Што треба да знаете за иконите за нееднаквост? Нееднаквости со икона повеќе (> ), или помалку (< ) се нарекуваат строг.Со икони повеќе или еднакви (≥ ), помалку или еднакви (≤ ) се нарекуваат не строг.Икона не еднакви (≠ ) се издвојува, но исто така мора постојано да решавате примери со оваа икона. И ние ќе одлучиме.)
Самата икона нема големо влијание врз процесот на решавање. Но, на крајот на одлуката, при изборот на конечниот одговор, значењето на иконата се појавува во полна сила! Ова е она што ќе го видиме подолу во примери. Има некои шеги таму...
Нееднаквостите, како и еднаквостите, постојат верни и неверни.Сè е едноставно овде, без трикови. Да речеме 5 > 2 е вистинска нееднаквост. 5 < 2 - неточно.
Оваа подготовка работи за нееднаквости секаков види едноставно до ужас.) Треба само правилно да извршите две (само две!) елементарни дејства. Овие акции се познати на сите. Но, карактеристично, грешките во овие дејствија се главната грешка во решавањето на нееднаквостите, да... Затоа, овие постапки мора да се повторат. Овие дејства се нарекуваат на следниов начин:
Идентични трансформации на нееднаквости.
Идентичните трансформации на неравенки се многу слични на идентичните трансформации на равенките. Всушност, ова е главниот проблем. Разликите ти одат преку глава и... еве ти.) Затоа, особено ќе ги истакнам овие разлики. Значи, првата идентична трансформација на неравенки:
1. Истиот број или израз може да се додаде (одземе) на двете страни на неравенката. Било кој. Ова нема да го промени знакот за нееднаквост.
Во пракса, ова правило се користи како пренос на поими од левата страна на нееднаквоста надесно (и обратно) со промена на знакот. Со промена на знакот на поимот, а не нееднаквоста! Правилото еден на еден е исто како и правилото за равенките. Но, следните идентични трансформации во неравенките значително се разликуваат од оние во равенките. Затоа ги истакнувам во црвено:
2. Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со иста работапозитивенброј. За сепозитивен Нема да се промени.
3. Двете страни на неравенката може да се помножат (поделат) со иста работанегативенброј. За сенегативенброј. Знакот за нееднаквост од оваќе се промени во спротивното.
Се сеќавате (се надевам...) дека равенката може да се помножи/подели со било што. И за кој било број, и за израз со X. Само да не беше нула. Ова го прави, равенката, ниту топла ниту ладна.) Не се менува. Но, неравенките се почувствителни на множење/делење.
Јасен пример за долго сеќавање. Ајде да напишеме нееднаквост што не предизвикува сомнежи:
5 > 2
Помножете ги двете страни со +3, добиваме:
15 > 6
Некој приговор? Нема забелешки.) И ако ги помножиме двете страни на првобитната неравенка со -3, добиваме:
15 > -6
И ова е чиста лага.) Целосна лага! Измама на народот! Но, штом ќе го смените знакот за нееднаквост во спротивен, сè си доаѓа на свое место:
15 < -6
Јас не се колнам само за лаги и измами.) „Заборавив да го сменам знакот за еднаквост...“- Ова домагрешка при решавање на неравенки. Ова тривијално и едноставно правило повреди толку многу луѓе! Која ја заборавија...) Па се колнам. Можеби ќе се сетам...)
Особено внимателните луѓе ќе забележат дека нееднаквоста не може да се помножи со израз со X. Почит до оние кои се внимателни!) Зошто да не? Одговорот е едноставен. Не го знаеме знакот на овој израз со X. Може да биде позитивен, негативен... Затоа, не знаеме кој знак за неравенство да го ставиме по множењето. Дали да го сменам или не? Непознат. Се разбира, ова ограничување (забраната за множење/делење на неравенство со израз со x) може да се заобиколи. Ако навистина ви треба. Но, ова е тема за други лекции.
Тоа се сите идентични трансформации на нееднаквости. Да ве потсетам уште еднаш дека работат за било којнееднаквости Сега можете да преминете на одредени типови.
Линеарни неравенки. Решение, примери.
