Националниот истражувачки универзитет
Катедра за применета геологија
Апстракт за виша математика
На тема: „Основни елементарни функции,
нивните својства и графикони“
Завршено:
Проверено:
наставник
Дефиниција. Функцијата дадена со формулата y=a x (каде a>0, a≠1) се нарекува експоненцијална функција со основа a.
Да ги формулираме главните својства на експоненцијалната функција:
1. Доменот на дефиниција е множеството (R) од сите реални броеви.
2. Опсег - множеството (R+) од сите позитивни реални броеви.
3. За a > 1, функцијата се зголемува по целата нумеричка права; на 0<а<1 функция убывает.
4. Е функција од општа форма.
, на интервалот xО [-3;3]
, на интервалот xО [-3;3] Функција од формата y(x)=x n, каде што n е бројот ОR, се нарекува функција на моќност. Бројот n може да добие различни вредности: и цел број и фракционо, и парни и непарни. Во зависност од ова, функцијата за напојување ќе има различна форма. Да разгледаме посебни случаи кои се функции на моќност и ги рефлектираат основните својства на овој тип на крива по следниот редослед: функција на моќност y=x² (функција со парен експонент - парабола), функција на моќност y=x³ (функција со непарен експонент - кубна парабола) и функција y=√x (x на јачината на ½) (функција со фракционен експонент), функција со негативен цел број експонент (хипербола).
Функција за напојување y=x²
1. D(x)=R – функцијата е дефинирана на целата нумеричка оска;
2. E(y)= и се зголемува на интервалот
Функција за напојување y=x³
1. Графикот на функцијата y=x³ се нарекува кубна парабола. Функцијата моќност y=x³ ги има следните својства:
2. D(x)=R – функцијата е дефинирана на целата нумеричка оска;
3. E(y)=(-∞;∞) - функцијата ги зема сите вредности во својот домен на дефиниција;
4. Кога x=0 y=0 – функцијата поминува низ потеклото на координатите O(0;0).
5. Функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.
6. Функцијата е непарна (симетрична во однос на потеклото).
, на интервалот xО [-3;3] Во зависност од нумеричкиот фактор пред x³, функцијата може да биде стрмна/рамна и растечка/намалувачка.
Функција на моќност со негативен цел број експонент:
Ако експонентот n е непарен, тогаш графикот на таквата моќна функција се нарекува хипербола. Функција за моќност со целоброен негативен експонент ги има следните својства:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за кое било n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е непарен број; E(y)=(0;∞), ако n е парен број;
3. Функцијата се намалува низ целиот домен на дефиниција ако n е непарен број; функцијата се зголемува на интервалот (-∞;0) и се намалува на интервалот (0;∞) ако n е парен број.
4. Функцијата е непарна (симетрична во однос на потеклото) ако n е непарен број; Функцијата е парна ако n е парен број.
5. Функцијата минува низ точките (1;1) и (-1;-1) ако n е непарен број и низ точките (1;1) и (-1;1) ако n е парен број.
, на интервалот xО [-3;3] Функција на моќност со фракционен експонент
Функцијата за моќност со фракционен експонент (слика) има график на функцијата прикажана на сликата. Функција за моќност со фракционо експонент ги има следните својства: (слика)
1. D(x) ОR, ако n е непарен број и D(x)= 
, на интервалот xО 
, на интервалот xО [-3;3]
Логаритамската функција y = log a x ги има следните својства:
1. Домен на дефиниција D(x)О (0; + ∞).
2. Опсег на вредности E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Функцијата не е ниту парна ниту непарна (од општа форма).
4. Функцијата се зголемува на интервалот (0; + ∞) за > 1, се намалува на (0; + ∞) за 0< а < 1.
Графикот на функцијата y = log a x може да се добие од графикот на функцијата y = a x со помош на трансформација на симетрија за правата линија y = x. Слика 9 покажува график на логаритамската функција за a > 1 и Слика 10 за 0< a < 1.
; на интервалот xО 
; на интервалот xО Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се нарекуваат тригонометриски функции.
Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x се непарни, а функцијата y = cos x е парна.
Функција y = sin(x).
1. Домен на дефиниција D(x) ОR.
2. Опсег на вредности E(y) О [ - 1; 1].
3. Функцијата е периодична; главниот период е 2π.
4. Функцијата е непарна.
5. Функцијата се зголемува во интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и се намалува на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Графикот на функцијата y = sin (x) е прикажан на слика 11.
Обезбедува референтни податоци за експоненцијалната функција - основни својства, графикони и формули. Разгледани се следните теми: домен на дефиниција, множество вредности, монотоност, инверзна функција, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување со комплексни броеви.
Дефиниција
Експоненцијална функцијае генерализација на производот од n броеви еднаков на a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
на множеството реални броеви x:
y (x) = секира.
Овде a е фиксен реален број, кој се нарекува основа на експоненцијалната функција.
Се нарекува и експоненцијална функција со основа a експонент на основа a.
Генерализацијата се врши на следниов начин.
За природни x = 1, 2, 3,...
, експоненцијалната функција е производ на x фактори:
.
Покрај тоа, има својства (1,5-8) (), кои произлегуваат од правилата за множење броеви. За нула и негативни вредности на цели броеви, експоненцијалната функција се одредува со помош на формули (1.9-10). За фракциони вредности x = m/n рационални броеви, , се одредува со формулата (1.11). За реално, експоненцијалната функција е дефинирана како граница на низата:
,
каде што е произволна низа од рационални броеви што конвергираат на x: .
Со оваа дефиниција, експоненцијалната функција е дефинирана за сите , и ги задоволува својствата (1,5-8), како за природниот x.
Ригорозна математичка формулација за дефиницијата на експоненцијална функција и доказ за нејзините својства е дадена на страницата „Дефиниција и доказ за својствата на експоненцијална функција“.
