема 2.Ако изводи од кој било ред на функцијата 
во одреден интервал 
ограничен во апсолутна вредност на ист број М, тоа е 
, тогаш во овој интервал функцијата 
може да се прошири во серија Maclaurin.
Пример1
.
Прошири во серија на Тејлор околу точката 
функција.
Решение.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Регион на конвергенција 
.
Пример2
.
Прошири функција 
во Тејлор серија околу точка 
.
Решение:
Најдете ја вредноста на функцијата и нејзините изводи во 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Ајде да ги ставиме овие вредности во низа. Добиваме:
или 
.
Да го најдеме регионот на конвергенција на оваа серија. Според тестот на d'Alembert, една серија конвергира ако
.
Затоа, за било кој 
оваа граница е помала од 1, и затоа опсегот на конвергенција на серијата ќе биде: 
.
Да разгледаме неколку примери за проширување на серијата Maclaurin на основните елементарни функции. Потсетиме дека серијата Maclaurin:
.
конвергира на интервалот 
да функционира 
.
Забележете дека за да се прошири функцијата во серија потребно е:
а) најдете ги коефициентите на серијата Maclaurin за оваа функција;
б) пресметајте го радиусот на конвергенција за добиената серија;
в) докажете дека добиената серија конвергира кон функцијата 
.
Пример 3.Размислете за функцијата 
.
Решение.
Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на функцијата и нејзините деривати на 
.
Тогаш нумеричките коефициенти на серијата ја имаат формата:
за било кој n.Ајде да ги замениме пронајдените коефициенти во серијата Maclaurin и да добиеме: 
Дозволете ни да го најдеме радиусот на конвергенција на добиената серија, имено:
.
Затоа, серијата конвергира на интервалот 
.
Оваа серија се конвергира со функцијата 
за какви било вредности 
, бидејќи на кој било интервал 
функција 
а неговите апсолутни вредносни деривати се ограничени по број 
.
Пример4
.
Размислете за функцијата 
.
Решение.
:
Лесно е да се види дека дериватите со парен ред 
, а дериватите се со непарен редослед. Да ги замениме пронајдените коефициенти во серијата Maclaurin и да го добиеме проширувањето:
Дозволете ни да го најдеме интервалот на конвергенција на оваа серија. Според знакот d'Alembert:
за било кој 
. Затоа, серијата конвергира на интервалот 
.
Оваа серија се конвергира со функцијата 
, бидејќи сите негови деривати се ограничени на единство.
Пример5
.
.
Решение.
Дозволете ни да ја најдеме вредноста на функцијата и нејзините деривати во 
:
Така, коефициентите на оваа серија: 
И 
, оттука:
Слично на претходниот ред, областа на конвергенција 
. Серијата конвергира кон функцијата 
, бидејќи сите негови деривати се ограничени на единство.
Ве молиме имајте предвид дека функцијата 
непарно и сериско проширување во непарни сили, функција 
– рамномерно и проширување во серија во парни сили.
Пример6
.
Биномна серија: 
.
Решение.
Дозволете ни да ја најдеме вредноста на функцијата и нејзините деривати во 
:
Од ова може да се види дека:
Дозволете ни да ги замениме овие вредности на коефициентот во серијата Maclaurin и да го добиеме проширувањето на оваа функција во серија на моќност:
Да го најдеме радиусот на конвергенција на оваа серија:
Затоа, серијата конвергира на интервалот 
. На ограничувачките точки кај 
И 
серија може или не може да се конвергира во зависност од експонентот 
.
Проучената серија се конвергира на интервалот 
да функционира 
, односно збирот на серијата 
на 
.
Пример7
.
Дозволете ни да ја прошириме функцијата во серијата Maclaurin 
.
Решение.
За да ја прошириме оваа функција во серија, ја користиме биномната серија на 
. Добиваме: 
Врз основа на својството на сериите на моќност (моќната серија може да се интегрира во регионот на нејзината конвергенција), го наоѓаме интегралот на левата и десната страна на оваа серија:
Да ја најдеме областа на конвергенција на оваа серија: 
,
односно областа на конвергенција на оваа серија е интервалот 
. Дозволете ни да ја одредиме конвергенцијата на серијата на краевите на интервалот. На 
. Оваа серија е хармонична серија, односно се разминува. На 
добиваме бројна серија со заеднички член 
.