Линеарни неравенки се неравенки во кои x е во првата сила и нема делење со x. Тип:
x+3 > 5x-5
Како се решаваат ваквите нееднаквости? Тие се многу лесни за решавање! Имено: со помош на ја намалуваме најзбунувачката линеарна нееднаквост директно на одговорот.Тоа е решението. Ќе ги истакнам главните точки на одлуката. За да избегнете глупави грешки.)
Ајде да ја решиме оваа нееднаквост:
x+3 > 5x-5
Го решаваме токму на ист начин како линеарна равенка. Со единствена разлика:
Внимателно го следиме знакот на нееднаквост!
Првиот чекор е најчестиот. Со X - лево, без X - десно... Ова е првата идентична трансформација, едноставна и без проблеми.) Само не заборавајте да ги промените знаците на пренесените термини.
Знакот за нееднаквост останува:
x-5x > -5-3
Еве слични.
Знакот за нееднаквост останува:
4x > -8
Останува да се примени последната идентична трансформација: поделете ги двете страни со -4.
Поделете по негативенброј.
Знакот за нееднаквост ќе се промени во спротивното:
X < 2
Ова е одговорот.
Така се решаваат сите линеарни неравенки.
Внимание! Точката 2 е нацртана бела, т.е. необоени. Празна внатре. Тоа значи дека таа не е вклучена во одговорот! Намерно ја нацртав толку здрава. Таквата точка (празна, не здрава!)) во математиката се нарекува дупната точка.
Останатите броеви на оската може да се означат, но не се потребни. Надворешните броеви кои не се поврзани со нашата нееднаквост можат да бидат збунувачки, да... Треба само да запомните дека бројките се зголемуваат во насока на стрелката, т.е. броеви 3, 4, 5, итн. се на десносе два, а броевите се 1, 0, -1 итн. - на лево.
Неравенство x < 2 - строг. X е строго помалку од два. Ако се сомневате, проверката е едноставна. Сомнителниот број го заменуваме со неравенка и мислиме: „Два е помалку од два? Не, се разбира!“ Точно. Нееднаквост 2 < 2 погрешно.Двајца за возврат не се соодветни.
Дали е еден во ред? Секако. Помалку... И нулата е добра, и -17, и 0,34... Да, сите броеви што се помали од два се добри! Па дури и 1,9999.... Барем малку, но помалку!
Значи, да ги означиме сите овие броеви на бројната оска. Како? Тука има опции. Опција една е засенчување. Го поместуваме глувчето над сликата (или ја допираме сликата на таблетот) и гледаме дека областа на сите x што го исполнуваат условот x е засенчена < 2 . Тоа е се.
Ајде да ја погледнеме втората опција користејќи го вториот пример:
X ≥ -0,5
Нацртајте оска и означете го бројот -0,5. Како ова:
Забележете ја разликата?) Па, да, тешко е да не се забележи... Оваа точка е црна! Насликано. Ова значи -0,5 е вклучен во одговорот.Тука, патем, верификацијата може да збуни некого. Ајде да замениме:
-0,5 ≥ -0,5
Како тоа? -0,5 не е повеќе од -0,5! И има уште икона...
Во ред е. Во слаба нееднаквост, сè што одговара на иконата е погодно. И еднаквидобро, и повеќедобро. Затоа, -0,5 е вклучено во одговорот.
Значи, означивме -0,5 на оската, останува да ги означиме сите броеви кои се поголеми од -0,5. Овој пат ја означувам областа на соодветни x вредности лак(од зборот лак), наместо засенчување. Ние лебдиме со курсорот над цртежот и го гледаме овој лак.
Нема посебна разлика помеѓу засенчувањето и краците. Прави како што вели наставникот. Ако нема учител, нацртајте лакови. Во посложени задачи, засенчувањето е помалку очигледно. Може да се збуните.
Вака се цртаат линеарни неравенки на оска. Да преминеме на следната карактеристика на неравенките.
Пишување на одговорот за неравенки.
Равенките беа добри.) Го најдовме x и го запишавме одговорот, на пример: x=3. Постојат две форми на пишување одговори во неравенки. Едната е во форма на конечна нееднаквост. Добро за едноставни случаи. На пример:
X< 2.
Ова е целосен одговор.
Понекогаш треба да го запишете истото, но во различна форма, во нумерички интервали. Тогаш снимката почнува да изгледа многу научно):
x ∈ (-∞; 2)
Под иконата ∈ зборот е скриен „припаѓа“.