Својства на експоненцијалната функција
Експоненцијалната функција y = a x ги има следните својства на множеството реални броеви ():
(1.1)
дефинирани и континуирани, за , за сите ;
(1.2)
за ≠ 1
има многу значења;
(1.3)
строго се зголемува на, строго се намалува на,
е константна на ;
(1.4)
во ;
во ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Други корисни формули.
.
Формула за претворање во експоненцијална функција со различна база на експоненти:
Кога b = e, го добиваме изразот на експоненцијалната функција преку експоненцијалната:
Приватни вредности
, , , , .
На сликата се прикажани графикони на експоненцијалната функција
y (x) = секира
за четири вредности степени бази: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
и a = 1/8
. Се гледа дека за а > 1
експоненцијалната функција монотоно се зголемува. Колку е поголема основата на степенот a, толку е посилен растот. На 0
< a < 1
експоненцијалната функција монотоно се намалува. Колку е помал експонентот a, толку е посилно намалувањето.
Растечки, опаѓачки
Експоненцијалната функција за е строго монотона и затоа нема екстреми. Неговите главни својства се претставени во табелата.
| y = a x, a > 1 | y = секира, 0 < a < 1 | |
| Домен | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Опсег на вредности | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотон | монотоно се зголемува | монотоно се намалува |
| Нули, y = 0 | Бр | Бр |
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Инверзна функција
Инверзната на експоненцијална функција со основа a е логаритам со основата a.
Ако тогаш
.
Ако тогаш
.
Диференцијација на експоненцијална функција
За да се диференцира експоненцијална функција, нејзината основа мора да се сведе на бројот e, да се примени табелата на изводи и правилото за диференцијација на сложена функција.
За да го направите ова, треба да го користите својството на логаритми
и формулата од табелата со деривати:
.
Нека е дадена експоненцијална функција:
.
Го доведуваме до основата e:
Да го примениме правилото за диференцијација на сложените функции. За да го направите ова, воведете ја променливата
Потоа
Од табелата со деривати имаме (променливата x заменете ја со z):
.
Бидејќи е константа, изводот на z во однос на x е еднаков на
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција:
.
Извод на експоненцијална функција
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >
Пример за диференцирање на експоненцијална функција
Најдете го изводот на функцијата
y = 3 5 x
Решение
Да ја изразиме основата на експоненцијалната функција преку бројот e.
3 = e ln 3
Потоа
.
Внесете променлива
.
Потоа
Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Затоа што 5ln 3е константа, тогаш изводот на z во однос на x е еднаков на:
.
Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме:
.
Одговори
Интегрален
Изрази кои користат сложени броеви
Размислете за функцијата комплексен број z:
ѓ (z) = a z
каде z = x + iy; јас 2 = - 1
.
Да ја изразиме сложената константа a во однос на модулот r и аргументот φ:
a = r e i φ
Потоа
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Генерално
φ = φ 0 + 2 πn,
каде n е цел број. Затоа функцијата f (з)исто така не е јасно. Неговото главно значење често се разгледува
.
Проширување на серијата
.
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
Функција на моќност, нејзини својства и график Демонстративен материјал Час-предавање Поим на функција. Својства на функции. Функција на моќност, нејзините својства и графикон. Одделение 10 Сите права се задржани. Авторско право со авторски права со
Напредок на часот: Повторување. Функција. Својства на функциите. Учење нов материјал. 1. Дефиниција на функција на моќност.Дефиниција на функција на моќност. 2. Својства и графикони на функциите на моќност. Консолидација на изучениот материјал. Вербално броење. Вербално броење. Резиме на лекција. Домашна задача.
Домен на дефиниција и домен на вредности на функција Сите вредности на независната променлива го формираат доменот на дефиниција на функцијата x y=f(x) f Домен на дефиниција на функцијата Домен на вредности на функцијата Сите вредностите што зависната променлива ги зема од доменот на вредностите на функцијата Функција. Својства на функции
График на функција Нека е дадена функција каде што xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графикот на функцијата е множество од сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на функцијата. Функција. Својства на функции
Y x Домен на дефиниција и опсег на вредности на функцијата 4 y=f(x) Домен на дефиниција на функцијата: Домен на вредности на функцијата: Функција. Својства на функции
Парна функција y x y=f(x) Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската на оп-засилувачот Функцијата y=f(x) се повикува дури и ако f(-x) = f(x) за било кој x од доменот на дефинирање на функцијата Функција. Својства на функции
Непарна функција y x y=f(x) Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото O(0;0) Функцијата y=f(x) се нарекува непарна ако f(-x) = -f(x) за кој било x од регионот дефиниции на функцијата Функција. Својства на функции
Дефиниција на функција на моќност Функцијата каде што p е даден реален број се нарекува функција на моќност. p y=x p P=x y 0 Напредок во часот
Функција за моќност x y 1. Доменот на дефиниција и опсегот на вредностите на функциите на моќноста на формата, каде што n е природен број, се сите реални броеви. 2. Овие функции се непарни. Нивниот график е симетричен во однос на потеклото. Својства и графикони на функциите на моќност
Моќните функции со рационален позитивен експонент Доменот на дефиниција се сите позитивни броеви и бројот 0. Опсегот на вредности на функциите со таков експонент се исто така сите позитивни броеви и бројот 0. Овие функции не се ниту парни, ниту непарни. . y x Својства и графикони на функциите на моќност
Функција на моќност со рационален негативен експонент. Доменот на дефиниција и опсегот на вредности на таквите функции се сите позитивни броеви. Функциите не се ниту парни ниту непарни. Ваквите функции се намалуваат низ целиот нивен домен на дефиниција. y x Својства и графикони на функции на моќност Напредок на часот