Серијата се конвергира според тестот на Лајбниц. Така, регионот на конвергенција на оваа серија е интервалот 
.
16.2. Примена на енергетските серии во приближни пресметки
Во приближните пресметки, моќните серии играат исклучително важна улога. Со нивна помош, составени се табели на тригонометриски функции, табели на логаритми, табели на вредности на други функции, кои се користат во различни области на знаење, на пример, во теоријата на веројатност и математичката статистика. Дополнително, проширувањето на функциите во серии на моќност е корисно за нивното теоретско проучување. Главното прашање при користење на сериите на моќност во приближни пресметки е прашањето за проценка на грешката при замена на збирот на серијата со збирот на нејзината прва nчленови.
Да разгледаме два случаи:
функцијата е проширена во серија наизменични знаци;
функцијата се проширува во низа од константен знак.
Пресметка со користење на наизменична серија
Нека функцијата 
се прошири во серија на наизменична моќност. Потоа кога се пресметува оваа функција за одредена вредност 
добиваме бројна серија на која можеме да го примениме критериумот Лајбниц. Во согласност со овој критериум, ако збирот на една серија се замени со збирот на нејзината прва nтермини, тогаш апсолутната грешка не го надминува првиот член од остатокот од оваа серија, односно: 
.
Пример8
.
Пресметај 
со точност од 0,0001.
Решение.
Ќе ја користиме серијата Maclaurin за 
, заменувајќи ја вредноста на аголот во радијани:
Ако ги споредиме првиот и вториот член од серијата со дадена точност, тогаш: .
Трет рок на проширување:
помала од наведената точност на пресметката. Затоа, да се пресмета 
доволно е да оставиме два термина од серијата, т.е
.
Така 
.
Пример9
.
Пресметај 
со точност од 0,001.
Решение.
Ќе ја користиме формулата за биномна серија. За да го направите ова, ајде да напишеме 
како: 
.
Во овој израз 
,
Ајде да го споредиме секој од термините на серијата со точноста што е наведена. Јасно е дека 
. Затоа, да се пресмета 
доволно е да оставиме три термини од серијата.
или 
.
Пресметка со помош на позитивни серии
Пример10
.
Пресметајте го бројот 
со точност од 0,001.
Решение.
По ред за функција 
ајде да замениме 
. Добиваме:
Дозволете ни да ја процениме грешката што се појавува при замена на збирот на серијата со збирот на првата 
членови. Да ја запишеме очигледната нееднаквост:
тоа е 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Според проблемот, треба да најдете nтака што важи следнава неравенка: 
или 
.
Лесно е да се провери тоа кога n= 6:
.
Оттука, 
.
Пример11
.
Пресметај 
со точност од 0,0001.
Решение.
Забележете дека за пресметување на логаритми може да се користи серија за функцијата 
, но оваа серија се конвергира многу бавно и за да се постигне дадената точност би било потребно да се земат 9999 термини! Затоа, за пресметување на логаритми, по правило, се користи серија за функцијата 
, кој конвергира на интервалот 
.
Ајде да пресметаме 
користејќи ја оваа серија. Нека 
, Потоа 
.
Оттука, 
,
За да се пресмета 
со дадена точност земете го збирот од првите четири члена: 
.
Остатокот од серијата 
да го отфрлиме. Ајде да ја процениме грешката. Очигледно е дека 
или 
.
Така, во серијата што се користеше за пресметка, доволно беше да се земат само првите четири члена наместо 9999 во серијата за функцијата 
.
Прашања за самодијагностика
1. Што е Тејлор серија?
2. Каква форма имаше серијата Маклаурин?
3. Формулирајте теорема за проширување на функција во Тејлоровата серија.
4. Запишете го проширувањето на серијата Maclaurin на главните функции.
5. Наведете ги областите на конвергенција на разгледуваните серии.
6. Како да се процени грешката во приближните пресметки користејќи серии на моќност?