Влезот гласи вака: x припаѓа на интервалот од минус бесконечност до два не вклучувајќи. Сосема логично. X може да биде кој било број од сите можни броеви од минус бесконечност до два. Не може да има двоен Х, што ни кажува зборот „не вклучувајќи“.
А каде во одговорот е јасно тоа "не вклучувајќи"? Овој факт е забележан во одговорот кругзаграда веднаш по двете. Ако беа вклучени двете, заградата ќе беше квадрат.Како овој: ]. Следниот пример користи таква заграда.
Да го запишеме одговорот: x ≥ -0,5 во интервали:
x ∈ [-0,5; +∞)
Чита: x припаѓа на интервалот од минус 0,5, вклучувајќи,до плус бесконечност.
Бесконечноста никогаш не може да се вклучи. Тоа не е број, тоа е симбол. Затоа, во таквите ознаки, бесконечноста е секогаш во непосредна близина на заградата.
Оваа форма на снимање е погодна за сложени одговори кои се состојат од неколку празни места. Но - само за конечни одговори. Во средните резултати, каде што се очекува понатамошно решение, подобро е да се користи вообичаената форма, во форма на едноставна нееднаквост. Со ова ќе се занимаваме во соодветните теми.
Популарни задачи со нееднаквости.
Самите линеарни неравенки се едноставни. Затоа, задачите често стануваат потешки. Затоа беше потребно да се размислува. Ова, ако не сте навикнати, не е многу пријатно.) Но, корисно е. Ќе покажам примери за такви задачи. Не за да ги научиш, тоа е непотребно. И за да не се плашиме кога се среќаваме со такви примери. Само размислете малку - и тоа е едноставно!)
1. Најдете кои било две решенија за неравенството 3x - 3< 0
Ако не е многу јасно што да правите, запомнете го главното правило на математиката:
Ако не знаете што ви треба, направете што можете!)
X < 1
И што? Ништо посебно. Што нè прашуваат? Од нас се бара да најдеме два конкретни бројки кои се решение за неравенство. Оние. одговара на одговорот. Две било којброеви. Всушност, ова е збунувачки.) Погодни се неколку 0 и 0,5. Пар -3 и -8. Овие парови ги има бесконечен број! Кој одговор е точен?!
Јас одговарам: сè! Секој пар на броеви, од кои секој е помал од еден, ќе биде точниот одговор.Напишете кој сакате. Ајде да продолжиме.
2. Решете ја неравенката:
4x - 3 ≠ 0
Задачите во оваа форма се ретки. Но, како помошни неравенки, при наоѓање на ODZ, на пример, или при наоѓање на доменот на дефинирање на функцијата, тие се појавуваат постојано. Ваквата линеарна неравенка може да се реши како обична линеарна равенка. Само секаде освен знакот „=" ( еднакви) стави знак“ ≠ " (не еднакви). Вака му пристапувате на одговорот, со знак за нееднаквост:
X ≠ 0,75
Во посложени примери, подобро е работите да се прават поинаку. Направете нееднаквост од еднаквост. Како ова:
4x - 3 = 0
Смирено реши го како што е научено и добиј го одговорот:
x = 0,75
Главната работа е, на самиот крај, при запишување на конечниот одговор, не заборавајте дека најдовме x, што дава еднаквост.И ни треба - нееднаквост.Затоа, овој X навистина не ни треба.) И треба да го запишеме со точниот симбол:
X ≠ 0,75
Овој пристап резултира со помалку грешки. Оние кои автоматски решаваат равенки. И за оние кои не решаваат равенки, неравенките, всушност, немаат никаква корист...) Друг пример за популарна задача:
3. Најдете го најмалиот целоброен решение за неравенството:
3 (x - 1) < 5x + 9
Прво едноставно ја решаваме нееднаквоста. Ги отвораме заградите, ги поместуваме, носиме слични... Добиваме:
X > - 6
Зарем не испадна така!? Дали ги следевте знаците!? И зад знаците на членовите, и зад знакот на нееднаквоста...
Ајде да размислиме повторно. Треба да најдеме конкретен број што одговара и на одговорот и на условот „најмал цел број“.Ако не ви се појави веднаш, можете само да земете кој било број и да го сфатите. Два над минус шест? Секако! Дали има соодветен помал број? Секако. На пример, нулата е поголема од -6. А уште помалку? Ни треба најмалата можна работа! Минус три е повеќе од минус шест! Веќе можете да ја фатите шемата и да престанете глупаво да поминувате низ бројките, нели?)
Да земеме број поблиску до -6. На пример, -5. Одговорот е исполнет, -5 > - 6. Дали е можно да се најде друг број помал од -5, но поголем од -6? Можеш, на пример, -5,5... Стоп! Ни е кажано целинарешение! Не се тркала -5,5! Што е со минус шест? Ух-ух! Нееднаквоста е строга, минус 6 во никој случај не е помал од минус 6!
Затоа, точниот одговор е -5.
Се надевам дека се е јасно со изборот на вредност од општото решение. Друг пример:
4. Решете ја нееднаквоста:
7 < 3x+1 < 13
Леле! Овој израз се нарекува тројна нееднаквост.Строго кажано, ова е скратена форма на систем на нееднаквости. Но, таквите тројни неравенки сепак треба да се решат во некои задачи... Тоа може да се реши без никакви системи. Според истите идентични трансформации.
Треба да поедноставиме, да ја доведеме оваа нееднаквост до чисто Х. Но... Што да се префрли каде?! Ова е местото каде што е време да се потсетиме дека е движењето лево и десно скратена формапрвата трансформација на идентитетот.
А целосната форма звучи вака: Секој број или израз може да се додаде/одземе на двете страни на равенката (неравенство).
Тука има три дела. Така ќе примениме идентични трансформации на сите три дела!
Значи, да се ослободиме од оној во средишниот дел на нееднаквоста. Да одземеме еден од целиот среден дел. За да не се промени неравенството, од преостанатите два дела одземаме еден. Како ова:
7 -1< 3х+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Тоа е подобро, нели?) Останува само да се поделат сите три дела на три:
2 < X < 4
Тоа е се. Ова е одговорот. X може да биде кој било број од два (не вклучува) до четири (не вклучува). Овој одговор исто така се пишува во интервали; таквите записи ќе бидат во квадратни неравенки. Таму тие се најчестата работа.
На крајот од лекцијата ќе го повторам најважното нешто. Успехот во решавањето на линеарни неравенки зависи од способноста да се трансформираат и поедностават линеарните равенки. Ако во исто време внимавајте на знакот за нееднаквост,нема да има никакви проблеми. Тоа ти посакувам. Нема проблеми.)
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Неравенките играат значајна улога во математиката. На училиште главно се занимаваме со нумерички неравенки, со чија дефиниција ќе ја започнеме оваа статија. И тогаш ќе наброиме и оправдаме својства на нумерички неравенки, на кој се засноваат сите принципи на работа со нееднаквости.
Веднаш да забележиме дека многу својства на нумеричките неравенки се слични. Затоа, ќе го претставиме материјалот според истата шема: формулираме својство, даваме негово оправдување и примери, по што преминуваме на следното својство.
Навигација на страницата.
Нумерички неравенки: дефиниција, примери
Кога го воведовме концептот на нееднаквост, забележавме дека неравенките често се дефинираат според начинот на кој се пишуваат. Така, ние ги нарековме неравенките значајни алгебарски изрази што ги содржат знаците кои не се еднакви на ≠, помалку<, больше >, помало или еднакво на ≤ или поголемо или еднакво на ≥. Врз основа на горната дефиниција, погодно е да се даде дефиниција за нумеричка неравенка:
Средбата со нумеричките неравенки се јавува на часовите по математика во прво одделение, веднаш по запознавањето со првите природни броеви од 1 до 9 и запознавањето со операцијата за споредба. Точно, таму тие едноставно се нарекуваат неравенки, испуштајќи ја дефиницијата за „нумерички“. За јасност, не би било повредено да се наведат неколку примери за наједноставните нумерички неравенки од таа фаза на нивното проучување: 1<2 , 5+2>3 .
А подалеку од природните броеви, знаењето се проширува и на други видови броеви (целобројни, рационални, реални броеви), се изучуваат правилата за нивна споредба и тоа значително ја проширува разновидноста на видовите нумерички неравенки: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) ,.