Ако функцијата f(x) има изводи од сите редови на одреден интервал што ја содржи точката a, тогаш на неа може да се примени Тејлоровата формула:
,
Каде r n– таканаречениот остаток член или остаток од серијата, може да се процени со помош на Лагранжовата формула:
, каде што бројот x е помеѓу x и a.
Правила за внесување функции:
Ако за некоја вредност X r n→0 во n→∞, тогаш во границата Тејлоровата формула станува конвергентна за оваа вредност Тејлор серија:
,
Така, функцијата f(x) може да се прошири во Тејлоровата серија во точката x што се разгледува ако:
1) има деривати од сите нарачки;
2) конструираната серија конвергира во оваа точка.
Кога a = 0 добиваме серија наречена во близина на Маклаурин:
,
Проширување на наједноставните (елементарни) функции во серијата Maclaurin:
Експоненцијални функции
, R=∞
Тригонометриски функции 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцијата actgx не се шири во моќи на x, бидејќи ctg0=∞
Хиперболични функции
Логаритамски функции
, -1
Биномна серија
.
Пример бр. 1. Проширете ја функцијата во серија на моќност f(x)= 2x.
Решение. Дозволете ни да ги најдеме вредностите на функцијата и нејзините деривати во X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, ѓ"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2xна 2 2, ѓ""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Заменувајќи ги добиените вредности на дериватите во формулата на серијата Тејлор, добиваме:
Радиусот на конвергенција на оваа серија е еднаков на бесконечност, затоа ова проширување важи за -∞<x<+∞.
Пример бр. 2. Напишете ја серијата Тејлор во моќи ( X+4) за функција f(x)=д x.
Решение. Наоѓање на изводите на функцијата e xи нивните вредности во точката X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, ѓ"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, ѓ""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Затоа, потребната Тејлор серија на функцијата има форма:
Ова проширување важи и за -∞<x<+∞.
Пример бр. 3. Прошири функција f(x)= н xво серија во моќ ( X- 1),
(т.е. во серијата Тејлор во близина на точката X=1).
Решение. Најдете ги изводите на оваа функција.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Заменувајќи ги овие вредности во формулата, ја добиваме саканата серија на Тејлор:
Користејќи го тестот на Д'Алембер, можете да потврдите дека серијата конвергира на ½ x-1½<1 . Действительно,
Серијата конвергира ако ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 добиваме наизменична серија која ги задоволува условите на Лајбницовиот критериум. Кога x=0 функцијата не е дефинирана. Така, регионот на конвергенција на серијата Тејлор е полуотворен интервал (0;2].
Пример бр. 4. Проширете ја функцијата во серија на моќност. Пример бр. 5. Проширете ја функцијата во серија Maclaurin. Коментар
.
Овој метод се заснова на теоремата за единственоста на проширувањето на функцијата во серија на моќност. Суштината на оваа теорема е дека во соседството на иста точка не може да се добијат две различни серии на моќност кои би се споиле во иста функција, без разлика како се врши нејзиното проширување. Пример бр. 5а. Проширете ја функцијата во серија Maclaurin и означете го регионот на конвергенција. Дропката 3/(1-3x) може да се смета како збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува со именител 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Пример бр. 6. Проширете ја функцијата во Тејлорова серија во близина на точката x = 3. Пример бр. 7. Запишете ја Тејлоровата серија во моќи (x -1) на функцијата ln(x+2) . Пример бр. 8. Проширете ја функцијата f(x)=sin(πx/4) во Тејлоровата серија во близина на точката x =2. Пример бр. 1. Пресметај го ln(3) со точност од 0,01. Пример бр. 2. Пресметајте со точност од 0,0001. Пример бр. 3. Пресметај го интегралот ∫ 0 1 4 sin (x) x во рамките на 10 -5 . Пример бр. 4. Пресметај го интегралот ∫ 0 1 4 e x 2 со точност од 0,001.
Решение. Во експанзијата (1) го заменуваме x со -x 2, добиваме:
, -∞
Решение. Ние имаме
Користејќи ја формулата (4), можеме да напишеме:
заменувајќи го –x наместо x во формулата, добиваме:
Од тука наоѓаме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Отворање на заградите, преуредување на условите од серијата и донесување слични термини, добиваме
. Оваа серија конвергира во интервалот (-1;1), бидејќи се добива од две серии, од кои секоја конвергира во овој интервал.
Формулите (1)-(5) исто така може да се користат за проширување на соодветните функции во серија на Тејлор, т.е. за проширување на функциите во позитивни цели броеви ( Ха). За да се направи ова, потребно е да се извршат такви идентични трансформации на дадена функција за да се добие една од функциите (1)-(5), во која наместо Xтрошоци k( Ха) m , каде што k е постојан број, m е позитивен цел број. Често е погодно да се направи промена на променливата т=Хаи проширете ја добиената функција во однос на t во серијата Maclaurin.
Решение. Прво наоѓаме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до основно:
со конвергентен регион |x|< 1/3.
Решение. Овој проблем може да се реши, како и досега, со користење на дефиницијата на серијата Тејлор, за која треба да ги најдеме дериватите на функцијата и нивните вредности на X=3. Сепак, ќе биде полесно да се користи постоечката експанзија (5):
=
Добиената серија конвергира на или -3
Решение.
Серијата конвергира на , или -2< x < 5.
Решение. Да ја направиме замената t=x-2:
Користејќи ја експанзијата (3), во која заменуваме π / 4 t на местото на x, добиваме:
Добиената серија конвергира кон дадената функција на -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Приближни пресметки користејќи серии на моќност
Моќните серии се широко користени во приближни пресметки. Со нивна помош, можете да ги пресметате вредностите на корените, тригонометриските функции, логаритмите на броевите и дефинитивните интеграли со дадена точност. Сериите се користат и при интегрирање на диференцијални равенки.
Размислете за проширување на функцијата во серија на моќност:
За да се пресмета приближната вредност на функцијата во дадена точка X, кои припаѓаат на регионот на конвергенција на посочената серија, првите се оставени во нејзиното проширување nчленови ( n– конечен број), а останатите членови се отфрлаат:
За да се процени грешката на добиената приближна вредност, потребно е да се процени отфрлениот остаток rn (x) . За да го направите ова, користете ги следниве техники:
Решение. Да го искористиме проширувањето каде x=1/2 (види пример 5 во претходната тема):
Ајде да провериме дали можеме да го отфрлиме остатокот по првите три члена од проширувањето; за да го направиме ова, ќе го оцениме користејќи збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија:
Така, можеме да го отфрлиме овој остаток и да го добиеме
Решение. Да ја користиме биномната серија. Бидејќи 5 3 е коцка на цел број најблиску до 130, препорачливо е бројот 130 да се претстави како 130 = 5 3 +5. 
бидејќи веќе четвртиот член од добиената наизменична серија што го задоволува критериумот Лајбниц е помала од потребната точност:
, така што тој и термините што следат може да се отфрлат.
Многу практично неопходни дефинитивни или неправилни интеграли не можат да се пресметаат со помош на формулата Њутн-Лајбниц, бидејќи нејзината примена е поврзана со наоѓање на антидериватот, кој често нема израз во елементарните функции. Исто така, се случува да се најде антидериват е можно, но тоа е непотребно трудоинтензивно. Меѓутоа, ако функцијата интегранд се прошири во серија на моќност, а границите на интеграција припаѓаат на интервалот на конвергенција на оваа серија, тогаш е можна приближна пресметка на интегралот со однапред одредена точност.
Решение. Соодветниот неопределен интеграл не може да се изрази во елементарни функции, т.е. претставува „непостојан интеграл“. Формулата Њутн-Лајбниц не може да се примени овде. Ајде да го пресметаме интегралот приближно.
Поделба по поим серијата за грев xна x, добиваме: 
Интегрирајќи ја оваа серија термин по термин (ова е можно, бидејќи границите на интеграција припаѓаат на интервалот на конвергенција на оваа серија), добиваме:
Бидејќи добиената серија ги задоволува условите на Лајбниц и доволно е да се земе збирот од првите два члена за да се добие саканата вредност со дадена точност.
Така, наоѓаме 
.
Решение.
. Ајде да провериме дали можеме да го отфрлиме остатокот по вториот член од добиената серија.
0,0001<0.001. Следовательно, 
.