Својства на нумеричките неравенки
Во пракса, работата со нееднаквости овозможува голем број на својства на нумерички неравенки. Тие произлегуваат од концептот на нееднаквост што го воведовме. Во однос на броевите, овој концепт е даден со следнава изјава, која може да се смета за дефиниција на односите „помалку од“ и „повеќе од“ на множество броеви (често се нарекува дефиниција на разлика за неравенство):
Дефиниција.
- број a е поголемо од b ако и само ако разликата a−b е позитивен број;
- бројот a е помал од бројот b ако и само ако разликата a−b е негативен број;
- бројот a е еднаков на бројот b ако и само ако разликата a−b е нула.
Оваа дефиниција може да се преработи во дефиницијата на односите „помалку или еднакво на“ и „поголемо или еднакво на“. Еве ја неговата формулација:
Дефиниција.
- број a е поголем или еднаков на b ако и само ако a−b е ненегативен број;
- a е помал или еднаков на b ако и само ако a−b е непозитивен број.
Овие дефиниции ќе ги користиме кога ги докажуваме својствата на нумеричките неравенки, на чиј преглед продолжуваме.
Основни својства
Прегледот го започнуваме со три главни својства на нееднаквостите. Зошто се основни? Затоа што тие се одраз на својствата на неравенките во најопшта смисла, а не само во однос на нумеричките неравенки.
Нумерички неравенки напишани со помош на знаци< и >, карактеристика:
Што се однесува до нумеричките неравенки напишани со помош на знаците за слаби неравенки ≤ и ≥, тие имаат својство на рефлексивност (а не антирефлексивност), бидејќи неравенките a≤a и a≥a го вклучуваат случајот на еднаквост a=a. Тие се карактеризираат и со антисиметрија и транзитивност.
Значи, нумеричките неравенки напишани со помош на знаците ≤ и ≥ ги имаат следните својства:
- рефлексивноста a≥a и a≤a се вистински неравенки;
- антисиметрија, ако a≤b, тогаш b≥a, а ако a≥b, тогаш b≤a.
- транзитивност, ако a≤b и b≤c, тогаш a≤c, а исто така, ако a≥b и b≥c, тогаш a≥c.
Нивниот доказ е многу сличен на веќе дадените, затоа нема да се задржуваме на нив, туку ќе преминеме на други важни својства на нумеричките неравенки.
Други важни својства на нумеричките неравенки
Да ги дополниме основните својства на нумеричките неравенки со низа резултати кои се од големо практично значење. На нив се засноваат методи за проценка на вредностите на изразите, на нив се засноваат принципи решенија за нееднаквостии така натаму. Затоа, препорачливо е добро да ги разберете.
Во овој дел, ќе ги формулираме својствата на нееднаквостите само за еден знак на строга нееднаквост, но вреди да се има предвид дека слични својства ќе важат и за спротивниот знак, како и за знаците на нестроги неравенки. Да го објасниме ова со пример. Подолу го формулираме и докажуваме следново својство на неравенки: ако а
За погодност, ќе ги претставиме својствата на нумеричките неравенки во форма на листа, додека ќе ја дадеме соодветната изјава, ќе ја напишеме формално со помош на букви, ќе дадеме доказ и потоа ќе покажеме примери за употреба. И на крајот од статијата ќе ги сумираме сите својства на нумеричките неравенки во табела. Оди!
Последица. Поимно множење на идентични вистински неравенки од формата a
Со собирање (или одземање) кој било број на двете страни на вистинската нумеричка неравенка се добива вистинска нумеричка неравенка. Со други зборови, ако броевите a и b се такви што a
За да го докажеме тоа, да ја направиме разликата помеѓу левата и десната страна на последната нумеричка неравенка и да покажеме дека таа е негативна под услов a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Бидејќи по услов а
Не се задржуваме на доказот за ова својство на нумерички неравенки за одземање на број c, бидејќи на множеството реални броеви одземањето може да се замени со собирање -c.
На пример, ако го додадете бројот 15 на двете страни на точната бројна неравенка 7>3, ќе ја добиете точната бројна неравенка 7+15>3+15, што е исто, 22>18.
Ако двете страни на валидна нумеричка неравенка се помножат (или поделат) со истиот позитивен број c, добивате валидна нумеричка неравенка. Ако двете страни на неравенката се помножат (или поделат) со негативен број c, а знакот на неравенството е обратен, тогаш неравенството ќе биде точно. Во буквална форма: ако броевите a и b ја задоволуваат неравенката a п.н.е.
Доказ. Да почнеме со случајот кога c>0. Да ја направиме разликата помеѓу левата и десната страна на бројната неравенка што се докажува: a·c−b·c=(a−b)·c . Бидејќи по услов а 0 , тогаш производот (a−b)·c ќе биде негативен број како производ на негативен број a−b и позитивен број c (кој следи од ). Затоа, a·c−b·c<0
, откуда a·c Не се задржуваме на доказот за разгледуваното својство за делење на двете страни на вистинска нумеричка неравенка со ист број c, бидејќи делењето секогаш може да се замени со множење со 1/c. Да покажеме пример за користење на анализираното својство на одредени броеви. На пример, можете да ги имате двете страни на точната нумеричка неравенка 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Од штотуку дискутираното својство за множење на двете страни на нумеричката еднаквост со број, следуваат два практично вредни резултати. Така ги формулираме во форма на последици. Сите особини што се дискутирани погоре во овој параграф ги обединува тоа што прво се дава правилна бројна неравенка, а од неа преку некои манипулации со деловите на неравенката и знакот се добива уште една правилна нумеричка неравенка. Сега ќе претставиме блок од својства во кој првично се дадени не една, туку неколку точни нумерички неравенки и се добива нов резултат од нивната заедничка употреба по собирање или множење на нивните делови. Ако броевите a, b, c и d ги задоволуваат неравенките a
Да докажеме дека (a+c)−(b+d) е негативен број, тоа ќе докаже дека a+c Со индукција, ова својство се протега на собирање од три, четири и, генерално, на секој конечен број нумерички неравенки. Значи, ако за броевите a 1, a 2, …, a n и b 1, b 2, …, b n се вистинити следните неравенки: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . На пример, ни се дадени три точни нумерички неравенки со ист знак −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можете да помножите нумерички неравенки од истиот знак член по член, чии двете страни се претставени со позитивни броеви. Конкретно, за две неравенки a
За да го докажете тоа, можете да ги помножите двете страни на неравенката a
Ова својство важи и за множење на кој било конечен број на вистински нумерички неравенки со позитивни делови. Односно, ако a 1, a 2, ..., a n и b 1, b 2, ..., b n се позитивни броеви, а a 1 a 1 a 2…a n . Одделно, вреди да се напомене дека ако ознаката за нумерички неравенки содржи непозитивни броеви, тогаш нивното множење по член може да доведе до неточни нумерички неравенки. На пример, нумерички неравенки 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
На крајот на статијата, како што ветивме, ќе ги собереме сите проучувани својства во табела на својства на нумерички неравенки:
Библиографија.
- Моро М.И.. Математика. Тетратка за 1 час. почеток училиште За 2 часа Дел 1 (прва половина од годината) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова. - 6. изд. - М.: Образование, 2006. - 112 стр.: лошо.+Додај. (2 одделни л. болен.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика: тетратка за 5 одделение. општо образование институции / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. издание, избришано. - М .: Мнемозина, 2007. - 280 стр.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа.Дел 1. Учебник за ученици од општообразовни институции / А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
Неравенките се нарекуваат линеарничија лева и десна страна се линеарни функции во однос на непознатото количество. Тие вклучуваат, на пример, нееднаквости:
2x-1-x+3; 7x0;
5 > 4 - 6x 9- x< x + 5 .
1) Строги нееднаквости: секира +b>0или секира+б<0
2) Нестроги нееднаквости: секира +b≤0или секира+б≫ 0
Ајде да ја анализираме оваа задача. Една од страните на паралелограмот е 7 cm. Колку мора да биде должината на другата страна за периметарот на паралелограмот да биде поголем од 44 cm?
Нека биде потребната страна X cm Во овој случај периметарот на паралелограмот ќе биде претставен со (14 + 2x) cm Неравенката 14 + 2x > 44 е математички модел на задачата на периметар на паралелограм. Ако ја замениме променливата во оваа неравенка Xна, на пример, бројот 16, тогаш ја добиваме точната бројна неравенка 14 + 32 > 44. Во овој случај, тие велат дека бројот 16 е решение за неравенката 14 + 2x > 44.
Решавање на нееднаквостанаведете ја вредноста на променливата што ја претвора во вистинска нумеричка неравенка.
Според тоа, секој од броевите е 15,1; 20;73 делува како решение за неравенката 14 + 2x > 44, но бројот 10, на пример, не е негово решение.
Решете ја нееднаквостазначи да се утврдат сите негови решенија или да се докаже дека нема решенија.
Формулацијата на решението на неравенката е слична на формулацијата на коренот на равенката. А сепак не е вообичаено да се означи „коренот на нееднаквоста“.
Својствата на нумеричките еднаквости ни помогнаа да ги решиме равенките. Слично на тоа, својствата на нумеричките неравенки ќе помогнат во решавањето на неравенките.
Кога решаваме равенка, ја заменуваме со друга, поедноставна равенка, но еквивалентна на дадената. Одговорот на нееднаквостите се наоѓа на сличен начин. Кога менуваат равенка во еквивалентна равенка, тие ја користат теоремата за пренесување на членовите од едната страна на равенката на спротивната и за множење на двете страни на равенката со ист број што не е нула. При решавање на неравенство, постои значајна разлика помеѓу неа и равенката, која лежи во фактот дека секое решение на равенката може да се потврди едноставно со замена во првобитната равенка. Во неравенки, овој метод е отсутен, бидејќи не е можно да се заменат безброј решенија во првобитната неравенка. Затоа, постои важен концепт, овие стрели<=>е знак за еквивалентни, или еквивалентни, трансформации. Трансформацијата се нарекува еквивалент,или еквивалент, доколку не го променат множеството решенија.
Слични правила за решавање на неравенки.
Ако поместиме кој било член од еден дел на неравенката во друг, заменувајќи го неговиот знак со спротивниот, добиваме неравенка еквивалентна на овој.
Ако двете страни на неравенката се помножат (поделат) со ист позитивен број, добиваме неравенка еквивалентна на оваа.
Ако двете страни на неравенката се помножат (поделат) со ист негативен број, заменувајќи го знакот за неравенство со спротивната, добиваме неравенка еквивалентна на дадената.
Користење на овие правилаДа ги пресметаме следните неравенки.
1) Ајде да ја анализираме нееднаквоста 2x - 5 > 9.
Ова линеарна нееднаквост, ќе го најдеме неговото решение и ќе разговараме за основните концепти.
2x - 5 > 9<=>2x>14(5 беше преместена на левата страна со спротивен знак), потоа се поделивме со 2 и имаме x > 7. Дозволете ни да го нацртаме множеството решенија на оската x
Добивме позитивно насочен зрак. Го забележуваме множеството решенија или во форма на нееднаквост x > 7, или во форма на интервалот x(7; ∞). Кое е конкретно решение за оваа нееднаквост? На пример, x = 10е посебно решение за оваа нееднаквост, x = 12- ова е исто така посебно решение за оваа нееднаквост.
Има многу парцијални решенија, но наша задача е да ги најдеме сите решенија. И обично има безброј решенија.
Ајде да го средиме пример 2:
2) Решете ја нееднаквоста 4а - 11 > а + 13.
Ајде да го решиме: Апоместете го на едната страна 11 преместете го на другата страна, добиваме 3а< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенството ја има формата а<8 .
4а - 11 > а + 13<=>3а< 24 <=>а< 8 .
Ќе го прикажеме и комплетот а< 8 , но веќе на оската А.
Одговорот или го пишуваме во форма на неравенство a< 8, либо А(-∞;8), 8 не се вклучува.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
На пример, неравенката е изразот \(x>5\).
Видови неравенки:
Ако \(a\) и \(b\) се броеви или , тогаш се повикува неравенството нумерички. Тоа е всушност само споредување на два броја. Ваквите нееднаквости се поделени на веренИ неверен.
На пример:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) е неточна нумеричка неравенка, бидејќи \(17+3=20\), а \(20\) е помало од \(115\) (и не поголемо или еднакво на) .
Ако \(a\) и \(b\) се изрази што содржат променлива, тогаш имаме нееднаквост со променлива. Ваквите нееднаквости се поделени на типови во зависност од содржината:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
Променлива само до првата моќност |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
Има променлива во втората моќност (квадрат), но нема повисоки сили (трета, четврта, итн.) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
Кое е решението за нееднаквоста?
Ако замените број наместо променлива со неравенка, тој ќе се претвори во нумеричка.
Ако дадена вредност за x ја претвори оригиналната неравенка во вистинска нумеричка, тогаш таа се нарекува решение за нееднаквоста. Ако не, тогаш оваа вредност не е решение. И да реши нееднаквост– треба да ги најдете сите негови решенија (или да покажете дека ги нема).
На пример,ако го замениме бројот \(7\) во линеарната неравенка \(x+6>10\), ја добиваме точната бројна неравенка: \(13>10\). И ако го замениме \(2\), ќе има неточна бројна неравенка \(8>10\). Односно, \(7\) е решение за првичната неравенка, но \(2\) не е.
Меѓутоа, неравенката \(x+6>10\) има други решенија. Навистина, ќе ги добиеме точните нумерички неравенки при замена на \(5\), и \(12\), и \(138\)... И како можеме да ги најдеме сите можни решенија? За ова тие користат За нашиот случај имаме:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
Односно, секој број поголем од четири ќе ни одговара. Сега треба да го запишете одговорот. Решенијата на неравенките обично се пишуваат нумерички, дополнително означувајќи ги на бројната оска со засенчување. За нашиот случај имаме:
Одговор:
\(x\in(4;+\infty)\)
Кога се менува знакот на нееднаквост?
Постои една голема замка во нееднаквостите во кои студентите навистина „сакаат“ да паднат:
При множење (или делење) на неравенство со негативен број, тој се менува („повеќе“ со „помалку“, „повеќе или еднакво“ со „помалку или еднакво“ и така натаму)
Зошто се случува ова? За да го разбереме ова, да ги погледнеме трансформациите на бројната неравенка \(3>1\). Точно е, три се навистина поголеми од едно. Прво, да се обидеме да го помножиме со кој било позитивен број, на пример, два:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
Како што можеме да видиме, по множењето неравенството останува точно. И без разлика со кој позитивен број ќе помножиме, секогаш ќе ја добиеме точната неравенка. Сега да се обидеме да помножиме со негативен број, на пример, минус три:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
Резултатот е неточна неравенка, бидејќи минус девет е помал од минус три! Тоа е, за да може нееднаквоста да стане вистинита (и затоа, трансформацијата на множењето со негативно беше „правна“), треба да го смените знакот за споредба, вака: \(-9<− 3\).
Со делење ќе функционира на ист начин, можете сами да го проверите.
Правилото напишано погоре важи за сите видови неравенки, а не само за нумеричките.
Пример: Решете ја неравенката \(2(x+1)-1<7+8x\)Решение:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
Ајде да се движиме \(8x\) налево, и \(2\) и \(-1\) надесно, не заборавајќи да ги смениме знаците |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
Ајде да ги поделиме двете страни на нееднаквоста со \(-6\), не заборавајќи да се смениме од „помалку“ во „повеќе“ |
|
Да означиме нумерички интервал на оската. Нееднаквост, затоа ја „избодуваме“ самата вредност \(-1\) и не ја земаме како одговор |
|
|
Ајде да го напишеме одговорот како интервал |
Одговор: \(x\in(-1;\infty)\)
Нееднаквости и попреченост
Неравенките, исто како равенките, можат да имаат ограничувања на , односно на вредностите на x. Соодветно на тоа, оние вредности што се неприфатливи според DZ треба да бидат исклучени од опсегот на решенија.
Пример: Решете ја неравенката \(\sqrt(x+1)<3\)
Решение: Јасно е дека за левата страна да биде помала од \(3\), радикалниот израз мора да биде помал од \(9\) (на крајот на краиштата, од \(9\) само \(3\)). Добиваме:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(х<8\)
Сите? Дали ќе ни одговара некоја вредност од x помала од \(8\)? Не! Затоа што ако ја земеме, на пример, вредноста \(-5\) што се чини дека одговара на барањето, тоа нема да биде решение за првобитната неравенка, бидејќи ќе не доведе до пресметување на коренот на негативен број.
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
Затоа, мора да ги земеме предвид и ограничувањата на вредноста на X - не може да биде таква што има негативен број под коренот. Така, го имаме второто барање за x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
А за x да биде конечно решение, мора да ги задоволува двете барања одеднаш: мора да биде помало од \(8\) (да биде решение) и поголемо од \(-1\) (да биде во принцип прифатливо). Исцртувајќи го на бројната линија, го имаме конечниот одговор:
Одговор: \(\лево[-1;8\десно)\)